有理数的定义和分类
有理数基本概念
有理数的概念知识点一、有理数的概念及分类1、正数与负数：正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数；负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。
正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。
“0”既不是正数，也不是负数。
在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。
盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？2、有理数：整数与分数统称为有理数注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；（2）无限不循环小数不是有理数，如π ；（3）正数和零统称为非负数；注意：0 既不是正数，也不是负数，是唯一的中性数（4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。
3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。
例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。
4、有理数“0”的作用：随堂练习1、气温下降2度记−2°C，那么上升3度表示为°C .2、用+20米表示前进20米，那么−15米表示.3、如果向北走10 m记作+10 m，那么−6 m表示（）.A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m4、有理数包括（）.A 、整数、分数和零B 、正有理数、负有理数和零C 、正数和负数D、正数和分数5、下列说法中，正确的是（）.A 、在有理数中，零的意义表示没有B 、一个数不是正数就是负数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D、零是整数6、0 属于（）.A 、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是7、既是分数，又是正数的是（）.A、+3B、−513 C 、0 D、2.28、下列说法中错误的是（）.A、−2是负有理数B、零不是整数C 、34是正分数D、−0.26是负分数9、已知下列各数：−8，2.1，19，3，0，−2.5，10，−1，其中非负数的个数有（）.A 、2 个B、3 个C、4 个D、5 个10、把下列各数填入相应的括号里.正整数集合{ … }分数集合{ … }整数集合{ … }负数集合{ … }数轴1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
有理数的属性及分类
有理数的属性及分类有理数是数学中的一种数的表示形式，可以表示为两个整数的比值。
有理数包括整数、正分数和负分数，具有以下几个属性和分类。
1. 有理数的属性1.1 有理数的可比性有理数之间可以进行大小比较。
对于任意两个有理数$a$和$b$，其中$a$不等于$b$，可以确定$a$和$b$之间的大小关系，即$a < b$、$a > b$或$a = b$。
1.2 有理数的加法性质有理数之间可以进行加法运算。
对于任意两个有理数$a$和$b$，它们的和$a+b$仍然是有理数。
1.3 有理数的乘法性质有理数之间可以进行乘法运算。
对于任意两个有理数$a$和$b$，它们的积$ab$仍然是有理数。
1.4 有理数的逆元有理数$a$的逆元为$-a$，即它们的和为0。
例如，有理数$3$的逆元为$-3$，$-3+3=0$。
2. 有理数的分类2.1 整数整数是不带小数部分的有理数。
整数可以是正数、负数或0。
例如，$3$、$-5$和$0$都是整数。
2.2 正分数正分数是大于0的有理数。
正分数可以表示为两个正整数的比值。
例如，$\frac{1}{2}$和$\frac{4}{5}$都是正分数。
2.3 负分数负分数是小于0的有理数。
负分数可以表示为两个正整数的比值，并在分子上加上负号。
例如，$-\frac{1}{2}$和$-\frac{3}{4}$都是负分数。
总结有理数具有可比性，可以进行加法和乘法运算，每个有理数都有一个逆元。
有理数可以分为整数、正分数和负分数。
了解有理数的属性和分类对于数学的研究和应用都很重要。
以上为有理数的属性及分类的简要介绍。
参考文献：- 无。
《有理数》知识要点
《有理数》知识要点一、有理数的概念1、正数和负数：（1）、大于0的数叫做正数。
（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
（3）、数0既不是正数，也不是负数。
（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示具有相反的量。
2、有理数：(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数。
整数和分数统称有理数.注意：0既不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。
不是有理数；(2)有理数的分类:①按定义分：负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②按性质分：负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)自然数＜====＞0和正整数；a＞0 ＜====＞a是正数； a＜0 ＜====＞a是负数；a≥0＜====＞a是正数或0＜====＞a是非负数； a≤0＜====＞a是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】：（1）、规定原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
它满足以下要求：（1）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（2）、画数轴的步骤：一画（画直线）；二取（取原点和正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。
数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。
注意：（1）所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
原点表示数0. （2）、正数在原点的右边，与原点的距离是|a|个单位长度；负数在原点的左边，与原点的距离是|a|个单位长度。
4、相反数：（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
注意：① a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；②相反数的商为-1；③相反数的绝对值相等。
（3）、a和-a互为相反数。
0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
相反数是它本身的数只有0。
（4）、在任意一个数前面添上“-”号，表示原数的相反数。
（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。
有理数的定义和分类
10、π是有理数。
6
LOGO
有理数的定义及分类
LOGO
有 理 数
Hale Waihona Puke 整 数分 数
正整数：如 1、2、3……
零：
0
负整数：如－1、－2、－3… 正分数: 如 1/2 、1/3、5.2 负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
2
LOGO
有理数的另一种分类：
有 理 数
正有理数
0 负有理数
正整数 正分数 负整数
负分数
3
LOGO 1、下列各数中:
练习：
7， -9.24， -301， 31.25， 0， -18， 1/3, 3.1415926……，2009，-0.14287，67%，π
正数有（ 整数有（ 正整数有（ 正分数有（
）， ）， ）， ），
负数有（ 有理数有（ 负整数有（ 负分数有（
） ） ） ）
4
LOGO 2、判断。 1、负整数和负分数统称负有理数。 2、正整数、0、负整数统称为整数。
3、正有理数与负有理数组成全体有理数。
4、3.14是小数，也是分数。
5、0既不是正数，也不是负数，也不是整数。
5
LOGO 6、正整数与负整数统称为整数。 7、既是分数，也是负数，也是有理数。
8、0是最小的有理数。
按有理数的定义分类
按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：
正整数正整数整数零正有理数
有理数负整数正分数
正分数有理数0
分数负整数
负整数负有理数
负分数
按定义分类就是根据定义来理解的啊！有理数的定义：有理数是整数和分数的统称。
按性质(符号)分类是根据正负号来分类，所以三大类：正、0、负。
沁园春·雪<毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
有理数的定义和分类
有理数的定义和分类
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数可以用分数或小数的形式来表示，其中分子和分母都是整数，并且分母不能为零。
一、有理数的定义
有理数的定义是指可以表示为两个整数的比值，可以写成一般形式的分数表示，即a/b（b≠0），其中a和b都是整数。
例如：
-5、2/3、0、1/2、2等都属于有理数。
二、有理数的分类
根据有理数的性质和表示形式，我们可以将有理数分为以下几类：整数、真分数和带分数。
1. 整数
整数是指可以用正整数或负整数表示的有理数。
整数包括所有的正整数、负整数和零。
例如：
-3、-2、-1、0、1、2、3等都是整数。
2. 真分数
真分数是指分子小于分母的分数。
真分数可以用小数或分数的形式来表示。
例如：
1/2、3/4、2/3等都是真分数。
3. 带分数
带分数是指由一个整数部分和一个真分数部分组成的数。
带分数可以用带有小数点的小数形式表示。
例如：
1 1/2、3 3/4、
2 2/3等都是带分数。
综上所述，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、真分数和带分数。
整数是用正整数或负整数表示的有理数，真分数是分子小于分母的分数，而带分数是由一个整数部分和一个真分数部分组成的数。
有理数是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
通过了解和熟悉有理数的定义和分类，我们可以更好地理解和运用数学知识，为解决实际问题提供有效的数值工具。
有理数的概念对于深入学习进阶的数学课程以及实际生活中的计算和测量都具有重要的意义。
有理数的概念和分类
有理数的概念和分类一、有理数的概念和分类1、有理数（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。
其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。
② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。
其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。
2、数轴（1）数轴的定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。
（2）数轴上的点和有理数一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。
3、相反数（1）相反数像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。
这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
（2）几何意义互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
（3）相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。
正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。
4、绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。
有理数的有关概念
有理数的有关概念
有理数是数学中重要的概念之一，它包括整数和分数。
有理数可
以表示为两个整数的比值，其中分母不能为零。
整数是有理数的一种特殊情况，它们可以表示为分母为 1 的分数。
整数包括正整数、零和负整数。
分数是有理数的另一种形式，它们可以表示为两个整数的比值，
其中分母不能为零。
分数可以分为真分数和假分数，真分数的分子小
于分母，假分数的分子大于或等于分母。
有理数还可以按照正负性分为正数、负数和零。
正数是大于零的
有理数，负数是小于零的有理数，零是既不是正数也不是负数的有理数。
有理数可以进行加、减、乘、除运算，并且遵循一定的运算法则。
例如，两个有理数相加或相减时，它们的分母相同，分子相加或相减；两个有理数相乘或相除时，它们的分子乘以分子，分母乘以分母。
有理数在数学中具有重要的地位，它们在实数系中是连续的，可以进行无限逼近和精确计算。
有理数的概念和运算法则是数学基础中的重要部分，对于学习其他数学概念和应用具有重要的作用。
有理数分类[整理]
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有理数分类[整理]
有理数是一类具有有理数运算规律的数字，它是有计算及应用价值的大数字集合，它
包括有整数、分数、根式、立方根以及无穷小数等。
有理数的分类主要包括：
一、整数
整数是指能整除1的数，如0、1、2、-1，-2等，是有理数中最常见的数据类型，整
数可分为正整数、负整数和零三种，两个整数的和、差及积均为整数。
二、分数
分数是指一个带分母和分子的偏移数，分母又可称为底数，分子又可称为高数，它们
相除而得，如2/3，3/5等等，这类有理数能表示定量关系，可用于计算。
三、根式
根式是指有理数中带有一个或多个根号的数字，可以表示一个整体，式子中的根号前
面的数字又称为系数，根号中的数字称为根号内数。
如√2、3√8等，它和普通分数字不同，根式不能被约分，操作起来也更加复杂。
四、立方根
立方根是指把一个立方数开根号而得的立方根，如：27的立方根等于3（3√27），
由于立方根由立方数开根号而成，多数时候只能表示为近似值。
五、无穷小数
无穷小数指的是一种特殊的有理数，其小数位数是从零开始的无限数，如0.0000001，它无法进行四则运算，但可以用于大型计算机上的计算。
归纳起来，整数、分数、根式、立方根和无穷小数可以作为有理数的基本分类，只要
记住这几类数字的不同之处，就可以将有理数区分开来。
有理数和无理数的概念
1 / 1 有理数和无理数 1定义：有理数：我们把能够写成分数形式
n
m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。
无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。
如圆周率、√2（根号2）等。
2有理数的分类
整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。
零既不是正数，也不是负数。
有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。
3无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环
4区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。
实数的分类
实数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0
注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a ＞0表明a 是正数；a ＜0表明a 是负数；a 0表明a 是非负数；a 0表明a 是非正数。
几个易混淆概念
⎪⎩⎪⎨⎧正数非负数0 ⎪⎩⎪⎨⎧负数非正数0 ⎪⎩⎪⎨⎧正整数非负整数0 ⎪⎩
⎪⎨⎧负整数非正整数0。
有理数分类
有理数分类有理数是数学中的一个重要概念，是对实数的一种分类。
下面将对有理数进行分类并进行详细说明。
一、整数整数是最简单的有理数形式，包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，用正号“+”表示。
负整数是小于零的整数，用负号“-”表示。
零是既不是正整数也不是负整数的整数，用0表示。
整数具有以下性质：1. 整数之间可以进行加减运算，结果仍然是整数；2. 整数乘以整数，结果仍然是整数；3. 整数除以整数，结果可能是整数，也可能是有理数，也可能是无理数。
二、分数分数是有理数中很常见的形式，表示两个整数之间的比例关系，由分子和分母组成，分母不为零。
分母为1的分数就是整数。
分数具有以下性质：1. 分数可以相加、相减、相乘和相除，结果仍然是分数；2. 分数可以化简为最简形式；3. 分数可以转化为小数，对于有限小数，可以化为有限的十进制数，对于无限循环小数，可以表示为无限的十进制数。
三、小数小数是分数的一种特殊形式，分母是10的正整数幂次。
小数可以分为有限小数和无限小数两类。
1. 有限小数：有限小数可以写成有限位数的十进制数。
有限小数可以通过将分子除以分母来得到。
例如，5/10=0.5，这个小数有限位数。
2. 无限小数：无限小数是无限位数的十进制数，不能化为有限位数。
无限小数又可分为无限不循环小数和无限循环小数两种类型。
a) 无限不循环小数：无限不循环小数是无限位数的十进制数，并且没有循环的数字序列。
例如，根号2的近似值1.41421356就是一个无限不循环小数。
b) 无限循环小数：无限循环小数中有一个或多个数字序列无限地重复。
例如，1/3=0.3333...，这个小数无限循环，数字3不断重复。
四、整数运算与分数运算的关系整数可以看作是分母为1的分数，因此整数运算可以看作是分数运算的一种特殊情况。
整数和整数之间的运算也可以转化为分数运算，例如：1. 整数加法可以看作是分数加法的特殊情况，例如2+3=5，可以看作是2/1+3/1=5/1；2. 整数减法可以看作是分数减法的特殊情况，例如7-4=3，可以看作是7/1-4/1=3/1；3. 整数乘法可以看作是分数乘法的特殊情况，例如2×3=6，可以看作是2/1×3/1=6/1；4. 整数除法可以看作是分数除法的特殊情况，例如8÷2=4，可以看作是8/1÷2/1=4/1。
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4、非正数、非负数、 非正整数、非负整数 的定义
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1、下列各数中， 正数有（ 整数有（ 正整数有（ 正分数有（
练习：
）， 负数有（ ）， 有理数有（ ）， 负整数有（ ）， 负分数有（ ） ） ） ）
7， -9.24， -301， 31.25， 0.，，-18， 3.1416， 2009，，-0.14287，67%
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有理数的另一种分类：
有 理 数
正有理数
0 负有理数
正整数 正分数 负整数
负分数
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小结
1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表 示实际问题中具有相反意义的量，例如…
2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上 “－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它 表示正、负数的界限。 3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数 分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成 三大类。
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LOGO 二、填空题
1．正整数、______、_______统称为整数；_____、______ 统称为分数；整数和分数统称为________数。 2．甲地的海拔－22m，乙地海拔－18m，则____地比____地 要高些。 3．若a是负数，则－a是_______数，若－a是负数，则a是 ____________数。 4．是负数而不是整数的数是__________数，既不是分数也不 是正数的数是__________。 5．正整数集合与正分数集合合在一起是_______集合，既不 是正整数也不是负整数的整数是___________。 6．正整数中有没有最小的数？________。正整数中有没有最 大的数?_______。负整数中有没有最小的数?_________．正 数中有没有最小的数?_________负数中有没有最小的 数?______。负数中有没有最大的数?___________。
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三、解答题 1．把下列各数分别填入相应的大括号里． －，0.618，一3.14，260，－2002，，一0.3，一5％，0。 (1)正整数集合：{ …} (2)负整数集合：{ …} (3)正分数集合：{ …} (4)负分数集合：{ …} (5)正有理数集合：{ …} (6)负有理数集合：{ …} (7)有理数集合：{ …} 2．某中学对初三男生进行引体向上的测试，以能做l0个为 标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其 中8名男生的成绩如下： ＋2，－5，0，－2，＋4，－l，－1，＋3 （1)达到标准的男生占百分之几?
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5．下面说法正确的是（ ） A．整数又叫自然数 B．0是整数但不是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0是最小的数 6．－99不是( ) A．有理数 B．自然数 C．负有理数 D．整数 7．若向南走15米，记做＋15米，那么－7米表示（ ） A．向东走7米 B．向南走7米 C．向北走7米 D．向 西走7米 8．下列说法中，不正确的是（ ） A．－3.14既是负数，分数，也是有理数 B．0既不 是正数，也不是负数，但是整数 C．－2004既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0 是非正数
6．请写出一个比小的整数_________.
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一、选择题 LOGO
1．下列说法中正确的个数有（ ） ①－3是负分数；②2.4不是整数；③非负有理数不包括零；④ 正整数、负整数统称为整数；⑤0是最小的有理数。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的个数为（ ） ①0是整数 ②负分数一定是负有理数 ③一个数不是正数就 是负数 ④π是有理数 A．0个 B．2个 C．3个 D．1个 3．在数6.4，－π，－0.6，，10.1，2006中（ ） A．有理数有6个 B．－π是负数，不是有理数 C．非正数有3个 D．以上都不对 4．下列说法正确的是 A．有最大的负数，没有最小的正数 B．没有最大的有理数， 也没有最小的有理数 C．有最大的非负数，没有最小的非负数 D．有最大的负数， 没有最小的正数
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有理数的定义及分类
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学过的数
古代猎人打了一只老鹰，用数如 何表示一只老鹰——有了整数
货币购物，用数如何表示 10元5角3分——有了小数
二人分一只西瓜，用数如何 表示半只西瓜——有了分数
瓦罐没有东西了——有了0
2
LOGO 像10、1.2、17…这样的数叫做正数， 它们都比0大 在正数前面加上“－”号的数叫做负数， 例如－10，－3 …
2、正整数。___和___统称整数。___和__统称为分数。
3、_______和_______统称为有理数。
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4.下列说法错误的是（ ） A .负整数和负分数统称负有理数 B.正整数、0、负整数统称为整数 C．正有理数与负有理数组成全体有理数 D.3.14是小数，也是分数 5.下列说法正确的是 （ ） A．0既不是正数，也不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数统称为整数 C．-3.14既是分数，也是负数，也是有理数 D．0是最小的有理数
考
你会把我们所学 过的所有的数进 行分类吗?
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请你将到目前为止学过的数进行分类
有 理 数
整 数
分 数
正整数：如 1、2、3……
零：
0
负整数：如－1、－2、－3… 正分数: 如 1/2 、1/3、5.2 负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
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有理数的概念
整数与分数统称为有理数
（2)他们共做了多少个引体向上?
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谢谢观赏
你认为0应该放在什么地方？
0既不是正数，也不是负数
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LOGO 零上与零下
盈利与亏损
反意义的量：上升与下降、增与减、收入 与支出、胜与负、进与退、多与少、盈利与亏损 向东与向西、顺与逆、过剩与不足、重与轻等
用正数和负数可以表示具有相反意义的量
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题 思