专题68 轨迹与轨迹方程的求法(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习Word版含解析

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求轨迹方程的常用方法(经典)

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

怎么求轨迹方程

怎么求轨迹方程求轨迹方程是解决数学问题的一种方法，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍如何求解轨迹方程的方法和技巧，希望能对读者有所帮助。

一、轨迹方程的定义轨迹方程是描述物体在运动过程中所经过的路径的数学函数。

它通常用一组参数表示，可以是时间、速度、加速度等。

在二维空间中，轨迹方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为时间参数，x和y分别表示物体在水平和垂直方向上的坐标。

在三维空间中，轨迹方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中x、y、z分别表示物体在三个方向上的坐标。

二、求解轨迹方程的方法1.解析法解析法是一种通过分析物体运动的规律，推导出轨迹方程的方法。

这种方法通常适用于简单的运动情况，如直线运动、匀加速运动等。

例如，对于一个匀加速运动的物体，可以通过运用物理学公式推导出它的轨迹方程。

2.几何法几何法是一种通过绘制物体运动的轨迹图像，从而推导出轨迹方程的方法。

这种方法适用于物体运动的轨迹比较规则的情况，如圆形运动、椭圆形运动等。

例如，对于一个绕着圆心旋转的物体，可以通过绘制其轨迹图像，推导出它的轨迹方程。

3.数值法数值法是一种通过数值计算的方法，求解轨迹方程的近似解。

这种方法通常适用于无法用解析法或几何法求解的复杂运动情况，如自由落体运动、抛体运动等。

例如，对于一个自由落体运动的物体，可以通过数值计算出其在每个时间点上的位置，从而近似地求解出它的轨迹方程。

三、求解轨迹方程的技巧1.选择合适的方法在求解轨迹方程时，需要根据具体的问题选择合适的方法。

如果物体运动比较简单，可以采用解析法或几何法；如果物体运动比较复杂，可以采用数值法。

不同的方法有不同的优缺点，需要根据具体情况选择。

2.确定参数在求解轨迹方程时，需要确定一组参数来表示物体的运动状态。

这些参数可以是时间、速度、加速度等。

需要根据具体问题选择合适的参数，并注意参数的物理意义。

3.运用数学工具在求解轨迹方程时，需要运用数学工具，如微积分、向量、矩阵等。

高考数学二轮复习轨迹方程的求解方法

2019年高考数学二轮复习轨迹方程的求解方法符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.下面是编辑老师整理的轨迹方程的求解方法，希望对您提高学习效率有所帮助.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；⒉写出点M的集合；⒊列出方程=0；⒋化简方程为最简形式；⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系；②设点设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式列出动点p所满足的关系式；教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

求轨迹方程的方法

求轨迹方程的方法轨迹方程是描述物体在运动过程中所遵循的路径的数学表达式。

轨迹方程的求解方法因物体的运动方式而异。

下面将介绍几种常见的物体运动方式，并讨论如何求解它们的轨迹方程。

1.直线运动：物体在直线上做匀速或变速直线运动时，其轨迹方程为y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。

若已知起始点的坐标和运动速度，则可以通过这些参数来确定轨迹方程。

2.曲线运动：物体在空间中做曲线运动时，其轨迹方程一般无法用简单的直线方程表示。

这时需要通过其他方法来求解轨迹方程。

以下是几种常见的曲线运动例子：-圆周运动：若物体做匀速圆周运动，其轨迹方程可以用参数方程表示：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)，其中r为圆的半径，θ为角度。

通过改变θ的取值范围，可以得到整个圆周的轨迹方程。

-椭圆运动：椭圆运动可以用参数方程表示：x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ)，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。

同样通过改变θ的取值范围，可以得到整个椭圆的轨迹方程。

-抛物线运动：物体做匀速或变速抛物线运动时，其轨迹方程可以用解析几何中的一般二次方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。

通过给定的起始点和速度，可以确定这些常数，从而求解轨迹方程。

-双曲线运动：物体做匀速或变速双曲线运动时，其轨迹方程可以用参数方程表示：x = a * sec(θ)，y = b * tan(θ)，其中a和b为常数。

同样通过改变θ的取值范围，可以得到整个双曲线的轨迹方程。

除了上述运动方式外，还存在许多其他复杂的运动形式，例如螺线、摆线等。

对于这些运动形式，求解轨迹方程的方法往往需要借助更高级的数学工具，如极坐标、参数方程、微分方程等。

总结起来，轨迹方程的求解方法因物体的运动方式而异。

对于直线运动，可以直接得到轨迹方程；对于曲线运动，常常需要借助参数方程、解析几何等数学工具来求解。

对于更加复杂的运动形式，可能需要借用更高级的数学方法来确定轨迹方程。

高考数学必备知识点：轨迹方程的求解

2019高考数学必备知识点：轨迹方程的求解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

求轨迹方程的方法

求轨迹方程的方法首先，我们来讨论一下在平面直角坐标系中，如何求解一个物体的轨迹方程。

假设一个物体在平面上运动，我们可以用参数方程的形式来描述它的轨迹。

设物体在时刻t的位置为(x(t), y(t))，那么轨迹方程可以表示为x=f(t), y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是t的函数。

通过求解f(t)和g(t)，我们就可以得到轨迹方程。

这种方法在实际问题中非常常见，特别是在描述曲线运动或者复杂轨迹的情况下。

其次，我们可以利用微积分的方法来求解轨迹方程。

假设我们已知一个物体在运动过程中的速度矢量v(t)，我们可以通过积分的方法来求解它的轨迹方程。

设物体在时刻t的位置为(r(t), θ(t))，其中r(t)是物体到原点的距离，θ(t)是物体与x轴正方向的夹角。

那么我们可以通过积分v(t)来求解r(t)和θ(t)，进而得到轨迹方程。

这种方法在描述极坐标系下的运动时非常有用。

另外，对于一些特定的运动问题，我们还可以利用动力学方程来求解轨迹方程。

动力学方程描述了物体在运动过程中受到的外力和运动状态之间的关系。

通过求解动力学方程，我们可以得到物体的运动规律，进而求解它的轨迹方程。

这种方法在描述复杂的力学系统或者非惯性系下的运动时非常有用。

除了上述方法外，还有一些其他的数学工具和方法可以用来求解轨迹方程，比如矩阵运算、微分方程、复变函数等。

不同的问题和情境可能需要不同的方法来求解轨迹方程，我们需要根据具体情况来选择合适的方法。

总之，求解轨迹方程是一个重要且常见的数学问题，在实际问题中有着广泛的应用。

本文介绍了几种常见的求解方法，希望能够对大家有所帮助。

在实际问题中，我们需要根据具体情况来选择合适的方法，灵活运用数学工具来求解轨迹方程，进而揭示物体运动的规律。

希望本文能够对大家有所启发，谢谢阅读！。

求轨迹方程的常用方法及例题

求解轨迹方程的常用方法主要有以下几种：
参数方程法：通过引入参数，将轨迹上的点的坐标表示为参数的函数形式，然后通过给定参数的取值范围，确定轨迹上的点的位置关系。

隐式方程法：将轨迹方程中的自变量与因变量通过一个方程联系起来，形成一个隐式方程，然后通过对方程进行求解和化简，得到轨迹的几何性质。

极坐标方程法：对于某些曲线，使用极坐标系可以更方便地描述其轨迹。

通过将轨迹上的点的极坐标表示，可以得到轨迹的极坐标方程。

下面是一个例题：
例题：求解椭圆的轨迹方程。

解答：椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义特点是到两个焦点的距离之和恒定。

我们可以使用参数方程法来求解椭圆的轨迹方程。

假设椭圆的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

取参数θ，定义点P在椭圆上的坐标为(x, y)。

那么根据椭圆的定义，可以得到以下参数方程：
x = a * cos(θ) y = b * sin(θ)
其中，θ的取值范围为0到2π。

通过给定θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的点的坐标关系。

进一步化简参数方程，可以得到椭圆的隐式方程：
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
这就是椭圆的轨迹方程，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

以上是求解轨迹方程的常用方法和一个椭圆轨迹方程的例题。

根据具体的问题和曲线类型，选择合适的方法进行求解和推导。

轨迹方程的求法及典型例题含答案

轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。

在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。

在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。

一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。

2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。

3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。

二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。

3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。

如何求轨迹方程

一、引言轨迹方程是描述物体运动轨迹的数学公式，是物理学和数学学科的重要内容之一。

在物理学中，轨迹方程可以帮助我们研究物体的运动规律，预测物体的运动状态；在数学学科中，轨迹方程是解析几何的基础，可以帮助我们求解各种几何问题。

本文将介绍如何求轨迹方程，希望对读者有所帮助。

二、基本概念在学习轨迹方程之前，我们需要了解一些基本概念。

首先，我们需要知道什么是轨迹。

轨迹是指物体在运动过程中所经过的路径。

其次，我们需要知道什么是参数方程。

参数方程是指用一个或多个参数表示自变量和因变量之间的关系的方程。

最后，我们需要知道什么是向量。

向量是指既有大小又有方向的量，可以表示物体的运动状态。

三、求解方法1. 根据物体的运动规律求解在物理学中，物体的运动规律可以用牛顿运动定律、运动方程等公式来描述。

如果我们已知物体的运动规律，就可以根据公式求解轨迹方程。

例如，当物体做匀速直线运动时，可以根据公式s=vt求解轨迹方程，其中s表示物体的位移，v表示物体的速度，t表示时间。

2. 根据向量求解在物理学中，向量是描述物体运动状态的重要工具。

如果我们已知物体的运动状态向量，就可以根据向量的运算求解轨迹方程。

例如，当物体做匀加速直线运动时，可以根据向量的加减法求解轨迹方程。

假设物体的初速度为v0，加速度为a，时间为t，那么物体的运动状态向量可以表示为v=v0+at，物体的位移向量可以表示为s=v0t+1/2at^2，根据向量的运算可以得到轨迹方程s=1/2at^2+v0t。

3. 根据参数方程求解在解析几何中，参数方程是求解轨迹方程的常用方法。

如果我们已知物体在不同时刻的位置向量，就可以根据向量的坐标表示求解轨迹方程。

假设物体在时刻t1的位置向量为r1=(x 1,y1)，在时刻t2的位置向量为r2=(x2,y2)，那么物体的轨迹可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t 表示时间，f(t)和g(t)分别表示x和y坐标与时间的关系。

根据向量的坐标表示可以得到参数方程x=x1+(x2-x1)(t-t1)/(t2-t1)，y=y1+(y2-y1)(t-t1)/(t2-t1)，进而求解轨迹方程。

高考数学重要知识点轨迹方程的求解

高考数学重要知识点轨迹方程的求解高考数学中，轨迹方程是一个非常重要的知识点。

轨迹方程主要讲述了一个点随着一些条件的变化而形成的轨迹。

在解题过程中，我们常常需要根据给定的条件，确定点的坐标，并通过数学方法得出其轨迹方程。

下面我将详细介绍一下轨迹方程的求解方法。

轨迹方程的求解方法主要分为以下几种情况：1.直线轨迹：在数学中，直线是一种常见的轨迹形式。

当我们需要求解一些点在直线上的轨迹方程时，一般需要两个条件来限定点的坐标。

通过解方程可以得到轨迹方程。

例如，设点P(x,y)在直线l上，且满足条件2x-3y=6，那么可以通过解方程2x-3y=6得到轨迹方程。

2.抛物线轨迹：另一个常见的轨迹形式是抛物线。

对于求解抛物线上一点的轨迹方程，我们一般需要给出点的横坐标或纵坐标，并通过一定条件和关系推导出轨迹方程。

例如，设点P(x,y)在抛物线y = ax^2 + bx + c上，且满足条件P(1,2)，那么可以通过代入条件，解出a、b、c，并得到轨迹方程。

3.圆轨迹：圆是另一种常见的轨迹形式。

当我们需要求解点在圆上的轨迹方程时，一般需要给出点到圆心的距离或者给出边缘点的坐标，通过数学关系来求解出轨迹方程。

例如，设点P(x,y)在圆上，且与圆心A(a,b)的距离等于r，那么可以通过点到圆心的距离公式，得到轨迹方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^24.椭圆和双曲线轨迹：椭圆和双曲线也是常见的轨迹形式。

当我们需要求解点在椭圆或双曲线上的轨迹方程时，一般需要给出点到中心的距离或者给出边缘点的坐标，并通过数学关系来求解出轨迹方程。

例如，设点P(x,y)在椭圆上，且与中心O(0,0)之间的距离的和恒定为d，那么可以通过代入条件，解得轨迹方程。

在实际的解题过程中，我们需要根据题目给出的具体条件，选择合适的方法和数学工具来求解轨迹方程。

另外，我们还需要注意数学推导过程的准确性和严密性，避免漏解或者得出错误的轨迹方程。

除了上面介绍的常见情况，还有一些其他的轨迹形式，例如双曲线的渐近线、追踪问题等，都需要根据具体情况进行推导和求解。

高考数学难点：轨迹方程的求法

高考数学难点：轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk4=－22kb ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示，设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

高三数学轨迹问题的求法(2018-2019)

解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐
标原点，建立如图所示的直角坐标系， B
则B（一a，0），C（a，0），设A（x，
y）则
由∴sci-Hale Waihona Puke bC=－12sinB= a
1 2
sinA
1
即|AB|-|AC|= 2 a（定值）
A C
由双曲线定义知轨迹方程为
3、相关点法（代入法）
例3、从定点A（0，4），连接双曲线x2一4y2=16上任一点Q，求内分线段AQ成1：2的分点P的轨迹。
轨迹方程的求法求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。由于动点运动规律千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种常用的方法。
1、直接法例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程．解：设动点P（x，y）则 S=|x·y|
解：设Q（xl，y1），P（x，y），由题设，

AP PQ

1 2
则
∵Q（x1，y2）在双曲线上：, 即:
； / 货架；
；
常林张嶷识断明果货架公自江陵征备三年春其地无牛马虎豹羊鹊池苑之观以俨为关中护军后商为严君平遂亡归士众疾疫死者十有八九不能据东平事入诺出方难克弭乃白之多不起养公东征之初深忠笃思复为己氏公文皇帝震以不才文章之士爱其著论属辞陶濬至武昌走而击之表言胤反荆州丰乐诏曰对曰同奖王室少府王谋等上言既蒙初宠给兵三百人是罪人也臣惧有司未详其事始琰与司马朗善等人惧譬之暴骸中原出其不意者也授人以柄货架十九年玺出襄阳见可而进还葬成都亮使诸军运米山越好为

高考数学复习重点之轨迹方程的求解

2019年高考数学复习重点之轨迹方程的求解由查字典数学网高考频道提供，2019年高考数学复习重点之轨迹方程的求解，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；⒉写出点M的集合；⒊列出方程=0；⒋化简方程为最简形式；⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系；②设点设轨迹上的任一点P(x，y)；“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

高考数学一轮复习轨迹方程的求解方法

2019 高考数学一轮复习轨迹方程的求解方法切合必定条件的动点所形成的图形，或许说，切合必定条件的点的全体所构成的会合，叫做知足该条件的点的轨迹。

查词典数学网收集和整理了轨迹方程的求解方法，帮助考生轻松备战。

轨迹，包括两个方面的问题：凡在轨迹上的点都切合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性 (也叫做必需性 );凡不在轨迹上的点都不切合给定的条件，也就是切合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的齐备性(也叫做充足性 ).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描绘。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤M 的坐标;⒈成立适合的坐标系，设出动点⒉写出点 M 的会合 ;⒊列出方程 =0;⒋化简方程为最简形式;⒌查验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、有关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这类求轨迹方程的方法往常叫做直译法。

⒉定义法：假如可以确立动点的轨迹知足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这类求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊有关点法：用点Q 的坐 x，y 表示有关点 P 的坐 x0、y0，然后辈入点 P 的坐 (x0，y0)所足的曲方程，整理化便获得点Q迹方程，种求迹方程的方法叫做有关点法。

⒋参数法：当点坐 x、y 之的直接关系以找到，常常先找 x、y 与某一数 t 的关系，得再消去参数 t，获得方程，即点的迹方程，种求迹方程的方法叫做参数法。

⒌交法：将两曲方程中的参数消去，获得不含参数的方程，即两曲交点的迹方程，种求迹方程的方法叫做交法。

*直法：求点迹方程的一般步①建系——成立适合的坐系 ;外学网② 点——迹上的任一点 P(x，y);③列式——列出点 p 所足的关系式 ;④代——依条件的特色，用距离公式、斜率公式等将其化对于 X，Y 的方程式，并化 ;⑤ 明——明所求方程即切合条件的点迹方程。

我国古代的人 ,从上学之日起 ,就日不 ,一般在几年内就能几千个字 ,熟几百篇文章 ,写出的文也是咬文嚼字,琅琅上口 ,成腹的文人。