2012年高考试题分类考点7 指数函数、对数函数、幂函数

考点7 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题

1.（2012·湖南高考理科·Ｔ8）已知两条直线l1：y=m 和l2：y=

8

21

m+

(m＞

0)，l1与函数

y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2 与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m 变化时，

b

a

的最小值为（）

(A) (B) 884

【解题指南】将

b

a

用m表示，利用基本不等式求最小值。

【解析】选B.设()

()

()

()

1

12

23

34

4

,,,,,,,,

A

x

y

B

x

y

C

x

y

B

x

y

，D(x4，y4)由题意知

121343

24

11

11

====

,;,;

x x x x x x

x x

又因为

8

2m1

+

8

21

222244

1

22

21

+

====

+

l o

g,;

l o

g,.

m m

x m

x

x x

m 4

242

24

13

24

11

--

=

--

x x x x

b

xx

a x x

x x

=

141

81

22

212

222

++-

+

+

?…

m

m

m m

m,m

m

当且仅当即时，取最小值

1

4

2

143

2

1

22

2

-

=+==

+

2.（2012·新课标全国高考理科·T12）设点P在曲线y= 1

2

x

e上，点Q在曲

线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为（）

(A)1-ln2 (B) )

1ln2

- (C)1+ln2 (D))

1ln2

+

【解题指南】注意到1

2

x

y e

=与()

ln2

y x

=互为反函数，图象关于直线y x

=对称，两曲线上点之间的最小距离就是y x

=与

1

2

x

y e

=最小距离的2倍，利用导数的

几何意义求解.

【解析】选B.由题意知函数1

2

x

y e

=与()

ln2

y x

=互为反函数，其图象关于直线y x

=对称，两曲线上点之间的最小距离就是y x

=与

1

2

x

y e

=最小距离的2倍，

设12x y e =上点()00,x y 处的切线与y x =平行，有0

112

x e =，00ln 2,1x y ==，∴两曲线

上点之间的最小距离就是y x =与12x y e =

的最小距离是)1ln 22

-，∴所求距离

为

(

))1ln 221ln 22

-⨯=-. 3.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当0

2时，4x

值范围是（ ）

（A ）(0，22) （B ）(2

2

，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)

【解题指南】考虑数形结合，先画出图形，4x

y =在0

≤1

2的那一段图象在log a y x =图象的下方，找出临界情况，探索出a 的取值范围.

【解析】选B.由1

02x <≤，且l o g 40x

a

x >>

，可得01a <<，由

1

2

14l

o g 2a

=

可得

2a =

.令()()4,log x

a f x g x x ==，若4l

o g x

a

x

<

，则说明当

1

02x <≤

时，()f x 的图象恒在()

g x

图象的下方（如图所示），此时需2a >.综上可得a

的取值范围是

2⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭.

4.（2012·安徽高考文科·Ｔ3）（2log 9）·（3log 4）=（ ） （A ）1

4

（B ）12

（C ）2 （D ）4