连续时间系统的LTI系统的时域仿真零输入响应与零状态响应毕业论文
关于LTI系统零点跳变问题的研究
关于LTI系统零点跳变问题的研究宋慧超;丛梦龙;孙丹丹【摘要】Under the action of deterministic input signals,the lumped parameter linear time-invariant system is called LTI system for short,which includes continuous-time system and discrete-time system.In the continuous time system analysis, the system state may change at the initial moment because of the excitation signal.We can not use the original starting storage to determine the initial value of the systemresponse,which adds difficulty to the system analysis.Two methods are proposed to solve the problem:Impulse function matching method and method of Laplace transform. The characteristics of the two methods are described by examples from time domain and frequency domain.It helps us to understand the basic concepts and analysis methods of signal and system theory.%在确定性输入信号作用下的集总参数线性时不变系统简称LTI系统,包括连续时间系统与离散时间系统.在连续时间系统分析中,由于激励信号的加入,系统状态在零时刻可能发生跳变,从而无法利用原有的起始储能确定系统响应的初值,为系统分析增加了难度.针对于此,文中提出了解决零点跳变的两种方法:冲激函数匹配法与拉普拉斯变换法.从时域、频域角度,通过实例验证讨论了两种方法各自的特点,对理解信号与系统理论的基本概念与分析方法有一定帮助.【期刊名称】《科技创新导报》【年(卷),期】2015(000)028【总页数】2页(P38-39)【关键词】时域分析;拉普拉斯变换;0-状态;0+状态【作者】宋慧超;丛梦龙;孙丹丹【作者单位】内蒙古民族大学物理与电子信息学院内蒙古通辽 028000;内蒙古民族大学物理与电子信息学院内蒙古通辽 028000;内蒙古民族大学物理与电子信息学院内蒙古通辽 028000【正文语种】中文【中图分类】TP31在信号与系统的研究中，线性时不变（LTI）系统的数学模型是常系数线性微分方程，输出响应通过求解微分方程得出。
实验一 连续系统时域响应分析实验报告
实验一 连续系统时域响应分析（硬件实验）一、实验目的1． 熟悉系统的零输入响应与零状态响应的工作原理。
2． 掌握系统的零输入响应与零状态响应特性的观察方法。
3． 观察和测量RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响。
4． 掌握有关信号时域的测量方法。
二、实验内容与原理内容：1． 用示波器观察系统的零输入响应波形。
2． 用示波器观察系统的零状态响应波形。
3． 用示波器观察系统的全响应波形。
4． 用示波器观察欠阻尼、临界阻尼和过阻尼状态的阶跃响应波形。
5． 用示波器观察欠阻尼、临界阻尼和过阻尼状态的冲激响应波形 原理：1． 系统的零输入响应和零状态响应系统的响应可分解为零输入响应和零状态响应。
在图1-1中由RC 组成一阶RC 系统，电容两端有起始电压Vc(0-)，激励源为e(t)。
图1-1 一阶RC 系统则系统的响应：1()01()(0)()tt t RCRCC c V t eV e e d RC -τ=-+ττ⎰ （1-1）Re (t)上式中第一项称之为零输入响应，与输入激励无关，零输入响应(0)tRCc e V -是以初始电压值开始，以指数规律进行衰减。
第二项与起始储能无关，只与输入激励有关，被称为零状态响应。
在不同的输入信号下，电路会表征出不同的响应。
系统的零输入响应与零状态响应电路原理图如图1-2所示。
实验中为了便于示波器观察，用周期方波作为激励信号，并且使RC 电路的时间常数略小于方波信号的半周期时间。
电容的充、放电过程分别对应一阶RC 系统的零状态响应和零输入响应，通过加法器后得到系统的全响应。
图1-2 零输入响应与零状态响应电路原理图2． 系统的阶跃响应和冲激响应RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应电路原理图如图1-3所示，其响应有以下三种状态：1） 当电阻R >2） 当电阻R =3） 当电阻R <图1-3 阶跃响应与冲激响应原理图冲激信号是阶跃信号的导数，所以对线性时不变系统冲激响应也是阶跃响应的导数。
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析张淑敏【摘要】【摘要】零状态响应是电子技术相关课程中的一个重要概念，本文将通过对时域分析法和（复）频域分析法求解连续LTI系统零状态响应的分析，着重讨论卷积法在（复）频域分析中的应用及优越性。
首先概述每种方法的基本求解原理，然后通过实例说明具体求解中的优点、不足，有助于我们加深对每种方法的理解与掌握。
【期刊名称】科技展望【年(卷),期】2014(000)020【总页数】2【关键词】【关键词】时域分析（复）频域分析卷积目前电子技术和集成电路正在迅速发展，在电子等专业领域，对信号和系统的学习十分必要，而在信号与系统分析中，线性时不变系统的零状态响应的分析尤为重要并更具现实意义，因此应该摆在学习的重要位置上。
1 连续时间信号与系统1.1 连续时间信号信号是信息的物理表现形式，是传输各种消息的工具。
连续时间信号是指在连续时间点上均有意义的信号，又称模拟信号。
1.2 连续时间系统系统是处理或变换信号的物理设备，是由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体。
若系统中各个子系统的输入、输出均为连续时间信号，即系统处理的是连续时间信号，则称此系统为连续时间系统。
2 零状态响应系统的响应是指当给系统输入某信号时，系统将得到相应的输出信号。
将这一动作称为系统对输入的响应。
零状态响应是指在初始状态为零的条件下，系统由外加输入（激励）信号引起的响应。
又称为受迫响应。
一般用yzs(t )来表示3 连续LTI系统零状态响应的分析方法连续线性时不变系统指具有线性性质和时不变性质的连续系统。
用LTI表示。
所谓线性性质是指系统的输入信号与输出信号之间呈线性关系。
例如:假设系统输入信号x1(t)得到输出y1(t)，输入信号x2(t)得到输出y2(t)，那么当输入信号为a x1(t)+b x2(t)时将得到输出为a y1(t)+by2(t)。
所谓时不变性是指系统的输出波形与输入的起始作用时刻无关。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
解:
(3) )
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)
2A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
t 0 t0 t 0 t0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
零输入响应与零状态响应
信号与系统课程设计报告书课题名称 零输入响应与零状态响应姓 名梁何磊学 号 20086354 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师秀婷 康朝红2011年1月11日※※※※※※※※※ ※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※2008级信号与系统课程设计连续时间系统的LTI 系统的时域仿真 -------零输入响应与零状态响应20086354 梁何磊一、设计目的掌握信号经过LTI 系统的时域分析方法。
巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB 对实际问题进行仿真。
学会对带有非零起始状态的LTI 系统进行仿真。
二、设计要求（1）根据实际问题建立系统的数学模型，对给定的如下电路，课本第二章例2-8，参数如图所示；建立系统的数学模型，并计算其完全响应；（2）用MATLAB 描述此系统；（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。
要求用两种方法仿真实现完全响应。
对仿真结果进行比较，并与理论值比较。
三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.1．连续时间系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。
建模当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dtdt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++()4=t e ()t L H 41=L Ω=232其中p1,p2,…,p n是特征方程a1λn+a2λn-1+…+a nλ+a n=0的根，它们可以用root(a)语句求得。
连续时间系统的时域分析——求零输入响应和零状态响应
成绩评定表之袁州冬雪创作课程设计任务书1.引言12 Matlab入门2 233447结论20参考文献211.引言人们之间的交流是通过消息的传播来实现的，信号则是消息的表示形式，消息是信号的详细内容.本文概述了信号仿真系统的需求、总体布局、基本功能.重点先容了操纵Matlab 软件设计实现信号仿真系统的基来历根基理及功能，以及操纵Matlab软件提供的图形用户界面（Graphical User Interfaces ,GUI）设计具有人机交互、界面友好的用户界面.本文采取Matlab的图形用户界面设计功能, 开辟出了各个实验界面.在该实验软件中, 集成了信号处理中的多个实验, 应用效果杰出.本系统是一种演示型软件,用可视化的仿真工具,以图形和动态仿真的方式演示部分基本信号的传输波形和变换，使学习人员直观、感性地懂得和掌握信号与系统的基本知识.近些年来，计算机多媒体教导手段的运用逐步普及，大量优秀的迷信计算和系统仿真软件不竭涌现，为我们实现计算机辅助讲授和学生上机实验提供了很好的平台.通过对这些软件的分析和对比，我们选择MATLAB语言作为辅助讲授工具，借助MATLAB 强大的计算才能和图形表示才能，将《信号与系统》中的概念、方法和相应的成果，以图形的形式直观地展现给我们，大大的方便我们迅速掌握和理解教师上课教的有关信号与系统的知识.MATLAB 7.0是一个包含大量计算算法的集合.其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能.函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前颠末了各种优化和容错处理.在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++ .在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少.MATLAB 7.0的这些函数集包含从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、疾速傅立叶变换的复杂函数.函数所能处理的问题其大致包含矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操纵以及建模动态仿真等.作为信号与系统的基天职析软件之一，操纵MATLAB停止信号与系统的分析与设计是通信以及信息工程学科的学生所要掌握的需要技能之一.通过学习并使用MATLAB语言停止编程实现课题的要求，对学生才能的培养极为重要.尤其会提高综合运用所学实际知识停止分析问题、处理问题的才能，也便于将实际知识与实践相连系，并得以更好地掌握信号分析与处理的基本方法与实现.这也将为后续相关的课程学习打下一定的基础,从而在以后相关课程设计与分析的时候达到对MATLAB的熟练应用与融会贯通.2.Matlab入门MATLAB7.02009版本，高级技术计算语言和交互式环境可以较使用传统的编程语言（如 C、C++ 和 Fortran）更快地处理技术计算问题.MATLAB 7.0主要功能为交互式工具可以按迭代的方式探查、设计及求解问题此高级语言可用于技术计算此开辟环境可对代码、文件和数据停止管理各种工具可用于构建自定义的图形用户界面各种函数可将基于 MATLAB 的算法与外部应用程序和语言（如 C、C++、Fortran、Java、COM 以及 Microsoft Excel）集成数学函数可用于线性代数、统计、傅立叶分析、筛选、优化以及数值积分等二维和三维图形函数可用于可视化数据；特点：1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中摆脱出来；2) 具有完备的图形处理功能,实现计算成果和编程的可视化;3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,为用户提供了大量方便实用的处理工具.MATLAB 7.0由一系列工具组成.这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采取的是图形用户界面.包含MATLAB桌面和饬令窗口、汗青饬令窗口、编辑器和调试器、途径搜索和用于用户阅读帮忙、工作空间、文件的阅读器.随着MATLAB 7.0的商业化以及软件自己的不竭升级，MATLAB 7.0的用户界面也越来越精美，更加接近Windows的尺度界面，人机交互性更强，操纵更简单.而且新版本的MATLAB 7.0提供了完整的联机查询、帮忙系统，极大的方便了用户的使用.简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必颠末编译便可以直接运行，而且可以及时地陈述出现的错误及停止出错原因分析.综上，在停止信号的分析与仿真时，MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具.尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用，非常适合与相关课题的研究与分析. 3.零输入响应的求解方法描绘n 阶线性时不变（LTI ）持续系统的微分方程为：已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，…y (n-1)(0)，求系统的零输入响应. 建模如下：当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）其中p 1,p 2,…,p n 是特征方程a 1λn +a 2λn-1+…+a n λ+a n =0的根，它们可以用root(a)语句求得.各系数 由y 及其各阶导数的初始值来确定.对此有下列方程：写成矩阵形式为: P 1n-1C 1+ P 2n-1C 2+…+ P n n-1C n =D n-1y 01012201111120111n n n n n n n C y p p p C Dy p p p C D y ----⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 V •C=Y 0 其解为：C=V\Y 0式中 V 为范德蒙矩阵，在matlab 的特殊矩阵库中有vander. 零输入响应的编程设计及实现 以下面式子为例： )(6)('4)(3)('2)("t f t f t y t y t y -=++ 初始条件为2_)0(=y ,7_)0('=yMATLAB 程序：a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]=');p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0';dt=input('dt=');te=input('te=');t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t));for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);grid xlabel('t') ;ylabel('y');1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dt dt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++1212()n p t p t p t n y t C e C e C e =++⋅⋅⋅⋅+120n C C C y ++⋅⋅⋅⋅+=11220n n p C p C p C Dy ++⋅⋅⋅⋅+=111111220n n n n n n p C p C p C D y ----++⋅⋅⋅⋅+=1211112111n n n n n p p p V p p p ---⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦[]12n C C C C =⋅⋅⋅1000n C y Dy D y -⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦title('零输入响应');程序运行成果：用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[1,2,3] Y0=[2,7] dt=0.002 te=7成果如图3.1所示.图3.1 零输入响应的波形图零输入响应的成果分析根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值.随着时间的推移，最后零输入响应的值无限的趋近于0.持续时间系统的零状态响应零状态响应的求解方法我们知道，LTI 持续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描绘，()()00()()N Mi j i j i j a y t b f t ===∑∑ 例如，对于以下方程:''''''''''''32103210()()()()()()()()a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t +++=+++可用32103210[,,,],[,,,],a a a a a b b b b b ==输入函数()u f t =，得出它的冲激响应h ，再根据LTI 系统的零状态响应y （t ）是激励u （t ）与冲激响应h （t ）的卷积积分.注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a 或b 中的对应元素应为零，不克不及省略不写，否则出错.例如：求函数的零状态响应，已知：)(6)('4)(3)('2)("t f t f t y t y t y -=++及初始状态'(0)(0)0zs zs y y --==.输入函数)*5cos()*2sin(t t y +=.建模：先求出系统的冲激响应，写出其特征方程0322=++λλ求出其特征根为p1和p2，及相应的留数r1，r2；则冲激响应为1212()p t p t h t re r e =+ 输入y （t ）可用输入u （t ）与冲激响应h （t ）的卷积求得.零状态响应的编程设计及实现MATLAB 程序：a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');b=input('输入输入信号系数b=[b1,b2,...]=');dt=input('dt=');te=input('te=');t=0:dt:te;u=input('输入函数u=');te=t(end);dt=te/(length(t)-1);[r,p,k]=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t);subplot(2,1,1),plot(t,h);gridtitle('冲激函数');y=conv(u,h)*dt;subplot(2,1,2),plot(t,y(1:length(t)));gridtitle('零状态响应');程序运行成果执行这个程序，取a=[1,2,3] b=[4,6] dt=0.001 te=7得出图形如图3.2所示.图3.2 零状态响应的波形图零状态响应的成果分析由于初始状态为零，所以零状态的起始值也为零，即h(t)包含了持续系统的固有特性，与系统的输入无关.只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在分歧输入时发生的输出.因此，求解系统的冲激响应h对停止持续时间系统的分析具有非常重要的意义总结本次的信号与系统课程设计,我的课设题目是求持续时间系统的零输入与零状态响应，需要用到MATLAB停止波形仿真.由于我对MATLAB这个仿真软件其实不是很熟悉，所以在停止课设的过程中，遇到了很多问题，不过最后还是顺利完成，虽然做的程序其实不是很完美，但是我还是从中学会了很多.设计过程中，出现了各种各样的问题，有些是由对软件的使用不熟悉引起的，有的是由对零状态响应和零输入响应的求解方法不熟悉引起的.但是最后我还是找到了处理的法子.比方说，在我用系统求解法求解零状态响应和零输入响应时，由于求解过程复杂，用MATLAB软件停止仿真时，编程很难，所以我采取了矩阵求解的方法，可以在编程时直接调用特殊矩阵库中的Vander停止系统求解，这样编程就容易了许多.在整个设计过程中我懂得了许多东西，也培养了独立思考和设计的才能，树立了对知识应用的信心，相信会对此后的学习工作和生活有非常大的帮忙，而且学习到了MATLAB软件主要功能交互式工具可以按迭代的方式探查、设计及求解问题此高级语言可用于技术计算此开辟环境可对代码、文件和数据停止管理各种工具可用于构建自定义的图形用户界面各种函数可将基于 MATLAB 的算法与外部应用程序和语言（如 C、C++、Fortran、Java、COM 以及 Microsoft Excel）集成数学函数可用于线性代数、统计、傅立叶分析、筛选、优化以及数值积分等二维和三维图形函数可用于可视化数据..课程设计不但是对前面所学知识的一种检验，也是对自己才能的一种提高，通过这次课程设计使自己大白了原来的光靠书面知识是非常欠缺的，还是需要不竭的实践巩固.因此在以后的工作和生活中还是应该不竭的学习，尽力提高自己的知识和综合素质.本次的课程设计让我对信号与系统这一门学科有了更深条理的懂得，在分析并处理问题的过程中，巩固了该门学科的基础，对于相关知识的认知程度有了很大的提高.实践是认识的基础，本次的课程设计中所学习到的求解方法以及对MATLAB软件的懂得，对我以后的工作学习都意义深远.参考文献1：张平.MATLAB基础与应用简明教程.北京：北京航天大学出版社，2001.2：黄忠霖.节制系统MATLAB计算及仿真（第2版）.北京：国防工业出版社，2004.3：肖伟、刘忠. MATLAB程序设计与应用[M].北京：清华大学出版社 2005.4:刘振全、杨世凤.MATLAB语言与节制系统仿真实训教程.北京：化学工业出版社，2009.。
lti连续时间系统零状态响应的求解方法
lti连续时间系统零状态响应的求解方法1. 介绍在连续时间系统的分析中，零状态响应是指某个系统在初始状态为零的情况下，接收到某个输入信号后的输出响应。
在实际问题中，求解零状态响应是一个重要的任务，本文将介绍lti连续时间系统零状态响应的求解方法。
2. 基本思路求解lti连续时间系统的零状态响应的基本思路是将系统输入分解成一组基函数，然后根据基函数的性质求解对应的输出响应，最后将所有响应按照线性叠加原理相加得到系统的总输出响应。
在lti连续时间系统中，常用的基函数包括单位脉冲响应、单位阶跃响应和正弦信号等。
3. 单位脉冲响应法单位脉冲响应法是求解lti连续时间系统零状态响应的常用方法。
具体方法是将系统的初始状态设置为零，输入信号为单位脉冲函数，然后求解系统对单位脉冲函数的响应，得到系统的单位脉冲响应ht(t)，最后将ht(t)与输入信号进行卷积计算，得到系统的零状态响应y(t)。
如下图所示：其中，δ(t)表示单位脉冲函数，ht(t)表示系统的单位脉冲响应，x(t)表示系统的输入信号，y(t)表示系统的零状态响应。
4. 单位阶跃响应法单位阶跃响应法也是求解lti连续时间系统零状态响应的一种常用方法。
具体方法是将系统的初始状态设置为零，输入信号为单位阶跃函数，然后求解系统对单位阶跃函数的响应，得到系统的单位阶跃响应h(t)，最后将h(t)与输入信号进行卷积计算，得到系统的零状态响应y(t)。
如下图所示：其中，u(t)表示单位阶跃函数，h(t)表示系统的单位阶跃响应，x(t)表示系统的输入信号，y(t)表示系统的零状态响应。
5. 正弦信号法除了单位脉冲响应法和单位阶跃响应法之外，还可以利用正弦信号作为基函数进行求解。
正弦信号法的基本思路是将输入信号分解成一组正弦信号，并求解系统对每个正弦信号的响应，最后将所有响应按照线性叠加原理相加得到系统的总输出响应。
连续时间LTI系统零输入响应的探讨
中图 分 类 号 ： Ｎ９ １６ Ｔ １． 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ８０ ８ （０ ８ ０—０ ００ １０ —６ ６ ２ ０ ） ５０ ２ —４
Ｄｉ ｃ ｓ ｉ ｎ ｏ ｒ － ｎ ｔＲｅ ｐｏ ｅ ｏ ｎｔｎ ｏ － ｍ ｅ ＬＴＩ Ｓ ｓ ｅ ｓ ｓ ｕ ｓｏ ｎ Ｚｅ ｏ Ｉ ｐｕ ｓ ｎｓ ｆＣｏ ｉ ｕ ｕｓＴｉ ｙ ｔｍ
第３ ０卷第 ５期 Nhomakorabea２０ ０ ８年 １ ０月
电气 电子教学学报 Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＥＥＥ ＯＦ
Ｖｏ Ｏ Ｎｏ ５ Ｌ３ ． ０ｃ． ０ ８ ｔ２ ０
连 续 时 间 Ｌ Ｉ系统 零 输入 响应 的探 讨 Ｔ
胡 健， 陈后金 ， 薛 健 ， 郝晓莉 ， 满义 ， 钱 高海林
ｔ ｘ ｂ ｏ ｓａ ｅｒ ｖｅ ｄ ｏ ｈ ａ ｉ ｏ ｅ ｃ ｉｇ ｅ ｐ ｒｅ ｃ ． Ｉ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｈ ｔｚ ｒ － ｐ ｔｒ ｓ ｏ ｓ ｅａｅ ｅ ｔ ｏ ｋ ｒ ｅ ｉｗｅ ｎ ｔ ｅｂ ｓｓ ｆｔａ ｈ ｎ ｘ ｅ ｉｎ ｅ ｔｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｔ ａ ｅ ｏ ｉ ｕ ｅ ｐ ｎ ｅｒ ｌｔ ｓ ｎ
ｔ ｙ ｔｍ＇ ｉｉｉｌ ｔ ｔ ｓＹ （ ’ ｎ （ ｏ ｓ ｓｅ ｓ ｎ ｔａ ａ ｕ ‘ Ｏ ）ａ ｄｚ‘ Ｏ ）ｗｈ ｎ ｄｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａｉｎ ｃ ｎ ａｎ ｎ ｕ ｓｄ ｒ ａｉｅｏ ｉｓ ｓ ’ ｅ ｉ ｒｎ ｉｌｅ ｕ ｔｏ ｏ ｔ ｉ ｓｉ ｐ ｆ ｅ ｉ ｔ ｆｆ ｔ ｆ ｖ ｖ ｒ
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
谢谢您的聆听
THANKS
优点
能够直接得到系统在任意 时刻的响应值。
缺点
计算量大，需要逐个时间 点进行计算。
拉普拉斯变换法
定义
拉普拉斯变换法是一种将时域函 数转换为复频域函数的数学工具。
01
描述ห้องสมุดไป่ตู้
02 通过拉普拉斯变换，将系统的微 分方程转化为代数方程，然后求 解得到系统在复频域的响应。
优点
能够方便地求解高阶微分方程， 适用于具有复杂特性的系统。 03
拉普拉斯变换法
能够求解系统的零状态响应，但需要 已知系统传递函数，且变换过程可能 较为复杂。
05
结论
总结
本文介绍了求解连续时间LTI系统响应的几种方法，包括时域法和频域法。 通过具体实例，展示了这些方法在求解系统响应中的应用和优势。
时域法通过建立和求解微分方程来获取系统输出，具有直观和物理意义 明确的优点。而频域法则通过分析系统函数的频域特性来求解响应，具
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科，主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中，线性时不变 （LTI）系统是最基本、最重要的 系统之一，其响应求解是研究的重 要内容。
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关，而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
《信号与系统》第二版第二章：LTI连续时间系统的时域分析
零状态（zero state）响应 yzs (t ) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，即Y(0-) ≡0，由系统的外加激励信号 v (t ) = v (t )u (t ) ≠ 0 所产生的响应。
零输入响应 yzi (t ) ：
5
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
∏(p −αi )
i =1
（αi 为互异特征根）
= N (p) ⎡⎣eαnt ∗ ∗ eα1t ∗ v (t )⎤⎦
（2-19）
n
∑ yzs (t ) = 齐次解 Aieαit ＋特解 B (t ) i =1
（2-20）
特解 B (t ) 反映系统输入对输出的强迫。
非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
令： D (p) pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
N (p) bmpm + ... + b1p + b0
4
《信号与系统》
有：
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
y
(t)
=
N (p) D(p)
v(t
)
H (p)v(t)
（2-13）
其中，
H
(p)
=
N (p) D(p)
称为系统算子。
≤ ∫ ∫ f (τ ) g (t −τ ) dτ dt ΩΩ
= ∫ f (τ ) ∫ g (t −τ ) dtdτ
Ω
Ω
=∫
f (τ )
g (t ) dτ = 1
f (t) 1
g (t ) 1
信号系统在电气工程中的应用论文
信号系统在电气工程中的应用摘要：数字信号处理系统是最近新兴起的学科，经过一段时间的发展，已经在生活应用方面有着举足轻重的作用。
通过了解此学科的定义，分类，应用，能进一步了解到信号处理的作用和市场前景。
也能更加明确自己的学习方向。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
同时也在电气工程中起到重要作用关键词：数字信号处理信号数字信号模拟信号 Taylor级数 Laplace变换Fourier变换正文：信号与系统是为完成某一特定功能而相互作用、不可分割的统一整体。
为了有效地应用系统传输和处理信息，就必须对信号、系统自身的特性以及信号特性与系统特性之间的相互匹配等问题进行深入研究。
本课程概要介绍信号与系统的分析方法，以便读者对信号与系统的分析思想和方法有一初步了解。
信号分析是研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性的相应变化。
信号分析的基本目的是揭示信号自身的特性，例如确定信号的时域特性(time-domain characterization )与频域待性(frequency-domain characterization)，随机信号的统计特性等。
实现信号分析的主要途径是研究信号的分解，即将一般信号分解成众多基本信号单元的线性组合，通过研究这些基本信号单元在时域或变换域的分布规律来达到了解信号特性的目的。
由于信号的分解可以在时域进行，也可以在频域或复频域进行，因此信号分析的方法也有时域方法、频域方法和复频域方法。
在信号的时域分析中，采用单位冲激信号 (unit impulse response)或单位脉冲序列，作为基本信号，将连续时间信号表示为的加权积分，将离散时间信号表示的加权和，它们分别是一种特殊的卷积积分(convolution integral)运算与卷积和(convolution sum)运算。
实验二连续时间LTI系统的时域分析
实验二连续时间LTI系统的时域分析一、实验目的：1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应二、实验原理及实例分析1、连续时间系统零输入响应和零状态响应的符号求解连续时间系统可以使用常系数微分方程来描述，其完全响应由零输入响应和零状态响应组成。
MATLAB符号工具箱提供了dsolve函数，可以实现对常系数微分方程的符号求解，其调用格式为：dsolve(‘eq1,eq2…’,’cond1,cond2,…’,’v’)其中参数eq表示各个微分方程，它与MATLAB符号表达式的输入基本相同，微分和导数的输入是使用Dy，D2y，D3y来表示y的一价导数，二阶导数，三阶导数；参数cond表示初始条件或者起始条件；参数v表示自变量，默认是变量t。
通过使用dslove函数可以求出系统微分方程的零输入响应和零状态响应，进而求出完全响应。
2、连续时间系统零状态响应的数值求解在实际工程中使用较多的是数值求解微分方程。
对于零输入响应来说，其数值解可以通过函数initial 来实现，而该函数中的参量必须是状态变量所描述的系统模型，由于现在还没有学习状态变量相关内容，所以此处不做说明。
对于零状态响应，MATLAB 控制系统工具箱提供了对LTI 系统的零状态响应进行数值仿真的函数lsim ，利用该函数可以求解零初始条件下的微分方程的数值解。
其调用格式为：y=lsim(b,a,f,t)，其中t 表示系统响应的时间抽样点向量，f 是系统的输入向量； b 和a 分别为微分方程右端和左端的系数向量，若不带返回参数y ，则直接在屏幕上绘制输入信号x 和响应信号的波形。
例如，对于微分方程)()()()()()()()(0'1''2'''30'1''2'''3t f b t f b t f b f f b t y a t y a t y a t y a +++=+++可以使用32103210[,,,];[,,,]a a a a a b b b b b ==注意，如果微分方程的左端或者右端表达式有缺项，则其向量a 或者b 中对应元素应该为零，不能省略不写。
3_3连续时间LTI系统的零输入响应
2.零输入响应的三种形式
零输入响应yzi(t)的形式
(1) 特征根是不等实根 s1, s2, , sn
yzi (t ) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是相等实根 s1=s2==sn =s
yzi (t ) K1es t K2tes t Knt n1es t (3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
yzi (t ) e1t ( K1 cos1t K2 sin 1t ) e it ( Kn1 cosit Kn sin it )
以上Ki 均由系统初始状态 y(0 ), y ' (0 ),...y ( n1) (0 ) 确定。
3.零输入响应的求解
求解过程 第一步：求出微分方程对应的特征根；
解：系统的特征方程为 s2+6s+8 = 0 系统的特征根为 s1 = －2, s2 = －4 （两不等实根） y zi ( t ) K1e 2 t K 2 e 4 t y(0－)=yzi(0－)=K1+K2=1; y'(0－)= y’zi(0－)= －2K14K2 =2
K1=3，K2= －2
[例] 已知描述某连续时间LTI系统的微分方程式为: y" (t)+2y ' (t) +5y (t) = 4x(t), t>0 初始状态为y(0－) = 1，y'(0－) = 3，求系统零输入响应yzi(t)。
解: 系统的特征方程为 s 2 2s 5 0 系统的特征根为
s1 1 2 j，s 2 1 2（两个共轭复根） j
t y zi ( t ) e （ K1 cos 2t K 2 sin 2 t )
信号与系统MATLAB仿真——LTI连续系统的时域分析
信号与系统MATLAB仿真——LTI连续系统的时域分析1. 知识回顾（1）经典时域分析⽅法线性时不变（LTI）系统是最常见最有⽤的⼀类系统，描述这类系统的输⼊-输出特性的是常系数线性微分⽅程。
\begin{array}{l} {y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = \\ {b_m}{f^{(m)}}(t) + {b_{m - 1}}{f^{(m - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {b_1}{f^{(1)}}(t) + {b_0}f(t) \end{array}齐次解：{y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = 0特征⽅程：{\lambda ^n} + {a_{n - 1}}{\lambda ^{n - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {a_1}\lambda + {a_0} = 0均为单根：{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}}有重根（r重根）：{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{C_i}{t^{i - 1}}{e^{{\lambda _1}t}}}共轭复根（{\lambda _{1,2}} = \alpha \pm j\beta ）：{e^{\alpha t}}({C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t)r重复根：{e^{\alpha t}}(\sum\limits_{i = 1}^r {{C_{1i}}{t^{i - 1}}} \cos \beta t + \sum\limits_{i = 1}^r {{C_{2i}}{t^{i - 1}}} \sin \beta t)特解：f(t) = {t^m}所有的特征根均不等于0：{y_p}(t) = {P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}有r重等于0的特征根：{y_p}(t) = {t^r}[{P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}] f(t) = {e^{\alpha t}}：\alpha 不是特征根：{y_p}(t) = P{e^{\alpha t}}\alpha 是特征单根：{y_p}(t) = {P_1}t{e^{\alpha t}} + {P_0}{e^{\alpha t}}\alpha 是r重特征根：{y_p}(t) = ({P_r}{t^r} + {P_{r - 1}}{t^{r - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}){e^{\alpha t}} f(t) = \cos \beta t或\sin \beta t：所有特征根均不等于 \pm j\beta ：{y_p}(t) = {P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t\pm j\beta 是特征单根：{y_p}(t) = t[{P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t]全解：y(t) = {y_h}(t) + {y_p}(t)（2）零输⼊响应与零状态响应y(t) = {y_{zi}}(t) + {y_{zs}}(t)（3）冲激响应和阶跃响应\left\{ \begin{array}{l} \delta (t) = \frac{{{\rm{d}}\varepsilon (t)}}{{{\rm{d}}t}}\\ \varepsilon (t) = \int_{ - \infty }^t {\delta (\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} h(t) = \frac{{{\rm{d}}g(t)}}{{{\rm{d}}t}}\\ g(t) = \int_{ - \infty }^t {h(\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right.（4）卷积积分y(t) = {f_1}(t) * {f_2}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_1}(\tau ){f_2}(t - } \tau ){\rm{d}}\tau系统的零状态响应：{y_{zs}}(t) = f(t) * h(t)卷积积分的性质：交换律分配率结合律任意函数与单位冲激函数卷积的结果仍是函数本⾝：f(t) * \delta (t) = f(t)2. 利⽤MATLAB求LTI连续系统的响应LTI连续系统以常微分⽅程描述，如果系统的输⼊信号及初始状态已知，便可以求出系统的响应。
2.1LTI连续系统的响应
四、零输入响应和零状态响应
系统响应的分解可以表示为：
y(t) = 4 e−2t − 2 e−5t + 8
3
15
5
︸ ︸ 自由响应 强迫响应
（瞬态响应） （稳态响应）
= − 4 e −2t + 2 e −5t + 8 e −2t − 4 e −5t + 8
3
15 3
15
5
︸ 零输入响应
k =1
k =1
︸ 零输入响应
︸ 零状态响应
四、零输入响应和零状态响应
例2 给定电路如图，t<0时开关S处于1的位置，而且 已经达到稳态；t=0时，开关转向2，把t<0时的电路 状态看作起始状态，求t>0时i(t)的零输入和零状态响
应。
2 S R1=1
i(t)
1
பைடு நூலகம்
iC(t)
iL(t)
+
e(t)=4V -
n
∑ yzi (t) = Azik exkt k =1
由于没有外加激励的作用，因此系统的状态不会发 生变化，即y (k) (0+)= y (k) (0-) ，于是， yzi(t)中的常数 可以由 y (k) (0-)确定。
四、零输入响应和零状态响应
零状态响应的定义：不考虑起始时刻系统的储能作 用（系统起始状态为零），仅由外加激励信号所产 生的响应，记为yzs(t)。它满足方程 an yzs (n) (t) +an-1 yzs (n-1) (t) +…+a1 yzs (1) (t) + a0 yzs (t) = bm f(m) (t) + bm-1 f(m-1) (t) + …+b1 f(1) (t) + b0 f (t) 及起始状态y (k) (0-) (k=0,1,…,n-1) ，其表达式为：
信号与系统仿真—连续时间LTI系统的时域分析
电子信息工程系实验报告成绩：课程名称：计算机仿真技术指导教师（签名）：实验项目名称：实验4 信号与系统仿真—连续时间LTI系统的时域分析实验时间：2011-11-22 班级：电信092 姓名：XXX 学号：910706201一、实验目的:学会运用MATLAB符号求解连续系统的零输入响应和零状态响应；学会运用MATLAB数值求解连续系统的零状态响应；学会运用MATLAB求解连续系统的冲激响应和阶跃响应；思考运用MATLAB卷积积分法求解系统的零状态响应。
二、实验环境:硬件：PC机，PII以上 CPU，内存1G；软件：Matlab7.1三、实验原理：连续时间系统零状态响应的数值求解：对于零状态响应，MATLAB控制系统工具箱提供了对LTI系统的零状态响应进行数值仿真的函数lsim，该函数可求解零初始条件下微分方程的数值解，语句格式为：y=lsim(sys,f,t)其中，t表示计算系统响应的时间抽样点向量；f是系统的输入信号向量；sys表示LTI系统模型，用来表示微分方程、差分方程或者状态方程。
在求微分方程时，sys是由MATLAB的tf函数根据微分方程系数生成的系统函数对象，其语句格式为：sys = tf(b,a)其中，b和a分别为微分方程右端和左端的系数向量。
例如，对于微分方程可用；；获得其LTI模型。
注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a 或者b中对应的元素应为0，不能省略不写，否则会出错。
连续时间系统冲激响应和阶跃响应的求解：在MATLAB中，对于连续LTI系统的冲激响应和阶跃响应的数值解，可分别用控制系统工具箱提供的函数impulse和step来求解。
其语句格式分别为：y = impulse(sys,t);y = step(sys,t);其中，t表示计算机系统响应的时间抽样点向量，sys表示LTI系统模型。
四、实验内容及过程:1.1、已知系统的微分方程和激励信号如下，试用MATLAB命令绘出系统零状态响应的时域仿真波形图。
3_5连续时间LTI系统零状态响应
代入系统的初始状态y(0-)，y'(0-) 有 y(0-)=K1+K2=1 y'(0-)= -3K1-4K2=2 解得待定系数分别为K1=6, K2=-5 故 yzi(t)=6e-3t -5e-4t t≥0-。
解：
0
x(t)
1
ht)
2
t
0
1
t
y (t )
综上可知：
1
0
t
3t
1
2
3
t
注意： 1.结果的始点为两信号始点之和, 终点为两信号终点之和。 2.方波和方波卷积结果是等腰梯形。
[练习] 计算 y(t) = x(t) * h(t)
2
x(t )
h(t )
1
0
2
t
0
1
2
t
口算练习1：u(t) * u(t) = r(t)
北京交通大学
信号处理课程组
连续时间LTI系统的零状态响应
系统零状态响应
卷积积分的计算
卷积积分的性质
1. 系统零状态响应
若输入信号为x(t)，连续时间LTI系统的冲激响应为h(t）， 则系统的零状态响应yzs(t)为：
yzs (t ) x(t ) h(t )
x( )h(t )d
(5)积分特性
y (t ) x(t ) * h(t )
则
y ( 1) (t ) x( 1) (t ) * h(t ) x(t ) * h( 1) (t )
零输入响应与零状态响应
零输⼊响应与零状态响应1.零输⼊响应与零状态响应在Matlab中，lsim函数还可以对带有⾮零起始状态的LTI系统进⾏仿真，使⽤⽅法为y=lsim(sys,u,t,x0)，其中sys表⽰LTI系统，⽮量u和t分别表⽰激励信号的抽样值和抽样时间，⽮量x0表⽰该系统的初始状态，返回值y是系统响应值。
如果只有起始状态⽽没有激励信号，或者令激励信号为0，则得到零输⼊响应。
如果既有初始状态也有激励信号，则得到完全响应。
请注意lsim函数只能对⽤状态⽅程描述的LTI系统仿真⾮零起始状态响应，函数ss（对传递函数描述的LTI系统将失效，函数tf）。
例2.5 给定如图所⽰电路，t<0时S处于1的位置⽽且已经达到稳态，将其看做起始状态，当t=0时，S由1转向2.分别求t>0时i(t)的零状态响应和零输⼊响应。
图2.1 例2.4 电路图解：由所⽰电路写出回路⽅程和结点⽅程分别得到状态⽅程和输出⽅程：下⾯将⽤两种⽅法计算完全响应。
第⼀种⽅法：⾸先仿真2V电压e作⽤⾜够长时间（10s）后系统进⼊稳态，从⽽得到稳态值x0，再以该值作为初始值仿真4V电压e作⽤下的输出rf，即是系统的完全响应，为充分掌握lsim函数的使⽤⽅法，还仿真了系统的零状态响应rzs和零输⼊响应rzi。
第⼆种⽅法：构造⼀个激励信号，先保持2V⾜够长时间再跳变为4V，然后即可以零初始状态⼀次仿真得到系统的完全响应r1。
对应程序如下：C=1;L=1/4;R1=1;R2=3/2;A=[-1/R1/C,-1/C;1/L,-R2/L];B=[1/R1/C;0];C=[-1/R1,0];D=[1/R1];sys=ss(A,B,C,D); %建⽴LTI 系统systn=[-10:0.01:-0.01]'; %⽣成-10s 到-0.01s 的抽样时间，间隔为0.01sen=2*(tn<0); %⽣成机理信号的抽样值e(t)=2[rn tn xn]=lsim(sys,en,tn); %仿真t<0时的输出信号x0=xn(length(en),:); %x0记录了初始状态的值t=[0:0.01:10]';e=4*(t>=0); %⽣成激励信号的抽样值e(t)=4ezi=0*(t>=0); %⽣成零输⼊信号的抽样值e(t)=0rzs=lsim(sys,e,t); %仿真零状态响应rzi=lsim(sys,ezi,t,x0); %仿真零输⼊响应rf=lsim(sys,e,t,x0); %仿真完全响应r1=lsim(sys,[en;e],[tn;t]); %⽤另⼀种⽅法仿真完全响应2. 冲激响应与阶跃响应如果分别⽤冲激信号和阶跃信号作激励，lsim 函数可仿真出冲激响应和阶跃响应。
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信号与系统课程设计报告书课题名称连续时间系统的LTI 系统的时域 仿真零输入响应与零状态响应姓 名学 号 院、系、部 电气工程系 专 业 电子信息工程指导教师2011年 12 月27日※※※※※※※※※ ※※※※ ※※ ※※※※※※※※※2009级信号系统 课程设计连续时间系统的LTI 系统的时域仿真零输入响应与零状态响应一、设计目的１、 掌握信号经过LTI 系统的时域分析方法。
２、 掌握连续时不变信号处理的基本概念、基本理论和基本方法； ３、 学会 MATLAB 的使用，掌握 MATLAB 的程序设计方法； ４、 学会用 MATLAB 对信号进行分析和处理；５、编程实现卷积积分或卷积和，零输入响应，零状态响应； ６、、巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，７、学会应用MATLAB 对实际问题进行仿真。
学会对带有非零起始状态的LTI 系统进行仿真。
二、设计内容及要求（1）根据实际问题建立系统的数学模型，找一个实际的电路，建立如课本第二章例2-8所示的数学模型，并计算其完全响应；（2）用MATLAB 描述此系统；（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。
要求用两种方法仿真实现完全响应。
对仿真结果进行比较，并与理论值比较。
三、设计方法与步骤：一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形。
1．连续时间系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。
建模1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dtdt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）其中p 1,p 2,… p n 是特征方程a 1λn +a 2λn-1+…+a n-1λ+a n =0的根，它们可以用root(a)语句求得。
各系数由y 及其各阶导数的初始值来确定。
对此有…………………………………………写成矩阵形式为: P 1n-1C 1+ P 2n-1C 2+…+ P n n-1C n =D n-1y 01012201111120111n n n n n n n C y p p p C Dy p p p C D y ----⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 V •C=Y 0 其解为：C=V/Y 0 式中V 为范德蒙矩阵，在matlab 的特殊矩阵库中有vander 。
2．卷积的计算连续时间信号1()f t 和2()f t 的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即：1212120()()*()()()lim()()k f t f t f t f t f t d f k f t k ττ∞∞-∞∆→=-∞==-=∆-∆⋅∆∑⎰如果只求当t = n ∆（n 为整数）时f (t )的值f (n ∆)，则上式可得：1212()()()()[()]k k f n f k f t k f k f n k ∞∞=-∞=-∞∆=∆-∆⋅∆=∆∆-∆∑∑式中的12()[()]k f k f n k ∞=-∞∆∆-∆∑实际上就是连续时间信号1()f t 和2()f t 经等时间间隔 均匀抽样的离散序列1()f k ∆和2()f k ∆的卷积和。
当 足够小时，()f n ∆就是卷积积分的结果——连续时间信号f (t )的较好数值近似。
1212()n p t p t p t n y t C e C e C e =++⋅⋅⋅⋅+120n C C C y ++⋅⋅⋅⋅+=11220n n p C p C p C Dy ++⋅⋅⋅⋅+=111111220n n n n n n p C p C p C D y----++⋅⋅⋅⋅+=1211112111n n n n n p p p V p p p ---⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦[]12n C C C C =⋅⋅⋅1000n C y Dy D y -⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦建模利用MATLAB 实现连续信号卷积的通用程序conv()，程序在计算出卷积积分的数值近似的同时，还绘制出f (t )的时域波形图。
3．连续时间系统零状态响应的数值计算我们知道，LTI 连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述，()()()()NMi j i j i j a y t b f t ===∑∑例如，对于以下方程:''''''''''''32103210()()()()()()()()a y t a y t a y t a y tb f t b f t b f t b f t +++=+++可用32103210[,,,],[,,,],a a a a a b b b b b ==输入函数()u f t =，得出它的冲击响应h ，再根据LTI 系统的零状态响应y （t ）是激励u （t ）与冲击响应h （t ）的卷积积分。
注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a 或b 中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。
4．连续时间系统的全响应计算上面通过对LTI 系统函数的描述，我们可以得知：如果在系统的初始状态不为零，在激励f （t ）的作用下，LTI 系统的响应称为全响应，它是零输入响应和零状态响应之和，即()()()zi zs y t y t y t =+故可先求出零输入响应和零状态响应，再把两者相加，得到全响应。
但简单的相加可能由于零输入与零状态的矩阵不同而不能的出正确的结果，这就需要对矩阵进行截取，使它们的阶数相同。
四、程序课本例2-8，已知系统方程式r ＇（ｔ）+3ｒ（ｔ）＝3ｅ（ｔ），初状态为 ｒ（０-）＝1.5,激励信号为e （t ）=u （t ），求系统的完全响应。
程序如下： a= [1, 3];n= length (a)-1; Y0= [3/2]; b= [3];dt=0.01;te=6; t=0:dt:te;jieyue =zeros(size(t)); jieyue(t>0)=1; jieyue(t==0)=1/2; u=jieyue;p=roots(a);V=rot90(vander(p));c= Y0/V; y1=zeros(1,length(t));for k=1:n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t);endte=t(end);dt=te/(length(t)-1);[r,p,k]=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t);y2=conv(u,h)*dt;y=y1(1:length(t))+y2(1:length(t));figure(1);subplot(3,1,1),plot(t,y1),gridxlabel('t'); ylabel('y1');title('零输入响应'); subplot(3,1,2),plot(t,y2(1:length(t)));grid xlabel('t');ylabel('y2');title('零状态响应'); subplot(3,1,3),plot(t,y),gridxlabel('t'); ylabel('y');title('全响应');仿真图：附：roots就是解a=[1,-1,0.9]式子的根。
按照a=[1,-1,0.9]，要解的方程是：设未知及参数设为x , 则：x^2-x+0.9=0的根zeros(m,n)产生m×n的全0矩阵，zeros(n)产生n×n的全0方阵例子：y＂（ｔ）＋５ｙ＇（ｔ）＋６ｙ（ｔ）＝２ｅ＇（ｔ）＋ｅ（ｔ）ｙ＇（０）＝１，ｙ（０）＝５．其中e(t)=sin(2*t)+cos(t),求系统全响应。
程序如下：a=[1,３,4];n=length(a)-1;Y0=[1,5];b=[1,2,５];dt=0.01;te=6;t=0:dt:te;u=sin(２*t)+cos(t)p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0';y1=zeros(1,length(t));for k=1:n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t);endte=t(end);dt=te/(length(t)-1);[r,p,k]=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t);y2=conv(u,h)*dt;y=y1(1:length(t))+y2(1:length(t));figure(1);subplot(3,1,1),plot(t,y1),gridxlabel('t'); ylabel('y1');title('零输入响应');subplot(3,1,2),plot(t,y2(1:length(t)));gridxlabel('t');ylabel('y2');title('零状态响应');subplot(3,1,3),plot(t,y),gridxlabel('t'); ylabel('y');title('全响应');四、调试总结：在matlab语言中，用subplot对图形进行分块，使几幅图同时显示在一个图像框里。
plot用来绘制连续的函数图形。
cnov用来求卷积，再就是利用语句对不同阶的矩阵进行截取，使之相加，这点很重要，因为简单的零输入响应与零状态响应相加，可能由于阶数不同而无法得出结果，所以一定要使两者的阶数相同。
五、设计总结：MATLAB语言是一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，Matlab功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。
特别是Matlab还具有信号分析工具箱，不需具备很强的编程能力，就可以很方便地进行信号分析、处理和设计。
在老师和同学的帮助下，我顺利的完成了这个课程设计，通过这次连续时间系统的时域分析课程设计，让我了解了关于MATLAB软件在连续信号时域处理方面的应用，又一次学习了MATLAB软件的使用和程序的设计，MATLAB的仿真使我更加深入的了解了信号时域处理的过程，对我对数字信号处理的理解加深了一步。