人教版数学高一B版必修1同步精练集合之间的关系

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人教B版数学高一版必修1学案集合之间的关系

课堂导学三点剖析一、子集、真子集、集合相等的概念【例1】判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.(1)对任意的集合A,有∅ A.(2)如果A⊇B且A≠B,那么B必是A的真子集.(3)如果A=B,则集合A是集合B的子集,但一定不是B的真子集.(4)如果对任意的x0∈A,都能得到x0∈B,则集合A是集合B的真子集.思路分析:紧扣子集、真子集的概念,空集的性质.解:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.此处没说集合A是否非空,因此说法错误,应有∅⊆A.(2)集合B是集合A的子集,实际上有两种可能:一是B是A的真子集;二是集合A与集合B 相等.∵A⊇B,又A≠B,∴B必是A的真子集.故此说法正确.(3)由A=B知A⊆B且B⊆A.A、B两集合的元素完全相同,A中的任一元素必是集合B中的元素,但集合B中不存在元素属于B但不属于A.故集合A是集合B的子集,但不是B的真子集.故此说法正确.(4)由对任意的x0∈A,能得到x0∈B,故集合A是集合B的子集,不能确定是否为真子集.故此说法错误.二、根据两集合间的关系进行有关运算【例2】已知A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},求证:A=B.思路分析:根据两集合相等的定义,欲证A=B,必须证明A⊆B和B⊆A两方面.证明:(1)设任意x0∈A,则x0=2n+1,n∈Z.当n为偶数,即n=2k,k∈Z时,x0=2n+1=4k+1,k∈Z;当n为奇数,即n=2k-1,k∈Z时,x0=2n+1=4k-1,k∈Z.∴x0∈B.∴A⊆B.(2)设任意y0∈B,则y0=4k±1,k∈Z,若y0=4k+1=2(2k)+1,2k∈Z,∴y0∈B.若y0=4k-1=2(2k-1)+1,2k-1∈Z,∴y0∈A.∴B⊆A.综上知,A=B.温馨提示本题同学们容易出现“令2n+1=4k±1”的错误做法.两集合相等是通过两集合间的包含关系定义的,而不仅仅是通过“它们所含元素完全相同”来定义的.从本题可以看出,这样定义具有很强的操作性.三、元素与集合、集合与集合之间的关系【例3】以下各组中的两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来.(1)0与{0};(2)0与∅;(3)∅与{0};(4){0,1}与{(0,1)};(5){(b,a)}与{(a,b)}.思路分析:首先要分清是“元素与集合”的关系，还是“集合与集合”的关系.如果是集合与集合，还要分清是什么关系.解:(1)0∈{0}.(2)0∉∅.(3)∅与{0}都是集合,两者的关系是“包含与否”的关系.∴∅{0}.(4){0,1}是含有两个元素0,1的集合;而{(0,1)}是表示以点(0,1)为元素的集合,它只含有一个元素.∴{0,1}≠{(0,1)}.(5)当a=b 时,{(a,b)}={(b,a)}.当a≠b 时,{(a,b)}≠{(b,a)}.温馨提示(1)要十分注意∈与⊆(或)之间的区别:“∈”是表示元素与集合之间的关系；“⊆(或)”是表示集合与集合之间的关系.(2)a 与{a}的区别:一般地,a 表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a 的集合.各个击破类题演练1(1)已知A={m,n,f},写出A 的所有子集,并分别求出A 的子集、真子集、非空真子集的个数.(2)已知集合A 满足{a,b}⊆A ⊆{a,b,c,d},求所有满足条件的集合A.解析:(1)集合A 的所有子集为∅,{m},{n},{f},{m,n},{m,f},{n,f},{m,n,f},∴子集的个数为23=8,真子集的个数为23-1=7,非空真子集个数为23-1-1=6.(2)∵{a,b}⊆A,∴A 中必须含有元素a 、b.又∵A ⊆{a,b,c,d},∴满足条件的集合A 有{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d},共4个.变式提升2写出集合M={a,b,c,d}的所有真子集.解析:集合A 的所有真子集为∅,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c}, {a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.类题演练2已知集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},若A=B,求实数x 、y 的值.解析:∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可以断定|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0.故x-y=0,即x=y,此时A={x,x 2,0},B={0,|x|,x},∴x 2=|x|.当x=1时x 2=1矛盾,∴x=-1,即仅x=y=-1.变式提升2已知集合A={x|x 2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若B A,求由实数m 所构成的集合M.解析:由A={-3,2},∵B A,当B=∅时,m=0;当B={-3}时,m=31; 当B={2}时,m=21-. ∴M={0,31,21-}. 类题演练3已知A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 的关系正确的是( )A.A ⊆BB.AB C.B A D.A ∈B解析:∵x ⊆A,A={0,1}.∴x 为∅,{0},{1},{0,1}.∴B={x|x ⊆A}={∅,{0},{1},{0,1}}.∴{0,1}是B 的一个元素,即A ∈B.故选D.答案:D变式提升3已知集合A={x|x=a+61,a ∈Z },B={x|x=2b 31-,b ∈Z },C={x|x=2c +61,c ∈Z }.则集合A 、B 、C 满足的关系是( )A.A=BC B.A B=C C.A B C D.B C A 解析:先整理A={x|x=616+a ,a ∈Z },B={x|x=623-b ,b ∈Z }={x|x=61)1(3+-b ,b ∈Z },C={x|x=613+c ,c ∈Z }, ∵3(b-1)+1和3c+1都表示被3除余1的数,6a+1表示被6除余1的数,∴AB=C. 答案:B。

人教新课标版数学高一- 人教B版必修1 《集合之间的关系》教案

1.2.1集合之间的关系教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。

2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。

教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。

教学过程：一、复习提问1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？2、集合的表示方法有几种？分别是什么？二、新课5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。

称为：集合A是集合B的子集。

记作：A⊆B，或B⊇A。

例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。

特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。

定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。

记作：A⊆B，或B⊇A。

用Venn图表示(右上图)。

5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}a ≤b 特点：集合C 中的任何一个元素都是集合D 中的元素，集合D 中的任何一且b ≥a 个元素都是集合C 中的元素，即C ⊆D ，或D ⊇C 。

则a=b 所以，C=D 。

定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B)，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A)，此时集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作：A=B 定义：若集合A ⊆B ，但在在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集B ，或B A记作：A 例1中，集合A 是集合B 的真子集。

例2呢？方程x 2+1=0没有实数根，所以方程x 2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。

定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø，并规定：空集是任何集合的子集。

人教新课标版数学高一-数学人教B版必修一同步练测集合之间的关系

1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B 版)1.下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若A ⊂∅≠，则A ≠∅. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.若2{01}{0}a a b ，，－＝，，，则20132013a b + 的值为（） A.0 B.1 C. －1 D.23.已知集合{}0,1M =，{}221,N N y x y x =+=∈，则,M N 之间的关系是（） A.M N = B.M N ⊂≠ C.N M ⊂≠ D.不确定4.下列5个写法：①{0}∈{0,1}；②{}0⊂∅≠；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}. 其中错误的个数是（）A.2B.3C.4D.55.已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊂≠，则m 的取值集合为（） A.{2}- B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D.12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6.满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合M 的个数为（） A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（每小题6分，共18分）7.用适当的符号填空：（1）{菱形}________ {平行四边形}； {等边三角形}________{等腰三角形 }. （2）∅________2{|20}x x ∈=＋R ； 0____{ 0 }；∅____{ 0 }；{ 0 } _____N .8.已知集合1,6A x x a a ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭＝Z ，123b B x x b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝＝－，Z ，126c C x x c ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝＝＋，Z ，则,,A B C 之间的关系是________．9.已知集合{}2,A x x x =∈ ≤R ,{},B x x a =≥ 且A B ⊆,则实数a 的取值集合是________．三、解答题（共46分）10．（8分）设集合A ＝{1，a ， b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数,a b 的值．11.（10分）若集合2{|60}M x x x ＝＋－＝，{|20}N x x x a ＝（－）（－）＝，且N M ⊆，求实数a 的值．12．（13分）设集合2{|560}A x x x ＝－＋＝， {}22(21)0B x x a x a a =-+++=，若B A ⊆，求a 的值.13．（15分）已知集合2{|3100}A x x x ＝－－≤. （1）若B A ⊆，{|121}B x m x m ＝＋－≤≤，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⊆，{|621}B x m x m ＝－－≤≤，求实数m 的取值范围；（3）若A B ＝，{|621}B x m x m ＝－－≤≤，求实数m 的取值范围．1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B版)得分：二、填空题7． 8． 9.三、解答题10．11．12．13．1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B 版)1.B 解析：空集只有一个子集，就是它本身.空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．2.A 解析：由题意知2,1a a b ⎧=⎨=-⎩或2,1,a b a ⎧=⎨=-⎩解得0,1a b =⎧⎨=-⎩（舍去）或1,1a b =⎧⎨=-⎩或1,1,a b =-⎧⎨=⎩故201320130a b += .3.B 解析:对于集合N ，先确定它的元素，然后判断其与集合M 的关系.由于{}221,N N y x y x =+=∈={}1,0,1-.故选B .4.B 解析：只有②③正确.5.D 解析：1,3,2M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（1）0;N m =∅⇒=（2）12;2N m ⎧⎫=-⇒=-⎨⎬⎩⎭（3）1{3}.3N m =⇒=∴ 12,0,.3m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭6.B 解析：因为集合M 真包含集合}3,2,1{，所以M 中一定有元素1，2，3，且除此之外至少还有一个元素.又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素.集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-. 7.≠⊂≠⊂ ＝ ∈ ≠⊂ ≠⊂8.A ≠⊂B ＝C 解析：用列举法寻找规律．9.{}2a a -≤ 解析：∵ {}{}2,22,A x x x x x =∈=- ≤≤≤R {},B x x a =≥且A B ⊆，∴2a -≤.10.解：∵ A ＝B 且1∈A ，∴ 1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素的互异性矛盾，∴ a ≠1. 若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍去)． ∴ A ＝{1，－1，b }，∴ B ＝{－1，1，－b }. ∴ b ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)．故a ＝－1，b ＝0即为所求．11.解：由2x ＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时N ≠⊂ M ；若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a }，此时N 不是M 的子集，故所求实数a 的值为2或－3.12.解:（方法一）A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}.由B ⊆A ，得B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}或B ＝{2，3}. 因为Δ＝（2a ＋1）2－4a 2－4a ＝1>0，所以B 必不为空集．当B ＝{2}时，需2a ＋1＝4和a 2＋a ＝4同时成立，此时不存在a 的值．当B ＝{3}时，需2a ＋1＝6和a 2＋a ＝9同时成立，此时不存在a 的值．当B ＝{2，3}时，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，此时a ＝2. 综上所述，a ＝2.（方法二） A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，B ＝{x |x 2－（2a ＋1）x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |（x －a ）（x －a －1）＝0}＝{a ，a ＋1}，因为a ≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.所以a ＝2.13.解：由2{|3100}A x x x ＝－－≤，得{|25}A x x ＝－≤≤.（1）∵ B ⊆A ，∴ ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ；②若B ≠∅，则121,21,21 5.m m m m +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≤解得23m ≤≤.由①②，得m 的取值范围是（－∞，3]．（2）若A ⊆B ，则依题意应有216,62,21 5.m m m m ->-⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥解得5,,m m m >-⎧⎪⎨⎪⎩≤4≥3.故34m ≤≤，∴ m 的取值范围是[3，4]．（3）若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅，即不存在m 值使得A ＝B .。

人教b版数学必修1同步练习-1.2.1 集合之间的关系含答案

1．下列各集合中，只有一个子集的集合为( )．A ．{x|x 2≤0}B ．{x|x 3≤0}C ．{x|x 2<0}D ．{x|x 3<0}2．满足条件{}a {},,,M a b c d ⊆的所有不同集合M 的个数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．93．已知{|M x R x =∈≥，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{}a M ；③a M ；④{a}∈M ，其中正确的是( )． A ．①② B ．④ C ．③ D ．①②④4．已知A ＝{x|x<－1，或x>2}，B ＝{x|4x ＋a<0}，当A ⊇B 时，实数a 的取值范围是( )．A ．a ≥4B ．a>4C ．a ≤4D ．a<45．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的是( )．A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M N ⋂=∅6．集合A ＝{a 2，－1，a 2＋1}有子集________个，真子集________个，非空子集________个．7．已知集合{}2(,)|21,R,R A a b a a a b ==-∈∈，1(1,)2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A________B.8．已知集合A ＝{x|0<x －a ≤5}，|62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A与B能否相等？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．9．已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B A，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集．10.已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x－a，a∈R，x∈A}，C＝{z|z ＝x2，x∈A}，是否存在实数a，使C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1. 答案：C解析：只有一个子集的集合是空集．2. 答案：B解析：满足条件的M 有：{a ，b}，{a ，c}，{a ，d}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}，{a ，c ，d}，{a ，b ，c ，d}．3. 答案：A解析：注意元素与集合关系和集合与集合关系的区别．4. 答案：A 解析：数形结合知，14a -≤-，∴a ≥4. 5. 答案：B解析：∵1|(21),4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|(2),4N x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭ ∴M N Ø.6. 答案：8 7 7解析：无论a 为何值，集合A 中一定有3个元素．7. 答案：＝解析：∵221a a =-，∴2(21)0a a +-=，即2(1)0a -=.∴a －1＝0，且2b －1＝0，解得a ＝1，且12b =，。

人教B版高中数学必修一《第一章集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.2 集合的运算》_6

集合的运算教学目标1、掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。

2、了解空集的含义与性质。

3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

4、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

知识梳理一、子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合B 。

记作:A B B A ⊇⊆或，读作：A 包含于B 或B 包含A 。

特别提醒：1、“A 是B 的子集”的含义是：集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，即由x A ∈，能推出x B ∈。

如：{}{}1,11,0,1,2-⊆-；{}{}⊆深圳人中国人。

2、当“A 不是B 的子集”时，我们记作：“()A B B A ⊆⊇//或”，读作：“A 不包含于B ，（或B 不包含A ）”。

如：{}{}1,2,31,3,4,5⊆/。

3、任何集合都是它本身的子集。

即对于任何一集合A ，它的任何一个元素都属于集合A 本身，记作A A ⊆。

4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有A ∅⊆。

5、在子集的定义中，不能理解为子集A 是集合B 中部分元素组成的集合。

因为若A =∅，则A 中不含有任何元素；若A =B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集。

二、集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A =B 。

特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证A B =，只需证A B ⊆与B A ⊆都成立即可。

三、真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。

人教新课标版数学高一B版必修1学案集合之间的关系

数学人教B 必修1第一章1.2.1 集合之间的关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．2．能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义． 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．1．集合之间的关系定义性质特殊规定(结论)子集一般地，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的____，记作____或____，读作“A ______B ”或“B ____A ”对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ____C根据子集的定义，任意一个集合A 都是______的子集，即________．空集是____________的子集．也就是说，对任意集合A ，都有____(其中A 也可能是)真子集如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的______，记作____或____，读作“A ________B ”或“B ______A ”对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，则A ____C 空集是____________的真子集，也就是说，对任意一个非空集合A ，都有___________相等一般地，如果集合A 的______元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的______元素也都是集合A 的元素，那么我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B如果A ⊆B ，又B ⊆A ，则____；反之，如果A ＝B ，则________ 对于元素较少的有限集，可以将集合中的元素全部列举出来，说明两个集合中的元素完全相同，从而得到两个集合相等．对于无限集，只需说明两个集合之间具有相互包含关系，就可以得到两个集合相等A ⊆B 包括AB 和A ＝B 两种情况．其中AB ，可形象地理解为B 中元素至少比A中元素多一个；而A ＝B ，可从A 的元素与B 的元素完全一样去理解．【做一做1－1】有下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【做一做1－2】已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．0【做一做1－3】集合{x∈Z|2 009≤x≤2 011}的真子集的个数为()A．3 B．6 C．7 D．82．维恩(Venn)图我们常用平面内一条____________来表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．如果集合A是集合B的______，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(如图所示)．【做一做2】如图所示，对于集合A，B，C，D的关系，描述正确的是()A．B⊆C B．D⊆AC．A B D．A C3．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B集合间的关系特征性质间的关系A⊆B ________A⊇B ________A＝B ________【做一做3】已知集合M＝{x|x＞2 011}，N＝{x|x≥a}，且x≥a⇒x＞2 011，则a满足的条件为__________．一、“∈”与“⊆”的区别与联系剖析：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系．从属关系(∈)一般只能用在元素与集合之间；包含关系(⊆，)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系．例如，表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－1∉N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等；但需要引起注意的是{}与∈{}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把看成集合{}中的元素来考虑．二、探索集合的子集个数问题剖析：由子集的定义可知：若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含以下两个方面：(1)A B；(2)A＝B．由以上知识，可以得到：若B＝{a}，则其子集可以是，{a}，即集合中若有1个元素，其子集个数为2；若B＝{a，b}，则其子集可以是，{a}，{b}，{a，b}，即集合中若有2个元素，其子集个数为4；若B＝{a，b，c}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即集合中若有3个元素，其子集的个数为8；若B＝{a，b，c，d}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}，即集合中若有4个元素，其子集的个数为16.综上所述，集合中的元素个数每增加1，其子集的个数变为原来的2倍，其对应关系为：元素个数子集数目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24由此可以猜测：若集合中有n个元素，则其子集的个数应为2n，其非空子集的个数为(2n －1)，其真子集的个数应为(2n－1)，其非空真子集的个数为(2n－2)．三、教材中的“思考与讨论”已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．剖析：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，则有p(x)⇒q(x)，即x∈A⇒x∈B，根据子集的定义有A⊆B．举例说明如下：A＝{x|x是6的约数}，B ＝{x|x是12的约数}，即集合A的特征性质p(x)是：x是6的约数；集合B的特征性质q(x)是：x是12的约数．而6的约数是1,2,3,6,12的约数是1,2,3,4,6,12，由此得知，“如果p(x)，那么q(x)”是真命题，则有“如果x是6的约数，那么x是12的约数”，即x∈A⇒x∈B，所以A⊆B．题型一子集、真子集的概念【例1】(2011·东北五校高一期末)有下列关系：①0∈{0}；②{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4反思：注重元素与集合、集合与集合间关系的判断的本质要求，判断时要注意看清楚集合是数集还是点集，更要注意空集的特殊性．题型二两个集合相等及其应用【例2】已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求a，b的值．分析：M＝N→列方程组→解方程组求a，b的值反思：由集合相等的概念不难得到，若两个有限集相等，则一定会具有以下性质：(1)两个集合的元素的个数相等；(2)两个集合的元素之和相等；(3)两个集合的元素之积相等．另外，在考虑两个集合相等时，还应注意到集合中元素的互异性．本题结果易出现含有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0这种情况的错误，导致该种错误的原因是忽视了集合中元素的互异性．题型三根据子集关系，确定参数的值【例3】设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠，B ⊆A ，求a ，b的值．分析：由B ≠，B ⊆A ，可见B 是A 的非空子集．而A 的非空子集有三个：{－1}，{1}，{－1,1}，所以B 要分三种情形讨论．反思：利用分类讨论的思想，考虑集合B 的所有可能的情况，这是处理集合与其子集之间关系的常用方法．另外，此题也可以利用根与系数的关系求解．此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件而考虑B ＝的情形．题型四集合关系与其特征性质之间的关系【例4】已知集合A ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈R }，B ＝{y |y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }，判断这两个集合之间的关系，并判断它们的特征性质之间的关系．分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得出其特征性质之间的关系．反思：集合关系与其特征性质之间的关系是必修1中新增添的内容，我们不仅可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系，还可以用集合特征性质之间的关系判断集合之间的关系，但要注意转化的等价性．题型五易错辨析【例5】集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 满足的条件；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数．错解：(1)由题意并结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.所以实数m 满足的条件是2≤m ≤3. (2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集的个数为28－1＝255.反思：空集是一种特殊的集合，也是集合运算中最活跃的一个集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B ⊆A 时，B 可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论．1已知集合A ＝{x ∈N ＋|－2 011＜x ＜2 012}，B ＝{x ∈Z |0≤x ≤2 011}，则集合A ，B 之间的关系为( )A．A＝B B．A B C．B A D．A⊃B2已知集合A＝{a}，C＝{a，b，c}，若A⊆B且B⊆C，则集合B的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a满足的条件是()A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤24已知集合A＝{2,9}，集合B＝{m2－m,9}，且A＝B，则实数m等于__________．5有下面5个命题：①空集没有子集；②任意集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠；⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中不正确命题的序号有__________．6已知集合A中元素的特征性质p(x)：x2－2x－3＝0，集合B中元素的特征性质q(x)：ax－1＝0，a∈R.若q(x)⇒p(x)，试求a的值．答案：基础知识·梳理1．子集A⊆B B⊇A包含于包含⊆它本身A⊆A任意一个集合⊆A真子集A B B A真包含于真包含任意一个非空集合A每一个每一个A＝B A⊆B，且B⊆A【做一做1－1】A①正确；②错误，应为{1}{0,1,2}；③正确，也可以写成{0,1,2}＝{0,1,2}；④正确．故选A.【做一做1－2】C【做一做1－3】C∵{x∈Z|2 009≤x≤2 011}＝{2 009，2 010，2 011}，集合中有3个元素，∴真子集个数为23－1＝7.2．封闭曲线的内部真子集【做一做2】D3．p(x)⇒q(x)q(x)⇒p(x)p(x)⇔q(x)【做一做3】a＞2 011∵x≥a⇒x＞2 011，∴N⊆M.∴a＞2 011.典型例题·领悟【例1】B根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；由空集是任意非空集合的真子集可知{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误；综上，应选B.【例2】解：根据集合中元素的互异性和M＝N，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0不符合要求，舍去，所以a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.【例3】解：由B ⊆A ，知B 中的所有元素都属于集合A . 又B ≠，故集合B 有三种情形：B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}．当B ＝{－1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1；当B ＝{－1,1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.综上所述，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.【例4】解：因为x ＝1＋a 2，a ∈R ，所以x ≥1. 因为y ＝a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1，a ∈R ，所以y ≥1，故A ＝{x |x ≥1}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ＝B . 故它们的特征性质之间的关系为： x ＝1＋a 2，a ∈R ⇔y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R . 【例5】错因分析：(1)中忽略了B ＝时的情形；(2)中误认为是求A 的真子集或A 的非空子集的个数．正解：(1)①当B ＝时，⊆A ，符合题意，此时m ＋1＞2m －1，解得m ＜2.②当B ≠时，由题意结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m≤3.综合①②，可知m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.随堂练习·巩固1．B2．D∵A⊆B⊆C，∴B可能为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}．∴满足条件的集合B的个数是4.3．A结合数轴(如下图)，∵A⊆B，∴a≥2.4．－1或2∵A＝B，∴m2－m＝2，解得m＝－1或2.5．①②③⑤①错误，因为空集是任意一个集合的子集；②错误，因为空集只有一个子集；③错误，因为空集是任意一个非空集合的真子集，空集并不是它本身的真子集；④正确；⑤错误，因为其叙述不符合子集的定义，若A⊆B，则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素．6．解：∵q(x)⇒p(x)，∴B⊆A.又A＝{－1,3}，∴结合方程ax－1＝0，a∈R的特点有B＝或{－1}或{3}．当B＝时，a＝0；当B＝{－1}时，1a＝－1，即a＝－1；当B＝{3}时，1a ＝3，即a＝13.综上可知，a的值为0或－1或13.。

人教B版高中数学必修一《第一章集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系》_19

1.2.1集合之间的关系一、教材分析本小节内容是在《集合的含义与表示》的基础上进一步学习集合的相关知识，是下一节学习《集合间的基本运算》的基础，起着承上启下的作用。

本小节是概念课，重视教学过程，因此我选择问题式教学的教学方法。

由具体到抽象，由特殊到一般，帮助学生逐步理清概念。

一）、教学目标知识与技能:1.记忆子集、真子集、两个集合相等的概念,2.能利用Venn图表达集合间的关系，3.会求已知集合的子集、真子集。

4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来。

5.在具体情境中，理解空集含义。

过程与方法:1.通过类比实数间的关系，研究集合间的关系，培养学生类比、观察的能力。

2.初步经历用集合语言描述集合对象的过程，培养学生用数学语言进行交流的能力。

情感态度与价值观:1.激发学生学习的兴趣，图形、符号所带来的魅力。

2.感悟数学知识间的联系，养成良好的思维习惯及数学品质。

二）、教学重难点教学重点：子集的概念教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别三）、教学方法自主探究、合作交流二、学情分析授课对象是县城高中普通班高一学生。

本节课是学生进入高中的第三节数学课，学生已经学习了集合的概念，初步掌握了集合的两种表示法，对于本节课的学习有了一定的认知基础。

但是，本节课类比实数关系研究集合间的关系，这种类比学习对于学生来说有一定的难度。

从具体实例中抽象出集合关系本质并用集合语言描述出来对于学生是一个很大的挑战。

三、教学过程一）、知识链接1.已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b.2.若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？3.方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？二）、预习导引1.集合相等、子集、真子集的概念(1)集合相等：①定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.②符号表示：A＝B.③图形表示：(2)子集①定义：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.②符号表示：A⊆B或B⊇A.③图形表示：或(3)真子集①定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A 叫做集合B的真子集.②符号表示：A B或B A.③图形表示：2.集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B3.∅(1)∅是任意一个集合的子集；(2)∅是任意一个非空集合的真子集.三）、课堂讲义要点一有限集合的子集确定问题例1写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集.解由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}.由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集.规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.跟踪演练1已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.解当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.要点二集合间关系的判定例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.规律方法对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.跟踪演练2 集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合A 和B 的关系.解 A ＝{－3,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－72. ∵－3＞－72，2＞－72， ∴－3∈B,2∈B ∴A ⊆B又0∈B ，但0∉A ，∴A B .要点三由集合间的关系求参数范围问题例3 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围.解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得{m |m ≥－1}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.跟踪演练3 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}.(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围.解 (1)若A B ，由图可知a ＞2.(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.四）、当堂检测1.集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N }的真子集的个数为( )A.4B.7C.8D.16答案 B解析可知A ＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}.共有23－1＝7(个).2.设集合M ＝{x |x ＞－2}，则下列选项正确的是( )A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M答案 A解析选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.3.已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的V enn 图是( )答案 C解析 M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴N M .4.已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________.答案－1解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1.5.已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________.答案{a|a≤1 4}解析∵∅{x|x2－x＋a＝0}. ∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅.即x2－x＋a＝0有实根.∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤1 4.五）、课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.。

人教B版高中数学必修一《第一章集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系》_0

+ §1.2.1集合之间的关系目标重点：子集的概念目标难点：元素与子集、属于与包含之间的区别【预习自学】 1：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中______一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫作集合B 的________，记作_____或______（读作：A 包含于B 或B 包含A ）注（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”.（3）空集∅是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；(4) 易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅子集的维恩图表示法2Q 的元素，那么____________，或___________,分别记作_________或_________3：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的______，记作：_______或________，读作A 真包含于B 或B 真包含A .真子集的维恩图表示法注：（1）空集是任何非空集合的真子集。

（2）判定A 是B 的真子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在00x B x A ∈⇒∉”；A=BΦA4、含n 个元素的集合A 的子集个数为________，真子集个数为___________，非空真子集个数为__________.5：对于两个集合A 与B ，如果_________________,反过来，____________________就说___________，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；注：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；（2）A B ⊆且B A ⊆⇔A=BC A6、集合关系的传递性：A B ⊆，B C ⊆⇒A C ⊆； A B,B C ⇒A C7、集合关系与其特征性质之间的关系一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，如果_______，则x A x B ∈⇒∈.于是x 具有性质p(x)⇒x 具有性质q （x ），即______,反之，如果______,则A 一定是B 的子集。

人教B版数学高一版必修1集合之间的关系(1)

课后训练1．集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }的子集的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．62．若集合P ＝{x |x ＜4}，Q ＝{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }，则( )A ．Q ∈PB ．Q PC ．P QD ．P ＝Q3．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，那么集合M ，P 之间的关系为( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P4．有六个关系式：①{a ，b }{a ，b }；②{a ，b }＝{b ，a }；③{0}；④0∈{0}；⑤∈{0}；⑥＝{0}．其中正确的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．小于45．非空集合S {1,2,3,4,5}，且满足“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”，这样的S 共有( )A ．6个B ．7个C ．16个D ．17个6．已知A ＝{a,0，－1}，11B c b a b ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭，，，且A ＝B ，则a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.7．下图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A ，B ，C ，D ，E 分别代表的图形的集合为____________________．8．设S 为实数集R 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{3a b +|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T R 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是______．(写出所有真命题的序号)9．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜4－m }，且B A ，求实数m 应满足的条件．10．集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0，x ∈R }，Q ＝{x |(x ＋1)·(x 2＋3x －4)＝0，x ∈R }．(1)若b ＝4，存在集合M 使得P M Q ，求出这样的集合M .(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求b 的取值或取值范围；若不能，请说明理由．参考答案 1. 答案：B ∵x ∈N ，n ∈N ，∴x ＝5－2n 的值为5,3或1.∴集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }＝{1,3,5}．∴其子集的个数是23＝8.2. 答案：B ∵Q ＝{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }＝{－1,0,1}，P ＝{x |x ＜4}，∴Q P .3. 答案：C 集合M 和集合P 中的元素是点，满足x ＋y ＜0，xy ＞0的点在第三象限，同时满足x ＜0，y ＜0的点也为第三象限的点，所以集合M 和集合P 中的元素都为第三象限内的点，因此M ＝P .4. 答案：C ①②③④都正确；⑤⑥错误，应改为{0}．故选C.5. 答案：B 由题意知S 是{1,2,3,4,5}的子集．又由“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”可知S ＝{1,5}或{2,4}或{3}或{1,3,5}或{2,3,4}或{1,2,4,5}或{1,2,3,4,5}，共7种情况．故选B.6. 答案：1 －2 2 由A ＝B ，可知b ＋c ＝0，a ＝1，11a b=-+，解得a ＝1，b ＝－2，c ＝2.7. 答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．8. 答案：①② 对于①，取x ＝a 1＋b 13，y ＝a 2＋b 23，a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ，则x ＋y ＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3，且a 1＋a 2∈Z ，b 1＋b 2∈Z ，所以x ＋y ∈S ；又x －y ＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)3，且a 1－a 2∈Z ，b 1－b 2∈Z ，所以x －y ∈S ；同理xy ＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3，而a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ，所以xy ∈S ，故①为真命题；当x ＝y 时，有0∈S ，故②为真命题；当S ＝{0}时，S 为封闭集，故③为假命题；对于④，若S ＝{a ＋b 3|a ，b ∈Z }，T 中有元素a ＋b 3(a ，b ∈Z )，3，S 为封闭集，但T 不为封闭集，故④为假命题．9. 答案：分析：集合B 是关于x 的不等式m ＜x ＜4－m 的解集，需要对集合B 是否为空集分类讨论．解：∵B A ，∴B ＝或B ≠.当B ＝时，A ，满足题意，则有m ≥4－m ，此时m ≥2；当B ≠时，则有4,0,43,m m m m <-⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩解得1≤m ＜2.综上，实数m 满足的条件是1≤m ＜2或m ≥2，即m ≥1.10. 答案：分析：第(1)问要求的集合M 有两个限制条件：P M 且M Q ，可用列举法写出集合M ；第(2)问实质是一个存在性问题，解决这类问题的一般方法是先假设存在性成立，然后从已知出发，进行运算化简或推理论证，若出现矛盾，则存在性不成立，否则存在性成立．解：(1)当b＝4时，方程x2－3x＋b＝0的判别式∆＝(－3)2－4×1×4＜0，故P＝，而Q＝{－4，－1,1}．由P M Q知M应是一个非空集合且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}．(2)①当P＝时，P显然是Q的一个子集，此时∆＝9－4b＜0，∴94 b>.②当P≠时，Q＝{－4，－1,1}，可以通过假设存在性成立，逐一验证来判断b的取值．当－1∈P时，(－1)2－3×(－1)＋b＝0，∴b＝－4，∴P＝{x|x2－3x－4＝0}＝{4，－1}，∵4Q，∴P不是Q的子集；当－4∈P时，b＝－28，P＝{7，－4}，也不是Q的子集；当1∈P时，b＝2，P＝{1,2}，也不是Q的子集．综上可知，b的取值范围是{b|b＞94 }．。

人教B版数学高一版必修1集合之间的关系

课后训练基础巩固1．有下列关系：①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合M ＝{1}，N ＝{1,2,3}，则有( )A ．M ＜NB ．M ∈NC ．N ⊆MD ．M N3．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，那么集合M ，P 之间的关系为( )A ．P ⊆MB ．M ⊆PC ．M ＝PD ．M P4．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R }，且∅M ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥15．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的维恩(Venn)图是( )6．非空集合S ⊆{1,2,3,4,5}，且满足“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”，这样的S 共有( )A ．6个B ．7个C ．16个D ．17个7．已知集合A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝__________.8．已知集合1==,42k M x x k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1==,24k N x x k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 与N 的关系是__________．能力提升9．试写出满足条件∅M {0,1,2}的集合M .10．已知集合M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．11．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{1,2}，A ⊆B ，求实数a 组成的集合．12．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3＜x ＜5}，求能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围．13．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A＝{2,3,4}时，x的值；(2)使2∈B，B A时，a，x的值；(3)使B＝C时，a，x的值．参考答案 1．B 点拨：根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；由空集是任意非空集合的真子集可知∅{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点的坐标，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a ，b )}＝{(b ，a )}不一定成立，故④错误；综上，应选B.2．D3．C 点拨：集合M 和集合P 中的元素是点，满足x ＋y ＜0，xy ＞0的点在第三象限，同时满足x ＜0，y ＜0的点也为第三象限的点，所以集合M 和集合P 中的元素都为第三象限的点，因此M ＝P .4．C 点拨：∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根，即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1. 5．B 点拨：由N ＝{x |x 2＋x ＝0}，得N ＝{－1,0}．∵M ＝{－1,0,1}，∴N M .6．B 点拨：由题意知S 是{1,2,3,4,5}的子集．又由“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”可知S ＝{1,5}或{2,4}或{3}或{1,3,5}或{2,3,4}或{1,2,4,5}或{1,2,3,4,5}，共7种情况．故选B.7．4 点拨：∵B ⊆A ，∴4∈{－1,3，m }，∴m ＝4.8．M N 点拨：∵112=424k k ++，12=244k k ++，其中k ∈Z ， ∴12==,4k M x x k ⎧+⎫∈⎨⎬⎩⎭Z ，2==,4k N x x k ⎧+⎫∈⎨⎬⎩⎭Z . 由于1＋2k 是奇数，k ＋2是整数，故M N .9．解：由∅M {0,1,2}，知M ≠∅，且M ≠{0,1,2}．所以集合M 可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．10．解：∵M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，∴2=2,=a a b b ⎧⎨⎩或2=,=2.a b b a ⎧⎨⎩ 解方程组得=0,=0a b ⎧⎨⎩或=0,=1a b ⎧⎨⎩或1=,41=.2a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 根据集合中元素的互异性，得=0,=1a b ⎧⎨⎩或1=,41=.2a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 11．解：当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .当a ≠0时，由ax ＝1，得1=x a. 又B ＝{1,2}，A ⊆B ，所以1=1a 或1=2a. 所以a ＝1或1=2a . 综上得，a 的集合是10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.12．解：由于A ⊇B ，画出符合题目条件的数轴如图所示：故即3≤a ≤4.13．解：(1)∵A ＝{2,3,4}，∴x 2－5x ＋9＝3.∴x 2－5x ＋6＝0.∴x ＝2或x ＝3. (2)∵2∈B ，且B A ，∴22=2,59=3.x ax a x x ⎧++⎨-+⎩∴=2,2=3x a ⎧⎪⎨-⎪⎩或=3,7=,4x a ⎧⎪⎨-⎪⎩均符合题意． ∴2=3a -，x ＝2或7=4a -，x ＝3. (3)∵B ＝C ，∴22=1(1)3=3x ax a x a x ⎧++⎨++-⎩，①，②①－②并整理，得a ＝x －5.③③代入①并化简，得x 2－2x －3＝0，∴x ＝3或x ＝－1.∴a ＝－2或a ＝－6.又a ＝－2，x ＝3或a ＝－6，x ＝－1，均符合题意， ∴a ＝－2，x ＝3或a ＝－6，x ＝－1.。

人教B版数学高一版必修1同步测控1.2集合之间的关系与运算

同步测控我夯基,我达标1.集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )A.16B.8C.7D.4解析：根据集合A中所含元素的个数来判断.A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个,故选C.答案：C2.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为( )A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.{3,-1}D.{(3,-1)}解析：首先搞清M、N中元素是点,M∩N首先是集合,并且其中元素也是点,即可选D项.答案：D3.已知集合A={0,1},B={y|x2+y2=1,x∈A},则…()A.A=BB.A BC.B AD.B⊆A解析：∵x∈A,∴x=0或x=1.又∵x2+y2=1,∴x=0,y=±1或x=1,y=0.∴B={-1,0,1}.∴A B.故选B.答案：B4.满足条件{1,2}⊆A{1,2,3,4}的集合A的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：∵{1,2}⊆A{1,2,3,4},∴A中至少有1、2两个元素,至多有1、2、3(4)三个元素.∴集合A可能有三种情况:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.∴集合A的个数是3.故选C.答案：C5.设M={x|x=a2+1,a∈N*},P={y|y=b2-4b+5,b∈N*},则下列关系正确的是( )A.M=PB.M PC.P MD.M∩P=∅解析：∵a∈N*,∴x=a2+1=2,5,10,….∵b∈N*,∴y=b2-4b+5=(b-2)2+1=1,2,5,10,….∴M P.故选B.答案：B6.下列各组中的两个集合P和Q,表示同一集合的是( )-|} B.P={π},Q={3.141 59}A.P={1,3,π},Q={π,1,|3C.P={2,3},Q={(2,3)}D.P={x|-1<x≤1,x∈N},Q={1}解析：只要两个集合的元素完全相同,这两个集合就表示同一集合.{π,1,|-3|}={π,1,3}={1,3,π},所以A正确;由于π≠3.141 59,所以B错误;集合{2,3}中的元素是实数,而集合{(2,3)}中的元素是点,所以C错误;集合{x|-1<x≤1,x∈N}={0,1},所以D错误.答案：A7.设集合A={-3,0,1},B={t2-t+1}.若A∪B=A,则t=___________.解析：由A∪B=A,知B⊆A,∴t2-t+1=-3,或t2-t+1=0,或t2-t+1=1,前2个方程无解;第3个解得t=0或t=1.答案：0或18.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x>a},且满足A∩B=∅,则实数a 的取值范围是__________. 解析：借助于数轴求得.画出数轴得a≥1. 答案：a≥19.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个？分析:将这200个数分为满足题设条件和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,所以可考虑用扣除法. 解：如图,先画出Venn 图如下,其中2的倍数的数有100个;3的倍数的数有66个;5的倍数的数有40个;既是2的倍数,又是5的倍数的数有20个;既是2的倍数,又是3的倍数的数有33个;既是3的倍数,又是5的倍数的数有13个;既是2的倍数,又是3的倍数,还是5的倍数的数有6个. 所以不符合条件的数共有100+66+40-20-33-13+6=146.所以,既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的数共有200-146=54(个). 10.已知集合P={a,a+d,a+2d},Q={a,aq,aq 2},其中a≠0,且P=Q,求q 的值.分析:本题是以集合P=Q 为载体,列方程求未知数的值的问题,而集合中的元素具有无序性,由P=Q 知,第一个集合中的元素a 不可能与后面元素中的任何一个元素相等,再看第一个集合中的元素a+d,其不可能与第二个集合中的元素a 相等,除此以外,可能的对应情况为⎩⎨⎧=+=+2aq 2d a aq,d a 或⎩⎨⎧=+=+aq.2d a ,aq d a 2解方程组,得出解后验证可得正确结论. 解：由P=Q,假设)2()1(,aq 2d a aq,d a 2⎩⎨⎧=+=+ ②-①,得d=aq(q-1),代入①得a+aq(q-1)=aq.∵a≠0,∴方程可化为(q-1)2=0,解得q=1. 于是a=aq=aq 2,与集合中元素的互异性相矛盾,故只能是⎩⎨⎧=+=+aq,2d a ,aq d a 2解得q=21-或q=1. 经检验q=1不符合要求,舍去.∴q=21-. 我综合,我发展11.(2006江苏高考,7)若A 、B 、C 为三个集合,A ∪B=B∩C,则一定有( )A.A ⊆CB.C ⊆AC.A≠CD.A=∅ 解析：因为A ⊆A ∪B 且C∩B ⊆C,A ∪B=C∩B,由此得A ⊆C.答案：A12.同时满足(1)M ⊆{1,2,3,4,5},(2)若a ∈M,则6-a ∈M 的非空集合M 有( ) A.32个 B.15个 C.7个 D.6个解析：∵M ⊆{1,2,3,4,5},a ∈M,则6-a ∈M,∴1、5应同属于M,2、4也应同属于M,3可单独出现.∴集合M 的情况有七种:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.故选C. 答案：C13.集合M={x|x=m+61,m ∈Z },N={x|x=312-n ,n ∈Z},P={x|x=2p +61,p ∈Z },则M 、N 、P 之间的关系是( )A.M=N PB.M N=PC.M NP D.NP=M解析：思路一:可简单列举集合中的元素. 思路二:从判断元素的共性和差异入手.M={x|x=616+m ,m ∈Z }, N={x|x=623-n =61)1(3+-n ,n ∈Z },P={x|x=613+p ,p ∈Z }.由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数, 而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P. 答案：B14.定义集合A *B={x|x ∈A 且x ∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则 (1)A *B 的子集为__________;(2)A *(A *B)=__________.解析：(1)A *B={1,7},其子集为∅,{1},{7},{1,7}.(2)A *(A *B)={3,5}.答案：(1)∅,{1},{7},{1,7} (2){3,5}15.某车间有120人,其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人,两车都乘的18人,求: (1)只乘电车的人数; (2)不乘电车的人数; (3)乘车的人数; (4)不乘车的人数; (5)只乘一种车的人数.分析:解题的关键是把文字语言转化为集合语言,借助于Venn 图的直观性把它表示出来,再求解.解：根据题意,画出Venn 图如图所示:由图,可知(1)只乘电车的人数为66人;(2)不乘电车的人数为120-84=36人;(3)乘车的人数为84+14=98人;(4)不乘车的人数为120-98=22人;(5)只乘一种车的人数为66+14=80人. 16.设I={1,2,3,…,9},已知:(1)(A)∩B={3,7}, (2)(B)∩A={2,8},(3)(A)∩(B)={1,5,6},求集合A 和B.分析:通常的题目是首先给出集合,然后求集合的交、并、补等运算结果.本题恰恰相反,先给出了集合A 、B 的运算结果,然后要求求集合A 、B.可以借助Venn 图把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A 、B 了.解：用Venn 图表示集合I 、A 、B 的关系,如图所示的有关区域分别表示集合A∩B,(A)∩B,A∩(B),(A)∩(B),并填上相应的元素,可得A={2,4,8,9},B={3,4,7,9}.我创新,我超越17.设集合M={x|m≤x≤m+43},N={x|n 31≤x≤n},且M 、N 都是{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N 的“长度”的最小值.分析:吃透定义是解决定义型创新题目的关键,本题所谓“长度”定义就是闭区间表示在数轴上两端点数据之差的绝对值的大小,也可以看作是闭区间表示在数轴上两端点的距离大小.解：由已知可知集合M 的“长度”为43,集合N 的“长度”为31.若使集合M∩N 的“长度”最小,则集合M 与N 的公共部分就要最少.如图,当集合M 的左端点与0重合,螻的右端点与1重合时,使集合M 与N 的公共部分达到最少,即集合M∩N 的“长度”的最小值是43+31-1=121. 18.向50名学生调查对A 、B 两事件的态度,有如下结果:赞成A 的人数是全体人数的53,其余的不赞成;赞成B 的比赞成A 的人数多3人,其余的不赞成;另外对A 、B 都不赞成的学生人数比对A 、B 都赞成的学生人数的31多1人,问A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？分析:解题的关键是把文字语言转化成集合语言,借助于维恩图的直观性把它表示出来,再根据集合中元素的互异性求出问题的解.解：如图所示,设50名学生为全集U,所以赞成A 的人数为50×53=30,赞成B 的人数为30+3=33人,设对A 、B 都赞成的学生人数为x,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x+1,则赞成A 不赞成B 的人数为30-x,赞成B 而不赞成A 的人数为33-x,所以由题意,得 (30-x)+(33-x)+x+3x +1=50.∴x=21,3x+1=8. 所以对A 、B 都赞成的人数为21人,对A 、B 都不赞成的有8人.19.已知三个集合E={x|x 2-3x+2=0},F={x|x 2-ax+(a-1)=0},G={x|x 2-3x+b=0}.问:同时满足FE,G ⊆E 的实数a 和b 是否存在?若存在,分别求出a 、b 所有值的集合;若不存在,请说明理由.分析:将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系,从而求得a 、b 的值. 解：(1)由已知,得E={1,2},又∵F E,∴F=∅或{1}或{2}. ①当F=∅时,即方程x 2-ax+(a-1)=0无解. ∴Δ=a 2-4(a-1)<0,即(a-2)2<0,无解.∴F 不可能为∅,即F≠∅.②当F={1}时,即方程x 2-ax+(a-1)=0有两相等的实根1,由根与系数的关系,知⎩⎨⎧=⨯=+ 1.-a 11-(-a),11∴a=2,即a=2时,F E.③当F={2}时,即方程x 2-ax+(a-1)=0有两相等的实根2. 由根与系数的关系,知⎩⎨⎧=⨯=+ 1.-a 22-(-a),22∴⎩⎨⎧==5.a 4,a ∴a 无解,即不存在a 的值使F E.综上,a=2时,F E.(2)当G ⊆E 且E={1,2}时,G=∅或{1}或{2}或{1,2}. ①当G=∅时,即方程x 2-3x+b=0无解. ∴Δ=9-4b<0.∴b>49,此时G E. ②当G={1}时,即方程x 2-3x+b=0有两相等的根1. 由根与系数的关系,知⎩⎨⎧=⨯=+b,113,11矛盾.③当G={2}时,同理,矛盾.④当G={1,2}时,即方程x 2-3x+b=0有两异根为1、2. 由根与系数的关系,知⎩⎨⎧=⨯=+ b.213,21∴b=2.综上,知b=2或b>49时,G ⊆E. 综合(1)(2),知同时满足FE,G ⊆E 的a 、b 的值存在,为a=2,b=2或b>49. 适合条件的a 、b 集合分别为{2}、{b|b=2或b>49}.。

人教B版高中数学必修一学第一章集合之间的关系讲解与例题

1.2.1 集合之间的关系1．子集一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.读作“A包含于B”，或“B包含A”．理解子集的定义要注意以下七点：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.例如：{1,2,3}⊆N，N⊆R，{x|x为山东人}⊆{x|x为中国人}等．(2)当集合A中存在着不是集合B的元素，我们就说A不是B的子集，记作“A B”(或B A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)．例如：A＝{1,2,3}不是B＝{2,3,4,5,6}的子集，因为集合A中的元素1不是集合B中的元素．(3)任意一个集合是它本身的子集．因为对于任意一个集合A，它的任意一个元素都属于集合A本身，记作A⊆A.例如：{1,5}⊆{1,5}等．(4)空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A，都有∅⊆A.(5)在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合．因为若A ＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．但在这两种情况下集合A都是集合B的子集．(6)包含关系具有传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(7)写集合的所有子集时，注意按一定顺序写出，避免遗漏和重复．【例1】已知集合M＝{0,1}，集合N＝{0,2,1－m}，若M⊆N，则实数m＝__________.解析：∵M⊆N，M＝{0,1}，∴1∈N.∴1－m＝1，即m＝0.答案：0点技巧有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到．2．真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作A B或B A，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”．例如：{1}{1,2,3}．关于真子集注意以下四点：(1)空集是任何非空集合的真子集．(2)对于集合A，B，C，若A B，B C，则A C.(3)任何集合都一定有子集，但是不一定有真子集，空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1，即少了它本身．(4)由真子集的定义可知，集合A中的任何一个元素必定是集合B中的一个元素；但集合B中的元素，至少有一个不属于A.要证明“A B”，应先证明A⊆B，再证明B中至少有一个元素a，使得a∉A即可．例如，已知集合A＝{a，b}，集合B＝{a，b，c，d}，试判断集合A，B的真包含关系．显然A⊆B，又因为B中存在一个元素c，而c∉A，所以A B.【例2】下列命题：①空集没有子集；②任一集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅，其中正确的有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：对于①，空集是任何集合的子集，故∅⊆∅，即①不正确；对于②，∅只有一个子集，是其自身，即②不正确；对于③，空集不是空集的真子集，即③不正确；对于④，空集是任何非空集合的真子集，即④正确．答案：B谈重点对真子集的理解(1)若集合A是集合B的真子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A；(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的，若集合A不是集合B的子集，则A一定不是B的真子集；(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集．3．维恩图在数学中，常用平面内一条封闭曲线的内部．．表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．比如，中国的直辖市组成的集合为A，用维恩图表示，如图所示．【例3】如图，下面对集合A，B，C，D的关系描述正确的是( )A．B⊆C B．D⊆AC．A B D．A C解析：由题图易知A C D，B D.答案：D谈重点对Venn图的理解(1)Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制．(2)Venn图也是集合的表示方法之一．4．集合相等一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.谈重点对集合相等的理解1．A＝B⇔A⊆B，且B⊆A，这是证明两个集合相等的重要依据；2．集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．【例4－1】下列集合P＝Q的是( )A．P＝{1,4,7}，Q＝{1,4,6}B．P＝{x|2x＋2＝0}，Q＝{－1}C．3∈P,3∈QD．P⊆Q解析：对于A,7∈P，而7∉Q，故P≠Q；对于B，P＝{x|2x＋2＝0}＝{－1}＝Q；对于C，由3∈P,3∈Q，不能确定P⊆Q，Q⊆P是否同时成立；对于D，仅由P⊆Q无法确定P与Q是否相等．答案：B【例4－2】已知A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .分析：由A ＝B 知，集合A ，B 中元素相同，故可列出a ，b 的两个方程组，从而解出a ，b 的值．要注意验证所得结果是否满足集合中元素的互异性．解：由集合相等的定义，得21=,=a b ab⎧⎨⎩①或21=,=.ab b a ⎧⎨⎩② 解①得=1,a b ⎧⎨∈⎩R 或=1,=0,a b -⎧⎨⎩解②得=1,=1.a b ⎧⎨⎩所以由集合中元素的互异性，知a ＝－1，b ＝0.5．集合关系与其特征性质之间的关系设A ＝{x |p (x集合间的关系特征性质间的关系A ⊆B p (x )⇒q (x ) A ⊇B q (x )⇒p (x ) A ＝B p (x ) ⇔q (x )【例5R }，判断这两个集合之间的关系，并判断它们的特征性质之间的关系．分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得出其特征性质之间的关系．解：因为x ＝1＋a 2(a ∈R )，所以x ≥1.因为y ＝a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1(a ∈R )，所以y ≥1，故A ＝{x |x ≥1}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ＝B .故它们的特征性质之间的关系为x ＝1＋a 2(a ∈R )⇔y ＝a 2－4a ＋5(a ∈R )．6．集合间的关系判断(1)两个集合A ，B 间的基本关系如下，⎩⎪⎨⎪⎧包含：A ⊆B (或B ⊆A )⎩⎨⎧A ＝B ，A B (或B A ).互不包含：A B ，且B A .(2)判断两个集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言、图形语言来表示集合．(3)对于用列举法给出的集合，只需要观察其中一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间的关系，即可得到集合间的关系；对于用描述法给出的集合，首先要分析元素的特征性质，确定了集合中的元素后，再分析一个集合中的元素与另一个集合中的元素的关系，从而确定这两个集合间的关系．因此，判断集合间的关系通常转化为判断元素与元素间的关系． (4)当M ⊆N 和M N 均成立时，M N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M 和N 的关系．当M ⊆N 和M ＝N 均成立时，M ＝N 比M ⊆N 更准确地反映了集合M 和N 的关系．(5)两种常用的判断集合之间关系的方法： ①对比集合中的元素；②利用数轴比较范围．【例6】已知集合1==,6M x x m m ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1==,23n N x x n ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭Z ，则集合M ，N 的关系是( )A ．M ⊆NB ．M NC ．N ⊆MD ．NM解析：设n ＝2m 或2m ＋1(m ∈Z )，则有21211===2323m m N x x x m ⎧+⎫--∈⎨⎬⎩⎭Z 或，＝11==36x x m x m m ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，.又∵1==6M x x m m ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，∴MN .答案：B【变式题】已知集合1==6A x x a a ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1==23b B x x b ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1==26c C x x c ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则A ，B ，C 满足的关系是( )A ．A ＝BC B ．A B ＝C C ．A B CD ．B C A解析：判断集合中元素的共性与差异．61==6a A x x a ⎧+⎫∈⎨⎬⎩⎭Z ，，32==6b B x x b ⎧-⎫∈⎨⎬⎩⎭Z ，，31==6c C x x c ⎧+⎫∈⎨⎬⎩⎭Z ，，因为323(1)1=66b b --+，而(b －1)∈Z ，即3(b －1)＋1与3c ＋1都表示被3除余1的数，而6a ＋1表示被6除余1的数，所以A B ＝C .答案：B7．求已知集合的子集(或真子集)(1)写一个集合的子集时，可按子集中元素的个数多少分类写出，注意要做到不重不漏． (2)n 个元素的集合，其子集、真子集的个数讨论： ①∅的子集只有1个． ②{a }的子集有2个． ③{a ，b }的子集有4个． ④{a ，b ，c }的子集有8个． ……含有．．n ·个元素的集合．．．．．．M ．·有．2n ·个子集，有．．．．．(2．．n ．－．1)．．个非空子集，有．．．．．．．(2n －1·)个真子集．．．．，有．(2n －2·)个非空真子集．．．．．．．．【例7－1】若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a ＝__________. 解析：有且仅有两个子集，则集合A 必为单元素集，否则不符合题意．当a －1＝0时，2=3A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，符合题意；当a －1≠0时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0，得1=8a -.综上可知，a ＝1或18-.答案：1或1 8 -【例7－2】设集合A＝{a，b，c}，B＝{T|T⊆A}，求集合B.解：∵A＝{a，b，c}，又T⊆A，∴T可能为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．∴B＝{∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}．8．集合间的基本关系与方程的交汇问题集合间的基本关系与方程的交汇问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围．解决此类问题应注意：(1)要明确表示方程解的集合中哪个字母是方程中的未知数．集合{x|f(x)＝0}表示关于x 的方程的解集，x是未知数，其他字母是常数．例如集合{x|mx2－x＋23＝0}表示关于x的方程mx2－x＋23＝0的解集，其中x是未知数，m是常数．此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中参数m的取值．当m＝0时，该方程为－x＋23＝0，它是一元一次方程；当m≠0时，该方程mx2－x＋23＝0才是关于x的一元二次方程．(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是A⊆B的含义．当B≠∅时，对于A⊆B，通常要分A＝∅和A≠∅两种情况进行讨论，此时，容易忽视A＝∅的情况．辨误区对含参数的二次项系数进行讨论对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论．【例8】若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B⊆A，求m的值．分析：由于B⊆A，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x满足mx＋1＝0，又字母m的范围不明确，m是否为0题目中没有明示，因此要进行分类讨论．本题应弄清楚两个问题：一是集合B中有没有元素；二是集合B中有元素时，元素是什么？解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．因为B⊆A，所以方程mx＋1＝0的解可以是－3或2或无解．当mx＋1＝0的解为－3时，由－3m＋1＝0，得1 =3 m；当mx＋1＝0的解为2时，由2m＋1＝0，得1 =2 m-；当mx＋1＝0无解时，m＝0.综上可知，m的值为13或12-或0.【变式题】已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B⊆A？若存在求出集合A，B；若不存在，说明理由．解：设存在实数x，使B⊆A，则x＋2＝3或x＋2＝x2.当x＋2＝3时，即x＝1，此时A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，故x≠1.当x＋2＝x2时，即x2－x－2＝0，解得x＝－1，或x＝2.若x＝－1，则A＝{1,3,1}不满足元素的互异性，故x≠－1；若x＝2，则A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，显然有B⊆A.综上知：存在x＝2，使A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，满足B⊆A.9．集合间的基本关系与不等式的交汇问题集合间的基本关系与不等式的交汇问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解决此类问题应注意：(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数．集合{x|f(x)＞0}，{x|f(x)＜0}，{x|f(x)≥0}，{x|f(x)≤0}均表示关于x的不等式的解集，x是未知数，其他字母是常数．例如，集合{x|－nx＋3＜0}表示关于x的不等式－nx＋3＜0的解集，x是未知数，n是常数．这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中参数n的取值．当n＝0时，该不等式为3＜0，不是一元一次不等式；当n≠0时，该不等式才是关于x的一元一次不等式．(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如2＜3和3＜2都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m＋1＜x＜2m－1中m＋1＜2m－1一定成立．【例9】已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是用字母m表示的不等式，集合A给出的不等式在数轴上表示为－2到5的线段(去掉两个端点)，集合B给出的不等式，由于m＋1与2m－1的大小关系有两种情形：当m＋1≥2m－1时，B＝∅，所以B⊆A一定成立；。

人教B版高中数学必修一1.2 集合之间的关系与运算.doc

1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【目标要求】1．理解子集、真子集、两个集合相等概念。

2．会求已知集合的子集、真子集。

3．能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来。

【巩固教材——稳扎马步】 1．设P ＝{x ︱x≤8}, a=61, 则下列关系中，正确的是( )A ．a ⊆P B. a ∉P C. {a}∈P D. {a}⊂P2．六个关系式：(1){a, b}= { b, a }; (2) {a, b} ⊆{ b, a }; (3) {}φφ=;(4) {}0=φ;(5) {}0⊂φ; (6){}00∈其中正确的个数为 ( )A. 6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个及3个以下3．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列各式中，正确的是（）（A ）2}2{≤⊆x x （B ）{12<>x x x 且}（C ）{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠（D ）{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23} 【重难突破——重拳出击】5．集合｛1，2，3｝的子集共有（）A ．7个B ．8个C ．6个D ．5个6．若A ⊂B ，A ⊂C ，B ＝｛0，1，2，3｝，C ＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A 的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．57．集合{|1},{|},A x x B x x a =>=≥⊆且B A,则（） A ．1a >B ．1a <C ．1a ≥D ．1a ≤8．设集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（）A ．M =NB ．M ≠⊂NC ．N M ⊃D ．M ⊆N9．集合*6|,3A x Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法可以表示为（）Ａ．{}1,2,4,9 Ｂ．{}1,2,4,5,6,9 Ｃ．{}2,4,5,6,7,9 Ｄ．{}1,2,4,5,6,7,8 10．设13M xx⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，那么①0M ⊆，②M ∅⊆，③{0}M Ø，④N M ⊆，⑤13M ⎧⎫⎨⎬⎩⎭Ø，其中正确的命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．集合{}5,4,3,2,1=M 的真子集个数是（）A ．32B ．31C ．16D ．1512．设集合{}32|≤=x x M ，a x sin 11+=其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则下列关系中正确的是（）A ．a ≠⊂MB ．M a ∉C ．{}M a ∈D ．{}a ≠⊂M【巩固提高——登峰揽月】13．已知 {a}⊆A ⊆{a,b,c,d}，求所有满足条件的集合A.14．已知集合P= {x︱x2=1, x∈R }．集合Q＝{x︱ax=1 }，若Q⊆P ，求 a的值【课外拓展——超越自我】15．已知A⊆{1，2，3，4，5}，若a∈A，则6-a∈A 的非空集合A有多少个？写出这些集合来。

人教B版数学高一版必修1课后导练集合之间的关系

课后导练基础达标 1.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若∅A,则A≠∅.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析:只有④正确.答案:B2.集合{0}和∅的关系是( )A.{0}=∅B.∅∈{0}C.∅{0}D.0∅解析:空集是任何非空集合的真子集.答案:C3.设集合P={a,b,2},Q={2a,2,b 2},且P=Q,则a 、b 的值分别为( )A.a=0,b=1B.a=41,b=21 C.a=0,b=1或a=41,b=21 D.以上均不对解析:当⎩⎨⎧==2bb 2a,a 时,a=0,b=1; 当⎩⎨⎧==2ab ,b a 2时,a=41,b=21. 注意元素的互异性.答案:C4.已知集合A ⊆{2,3,9},且A 中至少有一个奇数,则这样的集合共有( )A.2个B.4个C.5个D.6个解析:A={2,3}或{2,9}或{3,9}或{3}或{9}或{2,3,9}.答案:D5.设集合M={x|x=2k +41,k ∈Z },N={x|x=4k +21,k ∈Z },则( ) A.M=N B.M N C.MN D.M ⊇N 解析:∵M 的元素x=2k +41=412+k ,而N 的元素x=4k +21=42+k , ∴M N.答案:C6.同时满足(1)M ⊆{1,2,3,4,5},(2)若a ∈M,则6-a ∈M 的非空集合M 有( )A.16个B.15个C.7个D.6个解析:1与5,2与4都成对出现在集合中,满足题意,3在集合中满足题意.答案:C7.(2006上海高考,文)已知集合A={-1,3,m},集合B={3,4},若B ⊆A,则实数m=_______. 答案:48.若A ⊆B,A ⊆C,B={0,1,2,3},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 为________.解析:∵A ⊆B 且A ⊆C,∴A 中最多含0、2两个元素.故A={0}或{2}或∅或{0,2}.答案:∅,{0},{2},{0,2}9.已知集合M={x|k+1≤x≤2k},N={x|1≤x≤3},且M ⊆N.求k 的取值范围.解析:若2k<k+1,即k<1时,M=∅⊆N,符合题意.若2k≥k+1,即k≥1时,由M ⊆N,则有⎩⎨⎧≥+≤,11,32k k 解得1≤k≤23. 由上述得k≤23. 1.0已知集合A={m,m+d,m+2d},集合B={m,mq,mq 2}且A=B,求q 的值.解析:由A 、B 有公共元素m,可能有⎩⎨⎧=+=+mq22d m mq,d m ① 或⎩⎨⎧=+=+mq,2d m mq2,d m ② 解①得q=1.解②得q=21-或q=1. 检验:q=1舍去(不符合互异性),故q=21-. 综合运用11.已知M={x|⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-≤x x c 61221620},N={x|a-2x≥2a -3x},且M ⊆N,则a 的取值范围是( ) A.a≤4 B.a≤-4 C.a<-4 D.a<4解析:M={x|-4≤x≤2},N={x|x≥a}.通过数轴可知a≤-4.答案:B12.对于集合M 、N,定义M-N={x|x ∈M,且x ∉N},M ⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={1,2,3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8,9,10},则A ⊕B 等于( )A.{4,5,6,7}B.{1,2,3,4,5,6,7}C.{4,5,6,7,8,9,10}D.{1,2,3,8,9,10}答案:D13.若集合P={x|x 2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S ⊆P.求由a 的可取值组成的集合.解析:由P={-3,2},当a=0时,S=∅,有S ⊆P.当a≠0时,方程ax+1=0的解为x=a1-,又S ⊆P,∴a 1-=-3或a1-=2, 即a=31或a=21-. 故所求集合为{0,31,21-}. 14.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},若B ⊆A,求实数m 的取值范围. 解析:当2m-1<m+1,即m<2时,B=∅,有B ⊆A.当2m-1≥m+1,即m≥2时,由B ⊆A,有⎩⎨⎧≤--≤+,512,21m m 解得2≤m≤3.由上述知m≤3.15.设集合A={1,3,a},B={1,a 2-a+1},且B A,求a 的值.解析:∵B A,∴a 2-a+1=3,①或a 2-a+1=a.② 由①解得a=-1或a=2.由②解得a=1.检验:a=1时,不适合.∴a=-1或a=2. 拓展探究16.设I=［-1,k ］(k>-1),若{y|y=x+1,x ∈I}={y|y=x 2,x ∈I},则k=________. 解析:设A={y|y=x+1,x ∈I},B={y|y=x 2,x ∈I}.当-1<k≤0时,A=［0,k+1］,B=［k 2,1］.由A=B,得k=0;当0<k≤1时,A=［0,k+1］,B=［0,1］.由A=B,得k=0(舍去);当k>1时,A=［0,k+1］,B=［0,k 2］.由A=B,得k=251+或251-(舍去). 综上,得k=0或251+. 答案:0或251+。

人教B版高中数学必修一1.2.1集合之间的关系.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是()A．16B．8C．7D．4[答案] C[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0,1,2}，∴真子集有7个．2．(2013～2014学年度重庆市重庆一中高一上学期期末测试)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝()A．1 B．0C．－2 D．－3[答案] C[解析]∵A⊆B，∴1∈B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.3．(2013～2014学年度福州文博中学高一上学期期中测试)下列命题正确的是()A．我校篮球水平较高的学生可以看成一个集合B．－1∈NC．∅⊆ND．∅∈Z[答案] C[解析]空集是任何集合的子集，故选C.4．设M＝{正方形}，T＝{矩形}，P＝{平行四边形}，H＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是()A ．M ⊆TB ．T ⊆PC ．P ⊆HD ．M ⊆P[答案] C[解析] 设U ＝{四边形}，则集合U 、M 、T 、P 、H 的关系用Venn 图表示为5．集合M ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则M 与T 的关系是( ) A ．MTB ．MTC ．M ＝TD ．M T[答案] A[解析] ∵M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，T ＝{－1,0,1}，∴M T ，故选A.6．满足{a ，b }⊆A {a ，b ，c ，d }的集合A 有________个( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ∵{a ，b }⊆A ，∴a ∈A ，b ∈A ，又∵A{a ，b ，c ，d }，∴c ，d 不能同时为集合A 的元素，∴A ＝{a ，b }、{a ，b ，c }、{a ，b ，d }共3个．二、填空题7．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1a ＋b ，1，且A ＝B ，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.[答案] 1 －2 2[解析] ∵A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1a ＋b ，1，A ＝B ，∴a ＝1，b ＋c ＝0，1a ＋b ＝－1，∴b ＝－2，c ＝2.8．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ≥m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围为________． [答案] m ≤－2[解析] 将集合A 、B 表示在数轴上，如图所示，三、解答题9．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．[分析]两个集合相等，说明这两个集合的元素完全相同，因此集合A中必有一个元素为0，所以x，xy，x－y这三个元素中必有一个为0.而每个集合中的元素又应该是互异的，由此出发可以列方程来确定x，y的值．[解析]∵0∈B，A＝B，∴0∈A.∵集合中元素具有互异性，∴x≠xy，∴x≠0.又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.从而x－y＝0，即x＝y.这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)，或x＝1(舍去)，或x＝－1.经检验，x＝y＝－1.一、选择题1．设A＝{0,1}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系是()A．A B B．B AC．A＝B D．A∈B[答案] C[解析]B＝{x|x∈A}说明集合B中的元素是集合A中的全部元素，∴A＝B.2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，则b－a＝()A．1 B．－1 C．2 D．－2 [答案] C[解析]由集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，知a≠0，且a≠1，∴a＋b＝0，则a＝－b，∴ba＝－1，∴a＝ba＝－1，∴b＝1，则b－a＝2，故选C.3．已知A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，且A B，则实数p() A．p≥4 B．p>4C．p≤4 D．p<4[解析] ∵B ＝{x |4x ＋p <0}，∴B ＝{x |x <－p4}，将集合A 及点－p4标在数轴上，如图．由图可知，要使AB ，应满足点－p 4在点－1的左侧或与点－1重合，即－p4≤－1，∴p ≥4.4．数集P ＝{x |x ＝(2n ＋1)π，n ∈Z }与数集Q ＝{x |x ＝(4m ±1)π，m ∈Z }之间的关系是( ) A ．P Q B ．P ＝Q C ．QPD ．P ≠Q[答案] B[解析] 取n ＝…，－1,0,1,2，…，得P ＝{…，－π，π，3π，5π，…}；取m ＝…，0,1，…，得Q ＝{…，－π，π，3π，5π，…}． ∴P ＝Q . 二、填空题5．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ⊆A ，则实数x 的值是________． [答案] 0或±3[解析] ∵B ⊆A ，∴x 2＝3，或x 2＝x ，解得x ＝±3，或x ＝0，或x ＝1，当x ＝1时，集合B 不满足元素的互异性， ∴x ＝1舍去，故x ＝0或x ＝±3.6．(2013～2014学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)设集合A ＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是____________．[答案] －1≤k ≤12[解析] ∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≥－32k ＋1≤2，∴－1≤k ≤12.三、解答题7．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，求实数a 的值． [解析] ∵B ⊆A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1；当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1(舍去)， ∴a ＝2或a ＝－1.8．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解析] ∵A ＝B ，∴x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B 中的元素0重复出现，此时集合B 不满足集合中元素的互异性，舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝1或x ＝0(舍去)，此时A ＝{1,0}＝B ，满足条件．综上可知，x ＝1，y ＝0.9．设集合A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m ＋3}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． [解析] ①当m ＋1>2m ＋3，即m <－2时，B ＝∅符合题意； ②当m ＋1≤2m ＋3，即m ≥－2时，B ≠∅.由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥12m ＋3≤4，解得0≤m ≤12.综合①②可知，m <－2或0≤m ≤12.。

人教B版高中数学高一必修1学业测评集合之间的关系

学业分层测评(三) 集合之间的关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有()A．1∉A B．0⊆AC．∅⊆A D．{0}⊆A【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为∅是任何非空集合的真子集，所以C正确．【答案】 C2．已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为()A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵集合N＝{1,3,5}，∴集合N的真子集个数是23－1＝7个，故选C.【答案】 C3．集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m ＝()A．2 B．－1C．2或－1 D．4【解析】∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.【答案】 C4．下列命题： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A ，则A ≠∅.其中正确的个数是( )【导学号：97512004】A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．【答案】 B5．集合M ＝x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋13，k ∈Z ，N ＝x ⎪⎪⎪x ＝k ＋13，k ∈Z ，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ∅【解析】 ∵M 中：x ＝k 2＋13＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋13，k ＝2n ，n ∈Z ，n ＋56，k ＝2n ＋1，n ∈Z .N 中：x ＝k ＋13＝n ＋13，k ＝n ∈Z ，∴N ⊆M . 【答案】 C二、填空题6．设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，则a ＋2b ＝________. 【导学号：60210011】【解析】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，而a ≠0，∴a ＋b ＝0，ba ＝－1，从而b ＝1，a ＝－1，可得a ＋2b ＝1. 【答案】 17．已知集合A ＝{x |1＜x －1≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.【解析】 ∵A ＝(2,5]，A ⊆B ，∴5＜a ，又a ∈(c ，＋∞)，∴c ＝5. 【答案】 58．集合A ＝{x |1<x <6}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为________．【解析】 ∵A ＝{x |1<x <6}，B ＝{x |x <a }，由A ⊆B ，结合数轴可知a ≥6.【答案】 {a |a ≥6} 三、解答题9．已知A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }．(1)若B ⊆A ，求a 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．【解】 (1)因为B ⊆A ，B 是A 的子集，由图(1)得a ≤3.(1)(2)因为A ⊆B ，A 是B 的子集，由图(2)得a ≥3.(2)10．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B ？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．【解】 (1)对于任意实数b 都有A ⊆B ，当且仅当集合A 中的元素为1,2.∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴⎩⎨⎧a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎨⎧a －4＝2，a ＋4＝1，解方程组可知无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)易知若A ⊆B ，则⎩⎨⎧a －4＝1，a ＋4＝b ，或⎩⎨⎧a －4＝2，a ＋4＝b ，或⎩⎨⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1，或⎩⎨⎧a －4＝b ，a ＋4＝2，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝9，或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝10，或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－7，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－6.则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．[能力提升]1．已知集合A 满足{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4}，则集合A 的个数为( ) A ．8 B ．2 C ．3D ．4【解析】由题意，集合A 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.【答案】 D2．下列四个集合中，是空集的是( ) A ．{x |x ＋3＝3}B ．{(x ，y )|y 2＝－x 2，x ，y ∈R }C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R }【解析】根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0；对于选项B ，(0,0)是集合中的元素；对于选项C ，由于x ＝0成立；对于选项D ，方程无解．故选D.【答案】 D3．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a 、b 、c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a 、b 、c 是等差的．若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”．若集合M ＝{x ||x |≤2 016，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M .则：(1)“好集”P 中的元素最大值为__________________； (2)“好集”P 的个数为______________________．【解析】 (1)∵1a ＋1b ＝2c ，且a ＋c ＝2b ，∴(a －b )(a ＋2b )＝0，∴a ＝b (舍)，或a ＝－2b ，∴c ＝4b ，令－2 016≤4b ≤2 016，得－504≤b ≤504，∴P 中最大元素为4b ＝4×504＝2 016.(2)由(1)知P ＝{－2b ，b,4b }且－504≤b ≤504，∴“好集”P 的个数为2×504＝1 008.【答案】 (1)2 016 (2)1 0084．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |m －2＜x ＜2m －3}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围.【导学号：60210012】【解】 ∵集合A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |m －2＜x ＜2m －3}，且B ⊆A ，∴当B ≠∅时，应有⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥－3，2m －3≤5，m －2<2m －3，解得1＜m ≤4.当B ＝∅时，应有m －2≥2m －3，解得m ≤1. 综上可得，实数m 的取值范围为(－∞，4].。

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1.2　集合之间的关系与运算1.2.1　集合之间的关系课时过关·能力提升1集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )A.9B.8C.7D.6x∈N,n∈N,所以x=5-2n的值为5,3或1.所以集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.所以其子集的个数是23=8.2若集合P={x|x<4},Q={x|-2<x<2,x∈Z},则( )A.Q∈PB.Q⫋PC.P⫋QD.P=QQ={x|-2<x<2,x∈Z}={-1,0,1},P={x|x<4},所以Q⫋P.3已知集合M={x|x>3},N={x|x>2},则M与N的关系可用Venn图表示为( )M⫋N,故D选项正确.4已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.5已知集合M=,N=,则集合M ,N 的关系是( ){x |x =m +16,m ∈Z }{x |x =n 2-13,n ∈Z }A.M ⊆NB.M ⫋NC.N ⊆MD.N ⫋Mn=2m 或n=2m+1,m ∈Z ,则有N={x |x =2m 2-13或x =2m +12-13,m ∈Z }=或x=m+.{x |x =m -1316,m ∈Z }又因为M=,所以M ⫋N.{x |x =m +16,m ∈Z }6若非空数集A={x|2a+1≤x ≤3a-5},B={x|3≤x ≤22},则能使A ⊆B 成立的所有实数a 的取值集合是( )A .{a|1≤a ≤9}B .{a|6≤a ≤9}C .{a|a ≤9}D .⌀A 为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a ≥6.又∵A ⊆B ,∴∴1≤a ≤9.{2a +1≥3,3a -5≤22,即{a ≥1,a ≤9,综上可知,实数a 的取值集合是{a|6≤a ≤9}.7已知集合A={1,3,6},集合B={3,a-2},若B ⊆A ,则实数a 的值为 .,得a-2=1或a-2=6,解得a=3或a=8.或88已知A={a ,0,-1},B=,若A=B ,则a= ,b= ,c= .{c +b ,1a +b ,1}A=B ,可知b+c=0,a=1,=-1,1a +b 解得a=1,b=-2,c=2.　-2　29已知集合P={1,2,3,4},Q={0,2,4,5},则满足A ⊆P ,且A ⊆Q 的集合A 为 .A=⌀,则满足A ⊆P 且A ⊆Q ;若A ≠⌀,由A ⊆P 且A ⊆Q 知集合A 是由属于P 且属于Q 的元素构成,此时A 可以为{2},{4},{2,4},故满足条件的集合A 为⌀,{2},{4},{2,4}.,{2},{4},{2,4}10已知集合A={x|x 2-5x+6=0},B={x|(m-1)·x-1=0},且B ⊆A ,则以实数m 为元素所构成的集合M 为 .{x|x 2-5x+6=0}={2,3}.因为B ⊆A ,所以B=⌀或{2}或{3}.当B=⌀时,⌀⊆A ,满足题意,则m-1=0,即m=1;当B={2}时,=2,得m=;1m -132当B={3}时,=3,得m=.1m -143所以M=.{1,32,43}1,32,43}★11已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|m<x<4-m },且B ⊆A ,求实数m 应满足的条件.B 是关于x 的不等式m<x<4-m 的解集,需要对集合B 是否为空集分类讨论.B ⊆A ,所以B=⌀或B ≠⌀.当B=⌀时,⌀⊆A ,满足题意,则有m ≥4-m ,此时m ≥2;当B ≠⌀时,则有解得1≤m<2.{m <4-m ,m ≥0,4-m ≤3,综上可知,实数m 满足的条件是1≤m<2或m ≥2,即m ≥1.。

人教B版高中数学必修一《第一章集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系》_15

1.2.1 集合间的基本关系（整体设计）教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与包含关系的区别.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用V enn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排1课时教学过程一、导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空：(1)0 N; (2)2 Q; (3)-1.5 R.类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2);(3)∈)二、推进新课1、新知探究2、提出问题(1)观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?3、活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,我们称集合A 是集合B的真子集,记作A B(或B A).(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A⊆B时,A B或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为∅,并规定:空集是任何集合的子集,即⊆∅A;空集是任何非空集合的真子集,即∅A(A≠∅).(9)类比子集.4、讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中A⊆B,但有一个元素4∈B,且4∉A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2 (6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.三、应用示例1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B 表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A⊆B成立,否则A⊆B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有:B⊆A,C⊆A.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5四、变式训练1、课本P7练习3. 点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A⊆B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有A B;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有A B,且B A,即集合A、B互不包含.2、写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合{a,b}的所有子集为∅,{a},{b},{a,b}.真子集为∅,{a},{b}.五、变式训练1、(2007山东济宁一模,1 )已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.1分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,又集合Q⊆P,所以集合Q有4个.答案：A 点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.2、思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为∅,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为∅,{a},即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为∅,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22.……集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.。