量子力学第一章1.4_1

3. 经典物理未考虑到实物粒子的波动性，因而不能 解释微观领域内粒子的行为，为了建立描写微观领 域粒子行为的物理学，就需要在物理学的基本概念 和规律方面来一个根本的改变。
例1：质量为100克的一块石头以每秒100厘米的速度 飞行，其De Broglie波长是：
λ=
h h h = = p mv 2 μE
6.6 × 10 −34 = = 6.6 × 10 −33 m −3 −2 100 × 10 × 100 × 10
= 6.6 × 10 − 23 A
由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波波 长是很小的，很难显示波动性。
p E= 2μ = h
2 2
2
r hv p= n
λ
2 μλ
h λ= 2μE
德布罗意波波长公式
例如：如果电子被 V 伏的电势差加速，则 E = eV 电子伏特，其中 e 为电子电荷的大小。 于是将 h, μ , e 的数值代入得：
h 12.25 。 λ= ≈ A 2μeV V
（只适用于电子）
式中Planck常数 h 的出现表明De Broglie波长具有 量子性质。 如果用100V的电压加速电子，λ = 1.225 A 。
汤姆孙和戴维森因为他们的实验工作共享了 1937年诺贝尔物理学奖。 上述实验事实都表明了De Broglie波不是虚构 的，一切微观粒子都具有波动性，这些波的波长和 粒子的动量由De Broglie公式联系起来。
本节小结： 1. 波粒二象性是一切物质客体所普遍具有的属性。 “所有类型的粒子都与波相联系，而所有波动都与粒 子相联系。因此，粒子（束）都可以干涉，所有波 动的能量都有量子特征。” 2. 在宏观领域内未发现这种联系，是因为与通常的 波联系的能量子极小，而与通常物体所联系的波的 频率又极大，波长极短，不易观察。
Broglie波波长的实验值：
λexp erim. = d sin 50 = 2.15 × sin 50 ) A = 1.65 A （
o o o
o
另由De Broglie关系式得电子的De Broglie波波 长的理论值：
λtheory
o 12.25 = = 1.66 A 54
与实验一致，从而证明了De Broglie波的存在。
v 2π v k= n
v v = a cos[k ⋅ r − ωt − δ ]
vv i ( k ⋅r −ωt −δ )
i v v ( p⋅r − Et ) h
λ
ω = 2πν
将此式写成复数形式（当只取实部时就是上式），有：
Ψ = ae
= Ae
其中 A = ae
− iδ
E = hν = hω
v v hr p = n = hk
2. 电子的双缝衍射实验 电子的波动性也可以用与光的双缝衍射相当的 实验来证实；
电子源
历史有许多实验都证实了De Broglie波的存在。 如Thomson (汤姆逊)、塔尔塔科夫斯基分别用快速和 慢速电子穿过薄金属片同样得到了这种衍射图样。后 来人们做了大量的实验，证实不仅是电子，而且质 子、中子、原子、分子等微观粒子都具有波动性。
物质波不是通常的波，物质波产生于任何运动 的物体，正如电磁波一样，物质波也能在绝对的真 空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们却 产生于所有的物体—包括不带电的物体的运动，因 此它也不是电磁波。它是一种“客观实在”。
2. 德布罗意波公式（平面波） 自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布 罗意关系式知与自由粒子联系的频率 ν 和波长 λ 都 是不变的（即平面波）。 频率为 ν ，波长为 λ ，沿
。
当光波波长 λ 远小于仪器特征长度 x 时，可把 光看作是直线传播，即光呈现粒子性；而 x ~ λ（数 量级相同时），光就出现干涉、衍射现象，即光具 有波动性。 同样，当物体的特征线度
x 远大于它的De
h << 1时，可忽略粒子的 Broglie波长 λ 时，即 = x xp
λ
波动性，用C. M.来处理；否则用Q. M.处理问题。
x 方向传播的平面
波可以用下面的公式表示，即： x Ψ = a cos[ 2π ( −νt ) − δ ]
λ
其中 δ 为平面波的初相。
E =hν = hω
v hr v p = n = hk
λ
v 如果波沿ห้องสมุดไป่ตู้位矢量 n 的方向传播，则又可写为：
Ψ = a cos[ 2π ( v v r ⋅n
λ
−νt ) − δ ]
v 子的能量 E 和动量 P 与波的频率 ν和波长 λ之间的
关系正像光子和光波的关系一样，即：
De Broglie把粒子和波通过下面的关系联系：粒
E = hν = hω
v v hr p = n = hk
λ
---De Broglie’s formula or relation
二、德布罗意波 1. De Broglie波的提出 1924年11月27日，英国《哲学杂志》9月号刊载 了一位不知名的物理学家路易·维克托·德布罗意的文 章。名为《关于量子理论的研究》（博士论文）。 此文阐述了有关物质波可能存在的主要观点。
三、实验验证 1. 戴维孙和革末的电子衍射实验 1927年美国物理学家戴维孙（Davisson）和革末 （Germer）用电子在晶体上做衍射实验证明了德布罗 意波假设的正确性。 (1) 实验装置
(2)实验过程 来自灯丝的电子被可变电压 V 加速，电子被镍单 晶“反射”后被探测器收集。反射的电子表现出显著的 方向性。当电子束能量为 54 eV 时，观测到在同入射 束成 50 o 角（即散射角 θ = 50 o）时散射的电子数最 多。
一、德布罗意假设 德布罗意（1892～1987）de Broglie， Louis Victor：法国物理学家，提出物 质具有波粒二象性，因此而获1929年诺 贝尔物理学奖。 由于Planck和Einstein关于光的微粒性理论取得 成功，又由于在建立描述微观粒子运动规律的理论 中遭到困难，de Broglie在光具有波粒二象性的启发 下，于1924年提出了微观实物粒子也具有波粒二象 性的假设。
。
De Broglie波公式
λ
E ω= h v v p k= h
它的解释下一章讨论。量子力学中描写自由粒 子的平面波必须用复数形式而不用实数形式，原因 也在下一章说明。
Ψ = Ae
i v v ( p ⋅r − Et ) h
3. 德布罗意波的波长公式 设自由粒子的动能为 E ，由于粒子的速度远小于 光速，则：
o
例2：若用150伏的电压加速电子，其De Broglie波长：
o 12.25 λ= =1A 150
12.25 。 λ≈ A V
o
若 V = 10000 伏，则λ = 0.122 A。 电子的De Broglie波长在数量上相当（小于）晶 体中的原子间距，比宏观线度要短的多，这说明了为 什么电子的波动性长期没有被发现的原因。德布罗意 获得1929年Nobel物理学奖。
(3)实验结果 类似于 Χ 射线在晶体表面反射时产生的衍射，这 说明电子具有波动性。根据衍射理论，衍射极大的散 射角 θ 满足：
nλ = d sin θ
n = 1,2, L
其中为 λ 是入射波长，d 是晶格常数，对于 镍，d = 2.15 A 。
o
θ = 50 o 角上出现极大相当于 n = 1 ，则电子的De