高考数学(理全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套第四篇回归教材纠错分析1

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高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题2 不等式与线性规划第4练含答案

式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.
变式训练 2 (1)已知直线 ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦长为
2 5，则 ab 的最大值是________. 9
答案 2
解析圆的方程变形为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
由已知可得直线 ax＋by－6＝0 过圆心 O(1，2)，
元，求：仓库面积 S 的最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，
那么正面铁栅应设计为多长？
解设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S＝xy，依题设，得 40x＋2×45y＋
20xy＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy＝120 S＋20S，则
体验高考
[ ] 1
1
1.(2015·四川)如果函数 f(x)＝ (m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间，2 上单调递减，
2
2
那么 mn 的最大值为( )
81 A.16 B.18 C.25 D.
2
答案 B
1 解析 ①当 m＝2 时，∵f(x)在[ ，2]上单调递减，
2
∴0≤n＜8，mn＝2n＜16.
1 即 x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y 的最小值是 5.
2
3y 方法二由 x＋3y＝5xy 得 x＝，
5y－1
1 ∵x＞0，y＞0，∴y＞，
5
1
( ) 9y
13 9 5
1 13 36
1
∴3x＋4y＝5y－1＋4y＝
5
＋· 5
＋4 y－ ≥ ＋2 ＝5，当且仅当 y＝时等号成立，

2024届高三数学二轮复习策略课件

1.离心率的计算 2.圆锥曲线与三角形内心、重心相关的问题
3.圆锥曲线与内接三角形 4.圆锥曲线中常用的二级结论
专
1.函数的图像与性质 2.利用导数研究函数的性质
题函数与导数 3.导数与恒成立问题
六
4.导数与不等关系 5.导数与函数的零点
1.抽象函数的性质 2.切线与公切线 3.以指数、对数为载体的情景题 3.导数中的构造问题 4.端点效应问题
【分析】当x 时0 ， xf (x) ，f (x即) 0 [xf (x)] 0
构造函数 g(x) xf (x)
A 【例 1】（2020 新课标Ⅱ理11）若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0
C． ln | x y | 0
二轮复习六大专题：
大专题
专三角函数、题解三角形一和平面向量
专题数列二
专题立体几何三
子专题
微专题
1.三角恒等变换 2.三角函数的图像与性质 3.解三角形
1.平面向量数量积的求解策略 2.三角函数中与相关的问题探究 3.三角形中的特殊线段 4.三角中的数学建模与情景题
1.数列的通项求法
【案例3】微专题：同构式
【引例】（2015 年理12 改编）设函数 f (x) 是奇函数 f (x)(x R)的导
函数， f (1) 0 ，当 x 0 时，xf '(x) f (x) 0 ，则使得 xf (x) 0
成立的 x 的取值范围是（
）
A．,1 0,1
B．1,0 0,1
C．,1 1,0 D．0,1 1,
3.确定备考策略
(1)对数列的概念及表示方法的理解和应用； (2)等差数列、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前项和公式中基本量的运算或者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深入剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解数列的问题； (3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题； (4)通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前项和； (5)数列与不等式、函数等的交汇问题； (6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考、探究与发现的学习材料，有意识地培养学生的阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活有关的数列的应用问题； (7)关注结构不良试题、举例问题等创新题型。

高考数学大二轮总复习与增分策略第四篇回归教材4 数列、不等式练习文

4.数列、不等式1．等差数列及其性质(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1 (n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n n －1 2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A2．等比数列及其性质 (1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)． (2)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . [问题2] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.答案 (1)512 (2)103．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法．(5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1 ，S n －S n －1 n ≥2 ，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[问题3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n)(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案 n ·2n解析令x ＝2，y ＝2n －1，则f (xy )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列{a n 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得a n2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n＝n ·2n.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法如：1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1；1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k .(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．答案 925．如何解含参数的一元二次不等式解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合． [问题5] 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (a >0)．解原不等式化为(x －1a)(x －1)<0.∴当0<a <1时，不等式的解集为{x |1<x <1a}；当a >1时，不等式的解集为{x |1a<x <1}；当a ＝1时，不等式的解集为∅. 6．处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法． (2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[问题6] 如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <0答案 C解析当k ＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧k <0， 2k 2－4k ·[－ k ＋2 ]<0，解得－1<k <0.所以－1<k ≤0.7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值． [问题7] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋4b a＋3ab≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号．8．解决线性规划问题有三步 (1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离． (3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值．利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题： (1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝－2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax 取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围．[问题8] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 B解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，所以2a ＋0＝4，此时a ＝2.易错点1 忽视等比数列中q 的范围例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列{a n }的公比q ＝________.易错分析没有考虑等比数列求和公式S n ＝a 1 1－q n1－q中q ≠1的条件，本题中q ＝1恰好符合题目条件．解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，得a 1 1－q 3 1－q ＋a 1 1－q 6 1－q ＝a 1 1－q 9 1－q.∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 易错分析要去掉|a n |的绝对值符号，要考虑a n 的符号，对n 不讨论或讨论不当容易导致错误．解 a n ＝21－4(n －1)＝25－4n . 当n ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－2n 2＋23n ；当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝2n 2－23n ＋132.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n ，n ≤6，2n 2－23n ＋132，n ≥7.易错点3 已知S n 求a n 时忽略n ＝1例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n . 易错分析 a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2，若忽略对n ＝1时的验证则出错．解因为a n ＋1＝2S n ，所以S n ＋1＝3S n ，所以S n ＋1S n＝3.因为S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，S n ＝3n －1(n ∈N *)．所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2×3n －2(n ≥2)，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －2，n ≥2.易错点4 数列最值问题忽略n 的限制例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(910)n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是( )A ．第6项或第7项B ．第7项或第8项C ．第8项或第9项D ．第7项易错分析求解数列{a n }的前n 项和S n 的最值，无论是利用S n 还是利用a n 来求，都要注意n 的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误．解析因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)(910)n ＋1－(n ＋2)(910)n ＝(910)n ·7－n 10，当n ＜7时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝7时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞7时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .故a 1＜a 2＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞a 10…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B. 答案 B易错点5 裂项法求和搞错剩余项例5 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A.n2B.nn ＋1C.2n n ＋1D.4nn ＋1易错分析裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误．一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的．解析由已知得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1n ＋1(1＋2＋…＋n )＝n2，从而b n ＝1a n a n ＋1＝1n 2·n ＋12＝4(1n －1n ＋1)，所以数列{b n }的前n 项和为S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋(13－14) ＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1.故选D. 答案 D易错点6 线性规划问题最优解判断错误例6 P (x ，y )满足|x |＋|y |≤1，求ax ＋y 的最大值及最小值．易错分析由ax ＋y ＝t ，得y ＝－ax ＋t ，欲求t 的最值，要看参数a 的符号．忽视参数的符号变化，易导致最值错误．解 ①当a <－1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过点(－1,0)与(1,0)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为－a ，a .②当－1≤a ≤1时，直线y ＝－ax ＋t 分别为(0,1)与(0，－1)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为1，－1.③当a >1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过点(1,0)与(－1,0)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为a ，－a .易错点7 运用基本不等式忽视条件例7 函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为________．易错分析应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域．解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.设t ＝x 2＋4，则t ≥2，所以函数变为f (t )＝t ＋1t(t ≥2)．这时，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (t )≥f (2)＝52，所以函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52.答案 521．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7等于( )A ．22B ．24C ．26D ．28答案 D解析由已知得a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析因为{a n }是正项等比数列，所以a m ＋1·a m －1＝2a m ＝a 2m ，a m ＝2，又T 2m －1＝a 1a 2…a 2m －1＝a 2m －1m ，所以22m －1＝512＝29，m ＝5.3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830答案 D解析当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1；当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2，所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30× 3＋119 2＝30×61＝1 830.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n ＜－4成立的最小自然数n 为( ) A ．83 B ．82 C ．81 D ．80 答案 C 解析 ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∴S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)＜－4，解得n ＞34－1＝80.故最小自然数n 的值为81.5．已知曲线C ：y ＝1x(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( ) A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列答案 A解析由题意，B 1，B 2两点的坐标分别为(x 1，1x 1)，(x 2，1x 2)，所以直线B 1B 2的方程为y ＝－1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1，令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，所以x 3＝x 1＋x 2，因此，x 1，x 32，x 2成等差数列．6．已知a ，b 都是负实数，则aa ＋2b ＋ba ＋b的最小值是( )A.56 B ．2(2－1) C ．22－1 D ．2(2＋1)答案 B解析 aa ＋2b ＋ba ＋b ＝a 2＋2ab ＋2b 2a 2＋3ab ＋2b 2＝1－aba 2＋3ab ＋2b 2＝1－1a b ＋2b a＋3≥1－122＋3＝2(2－1)．7．若关于x 的不等式x 2＋mx －4≥0在区间[1,4]上有解，则实数m 的最小值是________．答案－3解析由题意知，原题等价于m ≥4x －x 在区间[1,4]上有解，令f (x )＝4x－x (x ∈[1,4])，则m ≥f (x )min .因为f (x )＝4x －x 在区间[1,4]上单调递减，所以f (x )min ＝f (4)＝44－4＝－3，所以m ≥－3，故实数m 的最小值是－3.8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．答案 [3，＋∞)解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．直线y ＝kx －1显然经过定点M (0，－1)，由图形直接观察知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1和直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－－1 1－0＝3，因此k ≥3. 9．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且1＋a 11a 10<0.若S n 存在最大值，则满足S n >0的n 的最大值为________．答案 19解析因为S n 有最大值，则数列{a n }单调递减，又a 11a 10<－1，则a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，所以S 19＝19×a 1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝20×a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故n 的最大值为19.10．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2 x －a ·2x －a ＋2a ＝4＋2a . 由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32.11．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)且方程f (x )－x ＋12＝0有两实根x 1＝3，x 2＝4. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )≤ k ＋1 x －k 2－x. 解 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)． (2)不等式即为x 22－x ≤ k ＋1 x －k 2－x ，可化为x 2－ k ＋1 x ＋k 2－x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2 x －1 x －k ≥0，x －2≠0.①当1＜k ＜2时，解集为x ∈[1，k ]∪(2，＋∞)；②当k ＝2时，解集为x ∈[1,2)∪(2，＋∞)；③当k >2时，解集为x ∈[1,2)∪[k ，＋∞)．12．(2016·湖南师大附中等四校联考)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)∵a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，∴a n ＋1－a n ＝6，∴{a n }是等差数列．∵{a n }的首项为a 1＝1，公差为6，∴a n ＝6n －5.(2)∵b n ＝2n ，∴a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1.当n ≥2时， a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2.当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，∴a n ＝2n ＋1＋2.由λa n >2n ＋n ＋2λ，得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1. ∵n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， ∴当n ＝1,2时，2n ＋n 2n ＋1取最大值34， ∴λ的取值范围为(34，＋∞)．。

“三新”背景下高考命题趋势和备考策略(2023)全文

素养基于实然而趋于应然，融二者为一体，有较强的观念含蕴，凸显主动获得能力和主动应用能力的价值意义。从另一个层面看，素养与先天禀赋有着重要区别。素养的土壤与养分源自知识与能力，没有知识与能力，也就无法孕育素养。
命题的素养立意指向，体现在知识、能力、价值的融通与应用中测评学生的素养水平。指向素养立意的试题，更有结构性、整体性、情境性等真实任务的特点，更关注任务的价值导向；更追求用做事来考查学生的思维水平与探究水平，更关注思维、探究的动力状况，以及思维结果、探究结果的价值意义。
“三新”背景下高考命题趋势和备考策略
2023年是湖南省“三新”背景下的高考元年！
“新课标”作为高考命题的重要依据，再也没有考试大纲或考试说明！“新教材”作为高考命题内容的重要载体！“新高考”的考试模型决定今后10年以上高考命题的方向！
一、“三新”背景下高考命题的变化变化一：新高考将不再有“选考”，全部是“必考”。教育部颁的各学科课程标准有“新要求”，所选的学科课程要全部学完所有选择性必修课程。
第三轮复习的时间段约在：第二年5月左右，就是平常所说的冲刺阶段，该阶段的效果很大程度上决定着高考的成败。这轮复习的主要目标是通过选择高质量的模拟题进行强化训练，提高解题速率，加深对所学知识的深刻理解与融会贯通，在知识应用中提升学科核心素养。
（3）第三轮复习：强化训练，提升能力，融会贯通
第三轮复习的基本模式为：考试讲评、反思纠错、回归教材、答疑指导和总结提升，每一个环节都需要深刻理解与扎实推进，要形成良好的学习习惯和时间观念，确保在高考中学科关键能力的应用与迁移。
从知识层面上讲，学科知识是有内在的、紧密联系的，复习的过程便是将这种联系形成知识网络的过程，这有利于知识在头脑中的激活和提取；从素养层面上讲，学生应用所学知识在不同问题情境中分析与解决实际问题，并在教师引导下对知识加以整理和归纳，是提高学科关键能力的重要途径。

回归课本吃透课本——数学高考总复习的根

回归课本吃透课本——数学高考总复习的根李俊强“高考成绩统计数据公布了！”看着自己所带的一文一理两个班都取得了同类班级第一的成绩，对比上一届自己所带的两个毕业班的数学成绩，明显有了较大的飞跃。

回顾今年的数学高考总复习，我的做法是：以课本为依据，以教学大纲为准绳，回归课本，吃透课本。

总之，对课本要反复抓，抓反复，抓基础，最终一定会获得高考成功。

一、从数学高考复习中教与学的实际案例分析我记得在高三的第一轮复习之后，我教的文科班中有一位女同学，好称“解题大师”，她的思维灵活、反应很快，数学成绩也不错，平时的考试难题常常不在话下，只是考试时常在一些偏容易的题上弄错。

在进入第二轮复习之时，我找到了这位同学，让她将自己学习数学的心得体会告诉我。

她说课本对她没什么用，她也几乎不看课本，也很少听老师讲解分析课本，她是每天花了一半的时间在数学，做了好多本复习资料，见过了很多题目，已达到了“见多识广”和“熟能生巧”的地步了。

她的话引起了我的深思：“几乎不看课本”？这样不可能吃透概念，也不可能深刻领悟数学思想方法的实质，她是在“巧”题上下功夫，而在“常规”题上注定要吃亏的！于是我让她将整个高中数学的内容画一个“知识网络结构图”，她竟然画得丢三落四！而对一些概念的回答也是含糊不清的！这也正是我所预料到的。

在随后的测验中，我出了一套概念较多的题目，这位“解题大师”不灵了，我可以给她“下药”了……最后，在今年高考中她的数学为全市第一名。

在高考的最后冲刺阶段，有很多这样的“解题大师”会抛开课本、脱离老师复习。

如上课时不听老师讲题，而是自己在下面做其他题目，进行所谓的“自主复习”。

对大部分学生而言，这样将得不偿失。

而盲目地“自主复习”，由于缺乏系统、缺少针对性，很可能是忙了一场，还是徒劳。

高考中，不管是哪一科，“基础知识都占了约80%的比重”，曾有一位复读生单科状元，在第一年进入高三时接收到了这个有效信息。

但他习惯于以难题取胜，当然对此不甚看重，心想难题不怕，基础题何妨！谁料到这样付出的代价是惨重的——第一次参加高考的成绩很不理想！直到第二年复读时才真正领会这一信息的有效性，进而一举夺得全省单科状元，这是一个艰巨的过程，而在这个过程中，他始终认为对基础知识的反复理解和强化为他的巨大进步立下了汗马功劳。

生物大二轮复习与增分策略：五细胞的生命历程(含减数分裂)含解析

[重温考纲］1。

细胞的生长和增殖的周期性（Ⅱ).2。

细胞的无丝分裂（Ⅰ)。

3。

细胞的有丝分裂(Ⅱ)。

4.细胞的减数分裂(Ⅱ）。

5。

动物配子的形成过程（Ⅱ).6.动物的受精过程（Ⅱ）。

7.细胞的分化(Ⅱ）.8。

细胞的全能性（Ⅱ）。

9.细胞的衰老和凋亡以及与人体健康的关系(Ⅱ)。

10。

癌细胞的主要特征及防治（Ⅱ).核心考点1细胞周期与有丝分裂1．理清一个完整细胞周期的表示方法（1)甲：A→B→C→A。

（2)乙:a＋b或c＋d。

（3）丙：a＋b＋c＋d＋e。

提醒(1）只有连续分裂的细胞才有细胞周期。

（2)高度分化的细胞、进行减数分裂的细胞没有细胞周期.(3)细胞周期必须是分裂间期在前，分裂期在后,不能颠倒,且分裂间期远远长于分裂期.（4）秋水仙素或低温都作用于细胞分裂的前期，抑制纺锤体的形成.2．理清有丝分裂过程中几种结构的变化（1)纺锤体的变化：前期形成,末期解体。

（2）核膜、核仁的变化:前期解体，末期重建。

（3)染色体行为变化3．理清中心体复制、分开与中心粒的数量关系（1）复制：在动物细胞或低等植物细胞有丝分裂过程中，中心体复制在间期完成.（2）分开：前期移向细胞两极.（3）数量关系:复制前每个中心体包含2个中心粒；复制后成为2个中心体、4个中心粒.提醒（1)细胞板是真实存在的结构、赤道板是虚拟的平面。

(2)细胞有丝分裂过程中存在同源染色体.(3）着丝点分裂是本身行为，不是纺锤丝牵引拉开的.(4)染色单体数目在分裂间期形成，后期姐妹染色单体分开成为子染色体，染色单体数目变为0。

设计1围绕细胞生长和增殖的周期性考查理解能力1．实验室培养了甲、乙、丙、丁四种不同类型的细胞,测得分裂间期占细胞周期的比例如图所示,有关说法正确的是(）A．四种细胞中丙分裂间期持续的时间最长B．加入DNA复制抑制剂,停留在分裂间期细胞数量最少的是丁C．不同温度下培养以上四种细胞，细胞周期持续的时间都会发生变化D．正常情况下四种细胞在分裂间期可发生染色体数目变化答案C解析图中是测得分裂间期占细胞周期的比例，四种细胞的细胞周期无法比较，无法确定分裂间期长短和停留在分裂间期细胞的数目，A、B项错误；细胞分裂受到温度等多种外界因素的影响，C 项正确；细胞在分裂后期可发生染色体数目变化，D项错误。

新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略专题六解析几何第1讲直线与圆练习文-人教版高三

第1讲直线与圆1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．答案相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝1－02＋1－22＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜MN ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________．答案2553．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______．半径是______．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．4．(2016·课标全国乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现．热点一直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．(2)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是______________．答案 (1)3或5 (2)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析 (1)两直线平行，则A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0，所以有－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5，且满足条件A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y ＝kx ，由直线过点(5,2)，可得k ＝25，此时直线方程为2x －5y ＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为x a ＋y2a＝1，由直线过点(5,2)，可得a ＝6，此时直线方程为2x ＋y －12＝0.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为________．答案 1或2解析由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0，即a ＝1或a ＝2.热点二圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为______________． (2)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)a <－3或1<a <32解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝± 3.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.(2)由直线2x ＋y ＋2＝0和直线ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线的方程为x －y ＋3＝0，设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线x －y ＋3＝0与直线y ＝12x的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝12x ，解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k ＝_________.(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是____________．答案 (1)12(2)(－1,1]∪{－2}解析 (1)圆心C ()2，0，半径为1，圆心到直线的距离d ＝||2k k 2＋1，而AB ＝255，得(||2k k 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫552＝1，解得k ＝12. (2)曲线x ＝1－y 2，即x 2＋y 2＝1(x ≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 经过点A (0,1)时，求得b ＝1；当直线y ＝x ＋b 经过点B (1,0)时，求得b ＝－1；当直线和半圆相切于点D 时，由圆心O 到直线y ＝x ＋b 的距离等于半径，可得|0－0＋b |2＝1，求得b ＝－2，或b ＝2(舍去)．故当直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点时，b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－2.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条．答案 (1)x ±3y ＋4＝0 (2)3解析 (1)如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 的中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt△CPQ 中PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.(2)由题意得直线l 为圆(x －22)2＋y 2＝1(A 为圆心)与圆x 2＋(y －1)2＝4(B 为圆心)的公切线，∵AB ＝222＋－12＝3＝1＋2，∴两圆外切，∴两圆共有3条公切线．故答案为3.1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．押题依据直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn 的最小值为________．押题依据直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大．答案 3＋2 2解析根据圆心到直线的距离是2得到m ，n 的关系，然后结合不等式即可求解．由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn ，由m ，n 为正实数，可知m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．答案102解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a (a >0)．故222－5a2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组专题通关1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是____________．答案 x ＋y －5＝0解析由于直线PA 的倾斜角为45°，且PA ＝PB ，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.2．(教材改编)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(|a ＋1|a 2＋1)2＋(－3)2＝22，解得a ＝0.3．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________．答案 3x ＋y ＝0或x －3y ＝0解析设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. ∵圆方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102. 依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴直线方程为3x ＋y ＝0或x －3y ＝0.4．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是____________．答案 {1，－1,3，－3}解析 ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切．内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__________．答案 52－4解析两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案－12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1，此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－－1|2＝ 2.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点P ()－2，0的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆()x －a 2＋()y －32＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．答案 4解析由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆()x －a 2＋()y －32＝3的圆心到直线PT 距离为3－322＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4. 8．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝______.答案 4解析设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4. 9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组能力提高11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2，3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________．答案 [1,3]解析因为直线y ＝k (x －1)恒过P (1,0)，画出图形，直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则直线落在阴影区域内，因为k PA ＝2－03－1＝1， k PB ＝3－02－1＝3，故k 的取值范围是[1,3]．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．答案 [1,3＋23]解析设P (x ，y )，设PA ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12PA 2sin 2θ＝PA 2·2PC 1·PA PC 1＝1. 由2PA 3＝PC 21＝PA 2＋2，解得PA ＝2，所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上．所以|m －2|≤m －12＋－m 2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析设l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋bx 1)(k ＋b x 2) ＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 21＋k 2b 2－4＝k 2b 2－4－2k 2b 2＋k 2b 2＋b 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2l ，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.14．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明由题意知圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t 2. 则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|2t |×|4t|＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ， ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。

2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 坐标系与参数方程(选修4—4)(含解析)

考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。

2024年高考数学二轮复习建议和计划

2024年高考数学二轮复习建议和计划一、制定复习计划在开始二轮复习之前，建议考生先为自己制定一个详细的复习计划。

根据自身情况，合理安排每天的学习时间和内容，做到有的放矢。

复习计划要注重全面性，兼顾各章节内容，不要遗漏重点知识点。

同时，要根据考试时间合理安排模拟考试和解题训练。

二、巩固基础知识数学二轮复习的重点之一是巩固基础知识。

考生应再次梳理高中数学的所有知识点，特别是数学概念、公式和定理等。

要确保对这些基础知识的理解和记忆准确无误。

在复习过程中，可以采用多种方法，如制作知识卡片、归纳总结等，加深对基础知识的掌握。

三、突破重点难点数学二轮复习中，考生还需要针对自己的薄弱环节进行重点突破。

对于一些难以理解的知识点或题型，要深入剖析，多做练习。

可以借助一些教辅书籍或参加辅导班，寻求老师和同学的帮助，共同解决问题。

只有突破了这些难点，才能在考试中取得更好的成绩。

四、提高解题技巧数学考试不仅考查基础知识的掌握程度，还要求考生具备一定的解题技巧。

在二轮复习中，考生应注重提高自己的解题能力。

通过大量练习，熟练掌握各种题型的解题方法和技巧。

同时，要注重解题速度和准确率的平衡，提高应试能力。

五、强化模拟考试模拟考试是检验考生复习效果的有效手段。

在数学二轮复习中，考生应参加一些模拟考试，如学校组织的模拟考试、辅导班的模拟考试等。

通过模拟考试，可以发现自己的不足之处，及时调整复习策略。

同时，也能熟悉考试流程和时间限制，提高应试心理素质。

六、注重错题解析错题是考生复习过程中的一大宝贵资源。

通过错题解析，可以深入剖析自己的知识盲点和思维误区。

在二轮复习中，建议考生建立错题本，将每次练习和模拟考试中的错题记录下来，并认真分析原因。

错题本不仅能帮助考生查漏补缺，还能为最后冲刺复习提供方向。

七、拓展数学思维高考数学不仅考查考生的知识储备和解题能力，还要求考生具备一定的数学思维能力。

在二轮复习中，考生应注重拓展自己的数学思维。

专题溯源有道——回扣教材重落实 2023高考数学二轮复习课件

目录
2．设p：|x－a|>3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若綈p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___(_－__∞__，__－__4_]∪___72_，__＋__∞_____．解析：由|x－a|>3，可得 x<a－3 或 x>a＋3，即 p：x<a－3 或 x>a＋3，则綈
p：a－3≤x≤a＋3.由(x＋1)(2x－1)≥0，可得 x≤－1 或 x≥12，即 q：x≤－1 或 x≥12.因为綈 p 是 q 的充分不必要条件，所以 a＋3≤－1 或 a－3≥12，解得 a≤－4 或 a≥72.故 a 的取值范围是(－∞，－4]∪27，＋∞.
目录
2．在△ABC中，
―→
AB
·
―→
AC
＝0，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含
B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设
―→
AQ
＝x
―→
AB
＋y―AC→，则x＋y的最大值为
(C )
A．1123
B．45
C．1172
D．1129
解析：如图所示，设AQ或AQ的延长线交BC于点D，过Q
则实数m的取值范围为
(D)
A．(4，＋∞)
B．[4，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析：由x2－4>0，得x<－2或x>2，则A＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)．由x2－
3mx＋2m2<0(m>0)，得m<x<2m(m>0)，则B＝(m，2m)．由B⊆A可知m≥2，
所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．故选D.
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高三数学二轮复习计划及策略

清河中学2023届高三数学第二轮复习策略与计划（一）夯重基础，加深理解与应用基础永远是高考的重点。

对基础的复习，不是对课本内容的简单重复，而是对知识点的解析梳理，对概念、公式等的准确理解、牢固掌握，是学生理解能力的升华。

加强对常考知识点、重难点的融会、贯通，把握每个知识点背后的潜在的出题规律，要通过对基础题的系统训练和规范讲解，从不同的角度把握每一个知识点的内涵与外延以及与其它知识点的联系。

“一体四层四翼”是高考的评价体系，从国家层面设计上回答了“为什么考”“考什么”“怎么考”等关键性问题。

一体：高考评价体系，通过确立“立德树人，服务选拔，导向教学”这一核心立场，回答了“为什么考”的问题。

四层：通过明确“必考知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标，回答了“考什么”的问题。

四翼：通过明确“基础性、综合性、应用性、创新性”四个考查要求，回答了“怎么考”的问题。

复习策略上以基础、中档题为主，抓住问题的本质，知识间的相互联系，总结出通性通法，注意最优（技巧性）解法的优越性。

（二）注重数学思想方法，培养数学核心素养高考数学试题十分重视对数学思想的考查，着重考查如下七种数学思想：函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想，分类与整合思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想，数学思想蕴含在数学基础知识之中，是架设在数学知识与能力之间的一座桥梁。

数学的思想与方法，是宏观与微观的关系，在数学思想的指导下，灵活运用数学方法解决具体问题，没有思想的方法是肤浅的，没有方法的思想是空洞的，只有二者完美的结合才是数学教学的最高境界。

高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

对学生核心素养的培养，对于发展学生的理性思维、培养学生的学科能力，具有决定性的作用。

（三）重视数学文化传承，注重创新意识发展中科院院士、王梓坤教授曾指出：“数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括.”，武汉大学齐民友教授站在影响人类文化的兴衰、民族生存发展的高度，在《数学与文化》一书中写到：“一种没有相当发达的数学文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.” 阐明了数学文化的价值.由于数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括，其价值对于人类文明乃至民族的存亡有着重大的意义.近年来，每年都对中华优秀传统文化知识进行考查，对传统文化知识的考查是对高层次数学思维的考查；每年的数学试题中总有4～5道新颖题型，体现创新意识，以便选拔优秀的学生.每年创新题型肯定会出现，这样的题型包括新定义型、归纳猜想型、类比推理型、探索发现型、研究设计型、开放发散型问题等，但整体试卷难度不会大起大落，以平稳为主。

注重规范解答,回归课本基础知识点——谈谈如何提高高三毕业生的数学运算能力

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３０数学学习与研究㊀２０２０１２注重规范解答回归课本基础知识点注重规范解答，回归课本基础知识点㊀㊀㊀谈谈如何提高高三毕业生的数学运算能力Һ潘普昂㊀（南宁市第四十二中学，广西㊀南宁㊀５３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ高考数学的命题都是基于课本编制的，因此，高三学生要想提升自身的成绩，更好地应对高考，就需要能够在复习中注重回归课本，这一点十分重要，学生需要对课本进行系统的回顾以及归纳，理解各个知识点间的联系和交汇，进而构建一个完整的知识体系，规范解答，提升学生的运算能力．基于此，本文分析了如何提高高三学生的数学运算能力．ʌ关键词ɔ规范解答；回归课本；基础知识点；高三学生；数学运算能力运算能力是学生数学学习中的一个必备基本能力，也是数学素养中的一个组成部分．高考在这一能力上的考查一般就是对算理以及代数推理的考查，以代数运算为主，同时对学生的估算以及简算进行考查．在运算能力方面的要求可以总结为准确㊁熟练㊁合理，重点在于算理和算法，要求学生能灵活的运算．在高考前，学生复习应该回归到课本的基础知识点上，通过课本中的例题，对自己的解答进行规范，加强自己的运算能力．一㊁高考命题的源头为课本，要回归课本高考命题的源头是课本，但是在考题内容上是要高于课本的，这些题目就是对课本中的基础知识㊁习题和例题进行变式㊁加工以及延伸之后得出的．因此，高三学生复习时，教师就需要引导他们合理㊁全面地运用课本，要注重课本中的基础知识以及基本方法，学会举一反三．实际上，高考试题在理论知识的基础上改变问题形式，进而考察高中生对理论知识的掌握情况以及举一反三的能力．基于此，高中数学教师应重视课本理论知识讲解，注重学生反馈，待基础内容扎实巩固后进入拓展练习环节．高中数学理论知识较多，由于课时有限，因此教师要合理安排课堂实践，力争在规定课时内高效完成理论知识传授任务，进而为习题讲解㊁数学实践奠定基础．为确保理论知识被学生更好地理解㊁运用，教师可以在理论授课环节运用数学建模思想，让学生理解式记忆数学知识点，进而加深对课本知识的印象．举例来说，学习三角函数理论知识（ｓｉｎｘ函数）时，教师利用多媒体设备构建数学模型（如图１所示），将课本中的知识点投放到ＰＰＴ上，详细讲解模型与理论知识的对应关系，进而学生能够意识到数学建模思想的价值，会对数学知识学习产生浓厚兴趣．图１㊀三角函数ｓｉｎｘ图像例如，有一道高考题是函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ的最小值是（㊀㊀）．Ａ．－１㊀Ｂ．－１２㊀Ｃ．１２㊀Ｄ．１，题目就是来自课本的，在课本中的练习题是求下列函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ的最小正周期㊁递增区间和最大值；再如，高考试题等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和是Ｓｎ，Ｓ３＝６，ａ１＝４，求公差ｄ的值．这道题目在课本中有类似题目依据下面的条件，求相应的等差数列｛ａｎ｝的有关未知数．可以看到，高考数学中有很多题目都可以从课本上找到源头，能够看到课本中的基础知识点㊁例题和试题，因此，这就需要学生能够注重回归课本，依照课本中规范的解题过程进行答题，提升学生的运算能力．总之言而，高中数学教学中，教师要树立正确的教学观念，基于课本知识点拓展式教学，以此丰富学生知识储备，让学生运用所学知识解答数学习题，并成功解决实际生活问题．一旦脱离课本，教师按照已有经验传授知识点，那么学生数学计算能力短时间内将停滞不前，并且学生会产生厌学情绪．当学习三角函数知识时，教师首先进行公式教学，然后在基本公式的基础上引入新知识点．教师以课本为出发点，坚持由浅入深㊁由简到难的教学原则，既能起到基础知识巩固作用，又能调动学生的学习欲望．在这一过程中，教师引导学生总结记忆规律．因为多数复杂公式是由简单公式推导而来的，所以教师在三角函数公式教学中，基于差公式㊁半角公式㊁差化积公式等基本公式来引入新内容，以便为知识迁移奠定基础，真正让学生养成知识运用㊁问题解答的良好习惯．除此之外，教师引导学生遵循课本预习㊁课后题练习㊁疑难知识点专项问答这一学习顺序，思考理论知识在解题中的运用，多思考㊁勤总结．二㊁课本中的例题解答㊁定理证明是答题模板，学生需要回归课本，规范解答课本在编制的过程中，选择例题也是很讲究的，都是选择典型的例题，是可以体现出解决一类问题的模板，很具有说服力．学生需要认真分析课本中的定理㊁概念和代表性例题，进而在解题的过程中不断提升他们的思维逻辑性以及严谨性，避免在考试中因为解答不规范而白白丢失一些分数．因此，教师在教学中就需要引导学生认真地阅读课本中有代表性的习题以及例题的解题表述，让学生能够掌握规范的解题步骤．例如，在必修二中就介绍了立体几何题目面面垂直的规范解答步骤；在第１２０页中的例题５，就列出了对点轨迹方程求解的问题的规范解答步骤，依据求的内容，将其进行假设，设出要求的点的坐标，结合题目建立相应的关系后，在化简之后，求出要求点的横坐标和纵坐标满足的关系式就可以．课本中给出的具有代表性的例题，和高考都有密切的联系，只需要让学生基于课本中的方法以及步骤做出相应的迁移就可以，这样学生在高考中遇到相同类型的问题时才能熟练地的解决，提升了他们的解题效率和效果．㊀㊀㊀解题技巧与方法１３１㊀数学学习与研究㊀２０２０１２每道题目的解答过程都是由不同语言组成的，包括符号㊁文字以及图形语言．不一样的题目在要求上也存在差异，在书写上要求的格式不一样，这就需要学生认真地观看课本中每道题的解题步骤和书写格式，归纳出每种题型的答题模式．举例来说，在数形思维转换类例题的讲解中，例题为直线ｘ＋３ｙ＝３，当ｘ＝０时，ｙ＝１；当ｙ＝０时，ｘ＝３，根据已学知识画出二元不等式对应的图像．教师在数学课堂上启发学生数学思维，并给学生留出充足思考时间，让学生梳理例题解答思路，使其根据教材内容探索多种解题方式．班级上大多数学生能够联想到函数图像，将文字信息通过图形呈现，进而根据二元不等式已知条件高效㊁准确地画出图像（如图２所示）．图２㊀例题中二元不等式对应的函数图像三㊁挖掘课本中习题的拓展，收集重要的结论，高效灵活地解题课本中包含的习题以及复习参考题，都是专家长时间仔细挑选出的好题．因此，教师需要让学生在考试前将课本看透，收集整理好容易出错以及经常考查的知识点．课本上有一些习题就是结论，教师需要带领学生进行归纳，让学生能够熟练掌握那些小结论，这对学生解题具有积极的影响，在遇到小题时可以直接使用这些结论，而遇到大题时也可以运用结论更快㊁更好地解题．例如，在必修二教材的１０４页中的例题４，其得出的结论就是平行四边形的平方和与两条对角线的平方和是相等的，这在解题中就可以拿来应用．需要注意的是，学生要在结论理解的基础上进行应用，如果机械式记忆结论，那么结论很快会被遗忘，并且在解题中难以灵活运用结论．最关键一点，教师要通过课本例题来归纳结论，之后再为学生布置结论应用的习题，以此巩固知识，并根据习题解答情况检验结论运用效果，视情况专项指导㊁合理调整教学节奏．除此之外，重要结论收集能为类比法教学做铺垫，一定程度上能够提高数学教学效率，让学生结合自身情况掌握数学题解答技巧，争取在短时间内提升学生数学运算能力．高中数学函数知识点在总知识点中占较大比例，并且函数知识点是常见考点，其得分情况影响数学总分．针对简单函数教学时，教师让学生根据定义判断函数单调性，即在一定区间中，函数因变量随自变量增减而变化．具体来说，函数因变量随自变量增大而增大，意味着函数单调性呈现单调递增特点；如果函数因变量随自变量增大而减小，则函数单调性呈现单调递减特点．实际例题解答时，还应结合函数导数知识点．举例来说，判断ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］区间内的单调性，这时要根据［ｍ，ｎ］区间内的导数进行判断，如果在［ｍ，ｎ］区间内的导数大于０，则说明ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］区间内是单调递增函数；如果［ｍ，ｎ］区间内的导数小于０，那么ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］区间内是单调递减函数．上述判断方法适用于简单函数，对于复杂函数单调性判断而言，应重点引入导数知识点，如果一味应用简单函数单调性判断方法，不仅会浪费解题时间，而且极易扩大误差．四㊁分析课本中的例题，培养学生发散思维，让他们能够做到一题多解新课改背景下，高中数学教师应注重学生数学思维的拓展．数学课堂上，教师结合课本知识点引导学生养成一题多解的良好习惯，鼓励学生利用不同方法解答同一数学问题，这既能激发学生的数学潜力，又能让学生从多种解题方法中得知适合自身的解题策略．这对学生逻辑思维能力的培养㊁创新创造力的锻炼有重要意义．教师回归课本，对其中的价值进行深入的挖掘，有利于提升学生的运算解题能力．例如，已知圆Ｏ，其中Ａ是弧ＢＣ的中点，Ｅ是弧ＢＣ的一点，ＡＢ＝ＡＣ，证明ＡＥ＝ＢＥ＋ＣＥ，这就是考查学生对于全等三角形知识点的学习情况，教师要让学生结合学习过的知识解题，不规定学生使用哪种方法，只要可以证明出论点ＡＥ＝ＢＥ＋ＣＥ就可以，在所有的学生都解答出之后，再让他们尝试不同的解法．教师最后需要解析每种解题方法，学生能够认识到题目并不是只有一种解题思路和方法，让他们能够懂得用一种方法解答不出题目的时候，要学着换一种方法解答，打破固定的解题思路，提升他们的解题能力，还可以促进他们发散性思维的发展．一题多解法应用时，数学教师所扮演的角色十分关键．如果教师过多参与，那么学生的课堂主体地位会逐渐降低，进而影响学生思维创造力的提升；如果教师完全将课堂交由学生，那么课堂的秩序无从保证，并且一题多解效果将大打折扣．所以教师应充分发挥指导作用，在课堂中适当参与，全程记录学生在课堂中的表现，必要时进行方向纠正，并提供帮助．例如，解答２＜｜ｘ－３｜＜４这一数学例题时，教师鼓励学生先独立思考问题解答方法，然后让学生以小组合作的方式交流问题㊁解答思想，以此活跃课堂氛围，让学生养成多角度分析㊁多层面探究的学习习惯．当讨论时间达到后，各组组长分别展示组员想到的解题方法．方法一即不等式组求解法，例题不等式等价于｜ｘ－３｜＞２㊁｜ｘ－３｜＜４不等式组，所以答案为５＜ｘ＜７；方法二即绝对值定义法，分别对ｘ－３与０的关系分析，情况一：ｘ－３＝０，情况二：ｘ－３＞０，情况三：ｘ－３＜０，则答案为｛ｘ｜５＜ｘ＜７｝．正是因为教师有序组织课堂，所以学生能够配合一题多解活动，即便学生日后遇到相关问题，也能从多个视角与维度去思考和剖析问题，进而寻找到解决问题的新方法．长此以往，高中生数学思维能力能够得到锻炼，学生解题水平会大幅提高．五㊁结束语综上所述，在高三复习的过程中，教师一定要带领学生回归课本中的基础知识点，只有掌握好基础知识点，才能在解题中灵活地进行运用，提高解题能力．另外，教师还需要对学生的解答进行规范，提升他们的运算能力．ʌ参考文献ɔ［１］钱铭，谢广喜．回归课本，夯实基础，从典型问题中提炼一般化解决模式以‘高中数学教学与测试“的使用为例谈高三第一轮数学复习之体会［Ｊ］．中心数学月刊，２０１６（１）：５６－５９．［２］吴启虎．挖掘教材例题，提高解题能力［Ｊ］．数理化学习（初中版），２０１４（１１）：５６；２０１４（１１）：５８．。

2024年新高考Ⅱ卷高考数学试卷评析及备考策略指导课件

以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略
3.3 课堂示范到位，加强算法的指导和训练
在（1）问计算时，最好转换为分数计算，及时约分，减小数值；在（2）问计算时，要及时提取公因式，因式分解，减少雍繁的字母；在（3）问计算时，要善于用二项分布的期望公式，减少计算环节。
以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略
3.3 课堂示范到位，加强算法的指导和训练在（3）问计算时，要善于用二项分布的期望公式，减少计算环节。
以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略
3.3 课堂示范到位，加强算法的指导和训练
解析几何中的运算是“带有几何特征的运算”，
如果只知道“死算”，不注意利用图形要素、相关
要素的基本关系以及图形之间的相互关系(例如本题
03
共享复习策略科学备战高考
PART 03
以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略
3.1 熟悉高考模式与内容，抓准复习方向；
以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略
3.2 织牢知识网络体系，注重板块间的整合复习；
3.2.1 立体几何与解析几何的结合； 3.2.2 函数与数列的结合； 3.2.3 解析几何与数列的结合； 3.2.4 概率统计与数列的结合等等。
中的对称、垂直等)，那么解析几何的运算难点是很
难突破的。
-----章建跃
以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略
3.4 遵循教育规律，依据学情差异化复习
以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略
3.4 遵循教育规律，依据学情差异化复习
以考促教教考衔接 2024年高考试卷评析及备考策略

2024年高考数学二轮复习备考建议和策略

2024年高考数学二轮复习备考建议和策略一、基础知识巩固在高考数学的二轮复习中，首先要做的就是巩固基础知识。

数学是一门对基础要求极高的学科，因此，必须确保对所有基础知识有深入的理解和准确的记忆。

对于数学概念、公式和定理，需要反复练习和记忆，避免在解题过程中出现理解和记忆的错误。

二、解题技巧提升掌握一定的解题技巧是提高数学成绩的关键。

在二轮复习中，考生应有意识地提升自己的解题技巧。

这包括掌握各类题型的解题方法，理解不同题型的解题思路，以及提高解题速度和准确率。

可以通过大量的练习和总结，逐步提升自己的解题技巧。

三、模拟试题演练模拟试题的演练是二轮复习的重要环节。

通过模拟试题的练习，可以了解自己对知识点的掌握程度，找出自己的薄弱环节，并根据实际情况调整复习策略。

建议考生在练习模拟试题时，注重时间管理和答题技巧的训练，提高自己的应试能力。

四、错题集整理与回顾整理和回顾错题是提高数学成绩的有效方法。

建议考生建立错题集，将练习和模拟考试中的错题记录下来，并定期回顾。

这样可以深入剖析自己的知识盲点和思维误区，避免在同一个问题上反复出错。

同时，也能为最后的冲刺复习提供方向和重点。

五、真题研究与总结研究高考数学真题，可以帮助考生了解命题趋势和考试要求。

通过对历年真题的练习和研究，可以发现自己的不足之处，找出自己的薄弱环节，并根据实际情况调整复习策略。

同时，也能熟悉考试难度和出题方式，提高应试心理素质。

六、心理辅导与调整高考是一场持久战，不仅考验考生的知识储备和应试能力，还考验考生的心理素质。

在二轮复习期间，考生应注重心理辅导与调整。

可以通过心理咨询、放松训练等方法，缓解压力和焦虑情绪，保持积极乐观的心态。

同时，也要注意休息和锻炼，保持良好的身体状态。

七、时间管理规划在二轮复习期间，考生应注重时间管理规划。

要根据自己的实际情况，合理安排每天的学习时间和任务量，做到高效复习。

建议制定详细的复习计划，并按照计划执行。

同时，也要注意劳逸结合，避免过度疲劳影响复习效果。