三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用
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三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用
阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍.
具体地说,就是:设AD 是△ABC 的中线,则)(22222BD AD AC AB +=+. 证明 如图1,作BC 边上的高AH . 由勾股定理,得
222DH
AH AD +=,2
2
2BH AH AB +=,
2
2
2
CH
AH
AC
+=.
所以222222CH BH AH AC AB ++=+. 由
CD
BD =,
可
得
)(2)()(2
2
2
2
2
2
DH BD DH BD DH BD CH
BH
+=-++=+.
所以)(2)(22222222BD AD BD DH AH AC AB +=++=+.
该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用.
1.直接使用
当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题.
例 1 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.若a BC =,b CA =,c AB =,则
=
++2
2
2
CF
BE AD ______.
(2005年山东省初中数学竞赛)
分析 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算.
解 如图2, AD 是BC 边上的中线,由阿波罗尼斯定理得
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+222
2
412BC AD AC
AB .
代入已知数据,变形得2
2
2
24
12
121a
b c AD -
+
=.
同
理
2
2
2
2
4
12
12
1b
a c BE -
+
=
,2
2
2
2
4
12
12
1c
b a CF -
+
=
.
故()2
2
2
2
224
3c
b a
CF
BE AD ++=
++.
例2 如图3,△ABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM 交于点G 、H ,并且
点G 在点B 和点H 之间.已知HM BG =,2=AB ,2>BC .那么,当BC 、CA 为何值
D C
B E A
图2
F
A
B
图1
时,线段GH 的长达到最大值?并求GH 的最大值.
解 如图3,设⊙O 与边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F .
由切线长定理,得
AC
BC AB AC AF AE 21)(2
1<
-+=
=. 由
切割线定
理
得
BF GH BG BG GH HM HM EM =+=
+=
)()(.
所以2==AB AM ,42==AM AC . 设a BC 2=,则a
BC AB AC AF AE -=-+==3)(2
1.
因此1-==a BF EM .
设x GH =,y HM BG ==.则2)1()(-=+a x y y . ① 由阿波罗尼斯定理,得)
4
1(22
2
2
2AC BM
BC
AB +
=+,代入数据并变形,得
22)]([2
2
-=++a x y y .
②
由式①、②,解得2
)2(22