秋九年级数学上册341相似三角形的判定第4课时相似三角形的判定定理3习题新湘教
湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案
湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。
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湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析一．解答题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．3．如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．4．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．5．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．6．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC=，AB=．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．（1）若BC=8，求FD的长；（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE．8．如图：方格纸中的每个小正方形边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．①判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；②点P1，P2，P3，D，F都是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．（写出一个即可，并在图中连接相应线段，不必说明理由）9．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．10．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD，相交于点F．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）图中共有对相似三角形（全等除外）．并请你任选其中一对加以证明．你选择的是．12．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．湖南省澧县张公庙镇中学2015-2016学年湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析参考答案与解析一．解答题（共12小题）1．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．2．（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．3．解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．4．证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．5．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE．6．解：（1）如图，由勾股定理，得AC==2．AB==2故答案是：2，2；（2）如图所示，BC==2．又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．tan∠1==．综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：如图，DE=DF==，EF==．则===2，所以△CAB∽△DEF．7．解：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴，DE∥BC．∴∠AED=∠C．∵∠F=∠C，∴∠AED=∠F，∴FD==4；（2）∵AB=AC，DE∥BC．∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE，∵∠AED=∠F，∴∠ADE=∠F，又∵∠AED=∠AED，∴△ADE∽△DFE．8．解：①△ABC和△DEF相似．理由如下：∴===，∴△ABC∽△DEF；②△ACB∽△DP3P2．理由如下：∵由①知，△ABC∽△DEF，∴∠D=∠A．连接DP2P3，DP3=，DP2=，P2P3=．∵==，∴△ACB∽△DP3P2．9．证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AEC=∠AFB=90°．∵∠A是公共角，∴△ABF∽△ACE．∴，∴，又∠A是公共角，∴△AEF∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．11．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠ABD=∠C=60°，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）4对，分别是△BDF∽△BEC，△DBF∽△DAB，△AFE∽△ACD，△AFE∽△BAE，选择证明△AEF∽△BEA，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，∵BD=CE，∴AE=CD，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠DAC=∠ABE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA．12．（1）解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）△ABD∽△ACE．证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴=，∴AB×AE=AC×AD，∴=，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．初中数学试卷桑水出品。
【湘教版】九年级数学上册：3.4《相似三角形的判定与性质》教案(含答案)
3.4相似三角形的判定与性质3.4.1相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)教学目标【知识与技能】经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程.【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐.【教学重点】三角形相似的判定定理及应用.【教学难点】三角形相似的判定定理及应用.教学过程一、情景导入，初步认知现有一块三角形玻璃ABC, 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.二、思考探究，获取新知1.在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.2.如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC相似.证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.3.任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′=∠A，∠B′=∠B.（1）∠C′=∠C吗？（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题.如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似.4.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90°,而∠BHF=∠DHE，∴∠D=∠B，又∵∠HED=∠C=90°，∴△DEH∽△BCA．三、运用新知，深化理解1.见教材P78例2、P80例4.2.判断题：（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（）（2）所有的直角三角形都相似. （）（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（）【答案】 (1)√;(2)×;(3)×;(4) √3.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD ∽_____∽____.解析：关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1=∠4（对顶角），由AB∥DG可得∠3=∠G，所以△EGC ∽△EAB.【答案】△EGC△EAB4.已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求证：△ABC∽△DEF .证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A －∠B=180°－40°－80°=60°，∵在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF.（两角对应相等，两三角形相似）5.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°，在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，∴△ABC∽△BCD.6.已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.证明: ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，（两角对应相等，两三角形相似）同理△CBD ∽△ABC，∴△ABC∽△CBD∽△ACD.【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题3.4”中第2 题.教学反思通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明.。
湘教版九年级数学上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题(解析版)
初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，DE//BC，ADAB =23，则S△ADES四边形DBCE的值是()A. 45B. 1 C. 23D. 492.如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角()A. 都扩大为原来的5倍B. 都扩大为原来的10倍C. 都扩大为原来的25倍D. 都与原来相等3.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为()A. √5B. √6C. √10D. 64.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为()A. 14B. 15C. 8√3D. 6√55.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：26.如图，在△ABC中，AB=AC=6，D为AC上一点，连接BD，且BD=BC=4，则DC为()A. 2B. 52C. 83D. 57.下列判断中正确的个数有()①全等三角形是相似三角形②顶角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤两个位似三角形一定是相似三角形．A. 2B. 3C. 4D. 58.如图，△ABC中，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是()A. ADDB =DEBCB. EFAD=BFBCC. EFAB=DEBCD. AEEC=BFFC9.如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若AFDF =32，则下列结论正确的是()A. AEBE =35B. EFCD=35C. EFFG=23D. EGBC=2310.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的一点，且DE//BC，若S△ADE：S△ABC=4：9，则DE：BC等于()A. 4：9B. 2：3C. 4：5D. 1：2二、填空题11.已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3.则△ABC与△DEF的面积之比为______．12.如图，已知反比例函数y=−1x的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为______．13.如图所示，n+1个边长为1的等边三角形，其中点A，C1，C2，C3，…C n在同一条直线上，若记△B1C1D1的面积为S1，△B2C2D2的面积为S2，△B3C3D3的面积为S3，…，△B n C n D n的面积为S n，则S n=______．14.如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：EF=______．15.如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM=______．三、解答题16.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=______时，CD为△ABC的完美分割线；(2)如图2，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．17.如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC(三个顶点都在方格顶点上的三角形)(1)请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似(不全等)，且相似比为有理数；(2)请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．18.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE．(1)求证：AE2=EF⋅BE；(2)若AE=2，EF=1，CF=4，求AB的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=49，∴S△ADES四边形DBCE =45，故选：A．利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.【答案】D【解析】解：∵所得的三角形与原三角形相似∴三角形的每个角都与原来相等故选：D．三角形的每条边都扩大为原来的5倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是1：5，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等．本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等．3.【答案】C【解析】【分析】由∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出AC AB =ADAC，将AB=AD+BD=5，AD=2代入即可求出AC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边的比成比例是解题的关键．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，即AC2+3=2AC，∴AC=√10或AC=−√10(舍去)．故选C．4.【答案】A【解析】解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE=∠BCH=45°，∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°∴B，C，H共线，A，C，I共线，∵DE//AI//BH，∴∠CEP=∠CHQ，∵∠ECP=∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴PCCQ =CECH=EPHQ=12，∵PQ=15，∴PC=5，CQ=10，∵EC：CH=1：2，∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ//AB，∵AC//BQ，CQ//AB，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB=CQ=10，∵AC2+BC2=AB2，∴5a 2=100，∴a =2√5(负根已经舍弃)，∴AC =2√5，BC =4√5，∵12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CJ ， ∴CJ =2√5×4√510=4，∵JR =AF =AB =10，∴CR =CJ +JR =14，故选：A ．如图，连接EC ，CH.设AB 交CR 于J.证明△ECP∽△HCQ ，推出PC CQ =CE CH =EP HQ =12，由PQ =15，可得PC =5，CQ =10，由EC ：CH =1：2，推出AC ：BC =1：2，设AC =a ，BC =2a ，证明四边形ABQC 是平行四边形，推出AB =CQ =10，根据AC 2+BC 2=AB 2，构建方程求出a 即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，AD =2，A′D′=3，∴AB A′B′=AD A′D′=23，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比=(23)2=49，故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 6.【答案】C【解析】解：如图，作BE⊥AC于E．∵BD=BC，BE⊥CD，∴EC=DE，设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，∴62−(6−x)2=42−x2，，解得x=43∴CD=2EC=8，3故选：C．如图，作BE⊥AC于E.设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，由此构建方程求出x即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】B【解析】解：①全等三角形是相似三角形，正确；②顶角相等的两个等腰三角形相似，正确；③所有的等腰三角形不一定相似故此选项错误；④所有的菱形都相似，错误；⑤两个位似三角形一定是相似三角形，正确．故选：B．直接利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质分别判断得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定方法以及位似图形的性质、相似多边形的判定方法，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵DE//BC，EF//AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，∴△ADE∽△EFC，DE=BF，∴AEEC =DEFC=BFFC．故选：D．由DE//BC，EF//AB可得出△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，再利用相似三角形的性质及平行四边形的性质可得出AEEC =BFFC，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，利用相似三角形的性质及平行四边形的性质找出AEEC =BFFC是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵∠EAG=∠CAB，∠AEG=∠C，∴△AEG∽△ACB，∴AEAB =EGBC=AFAD=32+3=35，∵AD平分∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠AEG=∠C，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=35．故选：B．先证明△AEG∽△ACB，利用相似比得到AEAB =EGBC=35，再证明△AEF∽△ACD，利用相似比得到EFCD =AFAD=35，从而得到正确答案．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．10.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE：S△ABC=4：9，∴DE：BC=2：3．故选：B．由DE//BC，即可证得△ADE∽△ABC，又由S△ADE：S△ABC=4：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11.【答案】9【解析】解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，∴△ABC与△DEF的面积之比为9．故答案为9．直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．12.【答案】y=13x【解析】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵反比例函数y=−1x的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=30°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴ADEO =ODCE=OAOC=tan60°=√3，∴S△AODS△OCE=(√3)2=3，∵点A是双曲线y=−1x在第二象限分支上的一个动点，∴S △AOD =12×|xy|=12， ∴S △OCE =16，即12×OE ×CE =16， ∴OE ×CE =13， ∴这个图象所对应的函数解析式为y =13x ．故答案为：y =13x ．连接CO ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，证明△AOD∽△OCE ，根据相似三角形的性质求出△AOD 和△OCE 面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S △AOD ，得到S △EOC ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义求解．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE 是解题关键．13.【答案】√3n 4(n+1)【解析】解：由题意可知，S 1=S △B 2D 1C 1=12S △AC 1B 2=12S △AC 1B 1，S 2=S △B 3D 2C 2=13S △AC 2B 3=23S △AC 1B 1，S 3=S △B 4D 3C 3=14S △AC 3B 4=34S △AC 1B 1，…，所以S n =n n+1S △AC 1B 1，∵S △AC 1B 1=12×1×√32=√34， ∴S n =√3n 4(n+1)， 故答案为：√3n 4(n+1) 首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型． 14.【答案】12【解析】解：作EH//BC 交AD 于H ，则△AEH∽△ABD ，∴HEBD =AEAB=16，∵BD=13BC，∴CD=2BD，∴HECD =112，∵EH//BC，∴△CFD∽△EFH，∴CFEF =CDHE=12，即CF：EF=12，故答案为：12．作EH//BC，根据△AEH∽△ABD，得到HEBD =AEAB=16，证明△CFD∽△EFH，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键．15.【答案】2或252【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，BA=BC，∵PB⊥BF，∴∠PBM=90°，∵∠ABP+∠CBP=90°，∠CBP+∠CBM=90°，∴∠ABP=∠CBM，∴当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM，解得BM=2；当BABM =BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，解得BM=252，综上所述，当BM为2或252时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．故答案为2或252．先利用等角的余角相等得到∠ABP=∠CBM，利用相似三角形的判定方法得到当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM；当BABM=BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，然后分别利用比例的性质求BM的长．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．16.【答案】40°【解析】解：(1)当∠BCD=40°时，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；故答案为：40°；(2)①∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，∵AC=AD=2，BC=√2，设BD=x，则AB=2+x，∴√2x+2=x√2，解得x=−1±√3，∵x>0，∴BD=x=−1+√3，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC =BDBC，∵AC=2，BC=√2，BD=−1+√3∴CD=2×√3−1√2=√6−√2，如图3，②∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =ADAC，∴AD+√2=AD2，∴AD=√2，∴AB=2√2，∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =CDBC，∴22√2=CD√2，∴CD=1，如图4，③∵△CDB∽△ACB，∴CDAC =BCAB，∴CD2=√2AD+DB=√2，即CD2=√2CD+DB=DB√2，CD=√2DB，CD2+DB⋅CD=2√2，CD⋅BD+DB2=2，∴CD2−DB2=2√2−2，∴DB=√2√2−2，∴CD=2√√2−1；如图5，④∵△ACD∽△ABC，∴ADAC =CDBC=ACAB，∴AD2=CD√2=ACAB，∴CD=AD√2，同理解得：CD=√4−2√2，如图6，⑤△ADC∽△ACB，CD=BC=√2综上所述，CD的长为√6−√2或1或√2或√4−2√2或2√√2−1．(1)根据已知条件得到△ABC不是等腰三角形，求得∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，得到∠ACD=∠A=40°，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图2所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为2；(2)如图3所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为√5．【解析】(1)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；(2)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．此题主要考查了相似变换，正确应用网格分析是解题关键．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ABE，∴∠DAC=∠ABE，∵∠EAF=∠EBA，∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB=EF：EA，∴AE2=EF⋅BE；(2)∵AE2=EF⋅BE，∴BE=221=4，∴BF=BE−EF=4−1=3，∵AE//BC，∴AFFC =EFBF，即AF4=13，解得AF=43，∵△EAF∽△EBA，∴AFAB =EFAE，即43AB=12，∴AB=83．【解析】(1)利用平行四边形的性质得到AD//BC，则∠DAC=∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；(2)先利用AE2=EF⋅BE计算出BE=4，则BF=3，再由AE//BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF=43，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．。
新洲区三中九年级数学上册第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质3.4.1相似三角形的判定第4课
O , ∠BAD=60° , BD =6 , 求菱形的边长AB和対角线AC的
长.
解 : ∵四边形ABCD是菱形 ,
∴AC⊥BD(菱形的対角线互相垂直)
OB=OD= 1
2
平分)
BD1 =
2
×6=3(菱形的対角线互相 B
在等腰三角形ABC中 ,
O
针对训练
1. 已知 : 如右图,在□ABCD中,対角线AC与BD相交于点O,
解 : ∵四边形ABCD是矩形.
A
D
∴AC = BD(矩形的対角线相等).
O
OA= OC= 1 AC,OB = OD = 1 BD , B
C
2
2
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= 1
A (180°- 120°)=30°.
D
2
又∵∠DAB=90° ,
O
B
C
〔矩形的四个角都是直角〕
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE ,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
A
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
针对训练
4.如下图,在□ABCD中,対角线AC与BD相交于点O , △ABO是
等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解 : ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
A
D
湘教版数学九年级上册3.4.1《相似三角的判定》(第4课时)说课稿
湘教版数学九年级上册3.4.1《相似三角的判定》（第4课时）说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.4.1《相似三角形的判定》是本册教材中的重要内容，它为学生提供了判断两个三角形相似的方法，并进一步学习了相似三角形的性质。
本节课的内容是在学生已经掌握了三角形的基本知识以及全等三角形的基础上进行的，为后续学习相似三角形的应用打下基础。
本节课的主要内容包括：相似三角形的定义、相似三角形的判定方法以及相似三角形的性质。
其中，相似三角形的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握两个三角形对应角度相等、对应边成比例的概念。
相似三角形的判定方法是本节课的重点内容，学生需要学会运用AA、SSS、SAS三种方法判定两个三角形相似。
相似三角形的性质是本节课的难点内容，学生需要理解并掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等的性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的基本知识有了初步了解，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，学生在学习本节课时，仍存在以下困难：1.学生对相似三角形的定义理解不够深入，容易与全等三角形混淆。
2.学生对相似三角形的判定方法掌握不牢固，特别是在实际应用中，无法灵活运用。
3.学生对相似三角形的性质理解不透彻，无法运用性质解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、交流等活动，培养直观思维能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生体会数学与现实生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的定义，相似三角形的判定方法，相似三角形的性质。
2.教学难点：相似三角形的性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等，引导学生主动探究，提高学生的问题解决能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，直观展示相似三角形的判定过程，增强学生的直观感受。
湘教版九年级数学上册第4课时 相似三角形的判定定理3
第4课时 相似三角形的判定定理301 基础题知识点 三边成比例的两个三角形相似1、将一个三角形的各边都缩小12后，得到的三角形与原三角形(A) A 、一定相似 B 、一定不相似C 、不一定相似D 、不能判断是否相似2、甲三角形的三边分别为1，2，5，乙三角形的三边分别为5，10，5，则甲乙两个三角形(A)A 、一定相似B 、一定不相似C 、不一定相似D 、无法判断是否相似3、已知△ABC 的三边长分别为6 cm 、7、5 cm 、9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，要使这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可以是(C)A 、2 cm ，3 cmB 、4 cm ，5 cmC 、5 cm ，6 cmD 、6 cm ，7 cm4、如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是三边成比例的两个三角形相似、5、若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝3cm 时，△ABC ∽△DEF 、6、△ABC 和△A′B′C′符合下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似、BC ＝2，AC ＝3，AB ＝4；B′C′＝2，A′C′＝3，A′B′＝2、解：在△ABC 中，AB>AC>BC ，在△A′B′C′中，A′B′>A′C′>B′C′，BC B′C′＝22＝2，AC A′C′＝33＝3，AB A′B′＝42＝2、 ∴BC B′C′≠AB A′B′≠AC A′C′、 ∴△ABC 与△A′B′C′不相似、7、如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由、解：△ABC ∽△DBE 、理由如下：∵AC DE ＝36＝12，BC BE ＝48＝12，AB DB ＝510＝12， ∴AC DE ＝BC BE ＝AB DB、 ∴△ABC ∽△DBE 、02 中档题8、下列能使△ABC 和△DEF 相似的条件是(C)A 、AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝ cB 、AB ＝1，AC ＝1、5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝1C 、AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝6D 、AB ＝2，AC ＝3，BC ＝5，DE ＝6，EF ＝3，DF ＝39、如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的(C)A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁10、(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3、4及x ，那么x 的值(B)A 、只有1个B 、可以有2个C 、可以有3个D 、有无数个11、如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：△ABC ∽△EFD 、证明：∵DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE AC ＝EF AB ＝DF BC ＝12、 ∴△ABC ∽△EFD 、12、如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△EDF 的顶点都在网格的格点上、(1)求证：△ABC ∽△EDF ；(2)求∠BAC 的度数、解：(1)证明：∵DE ＝2，DF ＝12＋32＝10，EF ＝2，AB ＝12＋22＝5，AC ＝12＋32＝10，BC ＝5，∴AB DE ＝AC EF ＝BC DF ＝102、 ∴△ABC ∽△EDF 、(2)∵△ABC ∽△EDF ，∴∠BAC ＝∠DEF 、∵∠DEF ＝90°＋45°＝135°，∴∠BAC ＝135°、13、已知一个三角形框架的三边长分别为3米、4米、5米，现要做一个与其相似的三角形框架，已有一根长为2米的木条，问其他两根木条可选多长？共有多少种不同选法？解：(1)若2米的木条为最短边，设其他两根木条的长分别为x m 和y m ，则32＝4x ＝5y ，解得x ＝83，y ＝103、 (2)若2米的木条为第二长的边，设其他两根木条的长分别为x m 和y m ，则3 x＝42＝5y，解得x＝32，y＝52、(3)若2米的木条为最长边，设其他两根木条长分别为x m和y m，则3 x＝4y＝52，解得x＝65，y＝85、03综合题14、(菏泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC是直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点，并且与△ABC相似、解：(1)证明：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2、∴△ABC为直角三角形、(2)△ABC和△DEF相似、理由：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝42，DF＝22，EF＝210、∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝104，∴△ABC∽△DEF、(3)如图，△P2P4P5即为所求、。
九年级数学上册第3章341相似三角形的判定第4课时相似三角形的判定定理3同步练习新版湘教版.docx
第3章图形的相似3.4.1相似三角形的判定第4课时 相似三角形的判定定理（3）知识点 三边成比例的两个三角形相似1.把一个三角形的三边都扩大为原来的2倍，则得到的三角形与原三角形（）A. 一定相似B. —定不相似C. 可能相似，也可能不相似D. 以上都不对3.已知农的三边长分别为6 cm, 7 cm, 8 cm, △必尸的一边长为4 cm,当△必卩的 另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A. 2 cm, 3 cmB. 3 cm, 4 cmC. 3 cm, 3. 5 cm D- 6 cm, 7 cm4-已知△血乞与£ C 中，BC=8, AC=9, A f C =4.5, B r C =4,要 使厶ABCs X B ' C ,则必有才B'= __________________________________________ .5. 如图 3-4-50, ABC 的三边长分别为 AB=3 cm,况=3. 5 cm,必=2. 5 cm ； /\DEF的三边长分别为加 =3. 6 cm, EF=A.2 cm, FD=3 cm. /XA8C 与△财是否相似？为什么？图 3—4—50图 3-4-48 如图3-4-48, 臆与下列哪一个三角形相似（B C图 3-4-49B 乙 -------C E3.5 cm6.依据下列条件，判断与R f C是否相似，并说明理由.弭〃=12 cm, BC=\5 cm,力C=24 cm,A fB r =20 cm, B r C‘ =40 cm, A fC =25 cm.7.如图3-4-51,在A F分别是弭丛ACk的点，已知初=2, DB=5 AE&如图3-4-52，网格图中每个方格都是边长为1的正方形.若B, C, D, E,尸都是格点，试说明：'ABCs'DEF.图3-4-529.如图3-4-54所示的四个三角形中，与图3-4-53中的三角形相似的是（）=3, 6F=4.5, DE=4,图 3-4-54(3)Z/=Z/T ； (4)Zr= AC .如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定 'ABCsB' C 的共有( )A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组11. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的三 边长分别是3, 4,乳那么/的值()A.只有1个B.有2个C.有3个D.有无数个12. 试判断图3-4-55 +的两个三角形是否相似，并说明理由. 图 3—4 — 55求证：/XABC S ADBE. 图 3-4-5614. 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4, 5, 6, 另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似？想想看，你有几种解决 方案？15. 如图3-4-57,方格纸屮每个小正方形的边长为1, AABC 和ADEF 的顶点都在方格 纸的格点上.(1) 判断和ADEF 是否相似，并说明理由；(2) Pi, P 2, P 3, P.i, P 5, D, F 是2XDEF 的边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点 作为三角形的顶点，使构成的三角形与AABC 相似.(要求写出2个符合条件的三角形，不必 说明理由)10.在与B' C 中，有下列条件：⑴ AB ______BC A f B f = B f C2d 2'4B C 13.如图3—4 — 56,已知B D B A D C=错误!. BC B 1 C'图3-4-57AD AE DE:• 'ADEs 'ABC.8. 解：因为 AC=y[2f BC=y[lb f AB=4, DF=2 © EF=2顾,DE=R, 匹_些_坐—丄助以刀尸刀尸厩尸另所 UHABC S /\DEF.9. B ［解析］设单位正方形的边长为1,则给出的三角形三边长分别为迈，2 © 倾, 仅B 选项屮的三角形三边长与它的各边长成比例，故选B.10. C ［解析］能判定△ ABCsM B f C 的有：(1)(2), (2)(4), (3)(4), 能判定 △/〃C 、s △川C的共有3组.11. B ［解析］・・•已知直角三角形的两条边长分别是6和8,・••当第三边为直角三角形 的斜边时，由勾股定理得斜边长为何农=10；当第三边为直角三角形的直角边时，由勾股 定理得第三边长为乜炉一6，= 2⑴.・・・当三边长分别为6, 8, 10吋，若另一个与它相似的直 角三角形的边长分别是3, 4, /时，由相似三角形对应边的比相等可知，/为斜边长，・・・•!= —，解得 心5；当三边长分别为6, 2“ 8时，则无应为直角边长，・・.£=◎□,解得％X o X=寸，・・・x 的值有2个.故选B.12. 解：相似.理由如下：在 中，BC=^AI^-Ad =^/32-2.42 =1.8,在 Rt △化尸中,DF=pDf _EF =茁_3. 6，= 4. 8,所以△/b%、s △沏详解详析1. A ［解析］所得到的三角形与原三角形三边的比均为2 : 1,所以三边对应成比例, 因此这两个三角形一定相似.2. D ［解析］因为詈=気=磊=|,所以两个三角形相似.3. C4.35.解：'ABCs'DEF.理由如下:•: CACABCBC,肋＜%＜防，且咯=¥=活 3 6AB __3__5 BC 3.5 5FD CA AB BC A A ・•・矿沪厉・•・△宓s △滋6.解：HABCsy A rC . .・ AB BC SC 3 理由：V J , B' =A'C =B' C =5f A 9 C△夕 A f C •7.证明： V^=3, •:AD=2、DB=3, :.AB=AD+DB=^.CE=4.5, :.AC=AE+CE=1. 5.AE __3__2 J?=7T5 = 5 DE±2所以AB BC AC\BD AD AB• • _:./XABD^/XCBE,:.乙ABD=ZCBE,・・・上ABC= ADBE.BD AB BD BE• • _____ __ •• BE~BC AB~BC:•'ABC S \DBE.14.①当长为2的边的对应边的长为4时，V4 : 2=2 : 1,且一个三角形框架的三边长分别是4, 5, 6,・・・另一个三角形对应的三边长分别为2, 2.5, 3；②当长为2的边的对应边的长为5时，・・・5 ： 2=2.5 ： 1,且一个三角形框架的三边长分别是4, 5, 6, ・・・另一个三角形对应的三边长分别为1.6, 2, 2.4；③当长为2的边的对应边的长为6时，V6 : 2=3 : 1,且一个三角形框架的三边长分别是4, 5, 6,4 5・••另一个三角形对应的三边长分别为丁 2.综上，有三种解决方案.15.(1)ZV0C和△妙相似.理由：根据勾股定理，得AB=2、/L AC=y[5f BC=5,DE=4 ^2, DF=2 EF=2顾,.AB AC BC ^5 ••矿矿沪2 V?:・ 'ABCs \DEF.(2)答案不唯一，下面6个三角形屮的任意2个均可.\P\RF, HPTD\P\PD△加尽\P.FD.。
九年级数学上册第3章图形的相似3.4.1相似三角形的判定第4课时相似三角形的判定定理(3)练习湘教
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第3章图形的相似3。
4。
1 相似三角形的判定第4课时相似三角形的判定定理（3)知识点三边成比例的两个三角形相似1．把一个三角形的三边都扩大为原来的2倍，则得到的三角形与原三角形（）A．一定相似B．一定不相似C．可能相似，也可能不相似D．以上都不对图3－4－482．如图3－4－48，△ABC与下列哪一个三角形相似( )图3－4－493．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7 cm，8 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( ）A．2 cm，3 cm B．3 cm，4 cmC．3 cm，3。
5 cm D．6 cm，7 cm4．已知△ABC与△A′B′C′中，AB＝6，BC＝8，AC＝9，A′C′＝4。
5，B′C′＝4，要使△ABC∽△A′B′C′，则必有A′B′＝________．5．如图3－4－50,△ABC的三边长分别为AB＝3 cm,BC＝3.5 cm,CA＝2.5 cm;△DEF的三边长分别为DE＝3.6 cm,EF＝4。
湘教版九年级上册数学习题课件3.4.1.4相似三角形的判定定理3
14．如图所示，AADB＝AACE＝DBCE＝32，若 BD＝10 cm，则 AD＝___2_0____cm.
15．如图，在正方形网格上画出梯形ABCD，连接BD，则 ∠BDC的度数是____1_3_5_°_____． 16．如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；② △BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中 ②～⑥中与①相似的是___③__④__⑤____．(填序号)
17．(14分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上， 且AB＝BD＝DE＝EC，求证：△AED∽△CDA.
解：证明：∵△ABC 中，∠B＝90°，CE＝DE＝BD＝AB， ∴△ADB 为等腰直角三角形，DC＝CE＋DE＝2CE＝
AB
2AB，∴∠ADB＝45°，即
sin∠ADB＝AADB，∴AD＝
8．(3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点P在DC 上，当AP＝__2_5_____时，△ADP∽△ABC.
9．(3 分)已知在△ABC 和△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，
下列条件中：①∠A＝∠D；②DACF＝BECF；③DACF＝DABE；④DACF ＝DABE＝BECF.其中能判断△ABC∽△DEF 的有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解：(1)根据勾股定理，得 AB＝2 5，AC＝ 5，BC＝5.
显然有 AB2＋AC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理得 △ABC 为直角三角形；
(2)△ABC 和△DEF 相似，根据勾股定理得，DE＝4 2，
DF ＝ 2
2 ， EF ＝ 2
10
，
∴
AB DE
＝
AC DF
＝
BC EF
九年级数学上册3.4相似三角形的判定与性质3.4.1相似三角形的判定第4课时利用三边证相似练习(新版)湘教版
第4课时利用三边证相似一、选择题1．如图K－24－1，已知△ABC与△DEF相似，它们的相似比为1∶2，则下列图形中，满足上述条件的△DEF是( )图K－24－1图K－24－22．下列四组条件中，能判定△ABC∽△DEF的是( )A．∠A＝45°，∠B＝55°；∠D＝45°，∠F＝75°B．AB＝5，BC＝4，∠A＝45°；DE＝10，EF＝8，∠D＝45°C．AB＝6，BC＝5，∠B＝40°；DE＝5，EF＝4，∠E＝40°D．BC＝4，AC＝6，AB＝9；DE＝18，EF＝8，DF＝123．△ABC的三边长分别为2，10，2，△DEF的两边长分别为1和5，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三边长为( )A.22B．2 C. 2 D．2 24．如图K－24－3，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )图K－24－3A．(6，0) B．(6，3)C．(6，5) D．(4，2)二、填空题5．已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.(1)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△DEF∽△ABC；(2)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝________时，△FDE∽△ABC.6．要判定△ABC∽△A′B′C′，已知ABA′B′＝BCB′C′，还需添加条件__________或__________．7．学习相似三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如图K－24－4，在正方形网格中有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”你认为△A1B1C1和△A2B2C2________(填“相似”或“不相似”)．理由是________________．图K－24－4三、解答题8．依据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．AB＝12 cm，BC＝15 cm，AC＝24 cm，A′B′＝20 cm，B′C′＝40 cm，A′C′＝25 cm.9．一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法．10．如图K －24－5，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE.求证：△ABD ∽△ACE .图K －24－511．如图K －24－6，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)．图K－24－612操作性问题如图K－24－7所示，已知在△ABC中，AB＝2 5，AC＝4 5，BC＝6.(1)如图ⓐ，M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN 的长．(2)图ⓑ是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点处的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点三角形A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．图K－24－71．[解析] D ∵选项D 中的图形满足AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝12，∴△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2.2．[解析] D 逐项分析，A 项，∵∠A ＝45°，∠B ＝55°；∠D＝45°，∠F ＝75°，∴∠C ＝80°.虽然∠A ＝∠D，但另外两角不对应相等，不能判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；B 项，∵AB ＝5，BC ＝4，∠A ＝45°；DE ＝10，EF ＝8，∠D ＝45°，虽然AB DE ＝BCEF ，但∠A，∠D 不是AB 与BC ，DE 与EF 的夹角，不能判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；C 项，∵AB ＝6，BC ＝5，∠B ＝40°；DE ＝5，EF ＝4，∠E ＝40°，∴AB DE ≠BCEF ，不能判定△ABC∽△DEF，故本选项错误．D 选项正确．3．[解析] C 设△DEF 的第三边长为x ，∵△ABC 的三边长分别为2，10，2，△DEF 的两边长分别为1和5，△ABC ∽△DEF ，∴21＝105＝2x，解得x ＝2，即△DEF 的第三边长为 2.故选C .4．[解析] B 在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝3，AB ∶BC ＝2.A .当点E 的坐标为(6，0)时，∠CDE ＝90°，CD ＝2，DE ＝1，则AB∶BC ＝CD ∶DE ，△CDE ∽△ABC ，故本选项不符合题意；B .当点E 的坐标为(6，3)时，∠CDE ＝90°，CD ＝2，DE ＝2，则AB∶BC≠CD∶DE，△CDE 与△ABC 不相似，故本选项符合题意；C .当点E 的坐标为(6，5)时，∠CDE ＝90°，CD ＝2，DE ＝4，则AB∶BC＝DE∶CD ，△EDC ∽△ABC ，故本选项不符合题意；D .当点E 的坐标为(4，2)时，∠ECD ＝90°，CD ＝2，CE ＝1，则AB∶BC＝CD∶CE，△DCE ∽△ABC ，故本选项不符合题意．故选B .5．[答案] (1)12.5 15 (2)12 8[解析] (1)由三边成比例的两个三角形相似，可得当DE AB ＝DF AC ＝EFBC 时，△DEF ∽△ABC.又由AB ＝4，BC ＝5，CA ＝6，DE ＝10， 即可求得EF 与FD 的长；(2)当FD AB ＝EF AC ＝DEBC 时，△FDE ∽△ABC ，则可求得EF 与FD 的长． 6．[答案] ∠B＝∠B′AC A′C′＝AB A′B′(或AC A′C′＝BCB′C′)(此空答案不唯一)7．[答案] 相似 答案不唯一，如A 1B 1A 2B 2＝C 1B 1C 2B 2＝C 1A 1C 2A 2或A 1B 1A 2B 2＝A 1C 1A 2C 2，∠B 1A 1G ＝∠B 2A 2C 28．解：△ABC∽△B′A′C′.理由： ∵AB A′B′＝BC A′C′＝AC B′C′＝35， ∴△ABC∽△B′A′C′.9．解：由相似三角形对应边成比例可知，只能将30 cm 长的钢筋作为一边，将50 cm 长的钢筋截成两段，设从50 cm 长的钢筋上截下的两段分别为x cm ，y cm (x<y)，当30 cm 长的边对应20 cm 长的边时，2030＝50x ＝60y ，解得x ＝75.由于x>50，所以不成立；当30 cm 长的边对应50 cm 长的边时，20x ＝5030＝60y，解得x ＝12，y ＝36，x ＋y ＝48(cm )<50cm ，成立；当30 cm 长的边对应60 cm 长的边时，20x ＝50y ＝6030，解得x ＝10，y ＝25，x ＋y＝35(cm )<50 cm ，成立．故有两种截法：(1)从50 cm 长的钢筋上截下10 cm ，25 cm 的两段；(2)从50 cm 长的钢筋上截下12 cm ，36 cm 的两段．10．证明：∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE， ∴∠BAC －∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. 又∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝AD AE ，∴△ABD ∽△ACE.11．解：(1)△ABC 和△DEF 相似．理由如下：根据勾股定理，得AB ＝2 5，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4 2，DF ＝2 2，EF ＝2 10， ∴AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝52 2， ∴△ABC ∽△DEF.(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．△P 2P 5D ，△P 4P 5F ，△P 2P 4D ，△P 4P 5D ，△P 2P 4P 5，△P 3FD.12[解析] (1)考虑△AMN∽△ABC 与△AMN∽△ACB 两种情况；(2)①从整数边BC 出发，选定BC ，然后分别过B ，C 作长为2 5，4 5的边即可； ②关键在于怎样在网格图中找到面积最大的相似三角形，可考虑在网格图中先画出最大的三角形的最长边(AC 的对应边)——正方形对角线，从而找到最大三角形．解：(1)当△AMN∽△ACB 时，有AM AC ＝MN BC .∵M 为AB 的中点，AB ＝2 5，∴AM ＝ 5. ∵BC ＝6，AC ＝4 5，∴MN ＝32.当△AMN∽△ABC 时，AM AB ＝MNBC ，∴MN ＝12BC ＝3.∴MN 的长为32或3.(2)①如图ⓐ所示(答案不唯一)． ②8个，如图ⓑ所示(答案不唯一)．。