运筹学资料3多目标规划1
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
多目标规划方法讲义
max(min)Z f1( x1, x2,, xn )
i ( x1, x2,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f
min j
fj
f
max j
(
j
2,3,,
k)
方法四 目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1( X )
min
F
(
x
)
min
f2
(X
)
fk
(
X
)
1
(
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描 写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
Z F ( X ) max(min) f2 ( X )
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题 有了新的限制，既目标约束。
目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起 作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
目标规划的图解法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
运筹学目标规划
目标规划举例
• 例1. 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据如 表。试求获利最大的生产方案。
产品I 产品II 拥有量 1 11 原材料(kg) 2 1 2 10 设备(hr) 10 利润(元/件) 8
• • • • •
实际上，工厂在作决策时，要考虑一系列因素： (1) 产品I的产量不大于产品II； (2)原材料超过时，采购成本增加； (3) 设备台时尽量用完； (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。
第 5章
目标规划
(Goal programming)
第1节 目标规划的数学模型
第2节 目标规划的图解法
第3节 目标规划的单纯形法
第1节 目标规划的数学模型 一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管 理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函 数取得最优解，在实际问题中，可能会同时考虑几个 方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好， 利润最大，环境达标，运输满足等。 目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系， 求得更切合实际要求的解。
解: 分析 第一目标：min z1= P 1d1
设备(台时) 单件利润
1 8
2 10
10
第二目标：min z2= P (d d )
第三目标：min z3= P d
2 2 3 3
2
规划模型：
min Z P d P2 (d d ) P3d 2 x1 x2 11 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 56 1 2 3 3 x1, 2 0, d , d 0 ( j 1 , 2 , 3 ) j j
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
运筹学
目标规划
( Goal programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型
目标规划问题及其数学模型
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问题的提出：
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目 标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。
由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复 杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产 生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管 理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的 轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标 或从总体上离规定目标的差距为最小。
含量 食物
甲
乙
成分
A1 A2 A3 原料单价
0.1
0.15
1.7
0.75
1.10 1.30
2
1.5
最低 需要量
1.00 7.50 10.00
线性规划在管理中的应用
解：设Xj 表示Bj 种食物用量
min Z 2 x1 1.5 x2
0.10x1 0.15x2 1.00
1.7 1.1
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 5
运筹学简述
Page 6
运筹学（Operations Research） 运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：
“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
x5 x6 30
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
多目标规划及案例
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
∗1 ∗
微积分
5
∗2 ∗
线性代数
4
∗ 3 ∗ 最优化方法
4
4
数据结构
3
5∗
应用统计
4
∗6
计算机模拟
3
∗ 7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
∗9 ∗
数学实验
3
9
增加约束 ∑ xi = 6 ， i =1
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
Max z = 200 x1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤12,
4x1 ≤16,
5x2 ≤15,
x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优
解
x1 = 3, x2 = 3, z* = 1500.
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
Max
s. t.
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎪⎧min{d −}; ⎪⎩⎨200x1 + 300x2 + d − − d + = 1500.
运筹学模型的分类和类型
运筹学模型的分类和类型运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。
运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。
根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。
在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。
它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。
通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。
某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。
在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。
某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。
它通常用于求解多阶段决策问题。
动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。
在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。
它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。
网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。
通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。
在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：排队论模型是一种描述排队系统的模型。
它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
运筹学中关于规划问题的常用解决方法
运筹学中关于规划问题的常用解决方法运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
在运筹学中，规划问题是一类常见的问题，它涉及到如何合理分配资源以达到特定的目标。
本文将介绍运筹学中关于规划问题的常用解决方法。
首先，线性规划是解决规划问题最常用的方法之一。
线性规划的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。
线性规划的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z是要优化的目标函数，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的常数，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量。
其次，整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量必须取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如生产调度、物流配送等。
整数规划的求解方法包括分支定界法、割平面法等。
分支定界法通过将整数规划问题划分成一系列子问题，并逐步求解，最终得到最优解。
割平面法则通过添加额外的线性约束条件来逐步逼近最优解。
除了线性规划和整数规划，规划问题还可以通过动态规划方法求解。
动态规划是一种将问题分解成子问题并逐步求解的方法。
它适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划的核心思想是通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
动态规划在求解最短路径、背包问题等方面具有广泛的应用。
此外，启发式算法是一类基于经验和直觉的求解方法，它通过不断搜索和优化来寻找问题的近似最优解。
启发式算法常用于求解复杂的规划问题，如旅行商问题、车辆路径问题等。
运筹学的主要内容
运筹学的主要内容运筹学一般应包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划、网络分析、排队论、对策论、决策论、存储论、可靠性理论、模型论、投入产出分析等等。
线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划这五个部分统称为规划论，它们主要是解决两个方面的问题。
一个方面的问题是对于给定的人力、物力和财力，怎样才能发挥它们的最大效益；另一个方面的问题是对于给定的任务，怎样才能用最少的人力、物力和财力去完成它。
网络分析主要是研究解决生产组织、计划管理中诸如最短路径问题、最小连接问题、最小费用流问题、以及最优分派问题等。
特别在设计和安排大型复杂工程时，网络技术时重要的工具。
排队现象在日常生活中屡见不鲜，如机器等待修理，船舶等待装卸，顾客等待服务等。
它们有一个共同的问题，就是等待时间长了，会影响生产任务的完成，或者顾客会自动离去而影响经济效益；如果增加修理工、装卸码头和服务台，固然能解决等待时间过长的问题，但又会蒙受修理工、码头和服务台空闲的损失。
这类问题的妥善解决是排对论的任务。
对策论是研究具有厉害冲突的各方，如何制定出对自己有利从而战胜对手的斗争策略。
例如，战国时代田忌赛马的故事便是对策论的一个绝妙的例子。
决策问题是普遍存在的，凡属“举棋不定”的事情都必须做出决策。
人们之所以举棋不定，是因为人们在着手实现某个预期目标时，面前出现了多种情况，又有多种行动方案可供选择。
决策者如何从中选择一个最优方案，才能达到他的预期目标，这是决策论的研究任务。
人们在生产和消费过程中，都必须储备一定数量的原材料、半成品或商品。
存储少了会因停工待料或失去销售机会而遭受损失，存储多了又会造成资金积压、原材料及商品的损耗。
因此，如何确定合理的存储量、购货批量和购货周期至关重要，这便是存储论要解决的问题。
对于一个复杂的系统和设备，往往是由成千上万个工作单元或零件组成的，这些单元或零件的质量如何，将直接影响到系统或设备的工作性能是否稳定可靠。
运筹学课件 第五章多目标规划
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
运筹学目标规划
运筹学目标规划运筹学目标规划，英文名为Operations Research，是一门应用数学领域的综合性学科，旨在通过数学建模和优化方法解决工程和管理问题。
运筹学目标规划是运筹学中的一个重要方法，可以帮助决策者制定合理的目标，并找到实现这些目标的最优方案。
运筹学目标规划的主要目标是将决策问题转化为数学模型，并采用数学优化方法解决这些模型。
在目标规划中，决策者的目标通常是多个且互相冲突的，因此需要进行目标权重的设定和优化。
运筹学目标规划通过建立数学模型和运用多目标优化算法，可以帮助决策者找到最佳的目标权重，从而实现最优方案。
运筹学目标规划的应用范围广泛，可以用于解决工程、生产、物流、供应链管理等各个领域的问题。
在生产领域，目标规划可以帮助企业制定合理的生产计划，优化资源配置，提高生产效率和质量。
在物流领域，目标规划可以帮助企业设计最佳的物流网络，优化货物配送路线和仓库布局，降低物流成本和时间。
在供应链管理领域，目标规划可以帮助企业协调供应链上各个环节的决策，并优化整个供应链的绩效。
运筹学目标规划的具体步骤包括问题定义、建模、求解和结果分析。
首先，需要明确决策问题的目标和约束条件，并收集相关的数据。
然后，将问题转化为数学模型，确定目标函数和约束条件。
接下来，采用适当的数学优化方法，如线性规划、整数规划、动态规划等，求解模型，得到最优解。
最后，对求解结果进行分析，评估方案的可行性和有效性，并提出相应的优化建议。
总之，运筹学目标规划是一种将决策问题转化为数学模型，并采用数学优化方法解决的方法。
它可以帮助决策者制定合理的目标，并找到实现这些目标的最优方案。
运筹学目标规划在工程和管理领域有着广泛的应用，可以显著提高效率和降低成本。
将来随着计算机技术的发展和算法的改进，运筹学目标规划还将不断发展和完善，为各个行业的决策者提供更强大的决策支持。
运筹学知识点
运筹学知识点运筹学是一门重要的科学，在许多领域都有广泛的应用。
它的核心思想是通过数学模型和方法，优化决策和资源利用效率，以解决复杂的问题。
运筹学知识点有很多，以下列举了一些常见的知识点：1.线性规划：线性规划是运筹学中的一种基本方法，它运用线性代数和数学优化的原理，建立以线性方程组为模型的最优化问题，并通过解题方法进而实现决策优化。
2.整数规划：在满足目标规划条件下，整数规划通过约束条件限制变量的取值，使得目标函数取得最优解。
其解题方法和线性规划有很大不同。
3.动态规划：动态规划是一种求解最优化问题的有效方法，它将复杂的问题分为若干个阶段，并逐步解决，每一阶段的结果又逐渐形成最终结果的总体。
4.排队论：排队论是解决等待的问题，并给出一个概率模型，用于分析排队队列的长度、客户等待时间以及服务员利用率等因素，以此实现资源的最大化使用。
5.模拟算法：模拟算法旨在通过计算机模拟系统的行为，来解决复杂的问题。
因此，模拟算法在实践中发挥了非常大的作用。
6.蒙特卡罗模拟：蒙特·卡罗模拟利用随机模拟，模拟某种情况下的组合概率，从而推导出该情况下的期望值。
这种方法在金融和保险领域非常常见。
7.网络分析：网络分析是一个建立图形数据结构的领域，它的目的是找到一个最短路径，使得要素之间的距离最小化。
8.多目标规划：多目标规划是一种形式化的方法，用以解决一组目标的最优化问题。
该方法多用于具有多个目标的问题，例如通过环境、财务和社会责任计算最大效益的问题等。
9.贝叶斯分析：贝叶斯分析是基于统计学的一种分析方法，在研究产生与观察数据之间关系时，可以用其揭示变量间的作用。
10.决策树：决策树是一种表达多个可能结果和可能决策的图形模型，可作为决策过程的工具，也可用于预测和分类。
在研究中，它应用广泛，往往被用于盈利和损失的预测，以及投资等。
运筹学笔记
运筹学笔记运筹学笔记主要包括以下内容：运筹学简介：运筹学是应用数学和形式科学的跨领域分支，利用数学及优化理论的量化原理来描述管理行为，通过决策提供依据，并系统的利用和创造资源。
线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，用于解决资源优化配置问题。
线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一组线性函数的最大值或最小值。
整数规划：整数规划是线性规划的一个扩展，要求决策变量取整数值。
整数规划问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流配送等。
动态规划：动态规划是一种解决优化问题的数学方法，它通过将一个复杂问题分解为若干个子问题，然后逐个求解子问题，最终得到原问题的最优解。
图论：图论是运筹学中用于研究图的结构和性质的一个分支。
图论中的优化问题包括最小生成树、最短路径、最大流等。
排队论：排队论是研究排队等待现象的数学理论，主要应用于服务系统的设计和优化，如医院、银行、机场等场所的排队等待问题。
存储论：存储论是研究存储策略和物资管理问题的数学理论，主要应用于物资的存储、订货和补货等问题。
决策分析：决策分析是运筹学中用于解决决策问题的数学方法，包括风险决策、不确定决策、多目标决策等。
启发式算法：启发式算法是一种基于经验和直观的优化算法，通常用于解决难以用数学模型描述的问题。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
多目标规划：多目标规划是运筹学中用于解决多个相互冲突的目标的优化问题的数学方法。
在多目标规划中，通常需要权衡不同目标之间的利益关系，寻求最优的解决方案。
以上是运筹学笔记的主要内容，通过学习和掌握这些内容，可以帮助解决各种实际问题，提高管理和决策效率。
运筹学知识点总结归纳
运筹学知识点总结归纳运筹学知识点总结归纳一、引言运筹学是一门综合运用数学、统计学和优化理论等相关知识解决实际问题的学科。
它的一个核心目标是在给定的约束条件下，使系统达到最佳状态。
本文将对运筹学的一些基本概念、方法和应用进行总结归纳，以便读者对这门学科有更深入的了解。
二、线性规划线性规划是运筹学中最基本、最常见的数学模型之一。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。
通过线性规划，我们可以最小化或最大化一个目标函数来寻找最优解。
常见的线性规划方法有单纯形法、对偶法和内点法等。
三、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式。
在整数规划中，决策变量的取值限制为整数。
这种限制使问题更加复杂，通常需要使用分支定界法、割平面法等算法来求解。
整数规划在许多实际问题中有广泛的应用，如生产调度、路径优化等。
四、网络流问题网络流问题是运筹学中一个重要的研究方向。
在网络流问题中，节点和边表示物理或逻辑上的位置，流量沿边流动，目标是最大化总流量或最小化总成本。
常见的网络流问题有最小费用流问题、最大流问题等。
在实际应用中，网络流问题可以用于交通规划、供应链管理等领域。
五、排队论排队论是研究队列系统的数学理论。
队列是指一组按照某种顺序排列的实体，而排队论则是研究这些实体如何进入和离开队列的过程。
通过排队论，可以估计系统的性能指标，如平均等待时间、系统利用率等。
排队论在交通管理、生产调度等领域有广泛的应用。
六、决策分析决策分析是运筹学中的一个重要分支，旨在通过分析问题的数据和信息，寻找最优的决策方案。
决策分析中常用的工具包括决策树分析、多属性决策等。
通过决策分析，我们可以对风险进行评估，并为决策者提供有力的支持。
七、多目标规划多目标规划是一种同时优化多个目标函数的决策问题。
在多目标规划中，不同的目标可能相互冲突，无法简单地将其转化为单一目标。
解决多目标规划问题的方法有权重法、向量法等。
多目标规划在工程设计、投资组合等领域有广泛的应用。
运筹学多目标规划演示文稿
1， 投资第i个项目 0，不投资第i个项目
约束条件： n
i1
ai xi
A
xi 0或1（i 1,, n)
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§2 多目标规划模型及其解的概念
目标函数：何为最佳的经济效益？
（1）收益最大：
n
max f1 ( x1 ,, xn ) bi xi i 1
（2）投资最少：
n
min f2 ( x1 ,, xn ) ai xi i 1
运筹学多目标规划演示文稿
第一页，共57页。
运筹学多目标规划
第二页，共57页。
§1 多目标决策简介
一、多目标决策问题实例
• 干部评估－德、才兼备
• 教师晋升－教学、科研、论文等
• 购买冰箱－价格、质量、耗电、品牌等 • 球员选择－技术、体能、经验、心理
• 找对象－容貌、学历、气质、家庭状况
第三页，共57页。
三、多目标决策与单目标决策区别
• 点评价与向量评价
单目标： 方案dj ←评价值f(dj) 多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))
• 全序与半序: 方案di与dj之间
单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况
先引进一些记号，记
F1
(
f11，……，f
1 p
)
Ep
F2
(
f12，……，f
2 p
)
Ep
(1)" "：F 1 F 2意味着向量F 1的每个分量都要严格的小于向
量F
2对应的分量。即对于i
1，……，p，均有f
1 i
多目标规划求解方法介绍
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
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多目标的综合
•线性规划致力于某个目标函数的 最优解， 最优解，这个最优解若是超过了实 际的需要， 际的需要，很可能是以过分地消耗 了约束条件中的某些资源作为代价。 了约束条件中的某些资源作为代价。 •线性规划把各个约束条件的重要 性都不分主次地等同看待， 性都不分主次地等同看待，这也不 符合实际情况。 符合实际情况。
1 2 3
270 270 260
108 80 80
130 160 120
目标：（ ：（1 利润达到280百元；（2 百元；（ 目标：（1）利润达到280百元；（2） 钢材不超过100吨 工时不超过120 钢材不超过100吨，工时不超过120 小时； 小时； 对于（ ），三个方案都没有完成 三个方案都没有完成。 对于（1），三个方案都没有完成。 但方案3离目标最远，方案3最差。 但方案3离目标最远，方案3最差。 方案1 方案1与（2）的差距： 的差距： 工时损失= 工时损失= （108-100）*5+（130-120）*1=50 108-100） 5+（130-120）
产品 /资源 资源 原材料钢 （吨）
甲 2 4 6
乙 3 2 4
可利用 的资源 总量 100 120
加工时间（ 小时） 加工时间 （ 小时 ） 单位利润（ 百元） 单位利润 （ 百元 ）
如何安排生产，使利润达到最大。 如何安排生产，使利润达到最大。 用单纯形法求得最优解= 20，20） 用单纯形法求得最优解=（20，20） 最优值=200（百元） 最优值=200（百元）
（3）不使A、B车间停工（权数由 不使A 车间停工（ 生产费用确定）； 生产费用确定）； （4）A车间加班时间限制在20小时 车间加班时间限制在20小时 内； （5）每月销售录音机为100台； 每月销售录音机为100台 （6）两车间加班时数总和要尽可 能小（权数由生产费用确定）； 能小（权数由生产费用确定）；
目标：（ ：（1 利润达到280百元；（2 百元；（ 目标：（1）利润达到280百元；（2） 钢材不超过100吨 工时不超过120小 钢材不超过100吨，工时不超过120小 时； 方案1与方案3都达到了（ ），又没 方案1与方案3都达到了（1），又没 达到（ 达到（2） 方案1 方案1与（2）的差距： 的差距： 工时损失 =（110-100）*5+（130-120）*1=60 110-100） 5+（130-120）
目标优先级作如下约定： 目标优先级作如下约定：
•对同一个目标而言，若有几个 对同一个目标而言， 决策方案都能使其达到， 决策方案都能使其达到，可认为 这些方案就这个目标而言都是最 优方案；若达不到， 优方案；若达不到，则与目标差 距越小的越好。 距越小的越好。
目标优先级作如下约定：
• 不同级别的目标的重要性是不可 比的。 比的。即较高级别的目标没有达到 的损失， 的损失，任何较低级别的目标上的 收获都不可弥补。 收获都不可弥补。所以在判断最优 方案时， 方案时，首先从较高级别的目标达 到的程度来决策， 到的程度来决策，然后再其次级目 标的判断。 标的判断。
方案编号 利润(百元) 钢(吨) 工时(时)
1 2 3 4
290 280 285 270
110 100 95 90
130 115 190 120
目标：（ ：（1 利润达到280百元；（2 百元；（ 目标：（1）利润达到280百元；（2） 钢材不超过100吨 工时不超过120 钢材不超过100吨，工时不超过120 小时； 小时； 对于（1），只有方案4没有完成。 只有方案4 对于（ ），只有方案 没有完成。 排除方案4 排除方案4。 对于（ ），只有方案 达到了， 只有方案2 对于（2），只有方案2达到了，因 此方案2是最优。 此方案2是最优。
例4-1：一个企业需要同一种原 材料生产甲乙两种产品， 材料生产甲乙两种产品，它们 的单位产品所需要的原材料的 数量及所耗费的加工时间各不 相同， 相同，从而获得的利润也不相 如下表）。那么， ）。那么 同（如下表）。那么，该企业 应如何安排生产计划， 应如何安排生产计划，才能使 获得的利润达到最大？ 获得的利润达到最大？
方案2 方案2与（2）的差距： 的差距： 工时损失 =0*5+（160-120） =0*5+（160-120）*1=40 方案2优于方案1 方案2优于方案1
方案2优于方案1优于方案3 方案2优于方案1优于方案3
4-2 多目标规划问题的数学模型
多目标的处理 为了将不同级别的目标的重要 性用数量表示，引进P 性用数量表示，引进P1，P2，…., 用它表示一级目标，二级目标， 用它表示一级目标，二级目标，….， 的重要程度，规定P 的重要程度，规定P1》P2 》 .,为级别系 P3 》….。称P1，P2，….,为级别系 数。
（1）生产量达到210件/周； 生产量达到210件 （2） A生产线加班时间限制在 15小时内； 15小时内 小时内； （3）充分利用工时指标，并依 充分利用工时指标， A、B产量的比例确定重要性。 产量的比例确定重要性。
例4-3：某电器公司经营的唱机和 录音机均有车间A 录音机均有车间A、B流水作业组 数据见下表。 装。数据见下表。 要求按以下目标制订月生产计划： 要求按以下目标制订月生产计划： （1）库存费用不超过4600元； 库存费用不超过4600元 （2）每月销售唱机不少于80台； 每月销售唱机不少于80台
问题： 问题：该厂提出如下目标 （1）利润达到280百元； 利润达到280百元 百元； （2）钢材不超过100吨，工时不 钢材不超过100吨 超过120小时 小时； 超过120小时； 如何安排生产？ 如何安排生产？
例4-2：某车间有A、B两条设备 某车间有A 相同的生产线， 相同的生产线，它们生产同一种 产品。 生产线每小时可制造2 产品。A生产线每小时可制造2 件产品， 件产品，B生产线每小时可制造 1.5件产品。如果每周正常工作 1.5件产品 件产品。 时数为45小时 小时， 时数为45小时，要求制定完成下 列目标的生产计划： 列目标的生产计划：
方案3 方案3与（2）的差距： 的差距： 工时损失=0*5+ 190-120） 工时损失=0*5+（190-120）*1=70 方案1优于方案3 方案1优于方案3。
方案2优于方案1优于方案3 方案2优于方案1优于方案3优于方 案4
例4-4：继续上例
方 案 编号 利 润 (百 元 ) 钢 (吨 ) 工 时 (时 )
•求解线性规划问题，首先要求 求解线性规划问题， 约束条件必须相容， 约束条件必须相容，如果约束 条件中，由于人力， 条件中，由于人力，设备等资 源条件的限制， 源条件的限制，使约束条件之 间出现了矛盾， 间出现了矛盾，就得不到问题 的可行解， 的可行解，但生产还得继续进 行，这将给人们进一步应用线 性规划方法带来困难。 性规划方法带来困难。
目 标 规 划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型 目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
同时考虑多个决策目标 称为多目标规划问题。 时，称为多目标规划问题。
4-0
引言
从线性规划问题可看出： 从线性规划问题可看出： •线性规划只研究在满足一定条件下，单 线性规划只研究在满足一定条件下， 一目标函数取得最优解， 一目标函数取得最优解，而在企业管理 经常遇到多目标决策问题， 中，经常遇到多目标决策问题，如拟订 生产计划时，不仅考虑总产值， 生产计划时，不仅考虑总产值，同时要 考虑利润，产品质量和设备利用率等。 考虑利润，产品质量和设备利用率等。 这些指标之间的重要程度（即优先顺序） 这些指标之间的重要程度（即优先顺序） 也不相同， 也不相同，有些目标之间往往相互发生 矛盾。 矛盾。
产品 /资源 资源 原材料钢 4
可利用 的资源 总量 100 120
加工时间（ 小时） 加工时间 （ 小时 ） 单位利润（ 百元） 单位利润 （ 百元 ）
如何安排生产，使利润达到最大。 如何安排生产，使利润达到最大。 前面已经求得最优解= 20，20） 前面已经求得最优解=（20，20） 最优值=200（百元） 最优值=200（百元）
项目品种
工时消耗 （ 时 /台 ） 台 A B 2 1 180 100 1 3 200 50
库存费用 利润 （ 元 /台 月 ） （ 元 /台 ） 台 台
唱机 录音机 总 工 时 /月 生 产 费 用 /时 时
50 30
250 150
多目标优先级 先将目标等级化：将目 先将目标等级化： 标按重要性的程度不同依次 分成一级目标、二级目标…..。 分成一级目标、二级目标…..。 最次要的目标放在次要的等 级中。
多目标规划解的概念： 多目标规划解的概念： •若多目标规划问题的解能使所 有的目标都达到， 有的目标都达到，就称该解为 多目标规划的最优解； 多目标规划的最优解； •若解只能满足部分目标，就称 若解只能满足部分目标， 该解为多目标规划的次优解； 该解为多目标规划的次优解；
多目标规划解的概念： 多目标规划解的概念： •若多目标规划问题的解能使所 有的目标都达到， 有的目标都达到，就称该解为 多目标规划的最优解； 多目标规划的最优解； •若解只能满足部分目标，就称 若解只能满足部分目标， 该解为多目标规划的次优解； 该解为多目标规划的次优解； •若找不到满足任何一个目标的 就称该问题为无解。 解，就称该问题为无解。
例4-4：（例4-1）一个企业需要 ：（例 同一种原材料生产甲乙两种产品， 同一种原材料生产甲乙两种产品， 它们的单位产品所需要的原材料 的数量及所耗费的加工时间各不 相同， 相同，从而获得的利润也不相同 如下表）。那么， ）。那么 （如下表）。那么，该企业应如 何安排生产计划， 何安排生产计划，才能使获得的 利润达到最大？ 利润达到最大？
•为了弥补线性规划问题的局限 性，解决有限资源和计划指标 之间的矛盾， 之间的矛盾，在线性规划基础 建立目标规划方法， 上，建立目标规划方法，从而 使一些线性规划无法解决的问 题得到满意的解答。 题得到满意的解答。