高考数学第一轮复习单元试卷12-椭圆
最新高三理科数学一轮复习试题精选21椭圆(含解析)
高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆一、选择题1 ．（北京市海淀区 高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地 左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同地 点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 地 离心率地 取值范围是 （） A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322U【答案】D解：当点P 位于椭圆地 两个短轴端点时，12F F P ∆为等腰三角形，此时有2个。
，若点不在短轴地 端点时，要使12F F P ∆为等腰三角形，则有1122PF F F c==或2122PF F F c==。
此时222PF a c=-。
所以有1122PF F F PF +>，即2222c c a c +>-，所以3c a >，即13c a >，又当点P 不在短轴上，所以11PF BF ≠，即2c a ≠，所以12c a ≠。
所以椭圆地 离心率满足113e <<且12e ≠，即111(,)(,1)322U ，所以选 D ． 二、填空题2 ．（北京市西城区 高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆22142x y +=地 两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 地 面积是______．解：由椭圆地 方程可知2,a c ==，且12||||24PF PF a +==，所以解得12||3,||1PF PF ==，又12||2F F c ==，所以有2221212||||PF PF F F =+，即三角形21PF F 为直角三角形，所以△12PF F 地 面积12211122SF F PF ∆==⨯=3 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）椭圆22192x y +=地 焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠地 小大为_____________.【答案】120o【解析】椭圆22192x y +=地 29,3aa ==，22222,7b c a b ==-=，所以c =.因为14PF =，所以1226PF PF a +==，所以2642PF =-=.所以22222211121212421cos 22422PF PF F F F PF PF PF +-+-===-⨯⨯，所以12120F PF∠=o三、解答题4 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）(本小题满分14分) 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地地 一个端点与两个焦点构成地 三角形地面积为3. (Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点地 横坐标为12-，求斜率k 地 值;②若点7(,0)3M -，求证:MA MB⋅u u u r u u u r 为定值.【答案】(本题满分14分)解:(Ⅰ)因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222ab c =+，3ca =，1223b c ⨯⨯=解得2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y +=(Ⅱ)(1)将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+因为AB 中点地 横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得k =(2)由(1)知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++5 ．（北京市朝阳区 高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>地 左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 地 面积为163. （Ⅰ）求椭圆C 地 方程；（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径地 圆是否经过点B ？并请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 地 方程为1x =，设点E 在x 轴上方， 由221,91x y t x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F，所以EF =因为△AEF 地面积为116423⨯=，解得2t =. 所以椭圆C地 方程为22192x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R.…………………5分设1122(,),(,)E x y F x y ， 则121222416,2929m y y y y m m --+==++，………………………………………………6分111x my =+，221xmy =+.又直线AE 地 方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++u u u u r u u u r ，……………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++u u u u r u u u r12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0= (13)分所以BM BN⊥u u u u r u u u r ，所以以MN为直径地 圆过点B. …………………………………14分6 ．（ 北京海淀二模数学理科试题及答案）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>地 四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地 菱形地 四个顶点.(I)求椭圆M 地 方程;(II)直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 地 垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆ (O 为原点)面积地 最大值. 【答案】解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b +=>>地 四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地 菱形地 四个顶点，所以1a b ==，椭圆M 地 方程为2213x y +=(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 地 垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线AB 有斜率，当直线AB 地 斜率为0时，则AB 地 垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-=，所以AOB S ∆≤当且仅当1||x =时，AOBS ∆当直线AB 地 斜率不为0时，则设AB 地 方程为y kx t =+所以2213y kx t xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330kx kt t +++-=当224(933)0k t ∆=+->， 即2231kt +>①方程有两个不同地 解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314kt+=②代入①，得到04t << 又原点到直线地距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆因为04t <<，所以当2t =时，即k =时，AOBS ∆取得最大综上，AOB ∆面积地7 ．（ 北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>地 离心率为22，且过点A .直线2y x m =+交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)△ABD 地 面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ)Θace ==22， 22211a b +=，222c b a+=∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=(Ⅱ)设11(,)B x y ，22(,)D x y，由22=+2142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒++-=∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<，12,x x+= ① 2122x xm =-②12BD x =-=Q设d 为点A 到直线BD:=+2y x m 地 距离，∴d =∴12ABD S BD d ∆==≤当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =ABD ∆地 8 ．（ 北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分) 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>地 长轴为AB ，过点B 地直线l 与x 轴垂直，椭圆地 离心率e =F 为椭圆地 左焦点，且1AF BF=g .(I)求此椭圆地 方程;(II)设P 是此椭圆上异于,A B 地 任意一点，PH x ⊥轴，H为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 地 中点，判定直线QN 与以AB 为直径地 圆O 地 位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由题意可知，(,0)A a -， (,0)B a ，(,0)F c -，()()1AF BF a c a c =+-=g 2221ac b ∴-== 又e =22222222134c a b a e a a a --==== ，解得24a=所求椭圆方程为2214x y +=(Ⅱ)设0(,)P x y ，则0(,2)Q x y 00(2,2)xx ≠≠- 由(2,0),A -得0022AQy kx =+所以直线AQ 方程002(2)2y y x x =++由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为08(2,)2y M x ∴+ 004(2,)2y N x ∴+由 0000200422224NQy y x x y k x x -+==--又点P 地 坐标满足椭圆方程得到:2200+44xy = ，所以220044x y -=-000002200022442NQ x y x y x k x y y ===--- ∴直线NQ 地 方程:0002()2x y yx x y -=--化简整理得到:22000244x x yyx y +=+= 即024x x yy+= 所以点O 到直线NQ 地距离2d O ===圆的半径∴直线NQ 与AB 为直径地 圆O 相切9 ．（北京市丰台区 高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等地 椭圆．点M 地 坐标是（0，1），线段MN 是1C 地 短轴，是2C 地 长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C交于A ，D 两点（A 在D 地 左侧），与2C 交于B ，C 两点（B 在C 地 左侧）．（Ⅰ）当m= 2， 54AC =时，求椭圆12,C C 地 方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 地 取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）设C 1地 方程为2221x y a+=，C 2地 方程为2221x y b+=，其中1,01a b ><<．..2分ΘC 1 ，C 2地 离心率相同，所以22211a b a -=-，所以1ab =，……………………….…3分∴C 2地 方程为2221a xy +=．当m=时，A(2a -，C 1(2a ． (5)分 又Θ54AC =，所以，15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分 ∴C 1 ，C 2地 方程分别为2214x y +=，2241x y +=．………………………………….7分（Ⅱ）A(-，m)，B(-，m) ． …………………………………………9分QOB ∥AN ，∴OBANkk =，∴1m =，∴211m a =- ． …………………………………….11分2221a e a-=，∴2211a e =-，∴221e m e-=． ………………………………………12分Q01m <<，∴22101e e-<<，∴12e <<．........................................................13分10．（ 北京西城高三二模数学理科）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<地 左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 地 任意一点，点P 与点A 关于点M 对称.(Ⅰ)若点P 地 坐标为9(,55，求m 地 值; (Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 地 取值范围.【答案】(Ⅰ)解:依题意，M 是线段AP 地 中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M 地 坐标为2(5由点M 在椭圆C 上，所以 41212525m+=， 解得 47m =(Ⅱ)解:设00(,)M x y ，则2201y x m +=，且011x-<<. ①因为 M 是线段AP 地 中点， 所以 00(21,2)P xy +因为 OP OM ⊥， 所以 200(21)20x xy ++=. ②由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+，当且仅当2x=-.所以 m 地 取值范围是1(0,]24-11．（ 北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:2214x y +=地 短轴地 端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点M (m ，12) 满足0m ≠，且3m ≠±. (Ⅰ)求椭圆C 地 离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E ，F 地 坐标;(Ⅲ)若∆BME 面积是∆AMF 面积地 5倍，求m 地 值.【答案】解:(Ⅰ)依题意知2a =，3=c ，23=∴e ; (Ⅱ)Θ)1,0(),1,0(-B A ，M (m ，12)，且0m ≠， ∴直线AM 地 斜率为k 1=m 21-，直线BM 斜率为k 2=m 23，∴直线AM 地 方程为y=121+-x m ，直线BM 地 方程为y=123-x m ， 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m xmx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()012922=-+mx xm ，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; (Ⅲ)Θ1||||sin 2AMFSMA MF AMF ∆=∠，1||||sin 2BMESMB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BMES S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =， ∴225,41219m mm mm m m m =--++Θ0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0mm --=，又Θm ≠∴230m-≠， 12=∴m，1m ∴=±为所求12．（ 北京顺义二模数学理科试题及答案）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 地 两个焦点分别为21,F F ，且221=F F ，点P 在椭圆上，且21F PF ∆地 周长为6.(I)求椭圆C 地 方程;(II)若点P 地 坐标为()1,2，不过原点O 地 直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设线段AB 地 中点为M ，点P 到直线l 地 距离为d ，且P O M ,,三点共线.求2216131312d AB+地 最大值.【答案】解:(I)由已知得22=c 且622=+c a ，解得1,2==c a ，又3222=-=c a b，所以椭圆C 地 方程为13422=+y x(II)设()()2211,,,y x B y x A .当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆地 对称性可知，点M 在x 轴上，且与O 点不重合，显然P O M ,,三点不共线，不符合题设条件.故可设直线l 地 方程为()0≠+=m m kx y . 由⎩⎨⎧=++=1243,22y x m kx y 消去y 整理得()0124843222=-+++m kmx xk .①则()()124434642222>-+-=∆m k mk ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122143124,438k m x x k km x x 所以点M 地 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-22433,434k m kkm.因为P O M ,,三点共线，所以22432433,k kmk m k kOP OM+-=+=，因为≠m ，所以23-=k ， 此时方程①为33322=-+-m mx x ，则()1232>-=∆m ，⎪⎩⎪⎨⎧-==+33,22121m x x m x x所以()()2122122y y x x AB -+-=()()[]21221241x x x x k -++=()2121213m -=，又1342232822-=+-=m m d ，所以()()352344344121613131222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+m m m d AB ，故当()0,3234-∈-=m 时，2216131312d AB+地 最大值为352 13．（ 北京东城高三二模数学理科）已知椭圆C:22221x y a b+=(0)a b >>地 离心率e =，原点到过点(,0)A a ，(0,)B b -地 直线地 距离是5.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程; (Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=地 对称点为()111,y x P ，求2211xy +地 取值范围.(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同地 两点E，F ，且E ，F 都在以B 为圆心地 圆上，求k 地 值.【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为c a =，222a b c -=，所以 2a b =.因为原点到直线AB :1x ya b-=地 距离d ==，解得4a =，2b =. 故所求椭圆C 地 方程为221164x y +=.(Ⅱ)因为点()0,P x y 关于直线x y 2=地 对称点为()111,y x P ，所以0101010121,2.22y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得 01435y xx -=，01345yx y +=.所以22221100xy x y +=+. 因为点()00,P x y 在椭圆C:221164x y +=上，所以22222011344x x y x y +=+=+.因为044x-≤≤， 所以2211416xy ≤+≤.所以2211xy +地 取值范围为[]4,16. (Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k xkx ++-=.可知0∆>.设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 地 中点是(,)MM M xy ，则2324214Mx x kxk +-==+，21114MM ykx k =+=+.所以21M BMM y kx k+==-. 所以20MM xky k ++=.即 224201414kkk kk -++=++. 又因为0k ≠，所以218k=.所以4k =±14．（北京市石景山区 高三一模数学理试题）设椭圆C:2222x y a b +=1(a>b>0)地 左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =u u u r u u u u r ，且AB ⊥AF 2.(I)求椭圆C 地 离心率;(II)若过A 、B 、F 2三点地 圆与直线l:x 3-=0相切，求椭圆C 地 方程;(Ⅲ)在(II)地条件下，过右焦点F作斜率为k地2直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN地中垂线与x轴相交于点P(m，O)，求实数m地取值范围.【答案】15．（北京市顺义区 高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆()11:222>=+a y ax C 地 上顶点为A ，左焦点为F ，直线AF 与圆0726:22=+-++y x y xM 相切.过点⎪⎭⎫⎝⎛-21,0地 直线与椭圆C 交于Q P ,两点. (I)求椭圆C 地 方程;(II)当APQ ∆地 面积达到最大时，求直线地 方程. 【答案】解:(I)将圆M 地 一般方程072622=+-++y x y x 化为标准方程()()31322=-++y x ，则圆M 地 圆心()1,3-M ，半径3=r .由()()()10,,1,02-=-a c c F A 得直线AF 地 方程为=+-c cy x .由直线AF 与圆M 相切，得3132=++--cc c ，所以2=c 或2-=c (舍去).当2=c 时，3122=+=c a，故椭圆C 地 方程为1322=+y x(II)由题意可知，直线地 斜率存在，设直线地 斜率为k ，则直线地 方程为21-=kx y . 因为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在椭圆内， 所以对任意R ∈k ，直线都与椭圆C 交于不同地 两点. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=13,2122y x kx y 得()04933122=--+kx xk .设点Q P ,地 坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则()22122122113149,313,21,21k x x k k x x kx y kx y +-=+=+-=-=，所以()()212212y y x x PQ -+-=()()[]21221241x x x xk -++=()()222314113k k k +++=.又因为点()1,0A 到直线21-=kx y 地 距离1232+=k d ，所以APQ ∆地 面积为()2231441921k k d PQ S ++=⋅=设2311kt +=，则10≤<t 且31312-=t k ， ()34231493344931344922+--=-=-⋅=t t t t t S .因为10≤<t ，所以当1=t 时，APQ ∆地 面积S 达到最大， 此时13112=+k，即0=k .故当APQ ∆地 面积达到最大时，直线地 方程为21-=y 16．（ 北京高考数学（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上地 三个点，O 是坐标原点.(I)当点B 是W 地 右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形地 面积;(II)当点B 不是W 地 顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=地 右顶点B 地 坐标为(2，0).因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1，m )，代入椭圆方程得2114m+=，即m =. 所以菱形OABC 地 面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 地 顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 地 方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠. 由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k xkmx m +++-=.设A 1,1()x y ，C 2,2()xy ，则1224214x xkm k +=-+，121222214y yx x mk m k ++=⋅+=+.所以AC 地 中点为M(2414km k -+，214mk+). 因为M 为AC 和OB 地 交点，所以直线OB 地 斜率为14k -.因为1()14k k ⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点B 不是W 地 顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.17．（ 年高考（北京理））已知椭圆G:2214x y +=.过点(,0)m 作圆221xy +=地 切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.(Ⅰ)求椭圆G 地 焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将|AB|表示为m 地 函数，并求|AB|地 最大值.【答案】【命题立意】本题考查椭圆地 标准方程和性质以及直线被椭圆截得地 弦长地 求法，运用基本不等式求解函数地 最值问题.考查学生地 运算能力和综合解答问题地 能力. 【解析】(Ⅰ)由已知得2,1a b ==，c =所以椭圆G 地 焦点坐标为(，，离心率为2c e a ==(Ⅱ)由题意知，||1m ≥.当1m =时，切线l 地 方程为1x =，点A ，B 地 坐标分别为，(1,，此时||AB =当1m =-时，同理可得||AB =当||1m >时，设切线l 地 方程为()y k x m =-，由22()14y k x m xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(14)8440k xk mx k m +-+-=设A 、B 两点地 坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2221212228441414k m k m x x x x k k -+=⋅=++又由l 与圆221x y +=1=，即2221k mk =+所以||AB=由于当1m =±时，||AB =||(,1][1,)AB m ∈-∞-+∞U因为||2||||AB m m =≤+，当且仅当m =||2AB =所以||AB 地 最大值是218．（ 北京朝阳二模数学理科试题）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>地 右焦点为F (1,0)，短轴地 端点分别为12,B B ，且12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)过点F 且斜率为k (0)k ≠地 直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 地 垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN地 中点为P ，试求DPMN 地 取值范围.【答案】解:(Ⅰ)依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--u u u r，2(1,)FB b =-u u u u r.由12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r，得21ba-=-.又因为221ab -=，解得2,a b ==. 所以椭圆C 地 方程为22143x y +=(Ⅱ)依题直线l 地 方程为(1)y k x =-. 由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k xk x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+所以弦MN 地 中点为22243(,)3434k k P k k -++所以MN ===2212(1)43k k +=+直线PD 地 方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<.所以DP MN地 取值范围是1(0,)419．（北京市海淀区北师特学校 高三第四次月考理科数学）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e(Ⅰ）求椭圆C 地 方程；(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同地 两点NM ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径地 圆经过椭圆C 地 右顶点A. 求证：直线l 过定点，并求出定点地 坐标.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c (1)分解得 1,2==b a ………2分 所以椭圆地方程为：1422=+y x ……3分（II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422448)k 41222=-+++m kmx x 得（…4分 0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km 整理得1422>+-m k (5)分设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+ …….6分由已知，ANAM ⊥且椭圆地 右顶点为)0,2(A ………7分)2)(2(2121=+--∴y y x x (8)分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k也即04418)2(4144))1(22222=+++-•-++-•+m kkmkm k m k …… 10分整理得：1216522=++k mk m (1)1分 解得562km k m -=-=或均满足1422>+-m k ……12分当km 2-=时，直线地 l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分当56k m -=时，直线地 l 方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56( 故直线l过定点，且定点地 坐标为)0,56( …….14分20．（北京市东城区普通高中示范校 高三12月综合练习(一)数学理试题）椭圆T 地 中心为坐标原,,OM ON OP地 斜率之和为0，求证.【答案】解:(1)设椭圆T地由题意知:左焦点为'(2,0)F -2b =. 故椭圆T 地 方法2、待定系数法)(2)设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)M s t N s t P s t ，由:221128xy +=，28x y +=，两式相减，得到12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=,,OM ON OP 地 斜率之和为0，方法2:设直线AB :111()y t k x s -=-，代入椭圆2228xy +=，得到22211111111(12)4()2()80k x t k s k x t k s ++-+--=以下同21．（北京市东城区普通校 高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 地 离心率为.36（I ）若原点到直线0=-+b y x 地 距离为,2求椭圆地方程；（II ）设过椭圆地 右焦点且倾斜角为︒45地 直线和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 地 值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若μλ+=，求实数μλ,满足地 关系式.【答案】解：（I ）222=∴==b b d Θ323622=∴==ac a c e Θ22222324a a c b a =-∴=-Θ 解得.4,1222==b a椭圆地 方程为.141222=+y x (4)分（II ）（i ）∵e .232,3,36222222b a c b a c===∴=Θ椭圆地 方程可化为：22233b y x =+ ①易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：bx y 2-= ②由①，②有：0326422=+-b bx x③设),(),,(2211y x B y x A ，33424244872)11()()(||222222212212==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB1=∴b ………………………8分（2）（ii ）显然OA 与OB 可作为平面向量地 一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内地 向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等OM μλ+=成立. 设M （x ，y ），,,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=Θ又点M 在椭圆上，22212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④由③有：43,22322121b x x b x x ==+则22121212121216)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y xx ++-=--+=+693222=+-b b b ⑤又A ，B 在椭圆上，故有222222212133,33b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑥，⑤代入④可得：.122=+μλ ……………………14分22．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆22:143x y C +=地 左右两个顶点分别为A B ，，点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点地 点P ，点Q . (Ⅰ)求椭圆地 离心率和右焦点F 地 坐标; (Ⅱ)(i)证明,,P F Q 三点共线; (Ⅱ)求PQB ∆面积地 最大值. 【答案】解:(Ⅰ)24a=，23b=，所以，2221ca b =-=.所以，椭圆地 离心率12c e a ==. 右焦点()1,0F .(Ⅱ)(i)()2,0A -，()2,0B .设()4,M m ，显然0m ≠.则():26m MA y x =+，():22m MB y x =-. 由()222,6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得222542,2718.27P P m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由()222,2143m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22226,36.3Q Q m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩当29m =时，1PQ x x ==，,,P Q F 三点共线.当29m≠时，22018612739P FPP y m mkx m m -===---，22066199Q FQ Q y m mk x m m --===---，所以，FPPQkk =，所以，,,P Q F 三点共线.综上，,,P Q F 三点共线.(Ⅱ)因为,,P Q F 三点共线，所以，△PQB 地 面积()()()22212912327P Q m m S FB y y m m +=⨯⨯-=++2912912m m m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭设9u m m =+，则21212uS u =+ 因为()()22246'12u S u-=+，且96u m m =+≥，所以，'0S ≤，且仅当6u =时，'0S =，所以，21212uS u =+在[6,)+∞上单调递减. 所以，212636122S ⨯≤=+，等号当且仅当6u =，即3m =±时取得. 所以，△PQB 地 面积地 最大值为32.23．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地 离心率为12，且经过点3(1,)2A .(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)设,M N 为椭圆C 上地 两个动点，线段MN 地 垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 地 取值范围.【答案】解: (Ⅰ)椭圆C 地 方程为:221.43x y +=(Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=. 依题意有||||PM PN ==，整理得 22221212012()()2()0x x y y y y y -+---=.将2211443y x =-，2222443y x =-代入上式，消去2212,x x ，得 2212012()6()0yy y y y -+-=.依题意有 12y y-≠，所以126y y y+=-.注意到1||y ≤，2||y≤，且,M N 两点不重合，从而12y y -+<所以(y ∈.24．（北京市石景山区 高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆地 中心在原点，焦点在x 轴上，(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同地 两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆地 方程； （Ⅱ）求m 地 取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、地 斜率互为相反数．【答案】（Ⅰ）设椭圆地 方程为22221x y a b +=，因为e =所以224ab =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20ba ==，故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200xmx m ++-=，22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 地 斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．。
最新高考数学(理)一轮复习 椭圆及其性质
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
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高考数学(理科)一轮复习椭圆学案带答案
高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→•PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4••>0.整理得32>0，解得k>－12.[7分]又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→•PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a>c a＝c a<c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6>|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3•2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36>0，∴m2>32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。
2022届高考数学一轮复习课时作业椭圆及其性质
椭圆及其性质1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2＋ky 2＝1的焦距为2，则( )A ．k ＝2B ．k ＝2或k ＝23C ．离心率e ＝22D ．离心率e ＝22或e ＝332．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为8，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 216＋y 215＝1 B ．x 28＋y 27＝1 C ．x 24＋y 23＝1D ．x 23＋y 24＝14．(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹可能是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．不存在5．(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)的椭圆上，若△PF 1F 2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )A ．x 220＋y 24＝1 B ．x 24＋y 220＝1 C ．x 232＋y 216＝1D ．x 210＋y 26＝16．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C ：x 2＋y 2n ＝1(n >0)的离心率为32，则n 的值可能是( )A ．4B ．14C ．2D ．127．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．9．(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1,1)，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．10．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．能力提高1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，给出以下四个结论：①|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1； ②椭圆C 的短轴长可能为2；③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12； ④若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17.则上述结论正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 23．(2020·豫州九校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，求OP →·PF→的取值范围． 扩展应用1．(2020·北京模拟)已知椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是________．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a的取值范围．椭圆及其性质1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x 2＋ky 2＝1的焦距为2，则( )A ．k ＝2B ．k ＝2或k ＝23C ．离心率e ＝22D ．离心率e ＝22或e ＝33BD [将椭圆方程化为标准方程x 2＋y 21k ＝1,2c ＝2，∴c 2＝12.当焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1k ，那么c 2＝1－1k ＝12，∴k ＝2，此时e ＝c a ＝22.当焦点在y 轴上时，a 2＝1k ，b 2＝1，那么c 2＝1k －1＝12，∴k ＝23，此时e ＝ca ＝1232＝33.故选项BD 正确．]2．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C[由题意得⎩⎨⎧2－k ＞0，2k －1＞0，2k －1＞2－k ，解得1＜k ＜2.故选C.]3．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的周长为8，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 216＋y 215＝1 B ．x 28＋y 27＝1 C ．x 24＋y 23＝1D ．x 23＋y 24＝1C [根据椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝8， ∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.]4．(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹可能是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．不存在AC [当a >0时，由基本不等式得a ＋9a ≥2a ×9a ＝6，当且仅当a ＝3时等号成立．当a ＋9a ＝6时，点P 的轨迹是线段F 1F 2，当a ＋9a >6＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆．故选AC.]5．(2020·武邑模拟)点P 在焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)的椭圆上，若△PF 1F 2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )A ．x 220＋y 24＝1 B ．x 24＋y 220＝1 C ．x 232＋y 216＝1D ．x 210＋y 26＝1C [由题意，2c ＝8，即c ＝4，∵△ PF 1F 2面积的最大值为16，∴12×2c ×b ＝16， 即4b ＝16，b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝16＋16＝32. 则椭圆的标准方程为x 232＋y 216＝1.故选C.]6．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C ：x 2＋y 2n ＝1(n >0)的离心率为32，则n 的值可能是( )A ．4B ．14C ．2D ．12AB [当椭圆C 的焦点在x 轴上时，0<n <1，所以a 2＝1，b 2＝n ，所以c 2＝a 2－b 2＝1－n ，此时，椭圆C 的离心率e ＝c a ＝1－n ＝32，解得n ＝14；当椭圆C的焦点在y 轴上时，n >1，所以a 2＝n ，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝n －1，此时，椭圆C 的离心率e ＝ca ＝n －1n ＝32，解得n ＝4.因此，n ＝14或n ＝4.故选AB.]7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．(－5,0) [∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋4)2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．]9．(2020·江苏启东中学月考)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是椭圆上的动点，A (1,1)，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．6＋2 6－2 [椭圆方程可化为x 29＋y 25＝1. 设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，连接AF 1，PF 1， ∴|AF 1|＝2，易知|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1三点共线时等号成立)， ∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2.]10．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．[解] 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|＝2， 所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3， 所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.11.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． [解] (1)若∠F 1AB ＝90°， 则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎨⎧2(x －1)＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.能力提高1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，给出以下四个结论：①|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1； ②椭圆C 的短轴长可能为2；③椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12； ④若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17. 则上述结论正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④C [因为|F 1F 2|＝2，所以F 2(1,0)，|PF 2|＝1，所以|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |≥2a －|PF 2|＝2a －1， 当Q ，F 2，P 三点共线时，取等号，故①正确；若椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x 22＋y 21＝1，12＋11＞1，则点P 在椭圆外，故②错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a ＋1b ＜1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a ＋1a －1＜1，即a 2－3a ＋1＞0，解得a ＞3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a ＞1＋52，所以e ＝1a＜5－12， 所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12，故③正确；若PF 1→＝F 1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故④正确．故选C.]2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 2BC [对于A ，因为在椭圆中，a ＋c 是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以A 错误；对于B ，因为在椭圆中，a －c 是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以a 1－c 1＝a 2－c 2，所以B 正确；对于C ，D ，因为由题图可以看出椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，所以椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ的离心率大，所以D 是错误的，C 正确．]3．(2020·豫州九校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，求OP →·PF→的取值范围． [解] 因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列， 所以2a ＋2c ＝4b ，即a ＋c ＝2b . F (3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c ＝3. 在椭圆中，a 2＝c 2＋b 2，所以⎩⎨⎧a 2＝c 2＋b 2a ＋c ＝2bc ＝3，解方程组得⎩⎨⎧a ＝5b ＝4c ＝3，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1. 设P (m ，n )(0＜m ＜5)， 则m 225＋n 216＝1，则n 2＝16－1625m 2.所以OP →·PF →＝(m ，n )(3－m ，－n )＝3m －m 2－n 2 ＝3m －m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1625m 2 ＝－925m 2＋3m －16＝－925⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2562－394. 因为0＜m ＜5，所以当m ＝256时，OP →·PF →取得最大值为－394，当m 趋近于0时，OP →·PF→的值趋近于－16. 所以OP →·PF →的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－16，－394. 扩展应用1．(2020·北京模拟)已知椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是________．①② [椭圆G ：x 26＋y 2b 2＝1(0＜b ＜6)的两个焦点分别为F 1(6－b 2，0)和F 2(－6－b 2，0)，短轴的两个端点分别为B 1(0，－b )和B 2(0，b )，设P (x ，y )，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|＋|PB 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，由椭圆定义可得，|PB 1|＋|PB 2|＝2a ＝26＞2b ，即有P 在椭圆y 26＋x 26－b 2＝1上， 对于①，将x 换为－x 方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确；对于②，由图象可得，当P 满足x 2＝y 2，即有6－b 2＝b 2，即b ＝3时，|OP |取得最小值，可得x 2＝y 2＝2时，即有|OP |＝x 2＋y 2＝2＋2＝2取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜6，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故③不正确．故答案为①②.]2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围．[解](1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②x2 a2＋y2b2＝1. ③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4 c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4 2. 当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．。
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。
当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。
椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。
椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。
高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型
高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型下面是编辑教员整理的2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆几何概型，希望对您高考温习有所协助. 【变式训练1】 (1)(2021镇江调研)设函数f(x)=log2x，那么在区间(0,5)上随机取一个数x，f(x)2的概率为________.(2)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，假定在该圆周上随机取一点B，那么劣弧的长度小于1的概率为________. [解析] (1)由log2x2，从而02S2的概率是________.[解析] 由S12S2，AP2PB，即S12S2的概率为.[答案]2.设A为圆周上一点，在圆周上等能够地任取一点与A连结，那么弦长超越半径倍的概率是________.[解析] 如下图，作等腰直角三角形AOC和CAM，B为圆上任一点，那么当点B在上运动时，弦长|AB|R，P=.[答案]3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，那么△PBC的面积大于的概率是________.[解析] 如图，要使S△PBCS△ABC，只需PBAB.故所求概率为P==.[答案]4.在区间[0，]上随机取一个数x，那么事情sin x+cos x发作的概率为________.[解析] 由sin x+cos x1，得sin，由于0，那么，由几何概型概率公式得，所求概率P==.[答案]5.正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC[解析] 当点P究竟面ABC的距离小于时，VPABC由几何概型知，所求概率为P=1-3=.[答案]6.函数f(x)=log2x，x，在区间上任取一点x0，使f(x0)0的概率为________.[解析] 由f(x0)0，得log2x00，x01，因此使f(x0)0的区域为[1,2]，故所求概率为P==.[答案]7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，使四棱锥MABCD的体积小于的概率是________.[解析] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h，那么SABCD，又SABCD=1，h，即点M在正方体的下半局部，所求概率P==.[答案]8.(2021连云港清华园双语学校检测)假定在区间(-1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，那么直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为________.[解析] 直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足1，即4a3b，在平面直角坐标系aOb中，-13b的区域为图中ODCE 的外部，由E，可求得梯形ODCE的面积为，而矩形ABCD的面积为2，由几何概型可知，所求的概率为.[答案]二、解答题9.如图105所示，在单位圆O的某不时径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超越1的概率. [解] 弦长不超越1，即|OQ|.因Q点在直径AB上是随机的，记事情A={弦长超越1}.由几何概型的概率公式得P(A)==.弦长不超越1的概率为1-P(A)=1-.10.在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2+y2=1内的概率.[解] 如下图，不等式组表示的平面区域是△ABC的外部及其边界.又圆x2+y2=1的圆心(0,0)到x+y-=0与x-y+=0的距离均为1，直线x+y-=0与x-y+=0均与单位圆x2+y2=1相切，记点P落在x2+y2=1内为事情A，∵事情A发作时，所含区域面积S=，且S△ABC=2=2，故所求事情的概率P(A)==.[B级才干提升练]一、填空题1.(2021辽宁高考改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长区分等于线段AC，CB的长，那么该矩形面积小于32 cm2的概率为________.[解析] 设AC=x，CB=12-x，所以x(12-x)=32，解得x=4或x=8.所以P==.[答案]2.(2021盐城中学调研)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.[解析] 此题为几何概型，设D为正方形OABC的面积，d为到坐标原点距离大于2的面积，那么P====1-.[答案] 1-二、解答题3.向量a=(2,1)，b=(x，y).(1)假定x{-1,0,1,2}，y{-1,0,1}，求向量ab的概率;(2)假定x[-1,2]，y[-1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率.[解] (1)设ab为事情A，由ab, 得x=2y.基身手情空间为={(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，(2，-1)，(2,0)，(2,1)}，共包括12个基身手情;其中A={(0,0)，(2,1)}，包括2个基身手情.那么P(A)==，即向量ab的概率为.(2)由于x[-1,2]，y[-1,1]，那么满足条件的一切基身手情所构成的区域(如图)为矩形ABCD，面积为S1=32=6.设a，b的夹角是钝角为事情B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2x+y0，且x2y.事情B包括的基身手情所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2=2=2，那么P(B)===.即向量a，b的夹角是钝角的概率是.2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆几何概型曾经呈如今各位考生面前，希望同窗们仔细阅读学习，更多精彩尽在高考频道!。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
2024年高考数学题源追溯专题12 椭圆(解析版)
专题12 椭圆目录一览2023真题展现考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题真题考查解读近年真题对比考向一 椭圆的性质考向二 直线与椭圆相交问题命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 椭圆的性质1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C 1：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），C 2：x 24+y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=3e 1，则a ＝（ ）A ．233B ．2C ．3D ．6【答案】A解：由椭圆C 2：x 24+y 2＝1可得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2=4−1=3，∴椭圆C 2的离心率为e 2=32，∵e 2=3e 1，∴e 1=12，∴c 1a 1=12，∴a 21=4c 21=4（a 21−b 21）＝4（a 21−1），∴a =233或a =−233（舍去）．考向二 直线与椭圆相交问题2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C ：x 23+y 2=1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2，直线y ＝x +m 与C 交于点A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍，则m ＝（ ）A ．23B ．23C ．−23D ．−23【答案】C解：记直线y ＝x +m 与x 轴交于M （﹣m ，0），椭圆C ：x 23+y 2=1的左，右焦点分别为F 1（−2，0），F 2（2，0），由△F 1AB 面积是△F 2AB 的2倍，可得|F 1M |＝2|F 2M |，∴|−2−x M |＝2|2−x M |，解得x M =23或x M ＝32，∴﹣m =23或﹣m ＝32，∴m =−23或m ＝﹣32，y 2=1x +m可得，4x 2+6mx +3m 2﹣3＝0，∵直线y ＝x +m 与C 相交，所以Δ＞0，解得m 2＜4，∴m ＝﹣32不符合题意，故m =−23．【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若1212||||||MF MF F F +=，M 的轨迹为线段21F F ；②若1212||||||MF MF F F +<，M 的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质x 2y 2y 2x 2椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)余弦定理：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .重要结论：S △PF 1F 2=2tan2b θ推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||+||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=-+2122||||1cos b PF PF θ=+由三角形的面积公式可得S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sincos12sin 22sin tan 21cos 1cos 2cos 2b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===++注：S △PF 1F 2=2tan2b θ=||p y c =r c a )(+（r 是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．(5)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中,F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意的一点，当点P 在短轴端点时，12F PF ∠最大.四、点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1.五、直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法：联立Error!消y 得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．六、直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.y考向一 椭圆的性质3．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6【解答】解：F 1，F 2是椭圆C ：+＝1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|＝6，所以|MF 1|•|MF 2|≤＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，取等号，所以|MF 1|•|MF 2|的最大值为9．故选：C ．4．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l +＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2，则l 的方程为 ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为E ，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则k OE •k AB ＝•＝＝﹣，设直线l 的方程为：y ＝kx +m ，k ＜0，m ＞0，M （﹣，0），N （0，m ），∴E （﹣，），∴k OE ＝﹣k ，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．考向二直线与椭圆相交问题5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 ．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．故答案为：13．根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：椭圆
a＝ 2， b2＝ a2－ c2＝ 3，因此其方程是
x2 y2 ＋ ＝1，
43
故选 C．
2．到点 A( － 4， 0) 与点 B(4 ，0) 的距离之和为 10 的点的轨迹方程为 (
)
x2 y2
x2 y2
A． ＋ ＝1 B ． － ＝ 1
25 16
25 16
x2 y2
x2 y2
C． 25＋ 9 ＝ 1 D ． 25－ 9 ＝ 1
3＋ m
x2 y2 11．(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知 F1， F2 是椭圆 C： a2＋b2 ＝1( a>b>0) 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A
3
且斜率为 的直线上，△ PF1F2 为等腰三角形，∠ F1F2P＝120°，则 C的离心率为 (
)
6
2
1
1
1
A． 3 B ．2 C ． 3 D ． 4
解析 在△ F1PF2 中，∠ F1 PF2＝90°，∠ PF2F1＝60°，
设| PF2| ＝ m，则 2c＝ | F1 F2| ＝ 2m， | PF1| ＝ 3m，
又由椭圆定义可知 2a＝ | PF1| ＋ | PF2| ＝ ( 3＋ 1) m，
c 2c 则离心率 e＝ a＝ 2a＝
2m ＝ 3－ 1．故选 D．
＝ 8． 二、高考小题
2 / 12
x2 y2
9．(2018 ·全国卷Ⅰ ) 已知椭圆 C： a2＋ 4 ＝ 1 的一个焦点为 (2 ， 0) ，则 C的离心率为 (
)
1
1
2
22
A． 3 B ．2 C ． 2 D ． 3
答案 C
解析
根据题意，可知
2022统考版高考数学一轮复习椭圆练习含解析
椭圆命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质．[基础强化]一、选择题1．椭圆x 216＋y 26＝1上一点M 到其中一个焦点的距离为3，则点M 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长为( )A ．2 3B ．4 3C ．6D ．123．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b4．动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 2100＋y 236＝1 5．已知椭圆的长轴长为8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．[2021·全国乙卷]设B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点，若C 上的任意一点P都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，1B.⎣⎡⎭⎫12，1C.⎝⎛⎦⎤0，22 D.⎝⎛⎦⎤0，12 8．[2021·西宁一中高三测试]设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C.32D ．6或3 9．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1 二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[能力提升]13．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝114．[2021·昆明一中高三测试]已知椭圆C: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.1315．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．16．已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．椭圆参考答案1．D ∵a ＝4，由椭圆的定义知，M 到另一个焦点的距离为2a －3＝2×4－3＝5. 2．B 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.3．B 由题意得，c a ＝12，∴c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，∴4b 2＝3a 2.故选B.4．B 依题意，动点P 的轨迹是椭圆，且焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由c ＝4,2a ＝10，即a ＝5，得b ＝a 2－c 2＝3，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1.5．B ∵2a ＝8，∴a ＝4，e ＝ca ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. 6．D ∵c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴c ＝4， ∴两曲线的焦距相等．7．C 解法一 依题意，B (0，b )，设P (a cos θ，b sin θ，θ∈[0,2π)，因为|PB |≤2b ，所以对任意θ∈[0,2π)，(a cos θ)2＋(b sin θ－b )2≤4b 2恒成立，即( a 2－b 2)sin 2θ＋2b 2sin θ＋3b 2－a 2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立．令sin θ＝t ，t ∈[－1,1]，f (t )＝(a 2－b 2)t 2＋2b 2t ＋3b 2－a 2，则原问题转化为对任意t ∈[－1,1]，恒有f (t )≥0成立．因为f (－1)＝0，所以只需－2b 22(a 2－b 2)≤－1即可，所以2b 2≥a 2，则离心率e ＝1－b 2a 2≤22，所以选C. 解法二 依题意，B (0，b )，设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则|y 0|≤b ，x 20a 2＋y 20b2＝1，可得x 20＝a 2－a 2b 2y 20，则|PB |2＝x 20＋(y 0－b )2＝x 20＋y 20－2by 0＋b 2＝－c 2b 2y 20－2by 0＋a 2＋b 2≤4b 2.因为当y 0＝－b 时，|PB |2＝4b 2，所以－b 3c 2≤－b ，得2c 2≤a 2，所以离心率e ＝c a ≤22，故选C.8．C 由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，若P 为短轴的顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝60，△PF 1F 2为等边三角形， ∴∠P 不可能为直角， 若∠F 1＝90°，则|PF 1|＝b 2a ＝32，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝32.9．D不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵∠PF 2F 1＝60°，∴|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ＝2a . ∴e ＝2c 2a ＝23＋1＝3－1.10．8解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8.11.35解析：由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝35或e ＝－1(舍去)．12．3解析：∵PF 1→⊥PF 2→，∴∠F 1PF 2＝90°，又S △PF 1F 2＝b 2tan45°＝9，∴b ＝3.13．B 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.14．A 由题意得(0,0)到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为a ，∴2aba 2＋b2＝a ，∴a 2＋b 2＝4b 2，∴a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴c 2a 2＝23，∴e ＝63. 15.⎣⎡⎭⎫22，1 解析：设P 0为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的上顶点，由题意得∠F 1P 0F 2≥90°，∴∠OP 0F 2≥45°，∴c a ≥sin45°，∴e ≥22，又0<e <1，∴22≤e <1. 16.15解析：通解：依题意，设点P (m ，n )(n >0)，由题意知F (－2,0)，所以线段FP 的中点M⎝⎛⎭⎫－2＋m 2，n 2在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝⎛⎭⎫－2＋m 22＋⎝⎛⎭⎫n 22＝4，又点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 25＝1上，所以m 29＋n 25＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－32或m ＝212(舍去)，n ＝152，所以k PF ＝152－0－32－(－2)＝15.优解：如图，取PF 的中点M ，连接OM ，由题意知|OM |＝|OF |＝2，设椭圆的右焦点为F 1，连接PF 1，在△PFF 1中，OM 为中位线，所以|PF 1|＝4，由椭圆的定义知|PF |＋|PF 1|＝6，所以|PF |＝2.因为M 为PF 的中点，所以|MF |＝1.在等腰三角形OMF 中，过O 作OH ⊥MF 于点H ，所以|OH |＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152，所以k PF ＝tan ∠HFO ＝15212＝15.。
高考数学一轮复习--椭圆知识点与题型复习
椭圆知识点与题型复习一、基础知识 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ＞|F 1F 2|)的动点P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点. 2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．椭圆的几何性质注：长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此椭圆越扁．二、常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2a ，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .(3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．三、考点解析考点一 椭圆的标准方程例、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )A.x 26＋y 24＝1B.x 216＋y 236＝1C.x 236＋y 216＝1D.x 249＋y 29＝1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________． 跟踪训练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1B.x 29＋y 28＝1C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1 2．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________．3．已知椭圆中心在原点，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________．考点二 椭圆的定义及其应用例、(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 (2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．变式练习1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 2.(变结论)若本例(2)条件不变，则△PF 1F 2的内切圆的面积为________． 考点三 椭圆的几何性质考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)例、(1)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C.3－12D.3－1 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.]23,0( B.]43,0( C )1,23[. D.)1,43[ [解题技法]求椭圆离心率的方法：(1)定义法：根据条件求出a ，c ，直接利用公式e ＝ca求解．(2)方程法：根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次等式(不等式)，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题例、已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1―→＋MF 2―→|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10[解题技法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形． (2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系． 跟踪训练1．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为( ) A.23 B.22 C.33 D.122．已知P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，A (0,4)，则|P A |的最大值为( )A.2183 B.763C ．5D ．25 3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.)1,32[ B.]22,31[ C.)1,31[ D.]31,0( 课后作业1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 2＝1 B.y 216＋x 24＝1 C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1 2．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23, B ．(1,2 ) C ．(－∞，0)∪(1,2) D ．(－∞，－1)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.124．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( ) A.32 B.332 C.94 D.1545．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B.2 C ．2 D ．226．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.5137．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．9．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B ＝________.10．点P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2的最大值是60°，则椭圆的离心率e ＝________.11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．12．已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·P A ―→的最大值和最小值．提高练习1．P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83 C ．8 D.94 2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.。
苏教版高考一轮数学理椭圆一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案
椭 圆分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e ＝________. 解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝22. 答案222．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________．解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案x 281＋y 272＝1 3．(2012·西安模拟)以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，则椭圆C 的方程为________．解析 由题意得，c ＝1,2a ＝PF 1＋PF 2＝ 12＋4＋ 12＋0＝2 2.故a ＝2，b ＝1.则椭圆的标准方程为x 2＋y 22＝1.答案 x 2＋y 22＝14．(2012·常州调研一)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率的值为________． 解析 由∠MOA ＝30°，结合图形可有b ＝12a 2＋b 2，则a ＝3b ，从而离心率e ＝c a ＝63.答案635．(2012·惠州调研二)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12， ∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32.∴a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32.解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 29＝1.答案x 236＋y 29＝1 6．(2012·盐城模拟)已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为________． 解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案263二、解答题(每小题15分，共30分)7. 如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|.若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.8．(2011·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个．解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 62．(2013·镇江调研一)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝3c 2－a 2a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 3．(2013·扬州调研)点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 由条件MF ⊥x 轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R ＝b 2a，圆心到y 轴距离为c ，若∠PMQ 为钝角，则其一半应超过π4，从而c b 2a<22，则2ac <2b 2，即2ac <2(a 2－c 2)，两边同时除以a 2，则2e 2＋2e －2<0，又0<e <1， ∴0<e <6－22. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，6－22 4. (2012·苏北四市调研)如图，已知椭圆x 24＋y 22＝1，A 、B 是其左右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连接AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为________．解析 法一 设M (2，t )，P (x 0，y 0)，则由A ，P ，M三点共线，得y 0x 0＋2＝t 4，代入x 204＋y 202＝1，解得x 0＝－2t 2－8t 2＋8，y 0＝8t t 2＋8，k PB ＝y 0x 0－2＝8tt 2＋8－2t 2－8t 2＋8－2＝－2t .设Q (q,0)，则k MQ ＝t 2－q ＝－1k BP ＝t2，解得q ＝0，即得Q (0,0)． 法二 设M (2,2)，∵A (－2,0)，B (2,0)， ∴MA 的方程为：x －2y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，2x 2＋4y 2＝8，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43.从而可知直线PB 的斜率k PB ＝－1，由直径上的圆周角是直角可知PB ⊥MQ ，∴k MQ ＝1， 于是可求得直线MQ 的方程为x －y ＝0.又Q 点是直线MQ 与x 轴的交点，故Q 点的坐标为(0,0)．答案 (0,0)5. (2011·辽宁卷)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求BC 与AD 的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解 (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎪⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2. 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知BC ∶AD ＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 6．(2012·宿迁联考)已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点M (2，t )(t ＞0)在椭圆的准线上． (1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解 (1)由2b ＝2，得b ＝1.又由点M 在准线上，得a 2c＝2.故1＋c2c＝2.所以c ＝1.从而a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t24＋1.其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，t 2，半径r ＝ t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2， 所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t2.所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)法一 由平面几何知ON 2＝OH ·OM .直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 2x ，y ＝－2tx －1，得x H ＝4t 2＋4. 所以ON 2＝1＋t 24·|x H |·1＋t 24·|x M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2.所以线段ON 的长为定值 2.法二 设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )， MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)．因为FN →⊥OM →，所以2(x 0－1)＋ty 0＝0.所以2x 0＋ty 0＝2. 又MN →⊥ON →，所以x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0. 所以x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2.所以|ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值.。
高考数学第一轮复习单元试卷12-椭圆
5第十二单元 椭圆、双曲线、抛物线(1) ( .选择题. 抛物线x 2=4y 上 ) 2 ⑵若焦 点在 ( ) A ,32 D3⑶ 若方程 x 2+k y ( ) A (0, + g ) D (0, 1)⑷ 设P 是双曲线 分 另U 是 双曲 ()A 1或5D 9x 对于抛物线 2 x ~~2 ' a 线2=2 点A 的纵坐标为4 ,表示焦点在则点A 与抛物线焦点的距离为=1的离心率轴上的椭圆，那么实数 (0，2) k 的取值范围是C (1, + g )2J =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为9 的左、右焦点，若丨卩卩/二彳,贝y | PF 2 |= 3x-2y = 0,F<i 、F 22y =2x 上任意一点 Q,点P(a,0)都满足 |PQ| > | a|, 则a 的取值范围是(A [0, 1]B (0, 1)D (- g , 0)2 2⑹ 若椭圆2 ■ y 2 = 1(a b0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 线段a b的 焦点分成 5 : 3 两段，则此椭 圆 ( ) 16 A 17 2 ..5 D—4. 17 17C :〔-"'1F 1F 2被抛物线y 2=2bx的离心率为4 C -52x ⑺已知双曲线—a = 1(a . 0)的一条准线与抛物线 2y二-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为2.3D —3(8)设 2A(x 1,y1),B(X2,y2)是抛物线y =2px(p>0)上的两点，并且满足OA丄OB.贝U y1y2等于(AD 2p2-4p2 B 4p2 C - 2p(9)已知双曲线二1的焦点为F i、F2，点M在双曲线上且MF i MF 2=0,则点M2、33(10) 若设椭圆的两个焦点分别为△ F1PF2 为等腰(F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点直角形，则P,椭圆的离心2—2D -2 -1二填空题(11)若双曲线的渐近线方程为它的一个焦点是■ 10,0，则双曲线的方程是(12)设中心在原点的椭圆与双曲线该椭圆的方程是_______________2 x2-2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数则2 2x y(13) 过双曲线—2=1(a>0, b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于Ma bN两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______________ .(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，I PA| - I PB|= k ,则动点P的轨迹为双曲线;②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若0P二1(0A • OB),则动2点P的轨迹为椭圆;③方程2x2 -5x 2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;2 2 2④双曲线-y1与椭圆—y2= 1有相同的焦点•25 9 35其中真命题的序号为 __________________ (写出所有真命题的序号)三.解答题2 2(15) 点A、B分别是椭圆—，L=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在36 20椭圆上，且位于x轴上方，PA_ PF •求点P的坐标；1 2(16) 已知抛物线C: y=- —X2+6，点P (2, 4)、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角2互补•(I )证明：直线AB的斜率为定值；(II )当直线AB在y轴上的截距为正数时，求厶PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.2 2X y(17) 双曲线飞2=1 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l ab4的距离与点(-1,0)到直线I的距离之和SA — C.求双曲线的离心率e的取值范围52(18) 已知抛物线y =2px(pn0)的焦点为F, A是抛物线上横坐标为4、且位于X轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B, OB的中点为M.(1 )求抛物线方程；(2)过M作MN _ FA，垂足为N，求点N的坐标；(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是X轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.参考答案一选择题：1.D［解析］:点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即 4 -（ -1） = 52.B、x2 y 1［解析］:T焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，2 m 23贝U m=—3.D32•、33 2•、32 222x y［解析］:•••方程x 2+ky 2=2,即 —— y2故 0 ：： k :: 1=1表示焦点在y 轴上的椭圆4.C［解析］:双曲线 2x~2a=1的一条渐近线方程为 3x-2y = 0 ,故a=2是双曲线上一点，故|| PF 1 | - | PF ? ||=4，而| PF 1 |=3，则|PF 25.C［解析］:对于抛物线 2y =2x 上任意一点 Q,点P(a, 0)都满足|PQ| > | a|,若a _ 0,显然适合若a -0，点P(a, 0)都满足|PQ| > |a|就是—一22y)2y 22即a - -1辽1，此时0 ::: a 乞14则a 的取值范围是-二16.D3 2•、3因为两准线重合，故3a 212a 2 =3，则该双曲线的离心率为［解c b 5----- =- ,c = 2b 5c 2 = 4a 2 b 3c -27.Dx 22［解析］:双曲线—-ya= 1(a 0)的准线为抛物线y 2 = -6x 的准线为210.Db 2••• |PF 2|=|F 1F 2|，即—=2c ,a故椭圆的离心率 e 是、.2 -1.填空题：22y ,11. x19［解析］: 因为双曲线的渐近线方程为y = 3x ,2 ______________________________________则设双曲线的方程是 x -L 二'，又它的一个焦点是10,09故，9「10.■ -1212. xy 2=18.A［解2••• A(x 1,y 1),B(X 2,y 2)是抛物线y =2px(p>0)上的两点，并且满足 0A 丄0B.(y , y 2)2…k oAK DB = -1x 1 x 2 y 1 y 2 = ° -~~2~ y 1 y 2 = 04p2则 y i y 2 = -4p9.C［解析］：••• MF 1 MF 2=0, 点M 在以F 1F 2为直径的圆x 2 y 2 =3上r 2丄2x + y故由2y2x则点M 到x 轴的距离为［解析］:不妨设点P 在x 轴上方，坐标为 b 2(C,—) , •/△ F 1PF 2为等腰直角三角形a 2 2a -c ~~2 a =2C . 1 -e 2=2e a［解析］:双曲线2 x2-2y2=1的焦点为(-1,0)，离心率为2 2故椭圆的焦点为(_1,0)，离心率为 ， 2 2则c =1,a =、、2,b =1，因此该椭圆的方程是x ・y 2=1 2 13.2 x 2 y 2［解析］:设双曲线 2 2 - 1( a > 0, b > 0)的左焦点F 1，右顶点为A,因为以MNa b 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，故|F 1M|=|F 1A| , b 22a c • e -1 = 1 e . e = 2 a14.③④ ［解析］:根据双曲线的定义必须有 | k 旧AB |，动点P 的轨迹才为双曲线,故①错------- T1 --- P -- ••• OP (OA 0B), ••• P 为弦 AB 的中点，故.APC =90°2 则动点P 的轨迹为以线段 AC 为直径的圆。
高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆
高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆查字典数学网整理了2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆，协助广阔高中先生学习数学知识!【变式训练1】 (1)(2021广东高考改编)中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，那么C的方程是________.(2)(2021苏州质检)椭圆的方程是+=1(a5)，它的两个焦点区分为F1，F2，且|F1F2|=8，弦AB(椭圆上恣意两点的线段)过点F1，那么ABF2的周长为________.[解析] (1)右焦点F(1,0)，那么椭圆的焦点在x轴上;c=1. 又离心率为=，故a=2，b2=a2-c2=4-1=3，故椭圆的方程为+=1.(2)a5，椭圆的焦点在x轴上，|F1F2|=8，c=4，a2=25+c2=41，那么a=.由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a，ABF2的周长为4a=4.[答案] (1)+=1 (2)4考向2 椭圆的几何性质【典例2】 (1)(2021江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的规范方程为+=1(a0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，假定d2=d1，那么椭圆C的离心率为________.(2)(2021扬州质检)F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|=2|PF2|，PF1F2=30，那么椭圆的离心率为________.[解析] (1)依题意，d2=-c=.又BF==a，所以d1=.由可得=，所以c2=ab，即6c4=a2(a2-c2)，整理可得a2=3c2，所以离心率e==.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F1=1，即PF2F1=，设|PF2|=1，那么|PF1|=2，|F2F1|=，离心率e==.[答案] (1) (2),【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常应用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，失掉a，c的关系.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，罕见有两种方法：(1)求出a，c，代入公式e=;(2)只需求依据一个条件失掉关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边区分除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).【变式训练2】 (1)(2021课标全国卷改编)设椭圆C：+=1(a0)的左、右焦点区分为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F2=30，那么C的离心率为________.(2)(2021徐州一中抽测)F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.那么椭圆离心率的范围为________. [解析](1)如图，在RtPF1F2中，PF1F2=30，|PF1|=2|PF2|，且|PF2|=|F1F2|，又|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=a，于是|F1F2|=a，因此离心率e===.(2)法一：设椭圆方程为+=1(a0)，|PF1|=m，|PF2|=n，那么m+n=2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos 60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-32=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).，即e.又0b0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB区分交椭圆C的右准线l于M，N两点.【变式训练3】 (2021天津高考)设椭圆+=1(a0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A，B区分为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.假定+=8，求k的值.[解] (1)设F(-c,0)，由=，知a=c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c，代入椭圆方程有+=1，解得y=，于是=，解得b=，那么b2=2又由于a2-c2=b2，从而a2=3，c2=1，所以所求椭圆的方程为+=1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1)，由方程组消去y，得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.依据根与系数的关系知x1+x2=-，x1x2=.由于A(-，0)，B(，0)，所以+=(x1+，y1)(-x2，-y2)+(x2+，y2)(-x1，-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由得6+=8，解得k=.掌握1条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系2021年高考文科数学第一轮温习专题训练：椭圆曾经呈如今各位考生面前，希望同窗们仔细阅读学习，更多精彩尽在高考频道!。
人教A版高中数学选修一高二椭圆单元考、12
满分 100 分时间 90 分钟
班级 _______________ 座号 __________ 姓名 ______________________ 一、选择题（ 8× 5=40 分）
1、椭圆两焦点为 F1( 4,0) 、 F2(4,0) ， P 在椭圆上，若△ PF1F2 的面积的最大值为 12，则
13（ 8 分）、已知椭圆对称轴为坐标轴，离心率
e
3
且经过点
(4,2
3) ，求椭圆方程。
2
信达
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
椭圆方程为（）
A． x 2
y2
x2
1 B．
y2
x2
1 C．
y2
x2
1 D．
y2 1
16 9
25 9
25 16
25 4
2．已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 F1(3,0) ，点 P (4,2.4) 在椭圆上，则 P 到与 F1相应
的准线的距离为（）
A． 13 B． 37 C． 25 D． 23 3333
A 相交 B 相切 C 相离 D不能确定 二、填空（ 4*4=16 分）
9 ．以椭圆 9 x2 4 y2 36 的长轴端点为短轴端点，且过点（
-4 ， 1 ）的椭圆标准方程
是
。
10、已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点， 过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、 Ｂ两点，
若△ ABF2 是正三角形，则椭圆的离心率是 _________________
高考数学一轮复习椭圆专题检测(含答案)
高考数学一轮复习椭圆专题检测（含答案）在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹，以下是椭圆专题检测，请考生及时练习。
一、选择题2.焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,那么椭圆的规范方程是()(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=1二、填空题7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.8.点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2区分是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,那么△PF1F2的面积是.9.区分过椭圆+=1(a0)的左、右焦点F1,F2所作的两条相互垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的外部,那么此椭圆的离心率的取值范围是.三、解答题10.(2021西安模拟)在平面直角坐标系中,曲线C上恣意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程.(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.试问:该圆能否经过坐标原点?假定能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;假定不能,请说明理由.11.(2021渭南模拟)椭圆C:+=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,假定线段PQ的中点横坐标是-,求直线l的方程.12.(才干应战题)点P是圆F1:(x+)2+y2=16上恣意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点区分为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的恣意一点,KHx轴,H为垂足,延伸HK到点Q使得|HK|=|KQ|,衔接AQ并延伸交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判别直线QN与以AB为直径的圆O 的位置关系.答案解析2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,长轴长2a=4,a=2.又e==,c=1,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的规范方程为+=1.7.【解析】依据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a0). ∵e=,=.依据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.【解析】由F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(由于x3,故舍去),又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16()2+25y2=400, 解得y=2,=|F1F2|y=62=6.答案:69.【思绪点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的外部,失掉a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆外部,所以有c20,k2,②那么x1+x2=,x1x2=,代入①,得(1+k2)-2k+4=0.即k2=4,k=2或k=-2,满足②式.所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.由于离心率e==,所以c=.故b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为:+y2=1.(2)直线l:y=kx+,由消去y可得(4k2+1)x2+8kx+4=0,由于直线l与椭圆C相交于P,Q,所以=(8k)2-4(4k2+1)0,解得|k|.又x1+x2=,x1x2=,设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),由于线段PQ的中点横坐标是-,所以x0===-,解得k=1或k=,由于|k|,所以k=1,因此所求直线l:y=x+.12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|=2,点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2,那么短半轴b===1,椭圆方程为:+ y2=1.(2)设K(x0,y0),那么+=1.∵|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ==2,Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.又A(-2,0),直线AQ的方程为y=(x+2).令x=2,得D(2,).又B(2,0),N为DB的中点,N(2,).=(x0,2y0),=(x0-2,).=x0(x0-2)+2y0=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,,直线QN与以AB为直径的圆O相切.椭圆专题检测和答案的一切内容就是这些，查字典数学网祝愿更多的考生可以梦想成真。
高考数学一轮复习 7.5椭圆(一)练习 理-人教版高三全册数学试题
第五节 椭 圆 (一)基础回顾 一、椭圆的定义平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长2a ()2a>||F 1F 2的点的轨迹叫做椭圆，即点集M ＝{P||PF 1|＋|PF 2|＝2a ，2a ＞|F 1F 2|}是椭圆．其中两定点F 1，F 2叫做焦点，定点间的距离叫做焦距(注意：2a ＝||F 1F 2时，点的轨迹为线段F 1F 2，2a<||F 1F 2时，无轨迹)．二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)；焦点在y 轴上：y 2a 2＋x2b 2＝1(a>b>0)．三、椭圆的标准方程、性质标准方程x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0) y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形中心 (0，0)(0，0)焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c)，F 2(0，c) 顶点 (±a，0)，(0，±b)(±b，0)，(0，±a)轴长 长轴|A 1A 2|的长2a ，短轴|B 1B 2|的长2b ，|B 2O|＝b ，|OF 2|＝c ，|B 2F 2|＝a离心率 e ＝ca(0<e<1) X 围 |x|≤a，|y|≤b|y|≤a ，|x|≤b对称性 对称轴方程为x ＝0，y ＝0；对称中心为O(0，0)a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2基础自测1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为(A ) A.32B.34 C.22D.23解析：先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.所以离心率e ＝c a ＝32.故选A.2．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(A )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y236＝1 解析：依题意知，2a ＝18，∴a ＝9，2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72， ∴椭圆方程为x 281＋y272＝1.故选A.3．(2013·某某模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为6．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝1．解析：方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k ＝1，a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k －1＝2，解得k ＝1.品味高考1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为(D )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y29＝1 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b2＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2，又k AB ＝0＋13－1＝12，b 2a 2＝12，又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆方程为x 218＋y29＝1，故选D.2．如图所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度.解析： (1)设点M 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P＝54y.∵点P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625（x 1－x 2）2＝4125×41＝415.高考测验1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF 1|的最大值为15．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM|＋|PF 1|＝10＋|PM|－|PF 2|.易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM|－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM|＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋（6－3）2＋42＝15.2．设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F(3，0)，长轴长为4.(1)求C 的方程；(2)点P 是圆x 2＋y 2＝b 2上第一象限内的任意一点，过P 作圆的切线交椭圆C 于Q(x 1，y 1)，R(x 2，y 2)(y 1＞y 2)两点．①证明：|PQ|＋|FQ|＝2； ②求|QR|的最大值．(1)解析：由题得a ＝2，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝1.代入得x 24＋y 2＝1.(2)①证明：∵Q(x 1，y 1)在椭圆上，∴x 214＋y 21＝1，则|QF|＝（x 1－3）2＋y 21＝（2－32x 1）2＝2－32x 1. |PQ|＝OQ 2－OP 2＝x 21＋y 21－1 ＝x 21＋1－x 214－1＝32x 1.∴|PQ|＋|FQ|＝2.②解析：方法一 由①同理得|PR|＋|FR|＝2， 则|QR|＋|QF|＋|FR|＝4.又|QR|≤|QF|＋|FR|⇒2|QR|≤4⇒|QR|≤2. ∴当QR 过点F 时取最大值2.方法二 设切线为y ＝kx ＋m ，m>0，由题QR 与圆相切得|m|k 2＋1＝1，m 2＝k 2＋1.再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，由①同理可求|PR|＝32x 2， ∴|RQ|＝32(x 1＋x 2)＝43·|k|m 1＋4k 2＝43·|k|m m 2＋3k2. 又m 2＋3k 2≥23m|k|，|QR|≤43×123＝2，当m ＝－3k 时，取最大值2.∴|QR|的最大值为2.课时作业1．(2013·海淀模拟)2<m<6是方程x 2m －2＋y26－m ＝1表示椭圆的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，所以2<m<6且m≠4. 故2<m<6是x 2m －2＋y26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．故选B.2．已知椭圆x 24＋y 2＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为(B )A ．6B ．4C ．2D ．8解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立．故选B.3．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是(B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM 是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆定义知，点P 的轨迹是椭圆．故选B.4．已知椭圆x 216＋y29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，P 为直角顶点，则点P 到x 轴的距离为(C )A.95 B ．3 C.977 D.94解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4×7，∴|PF 1||PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12×18＝12×27×h(其中h 为P 到x 轴的距离)，∴h ＝977.故选C.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，求点P 的横坐标为(D )A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析：∵c＝a 2－b 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设P(x ，y)， ∵PF 1⊥PF 2， ∴PF 1→·PF 2→＝0.即(－3－x ，－y)(3－x ，－y)＝0，∴x 2＋y 2－3＝0. 又∵x 24＋y 2＝1，∴x 2＋(1－x24)－3＝0，解得x ＝±263，∵x ＞0，∴x ＝263.6．与椭圆x 29＋y 24＝1共焦点，且过M(3，－2)的椭圆方程为x 215＋y210＝1．解析：∵c 2＝9－4＝5，∴设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，代入(3，－2)得a 2＝15或a 2＝3(舍去)．∴所求方程为x 215＋y210＝1.7．椭圆x 225＋y216＝1的焦点为F 1，F 2，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么|PF 1|的值是345．解析：设P(－3，y)，则（－3）225＋y216＝1，解得y ＝±165，∴|PF 2|＝165.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PF 1|＝10－165＝345.8．如图，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P ，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝θ，则△PF 1F 2的面积等于b 2tan_θ2．解析：在△PF 1F 2中，由余弦定理得：2|PF 1|·|PF 2|·cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|2＝(2a)2－2|PF 1|·|PF 2|－(2c)2(其中c 2＝a 2－b 2)．所以|PF 1|·|PF 2|·(1＋cos θ)＝2b 2， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ＝12·2b 21＋cos θ·sin θ＝b 2tan θ2. 9．(2013·卷)已知A 、B 、C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解析：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32，所以菱形OABC 的面积是12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k≠0，m ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点P(3，1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1P →·F 2P→＝－6.(1)求椭圆E 的方程； (2)若M ，N 是直线x ＝5上的两个动点，且F 1M⊥F 2N ，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．解析：(1)设点F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)(c>0)，则F 1P →＝(3＋c ，1)，F 2P →＝(3－c ，1)，故F 1P →·F 2P →＝(3＋c)(3－c)＋1＝10－c 2＝－6，可得c ＝4，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝（3＋4）2＋12＋（3－4）2＋12＝62，故a ＝32，b 2＝a 2－c 2＝18－16＝2，所以椭圆E 的方程为x 218＋y22＝1.(2)设M ，N 的坐标分别为(5，m)，(5，n)，则F 1M →＝(9，m)，F 2N →＝(1，n)， 又F 1M →⊥F 2N →，可得F 1M →·F 2N →＝9＋mn ＝0，即mn ＝－9，又圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m ＋n 2，半径为|m －n|2，故圆C 的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|m －n|22， 即(x －5)2＋y 2－(m ＋n)y ＋mn ＝0，也就是(x －5)2＋y 2－(m ＋n)y －9＝0， 令y ＝0，可得x ＝8或2，故圆C 必过定点(8，0)和(2，0)．。
2020年浙江高考数学一轮复习：椭圆
••>必过數材矣1椭圆的定义平面内到两定点F i, F2的距离的和等于常数（大于|F I F2|）的点的轨迹叫做椭圆•两定点F i, F2叫做椭圆的焦点.集合P= {M||MF I|+ |MF 2|= 2a}, |F I F2|=2C,其中a>0, c>0, 且a, c 为常数.（1）当2a > IF i ER时，P点的轨迹是椭圆；（2）当2a = IF i F0时，P点的轨迹是线段；（3）当2a v|F 1巳」时，P点不存在.2 •椭圆的标准方程和几何性质标准方程 ----------------------------- 2 ------ 2 ------------------------------------------------------- ■皆 1(a> b> 0) ---------- 2 ------- 2 -----------------------------------02 + P= 1(a> b>0)图形r7o臣y /A a性质范围x € [ —a, a]y€ [ —b , b]x€ [ —b , b],y€ [ —a, a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点，顶点A1(—a,0), A2(a,0)B1(0, —b), B2(0, b)A1(0, —a), A2(0, a)B1(—b,0) , B2(b,0)离心率e= C，且e€ (0U aa, b, C的关系C2= a2—b22 21. （2018全国卷I ）已知椭圆C:字+ ；=1的一个焦点为（2,0），贝V C的离心率为（）1A. 3D. 3解析：选 C •/ a2= 4+ 22= 8,返 2』2 2 .2 216+ mm 2=l （m >0），若该椭圆的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是解析：由题可得，m 2v 16,因为m >0，所以0v m v 4.故实数m 的取值范围为（0,4）.答案：（0,4）2 23.（教材习题改编）已知点P 是椭圆善+七=1上y 轴右侧的一点，且以点p 及焦点F i , F 2为顶点的三角形的面积等于1,则点P 的坐标为 ___________解析：设 P （x , y ）,由题意知 c 2= a 2— b 2= 5— 4 = 1,所以 c = 1,则 F 1（ — 1,0）, F 2（1,0）, 由题意可得点P 到x 轴的距离为 2 2把y =±代入;+七=1得x= 又x >0,所以x = ^5,•••点P 坐标为 吵，1或今,必过易措关1.椭圆的定义中易忽视 2a > IF 1F 2I 这一条件，当2a =|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a v IF 1F 21不存在轨迹.2 22.求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为予+希=1（a > b > 0）.2 23.注意椭圆的范围，在设椭圆令+十=1（a > b >0）上点的坐标为P （x,y ）时，|x|w a,|y|w b ,a b这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.［小 、题纠偏］2 21. 椭圆+ y =1的焦距为 2,则m 的值为（m 4A .5B . 3C .5或3D . 8解 析：选C当m >4时， m — 4=1,a = 2・.；2二 e = c 22.已知椭圆的方程为 1，所以y = ±,答案:,—1m= 5;当0v m v 4 时，4—m= 1, m= 3, 故m的值为5或 3.2 22•已知椭圆C : X+ y = 1的左、右焦点分别为 F i , F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 2丄4 3F i F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，贝V 丽 F "2A 的最大值为()9 C.9解析：选B 由椭圆方程知 c = 4 — 3= 1, 所以 F i ( — 1,0), F 2(1,0).因为椭圆C 上点A 满足AF 2丄F 1F 2,则可设A(1, y o )，代入椭圆方程可得 y 2= 9, 所以y o = g.设 P(x 1, y 1)，则 F 1P =凶+ 1, y 1), F 2A = (0, y o ), 所以 F 1P F 2A = y 1y o . 因为点P 是椭圆C 上的动点，所以一 3w yK . 3,故F 1P F 2A 的最大值为电3.考点一 椭圆的标准方程 基础送分型考点 一一自主练透［题组练透］1 •若直线x — 2y + 2= 0经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为()2 2 2 x 2x y 丄 A .” + y =1+ : =1 222c.x + y 2 = 1或x + y = 1 D .以上答案都不对5 4 5解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1), (— 2,0), 由题意知当焦点在 x 轴上时，c = 2, b = 1,2••• a 2= 5,所求椭圆的标准方程为 号+ y 2= 1. 5当焦点在y 轴上时， 2b = 2,c = 1,「・ a = 5,22所求椭圆的标准方程为y +7 = 1.5 4 2.(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1, F 2在x 轴上，P(2, 3是椭圆上一点,A. B. 3,3215 D.?且|PF i |, |F I F 2|, |PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为 _______________________2 2解析：设椭圆的标准方程为a 2+ b 2=1（a > b > 0）. 由点P （2， .3）在椭圆上知4+咅=1. 又|PF i |, |F I F 2|, |PF 2|成等差数列， 则 |PF i |+ |PF 2| = 2|F I F 2|,c i即 2a = 2X 2C ,-=，a 2-V22.2又 C = a — b ,广4 3孑 + b 2=1， 联立 -2 = a ? — b ?,得 a 2= 8, b 2= 6,C 1 a = 22 2 故椭圆方程为x + y = i.8 62 2答案：x +y =i8 6［谨记通法］求椭圆标准方程的 2种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定 a 2, b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法右焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ,b ;右焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax 2 + By 2= 1(A >0, B >0, A M B)考点二 椭圆的定义及其应用 重点保分型考点 一一师生共研［典例引领］2 2i .设P 是椭圆 命+ y = i 上一点，M , N 分别是两圆：(x + 4)2+ y 2= i 和(x — 4)2+ y 2= i25 9 上的点，贝U |PM|+ |PN|的最小值、最大值分别为 ()A . 9,i2D . 10,12解析：选C 女口图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由 椭圆的定义可知 |PF i |+ |PF 2|= 10,易知 |PM 汁 |PN|= (|PM| + |MF i |) + (|PN|+ |NF ?|) — 2,则其最小值为 |PF i |+ |PF 2| — 2= 8,最大值为 |PF i | + |PF 2|+ 2 = 12.2 2B . 8,11C . 8,122. F i, F?是椭圆X + y= 1的两个焦点，A为椭圆上一点，且/ AF I F2= 45°则厶AF1F29 7的面积为()A. 7B7B.4C.7D号解析：选C 由题意得a = 3, b= 7, •-|F1F2|= 2 2, |AF1|+ |AF2|= 6.C= 2 ,2 2 2 2|AF 2| = |AF i| + |F i F 2| —2|AF i| |F I F2|COS 45°= |AF i| —4|AF i| + 8,•••(6 —AF i|)2= |AF『一4|AF i|+ 8.• - |AF i|= 7.• △ AF1F2的面积S=3 4x 7x 2 2x 彳=2.［由题悟法］X2y2血1•已知椭圆C:孑+ A= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F i, F2,离心率为亏，过F2的直线I交C于A, B两点•若△ AF1B的周长为4.3,则C的方程为()2 2x y 丄A_+»= 1 A.3 22 2C比+匕112 82X 2 ▲B・3 + y =12 2D.X+ y-= 112 4解析：选A 由题意及椭圆的定义知4a= 4羽，贝U a一^/3,又一f——，…C= 1 ,•a 乂3 32 2b2= 2,.・.C的方程为X3 + y = 1，选A.得|PF i汁|PF2| = 4> |F I F2|,「.点P的轨迹是F i, F2为焦点的椭圆（不包括左右顶点）• v 2a= 4, c=2 (2018永康适应性测试)已知F1(—1,0), F2(1,0)，且△ PF1F2的周长为6,则动点P的轨迹C的方程为_________ .解析：由F1(—1,0), F 2(1,0), △ PF1F2 的周长为6,2 2••• a= 2, b= 3,「.轨迹C的方程为x4 +卷=1（尸0）•2 2答案：4 + y3=1（尸0）考点三椭圆的几何性质题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有：（1）求离心率的值或范围；（2）根据椭圆的性质求参数的值或范围.［题点全练］角度一：求离心率的值或范围1. （2018全国卷n ）已知F i, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF i丄PF2, 且/ PF2F1= 60°则C的离心率为（）A. 1—于B. 2 —3：：..；：3 —1C.—2D. . 3—1解析：选 D 在Rt△ PF1F2 中，/ PF2F1= 60°不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F 1F2I = 2,则|PF2|= 1, |PF1|= 3,2 2由椭圆的定义可知，方程X2+ ^2= 1中，a b '— 1 + T 3 .2a = 1 + 3, 2c= 2，得a= 2 , c= 1,所以离心率e= C = 2厂=^3 — 1.a 1 + x/ 3角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围2 22. 椭圆9+ 25 = 1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为 _________ .解析：记椭圆的两个焦点分别为F1, F2,则|PF11+ |PF2| = 2a = 10.ilPF1|+ |PF2|、2nrt则m= |PF 1| |PF2|W i 2 2 = 25,当且仅当|PF1| = |PF2|= 5时等号成立，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.［通法在握］1 •应用椭圆几何性质的 2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联 想到一个图形. ⑵椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如一a w x w a ,—b w y w b,O v e v 1,在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.2.求椭圆离心率的方法(1) 直接求出a , c 的值，利用离心率公式直接求解.(2) 列出含有a , b , c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2= a 2— c 2消去b ,转化为含有e 的方程(或不等式)求解.［演练冲关］2 21. (2018瑞安期末)已知椭圆 半+卷=1(a >0)的一个焦点与抛物线 y 2= 8x 的焦点重合， 则该椭圆的离心率为()C.所以离心率e =a =2=2.2 22.过椭圆字+ y 2= 1(a > b >0)的左焦点F 1作X 轴的垂线交椭圆于点P , F 2为椭圆的右a b 焦点，若/ F 1PF 2= 60°则椭圆的离心率为()C.1 解析：选B因为在Rt △ PF 1F 2中，b 2 |PF 1|= 一，尸汗2|= 2c,/ F 1PF 2= 60° a所以2^= 3.又因为b 2= a 2— c 2, 所以 3c 2+ 2ac — , 3a 2 = 0,答案：25解析：选B 由题可得，抛物线的焦点坐标为 (2,0),所以 a 2= 12+ 4= 16,所以 a = 4,由题意，可设即 3e 2 + 2e — 3 = 0, 解得e = 33或e =—3,又因为e € (0,1),所以e=£.32 23. (2018温州十校联考)已知F i ( — c,0), F 2(c,0)为椭圆X 2 +右=1(a > b >0)的两个焦点,a b P 为椭圆上一点，且 P R i PF 2 = c 2,则此椭圆离心率的取值范围是 ______________解析：设 P(x , y),则 雨•PFlj =(— c — x ,— y) (c — x , — y)= x 2 — c 2 + y 2= c 2,① b 2将y 2= b 2— b ^x 2代入①式解得 22c 2— b 2 a 2 x = 2 =c又 X 2€ [0 , a 2], ••• 2C 2W a 2w 3c 2,答案：于,-2心率为1直线y = 1与C 的两个交点间的距离为 生^(1)求椭圆C 的方程；⑵分别过F 1, F 2作11, 12满足11 II 12，设11, 12与C 的上半部分分别交于 A , B 两点, 求四边形ABF 2F 1面积的最大值.解：⑴易知椭圆过点 譽,1 ,所以38a 2+击=1，① 又c =1，② a 2 a 2= b 2+ c 2,③由①②③得 a 2= 4, b 2= 3,2 2所以椭圆C 的方程为7+y = 1.4 3 ⑵由(1)知 F 1(— 1,0), F 2(1,0),3c 2— a 2 a 2c 2，考点四 直线与椭圆的位置关系 (2018浙江名校联考)已知椭圆重点保分型考点［典例引领］2 2C : p + *= 1(a > b >0)的左、右焦点分别为师生共研F i , F 2,离设直线11：x = my—1,它与椭圆C的另一个交点为 D.与椭圆C 的方程联立，消去 x ,得(3m 2+ 4)y 2— 6my — 9 = 0, 则△= 144(m 2+ 1) > 0,又F2到11的距离为一 1 + m 2,112 1+ m所以 S A ADF 2 = ：X |AD|X d = 2—~2 3m + 4 令 t = 1 + m 2> 1,贝U S A ADF2^^^1, 3t + 1 因为y = 3t +1在［1, + m )上单调递增， 所以当t = 1时，S A ADF 2取得最大值3. 又 S 四边形 ABF 2F 1 = 2(|BF 2汁 |AF 1|) d 1 1=2(|AF 11+ |DF 1|) d = 2|AB| d = S A ADF 2, 所以四边形 ABF 2F 1面积的最大值为 3.［由题悟法］1. 直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题•涉及弦中点的问题 常常用“点差法”解决，往往会更简单.⑵设直线与椭圆的交点坐标为 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),则AB| = 1 + k 2 ［X 1 + X 22— 4X 1X 2］=寸［+吉｝『1+『2$—约询化为直线斜率). 2. 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法2 2(2017浙江新高考联盟)椭圆C 1 : X2+存=1(a >b >0)的右焦点与抛物线 C 2 : y 2= 2px(p > 0)的焦点重合，曲线C 1与C 2相交于点2, 孕.3 3(1)求椭圆C 1的方程;|AD|= 1+ m 2 12； f 1 +m 23m 2 + 4⑵过右焦点F 2的直线1（与X 轴不重合）与椭圆C i 交于A,C 两点，线段AC 的中点为G , 连接0G 并延长交椭圆 C i 于B 点（O 为坐标原点），求四边形 OABC 的面积S 的最小值.24 2-9-= 2X p x 3 解得 p = 2,•••椭圆C i 的右焦点为（1,0）,(2)设直线 AC 的方程为 x = my + 1, A(x i , y i ), C (X 2,『2), G(x o , y °), 224 十 t =1, 联立43消去x ,x = my + 1整理得(4 + 3m 2)y 2 + 6my — 9= 0, 6m— 9则yi +y2=—4十后，yiy2=4十并由弦长公式可得|AC| = 1十m 2 |y i — y 2|94+ 3m 24 24 9 9 孑十产1,解得a 2= 4,b 2= 3, •椭圆C i 的方程为2 2x y —+ i 4十33m由中点坐标公式可知，yo = —4十3m4xo= myo +1=473?3m 4 + 3m 2 .•直线OG2 2的方程为y =-淤，代入x 4十十=「整理得x 2 =盘2,_4 ___ 4十 3m 2' 2px 上,解: (i) ••点 2, ¥=1 十 m 2浮叭十4X 4+ 3m=1十m2 12• 1+ m2 = '4 十3m212 1 十m2厂4十3m11O 到直线AC 的距离d 2=』2,寸1 + m> 3,当且仅当 m = 0时取得最小值.综上所述，四边形 OABC 的面积S 的最小值是3.m — 2> 0, 则有 J 6— m >0,/• 2v m v 6 且 m ^4._m — 2 工 6— m ,2 2故“2v m v 6”是“七 + 严 =1表示椭圆”的必要不充分条件. m — 2 6 — m 2 2 2. (2019湖州一中月考)过点(3,— 5),且与椭圆y + X= 1有相同焦点的椭圆的标25 9准方程为()222 2X A_ + 20―1 4X %5+汁12222C*+ C.20十:=1DAy = 1 2、52 2解析：选C 法一：椭圆y + X = 1的焦点为(0,— 4), (0,4)，故c = 4. 25 9故B 到直线AC 的距离d i =3m 24 + 3m 2 1 + m 2 ■4+3m 2—1 1+ m 2帮础黠國型黠陋伽峑編極寓阀一抓基础，多练小题做到眼疾手快2X1•“ 2 v m v 6” 是“方程+ m — 2 26—m =1表示椭圆”的() A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C •充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B 若方程 +m — 2 6— m =1表示椭圆.1二 s = 2 |AC| (d i + d 2)=2 =3 4+ 3m 21 由椭圆的定义知， 2a = , 3— 0 2+ — 5 + 42 + ,3 — 0 2+ — . 5—4 2，解得 a = 2 5,2 2由c 2= a 2— b 2,得b 2= 4.所以所求椭圆的标准方程为 y+ X = 1，故选C.20 42 2y+^ = 1(k v 9),将点(3, — 5)的坐标代入可得 25— k 9— k5 25 — k设所求椭圆方程为3+h =1解得“5或k =21（舍），所以所求椭圆的标准方程为2 23. （2019丽水质检）已知椭圆x 4 + 3 = 1的左、右焦点分别为 轴的直线交椭圆于 A , B 两点，则△ ABF i 内切圆的半径为（4 A.3 4 3 C.4 D .3解析：选D 法一：不妨设点A 在点B 上方，由题意知 F 2（1, 0），将F 2的横坐标代入2 2方程x X + y3 = 1中，可得A 点纵坐标为5，故|AB|= 3,所以内切圆半径r = 2S = £=寿其中SABF 1的面积，C ABF 1的周长）.故选D. 2b 61 法二：由椭圆的通径公式得|AB|=经=3，贝U S A ABF 1 =2 X 3= 3,而厶ABF 1的周a 21 3长 C 周=4a = 8,由 S A ABF 1= ?c 周 r 得 r = 4，故选 D.224. （2018长兴中学适应测试）已知椭圆C :治+ X9 = 1，则该椭圆的长轴长为 ____________ ； 焦点坐标为 _________ 解析： 长轴长为2a = 8, c 2= 16— 9 = 7,所以c = .7,所以焦点坐标为（0, — 7）和（0,7). 答案：8 (0, — 7)和(0, 7)2 25. （2018宁波五校联考）已知椭圆25 += 1（m > 0）的左焦点为 F 1（ — 4,0），贝U m =________ ;离心率为 __________ .解析：因为椭圆的左焦点为 F 1（— 4,0）,所以25 — m 2= 42,解得 m = 3.所以离心率为 e=c = 4=a = 5.答案：二保咼考，全练题型做到咼考达标C.3 C 爲2 220+X =1，故选 C.F i , F 2,过F 且B . 1 1. （20182 2 x +b 2=1(a > b > 0)与直线 x = b 在第一象限交于点P ,若直线OP 的倾斜角为30°则椭圆C 的离心率为（1 AT2°2满足/ AMB = 120 °贝U m的取值范围是（）满足/ AMB = 120 °贝U m 的取值范围是（ ）be解析：选B 由题意可得P b , bC ，因为直线OP 的倾斜角为30°所以4 = -= tan 30 °a /b a 所以e=故选B.2. （2018东阳调研）椭圆ax 2+ by 2= 1（a > 0, b > 0）与直线y = 1— x 交于A , B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为子，则a 的值为（）解析：选 B 设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2), 则 ax l + by 2= 1, ax 2 + by 2= 1, 两式相减得 ax 2— ax 2 =— (by 1— by 2), 即— 1b x (— 1)x ^3 =— 1 , a X 1 — X 2 X 1 + X 2 a 2••• b =攀故选B. a 32 23. (2019德阳模拟 股点P 为椭圆C : 4X9+ 24= 1上一点，F 1, F 2分别是椭圆C 的左、 右焦点，且△ PF 1F 2的重心为点 G ,如果|PF 1|: |PF 2| = 3 : 4，那么△ GPF 1的面积为()A . 24B . 12C . 8D . 62 2解析：选C T 点P 为椭圆C : X + y = 1上一点，49 24|PF 1| : |PF 2|= 3： 4, |PF 1|+ |PF 2|= 2a = 14, •|PF 1|= 6, |PF 2|= 8. 又T 『许2|= 2c = 10,PF 1F 2是直角三角形， 1S A PF 1F 2= 2|PF 1| |PF 2|= 24, •/△ PF 1F 2的重心为G , ••• S A PF 1F 2= 3S A GPF 1, • △ GPF 1的面积为8,故选C.2 24. (2017全国卷I )设A , B 是椭圆C : X +比=1长轴的两个端点•若C 上存在点 M3A.B. 2,33 D.272c , A . (0,1] U [9,+s ) B . (0, 3 ] U [9,+^ )C . (0,1] U [4,+^ )D . (0,3 ] U [4,+^ )解析：选A 当0v m v 3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点 M 满足/ AMB = 120° 则 b > tan 60 °= -.,^3,即-1"3 > -.l 3, 解得0 v m w 1.当m >3时，焦点在y 轴上,要使C 上存在点 M 满足/ AMB = 120° 则b 》tan 60 °= ^3，即^^^》寸3,解得m 》9. 故m 的取值范围为（0,1] U [9 ,+s ）.P 为C 上一点，满足 |OP|= |OF|，且 |PF|= 4, 则椭圆 ) 2 2 2 2 A 令+ \= 1 B.x + y = 1A .25 5 36 162 2 2 2 C.— + J 1 D. — + 工1 30 10 45 25 占 八、、： ( 5.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O , F （-2 5, 0）为C 的左焦C 的方程为 2 2 解析：选B 设椭圆的标准方程为 x 2+ y2 a b 1（a > b > 0），焦距为右焦点为F '，连接PF '，如图所示.因为 左焦点，所以 c = 2 5.由 |OP|= |OF|= |OF 知，FP 丄 PF '.在 Rt △ PFF '中，由勾股定理，得 |PF ' |= . |FF ' f —|PF|2 =\ 4 5 2 — 42 = 8.由椭圆定义，得 |PF|+ |PF ' |= 2a = 4+ 8 = 12,所以 2 2b 2= a 2—c 2= 36— (2 5)2= 16,所以椭圆C 的方程为± +七=1. 36 166. （2018 •州模拟）以圆x 2 + / = 4与x 轴的交点为焦点， 以抛物线 个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是 （ ） 2 B.2 / FPF ' = 90° 即F(-2 5, 0)为 C 的a = 6, a 2= 36,于是y 2= 10x 的焦点为介41 C. D" 5 10解析：选C 根据题意，圆x 2+ y 2= 4与x 轴的交点为（±,0）,抛物线y 2= 10x 的焦点为即椭圆的焦点为（±,0）,椭圆的一个顶点为2'则椭圆中c =2, a =2，则椭圆y = 2x — 2,⑵由 x 2 VL得 i7x 2— 32x + i6— 4m 2 = 0,石 + m 2= i ，22设 A(x i , y i ), B(X 2, y 2)，则△= 32 — 68(i6 — 4m )> 0,“ ■ 232 i6— 4mX i + x 2 =后，X i X 2= -i7-.的离心率 e =-=-=-. a 5 5 2 2 2 7. (2019温州模拟 股F i , F 2为椭圆C ： 02+器=1(a > b > 0)的左、右焦点，经过 F i 的 直线交椭圆C 于A , B 两点，若△ F 2AB 是面积为4.3的等边三角形，则椭圆 C 的方程为 解析： 由题意知 |AF L |= |BF L |= |AB|= |AF i |+ |BF i |, ①又由椭圆的定义知 |AF L |+ |AF i | 4 2 =IBF 2I + |BF i |= 2a , ②联立①②，解得 |AF 2| =|BF 2|=|AB| = -a , |AF i |= |BF i | = 3a ,所以 i S A F 2AB = 2AB| |AF 2|sin 60° = 4 3，所以 a = 3, |F i F 2| = ~23|AB|= 2 ,3,所以 c = . 3,所以2 2b 2= a 2—c 2= 6,所以椭圆C 的方程为X + = i. 9 6 x 22 5si n C 8•已知△ ABC 的顶点A(— 3,0)和顶点B(3,0),顶点C 在椭圆 金+ ±= i 上，则s in A ：sinB2 2 解析：由椭圆25+益=i 知长轴长为i0,短轴长为8，焦距为6, 则顶点A , B 为椭圆的两个焦点. 在厶ABC 中，设厶ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,则 c = |AB|= 6, a + b = |BC| + |AC| =i0,由正弦定理可得 5sin C =耳=心=3.sin A + sin B a + b i0答案：3 9. (20i8新乡一模)已知直线I : y = 2x — 2与椭圆 Q : 2 2x y 、十 e ■: —+ 2= i(m z 0)父于 A , B 两 4m m 占 八、、♦ (i)求Q 的离心率; (2)若以线段AB 为直径的圆C 经过坐标原点，求 幕^^=申.解：(i)e =b 2 一2 =aQ 的方程及圆C 的标准方程.由已知得 OA OB = X 1X 2+ y i y 2= X 1X 2+ 4(x i — 1)(X 2 — 1) = 5X I X2— 4(x i + X 2)+ 4 = 0,216— 4m32 即 5 X— 4 X + 4 = 0,1717解得 m 2= 1,且满足 △= 322— 68(16— 4m 2)>0,2故Q 的方程为X + y 2= 1.4 设圆C 的圆心坐标为(X ), y o ), 则 x o = X 1^X2=需,y o = 2(X o ― 1)=—器一 ■ 2亠16— 4m 12由 X 1X 2= =1X217 17'得 |AB|= 1+ 22 • * + X 2 2— 4X 1X 2 =器. 故圆C 的标准方程为(x — X 0)2 + (y — y °)2 =_2 2= 26017 = 28910. (2018天津高考)设椭圆勺+右=1(a >b >0)的右顶点为 A ,上顶点为 B ，已知椭圆a b 的离心率为 J, |AB| = ■ 13.(1) 求椭圆的方程.(2) 设直线I ： y = kx(k v 0)与椭圆交于 P , Q 两点，I 与直线 AB 交于点M ，且点P , M 均 在第四象限.若△ BPM 的面积是厶BP Q 面积的2倍，求k 的值.解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有$= 9, 又由 a 2= b 2+ c 2,可得 2a = 3b. 又|AB|= a 2 + b 2=13,从而 a = 3, b = 2.2 2所以椭圆的方程为X +y =1.9 4(2)设点P 的坐标为(X 1, y 1),点M 的坐标为(X 2, y 2), 由题意知，x 2> x 1> 0,点Q 的坐标为(一x 1，— y 1). 因为△ BPM 的面积是厶BP Q 面积的2倍， 所以 |PM|= 2|P Q ,所以 X 2— X 1= 2[X i — ( — X i )]，即 X 2= 5X 1. 易知直线 AB 的方程为 2x + 3y = 6,ABJ 2 2 ,2x + 3y= 6,y= kx, 消去y,可得X2 =63k+ 2.由方程组2 2x + y = 1由方程组 94 '消去y ,可得论.—2—. ly= kx , ^4由 x 2= 5x p ，可得 9k 2 + 4= 5(3k + 2),两边平方，整理得 18k 2+ 25k + 8 = 0,当k = — £时，X 2= 12, X 1= ¥,符合题意.2 5 所以k 的值为-和.三上台阶，自主选做志在冲刺名校2 21. (2018绍兴一中质检)已知直线I : y = kx + 2过椭圆字+器=1(a > b > 0)的上顶点B 和 左焦点F ，且被圆x 2+ y 2= 4截得的弦长为L,若L >牛5则椭圆离心率e 的取值范围是()5A. O ，中设圆心到直线l 的距离为d ,则 L = 2 4— d 2>*5,5& 1.2 22 C Ce = ~2=2=a b + c 1 + k解得2.(2018杭州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O 的直线I ,与该椭圆交于 P , Q 两点，直线OP , P Q, O Q 的斜率依次为 k i , k(k z 0), k 2，满足k i,2k , k 2依次成等差数列，求△ OP Q 面积的取值范围.C. 0,D. 0,解析：选B 依题意，知 b = 2, kc = 2.解得d 2w 眷又因为 d =—； k 2,所以注严5, 当k =-,x ?=— 9 v 0,不合题意，舍去;解得 1 2 4 「，所以 0v e 2w-,圆过点B. 0,1,2所以椭圆的方程为 X + y 7= 1. 4(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为 0,]y= kx + m,故可设直线I 的方程为 y = kx + m (m ^ 0), P(x i , y i ), Q (X 2, y 2),由22消x + 4y — 4= 0去y,得(1 + 4k 2)x 2 + 8kmx + 4(m 2— 1)= 0,贝U △= 64k 2m 2— 16(1 + 4k 2)(m 2— 1)= 16(4k 2— m 2+ 1)>0,2—8 km 4m — 1且 X 1+ X 2= 2, X 1X 2= 厂.1 + 4k ' 1 + 4k 因为k 1,2k , k 2依次成等差数列， 所以 k1+ k2= 4k ,即:+ ±= 4k , .. L m x所以 mX1 X 2 = 2k ，即 1X 2 4m — 11+ 4k 2—+ 1 t + 1解：（1）由题意可设椭圆方程为2 X 2 +a 2y b = 1(a > b > 0),解得<=2，b = 1.—8 km<1+ 4k* 2k ,解得 m 2 = 1.所以 |P Q =寸 1+ k 2|X 1 — X 2|= p 1 + k •—8km 2 ---------- 2 2 f 16k2+ 21+k 厂4X + 4k =^7+k - 1 + 4k 2 ,O到直线P Q的距离d = ——寸 2 + 2k所以OP Q=1 d |P Q = ^:茁1.令8k2+ 1 = t, t> 1,t 2贝9 S^OP Q= "2—1 = ,因为t> 1时, t+ J > 2,所以t+1所以△ OP Q面积的取值范围为（0,1）.1,。
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第十二单元 椭圆、双曲线、抛物线一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A 2B 3C 4D 5(2) 若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m= ( )Ｂ32 Ｃ83 Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF ( )A 1或5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是 ( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞-D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 ( )A1716 B 17174 C 54 D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( ) A23 B23 C 26 D 332 (8) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到x 轴的距离为 ( )A43B53 C (10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )AB C 2 1 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21+=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补.(Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案一选择题: 1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 75.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |,若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a则a 的取值范围是(]1，∞-6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB.∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y p y y y y x x k k OBOA则y 1y 2 = – 4p 29.C[解析]：∵120,MF MF ⋅= ∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上 故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得 则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2ab c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a cac a 2122222=-∴=-故椭圆的离心率e 1二填空题:11. 1922=-y x [解析]： 因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点， 故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线，故①错∵),(21+=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。
故②错三解答题(15) 解:由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> (16) (Ⅰ)证: 易知点P 在抛物线C 上, 设PA 的斜率为k, 则直线PA 的方程是y-4=k(x-2).代入y=-21x 2+6并整理得x 2+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根x A 及2, 由韦达定理得:2x A =-4(k+1) , ∴x A =-2(k+1). ∴y A =k(x A -2)+4.=-k 2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k 2-4k+4). 由于PA 与PB 的倾斜角互补, 故PB 的斜率为-k. 同理可得B(-2(-k+1), -k 2+4k+4) ∴k AB =2.(Ⅱ) ∵AB 的方程为y=2x+b, b>0.代入方程y=-21x 2+6消去y 得21x 2+2x+b-6=0. |AB|=2)216(52]624[212b b -=--+）（）（. ∴S=21|AB|d=21·252165bb ⋅-）（9364)3216()216(3=++-≤⋅⋅-b b b b b b . 此时方程为y=2x+316.(17) 解:直线l 的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =22)1(ba ab +-.同理得到点(-1,0)到直线l 的距离d 2 =22)1(ba ab ++.s= d 1 +d 2=22b a ab+=cab2. 由s ≥54c,得cab 2≥54c,即5a 22a c -≥2c 2.于是得512-e ≥2e 2.即4e 2-25e+25≤0.解不等式,得45≤e 2≤5.由于e>1>0, 所以e 的取值范围是525≤≤e(18) 解：（1）抛物线.2,524,222=∴=+-==p pp x px y 于是的准线为 ∴抛物线方程为y 2= 4x .（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=-解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离， 当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44m x my --=即为,04)4(4=---m y m x 圆心M （0，2）到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；当m=1时，直线AK 与圆M 相切； 当1<m 时，直线AK 与圆M 相交.。