海大2012硕士研究生《矩阵分析》B卷试题

研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题

习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 习题3 22设A,B均是正规矩阵,试证:A 均是正规矩阵相似的充要条件是A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
因为A,B是正规矩阵,所以存在U,V∈ A,B是正规矩阵存在U,V 证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,V∈Un×n 使得 A=Udiag(λ B=Vdiag(µ A=Udiag(λ1,…,λn)U*, B=Vdiag(µ1,…,µn)V*, , , 其中λ A,B的特征值集其中λ1,…, λn,,µ1,…,µn分别是A,B的特征值集 , , 分别是A,B 合的任意排列. 合的任意排列. 必要性：相似, ,i=1…,n, ,n,于是必要性：若A与B相似,则λi=µi,i=1 ,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*∈Un×n 即得证A 酉相似. 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题3 习题3-14
#3-14: =E,则存在则存在U #3-14:若A∈Hm×n,A2=E,则存在U∈Un×n使得 U*AU=diag(Er,-En-r). 存在U 证:存在U∈Un×n使得 A=Udiag(λ A=Udiag(λ1,…,λn)U*, , (*) 其中λ 的特征值的任意排列任意排列. 其中λ1,…,λn是A的特征值的任意排列. , ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 =E=Udiag(1, ,1)U =Udiag(λ Udiag(λ A2=Udiag(λ1,…,λn)U*Udiag(λ1,…,λn)U* , , =Udiag(λ =Udiag(λ12,…,λn2)U* , =1,即 1,i=1,…,n,. ∴ λi2=1,即λi=±1,i=1, ,n,. 1(设共有取λ1,…,λn的排列使特征值1(设共有r个)全排在 , 的排列使特征值1(设共有r 前面, (*)式即给出所需答案式即给出所需答案. 前面,则(*)式即给出所需答案.

矩阵分析复习(最终版)

3 1 1 2.求 A 0 4 0 的最小多项式，并写出 A 的 Jordan 形. 1 1 5 0 4 0 1 A J 二、设 A 1 4 0 . （1）求 e A （2）求可逆矩阵 Q 和若当型 J A ，使Q e Q e 0 0 2
《矩阵分析》复习题目及参考答案
made by 寒烟
提示：参考答案为个人所做，仅供参考.
1 3 1 一、1. 设 A 4 1 5
1 3 2 4 3 5
1 3 1 . （1）求 || A ||1 和 || A || 4 1 5
（2）证明 A 的谱半径 ( A) || A ||
i
可求的 A 的特征值为 1 2 1 ，从而谱半径考虑到端点处的收敛性，可以判定 f ( A) 是收敛的. 进一步有，
当 1 ，有 rank ( A E ) 1 ,且可逆矩阵P，使得P AP J A ,
1
其中
- 1 1 JA= . -1
k k 1
从而，幂级数 f ( x) 的收敛半径 R 1 ，且收敛区间为 [1,1] .
再考虑矩阵幂级数 f ( A)
k
k 1

1
2
2 1 Ak ，其中 A 1 0
令 | E A |
2 1 ( 1)2 0 1
( A) max i 1 R
故最小多项式为 mA ( ) ( 4) 初等因子组为 4、 ( 4)2
2
4 4 1 从而 Jordan 标准形为 4
二、
4 0 1 0 2 （1） E A 1 4 2 0 0 2 ( 2)

2012年广东海洋大学考研真题812经济学基础课硕士学位研究生入学考试试卷

广东海洋大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试
《经济学基础课》(812)试卷
（请将答案写在答题纸上,写在试卷上不给分.本科目满分150分）
第一部分微观经济学（75分）
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．微观经济学的基本假设前提是（）。

A．完全信息的假设B．完全竞争的假设
C．合乎理性的人的假设D．边际效用递减的假设
2．供给规律说明（）。

A．生产技术提高会使商品的供给量增加
B．政策鼓励某商品的生产，因而该商品供给量增加
C．消费者更喜欢消费某商品，使该商品的价格上升
D．某商品价格上升将导致对该商品的供给量增加
3．下列商品中，需求价格弹性最大的是（）。

A．服装B．化妆品C．金银首饰D．食盐
4．短期平均成本曲线呈Ｕ型，是因为（）。

A．外部经济问题B．内部经济问题
C．规模收益问题D．边际收益（报酬）问题
5. 当某消费者的收入上升20%，其对某商品的需求量上升5%，则商品的需求收入弹性（）。

A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．等于0
6．假定两人一天可生产60单位产品，三人一天可以生产100单位产品，那么（）。

A．平均可变成本是下降的B．平均可变成本是上升的
C．劳动的边际产量大于平均产量D．劳动的边际产量小于平均产量7．某日内，X商品的替代品价格上升和互补品价格上升，分别引起X商品的需求变动量为50单位和80单位，则在它们共同作用下，该日X商品的需求数812《经济学基础课》第1 页共4 页。

2012完整版考研MPAcc会计硕士真题及答案

2012年MPAcc 联考真题及答案1、某商品的定价为200元，受金融危机的影响，联系两次降价，20%后的售价为(A)114元 (B)120元 (C)128元 (D)144元 (E)160元 2、如图1，三个边长为1的正方形所覆盖区域（实线所围）的面积为(A) 3-(B) 34-(C) 3-(D)32-(E)34-3、再一次捐赠活动中，某事将捐赠的物品打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件，则帐篷的件数是(A)180 (B)200 (C)220 (D)240 (E)2604.如图2，A B C ∆是直角三角形，123,,S S S 为正方形。

已知,,a b c 分别是123,,S S S 的边长，则：（A ）a b c =+ (B) 222a b c =+ (C) 22222a b c =+ (D) 333a b c =+ (E) 33322a b c =+10. 某人在保险柜中存放了M 元现金，第一天取出它的 23，以后每天取出前一天所取的13。

共取了7天，保险柜中剩余的现金为：（A ）73M 元（B ）63M 元（B ）623M 元（D ）221()3M ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦元11.在直角坐标系中，若平面区域D 中虽有的点得坐标(,)x y 均满足：06x ≤≤，06y ≤≤，3y x -≤，229x y +≥。

则的面积是（A ）9(14)4π+ （B ）9(4)4π-（C ）9(3)4π-（D ）9(2)4π+（E ）9(1)4π+12.某单位春季植树100棵，前2天安排乙组植树，其余任务由甲、乙两组用3天完成。

已知甲组每天比乙组多植树4棵，则甲组每天植树（A ）11棵（B ）12棵（C ）13棵（D ）15棵（E ）17棵14.若32x x ax b +++能被232x x -+整除，则（A ）4,4a b == （B ）4,4a b =-=- （C ）10,8a b ==- （D ）10,8a b =-= （E ）2,0a b =-=18、已知,m n 是正整数，则m 是偶数。

矩阵理论 (A-B卷)及答案

矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第一学期末考试试题（A 卷）及答案一、填空题（共20分，每空2分）1、在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’）所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，；显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

广东海洋大学往年线性代数期末考试试题(含A,B卷)汇编

广东海洋大学2008——2009学年第1学期《线性代数》课程试题课程号：1920017√考试√A 卷√闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数361610*********实得分数一、填空（每题4分，共36分）1.设五阶行列式|a ij |=3(i ,j =1,2,3,4,5)，先交换1、5两行；再转置；最后用2乘所有元素,其结果为___________。

2.若矩阵A 有r 个列向量线性无关,则r(A)r;3．设A 为四阶矩阵，若|A|=2，则|AA *|=4.设向量组I 的秩为r 1,向量组II 的秩为r 2,且向量组I 可由向量组II 线性表示,则r 1,r 2的关系为5．设)0,1,1(1-=α，)2,1,1(2=α,)1,1,1(3=α则r (321,,ααα)=.6．设矩阵A 为正交矩阵，则|A|=_____。

7.设A,B 都是n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使P 1-AP=B，则称矩阵A 与B______。

8.已知矩阵(a ij )33⨯的特征值分别为2，3，4，则|a ij |=_______。

9.向量(1,2,2,3),(3,1,5,1)αβ==的夹角为___________。

二行列式计算（每题8分，共16分）12班级：姓名：学号：试题共3页加白纸5张密封线GDOU-B-11-3023111131111311113000000000000x y x y x yy x三、已知矩阵A=，求（E-A）1-（10分）四、求如下齐次线性方程组的基础解系与通解（15分）五、求下面矩阵的特征值与特征向量（12分）六、证明：若n 维向量12,,,r ααα 是一组正交向量组，则12,,,r ααα 线性无关。

（11分）六、证明：若向量组12,,,,s αααβ 线性相关，而向量组12,,,s ααα 线性无关，则向量β可由12,,,s ααα 线性表示，且表示法唯一。

（11分）101210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭123221343⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1234123412340253207730x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭广东海洋大学2010——2011学年第一学期《线性代数》课程试题课程号：19221201★考试★A 卷★闭卷□考查□B 卷□开卷题号一二三四五六总分阅卷教师各题分数40121020108100实得分数一、填空（每小题4分，共40分）（1）;54413522135）：或所带的符号是（展开式中，-+a a a a a D （2）A 为三阶方阵，1-A =2，A 2=；（3）05402021=k k ，k =；（4）*A 是可逆4阶矩阵A 的伴随矩阵，R(A)=1，R(*A )=；（5）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4010100001；（6）n 阶矩阵A 可逆，其标准形是；（7）T T )3,3,2(2,)3,3,1(-=+-=-βαβα，α=；（8）向量组：γβα,,线性无关，向量组：γαβαα++,,的线性相关性是：；（9）n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩r(A)=r ，其解空间的维数是；（10）。

2012年全国硕士研究生入学考试数学一试题及解析-推荐下载

（D）若
（4）设 Ik
（A） I1 I2 I3
（5）设 1
f
(x,

则线性相关的向量组为
（A）1,2 ,3
y)
在 (0, 0)
存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
存在，则
处可微，则极限 lim x0 y0
k ex2 sin xdx(k 1, 2, 3) ，则有 ______
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
（A）0
y

x2 x x2 1
渐进线的条数 ________
（B）1
（2）设函数 f (x) (ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中 n 为正整数，则 f (0) ________
（16）（本题满分 10 分）
f (x, y) xe
求
1 x
x2 y2
2
的极值
（17）（本题满分 10 分）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域及和函数
n0 2n 1
（18）（本题满分 10 分）
已知曲线
L
:
x f (t)

y

cos
t
(0 t
P 1
AP
2 0 0

0 0
1 0
2
（C）
5

0 2
（C） 1 2
P( AB)
1

矩阵论试题参考答案(2012年)

n n 1 , det X xik X ik xij X ij xik X ik ，其中 X ik 是 xik 的代数 det X k 1 k j
余子式，
det X X ij ，从而 xij
det X 1 xij

xij
1 det X
2012 年矩阵论试题参考答案
一、(16 分) 已知 4 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, 2, 2 ，且其一阶和二阶行列式因子分别为
D1 1, D2 2.
1.(6 分) 求 A 的不变因子和最小多项式； 2.(4 分) 求 A 的 Jordan 标准形； 3.(6 分) 求实数 t 的取值范围，使 cos At 为收敛矩阵. 解 . 1 ．因为 D4 即为 A 的特征多项式，且 A 的特征值为 1, 2, 2, 2 ，故
A 的最小多项式为 mA d 4 1 2 ．
2．由 A 的不变因子知， A 的初等因子为
1, 2, 2, 2 ，故 A 的 Jordan 标准形
1 2 ．为 J 2 2
u1 1 , , m , v1 m 1 , , m n , u2 1 , , m , v2 m 1 , , m n ，则
T T T T
x y u1 u2
a
v1 v2
b
u1 a u2
D4 1 2 . 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知 D3 2 ，
3 2
从而 A 的不变因子为

矩阵分析课后习题解答整理版

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)R对m C满足加(AR是m C的非空子集，即验证)(A法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH-==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

研究生《矩阵分析》试题答案及评分标准

解：（1）由 (T1,T2 ,T3 ) (1,2 ,3 )A, 可得 1 2 1 1 0 1 1
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41

0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X

0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中，线性变换 T 为： Ti i , i 1, 2, 3, 其中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2

1

1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1

2012年全国硕士研究生入学统一考试管理类联考

A.180 B.200 C.220 D.240 E.260
4、如图 2，三角形 ABC 是直角三角形， S1 ， S2 ， S3 为正方形，已知 a，b，c 分别是为 S1 ， S2 ， S3 的边
长，则：（）
A. a b c B. a2 b2 c2 C. a2 2b2 2c2 D. a3 b3 c3 E. a3 2b3 2c3
2、如图，三个边为 1 的正方形的覆盖的区域（实线所围）的面积为（）
A. 3 2
（实线为图书最外面的线）
B. 3 3 2 C. 3 3 D. 3 3 E. 3 3 3
4
2
4
3、在一次捐赠活动中，某人将捐赠的物品打包成件，其中帐篷和食品共 320 件，帐篷比食品多 80 件，则帐篷的件数是（）
B. 9(4 ) C. 9(3 )
4
4
D. 9 (2 ) 4
E. 9 (1 ) 4
12、某单位春季植树 100 棵，前 2 天安排乙组植树，其余任务由甲、乙两组共用 3 天完成，已知甲组每天比乙组多植树 4 棵，则甲组每天植树（）棵
A.11 B.12 C.13 D.15 E.17
13、有两队打羽毛球，每队派出 3 男 2 女参加 5 局单打比赛，第二局和第四局为女生，那么每队派队员出场的方式有几种？
安检口 2 天中至少有 1 天中午办理安检手续的乘客人数大于 15 人的概率是（）
顾客人数
0--5
6--10
11--15
16--20
21--25
概率
0.1
0.2
0.2
0.25
0.2
26 以上 0.25
A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.5 E. 0.75

中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第一学期期末试卷B卷

一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.向量 α=(3,1,4)T ,β=(2,−1,0)T ,γ=(1,−2,−1)T ，则 α−2β+3γ=( ).2.设 A 为 m 阶方阵，B 是 n 阶方阵，且 |AO O B |=a ≠0，|O BAO|=b ，则 ba =( ).3.设 A (112201−110)=(21−240−1−210)，则 |A |=( ). 4. α1,α2,α3,α4 均为4维列向量，A =(α1,α2,α3,α4)，且 α2,α3,α4 线性无关， α1=2α2−α3；如果 β=α1+α2+α3+α4，则 Ax =β 的一般解为( ). 5.设3阶实对称方阵 A 满足 A 2=A ，且 r (A )=2，则 |A +I |=( ). 6.设实二次型 f (x 1,x 2,x 3)=4x 12+2x 22+bx 32+4x 1x 2+2x 1x 3 是正定的，则 b 的取值范围是( ).二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 A 为 m ×n 矩阵，B 为 n ×p 矩阵，则下列条件中，不能推出线性方程组(AB )x =0 有非零解的是( ).(A) m <p (B) m <n (C) n <p (D) r(B)<p 2.设 A =− 1 2(1111)，则 A 2019=( ).(A) −1 2(1111)； (B) (− 1 2)2019(1111)； (C) −1 2(1111)2019； (D) (− 1 2)2019 (1111)2019 3.设 α 为 n 维列向量，αT α=1，B =I −2ααT ，则下列说法错误的是( ).中国海洋大学《线性代数》2019-2020学年第一学期期末试卷B卷(A) B 是对称阵 (B) B 是可逆阵 (C) B 是正交阵 (D) B 是对角阵 4. α1,α2,⋯,αm (αi ∈R n ,i =1,⋯,m,m >2) 线性相关，下列说法正确的是( ). (A)对任意常数 k 1,k 2,⋯,k m ，均有 k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0. (B)任意 k 个向量 αi 1,αi 2,⋯,αi k 线性相关. (C)对任意 β∈R n ，α1,α2,⋯,αm ,β 线性相关. (D)任意 k 个向量 αi 1,αi 2,⋯,αi k 线性无关. 5.设 A =(2−1−1−12−1−1−12)，B =(100010000)，则 A 与 B ( ). (A)合同且相似；(B)合同但不相似；(C)不合同但相似；(D)既不合同也不相似6.设二次型 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中P =(α1,α2,α3)；若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Qy 下的标准型为( ).(A) 2y 12−y 22+y 32 (B) 2y 12+y 22−y 32(C) 2y 12−y 22−y 32 (D) 2y 12+y 22+y 32三、计算题(共4 题，第1,2题每题 8 分，第3,4题每题 6 分，共 28分) 1.计算 n 阶行列式||200⋯2−120⋯020−12⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋱0200⋯−12200⋯0−12||. 2.设向量组 α1=(1,2,1,3)T ，α2=(−1,−1,0,−1)T ，α3=(1,4,3,7)T ，α4=(−1,−2,1,−1)T ，α5=(1,4,5,9)T ；求向量组的秩及一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示.3.已知 R3的两组基为 B1={α1,α2,α3}，B2={β1,β2,β3}，其中α1=(1,2,0)T，α2=(1,0,1)T，α3=(0,1,−1)T；β1=(0,1,1)T，β2=(1,1,0)T，β3=(1,0,2)T；(1)求基 B1到基 B2的过渡矩阵；(2)若 3 维向量 γ 在基 B2下的坐标为(1,3,1)T，求 γ 在基 B1下的坐标.4.已知 A=(1−11 a4−2−3−3b) 是可对角化的，λ=2是 A 的二重特征值，求 a,b.四、证明题(共 1 题，共 8 分)设向量组 α1,α2,⋯,αm线性无关，并且β1=α1+α2，β2=α2+α3，⋯，βm=αm+α1；证明：当 m 为偶数时，β1,β2,⋯,βm线性相关；当 m 为奇数时，β1,β2,⋯,βm线性无关.五、解方程组（共1题，14分）讨论 a,b 取何值时，线性方程组 {x1+x2+2x3−x4=1x1−x2−2x3−5x4=3(a−1)x2+2x3+bx4=b−3 x1+x2+2x3+(b−2)x4=b+3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的通解.六、二次型（共1题，14分）已知二次型 f(x1,x2,x3)=x T Ax，利用正交变换法可化为标准型 y12+y22，相应的正交矩阵 Q 的第三列为 (√22,0,√22)T；(1)写出 A 的全部特征值；(2)求出二次型 f(x1,x2,x3).一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.向量 α=(3,1,4)T ,β=(2,−1,0)T ,γ=(1,−2,−1)T ，则 α−2β+3γ=( ). 解：α−2β+3γ=(3,1,4)T −2(2,−1,0)T +3(1,−2,−1)T =(2,−3,1)T2.设 A 为 m 阶方阵，B 是 n 阶方阵，且 |AO O B |=a ≠0，|OBAO|=b ，则 ba =( ).解：a =|AO O B |=|A|∙|B|；b =|O B A O |=(−1)mn |A |∙|B |，则 b a=(−1)mn .3.设 A (112201−110)=(21−240−1−210)，则 |A |=( ). 解：由已知得，A (α1,α2,α3)=(2α1,α2,−α3)即 {Aα1=2α1Aα2=α2 Aα3=−α3⟹A 的特征值为2，1，−1，则 |A |=−2.4. α1,α2,α3,α4 均为4维列向量，A =(α1,α2,α3,α4)，且 α2,α3,α4 线性无关， α1=2α2−α3；如果 β=α1+α2+α3+α4，则 Ax =β 的一般解为( ). 解：矩阵 A =(α1,α2,α3,α4)，由已知，得 r(A)=3.由α1=2α2−α3⟹α1−2α2+α3+0α4=0⟹(α1,α2,α3,α4)(1−210)=0得 Ax =0 的一个基础解系为 ξ=(1,−2,1,0)T ；由 β=α1+α2+α3+α4=(α1,α2,α3,α4)(1111)=Aη，得 Ax =β 的一个特解为 η=(1,1,1,1)T ；则 Ax =β 的通解为 x = η+kξ=(1,1,1,1)T +k (1,−2,1,0)T ，k 任意.答案5.设3阶实对称方阵 A 满足 A 2=A ，且 r (A )=2，则 |A +I |=( ). 解：设 A 的特征值为 λ，则 A 2−A 的特征值为 λ2−λ；而 A 2−A =O ，于是 λ2−λ=0⟹λ=0 或 1； A 是3阶实对称矩阵，则 A ~ Λ；对 λ=0，齐次线性方程组 (0I −A)x =0，即 Ax =0 ；其基础解系包含的向量个数为 3−r (A )=3−2=1，则 λ=0 是单特征值，从而 λ=1 是2重特征值；于是，A 的特征值为 0，1，1；从而 A +I 的特征值为 λ+1，即1，2，2；则 |A +I |=1∙2∙2=4.6.设实二次型 f (x 1,x 2,x 3)=4x 12+2x 22+bx 32+4x 1x 2+2x 1x 3 是正定的，则 b 的取值范围是( ).解：二次型对应的矩阵为 A =(42122010b)，且 A 正定；则 A 的顺序主子式均大于0： |A 3|=|A |=|42122010b|=2(2b −1)>0⟹b > 1 2.二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 A 为 m ×n 矩阵，B 为 n ×p 矩阵，则下列条件中，不能推出线性方程组(AB )x =0 有非零解的是( B ).(A) m <p (B) m <n (C) n <p (D) r(B)<p 解：AB 为 m ×p 矩阵，(AB )x =0 有非零解 ⟺r (AB )<p ；r (AB )≤{r (A )≤{mnr (B )≤{n p ，所以 m <p ，或 n <p ，或 r (B )<p 都可以.2.设 A =− 1 2(1111)，则 A 2019=( A ).(A) −1 2(1111)； (B) (− 1 2)2019(1111)； (C) −1 2(1111)2019； (D) (− 1 2)2019 (1111)2019 解：A =− 12(1111)=(11)(− 1 2,− 1 2)=αβT ，这里 α=(11)，βT=(− 1 2,− 1 2)则 βT α=(− 1 2,− 1 2)(11)=−1，A k =AA ⋯AA ⏟ k 个=(αβT )(αβT )⋯(αβT )(αβT)⏟k 个=α (βT α)(βT α)⋯(βT α)⏟(k−1)个βT =αT (−1)k−1β=(−1)k−1A ，则 A 2019=(−1)2019−1[−1 2(1111)]=− 1 2(1111). 3.设 α 为 n 维列向量，αT α=1，B =I −2ααT ，则下列说法错误的是( D ). (A) B 是对称阵 (B) B 是可逆阵 (C) B 是正交阵 (D) B 是对角阵解：B T =I −2ααT =B ⟹B 是对称阵；B T B =(I −2ααT )(I −2ααT )=I −4ααT +4ααT ααT =I ，则 B 是正交阵，也是可逆阵.4. α1,α2,⋯,αm (αi ∈R n ,i =1,⋯,m,m >2) 线性相关，说法正确的是( C ). (A)对任意常数 k 1,k 2,⋯,k m ，均有 k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0. (B)任意 k 个向量 αi 1,αi 2,⋯,αi k 线性相关.(C)对任意 β∈R n ，α1,α2,⋯,αm ,β 线性相关. (D)任意 k 个向量 αi 1,αi 2,⋯,αi k 线性无关.解：α1,α2,⋯,αm 线性相关，即存在不全为零的数 k 1,k 2,⋯,k m ，使得 k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0于是，0 β+k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0且 0,k 1,k 2,⋯,k m 不全为零，则 α1,α2,⋯,αm ,β 线性相关. 5.设 A =(2−1−1−12−1−1−12)，B =(100010000)，则 A 与 B ( B ). (A)合同且相似；(B)合同但不相似；(C)不合同但相似；(D)既不合同也不相似解：A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−2111λ−2111λ−2|=λ(λ−3)2，则 A 的特征值为 λ1=λ2=3，λ3=0；A 与B 有相同的正惯性指数2，相同的负惯性指数0；则 A 与 B 合同，但是不相似，因为相似矩阵的特征值相同.6.设二次型 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Py 下的标准型为 2y 12+y 22−y 32，其中P =(α1,α2,α3)；若 Q =(α1,−α3,α2)，则 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Qy 下的标准型为( A ).(A) 2y 12−y 22+y 32 (B) 2y 12+y 22−y 32(C) 2y 12−y 22−y 32 (D) 2y 12+y 22+y 32解：P T AP =P −1AP =(21−1)，P =(α1,α2,α3)则有 {Aα1=2α1 Aα2=1α2 Aα3=−α3⟹A(−α3)=(−1)(−α3)；又 Q =(α1,−α3,α2)，于是 Q TAQ = Q −1AQ =(2−11)，则 f (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x =Qy 下的标准形为 2y 12−y 22+y 32. 三、计算题(共4 题，第1,2题每题 8 分，第3,4题每题 6 分，共 28分) 1.计算 n 阶行列式 ||200⋯002−120⋯0020−12⋯002⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮000⋯202000⋯−122000⋯0−12||. 解：行列式=2||200⋯001−120⋯0010−12⋱001⋮⋮⋱⋱⋮⋮⋮000⋯201000⋯−121000⋯0−11||=2D n ，这里 D n =||200⋯001−120⋯0010−12⋱001⋮⋮⋱⋱⋮⋮⋮000⋯201000⋯−121000⋯0−11||n 阶c 1+c 2+⋯+c n ||300⋯001220⋯0012−12⋱001⋮⋮⋱⋱⋮⋮⋮200⋯201200⋯−121000⋯0−11|| =||200⋯001220⋯0012−12⋱001⋮⋮⋱⋱⋮⋮⋮200⋯201200⋯−121000⋯0−11||+||100⋯001020⋯0010−12⋱001⋮⋮⋱⋱⋮⋮⋮000⋯201000⋯−121000⋯0−11||=2||100⋯001120⋯0011−12⋱001⋮⋮⋱⋱⋮⋮⋮100⋯201100⋯−121000⋯0−11||+1∙(−1)1+1|20⋯001−12⋱001⋮⋱⋱⋮⋮⋮00⋯20100⋯−12100⋯0−11|n−1阶c n −c 1||100⋯000120⋯0001−12⋱000⋮⋮⋱⋱⋮⋮⋮100⋯200100⋯−120000⋯0−11||+D n−1=2∙2n−2+D n−1 由此可得，D n =2n−1+D n−1=2n−1+2n−2+D n−2=⋯ =2n−1+2n−2+⋯+21+D 1 =2n−1+2n−2+⋯+21+1=2n −1 所以，原行列式 =2D n =2(2n −1)=2n+1−2.2.设向量组 α1=(1,2,1,3)T ，α2=(−1,−1,0,−1)T ，α3=(1,4,3,7)T ，α4=(−1,−2,1,−1)T ，α5=(1,4,5,9)T ；求向量组的秩及一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示. 解：记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(1−11−112−14−24103153−17−19) 初等行变换⇒ (1030401202000110)， ①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3；②α1,α2,α4 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组； ③ α3=3α1+2α2；α5=4α1+2α2+α4.3.已知 R 3 的两组基为 B 1={α1,α2,α3}，B 2={β1,β2,β3}，其中 α1=(1,2,0)T ，α2=(1,0,1)T ，α3=(0,1,−1)T ； β1=(0,1,1)T ，β2=(1,1,0)T ，β3=(1,0,2)T ； (1)求基 B 1 到基 B 2 的过渡矩阵；(2)若 3 维向量 γ 在基 B 2下的坐标为 (1,3,1)T ，求 γ 在基 B 1下的坐标. 解：仍记 B 1=(α1,α2,α3)，B 2=(β1,β2,β3). ①由 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A ，即得 B 2=B 1A ，于是，(B 1,B 2)=(11001120111001−1102)初等行变换⇒ (100201010−210001−31−2)=(I,A )则基 B 1到基 B 2的过渡矩阵 A =(201−210−31−2).②两种方法：已知 αB 2=(1,3,1)T 方法1：α=B 2αB 2=(011110102)(131)=(443)，又有 α=B 1αB 1，则求解该方程组(B 1,α)=(11020101−1| 443)初等行变换⇒ (100010001|31−2),则 α 在基 B 1下的坐标向量 αB 2=(3,1,−2)T .方法2：因为 αB 1=A αB 2=(201−210−31−2)(131)=(31−2)，则 α 在基 B 1下的坐标向量 αB 2=(3,1,−2)T .4.已知 A =(1−11a4−2−3−3b) 是可对角化的，λ=2是 A 的二重特征值，求 a,b . 解：对特征值 λ1=λ2=2，特征矩阵为 2I −A =(11−1−a −22332−b )；A 可对角化，则方程组 (2I −A)x =0 的基础解系包含的向量个数为 2，即 3−r (2I −A )=2⟹r (2I −A )=1；方法1： (2I −A)初等行变换⇒ (11−12−a 00005−b)从而 {2−a =0 5−b =0 ⟹{a =2b =5；方法2：(2I −A) 的任一2阶子式均为 0⟹{|11−a −2|=0⟹a =2|1−132−b|=0⟹b =5.四、证明题(共 1 题，共 8 分) 设向量组 α1,α2,⋯,αm 线性无关，并且β1=α1+α2，β2=α2+α3，⋯，βm =αm +α1；证明：当 m 为偶数时，β1,β2,⋯,βm 线性相关；当 m 为奇数时，β1,β2,⋯,βm 线性无关.证：两种方法：(1)记 β1=α1+α2=(α1,α2,α3,⋯,αm−1,αm )( 110⋮00),β2=α2+α3=(α1,α2,α3,⋯,αm−1,αm )( 011⋮00),β3=α3+α4=(α1,α2,α3,⋯,αm−1,αm )( 001⋮00), ⋯,βm−1=αm−1+αm =(α1,α2,α3,⋯,αm−1,αm )( 000⋮11),βm =αm +α1=(α1,α2,α3,⋯,αm−1,αm )( 100⋮01)；于是 B =(β1,β2,β3,⋯,βm−1,βm ) =(α1,α2,α3,⋯,αm−1,αm )(100⋯01110⋯0011⋯00⋮⋮⋮ ⋱⋮⋮000⋯10000⋯11)=AC , 其中 A =(α1,α2,α3,⋯,αm−1,αm )，又 α1,⋯,αm 线性无关，则秩(A ) =m ；m 阶矩阵C =(100⋯01110⋯0011⋯00⋮⋮⋮ ⋱⋮⋮000⋯10000⋯11)，且 |C |=1+(−1)m−1={2, m 为奇数0, m 为偶数, ①若 m 为奇数，则 |C |≠0，即 C 可逆；秩{β1,⋯,βm }= 秩(B ) = 秩(AC )= 秩(A ) =m ；此时，β1,β2,⋯,βm 线性无关； ②若 m 为偶数，则 |C |=0⟹ 秩(C )<m ；秩{β1,⋯,βm }= 秩(B ) = 秩(AC ) ≤秩(C)<m ；此时，β1,β2,⋯,βm 线性无关.(2)当 m 为偶数时，β1− β2+β3−⋯+(−1)m+1βm =0，所以，β1,β2,⋯,βm线性相关；当 m 为奇数时，β1,β2,⋯,βm与 α1,α2,⋯,αm等价，所以，β1,β2,⋯,βm线性无关. 五、解方程组（共1题，14分）讨论 a,b 取何值时，线性方程组 {x1+x2+2x3−x4=1x1−x2−2x3−5x4=3(a−1)x2+2x3+bx4=b−3 x1+x2+2x3+(b−2)x4=b+3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的通解.解：增广矩阵(A,β)=(112−11−1−2−50a−12b112b−2|13b−3b+3)初等行变换⇒(100−301220a−20−1000b−1|2−1−4b+2)=(U,d)原方程组 Ax=β 与 Ux=d 同解，则①当|U|=−2(a−2)(b−1)≠0，即 a≠2，且 b≠1 时，原方程组有唯一解；②当 b=1 时，增广矩阵(A,β)初等行变换⇒(100−301220a−20−10000|2−1−43)出现矛盾方程，故原方程组无解；③当 a=2，且 b≠1 时，增广矩阵(A,β)初等行变换⇒(100−3012200010000|2−146−3b)1)当 6−3b≠0，即 b≠2 时，出现矛盾方程，故原方程组无解；2)当 b=2 时，增广矩阵(A,β)初等行变换⇒(1000012000010000|14−94)取 x3为自由未知量，令 x3=0，得方程组 Ax=β 的一个特解 x0=(14,−9,0,4)T；令 x3=1，得 Ax=0的一个基础解系 ξ=(0,−2,1,0)T；则原方程组的一般解为x=x0+kξ=(14,−9,0,4)T+k(0,−2,1,0)T，k 任意.综上，{当 a≠2，且 b≠1 时，方程组有唯一解；当 b=1或 a=2，且 b≠2 时，方程组无解；当 a=2，且 b=2时，方程组有无穷多解.六、二次型（共1题，14分）已知二次型 f(x1,x2,x3)=x T Ax，利用正交变换法可化为标准型 y12+y22，相应的正交矩阵 Q 的第三列为 (√22,0,√22)T；(1)写出 A 的全部特征值；(2)求出二次型 f(x1,x2,x3).解：(1)二次型 x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，则 Q−1AQ = Λ =(11)，即 A 的特征值为 λ1=λ2=1，λ3=0；且 η3=(√22,0,√22)T是 λ3=0 对应的标准正交的特征向量；(2)设向量 α=(t1,t2,t3)T是特征值1 对应的特征向量，A 是实对称矩阵，则(α,η3)=0⟺t1+t3=0，解此方程：得基础解系{ξ1=(0,1,0)Tξ2=(−1,0,1)T ，单位化得 {η1=(0,1,0)Tη2=(−√22,0,√22)T，则 η1,η2是特征值1 对应的标准正交的特征向量；①取正交矩阵 Q =(η1,η2,η3)=(0−√22√221000√22√22)，则 Q−1=Q T=( 010− √220√22√220√22)，于是A=QΛQ−1=(120− 12010− 120 12).②二次型 f(x1,x2,x3)=x T Ax= 12x12+x22+12x32−x1x3.。

《矩阵分析》考试题1 2010解答 (1)

H
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是。（A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似；（B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似；（C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似；（D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同，则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标准
型为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是：其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ，约当标准形 J 0 1 1 （或取 P3 0 ，则 P2 4 ，此时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ）。都有 P 1 AP J 。 0 1

2

1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx

2012年全国硕士研究生入学统一考试答案及解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考综合能力试题参考答案及解析一、问题求解1.【答案】C 。

解析：根据售价=定价*折扣，⨯2002%201）（-=128元。

2.【答案】Ａ。

解析：根据三角形相似性质得=，解得a=b+c 。

3.【答案】C 。

解析：底面面积ππ100102=⨯，顶部面积ππ200104212=⨯⨯，侧面积=π×20×20=400π，所以储物罐的造价=400×300π+300×400π=75.36万元。

4.【答案】B 。

解析：因为排成重复的353后一共有513，135，353，535，531，319，6种情况，所以顾客猜中的概率61=。

5.【答案】B 。

解析：两次陈列的商品各不同数，也就是15种商品中选5种的组合数，即：3003515=C 。

6.【答案】E 。

解析：据表可知甲，乙，丙三地区的人数分别为：40，60，50。

所以其平均分别可求得：甲地区平均分==7.5；乙地区平均分==7.6；丙地区平均分==7.7。

所以由高到低排名为丙、乙、甲。

7.【答案】E 。

解析：因为据表中可知一天中午办理安检不超过15的概率为0.1+0.2+0.2=0.5，所求据对立事件与原事件的概率和为1，可知2天中至少有1天中午办理安检手续的乘客人数超过15的概率是概率为1－0.5×0.5=0.75。

8.【答案】A 。

解析62)31(32)31(32313231⨯-⋅⋅⋅-⨯-⨯-M M M M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=311))31(1(3132316M M 763))31(1(3131M M M =--= 9.【答案】C 。

解析：根据已知，画出图像⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⨯-⨯-⨯=439492734133662πππ阴影S 。

10.【答案】D 。

解析：设甲组每天植树x 棵，根据已知，列出方程：2（x-4）+3（x+x-4）=100，解得x=15。

矩阵论B卷及答案上海交通大学

上海交通大学《矩阵论》 B 卷姓名：班级：学号：一、单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB ）1. 设1()kk A f A k ∞==∑收敛，则A 可以取为A. 0091⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ B. 0091⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C. 1011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：A 的特征值为0，-1，而1kk x k∞=∑的收敛区间为[1,1)-2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化3. 设211112121M --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解注：M 的秩为2故无QR 分解 4. 设，则A = A.214020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.114010061-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.224020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.204020061-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：'()At Ate Ae =，故()'A At t A Ae Aee ====5. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于A. 200130002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 20012002M ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ D. 200030013M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦注：B 中矩阵的最小多项式为()22x - 二、填空题(每题3分，共15分) 1．设220A A -=，则cos 2A ＝ [ E+()2cos11A - ]。

2．已知n nA C ⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数kk kA ∞=∑=［()2AE A - ］。

海南大学2012-2013《线性代数》试题(A卷)

海南大学2012-2013学年度第二学期试卷科目：（工科类）《线性代数》试题(A 卷)姓名：学号：学院：专业班级：时限： 120 分钟考试形式：闭卷笔试所有试卷均配有答题纸，考生应将答案写在答题纸上，写在试卷上一律无效大题号一二三四五六七八总分得分一、选择题：(每题3分，共15分)1.行列式0100002000034000=_____-24_____2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的行列式为0___3. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，若m n >，则AB =____0___4.若n 元齐次线性方程组AX O =有n 个线性无关的解向量，则A =O5. 设三阶方阵A 有三个特征值1232,3,λλλ==，若 A =24，则3λ=4二、填空题（每题3分，共15分）1. 设A 为n 阶方阵，且AX O =有非零解，则矩阵A 必有一个特征值为（ C ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 无法确定得分阅卷教师得分阅卷教师2. 设矩阵A 、B 都为n 阶方阵A =2，B =-3，则13A B *-＝（ D ）(A) 6 (B) 6n (C) -6 (D) 16n --3.若可逆方阵A 满足2A A = ，则 A =（ A ）(A)1 (B) 0 (C) -1 (D)无法确定4. 设三阶行列式D 的第三行元素依次是1、-1、1，它们的代数余子式依次是2、8、-5，则D =（ B ）（A ） 11 (B) -11 (C) 5 (D)-55. n 元非齐次线性方程组AX β=有解，其中A 为(1)n n +⨯的矩阵，则A β=（ A ）(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 无法确定三、计算题（14分）求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：（1）设 A 是 n 阶实数矩阵. A 的实系数多项式 f ( A) 的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法 ⊕ 和数乘 o 运算：
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ，则 Fij 是对称矩阵，易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线性无关，且对任意 n 阶对称矩阵 A = (aij ) n×n ，其中 aij = a ji ，有
1 −1 −1
= aa −1 = 1
⑥ k o (l o a ) = k o a = (a ) = a
l l k
lk
= (lk ) o a
⑦ (k +;l
= a k a l = a k ⊕ a l = (k o a) ⊕ (l o a )
k k k
⑧ k o ( a ⊕ b) = k o ( ab) = ( ab) = a b = ( k o a ) ⊕ (k o b) 所以 R+对这两种运算构成实数域 R 上的线性空间. （5）否.设 V2 = y ( x ) y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ), f ( x ) ≠ 0 ，则该集合对函数的加法和数乘均不封闭.例如对任意的 y1 , y 2 ∈ V2 , y1 + y 2 ∉ V2 .故不构成线性空间. （6）是.集合 V 对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是 V 的零元素；对任意