简易逻辑
专题02 简易逻辑
简易逻辑条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第1课时逻辑联结词和四种命题1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： . 2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（）A．p:0＝∅；q:0∈∅B．p：在∆ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；:q y＝sin x在第一象限是增函数C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)．变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”真值不同D ．命题q 和命题p 的真值不同解： D例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．⎪⎩⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或；(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤21312m m m ．综合，得m 的取值范围是{21≤<m m 或3≥m }．变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 ： 由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x ax （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a ≤;21若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤21或a ≥1.例4. 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，则0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x 0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π．00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．变式训练4：已知下列三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.解：设已知的三个方程都没有实根．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a 解得123<<-a ．故所求a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－23．1．有关“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．第2课时 充要条件p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．2．必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件．3．充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．例1．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由．1． A ：R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根；2． A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=；3．A ：132>-x ；B ：0612>-+x x ；4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：.)(2222r b a c +=分析：要判断A 是B 的什么条件，只要判断由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可．解：(1) 当2≥p ，取4=p ，则方程0742=++x x 无实根；若方程+2x 03=++p px 有实根，则由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．所以A 是B 的必要非充分条件．(2)若πβαk 2=+则βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又所以βαβαsin sin )sin(+=+成立若βαβαsin sin )sin(+=+成立 取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立，故A 是B 的充分不必要条件． (3) 由21132><⇒>-x x x 或，由0612>-+x x 解得23>-<x x 或，所以A 推不出B ，但B 可以推出A ，故A 是B 的必要非充分条件．(4) 直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的距离r d =，即22b a c +＝2c r ⇔＝222)(r b a +.所以A 是B 的充要条件.变式训练1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）在△ABC 中，p ：∠A=∠B ，q ：sinA=sinB （2）对于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6; （3）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B（4）已知x 、y ∈R ，p ：（x-1）2+（y-2）2=0，q ：（x-1）（y-2）=0.解： （1）在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，若sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例2. 已知p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：若方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2． 则0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．又若－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．则方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件． 综上所述，p 是q 的必要非充分条件．变式训练2：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：若ac<0,则b 2-4ac>0,且ac<0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=ac<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例3. 已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.解： 由题意知：命题：若┒p 是┑q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p : |1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q : x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)解集的子集. 又∵m >0，∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1＋m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9310121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)变式训练3：已知集合{||1||3|8}M x x x =++->和集合2{|(8)80}P x x a x a =+--≤，求a 的一个取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要不充分条件. 解：}53|{>-<=x x x M 或，}0)8)((|{≤-+=x a x x P 由,}85|{时≤<=x x P M ,3,35≤≤≤-a a 此时有}85|{3≤<=≠>≤x x P M a 但所以}85|{3≤<=≤x x P M a 是是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.例4. “函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x轴上方，若)(x f 是一次函数，则10)1(40542=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+a a a a若函数是二次函数，则：[]⎪⎩⎪⎨⎧<-+--->-+0)54(12)1(4054222a a a a a 191<<⇒a 反之若19|<≤a ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是19|<≤a ．变式训练4：已知P ＝{x | |x －1| | >2}，S ＝{x | x2＋}(1)0a x a ++>，P x ∈且的充要条件是S x ∈，求实数a 的取值范围．分析：P x ∈的充要条件是S x ∈，即任取S x P x ∈⇒∈S P ⊆∴，反过来，任取P x S x ∈⇒∈P S P S =∴⊆∴据此可求得a 的值．解： P x ∈的充要条件是S x ∈.S P =∴∵P ＝{x || x －1|＞2}}＝),3()1,(+∞--∞S ＝{x | x2＋(a ＋1)x ＋a ＞0)}＝{x | (x ＋a)(x ＋1)＞0}1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念． 2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．简易逻辑章节测试题一、选择题1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈∈那么或""x MP ∈是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是 （ ）A.a ≥1B.a ≤1C.a ≥-3D.a ≤-34.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）7.(2008·浙江理，3)已知a,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m 2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A ∩B={4}”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 9.若数列{a n }满足221nn a a +=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10.命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=2|1|--x 的定义域是(][)∞+--∞，，31 ，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 二、填空题11．已知数列}{n a ，那么“对任意的n ∈N*，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的 条件．12.设集合A={5,log 2（a+3）}，集合B={a ，b}，若A ∩B={2}，则A ∪B= .13.已知条件p ：|x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，则非p 是非q 的 条件.14.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,则a 的取值范围为 .15.已知下列四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题16．设命题p ：（4x-3）2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.18．设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是 的必要不充分条件，求a 的取值范围.19．(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.20．已知0>c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减，q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．简易逻辑章节测试题答案1．B2.A3.A4.C5.B6.B7. D8.A9.B 10. D11．充分而不必要条件 12.{1，2，5} 13.充分不必要 14.a ≥115.若①③则②（或若①②则④或若①③则④）16．解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知A={x|21≤x ≤1},B={x|a ≤x ≤a+1}.由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范围是［0，21］.17．解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于01<+a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1. 方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0, ∴x=1满足条件；若a ≠0，∵Δ=(a 2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a 2+a)+1-4a(a+1)=(a 2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa a a a 解得a ≤-1,∴至少有一正根时应满足a>-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1. 18．解 设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0} ={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={}.24|-≥-<x x x 或方法一 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝. 则{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x|R B={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-xx {},0,3|<≥≤a a x a x x 或 则⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或方法二 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a ≤-4或3a ≥-2,又∵a<0, ∴a ≤-4或-32≤a<0. 19．解（1）当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时， “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求. 20．解：函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c 不等式||2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数 |2|c x x y -+=，在R 上恒大于1⎩⎨⎧<≥-=-+∴cx c cx c x c x x 2,22,22|2| ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2 ∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R2112>⇔>⇔c c ，如果p 正确，且q 不正确 则210≤<c ，如果p 不正确，且q 正确，则1≥c ，所以c 的取值范围为[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,121,0．。
简易逻辑精选练习题和答案
简易逻辑精选练习题和答案1.“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=与直线(m-2)x+(m+2)y-3=相互垂直”的充要条件。
2.设集合A={x| |x-1|<}。
B={x| |x-1|<1}。
若a=1，则A∩B≠。
3.命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p是“所有三角形不是等腰三角形”。
4.命题“¬p”、“¬q”、“p∧q”、“p∨q”中假命题的个数为2.5.“a>b>0”是“a2+b2<”的必要而不充分条件。
6.实数a的取值范围是a≥1.7.“∀x∈R，x²-22x + 2≥0”的非命题为“∃x∈R，x²-22x + 2<0”。
8.a<是方程ax+2x+1=至少有一个负数根的充分不必要条件。
9.(1)“∀x∈R，x2+x+1≥0” (2)“∃x∈R，x2-x+3≤0” (3)“存在x∈{x|-2<x<4}，|x-2|≥3” (4)“∃x，y∈R，x²+y²<” (5)“x≥-3且x≤2时，x+x-6≤0” (6)“∃a，b∈R，ab＞且a≤” (7)“△ABC中，若∠A或∠B是钝角，则∠C是锐角”。
10.选项不完整，无法填空。
11.(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件 (4)必要条件12.(1)假(2)m≤3 (3)x≤-2或x≥4 (4)真13.a≤-1或a≥214.解得A={1,2}，B={1-m,2/m}，则A是B的必要不充分条件，即1-m∈A但2/m∉A，解得m∈(-∞,1)U(2,∞)15.解得p的判别式D<0且m<0，q的判别式D<0且m∈(0,2)，则m∈(0,2)16.解得p的解集为[-1,1]，q无实根且判别式D<0，解得a∈(-∞,-1)U(1/2,∞)17.(1)不存在 (2)存在，m>0。
简易逻辑知识点
简易逻辑知识点1. 逻辑的基础概念- 命题：一个可以判断为真或假的陈述。
- 论证：由一个或多个前提和一个结论组成的逻辑结构。
- 推理：从已知信息推导出新信息的过程。
2. 逻辑运算- 否定（NOT）：对一个命题进行否定，如果原命题为真，则否定后为假；如果原命题为假，则否定后为真。
- 合取（AND）：两个命题都为真时，合取的结果才为真。
- 析取（OR）：两个命题中至少有一个为真时，析取的结果为真。
- 蕴含（IMPLIES）：如果前提为假或结论为真，则蕴含的命题为真；仅当前提是真而结论为假时，蕴含的命题为假。
3. 逻辑形式- 条件语句：一种表达式，包含条件（如果...）和结果（那么...）。
- 逻辑等价：两个逻辑表达式在所有可能情况下都有相同的真值。
- 逻辑谬误：在推理过程中出现的逻辑错误，导致无效的论证。
4. 逻辑证明- 直接证明：通过一系列已知的命题直接推导出要证明的命题。
- 间接证明：通过证明相反假设导致的矛盾来证明原命题。
5. 逻辑的分类- 形式逻辑：研究逻辑形式和推理规则的学科。
- 非形式逻辑：研究日常语言中的推理和论证，不严格遵循形式逻辑的规则。
6. 逻辑的应用- 计算机科学：逻辑用于设计算法、编程语言和人工智能。
- 哲学：逻辑用于构建哲学理论和分析论证。
- 数学：逻辑是数学推理的基础，用于证明定理和公式。
7. 逻辑的局限性- 逻辑不能处理所有类型的推理，如基于直觉、情感或价值判断的推理。
- 逻辑无法解决所有问题，特别是那些需要创造性和想象力的问题。
8. 逻辑的学习方法- 练习：通过解决逻辑谜题和练习题来提高逻辑推理能力。
- 阅读：阅读逻辑和哲学相关的书籍和文章，了解逻辑的历史和应用。
- 讨论：与他人讨论逻辑问题，通过交流不同的观点来提高理解力。
以上是简易逻辑知识点的概述，每个知识点都可以进一步深入学习和探索。
逻辑是理解世界和解决问题的重要工具，掌握基本的逻辑知识对于提高思维能力和决策质量至关重要。
简易逻辑-公式汇总
《简易逻辑》 公式汇总一、四种命题二、四种条件（1）若q p ⇒，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件。
（2）若pq ， 且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件。
（3）若q p ⇔，则p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件。
（4）若pq ， 且qp ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件。
关系：顺推为充分，逆推为必要。
★★★集合：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。
三、含有一个量词的名词的命题的否定 （一）全称命题：全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等； 全称命题：)(x p M x ，∈∀。
★全称命题的否命题：)(x P M x p ⌝∈∃⌝，：。
（二）存在命题：存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；存在命题：含有存在量词的命题称为存在性命题。
一般形式为：命题P ：)(x p M x ，∈∃。
★存在性命题的否命题：)(x P M x p ⌝∈∀⌝，：。
四、判断复合命题的真假（简单逻辑连接词）（一）逻辑连接词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
（二）复合命题：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)。
（三）复合命题的真假：注：P且q：当P与q同为真时为真，其他情况时为假P或q：p与q同为假时为假，其他情况时为真非p:与P的真假相反谢谢大家下载,本文档下载后可根据实际情况进行编辑修改.再次谢谢大家下载.翱翔在知识的海洋吧.。
第二讲1.2简易逻辑
典型例题解析
例３.（2009 上海 理） “-2≤a ≤2”是“实系数一元二次 方程 x2+ax+1=0没有实根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
解析:△＝a2-4<0时，-2＜a<2，因为“-2≤a ≤2”是“2＜a<2”的必要不充分条件，故选A.
q:方程(x-1)(x-2)=0的根是2; P或q是:
方方程程((xx--11))((xx--22))==00的的根根是是11或或方2;程×(x-1)(x-2)=0的根是2; 如2:已知p:四条边相等的四边形是正方形;
q的角四相边等形的是四正边方形形是正方形; × 且四个角相等的四边形是正方形;
注意:命题的否定与否命题的区别
知识点 知 识 要 点 归 纳
3、反证法: 用反证法证明命题的一般步骤: (1)反设:假设命题的结论不成立;
(2)推矛盾:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；
(3)结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论 正确。
知识点 知 识 要 点 归 纳
4、充要条件:
工人
0
0
0
1
医生
0
1
0
备选例题
这是真值表的另一种使用方法，利用真值 表不仅可以判断复合命题的真假，还可以用来 解决生活中的逻辑问题（0表示命题为假，1表 示命题为真）。
练习
1.下列判断错误的是(B ) A.命题" p且q"的否定命题是"p或q" B.条件 | a | 1且 | b | 2是 | a b | 3的充要条件 C.集合A {a,b, c}, 集合B {0,1},则从集合A到 集合B的不同的映射个数有8个 D.命题p : 若M U N M 则N M ,命题q : 5{2,3}
高中数学简易逻辑知识点
高中数学简易逻辑知识点
摘要：
一、简易逻辑的概念
二、命题与命题联结词
三、逻辑运算规则
四、逻辑表达式的化简
五、逻辑运算的应用
正文：
简易逻辑是高中数学中的一个重要知识点，它主要研究逻辑推理的基本方法和原则。
通过学习简易逻辑，我们可以更好地理解和把握逻辑思维的本质，提高我们的推理能力。
首先，我们需要了解简易逻辑的概念。
简易逻辑，又称直觉逻辑或日常逻辑，是研究人们思维形式和推理规律的逻辑学科。
它以自然语言为载体，通过对命题和命题联结词的分析，探讨推理的基本规律。
命题是简易逻辑的基本概念，它是对事物性质或关系的判断。
命题可以分为肯定命题和否定命题，两者之间的联结词有“且”、“或”、“非”等。
通过命题联结词的组合，我们可以形成复杂的逻辑表达式。
逻辑运算规则是简易逻辑的核心内容。
逻辑运算主要包括合取、析取、蕴含、等价等。
这些运算规则可以帮助我们更好地理解和把握逻辑表达式的意义，从而进行有效的推理。
逻辑表达式的化简是简易逻辑的重要任务之一。
通过对逻辑表达式进行化
简，我们可以简化推理过程，提高推理效率。
化简方法主要包括：去除蕴含符号、否定前提等。
最后，逻辑运算在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，逻辑运算被用于编程和算法设计；在哲学和人文社会科学中，逻辑运算被用于分析和论证观点。
掌握简易逻辑的知识，可以提高我们的逻辑思维能力，更好地应对生活和工作的挑战。
总之，简易逻辑是高中数学中的一个重要知识点，它主要研究逻辑推理的基本方法和原则。
集合和简易逻辑
集合和简易逻辑
集合是由一组确定的元素组成的。
集合中的元素是无序的，且每个元素在集合中只能出现一次。
集合可以以各种形式表示，例如用大括号{}包围元素列表，或使用特定的集合符号表示。
例如，给定两个集合A和B，可以定义集合的交集（表示为A∩B）为包含同时属于A和B的所有元素的集合。
集合的并集（表示为A∪B）是包含属于A或B （或两者）的所有元素的集合。
集合的差集（表示为A-B）是指所有属于A但不属于B的元素的集合。
简易逻辑是一种基于真和假的推理系统。
它使用逻辑运算符（如与、或、非）对命题进行组合，并根据预定义的逻辑规则推导出其他命题。
简易逻辑中的命题可以是真（真命题）或假（假命题）。
逻辑运算符包括：
- 与运算（表示为∧或&&）：只有在两个命题都为真时，整个表达式才为真。
- 或运算（表示为∨或）：只要有一个命题为真，整个表达式就为真。
- 非运算（表示为¬ 或!）：将真命题变为假命题，将假命题变为真命题。
逻辑推理可以通过应用真值表来确定整个逻辑表达式的真假。
真值表列出了逻辑表达式中各个命题的真值，并根据逻辑运算符确定整个表达式的真值。
集合和简易逻辑在数学和计算机科学中都有广泛的应用，用于构建和解决各种问题。
第2讲 简易逻辑
第2讲简易逻辑一、命题（一）知识归纳：1．可以判断真假的语句叫命题。
①含有逻辑联结词，如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题称复合命题。
②复合命题的真值表：“非p”形式的复合命题与p的真假相反；“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假，其它情况时为真；“p且q“形式的复合命题当p与q同时为真时为真，其它情况时为假。
2．命题的四种形式：①原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q 则p。
②一个命题与它的逆否命题是等价的。
③（p或q）= p且q，（p且q）= （p或q）。
（二）学习要点：1．复合命题真假的判断提学习上的难点，应从“真值表”、“集合”、“逆命题”等多个角度进行分析。
2．由简单命题构成复合命题，不一定是简单地加是“或、且、非”等逻辑联结词，另外应注意含“或、且、非”等词汇的命题也不一定是复合命题，在进行命题的合成或分解时一定要检验是否符合复合命题的“真值表”，如果不符要作语言上的调整。
3．命题的“否定”是学习上的重点，因为这是“反证法”证明的第一步，必须注意，命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是对“若p则q“形式的命题而言，同时否定它的条件与结论。
但应注意，关于命题的学习只需作一般性的了解，不必过分钻牛角尖，高考基本上没有要求。
【例1】写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。
{解析}由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。
（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数.（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,q：方程x2－1=0的解是x=－1,（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.{解析}（1）p或q：9是144或225的约数；p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；非p：9不是144的约数.∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假.（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非p”为真.（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.{评析}在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。
第一章 简易逻辑
四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条 件和结论，用﹁p和﹁q分别表示p和q的 否定，于是4种命题的形式就是： 原命题：若p则q。 逆命题：若q则p。 否命题：若﹁p则﹁q。 逆否命题：若﹁q则﹁p。
习题： 一、用=>,<=,<=>填空。 1、x>3 x>2; 2、x^2=2x+3 x=(2x+3)^0.5; 3、a=b a+d=b+d。 二、下列命题中，p是q的什么条件。 1、p：自然数a能被4整除；q：a是偶数。 2、p：两个三角形面积相等; q：两个三角形全等。 3、p：两个三角形对应边相等; q：两个三角形全等。 4、p：sinα>sinβ; q： α > β 。
个新的命题，记作┐p，读作“非p”或“p的否定”。
p
(2)命题┐p真假的判断： 非p形式复合命题 的真值表
p
真 假
┐p
假
真
真 假 相 反
四、如果…那么… 一般地，我们把“如果p,那么q” 形式的复合命题称为条件命题，其 中p称为命题的条件，q称为命题的 结论。
例题：把下列命题改写成如果p,那么q的形式。 1、面积相等的两个三角形全等。 2、负数的立方是负数。 3、奇函数的图像关于原点对称。 4、垂直于同一平面的两个平面平行。
复习
1、命题 （1）、命题的定义和判断；命题的真假。 （2）、命题的表示；命题的分类。 2、逻辑联结词 （1）、逻辑联结词的作用；共有几种？ （2）、用逻辑联结词联结的复合命题的真假判断。 （3）、把命题改写成如果p那么q的形式。
简易逻辑
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互简易逻辑：1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” )3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p ”形式复合命题的真假与P 的真假相反；（2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．4、四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真 6、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 2.充要条件： 条件：p 成立=>结论：q 成立，则称条件p 是结论q 的充分条件；结论：q 成立=>条件：p 成立，则称条件p 是结论 q 的必要条件；条件：p 成立⇔结论 q 成立，则称条件p 是结论q 的充要条件3.命题的否定：是针对整个命题进行否定，不同于否命题。
在命题的否定中,“都”的否定是“不都”，“全”的否定是“不全”等。
简易逻辑
甲是乙的充分条件
例4 ：设甲：x=60°，乙：cosx 1，则甲是乙的什
么条件2Biblioteka 分析：甲里面包含x只有一个，而乙有无数个，所以甲是小范围， 乙是大范围
甲乙
甲是乙的充分条件
例5：设甲：x=60°，乙：tan x 3 ，则甲是乙的什 么条件
分析：甲里面包含x只有一个，而乙有无数个，所以甲是小范围，
简易逻辑
简易逻辑知识点
1.充分条件：如果条件A能推出结论B，则说A是B的充分条件，
记作AB
2.必要条件：如果条件B能推出结论A，则说A是B的必要条件，
记作A B
3.充要条件：如果条件A能推出结论B，条件B也能推出结论A，
则 说 A 是 B 的 充 分 必 要 条 件 ， 简 称 充 要 条 件 ， 记 作 AB
乙是大范围
甲乙
强调：看到 sin,cos,tan，相应一 侧x都有无数个选择。
甲是乙的充分条件
分析：甲里面包含的数字更多，而乙相对较少，所以甲是大范围， 乙是小范围
甲乙
甲是乙的必要条件
练习3.设甲：x<0，乙：x<2，则甲是乙的什 么条件？
甲乙
甲是乙的充分条件
例3：设甲：x=60°，乙：sin x 3，则甲是乙的什
么条件
2
分析：甲里面包含x只有一个，而乙有无数个，所以甲是小范围， 乙是大范围
甲乙
甲是乙的必要条件
例2：设甲：x=-1，乙：|2x+5|=3，则甲是乙 的什么条件
分析：甲里面x只有一个选择，而乙有两个，所以甲是小范围， 乙是大范围
甲乙
甲是乙的充分条件
练习2.设甲：|x|=6，乙：x=-6，则甲是乙的 什么条件？
简易逻辑
简易逻辑命题复合命题全称命题与特称命题充分条件与必要条件一、命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。
（1）命题由题设和结论两部分构成，命题通常用小写英文字母表示，如n m r q p ,,,,等；（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
数学中的定义、公理、定理等都是真命题。
（3）四种命题原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则p ⌝；原命题 逆命题互为 逆否否命题 逆否命题注意：互为逆否命题的两个命题真假性相同。
经典例题1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假；（1）若1<q ，则方程022=++q x x 有实根；（2）若0=ab ，则0=a 或0=b ；（3）若022=+y x ，则y x ,全是零。
二、复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
（1）复合命题的构成形式；1、或命题：p或q，qp∨；2、且命题：p且q，qp∧；3、非命题（即命题p的否定）：非p，p⌝（2）关于否命题与命题的否定命题的否定：只对命题的结论进行否定（否定一次），否命题：对命题的条件和结论同时否定（否定二次）。
（3）常见的否定正面词否定词是不是或且且或等于= 不等于≠大于>不大于≤小于<不小于≥都是不都是一定是一定不是至少一个一个没有至多一个两个及两个以上（4）复合命题的真假判断1、或命题：一真则真，全假才假；2、且命题：一假则假，全真才真；3、非命题：p与p⌝的真假性恰好相反。
经典例题2（1）如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则：p____________q__________（2）已知下列三个方程：①03442=+-+a ax x ，②0)1(22=+-+a x a x ③0222=-+a ax x 中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围。
简易逻辑
例2、把下列常见的写法，改写成复合命题“p且q”、”p 或q”、
“非p”形式。 1) a＝±b
3)a>b≥0 4)
2)a≠±b
x 2 y 1
例3、分别用“p且q”、”p或q”、“非p”填空。 1)命题“12是60 和84的最大公因数”是 式 2)命题“△ABC是等腰三角形”是 3) 命题“△ ≥0”是 的形式 的形 4)命题“方程x2+3x+2＝0的解集不是｛1，2｝是 式 的形 的形式
思考：如何判断复合命题的真假？
1、命题“方程|x|＝1的解是x＝±1,使用逻辑联结词的情况是（ ） A、没有使用逻辑联结词 B、使用了逻辑联结词“或”
C、使用了逻辑联结词“且”
D、使用了逻辑联结词“非” 2、下面四个命题是，是简单命题的是（ ） A、60是5与4的倍数 B、梯形不是平行四边形 C、等腰梯形或矩形对角线相等 x 3x2 0 2 D、不等式的 解是空集
q
真 假 真 假
P或q
真
真 真 假
r或s：
5是8或16的约数
假
例2 练习
小结：
命题：可以判断真假的语句 逻辑联结词：“或” 、“且”、“非”
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：简单命题与逻辑联结词构成。 复合命题的真假判断（真值表）
P 真
假
非P
假 真
p
真 真
q
真 假 真 假
P或q
真
真
p
真 真
这就是我们今天所要学的简易逻 辑。我们先学：逻辑联结词、命 题的关系。
请同学判断下列语句是否真假，并说明理由。
1)12>5， 3)、0.5是整数 5) X >5
1.1.1简易逻辑
断真假的语句，就不能叫命题． • (2)“在2050年前，中国将拥有自主产权的核动力航空母舰．”
这样的猜想目前还不能判断其真假，但是随着时间的推移与 科学技术的发展，总能判断它们的真假，因此，人们把这一 类猜想仍算为命题．
2.命题真假的判定
“若q, 则p”
3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数。 否命题
“若非P, 则非q”
4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。逆否命题
“若非q, 则非p”
关于逆命题、否命题与逆否命题， 也可以这样表述：
• ⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题 是逆命题；
• ⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的 命题是否命题；
1.1 命题
哥德巴赫猜想：每一个大于 等于6的偶数都是两个奇质 数之和。
1.1.1 命 题
【课标要求】 1．了解命题的概念． 2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式． 3. 理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
【核心扫描】
1．命题的概念及结构．(重点) 2．命题真假的判断．(难点)
要判断一个命题为真命题，必须经过严格的逻辑推理行； 要说明一个命题为假命题，一般只需要举一个反例即可．
命题的构成
想一想：下面两 个命题是由几部 分构成的？
(1) 定义于R上的函数f(x),若其为奇函数,则必有f(0)=0
(2)若cos cos 1,则sin( ) 0
• 命题是由条件和结论两部分组成，它的结构形式为
_假__命_题___．
例题1.判断下列语句是否是命题，若是命题，指出真假
（1）空集是任何集合的子集 （真命题）
简易逻辑
3．原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真．4．反证法欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的方法称为反证法．三、充分必要条件1．若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．2．判断充要条件的方法：(1)定义法；(2)逆否法；(3)集合法．逆否法：若┑A⇒┑B,则A是B的必要条件，B是A的充分条件 ;若┑A⇒┑B且┑B/⇒┑A则A是B的必要非充分条件；若┑A⇔┑B，则A与B互为充要条件；若┑A/⇒┑B且┑B/⇒┑A，则A既不是B的充分条件也不是B的必要条件．集合法：从集合观点看，建立命题p，q相应的集合．p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分非必要条件；若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是必要条件．示意图为下图．●易错知识一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆1．命题：方程x2－4＝0的解为x＝±2，使用的逻辑联结词为________．答案：“或”二、已知命题p、q写出复合命题“p或q”，“p且q”一定注意所写命题要符合真值表．2．下面写法对吗？它们与真值表相符吗？(1)p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或x＝2；(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．你知道应该怎样写吗？答案：不对，与真值表不相符．p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根为x＝2.p且q：四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四边形是正方形．三、命题的否定与否命题的混淆3．存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0的否定是________________________________；否命题是________________________________________________．答案：命题的否定是：“不存在实数x使得x2＋x＋1≤0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1>0”否命题是：“不存在实数x，使得x2＋x＋1>0”，即“对所有的实数x4A √3∉A 4p ：( )5．若p ：α6．． 答案：a 、1．命题“A B C D 解析：“答案：A2、（2009A 若x 1=y 1C 若x=y3A．x＝1或C．x2－3x答案：B 4．(ABCD解析：∵P答案：A命题P答案：若a 【例1】(1)10≤10(2)方程x2(3)[解析] (1)是“p或q”形式的复合命题，其中p：10＝10；q：10＜10，为真命题；也可认为是“非p”形式的复合命题，其中p：10＞10.(2)是“非p”形式的复合命题，其中p：方程x2－6x＋1＝0有实根，为假命题．(3)是“p且q”形式的复合命题，其中p：有两个角为45°的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题．[反思归纳] 学习逻辑知识，要学会把复杂命题分拆成简单命题的组合，从而化归为对简单命题的判断，达到判定复合命题真假的结果，并会运用简单命题去构造新的命题．变式探究：分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：a∈{a，b，c}，q：{a} {a，b，c}；(3)p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集是R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为∅.解析：(1)p或q：3是9的约数或18的约数，为真命题．p且q：3是9的约数且是18的约数，为真命题．非p：3不是9的约数，为假命题．(2)p或q：a∈{a，b，c}或{a} {a，b，c}，为真命题.p且q：a∈{a，b，c}且{a} {a，b，c}，为真命题．非p：a∉{a，b，c}为假命题．(3)p或q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集为R或x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．p且q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集为R且x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．非p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集不是R，为真命题．题型二：四中命题之间的关系【例2】判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．[命题意图] 本题主要考查四种命题及其真假的判定.考查分析、推理的能力．[分析] 先写出逆否命题，再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解决．[解答] 解法1：写出逆否命题，再判断其真假.原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根，逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0，判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴△＝1＋4a<0，∴a<－ <0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题.解法2：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明.∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式△＝4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真.又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真.∴pq} ＝{即(1)若a＝b(2)若x2＋(3)若△解析：(1)(2)(3)S△ABC≠S△PQR，则△ABC与△PQR不全等，此命题为真.题型三：充要条件的求解与判定【例3】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；(2)对于实数x、y、p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sin A＞sin B，q：tan A＞tan B；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解析] (1)在△ABC中，显然有∠A＞∠B⇔BC＞AC，∴p是q的充要条件．(2)∵逆否命题：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，∴p是q的充分不必要条件．(3)取A＝120°，B＝30°，p⇒/ q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/ p，∴p是q的既不充分又不必要条件．(4)∵p：x＝1且y＝2，q：x＝1或y＝2，∴p是q的充分不必要条件．[反思归纳] (1)分析p是q的什么条件时，一定要结合命题p与q所涉及的知识，进而全面分析，严格按四种条件的结构和定义进行判断．(2)分析判断时，为了得出命题p与q的准确关系，有时需对命题p与q进行化简，然后再分析．变式探究(2009²陕西，7)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C(2007²高考山东卷)下列各小题中，p是q的充要条件的是( )①p：m＜－2或m＞6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点．②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数．③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A; q：∁U B⊆∁U A.A．①②B．②③C．③④D．①④答案：D解析：①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：△＝m2－4(m＋3)＞0⇔q：m＜－2或m＞6⇔p；【例4】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出其逆否命题，并证明你的结论．[分析][解答] (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的．可用反证法证明它．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾．∴逆命题为真．(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.此命题为真命题．可证明原命题为真来证明它．∵a＋b≥0.①若a＋b>0，则a>－b，b>－a，由f(x)在(－∞，＋∞)上递增，∴f(a)>f(－b)，且f(b)>f(－a)，因此f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．②若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a，由函数的定义知f(a)＝f(－b)，且f(b)＝f(－a)，因此f(a)＋f(b)＝f(－a)＋f(－b)．综上所述，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．[总结评述] 在本题(2)的证明过程中，既用到了函数的单调性，又用到了函数的定义．题型四：反证法求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c均为常数)至多有两个不等实数根．分析：含有“至少”、“至多”、“不存在”等词语的数学命题，常用反证法．证明：假设方程ax2＋bx＋c＝0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎧即⎩⎪⎨⎪⎧ a (x 1＋x 2)＋b ＝0 ④ 规律方法提炼： 1．否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词．2．原命题⇔它的逆否命题，(原命题的否命题⇔原命题的逆命题)因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题．3．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 也是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 与q 互为充要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“⇒”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用．对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”，然后分别作出相应的证明．但要判断两个涉及具体内容的命题p 与q 之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键．。
二 简 易 逻 辑
二简易逻辑1. 什么是简易逻辑？简易逻辑是一种基于常识和简单推理的思维方式，用于解决问题、做出决策和分析事物之间的关系。
它不依赖于复杂的数学或哲学理论，而是以常识和日常经验为基础，通过简单的推理和类比来得出结论。
简易逻辑强调直观和通俗的表达方式，使得逻辑推理更容易理解和操作。
它适用于各种领域，如科学、商业、法律等，能够帮助人们更好地解决问题和做出决策。
2. 简易逻辑的基本原则简易逻辑遵循几个基本原则，使其更加直观和易于理解。
•简单性原则：简易逻辑强调用最简单的方式解释问题和推理过程。
它避免使用复杂的术语、符号和概念，使得逻辑推理更易于理解和接受。
•直观性原则：简易逻辑注重直观和通俗的表达方式。
它使用常见的语言和图像来说明问题，使得逻辑推理更具直观性和可操作性。
•常识性原则：简易逻辑基于人们的常识和日常经验。
它通过将问题和情境与人们已有的知识和经验进行对比和类比，来进行逻辑推理。
3. 简易逻辑的应用领域简易逻辑可以应用于各种领域，帮助人们更好地解决问题和做出决策。
•科学领域：在科学研究中，简易逻辑可以帮助科学家们理清实验数据之间的关系，更好地解释观察结果，并推断出可能的因果关系。
•商业领域：在商业决策中，简易逻辑可以帮助企业分析市场数据、竞争对手和消费者行为，从而更好地制定营销策略和产品定位。
•法律领域：在法律解释和判决中，简易逻辑可以帮助律师理清案件事实、证据和法律条款之间的关系，从而更准确地判断案件的赢得机会和法律依据。
4. 简易逻辑的优势和局限简易逻辑相比于更复杂的逻辑系统，具有以下优势：•易于理解：简易逻辑使用通俗的语言和直观的图像，使得逻辑推理更易于理解和接受。
•灵活性：简易逻辑不依赖于严格的公式和规则，使得人们可以根据实际情况进行自由推理和分析。
然而，简易逻辑也有一些局限性：•片面性：简易逻辑基于个人的常识和日常经验，可能忽视了某些复杂的因素和变量，导致结论的片面性。
•推理不严谨：简易逻辑没有严格的推理规则和证据要求，可能导致逻辑推理的不准确性和不严谨性。
简易逻辑
选修2-1---四种命题及简易逻辑一、四种命题及其相互关系。
原命题是“若p 则q ”，则：逆命题为“若q 则p ”否命题为“若﹁p 则﹁q ”逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。
提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
但原命题与逆命题、否命题都无必然真假关系；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；1、写出命题：“若a b >，则11a b +>+”的否定与否命题，并加以区别。
2、写出命题“若3x >，则5x >”的否定（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
1、“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为__________2、在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集；③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0；④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0；⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．3、(2013·济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝() A．1 B．2C．3 D．44、(2014·南昌市模拟)给出下列命题：①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n }为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋1＋∞)上为增函数”的充要条件；③m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx －6y＋5＝0互相垂直的充要条件；④设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件；其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．二、复合命题真假的判断。
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我们在生活中经常会碰到这种“若…， 则…”的句型，那么这种句型在数学中 我们怎么描述呢？
命题
概念：判断真假的句子叫做命题。命题分
为条件和结论两个部分。
例：若X＝3，则X²＝9。此命题就是当X＝3时， 我们判断X²＝9是真是假。“若X＝3”就是命题 的条件，“则X²＝9”就是命题的结论。 一个数学命题都包含有条件和结论两部分，如 果把条件和结论分别用p和q来表示，那么命题 可以写成“若p成立，则q成立”，简称“若p， 则q”。
课后作业
判断下列命题中的p和q的关系
① p：若X＝2
② p：若X是正方形
q：则X²＝4
q：则X有四条边
③ p：若咱班全是男生 q：则咱班没女生
④ p：若X＝Y
2
q：则X＋2＝Y＋
例题解析
下列命题中p是不是q的充分条件？ ①p：若X＝1 q：则X²＋1＝2
②p：若X为正方形
③p：若X²＝1
q：则X为平行四边形
q：则X³＝1
如果“若p，则q”是假命题，即p不能推
出q，这时我们说p是q的不充分条件。
练习巩固
判断下列命题中p和q的关系 ① p：若X＝1 q：则X²＝1 充分不必要 ② p：若X＝Y q：则X²＝Y² 充分不必要 ③ p：若X是三角形 q：则X内角和为180° 充要 ④ p：若X²＝4 q：则X＝2 必要不充分
简易逻辑
复习回顾
练习1：A＝{X/0＜X＜5}，B＝{X/4＜X＜ 7} 求A∩B和A∪B。
练习2：全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,6}， B＝{1,2,3,4}，求Cu（A∩B）。
生活处处有数学
若明天下雨，则操场会被打湿； 若1＋2＝X，则X＝3； 若普通人5天不喝水，则会渴死。
命题分为真命题和假命题。真命题是条件成立时结论 也成立的命题，假命题是条件成立时结论不一定成立 的命题。
命题的分类
例：若X²＝9，则X＝3。 是一个假命题 若X²＝Y²，则X＝Y。 是一个假命题 若1＋2＝X，则X＝3。 是一个真命题
ห้องสมุดไป่ตู้
充分条件和必要条件
概念：一般地，当“若p，则q”命题 为真命题时，是指由条件p可以推理出 结论q，这时我们就说由p可推出q， 记作p⇒q，此时我们把p叫做q的充分 条件，q叫做p的必要条件。