狂刷46 直线与圆锥曲线的位置关系-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(原卷版)
2020高考数学冲刺复习- 直线与圆锥曲线的位置关系-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)(含解析)
2020高考数学冲刺复习考点45 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3430x y -+=的距离为1d ，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为2d ，且1235d d =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且2211PMQM+为定值，求点M 的坐标.【答案】（1）24y x =（2）(2,0) 【解析】解：（1）由题意知，焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则133362510pp d ++==，2d p =， 又363105p p +=，解得：2p =. 故抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）设点M 的坐标为(,0)t ，设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 显然直线l 的斜率不为0. 设直线l 的方程为x my t =+. 联立方程24x my t y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，并整理得2440y my t --=， 则()2160m t ∆=+>且124y y m +=，124y y t =-.由1||PM ==，2||QM y ==.有()()222222121111||||11PM QM m y m y +=+++()()()2222122222222121682116121y y m t t m m y y m t m t +++===+++.若2211||||PM QM +为定值，必有2t =.所以当2211||||PM QM +为定值时，点M 的坐标为(2,0).2．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=； （2）若∆ABF 的面积为4，求直线l 的方程． 【答案】(1)见解析；(2)210x +=. 【解析】（1）当直线l 的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立抛物线方程可得得y 2﹣4my+4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝4 ∴121212y y k k x 1x 1+=+=--()()()()()1212121222242402222my y y y m mmy my my my -+⨯-⨯==----. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|()221212416164y y y y m +-=-=．解得m ＝2±（负值舍去）． ∴直线l 的方程为：210x +=．3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)经过点(0，3-，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上． 【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±-=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得25m =5250x y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN ＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++， 22210200PM 1m y y ,PN 1m y y ,PF 1m y =+-=+-=+．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN ＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 4．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【答案】（1）24y x =（2）见证明【解析】（1）由题意得：(,0)2pF ， 因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方， 所以8)B p ， 因为AB 的斜率为43，4342=-，整理得：80p +=，即0=，得2p =， 抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =-， 直线l 的方程：4(1)3y x =-， 由24(1)34y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A -. 设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，令1x =-，得41n y n +=--， 即41n HE n +=--， 同理可得：444n HG n -=+， 444414n n HG HE n n +-⋅=-⋅=-+. 5．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k+==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.6．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d Pd P+>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x==⇒=-.联立方程24(1)1344Qy xxy x⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PFd PQF⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩.（2）当()1,0P-，易得2()2a d P PF=-=，不妨设()1,PP y-，0Py>，直线:1PF x my=+，则2Pmy=-，联立214x myy x=+⎧⎨=⎩，2440y my--=，224(4)16221Qm my m m++==++，()222212()||212221PPQy m d P PF m yy m m m+ -=-+=+++2212122m m m+-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y---，则()()()13224d P d P d P+-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++-+ 222131344242y y y y +⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =+++-++，因为()()222213134416y y y y ⎡⎤+++-++⎣⎦22131224428y y y y =++--，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.7．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）离心率为2，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==u u ur u u u r u u u r EQ μuuu r （λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）1 【解析】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e ＝2c a =a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A（﹣2，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=u u u r u u u r可得x 0+2＝λ（x 3B x 、﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝11021,1x y y λλλλ-+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣2λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1﹣2λ）＝﹣12（x 1﹣2λ）， 解得x 1＝()()11221122,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=u u u r u u u r可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 8．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()0,3A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．【答案】（1）13422=+y x ；（2）12± 【解析】（1）因为椭圆C 的上顶点为(03A ，，所以3b =22214O x y a +=：经过点()01M ，，所以2a =． 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ．（2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =， 所以△PQN的面积为3，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx ，⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x，2x所以PQ =12x =-=. 直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k+-=，所以MN = 所以△PQN 的面积MN PQ S ⋅=21132==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 9．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x=的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． （1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-；（2）)1y x =±-【解析】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y 由抛物线C 的方程24y x =可得：焦点()1,0F由中点坐标公式可得：1110,22x y x y ++== 即：1121,2x x y y =-=又()11,A x y 在抛物线24y x =上，所以2114y x =，将1121,2x x y y =-=代入上式可得：()()22421y x =- 整理得：221y x =-所以线段AF 的中点M 的轨迹方程为：221y x =- （2）依据题意作出图形，如下：设()()1122,,,A x y B x y ，且1y 与2y 的取值一正、一负因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，所以直线AB 的斜率存在， 且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍， 即：1211222OF y OF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，整理得：122y y =- 设直线AB 的方程为：()1y k x =-联立直线与抛物线方程可得：()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：204k y y k --=.所以124y y k+=，124y y ⋅=- 由121212244y y y y y y k ⎧⎪=-⎪⋅=-⎨⎪⎪+=⎩解得：22k =±.所以直线AB 的方程为：()221y x =±-10．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；（3）如果11A H A P λ=u u u u r u u u u r，试求λ的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）)62y x =+；（3）13,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题可得：2a =，又椭圆右准线方程为x ＝4，所以24a c =，解得：1225，又222a b c =+，解得：23b =所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设()11,G x y （10y <）,则2112GA y k x =-且2211143x y +=所以直线GD 的方程为：()1122y y x x =-- 联立直线GD 的方程与准线方程4x =可得：()11224y y x x x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，整理得：1122y y x =-，所以1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以()()111112024232A Dy y x k x --==---.又HG ⊥A 1D ，所以11HG A D k k ⋅=-，即：()1111132y yx x ⋅=--联立()22111111143132x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩可得：112,3x y ==. (D ∴所以()10426A D k ==--.所以直线1A D的方程为：()26y x =+. （3）设()4,D m ，(),P P P x y ，(),G G G x y ，(),H H H x y ，其中0m > 直线1A D 的方程为：()26my x =+ 联立椭圆方程可得：()2214326x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得2254227P m x m -=+ 直线2A D 的方程为：()22my x =- 联立椭圆方程可得：()2214322x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22263G m x m -=+，263G m y m -=+ 所以直线OG 的方程为：2626my x m -=-联立直线OG 的方程与直线1A D 的方程可得：()226626my x my x m ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得：226215H m x m -=+ 所以2125422,27P m A P y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭u u u r ,212622,15H m A H y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭u u u u r 又11A H A P λ=u u u u v u u u u v ，所以2222625422,2,1527H P m m y y m m λ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以222262542221527m m m m λ⎛⎫--+=⨯+ ⎪++⎝⎭整理得：()222271121315315m m m λ+⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭因为21515m +>，所以111213315λ⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭，整理得：1335λ<< 11．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知()()2,0,2,0,A B C D 点、-依次满足()12,.2AC AD AB AC ==+u u u v u u u v u u u v u u u v（1）求点D 的轨迹；（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为()1,0，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线,PA PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由【答案】（1）以原点为圆心，1为半径的圆；（2）22184x y +=； （3）存在点P ，其坐标为(或(2,,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切 【解析】（1）设()()00,,,C x y D x y ，则()()002,,4,0AC x y AB =+=u u u v u u u v ()003,2,22x y AD x y ⎛⎫⇒=+=+⎪⎝⎭u u u v 则：00222x x y y =-⎧⎨=⎩ 代入()2220024AC x y u u u v =++=得：221x y +=∴点D 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（2）由题意可知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =+……①椭圆的方程()22222144x y a a a +=>-……②由l1= 213k ⇒=将①代入②得：()222222224244440a k a x a k x a k a a +-++-+= 又213k =，可得()2224233404a x a x a a -+-+=设()11,M x y ，()22,N x y21224235a x x a ∴+=-=⨯- 28a ⇒=∴椭圆方程为：22184x y +=（3）假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆相切 则Q 到直线,PA PB 的距离相等，又()()2,0,2,0,A B -则()000:220PA x y y x y --+=，()000:220PB x y y x y +--= 则12d d ===化简整理得：220008403280x x y -++= P Q 点在椭圆上 220028x y ∴+=解得：02x =或08x =（舍）02x =时，0y = 1r ∴=∴椭圆上存在点P，其坐标为(或(2,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切．12．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,(),x y tsin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为πsin()4ρθ-(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）20y x --=，(22213x y t t +=≠（2）((1][1+),-∞-∞U U U【解析】（1）由题意知π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭y x 20--=，由()αx y t sin αα⎧=⎪⎨=⋅⎪⎩为参数，得(222x y 1t 3t +=≠.(2)由22220x y 13t y x --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()322t 3x 12x 123t 0+++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()222Δ124t 3123t 0=-+-≥,即()42tt 00t -≥≠．所以t 的取值范围是t 1t 1≥≤-或，所以t的取值范围是(][(),1∞∞-⋃-⋃⋃+.13．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>，C 2与C 1的长轴∶1，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PAPB为定值； ② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22182x y +=；（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =C 2的标准方程为22x y 182+=。
直线与圆锥曲线的位置关系考点解读
基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度讲，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点 (2)从代数角度讲，可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)②若a ≠0，设Δ＝b 2－4aca ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|.(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)．一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教B 版教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A 2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27.答案 C 4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )．A.x 23－y 26＝1B.x 24－y25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B 5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1.答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )．A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析 由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二 弦长及中点弦问题 【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值． [审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1. 当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝⎛⎭⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12－(－2)＝32， 由|OM |＝r ，得⎝⎛⎭⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ② 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化．(1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1.直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2. 由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2. 所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝⎛⎭⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎫k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号，∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·OQ →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. 由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1.又E ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1，|OD |＝ (－3)2＋⎝⎛⎭⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝ ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A (t ，a ba 2－t 2)，B ⎝⎛⎭⎫t ，b a a 2－t 2.(4分) 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分)所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．。
圆锥曲线综合问题(1)-直线与圆锥曲线位置关系2020年高考数学一轮考点
2020年高考数学一轮考点 专题53 圆锥曲线综合问题（1） —直线与圆锥曲线位置关系一、【知识精讲】1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：F (x ，y )＝0， 由⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y 得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l 与圆锥曲线C 有两个公共点；Δ＝0⇔直线l 与圆锥曲线C 有一个公共点； Δ＜0⇔直线l 与圆锥曲线C 有零个公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，圆锥曲线C 为抛物线或双曲线．当C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个． 2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·Δ|a |.【知识拓展】 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．二、【典例精练】考点一直线与圆锥曲线位置关系【例1】(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率，(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1.(2)由y＝x24，得y′＝x2.设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2m＋1.从而|AB|＝2|x1－x2|＝42m＋1.由题设知|AB|＝2|MN|，即42m＋1＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.【解法小结】 1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x或y，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：1消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.2重视“判别式Δ”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.考点二弦长问题【例2】(2018·广州综合测试(二))已知双曲线x25－y2＝1的焦点是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.(1)设椭圆C的方程；(2)设动点M，N在椭圆C上，且|MN|＝433，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值．【解析】(1)双曲线x25－y2＝1的焦点坐标为(±6，0)，离心率为305.因为双曲线x25－y2＝1的焦点是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a＝6，且a2－b2a＝306，解得b＝1.故椭圆C的方程为x26＋y2＝1.(2)因为|MN|＝433＞2，所以直线MN的斜率存在．因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为y＝kx＋m.代入椭圆的方程x26＋y2＝1中，得(1＋6k2)x2＋12kmx＋6(m2－1)＝0. 因为Δ＝(12km)2－24(1＋6k2)(m2－1) ＝24(1＋6k2－m2)＞0，所以m2＜1＋6k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据根与系数的关系得x1＋x2＝－12km1＋6k2，x 1x 2＝6m 2－11＋6k 2则|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24m 2－11＋6k 2.因为|MN |＝433， 则1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－24m 2－11＋6k 2＝433. 整理得m 2＝－18k 4＋39k 2＋791＋k2. 令k 2＋1＝t ≥1，则k 2＝t －1.所以m 2＝－18t 2＋75t －509t ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤75－⎝⎛⎭⎪⎫18t ＋50t≤75－2×309＝53.等号成立的条件是t ＝53，此时k 2＝23，m 2＝53满足m 2＜1＋6k 2，符合题意．故m 的最大值为153. 【解法小结】 弦长的三种常用计算方法 1定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题. 2点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.考点三 中点弦问题 【例3】(1)在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝0【解析】设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1， ①x 2216＋y 224＝1， ②由①－②， 得x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0，因为⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 216y 1＋y 2＝－14，所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0.(2)如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．则实数m 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞【解析】由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63.] （3）（2018全国卷III ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P →＋F A →＋F B →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．【解析】 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m <1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P （1，－32），|F P →|＝32.于是|F A →|＝x 1－12＋y 21＝x 1－12＋31－x 214＝2－x 12.同理|F B →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|F B →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|F P →|＝|F A →|＋|F B →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2. ②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128. 【解法小结】 处理中点弦问题的常用方法 1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率. 2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 三、【名校新题】1．(2019·山西吕梁联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过E ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12. (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 的坐标为(4,3)，求直线DA ，DB 的斜率之和．【解析】 (1)由已知得1a 2＋94b2＝1(a >b >0)，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)得F (1,0)． 当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，k DA ＋k DB ＝2.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆方程联立得⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx －k ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以k DA ＋k DB ＝y 1－3x 1－4＋y 2－3x 2－4＝kx 1－k －3x 1－4＋kx 2－k －3x 2－4＝2kx 1x 2－3＋5kx 1＋x 2＋83＋kx 1x 2－4x 1＋x 2＋16＝72k 2＋7236k 2＋36＝2. 所以直线DA ，DB 的斜率之和为2.2.(2019·安徽亳州联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与过点M (a,0)(a >0)的直线l 交于A ，B 两点，且总有OA ⊥OB .(1)确定p 与a 的数量关系；(2)若|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，求λ的取值范围．【解析】 (1)设直线l ：ty ＝x －a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎨⎧y 2＝2px ，ty ＝x －a消去x 得y 2－2pty －2pa ＝0.∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－2pa ，由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 1y 224p 2＋y 1y 2＝0，∴a 2－2pa ＝0.∵a >0，∴a ＝2p .(2)由(1)可得|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2p 1＋t 2·t 2＋4.|AM |·|MB |＝AM →·MB →＝(a －x 1)(x 2－a )－y 1y 2＝－x 1x 2＋a (x 1＋x 2)－a 2－y 1y 2＝a ·y 21＋y 222p－a 2＝4p 2(1＋t 2)．∵|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，∴a ·2p 1＋t 2·t 2＋4＝λ·4p 2(1＋t 2)， ∴λ＝4＋t 21＋t 2＝1＋31＋t2.∵t 2≥0，∴λ∈(1,2]． 3. (2018·山东临沂月考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15．(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．【解析】 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1．由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305． (2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2． 化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2．②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2．由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4．4. (2019·陕西模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过点M (5，－2)的直线交抛物线C 于A ，B 两点．(1)若p ＝12，且点M 恰好是线段AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)问在抛物线C 上是否存在定点N (x 0，y 0)，使得NA ⊥NB 总成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)当p ＝12时，抛物线C 的方程为y 2＝x ，由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. (*)因为点M (5，－2)恰好是线段AB 的中点， 所以y 1＋y 2＝－4，显然直线AB 不与x 轴垂直， 故设直线AB 的斜率为k ， 由(*)式得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝－14，所以直线AB 的方程是y ＋2＝－14(x －5)，即x ＋4y ＋3＝0.(2)假设在抛物线C 上存在定点N (x 0，y 0)满足题意，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 232p ，y 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 242p ，y 4，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ， 联立方程得⎩⎨⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2px ，可得y 2－2mpy －2pb ＝0，故y 3＋y 4＝2mp ，y 3y 4＝－2pb .由题意知，直线NA 与NB 的斜率都存在且不为0，由于NA ⊥NB ，所以k NA k NB＝－1，即k NA k NB ＝y 3－y 0y 232p －y 202p ·y 4－y 0y 242p －y 202p＝2p y 3＋y 0·2py 4＋y 0 ＝4p 2y 3y 4＋y 0y 3＋y 4＋y 20＝－1，所以4p 2－2pb ＋2mpy 0＋y 20＝－1，b ＝2p ＋my 0＋y 202p . 故直线AB 的方程可以写成x ＝m (y ＋y 0)＋2p ＋y 202p ，由于直线AB 过点M (5，－2)，故有5＝m (－2＋y 0)＋2p ＋y 202p (**)，当且仅当y 0＝2，p ＝2或12时，(**)式恒成立．由此可得，①当p ＝2时，存在定点N (1,2)，使得NA ⊥NB ；②当p ＝12时，存在定点N (4,2)，使得NA ⊥NB .5．(2019·深圳调研)(本小题满分12分)已知直线l 经过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别与x 轴交于点M ，N ．(1)求证：AM ⊥MF ；(2)记△AFM 和△BFN 的面积分别为S 1和S 2，求S 1·S 2的最小值． 【解析】 (1)证明：不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1＝x 214，y 2＝x 224．由导数知识可知，抛物线C 在点A 处的切线l 1的斜率k 1＝x 12，则切线l 1的方程y －y 1＝x 12(x －x 1)，令y ＝0，可得M x 12，0．因为F (0，1)， 所以直线MF 的斜率k MF ＝1－00－x 12＝－2x 1．所以k 1·k MF ＝－1，所以AM ⊥MF ． (2)由(1)可知S 1＝12|AM |·|MF |，其中|AM |＝x 1－x 122＋y 21＝x 214＋y 21＝y 1＋y 21＝y 1·1＋y 1，|MF |＝x 122＋1＝y 1＋1，所以S 1＝12|AM |·|MF |＝12(y 1＋1)·y 1．同理可得S 2＝12(y 2＋1)y 2．所以S 1·S 2＝14(y 1＋1)(y 2＋1)y 1y 2＝14(y 1y 2＋y 1＋y 2＋1)y 1y 2． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4，所以y 1y 2＝x 1x 2216＝1．所以S 1·S 2＝14(y 1＋y 2＋2)≥14(2y 1y 2＋2)＝1，当且仅当y 1＝y 2时，等号成立． 所以S 1·S 2的最小值为1．6.(2019·福建三明联考)已知A 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点，左焦点F 1是线段OA 的中点，抛物线y 2＝4x 的准线恰好过点F 1.(1)求椭圆的方程；(2)如图所示，过点A 作斜率为k 的直线l 1交椭圆于点M ，交y 轴于点N .点P 为线段AM 的中点，过N 作与直线OP 垂直的直线l 2，证明：对于任意的k (k ≠0)，直线l 2过定点，并求出此定点的坐标．【解析】 (1)依题意得抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1， ∴点F 1(－1,0)，c ＝1.∴左顶点为A (－2,0)，∴a ＝2，即b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x ＋2)，与椭圆的方程x 24＋y 23＝1联立，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，则－2＋x 1＝－16k 23＋4k 2.∵P 为线段AM 的中点， ∴x P ＝－2＋x 12＝－8k 23＋4k 2，y P ＝k (x P ＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2＋2＝6k 3＋4k2，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2，6k 3＋4k 2.则k OP ＝－34k (k ≠0)，∴直线l 2的斜率为43k . 又直线l 1的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得N (0,2k )， ∴直线l 2的方程为y －2k ＝43kx ，即直线y ＝43k ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴直线l 2过定点，此定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.7.(2019·武汉模拟)如图，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，圆Q ：x 2＋(y －3)2＝8，过抛物线C 的焦点F 且与x 轴平行的直线与C 交于P 1，P 2两点，且|P 1P 2|＝4.(1)证明：抛物线C 与圆Q 相切；(2)直线l 过F 且与抛物线C 和圆Q 依次交于点M ，A ，B ，N ，且直线l 的斜率k ∈(0,1)，求|AB ||MN |的取值范围． 【解析】 (1)证明：∵|P 1P 2|＝2p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 联立消去x 得y 2－2y ＋1＝0.∵Δ＝0，∴抛物线C 与圆Q 相切． (2)∵F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，k ∈(0,1)，∴圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝21＋k2， ∴|AB |＝28－d 2＝42－11＋k 2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去x 得y 2－(4k 2＋2)y ＋1＝0，则y 1＋y 2＝4k 2＋2，∴|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(k 2＋1)， ∴|AB ||MN |＝2－11＋k 2k 2＋1，令t ＝11＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12<t <1，则|AB ||MN |＝t 2－t ＝2t 2－t 3， 设f (t )＝2t 2－t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12<t <1，则f ′(t )＝4t －3t 2.∵12<t <1，∴f ′(t )>0，∴函数y ＝f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (t )<f (1)，∴38<f (t )<1，即|AB ||MN |的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫64，1. 8.(2019·合肥模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4 2.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)过点A (－2,0)的直线l 与C 2交于M ，N 两点，若点M 关于x 轴的对称点为M ′，证明：直线M ′N 恒过一定点．【解析】 (1)依题意，可得a ＝p2，则C 2：y 2＝4ax ，令x ＝c 得y 2＝4ac ，即y ＝±2ac ，所以4ac ＝42，所以ac ＝2.则⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝2，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝8x .(2)证明：依题意可知直线l 的斜率不为0， 可设l ：x ＝my －2，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则M ′(x 1，－y 1)， 联立⎩⎨⎧x ＝my －2，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋16＝0，由Δ>0得m <－1或m >1.因为y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝16，所以m ＝y 1＋y 28，所以直线M ′N 的斜率k M ′N ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝8m m y 2－y 1＝8y 2－y 1， 可得直线M ′N 的方程为y －y 2＝8y 2－y 1(x －x 2)， 即y ＝8y 2－y 1x ＋y 2－8my 2－2y 2－y 1＝8y 2－y 1x ＋y 2y 2－y 1－y 2y 2＋y 1＋16y 2－y 1＝8y 2－y 1x －16y 2－y 1＝8y 2－y 1(x －2)， 所以当m <－1或m >1时，直线M ′N 恒过定点(2,0)．。
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
直线与圆锥曲线的位置关系(一)概要
处理圆锥曲线的有关问题要注意设法 减少运算量，本题所求椭圆焦点未定，可 能在x轴上，也可能在y轴上，本题解法运 用待定系数法，避免了两种情况的讨论；
另外，本题解法中对交点采取“设而不求” 的方法，灵活运用韦达定理，从而简化了 运算过程，以上是处理此类问题的常用技 巧，应很好地体会。
例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交 点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过 坐标原点。
故 | AB | 2 | x1 x2 | 2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
90 2 369 192 2 ( ) 4 , 7 7 7 80 2 2 从而 | FC | ( x0 5) y0 2. 7
例3. 已知椭圆中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线y x 1 与该椭圆相交于P, Q, 且OP OQ,| PQ | 10 , 求椭圆方程. 2
当点P落在其它区域时，以点P为中点的弦存在。
检验方法：将求出的直线与曲线联立，看△ >0?
x2 y 2 例2.过双曲线 1的右焦点F作倾角为 的弦AB, 9 16 4 求弦长 | AB | 及弦AB的中点C到F的距离.
解：双曲线焦点为F（5，0），故AB方程为y=x-5,代 入双曲线方程消去y得： 7 x2 90 x 369 0,
90 369 又设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x0 , y0 ), 则x1 x2 , x1 x2 , 7 7
2 2a (a +1) +a +1=0 2 2 3a 3a
2
解得a=±1.
2 2 练习1.设0< < ,曲线x sin y cos 1和 2 2 2 x cos y sin 1, 有4个不同的交点. (1)求的取值范围; (2)证明这4个交点共圆, 并求圆的半径的取值范围.
2020年高考数学(理科)高频易错考点大解密专题： 直线与圆锥曲线的位置关系(全国版含解析)
x2 4y2 4
【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得
y
x
m
，即
由于直线 与椭圆有一个公共点，则 =
=,
所以 =± .
(2)设 ( , )， ( ， )，
由(1)知：
x1
x2
8m 5
，x1
x2
4m2 4 5
，
=，
则|PQ|=
1
k2
|
x1
x2
|
42 5
5 m2 =2.
（2）过点 M
3, 0 作斜率为
1 2
的直线 l 与椭圆相交于
A，B
两点，求
AB
．
【解析】（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为 1，
可得：
a a
2c c
1
a c
2 1
b
3．
故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ； 43
设| BN | a ，则| AM | 2a ，
又| PF | 4 ，所以 | CQ | 8 a ，
又| PF | | AM | 2 | CQ | ，即 4 2a 2(8 a) ，解得 a 3 .
uuur 所以 | AF | 2 3 6 .
调研 4 已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1, l2 ，直线 l1 与抛物线 C 交于 A, B 两
解密专题：直线与圆锥曲线的位置关系
高考考点
命题分析
三年高考探源
2020届高考数学(理)解析几何高频考点08直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)
c2 a2
2
，则 椭圆 的离心率
3
ec 2 a3
【答案】 A
6
，故选 A.
3
4.【 2017 年高考全国 Ⅱ卷文数】过抛物线 C : y2 4 x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （ M 在
x 的轴上方）， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为 （
3 c, y2
2
9 c .因为点 P 在 x 轴上方，所以 14
P
3 c, c
2
.
由圆心 C 在直线 x 4 上，可设 C (4, t) .
因为 OC∥AP ，且由（ 1）知 A( 2 c, 0) ，故 t
3
c 2
，解得 t
2.
4 c 2c
因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆的半径长为 2，
3
(4 c) 2
.
【解析】因为直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y 轴交于 A, B 两点，所以 A 2，0 , B 0， 2 , 则 AB =2 2 ，
2
因为点 P 在圆 x 2
y2=2 上，所以圆心为（ 2，0），则圆心到直线距离
d1
202 2
2 2 ，故点 P
到直线 x y 2 0 的距离 d 2 的范围为
u
1
．所以
PQ
PG ，即 △ PQG 是直角三角形．
k
（ ii ）由（ i）得 | PQ |
2u 1
k 2 ， | PG |
2uk
k 2 1 ，所以 △PQG 的面积 2
2k
1
S
1
8k (1 k 2)
| PQ‖PG | 2
直线与圆锥曲线的位置关系(精华版)
直线与圆锥曲线的位置关系
问题1 已知直线l 过定点 M ( 0，2) ，抛物线 C : y 2 = x ，直线l 与抛物线 C 何时有一个公共点? 两个公共点? 没有公共点?
变式 过点M( 0，2) 的直线l 与椭圆C ：14
22
=+y x 的两个交点在y 轴右侧，求直线l 的斜率k 的取值范围.
问题 2 ( 人教 A 版选修 2 －1 第62页B 组第4题）已知双曲线122
2
=-y x ，过点 P ( 1，1) 能否作一条直线l 与双曲线交于 A 、B 两点，使点 P 是线段 AB 的中点?
探究 假如存在这样的直线l ，你能求出这条直线吗？
问题3 斜率为1的直线l与抛物线y2 = x 交于A，B 两点，在y 轴上是否存在点M(0，m)，使得△MAB为正三角形? 如果存在，求出点M的坐标，如果不存在说明理由．
探究当△MAB为正三角形时，点M应满足哪些条件?。
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题——直线与圆锥曲线的位置关系【解析版】
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题——直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3430x y -+=的距离为1d ，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为2d ，且1235d d =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且2211PMQM+为定值，求点M 的坐标.【答案】（1）24y x =（2）(2,0) 【解析】解：（1）由题意知，焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则133362510pp d ++==，2d p =， 又363105p p +=，解得：2p =. 故抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）设点M 的坐标为(,0)t ，设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 显然直线l 的斜率不为0. 设直线l 的方程为x my t =+. 联立方程24x my t y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，并整理得2440y my t --=， 则()2160m t ∆=+>且124y y m +=，124y y t =-.由1||PM ==，2||QM y ==.有()()222222121111||||11PM QM m y m y +=+++()()()2222122222222121682116121y y m t t m m y y m t m t +++===+++.若2211||||PM QM +为定值，必有2t =.所以当2211||||PM QM +为定值时，点M 的坐标为(2,0).2．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=； （2）若∆ABF 的面积为4，求直线l 的方程． 【答案】(1)见解析；(2)10x +=. 【解析】（1）当直线l 的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立抛物线方程可得得y 2﹣4my+4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝4 ∴121212y y k k x 1x 1+=+=--()()()()()1212121222242402222my y y y m mmy my my my -+⨯-⨯==----. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|4==．解得m ＝（负值舍去）．∴直线l 的方程为：10x +=．3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)经过点(0，，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上． 【答案】（1）22143x y +=；（220y ±-=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m =20y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN ＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN ＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭， 整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 4．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【答案】（1）24y x =（2）见证明【解析】（1）由题意得：(,0)2pF ， 因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方，所以B ， 因为AB 的斜率为43，4342=-，整理得：80p +=，即0=，得2p =， 抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =-， 直线l 的方程：4(1)3y x =-， 由24(1)34y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A -. 设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，令1x =-，得41n y n +=--， 即41n HE n +=--， 同理可得：444n HG n -=+， 444414n n HG HE n n +-⋅=-⋅=-+. 5．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k+==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.6．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 （1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=， 不妨设()1,P P y -，0P y >， 直线:1PF x my =+，则2P my =-， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y -==2=-=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦ 1322PF P F P F =+-===因为()221316y y ⎡⎤-++⎣⎦1228y y =-，又因()()()()2222213131313444480yy y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.7．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==EQ μ（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）1 【解析】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e＝2c a =，且a 2﹣b 2＝c 2， 解得a，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=可得x 0＝λ（x 3B x 、﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0）， 即有x 0＝1101,1x y y λλλλ+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1）＝﹣12（x 1）， 解得x 1＝()()112211,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 8．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为(0A ，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．【答案】（1）13422=+y x ；（2）12± 【解析】（1）因为椭圆C的上顶点为(0A，所以b =22214O x y a +=：经过点()01M ，， 所以2a =． 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ．（2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =， 所以△PQN，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431x y y kx ，⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x，2x 所以PQ =12x =-=. 直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k+-=，所以MN = 所以△PQN 的面积MN PQ S ⋅=21132==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 9．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x=的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点． （1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．【答案】（1）221y x =-；（2）)1y x =±-【解析】（1）设线段AF 的中点的坐标为(),M x y ，()11,A x y 由抛物线C 的方程24y x =可得：焦点()1,0F由中点坐标公式可得：1110,22x y x y ++==即：1121,2x x y y =-=又()11,A x y 在抛物线24y x =上，所以2114y x =，将1121,2x x y y =-=代入上式可得：()()22421y x =- 整理得：221y x =-所以线段AF 的中点M 的轨迹方程为：221y x =- （2）依据题意作出图形，如下：设()()1122,,,A x y B x y ，且1y 与2y 的取值一正、一负因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，所以直线AB 的斜率存在， 且OAF ∆的面积是OBF ∆面积的2倍， 即：1211222OF y OF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，整理得：122y y =- 设直线AB 的方程为：()1y k x =-联立直线与抛物线方程可得：()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：204k y y k --=.所以124y y k+=，124y y ⋅=-由121212244y y y y y y k ⎧⎪=-⎪⋅=-⎨⎪⎪+=⎩解得：k =±. 所以直线AB的方程为：)1y x =±-10．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）)2y x =+；（3）13,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题可得：2a =，又椭圆右准线方程为x ＝4，所以24a c =，解得：1225，又222a b c =+，解得：23b =所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设()11,G x y （10y <）,则2112GA y k x =-且2211143x y +=所以直线GD 的方程为：()1122y y x x =-- 联立直线GD 的方程与准线方程4x =可得：()11224y y x x x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩， 整理得：1122y y x =-，所以1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以()()111112024232A Dy y x k x --==---.又HG ⊥A 1D ，所以11HG A Dk k ⋅=-，即：()1111132y y x x ⋅=-- 联立()22111111143132x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩可得：112,33x y ==-. (D ∴所以1A D k ==.所以直线1A D的方程为：)2y x =+. （3）设()4,D m ，(),P P P x y ，(),G G G x y ，(),H H H x y ，其中0m > 直线1A D 的方程为：()26my x =+ 联立椭圆方程可得：()2214326x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得2254227P m x m -=+ 直线2A D 的方程为：()22my x =-联立椭圆方程可得：()2214322x y m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22263G m x m -=+，263G m y m -=+ 所以直线OG 的方程为：2626my x m -=-联立直线OG 的方程与直线1A D 的方程可得：()226626my x my xm ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得：226215H m x m -=+ 所以2125422,27P m A P y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭,212622,15H m A H y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭ 又11A H A P λ=，所以2222625422,2,1527H P m m y y m m λ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 所以222262542221527m m m m λ⎛⎫--+=⨯+ ⎪++⎝⎭整理得：()222271121315315m m m λ+⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭因为21515m +>，所以111213315λ⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭，整理得：1335λ<< 11．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知()()2,0,2,0,A B C D 点、-依次满足()12,.2AC AD AB AC ==+ （1）求点D 的轨迹；（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为()1,0，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线,PA PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由【答案】（1）以原点为圆心，1为半径的圆；（2）22184x y +=； （3）存在点P ，其坐标为(或(2,,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切 【解析】（1）设()()00,,,C x y D x y ，则()()002,,4,0AC x y AB =+= ()003,2,22x y AD x y ⎛⎫⇒=+=+⎪⎝⎭则：00222x x y y=-⎧⎨=⎩ 代入()2220024AC x y =++=得：221x y +=∴点D 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（2）由题意可知直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =+……①椭圆的方程()22222144x y a a a +=>-……②由l 1= 213k ⇒=将①代入②得：()222222224244440a k a x a k x a k a a +-++-+= 又213k =，可得()2224233404a x a x a a -+-+=设()11,M x y ，()22,N x y21224235a x x a ∴+=-=⨯- 28a ⇒=∴椭圆方程为：22184x y +=（3）假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆相切 则Q 到直线,PA PB 的距离相等，又()()2,0,2,0,A B -则()000:220PA x y y x y --+=，()000:220PB x y y x y +--=则12d d ===化简整理得：220008403280x x y -++= P 点在椭圆上 220028x y ∴+=解得：02x =或08x =（舍）2x =时，0y = 1r ∴=∴椭圆上存在点P ，其坐标为(或(2,使得直线12,PF PF 与以Q 为圆心的圆()2211x y -+=相切．12．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为,(),x y tsin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为πsin()4ρθ-(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）20y x --=，(22213x y t t+=≠（2）((3,1][13)(3,+),,-∞--∞【解析】（1）由题意知π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭y x 20--=， 由()αx y t sin αα⎧=⎪⎨=⋅⎪⎩为参数，得(222x y 1t 3t +=≠.(2)由22220x y 13t y x --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()322t 3x 12x 123t 0+++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()222Δ124t 3123t 0=-+-≥,即()42tt 00t -≥≠．所以t 的取值范围是t1t 1≥≤-或，所以t的取值范围是(][(),1∞∞-⋃-⋃⋃+.13．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>，C 2与C 1的长轴∶1，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程； （2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PAPB为定值； ② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22182x y +=；（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a 2=，222a b c =+，解得b =C 2的标准方程为22x y 182+=。
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳直线和圆锥曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们的位置关系十分复杂。
在学习和研究数学问题时，了解它们的位置关系具有重要意义。
下面将总结归纳直线和圆锥曲线的位置关系。
一、直线与椭圆的位置关系1. 直线不经过椭圆：直线与椭圆没有交点，此时直线和椭圆之间没有任何位置关系。
2. 直线与椭圆相切于一点：直线与椭圆相切于一点，此时直线与椭圆的位置关系为切线。
3. 直线与椭圆相交于两点：直线与椭圆相交于两个点，此时直线与椭圆的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过椭圆：直线与椭圆相交于四个点，此时直线与椭圆的位置关系是四个交点的连线。
二、直线与双曲线的位置关系1. 直线不经过双曲线：直线与双曲线没有交点，此时直线和双曲线之间没有任何位置关系。
2. 直线与双曲线相切于一点：直线与双曲线相切于一点，此时直线与双曲线的位置关系为切线。
3. 直线与双曲线相交于两点：直线与双曲线相交于两个点，此时直线与双曲线的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过双曲线：直线与双曲线相交于四个点，此时直线与双曲线的位置关系是四个交点的连线。
三、直线与抛物线的位置关系1. 直线不经过抛物线：直线与抛物线没有交点，此时直线和抛物线之间没有任何位置关系。
2. 直线与抛物线相切于一点：直线与抛物线相切于一点，此时直线与抛物线的位置关系为切线。
3. 直线与抛物线相交于一个点：直线与抛物线相交于一个点，此时直线与抛物线的位置关系为交点。
4. 直线穿过抛物线：直线与抛物线相交于两个点，此时直线与抛物线的位置关系是两个交点的连线。
通过以上总结，我们可以看出，直线和圆锥曲线的位置关系与它们之间的交点有关，交点的个数和位置决定了它们的位置关系。
这对于学习和研究圆锥曲线成立方程、性质等问题非常有帮助。
直线和圆锥曲线的位置关系
聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。
具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。
与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。
纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。
2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。
3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。
灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。
热点透析题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知:当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得:2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即k AB==2但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.[分析]第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”.易错点提醒:第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.热身训练1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。
狂刷46 直线与圆锥曲线的位置关系-学易试题君之小题狂刷2021年高考数学(理)(解析版)
专题九 解析几何狂刷46 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线2C y x =：与直线1l y kx =+：，“0k <”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由21y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消元可得()222110k x k x +-+=，若直线l 与抛物线C 有两个不同交点，则()222110k x k x +-+=有两个不同的解，则()22202140k k k ∆⎧≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得1004k k <<<或． 则由0k <可推出1004k k <<<或，而由1004k k <<<或推不出0k <，故选A ．【名师点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，结合方程根的判断，属于基础题．先推出直线l 与抛物线C 有两个不同交点的充要条件，再判断与“0k <”的关系．2．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得1212121213AB y y x xk x x y y -+==-⋅-+，又M 为AB 中点，122x x ∴+=，122y y +=，13AB k ∴=-，∴直线方程为()1113y x -=--，即340x y +-=. 故选A.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在直线的斜率．在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．3．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为PF = A． B ．43CD ．2【答案】B 【解析】抛物线方程为24y x =，∴焦点()1,0F ，准线l 的方程为1x =-，直线AF的斜率为3-AF的方程为)13y x =--，由)11x y x =-=-⎧⎪⎨⎪⎩可得A 点坐标为(1-，3， PA l ⊥，A 为垂足，P ∴点纵坐标为3， 代入抛物线方程，得P 点坐标为1(3，)3， ()14133PF PA ∴==--=.故选B.4．已知F 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线y =与双曲线交于M ，N 两点，且90MFN ∠=︒，则双曲线E 的离心率为A BC ．2D ．2【答案】A【解析】将y =代入双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>中分别计算M ，N ，F 的坐标，得到()()2,2M a N a -，(),0F c ，结合90MFN ∠=︒，得到0MF NF ⋅=，所以()()2+,2,0a c c a ⋅-=，结合222c a b =+，得到2247c a =，所以c e a == 故选A.【名师点睛】本道题考查了向量坐标运算，难度中等.分别计算出M ，N ，F 坐标，然后结合0MF NF ⋅=，代入坐标计算即可.5．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点C 的横坐标为53，则AB ＝ A ．133B ．143 C ．5D ．163【答案】D【解析】设A ，B 两点的横坐标分别为,A B x x ，因为线段AB 的中点C 的横坐标为53， 所以523AB x x +=，即103A B x x +=， 因为直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，故由定义可得2p =且||2A p AF x =+，||2B p BF x =+，所以1016233A B AB AF BF x x p =+=++=+=． 故选D ．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和直线:143x yL +=，若过C 的左焦点和下顶点的直线与L 平行，则椭圆C 的离心率为 A ．45 B ．35 C ．34D ．15【答案】A【解析】由椭圆性质可知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为()0c -，，下顶点为()0b -，，所以过C 的左焦点和下顶点的直线方程为1x y c b +=--，即by x b c=--， 因为直线:143x yL +=与过C 的左焦点和下顶点的直线平行， 所以22223325544164b bc a b c c a c c -=-==+==，，，，故椭圆的离心率45c e a ==，故选A.【名师点睛】本题考查椭圆的相关性质，考查椭圆的图象特征和a b c 、、三者之间的关系以及离心率的相关计算，考查计算能力，是基础题.椭圆的a b c 、、三者之间有222a b c =+的关系.本题可以先通过椭圆的相关性质得出左焦点和下顶点的坐标，再计算出过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线方程，然后通过过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与L 平行得出b 与c 的关系，最后通过222a b c =+得出a 与c 的关系以及离心率.7．设动点,B C 在抛物线2:E x y =上，点(1,1)A ，直线,AB AC 的倾斜角互补，BC 中点的纵坐标为0y ，则0y 不可能为 A ．3 B ．4 C ．5D ．6【答案】C【解析】设1122(,),(,)B x y C x y ，直线AB 的方程为(1)1(0)y k x k =-+≠，由2(1)1y k x x y=-+⎧⎨=⎩消去y 整理得210-+-=x kx k ， ∵直线和抛物线交于两点，∴()2204420k k k k ≠⎧⎪⎨-+=->⎪⎩， 解得0k ≠且2k ≠．又点()1,1A ，∴11x k +=，故11x k =-，∴21(1)y k =-．以k -代替上式中的k ，可得22(1)y k =+．∴212012y y y k +==+， 由0k ≠且2k ≠可得01y >且05y ≠． 故选C ．8．设A ，B 是抛物线24y x =上的两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值为A． B ．2 CD ．1【答案】D【解析】设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，可得2211224,4y x y x ==， 相减可得121212()()4()y y y y x x -+=-， 可得12112124422y y k x x y y t t-====-+，又由24t k =，所以1212k k =， 则22211221k k k k ≥=+，当且仅当12k k ==即2212k k +的最小值为1.故选D ．9．已知双曲线的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且与直线1y x =-交于M N ，两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的标准方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22125x y -= D ．22152x y -= 【答案】C【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>．将1y x =-代入22221x y a b -=，整理得()222222220b a x a x a a b -+--=．由根与系数的关系得212222a x x a b +=-，则21222223x x a a b +==--．①又抛物线2y =的焦点为)，所以2227c a b =+=，②由①②解得22a =，25b =，所以双曲线的方程是22125x y -=． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查利用代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得一元二次方程，再根据根与系数的关系及MN 中点的横坐标可得关于a 、b 的一个方程，又双曲线中有222c a b =+，则另得关于a 、b 的一个方程，最后解关于a 、b 的方程组即得双曲线方程．10．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为A ．B ．CD ．【答案】A【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，如图， 设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x =，0y =所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠==. 11．已知A （2，0），B （0，1）是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线()0y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =，则斜率k 的值为 A ．23B ．38 C ．23或38D ．23或34【答案】C【解析】依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 易知直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，()0y kx k =>．将()0y kx k =>代入2214x y +=并化简得()22144k x +=， 设()()()001122D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程()22144k x +=， 故21x x =-=，由6ED DF =，知()01206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+2242560k k -+=，解得23k =或38k =．故选C ．【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．依题可得椭圆的方程，易知直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，设()()()001122D x kx E x kx F x kx ，，，，，，且12x x ，满足方程()22144k x +=，进而求得2x 的表达式，根据6ED DF =，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k ．12．已知双曲线2221y x b-=，直线2y kx =+与双曲线的左、右两支各有一个交点，则k 的取值范围是A ．()()11-∞-+∞，， B ．()11-， C．(()2-∞+∞，，D．(【答案】B【解析】双曲线2221y xb -=，1ca a∴==，1c b ===，∴双曲线为221x y -=，将直线2y kx =+与双曲线221x y -=联立并化简可得()221450k x kx ---=， 直线2y kx =+与双曲线的左、右两支各有一个交点，2210011501k k k ∆⎧⎪-≠⎪∴>∴-<<⎨⎪⎪<-⎩，，即k 的取值范围是()11-，，故选B. 【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率、双曲线的几何性质，以及双曲线与直线的位置关系，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，考查函数与方程思想的应用，属于综合题.再利用直线2y kx =+与双曲线的左、右两支各有一个交点，联立直线方程与双曲线方程可得()221450k x kx ---=，根据方程根与系数的关系建立不等式组，即可求出k 的取值范围.13．2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，且16||3AB =，则p = A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C2:2(0)C y px p =>的焦点，所以直线方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩得2322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，整理得：2233504x px p -+=， 所以1253p x x +=，因此1283p AB x x p =++=， 又163AB =，所以81633p =，解得2p =. 故选C.14．已知椭圆E ：22142x y +=，O 为坐标原点，作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与AB 的夹角为θ，且tan θ=k = A． B．C．2D【答案】A【解析】由题意知0k ≠，设()11A x y ，，()22B x y ，，()00M x y ，，则0122x x x =+，0122y y y =+，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中可得22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22012121222121212012y y y y y y y k x x x x x x x -+-=-=-⨯=--+-， 又直线OM 的斜率00OM y k x =，所以0012y x k=-， 设直线OM 的倾斜角为α，则1tan 2kα=-，设直线AB 的倾斜角为β，则tan k β=， 所以()1tan tan 2tan tan 1tan tan 12kk k kαβθαβαβ---=-===+-解得2k =±.故选A. 【名师点睛】本题考查了点差法在解决圆锥曲线中点弦问题的应用，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.利用点差法，设出A ，B 两点坐标并代入椭圆方程可得到直线OM 的斜率12OM k k=-，再结合直线OM 的倾斜角，直线AB 的倾斜角及θ三个角之间的关系，可列式子求出k .15．已知直线2y x m =+与椭圆C ：2215x y +=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当AOB △的面积取得最大值时，AB =A．21 BC．7D．7【答案】A【解析】由22215y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222120550x mx m ++-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122021m x x +=-，2125521m x x -=，AB =21==.又O 到直线AB的距离d =，则AOB △的面积2221122212m m S d AB +-=⋅=≤=， 当且仅当2221m m =-，即2212m =时，AOB △的面积取得最大值.此时，21AB ==.故选A.16．如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p = A ．3 B ．54C ．52D ．4【答案】C【解析】设出该直线方程为()24y k x -=-，得到240kx y k -+-=， 因为D ()42，，O 点到该直线的距离为||OD =224155k k k =-+=+，解得2k =-，所以该直线方程为210y x =-+，()()1122,210,,210A x x B x x -+-+， 将直线方程代入抛物线方程，得到()2220500x x p -++=，所以121220252px x x x ++==，， 结合0OA OB ⋅=得到()12125201000x x x x -++=，得到()22510200p -+=，解得52p =， 故选C.【名师点睛】本道题考查了直线与抛物线位置关系，考查了直线方程的求解，偏难.结合D 点坐标，计算直线方程，代入抛物线方程，建立一元二次方程，结合0OA OB ⋅=，建立等式，结合根与系数的关系，代入计算p 即可.17．过抛物线M ：28y x =的焦点F 作两条斜率之积为2-的直线1l ，2l ，其中1l 交M 于A 、C 两点，2l 交M 于B ，D 两点，则||||AC BD +的最小值为________．【答案】24【解析】依题意可设(2)y k x =-，代入28y x =，得2222(48)40k x k x k -++=，则2224848A C k x x k k+=+=+，所以28||8A C AC x x p k =++=+， 以2k -代k ，得228||8822()BD k k=+=+-，所以228||||1621624AC BD k k +=++≥=+， 当且仅当2282k k =，即k =. 故答案为24.18．已知椭圆22:12x C y +=，设过点()20P ，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】500⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 【解析】由题意可设直线()():20l y k x k =-≠，将其代入2212x y +=，化简并整理可得()2222128820k xk x k +-+-=，因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ， 所以()()42264412820k k k ∆=-+->，解得k <<0k ≠. 设()11A x y ，，()22B x y ，，则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，所以()()2121222y y k x x =--=2222222821624121212k k k k k k k ⎛⎫--+= ⎪+++⎝⎭， 因为AOB ∠为钝角，所以2212122282201212k k OA OB x x y y k k -⋅=+=+<++，解得k <<0k ≠.故答案为50055⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 【名师点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及平面向量数量积公式的应用，属于难题. 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题．求解本题时，直线与椭圆方程联立，由判别式求得22k -<<且0k ≠，再根据AOB ∠为钝角，即12120x x y y +<，利用根与系数的关系列关于k 的不等式，综合k <<. 19．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，则经过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．不确定【答案】A【解析】因为12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，所以12x x m +=-，()1221x x m =-+，且211(21)0x mx m +-+=，222(21)0x mx m +-+=，直线AB 的斜率22212121ABx x k x x m x x -==+=--， 直线AB 的方程为()211y x m x x -=--，即()11(21+)y x m x m m x -+=--， 整理得()()210x m y -+-=，故直线AB 恒过()2,1点，而该点在椭圆内部， 所以直线和椭圆相交，即公共点有2个. 故选A ．20．已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率为 ABC．2D．3【答案】D【解析】椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+， 联立直线与椭圆方程22221x y a by x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +-+-=（）， 因为直线交椭圆于A ，B 两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，由根与系数的关系可得22222121222222,cb c b a b y y y y a b a b-+=-=++， 且112F B AF =，可得212y y =-， 代入根与系数的关系可得2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++， 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 化简可得2292c a =，所以3c e a ==. 故选D ．21．已知直线l 与抛物线2y x =交于A ，C 两点，B 为抛物线上一点，A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列.若ABC △中，AC 边上的中线BP 的长为3，则ABC △的面积为 AB． C．2D．【答案】D【解析】设()11,A x y ，(),B m n ，()22,C x y ，因为A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列，所以122m x x =+， 又因为BP 为AC 边上的中线，所以BP x ⊥轴，即()2,3P m m +， 因为()11,A x y ，()22,C x y 在抛物线上，所以有211222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差可得()()2212121212y y x x x x x x -=-=+-，所以1212122AC y y k x x m x x -==+=-，所以直线l 的方程为()()232y m m x m -+=-，即223y mx m =-+，由2223y mx m y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得：22230x mx m -+-=，所以2121223x x m x x m +==-，，所以12x x -==故1212ABC S BP x x =-=△ 故选D.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合根与系数的关系以及题中条件即可求解，属于常考题型．求解本题时，先设A ，B ，C 三点坐标，由 A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列，以及BP 为AC 边上的中线可表示出点P 的坐标，再由点差法求出直线l 的方程，联立直线与抛物线方程，结合根与系数的关系即可求出结果.22．过双曲线()2222100x y a b a b-＝＞，＞的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为A ．(B ．(C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，双曲线右焦点为)，过右焦点的直线为y kx =-曲线方程联立消去y 可得到()()2222222222220b a kxa k a a kb k b -+-++=，①由题意可知，当k =1时，方程①有两个不相等的异号实根，所以()2222220a a b b a +>-，解得0＜a ＜b ，即1ba>； 当k =3时，方程①有两个不相等的同号实根，所以()2222291009a a b b a +<-，解得0＜b ＜3a ，3b a<；又e ==．故答案为C.【名师点睛】(1)本题主要考查双曲线的离心率的范围，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求离心率常用的方法用公式法和方程法.求解本题时，先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y ，由k =1得到()2222220a a b b a +>-，即1b a>.由k =3得到()2222291009a a b b a +<-，即3b a<，再求离心率e ==. 23．椭圆2214x y +=上存在两点，A,B 关于直线4x −2y −3=0对称，若O 为坐标原点，则|OA⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ．1B ．√3C ．√5D ．√7【答案】C【解析】由题意直线AB 与直线4x −2y −3=0垂直，设直线AB 的方程为y =−12x +m ． 由{y =−12x +mx 24+y 2=1 消去y 整理得x 2−2mx +2m 2−2=0， ∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ=(−2m)2−4(2m 2−2)=−4m 2+8>0，解得−√2<m <√2． 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 的中点为M(x 0,y 0)， 则x 1+x 2=2m ， ∴1202x x x m +==，00122my x m =-+=， ∴点M 的坐标为(m,m2)．由题意得点M 在直线4x −2y −3=0上， ∴4m −2×m 2−3=3m −3=0，解得m =1．∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=−12(x 1+x 2)+2m =1， ∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,1)， ∴|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5． 故选C ．24．已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()10F ，，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.若O 为坐标原点，直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1，则123111k k k ++= A ．43- B ．−3 C ．1813-D ．32-【答案】A【解析】因为椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()10F ，，且离心率为12，结合222a b c =+， 所以可求得椭圆的标准方程为22143x y +=， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （s 1，t 1），E （s 2，t 2），M （s 3，t 3），因为A 、B 在椭圆上，所以22221122114343x y x y +=+=，， 两式相减得121211*********y y x x s k x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得322233441133t t k s k s =-=-，， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭， 因为直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1， 所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 所以选A.【名师点睛】本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，点差法在涉及中点问题中的综合运用，计算量较大，属于难题.求得椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++的值.25．已知双曲线22:145x y C -=右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点.当2AP PB =时，OA OB ⋅=A ．818 B ．9 C ．274D ．92【答案】A【解析】如图，设A ，B 在y 轴上的垂足分别为C ，D ，设A （x 1，b a x 1），x 1＞0，B （x 2，b a-x 2），x 2＞0，P （x 0，y 0）， 由2AP PB =，得（x 0﹣x 1，y 0b a -x 1）2=（x 2﹣x 0，﹣y 0ba -x 2），∴x 0﹣x 12=（x 2﹣x 0），解得x 01223x x +=，y 0b a -x 12=（﹣y 0b a -x 2），解得y 0b a=•1223x x -，将P 点代入双曲线方程可得2212122222()()33x x x x b a a b+-⋅-=1， 化简得x 1x 298=a 2=92，又渐近线y x =的倾斜角θ的正切值为tan θ=， 故余弦值为2cos 3θ=， 由图象可得：12cos cos x x OA OB θθ⋅=⋅=818. 故选A.【名师点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及向量的几何意义，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.求解本题时，设A ，B 在y 轴上的垂足分别为C ，D ，以及A （x 1，bax 1），x 1＞0，B （x 2，b a-x 2），x 2＞0，P （x 0，y 0），根据向量的几何意义求出点P 的坐标，代入双曲线方程可得x 1x 298=a 2，进而可得所求结果. 26．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为−1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，直线l 与抛物线相切且l MN ∥，P 为l 上的动点，则PM PN ⋅的最小值是 A ．−12 B ．−14 C ．−16 D ．−18【答案】B【解析】依题意可知，抛物线的焦点坐标为()10，，由于直线MN 的斜率为1-，故直线MN 的方程为()1y x =--，即1y x =-+，由214y x y x=-+⎧⎨=⎩，解得((3232M N +----+，.设直线l 的方程为y x b =-+，由24y x b y x=-+⎧⎨=⎩，化简得()22240x b x b -++=，由于直线和抛物线相切，判别式()222440b b ∆=+-=，解得1b =-， 故直线l 的方程为1y x =--.设直线l 上任意一点的坐标为()1P x x --，，则PM PN ⋅=()()3131x x x x +--⋅--+，，2286x x =--=()22214x --，当2x =时取得最小值，为14-，故选B.【名师点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查数量积的坐标运算，考查解二元二次方程组，考查向量的坐标运算，属于中档题.直线方程的点斜式为()00y y k x x -=-，对于已知直线上一点和斜率的情况，可直接由点斜式写出直线方程.当直线和抛物线相切时，可联立直线方程和抛物线方程，然后利用判别式求得直线的表达式.求解本题时，利用点斜式求得过焦点且斜率为1-的直线方程，联立此方程和抛物线方程求得M N ，两点的坐标，设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线的方程，化简后利用判别式求得直线l 的方程，设出P 点的坐标，代入PM PN ⋅，由此求得数量积的最小值.27．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且,4,AF BF 成等差数列，则k =_______. 【答案】2【解析】设1122,,()(),A x y B x y ．由228y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得()224240k x k x -++=， 故()()22162166410k k k ∆=+-=+>， 解得1k >-，且1224(2)k x x k ++=． 由11222,222p pAF x x BF x x =+=+=+=+，且,4,AF BF 成等差数列， 得12228x x +++=，得124x x +=， 所以24(2)4k k +=，解得1k =-或2k =，又1k >-，故2k =.28．若直线):1l y x =-与双曲线222:14x y C b-=（0b >）的右支有两个不同的交点，则双曲线C 的渐近线斜率k 的取值范围是________.【答案】33322⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 【解析】由题意，联立方程组)222114y x x y b⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22212241240b x x b -+--=，要使得直线):1l y x =-与双曲线222:14x y C b -=（0b >）的右支有两个不同的交点， 则满足()()222122212224412124024012124012b b x x b b x x b ∆⎧=+⨯-+>⎪⎪-⎪+=>⎨-⎪⎪--=>⎪-⎩，因为0b >，解得3b <<又由双曲线222:14x y C b-=的渐近线的方程为2by x =±， 所以双曲线C 的渐近线斜率k 的取值范围是33322⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和曲线的方程联立方程组，根据二次方程根与系数的关系，列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.求解本题时，由题意，联立方程组，根据直线):1l y x -与双曲线222:14x y C b-=的右支有两个不同的交点，利用根与系数的关系，列出不等式组，即可求解.29．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=.故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,， 得223611n n +=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=.故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．30．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,,a b c ====,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△. 故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 31．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 32．（2018新课标I 理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为()223y x =+， 与抛物线方程联立得()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()1,0F ，所以()()0,2,3,4FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.33．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP可得2tan 6PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =. 故选D ．34．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3 C．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y =和y x =联立，求得M，3(,2N，所以||3MN ==. 故选B ．35．（2017新课标全国I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【答案】A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知2212123422122424||||24k k AB DE x x x x p k k +++=++++=++=22124488k k ++≥16=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号． 故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p p DE αα==，所以2222||||cos sin p p AB DE αα+=+= 22222222221111sin cos 4()4()(cos sin )4(2)4(22)cos sin cos sin cos sin αααααααααα+=++=++≥⨯+16=．36．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为FF 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--， 故选B ．【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．37．（2019年高考浙江卷）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==， 设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==， 即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛-⎝⎭，所以212PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.38．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥ 由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥ ∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠= 又渐近线OB的斜率为tan 60ba=︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由tan 60ba=︒=. 39．（2018新课标Ⅲ理）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+.取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''， 设F 为C 的焦点.因为90AMB ︒∠=,所以()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=. 因为M '为AB 中点，所以MM '平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以01y =，则122y y +=，即2k =. 故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率.。
考点39 直线与圆锥曲线的位置关系-2020年高考数学(文)考点一遍过
专题39 直线与圆锥曲线的位置关系（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=. （1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点； 若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离. （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长2222121121221()()1|1|(0)＝AB x x y y k x x y y k k-+-=+-=+-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a -.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a .（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0pk y =.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆x 2+4y 2=4，直线l :y ＝x ＋m ． (1)若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；(2)若l 与椭圆相交于P ,Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得2244x y y x m+==+⎧⎨⎩，即5x 2+8mx +4m 2−4=0，由于直线l 与椭圆有一个公共点，则Δ=80−16m 2=0, 所以m =±√5.(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2，y 2)，由(1)知：2121284455，m m x x x x -+=-=，则|PQ 12||x x -=解得：m =±√304.典例2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ． （1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求OAB △的面积．【解析】（1）由题意知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，则抛物线C 的方程为24y x =，抛物线E 的方程为24x y =.若直线l 的斜率不存在，则易知直线l 的方程为0x =； 若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，联立24y x =，可得22(24)10k x k x +-+=，当0k =时，14x =，满足题意，此时直线l 的方程为1y =； 当0k ≠时，22(24)40k k ∆=--=，解得1k =， 此时直线l 的方程为1y x =+.综上，直线l 的方程为0x =，或1y =，或1y x =+. （2）易得直线MF 的方程为1y x =-+，由241y x y x ⎧=⎨=-+⎩得2440,y y +-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124y y +=-，124y y =-，从而12y y -=，所以OAB △的面积为1212OAB S OF y y =-=△1．已知()()121,0,1,0F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，且3AB =，则C 的方程为A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=2．已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>的准线的距离为2. （1）求抛物线C 的方程及焦点F 的坐标；（2）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，求直线PA 与PB 的斜率之积.考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线C ：y 2=2px （p >0），焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，D(x 0,y 0)为AB 的中点，且|AF|+|BF|=1+2x 0．（1）求抛物线C 的方程；（2）若x 1x 2+y 1y 2=−1，求0x AB的最小值．【解析】（1）根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x 1+x 2+p ，x 1+x 2=2x 0， ∵|AF|+|BF|=1+2x 0，∴p =1， ∴y 2=2x ．（2）设直线l 的方程为x =my +b ， 代入抛物线方程，得y 2−2my −2b =0，∵x 1x 2+y 1y 2=−1，即22111214y y y y +=-， ∴y 1y 2=−2，即y 1y 2=−2b =−2，∴b =1， ∴y 1+y 2=2m ，y 1y 2=−2，|AB|=√1+m 2|y 1−y 2| =√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =2√1+m 2⋅√m 2+2，()2222121101212121244x x y y x y y y y m ++⎡⎤===+-=+⎣⎦，∴20x AB =， 令t =m 2+1，t ∈[1,+∞)，则04x AB ==≥当且仅当1t =时等号成立． 故0x AB的最小值为4. 典例4 已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率存在的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，且222AF BF AB +=，求直线l 的方程.【解析】（1）∵直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，且45225OM k ==， ∴12PQ k =-，∴直线PQ 的方程为412525y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴()0,1P ，()2,0Q ，即2a =，1b =，∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）易知直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为(y k x =，代入椭圆E 的方程2214x y +=中，得()2222141240kxx k +++-=，由椭圆定义知224AF BF AB a ++=， 又222AF BF AB +=， 从而4833AB a ==， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212214x x k-+=+，212212414k x x k -=+.∴12AB x =-=83=，代入并整理得2212143k k +=+， ∴k =.故直线l 的方程为0x -+=或0x ++=.3．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点． （1）当2a =时，求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数a 的值．4．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线交于点()11,,A x y ()22,B x y ，且124y y =-．（1）求抛物线的方程；（2）设直线l 与y 轴交于点D ，试探究：线段AB 与FD 的长度能否相等？如果相等，求直线l 的方程，如果不等，说明理由．考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（1）若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； （2）若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．【解析】（1）当m =1时，E 为抛物线y 2=4x 的焦点， ∵k 1k 2=−1，∴AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y =k 1(x −1)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由{y =k 1(x −1)y 2=4x得k 1y 2−4y −4k 1=0，y 1+y 2=4k 1，y 1y 2=−4.则211221,M k k ⎛⎫+⎪⎝⎭，同理，N (2k 12+1,−2k 1)，∴2121112222EMN S EM EN k k ==△， 化简得2111122242EMNk S EM EN k +==⨯≥⨯=△， 当且仅当k 1=±1时等号成立. 故ΔEMN 的面积取得最小值，为4.（2）设直线AB 的方程为y =k 1(x −m )，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由{y =k 1(x −m )y 2=4x 得k 1y 2−4y −4k 1m =0，y 1+y 2=4k 1，y 1y 2=−4m ， 则21122,M m k k ⎛⎫+⎪⎝⎭， 同理22222,N m k k ⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴直线MN 的方程为1221122y k k x m k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即y =k 1k 2(x −m )+2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．典例6 已知椭圆方程为2214y x +=，射线2(0)y x x =≥与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于,A B 两点（异于M ）. （1）求证：直线AB 的斜率为定值； （2）求AMB △面积的最大值.【解析】（1）由22142(0)y x y x x ⎧+=⎪⎨⎪=≥⎩，得M ⎝，不妨设直线:MA y k x ⎛=- ⎝⎭，直线:MB y k x ⎛=-- ⎝⎭.由22214y k x y x ⎧⎛=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩， 得()()2222142202kx x k k +++--=，设()()1122,,,,2A x y B x y M ⎛ ⎝，21224x k-∴+=+，)()2124424k k x k --∴=+，同理得)()2224424k k x k +-=+，(121212122ABk x x y y k x x x x +-∴===--， ∴直线AB 的斜率为定值2.（2）设直线:2AB y x m =+，由22214y x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得228440x mx m ++-=，则212124,28m m x x x x -+=-=，由>0∆得m -<<0m ≠， 又点M 到AB的距离d =，AB ==则2211118||122442AMBm m S AB d +-=⋅==⋅=△， 当且仅当228m m =-，即24m =，2m =±时，取等号， 所以AMB △面积的最大值为1.5．已知抛物线22(0)x py p =>过点(2,1). （1）求抛物线的方程和焦点坐标；（2）过点(0,4)A -的直线l 与抛物线交于两点,M N ，点M 关于y 轴的对称点为T ，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明.6．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右焦点F 2与抛物线y 2=4x 的焦点重合，左顶点为P ，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，直线PA 、PB 与直线l:x =4交于M 、N 两点. （1）求椭圆E 的方程；（2）试计算PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.1．直线y =kx −k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．已知直线y =kx −1与双曲线x 2−y 2=4的右支有两个交点，则k 的取值范围为 A ．(0,√52) B ．[1,√52] C ．(−√52,√52)D ．(1,√52) 3．直线1y x =+被椭圆2248x y +=截得的弦长是A ．1225B ．825C 34D 17 4．设F 为抛物线C ：y 2=8x 的焦点，过F 作倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，则|AB |= A ．323B ．16C ．32D ．4√35．直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F 且与抛物线交于A,B 两点，若线段AF,BF 的长分别为m,n ，则4m +n 的最小值是 A ．10 B ．9 C ．8D ．76．已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率为ABCD ．27．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率k 为 A ．2B ．2-C ．12-D ．128．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ,C ,若AB BC =u u u ru u ur ,则双曲线的渐近线方程为 A ．(√2+1)x+y =0 B ．(√2+1)y -x =0 C ．(√2+1)x ±y =0D ．(√2+1)y ±x =09．过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且||3AF =，O 为坐标原点，则AOF △的面积与BOF △的面积之比为A ．12BC D ．210．若椭圆()2221024x y b b+=<<与直线x −2y +4=0有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线截椭圆x 24+y 2=1所得弦长为4√33，则此双曲线的离心率为 A ．√2 B ．√3C ．2D ．√612．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-||PF =A ．B ．43CD ．213．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且,4,AF BF 成等差数列，则k = A ．2或1- B ．1-C ．2D ．1±14．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，则经过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．不确定15．如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x =D ．y 2=√3x16．已知椭圆C ：22184x y +=，过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线l 的斜率为 A ．114±B ．114C ．14±D ．1417．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线2l 与抛物线C 交于,M N 两点，若直线1l 与直线2l 的斜率的乘积为1-，则||||AB MN +的最小值为 A ．14 B ．16 C ．18D ．2018．直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点M 的坐标为(3,2)，则抛物线C 的方程为 A ．22y x =或24y x = B ．24y x =或28y x = C ．26y x =或28y x =D ．22y x =或28y x =19．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于__________．20．如果双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线与抛物线y =x 2+1相切，则该双曲线的离心率为___________.21．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为π4的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点()0,2，则p 等于___________. 22．直线m 与椭圆x 22+y 2=1分别交于点P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1⋅k 2的值为__________．23．过抛物线C :y 2=x 上一点A (1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P ,Q (异于点A )两点,则直线PQ恒过定点_________.24．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且倾斜角为120︒的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B两点，则AF BF=___________．25．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，5CD =，求k 的值．26．已知抛物线y 2=2px (p >0)上的点P 到点F (p2,0)的距离与到直线x =0的距离之差为1，过点M (p,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求抛物线的方程；（2）若∆ABO 的面积为4√3，求直线l 的方程.27．设A 、B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线23y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使OM ON tOD +=u u u u r u u u r u u u r，求t 的值及点D 的坐标．28．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点()(),20Q t t t -≠在抛物线C 上，2QF =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）如图，P 为抛物线C 的准线上任一点，过点P 作抛物线C 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，直线0x =与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，求mn 的值.29．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点且离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =u u u r u u u r．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.30．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A C ∈，A 在l 上的射影为B ，且ABF△是边长为4的正三角形. （1）求p ；（2）过点F 作两条相互垂直的直线121,,l l l 与C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,M N 两点，设POQ △的面积为1,S MON △的面积为2S （O 为坐标原点），求2212S S +的最小值.31．已知抛物线()2:20C y px p >＝的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且2QF PQ ＝. （1）求p 的值；（2）已知点(),2T t -为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为83-，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．32221y b=（0a >，0b >）上，且双曲线的一条渐近线的方程是0y +=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于A B 、两个不同的点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．33．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 不同的两点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=u u u r u u u r ，2NB BF λ=u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值．34．已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．35．已知椭离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线:0l x y -+=与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且124k k +=，证明：直线AB 过定点1(,1)2--．36．已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左顶点为(20)M -，，离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB ⋅u u u r u u u r 取得最大值时，求MAB △的面积．1．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．922．（2019年高考天津卷文数）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 3．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=4．（2017新课标全国II 文科）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，的直线交C 于点M （M 在x的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．5．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.6．（2018北京文科）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________________．7．（2019年高考浙江卷）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．8．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．9．（2019年高考北京卷文数）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．10．（2019年高考天津卷文数）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已|2||OA OB =（O 为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.11．（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．12．（2019年高考浙江卷）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．13．（2018新课标全国Ⅰ文科）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．14．（2018新课标全国Ⅱ文科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．15．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．16．（2018北京文科）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点71(,)44Q -共线，求k ．17．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．18．（2018天津文科）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．||AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．19．（2017新课标全国Ⅰ文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．1．【答案】C【解析】因为3AB =，所以232AF =，又12||2F F =， 所以在直角三角形12AF F 中，15||2AF ===，因为1253||||4222AF AF a +=+==，所以2,1,a c b === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.故选C.2．【解析】（1）由已知得122p+=，所以 2.p = 所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 的坐标为()1,0； （2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，由已知得(1,2)Q --， 由题意直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为()12(0)y k x k =+-≠.由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩，得24480ky y k -+-=， 则121248,4y y y y k k+==-， 因为点,A B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =， 则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，22224.12PBy k x y -==-+ 故121212441616284222()4424PA PB k k y y y y y y k k⋅=⋅===+++++-+⨯+.故直线PA 与PB 的斜率之积为2.4．【解析】（1）设直线:2p l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：2220ky py kp --=， 2124y y p ∴=-=-，解得：2p =， ∴抛物线方程为24y x =.（2）由（1）知：()():10l y k x k =-≠，联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222220k x k x k -++=，此时()224242416160k k k ∆=+-=+>恒成立，()212222242k x x k k+∴+==+，121=x x ，l Q 过焦点F ，12244AB x x p k∴=++=+，由()0,D k -，()1,0F ，得DF =由AB FD =244k=+，即()()242116160k k k +--=，210k +>Q ，4216160k k ∴--=，解得：28k =+或28k =-（舍），k ∴==±.∴当直线l 的方程为)1y x =±-时，AB FD =.5．【解析】（1）因为抛物线22(0)x py p =>过点(2,1)，所以24p =，所以抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1). （2）设直线l 的方程为4y kx =-，由244y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得24160x kx -+=， 则216640k ∆=->，即||2k >， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则T 11(,)x y -， 且12124,16x x k x x +==. 直线212221:()y y TN y y x x x x --=-+，212221()y y y x x y x x -∴=-++，2222122121()4()4x x y x x x x x -∴=-++，222121221444x x x x x y x x --∴=-+，2112 44x x x xy x -∴=+， 即2144x x y x -=+， 所以，直线TN 恒过定点(0,4).6．【解析】（1）由题意知c a=12，右焦点F 2(1,0)，即c =1，且b 2+c 2=a 2，解得a =2 , b =√3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.（2）由（1）知P(−2,0)，当直线AB 的斜率不存在时，即直线AB 的方程为x =1，易知A(1,32),B(1,−32)，所以直线PA:y =12(x +2),直线PB:y =−12(x +2). 令x =4，可知：M(4,3),N(4,−3), 此时PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =27. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，直线PA:y =y 1x 1+2(x +2),直线PB:y =y 2x 2+2(x +2),令x =4，可知M(4,6y 1x 1+2),N(4,6y 2x 2+2)，联立()2213412y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++. 此时()()()()21212121212121363636362224k x x x x y y PM PN x x x x x x ⎡⎤-++⋅⎣⎦⋅=+=++++++u u u u r u u u r22(9363627)36k k -=+=.综上所述，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，且27PM PN ⋅=u u u u r u u u r.1．【答案】A【解析】由题意得直线y −1=k(x −1)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆x 29+y 24=1的内部,所以直线与椭圆相交.选A ． 2．【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线方程为y x =±，∴当﹣1＜k ≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点； 当k ≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点.把1y kx =-代入x 2−y 2=4得22(1)250k x kx -+-=， 令22420(1)0k k ∆=+-=，解得k =√52或k =﹣√52（舍去）．∴直线y =kx −1与双曲线x 2−y 2=4的右支有两个交点时，1＜k ＜√52． 故选D ． 3．【答案】A【解析】将直线1y x =+代入2248x y +=，可得()22418x x ++=，即25840x x +-=，∴x 1＝﹣2，x 225=， ∴y 1＝﹣1，y 275=，∴直线1y x =+被椭圆2248x y +==5. 故选A ． 4．【答案】C【解析】由题意知F （2,0），AB 所在直线的方程为y =tan30°(x −2)=√33(x −2)，联立y 2=8x 消元得y 2−8√3y −16=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=8√3,y 1⋅y 2=−16， 所以|AB |=√1+3×√64×3+4×16=32，故选C ． 5．【答案】B【解析】由抛物线焦点弦的性质可知：1m +1n =2p =1， 则4m +n =(4m +n )(1m +1n )=5+4m n +n m ≥5+2√4m n×nm =9，当且仅当m =32,n =3时等号成立.即4m +n 的最小值是9.本题选择B 选项. 6．【答案】B【解析】由218y kx x y=-⎧⎨=⎩，得2880x kx -+=，Q 直线与抛物线相切，22164320,2k k ∆∴=-==， ∴双曲线方程为2212y x -=，可得1,a c ==，则双曲线的离心率ce a==. 故选B ． 7．【答案】C【解析】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()()()0b x x x x a y y y y +-++-=， ∴2212122()2()0b x x a y y -+-=，即221212()240()y y b bx x -+=-，即1120,2k k +=∴=-. 故选C. 8．【答案】C【解析】由题意知直线过点A (a ,0),且斜率k =tan 135°=-1, 则直线的方程为x+y-a =0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B (a 2a+b ,aba+b),C (a 2a−b ,-aba−b),则有22222222(,)a b a b BC a b a b=---u u u r ,(,)ab ab AB a b a b =++-u u u r . 因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =√22BC ⃗⃗⃗⃗⃗,所以222ab ba b a b-=+-, 化简得ba =√2+1,则双曲线的渐近线方程为(√2+1)x ±y =0. 故选C. 9．【答案】D【解析】设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+， 将该直线方程与抛物线方程联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，124y y ∴=-， 由抛物线的定义得113AF x =+=，得12x =，21148y x ∴==，10y >Q，1y ∴=，可得出2y =112212212AOF BOFOF y S yS y OF y ⋅∴===⋅△△，故选D ． 10．【答案】B【解析】联立方程得{b 2x 2+4y 2=4b 2x −2y +4=0，消去y 化简得(b 2+1)x 2+8x +16−4b 2=0，由题意得Δ=64−4×(b 2+1)(16−4b 2)≥0,∴b 2≥3, ∴4−c 2≥3,∴c 2≤1,∴c ≤1,∴ca ≤12. 故该椭圆离心率的取值范围是(0,12]. 故选B ． 11．【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为：bx −ay =0，则220 14bx ay x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得x y ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 一条渐近线截椭圆x 24+y 2=1所得弦长为4√33，可得222244443a b a b +=+，即2a 2=b 2=c 2−a 2，解得e =ca ＝√3． 故选B ． 12．【答案】B【解析】Q 抛物线方程为24y x =，∴焦点(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，Q 直线AF的斜率为3-AF的方程为1)y x =-，由11)x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩可得A 点坐标为(1-， PA l ⊥Q ，A 为垂足，P ∴， 代入抛物线方程，得P 点坐标为1(3，3， 14||||(1)33PF PA ∴==--=.故选B. 13．【答案】C【解析】设1122,,()(),A x y B x y ． 由228y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得()224240k x k x -++=， 故()()22162166410k k k ∆=+-=+>，解得1k >-，且1224(2)k x x k ++=． 由11222,222p pAF x x BF x x =+=+=+=+，且,4,AF BF 成等差数列， 得12228x x +++=，得124x x +=， 所以24(2)4k k +=，解得1k =-或2k =， 又1k >-，故2k =， 故选C ． 14．【答案】A【解析】因为12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，所以12x x m +=-，()1221x x m =-+，且211(21)0x mx m +-+=，222(21)0x mx m +-+=，则直线AB 的斜率22212121ABx x k x x m x x -==+=--， 则直线AB 的方程为()211y x m x x -=--，即()11(21+)y x m x m m x -+=--， 整理得()()210x m y -+-=，故直线AB 恒过()2,1点，而该点在椭圆内部， 所以直线和椭圆相交，即公共点有2个. 故选A ． 15．【答案】C【解析】过点B 作准线的垂线,垂足为B 1,记准线与x 轴的交点为F 1,则依题意得1123BB BC FF CF==,所以|BB 1|=23|FF 1|=23p , 由抛物线的定义得|BF |=|BB 1|=23p . 令A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),依题意知F (p2,0),可设直线l 的方程为y =k (x -2p ). 联立方程222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩,消去y 得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=p(k 2+2)k 2,x 1·x 2=p 24. 又由抛物线的定义知|AF |=x 1+2p ,|BF |=x 2+2p, 则可得1|AF|+1|BF|=2p ,于是有13+32p =2p ,解得2p =3, 所以此抛物线的方程是23y x =. 选C. 16．【答案】C【解析】由题意可得,直线l 的斜率存在且不为0,不妨设直线l :y =k (x-1),则由2228y kx kx y =-⎧⎨+=⎩消去y 化简得,(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-8=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由根与系数的关系可得x 1+x 2=22412k k +,x 1x 2=222812k k-+. 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 1+2x 2=3, 所以x 2=223212k k++,x 1=2k 2−31+2k , 所以x 1x 2=2k 2−31+2k2·3+2k 21+2k 2=2k 2−81+2k2,化简得k 2=114, 解得k =±√1414. 故选C. 17．【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知12,l l 的斜率存在且不为零，设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k -，所以()()121:1,:1l y k x l y x k=-=--， 联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y ，整理得()2222240k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212222442k x x k k++==+， 故122424AB x x k =++=+， 同理可求得244MN k =+.故2248488816AB MN k k +=++≥+=+=， 当且仅当2244,1k k k ==±时，等号成立， 故||||AB MN +的最小值为16. 故选B ．【解析】由题意，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF ， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()2p y k x =-， 联立方程组2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得21222k p px x k ++=， 所以212222222k p p p p k x x k==+++， 代入直线的方程，得2[()]22p p p py k k k=+-=， 又因为AB 的中点为(3,2)M ，所以2322p pk p k⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1k =或2k =，∴2p =或4p =，∴抛物线C 的方程为24y x =或28y x =． 故选B.【解析】已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =bax ，代入抛物线方程y =x 2+1，整理得ax 2−bx +a =0，∵渐近线与抛物线相切，∴ b 2−4a 2=0，即c 2=5a 2⇔e =√5. 故答案为√5. 21．【答案】45【解析】由题意，抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 则过焦点F 且倾斜角为4π的直线方程为2p y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由222p x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y py p --=，∴122y y p +=，123x x p +=， ∴弦AB 的中点坐标为3,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭， 则弦AB 的垂直平分线方程为2y x -=-， ∵弦AB 的中点在该直线上，∴322pp -=-， 解得45p =. 22．【答案】−12【解析】设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，中点P(x 0,y 0)，则k 1=y 1−y 2x 1−x 2,k 2=y 0x 0=y 1+y 2x 1+x 2，把点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)代入椭圆的方程x 22+y 2=1，整理得x 122+y 12=1,x 222+y 22=1，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，整理得()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+， 即k 1k 2=−12. 23．【答案】(2,-1)【解析】由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设AP :y-1=k (x-1),与抛物线C :y 2=x 联立,消去x ,得ky 2-y+1-k =0,由根与系数的关系可得,1P k y k-= ,即P ((1−k k )2,1−kk),同理可得Q ((k+1)2,-k-1),所以直线PQ 的斜率k PQ =212k k k--,所以直线PQ :(1-k 2-2k )y =kx+k 2-1.通过对比可知,x =2,y =-1满足条件,即直线PQ恒过定点(2,-1). 24．【答案】13【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 直线AB的方程为)2p y x =-， 由抛物线的焦点弦公式，得12228||sin 3p pAB x x p θ=++==， ∴1253px x +=，联立直线与抛物线的方程2)22p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得，2233504p x px -+=，故2124p x x =，联立方程组12212534p x x p x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得232x p =，16px =， 则12||16223||3222p p px AF p p p BF x ++===++， 故答案为13．25．【解析】（1）由题意得2c =，所以22c =，又3c a =，所以23a =，21b =，所以椭圆的方程为2213x y +=．（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(13)1290k x kx +++=，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+> ①，1221213k x x k +=-+，122913x x k⋅=+，又CD =1212()y y k x x -=-，所以5=， 又22221212122221236()()4(13)13k x x x x x x k k -=+-=-++，代入上式，整理得42712270k k --=，即22(79)(3)0k k +-=，解得297k =-（舍去）或23k =，即k =经验证，k =能使①成立，故k =26．【解析】（1）设P (x 0,y 0)，由定义知|PF |=x 0+p2，∴(x 0+p2)−x 0=1，∴p =2， 故抛物线的方程为y 2=4x .（2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由（1）知M(2，0). 若直线l 的斜率不存在，则方程为x =2，此时|AB |=4√2，所以∆ABO 的面积为4√2，不满足题意，所以直线l 的斜率存在；设直线l 的方程为y =k (x −2)，代入抛物线方程得k 2x 2−4(k 2+1)x +4k 2=0，则∆=16(k 2+1)2−16k 4>0，x 1+x 2=4+4k 2，x 1x 2=4，所以|AB |=√1+k 24√2k 2+1k 2， 点O 到直线l 的距离为d =√1+k 2，所以12√1+k 24√2k 2+1k 2√1+k 2=4√3，解得k =±1.故直线l 的方程为y =x −2或y =−x +2.27．【解析】（1）由实轴长为a =y x =，即0bx ±=，因为焦点到渐近线的距离为=又2222,3c b a b =+∴=，所以双曲线的方程为221123x y -=．（2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ， 则120120,x x tx y y ty +=+=，由21222238401123y x x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩所以1212()4123y y x x +=+-=，所以00x y =又22001123x y -=，所以003x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以4t =，所以D ．28．【解析】（1）根据题意，得242220t ptpt t ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，所以2p =.故抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）设点P 的坐标为()01,y -，直线AP 的方程为()101y k x y =++， 直线BP 的方程为()201y k x y =++.由2104(1)y x y k x y ⎧=⎨=++⎩，得21104440k y y k y -++=. 所以()110164440k k y ∆=-+=，得210110k y k +-=.同理，得220210k y k +-=，所以120121k k y k k +=-⎧⎨=-⎩，分别令0x =，得10m k y =+，20n k y =+， 所以()()1020mn k y k y =++()2012012y k k y k k =+++ 22001y y =--1=-.29．【解析】（1）由已知点代入椭圆方程，得22211a b+=，由2e =得2c a =，可转化为222a b =， 由以上两式解得224,2a b ==，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA =u u u r u u u r,所以设所求直线方程为:3l y kx =+， 代入椭圆方程化简得：()221212140k xkx +++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1221212k x x k +=-+①，1221412x x k=+②， ()2227(12)414120,4k k k ∆=-⨯⨯+>>，由已知条件2PB PA =u u u r u u u r可得212x x =,③综合上述①②③，可解得27724k =>，符合题意,所以所求直线l 的方程为：3y x =+.30．【解析】（1）设准线与x 轴的交点为点H ，连结,,AF AB BF ，因为ABF △是正三角形，且4BA AF BF ===， 所以在BHF △中，90,30,4BHF FBH BF ∠=︒∠=︒=， 所以2HF p ==.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线()1:10l y kx k =+≠， 由（1）知2:4C x y =，联立方程：241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2440x kx --=.因为216160k ∆=+>，所以12124,4x x k x x +==-，所以()241PQ k ==+，又原点O 到直线1l 的距离为d =所以()22141S k =+，同理222141S k ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以()222212221141418416S S kk k k ⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1k =±时取等号.故2212S S +的最小值为16.31．【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线定义知02QF px =+， 又2QF PQ ＝，0PQ x =， 所以0022p x x =+，解得02p x =， 将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知，C 的方程为28y x =，所以点T 坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
狂刷46 直线与圆锥曲线的位置关系-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学(理)(解析版)
专题九 解析几何狂刷46 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线2C y x =：与直线1l y kx =+：，“0k <”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由21y x y kx ⎧=⎨=+⎩，消元可得()222110k x k x +-+=，若直线l 与抛物线C 有两个不同交点，则()222110k x k x +-+=有两个不同的解，则()22202140k k k ∆⎧≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得1004k k <<<或． 则由0k <可推出1004k k <<<或，而由1004k k <<<或推不出0k <，故选A ．【名师点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，结合方程根的判断，属于基础题．先推出直线l 与抛物线C 有两个不同交点的充要条件，再判断与“0k <”的关系．2．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得1212121213AB y y x xk x x y y -+==-⋅-+，又M 为AB 中点，122x x ∴+=，122y y +=，13AB k ∴=-， ∴直线方程为()1113y x -=--，即340x y +-=. 故选A.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在直线的斜率．在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．3．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为33-PF = A ．3 B ．43C 3D ．2【答案】B【解析】Q 抛物线方程为24y x =，∴焦点()1,0F ，准线l 的方程为1x =-，Q 直线AF 的斜率为3AF 的方程为)31y x =-，由)1313x y x =-=--⎧⎪⎨⎪⎩可得A 点坐标为(1-23， PA l ⊥Q ，A 为垂足，P ∴23代入抛物线方程，得P 点坐标为1(323)，()14133PF PA ∴==--=.故选B.4．已知F 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y b =与双曲线交于M ，N 两点，且90MFN ∠=︒，则双曲线E 的离心率为 A 7B 3C ．2D 14 【答案】A【解析】将3y b =代入双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>中分别计算M ，N ，F 的坐标，得到()()23,23M a b N a b -，(),0F c ，结合90MFN ∠=︒，得到0MF NF ⋅=u u u r u u u r，所以()()2+,32,30a c b c a b -⋅--=，结合222c a b =+，得到2247c a =，所以7c e a ==， 故选A.【名师点睛】本道题考查了向量坐标运算，难度中等.分别计算出M ，N ，F 坐标，然后结合0MF NF ⋅=u u u r u u u r，代入坐标计算即可.5．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点C 的横坐标为53，则AB ＝ A ．133B ．143 C ．5D ．163【答案】D【解析】设A ，B 两点的横坐标分别为,A B x x ， 因为线段AB 的中点C 的横坐标为53，所以523A B x x +=，即103A B x x +=， 因为直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，故由定义可得2p =且||2A p AF x =+，||2B pBF x =+， 所以1016233A B AB AF BF x x p =+=++=+=． 故选D ．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和直线:143x yL +=，若过C 的左焦点和下顶点的直线与L 平行，则椭圆C 的离心率为 A ．45 B ．35 C ．34D ．15【答案】A【解析】由椭圆性质可知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为()0c -，，下顶点为()0b -，，所以过C 的左焦点和下顶点的直线方程为1x y c b +=--，即by x b c=--， 因为直线:143x yL +=与过C 的左焦点和下顶点的直线平行， 所以22223325544164b bc a b c c a c c -=-==+==，，，，故椭圆的离心率45c e a ==，故选A.【名师点睛】本题考查椭圆的相关性质，考查椭圆的图象特征和a b c 、、三者之间的关系以及离心率的相关计算，考查计算能力，是基础题.椭圆的a b c 、、三者之间有222a b c =+的关系.本题可以先通过椭圆的相关性质得出左焦点和下顶点的坐标，再计算出过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线方程，然后通过过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与L 平行得出b 与c 的关系，最后通过222a b c =+得出a 与c 的关系以及离心率.7．设动点,B C 在抛物线2:E x y =上，点(1,1)A ，直线,AB AC 的倾斜角互补，BC 中点的纵坐标为0y ，则0y 不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】设1122(,),(,)B x y C x y ，直线AB 的方程为(1)1(0)y k x k =-+≠， 由2(1)1y k x x y=-+⎧⎨=⎩消去y 整理得210-+-=x kx k ， ∵直线和抛物线交于两点，∴()2204420k k k k ≠⎧⎪⎨-+=->⎪⎩， 解得0k ≠且2k ≠．又点()1,1A ，∴11x k +=，故11x k =-，∴21(1)y k =-．以k -代替上式中的k ，可得22(1)y k =+．∴212012y y y k +==+， 由0k ≠且2k ≠可得01y >且05y ≠． 故选C ．8．设A ，B 是抛物线24y x =上的两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值为A ．2B ．2C 2D ．1【答案】D【解析】设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，可得2211224,4y x y x ==， 相减可得121212()()4()y y y y x x -+=-， 可得12112124422y y k x x y y t t-====-+，又由24t k =，所以1212k k =，则22211221k k k k ≥=+，当且仅当1222k k ==时取等号， 即2212k k +的最小值为1.故选D ．9．已知双曲线的一个焦点与抛物线27y x =的焦点重合，且与直线1y x =-交于M N ，两点，若MN中点的横坐标为23-，则此双曲线的标准方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22125x y -= D ．22152x y -= 【答案】C【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>．将1y x =-代入22221x y a b-=，整理得()222222220b a x a x a a b -+--=．由根与系数的关系得212222a x x a b +=-，则21222223x x a a b +==--．①又抛物线27y x =的焦点为)7，，所以2227c a b =+=，②由①②解得22a =，25b =，所以双曲线的方程是22125x y -=． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查利用代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得一元二次方程，再根据根与系数的关系及MN中点的横坐标可得关于a 、b 的一个方程，又双曲线中有222c a b =+，则另得关于a 、b 的一个方程，最后解关于a 、b 的方程组即得双曲线方程．10．过抛物线2:4C y x =的焦点F 3的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为 A ．3 B ．33C 5D ．22【答案】A【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，如图，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=o，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x =，023y =， 所以233sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===， 所以点M 到直线NF 的距离为3||sin 423NM MNF ⋅∠==. 11．已知A （2，0），B （0，1）是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线()0y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =u u u r u u u r，则斜率k 的值为A ．23B ．38C ．23或38D ．23或34【答案】C【解析】依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 易知直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，()0y kx k =>．将()0y kx k =>代入2214x y +=并化简得()22144k x +=， 设()()()001122D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程()22144k x +=， 故21214x x k=-=+由6ED DF =u u u r u u u r ，知()01206x x x x -=-，得()0212215677714x x x x k=+==+由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以2212714k k =++2242560k k -+=，解得23k =或38k =．故选C ．【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．依题可得椭圆的方程，易知直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，设()()()001122D x kx E x kx F x kx ，，，，，，且12x x ，满足方程()22144k x +=，进而求得2x 的表达式，根据6ED DF =u u u r u u u r，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k ．12．已知双曲线2221y x b-=2，直线2y kx =+与双曲线的左、右两支各有一个交点，则k 的取值范围是A ．()()11-∞-+∞U ，，B ．()11-，C ．()22-∞+∞U ，，D ．(22-，【答案】B【解析】Q 双曲线2221y x b -=2，12ca a ∴==，2211cb ==-=，，∴双曲线为221x y -=，将直线2y kx =+与双曲线221x y -=联立并化简可得()221450k x kx ---=，Q 直线2y kx =+与双曲线的左、右两支各有一个交点，2210011501k k k ∆⎧⎪-≠⎪∴>∴-<<⎨⎪⎪<-⎩，，即k 的取值范围是()11-，，故选B. 【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率、双曲线的几何性质，以及双曲线与直线的位置关系，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，考查函数与方程思想的应用，属于综合题.2求出双曲线的方程，再利用直线2y kx =+与双曲线的左、右两支各有一个交点，联立直线方程与双曲线方程可得()221450k x kx ---=，根据方程根与系数的关系建立不等式组，即可求出k 的取值范围.13．32:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，且16||3AB =，则p = A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C32:2(0)C y px p =>的焦点， 所以直线方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，由2322p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩得2322p x px⎛⎫-= ⎪⎝⎭，整理得：2233504x px p -+=， 所以1253p x x +=，因此1283p AB x x p =++=， 又163AB =，所以81633p =，解得2p =. 故选C.14．已知椭圆E ：22142x y +=，O 为坐标原点，作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与AB 的夹角为θ，且tan 22θ=k = A ．2B ．2±C 2D 2【答案】A【解析】由题意知0k ≠，设()11A x y ，，()22B x y ，，()00M x y ，，则0122x x x =+，0122y y y =+， 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中可得22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22012121222121212012y y y y y y y k x x x x x x x -+-=-=-⨯=--+-，又直线OM 的斜率00OM y k x =，所以0012y x k=-， 设直线OM 的倾斜角为α，则1tan 2kα=-，设直线AB 的倾斜角为β，则tan k β=， 所以()1tan tan 2tan tan 221tan tan 12kk k kαβθαβαβ---=-===+- 解得2k =.故选A.【名师点睛】本题考查了点差法在解决圆锥曲线中点弦问题的应用，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.利用点差法，设出A ，B 两点坐标并代入椭圆方程可得到直线OM 的斜率12OM k k=-，再结合直线OM 的倾斜角，直线AB 的倾斜角及θ三个角之间的关系，可列式子求出k .15．已知直线2y x m =+与椭圆C ：2215x y +=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当AOB △的面积取得最大值时，AB =A ．54221B ．21021C ．2427D ．3427【答案】A【解析】由22215y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222120550x mx m ++-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122021m x x +=-，2125521m x x -=，()221212124AB x x x x =++-()2252021102121m m --==.又O 到直线AB 的距离5m d =，则AOB △的面积()22222155211522212m m m m S d AB +--=⋅=≤=， 当且仅当2221m m =-，即2212m =时，AOB △的面积取得最大值.此时，210214221m AB -==.故选A.16．如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p =A ．3B ．54C ．52D ．4【答案】C【解析】设出该直线方程为()24y k x -=-，得到240kx y k -+-=， 因为D ()42，，O 点到该直线的距离为||5OD = 222242541551k k k k k -=-+=++，，解得2k =-，所以该直线方程为210y x =-+，()()1122,210,,210A x x B x x -+-+， 将直线方程代入抛物线方程，得到()2220500x x p -++=，所以121220252px x x x ++==，， 结合0OA OB ⋅=u u u r u u u r 得到()12125201000x x x x -++=，得到()22510200p -+=，解得52p =，故选C.【名师点睛】本道题考查了直线与抛物线位置关系，考查了直线方程的求解，偏难.结合D 点坐标，计算直线方程，代入抛物线方程，建立一元二次方程，结合0OA OB ⋅=u u u r u u u r，建立等式，结合根与系数的关系，代入计算p 即可.17．过抛物线M ：28y x =的焦点F 作两条斜率之积为2-的直线1l ，2l ，其中1l 交M 于A 、C 两点，2l 交M 于B ，D 两点，则||||AC BD +的最小值为________．【答案】24【解析】依题意可设(2)y k x =-，代入28y x =，得2222(48)40k x k x k -++=，则2224848A C k x x k k+=+=+，所以28||8A C AC x x p k =++=+， 以2k -代k ，得228||8822()BD k k=+=+-， 所以222288||||16216224AC BD k k k k+=++≥=⋅+， 当且仅当2282k k =，即2k =±. 故答案为24.18．已知椭圆22:12x C y +=，设过点()20P ，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是__________． 【答案】550055⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ， 【解析】由题意可设直线()():20l y k x k =-≠，将其代入2212x y +=，化简并整理可得()2222128820k xk x k +-+-=，因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ， 所以()()42264412820k k k∆=-+->，解得2222k -<<且0k ≠. 设()11A x y ，，()22B x y ，，则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，所以()()2121222y y k x x =--=2222222821624121212k k k k k k k ⎛⎫--+= ⎪+++⎝⎭， 因为AOB ∠为钝角，所以2212122282201212k k OA OB x x y y k k -⋅=+=+<++u u u r u u u r ，解得55k <<0k ≠.故答案为5500⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ，. 【名师点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及平面向量数量积公式的应用，属于难题. 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题．求解本题时，直线与椭圆方程联立，由判别式求得22k <<且0k ≠，再根据AOB ∠为钝角，即12120x x y y +<，利用根与系数的关系列关于k 的不等式，综合2222k -<<可得结果.19．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，则经过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．不确定【答案】A【解析】因为12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，所以12x x m +=-，()1221x x m =-+，且211(21)0x mx m +-+=，222(21)0x mx m +-+=，直线AB 的斜率22212121ABx x k x x m x x -==+=--， 直线AB 的方程为()211y x m x x -=--，即()11(21+)y x m x m m x -+=--， 整理得()()210x m y -+-=，故直线AB 恒过()2,1点，而该点在椭圆内部， 所以直线和椭圆相交，即公共点有2个.故选A ．20．已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45o 的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =u u u r u u u r，则椭圆的离心率为 A ．33 B ．32 C ．22D ．23【答案】D【解析】椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+， 联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +-+-=（）， 因为直线交椭圆于A ，B 两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，由根与系数的关系可得22222121222222,cb c b a b y y y y a b a b-+=-=++， 且112F B AF =u u u r u u u r，可得212y y =-， 代入根与系数的关系可得2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++， 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 化简可得2292c a =， 所以23c e a ==. 故选D ．21．已知直线l 与抛物线2y x =交于A ，C 两点，B 为抛物线上一点，A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列.若ABC △中，AC 边上的中线BP 的长为3，则ABC △的面积为 A 3B ．3C ．332D ．33【答案】D【解析】设()11,A x y ，(),B m n ，()22,C x y ，因为A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列，所以122m x x =+， 又因为BP 为AC 边上的中线，所以BP x ⊥轴，即()2,3P m m +， 因为()11,A x y ，()22,C x y 在抛物线上，所以有211222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差可得()()2212121212y y x x x x x x -=-=+-，所以1212122AC y y k x x m x x -==+=-，所以直线l 的方程为()()232y m m x m -+=-，即223y mx m =-+，由2223y mx m y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得：22230x mx m -+-=，所以2121223x x m x x m +==-，，所以()2121212423x x x x x x -=+-=故121332ABC S BP x x =-=△ 故选D.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合根与系数的关系以及题中条件即可求解，属于常考题型．求解本题时，先设A ，B ，C 三点坐标，由 A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列，以及BP 为AC 边上的中线可表示出点P 的坐标，再由点差法求出直线l 的方程，联立直线与抛物线方程，结合根与系数的关系即可求出结果.22．过双曲线()2222100x y a b a b-＝＞，＞的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为A ．(2，B ．(10，C ．(210，D ．510，【答案】C【解析】由题意可知，双曲线右焦点为)22a b +，，过右焦点的直线为22y kx a b =-+曲线方程联立消去y 可得到()()222222222222220b a kxa k ab x a a k b k b -++-++=，①由题意可知，当k =1时，方程①有两个不相等的异号实根，所以()2222220a a b b a +>-，解得0＜a ＜b ，即1ba>； 当k =3时，方程①有两个不相等的同号实根，所以()2222291009a a b b a +<-，解得0＜b ＜3a ，3b a<；又22221a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭(210，．故答案为C.【名师点睛】(1)本题主要考查双曲线的离心率的范围，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求离心率常用的方法用公式法和方程法.求解本题时，先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y ，由k =1得到()2222220a a b b a +>-，即1b a>.由k =3得到()2222291009a a b b a +<-，即3b a<，再求离心率22221a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 23．椭圆2214x y +=上存在两点，A,B 关于直线4x −2y −3=0对称，若O 为坐标原点，则|OA⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ．1 B ．√3 C ．√5D ．√7【答案】C【解析】由题意直线AB 与直线4x −2y −3=0垂直，设直线AB 的方程为y =−12x +m ． 由{y =−12x +mx 24+y 2=1 消去y 整理得x 2−2mx +2m 2−2=0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ=(−2m)2−4(2m 2−2)=−4m 2+8>0，解得−√2<m <√2． 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 的中点为M(x 0,y 0)， 则x 1+x 2=2m ， ∴1202x x x m +==，00122my x m =-+=， ∴点M 的坐标为(m,m2)．由题意得点M 在直线4x −2y −3=0上， ∴4m −2×m 2−3=3m −3=0，解得m =1．∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=−12(x 1+x 2)+2m =1， ∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,1)， ∴|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5． 故选C ．24．已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()10F ，，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.若O 为坐标原点，直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1，则123111k k k ++= A ．43- B ．−3 C ．1813-D ．32-【答案】A【解析】因为椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()10F ，，且离心率为12，结合222a b c =+， 所以可求得椭圆的标准方程为22143x y +=， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （s 1，t 1），E （s 2，t 2），M （s 3，t 3），因为A 、B 在椭圆上，所以22221122114343x y x y +=+=，， 两式相减得121211*********y y x x s k x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得322233441133t t k s k s =-=-，， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭， 因为直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1， 所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 所以选A.【名师点睛】本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，点差法在涉及中点问题中的综合运用，计算量较大，属于难题.求得椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++的值.25．已知双曲线22:145x y C -=右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点.当2AP PB =u u u r u u u r时，OA OB ⋅u u u r u u u r =A ．818 B ．9 C ．274D ．92【答案】A【解析】如图，设A ，B 在y 轴上的垂足分别为C ，D ，设A （x 1，b a x 1），x 1＞0，B （x 2，b a-x 2），x 2＞0，P （x 0，y 0）， 由2AP PB =u u u r u u u r ，得（x 0﹣x 1，y 0b a -x 1）2=（x 2﹣x 0，﹣y 0b a -x 2），∴x 0﹣x 12=（x 2﹣x 0），解得x 01223x x +=，y 0b a -x 12=（﹣y 0b a -x 2），解得y 0b a=•1223x x -，将P 点代入双曲线方程可得2212122222()()33x x x x b a a b+-⋅-=1， 化简得x 1x 298=a 2=92，又渐近线5y x =的倾斜角θ的正切值为5tan θ=， 故余弦值为2cos 3θ=， 由图象可得：12cos cos x x OA OB θθ⋅=⋅=u u u r u u u r 818.故选A.【名师点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及向量的几何意义，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.求解本题时，设A ，B 在y 轴上的垂足分别为C ，D ，以及A （x 1，bax 1），x 1＞0，B （x 2，b a-x 2），x 2＞0，P （x 0，y 0），根据向量的几何意义求出点P 的坐标，代入双曲线方程可得x 1x 298=a 2，进而可得所求结果. 26．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为−1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，直线l 与抛物线相切且l MN ∥，P 为l 上的动点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值是A ．−12B ．−14C ．−16D ．−18【答案】B【解析】依题意可知，抛物线的焦点坐标为()10，，由于直线MN 的斜率为1-，故直线MN 的方程为()1y x =--，即1y x =-+，由214y x y x=-+⎧⎨=⎩，解得((322222322222M N +----+，，，. 设直线l 的方程为y x b =-+，由24y x by x=-+⎧⎨=⎩，化简得()22240x b x b -++=，由于直线和抛物线相切，判别式()222440b b ∆=+-=，解得1b =-， 故直线l 的方程为1y x =--.设直线l 上任意一点的坐标为()1P x x --，，则PM PN ⋅u u u u r u u u r=()()322122322122x x x x +--⋅--+，，2286x x =--=()22214x --，当2x =时取得最小值，为14-，故选B.【名师点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查数量积的坐标运算，考查解二元二次方程组，考查向量的坐标运算，属于中档题.直线方程的点斜式为()00y y k x x -=-，对于已知直线上一点和斜率的情况，可直接由点斜式写出直线方程.当直线和抛物线相切时，可联立直线方程和抛物线方程，然后利用判别式求得直线的表达式.求解本题时，利用点斜式求得过焦点且斜率为1-的直线方程，联立此方程和抛物线方程求得M N ，两点的坐标，设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线的方程，化简后利用判别式求得直线l 的方程，设出P 点的坐标，代入PM PN ⋅u u u u v u u u v，由此求得数量积的最小值.27．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且,4,AF BF 成等差数列，则k =_______. 【答案】2【解析】设1122,,()(),A x y B x y ．由228y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得()224240k x k x -++=，故()()22162166410k k k ∆=+-=+>， 解得1k >-，且1224(2)k x x k ++=． 由11222,222p pAF x x BF x x =+=+=+=+，且,4,AF BF 成等差数列， 得12228x x +++=，得124x x +=， 所以24(2)4k k+=，解得1k =-或2k =， 又1k >-，故2k =.28．若直线):31l y x =-与双曲线222:14x y C b -=（0b >）的右支有两个不同的交点，则双曲线C 的渐近线斜率k 的取值范围是________.【答案】333322⎛⎫⎛-- ⎪ ⎝⎭⎝U ，， 【解析】由题意，联立方程组)2223114y x x y b⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22212241240b x x b -+--=，要使得直线):31l y x =-与双曲线222:14x y C b-=（0b >）的右支有两个不同的交点， 则满足()()222122212224412124024012124012b b x x b b x x b ∆⎧=+⨯-+>⎪⎪-⎪+=>⎨-⎪⎪--=>⎪-⎩，因为0b >，解得323b <<又由双曲线222:14x y C b -=的渐近线的方程为2by x =±， 所以双曲线C 的渐近线斜率k 的取值范围是333322⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝U ，，. 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和曲线的方程联立方程组，根据二次方程根与系数的关系，列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.求解本题时，由题意，联立方程组，根据直线):31l y x -与双曲线222:14x y C b-=的右支有两个不同的交点，利用根与系数的关系，列出不等式组，即可求解.29．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n = 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=.故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,， 得223611n n +=，解得3n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=.故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．30．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c a b ==+6,P PO PF x =∴=Q又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则263222P P b y x a =⋅==， 1133262224PFO P S OF y ∴=⋅==△. 故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 31．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2 B 3C ．2D 5【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =， ∴225c a b e a +===.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 32．（2018新课标I 理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为()223y x =+， 与抛物线方程联立得()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()1,0F ，所以()()0,2,3,4FM FN ==u u u u r u u u r，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u r u u u r，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.33．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 312PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP 3可得23tan PAF ∠=，所以2sin 13PAF ∠=，212cos 13PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2221313π531211sin()3221313c a c PAF ==+-∠⨯-⨯，所以4a c =，14e =. 故选D ．34．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得3)M ，33(,2N ，所以2233||(3)(3)322MN =-++=. 故选B ．35．（2017新课标全国I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【答案】A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知2212123422122424||||24k k AB DE x x x x p k k +++=++++=++=222212124416828k k k k ++≥16=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号． 故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p p DE αα==，所以2222||||cos sin p p AB DE αα+=+= 22222222221111sin cos 4()4()(cos sin )4(2)4(22)cos sin cos sin cos sin αααααααααα+=++=++≥⨯+16=．36．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F 2．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B【解析】由题意得2240,14,210()88x y a b c a b c -==⇒===-=--， 故选B ．【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．37．（2019年高考浙江卷）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________． 15【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==， 设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得315,22P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-， 从而可求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.38．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____________． 【答案】2【解析】如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r ，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥ ∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o又渐近线OB 的斜率为tan 603ba=︒= ∴该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o 从而由tan 603b a=︒=. 39．（2018新课标Ⅲ理）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22121244y y x x -=-， 所以1212124y y k x x y y -==-+. 取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''， 设F 为C 的焦点.因为90AMB ︒∠=,所以()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=. 因为M '为AB 中点，所以MM '平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以01y =，则122y y +=，即2k =.故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率.。
高考数学总复习 直线与圆锥曲线的位置关系
高考数学总复习 直线与圆锥曲线的位置关系一。
直线与圆锥曲线的交点：求直线与圆锥曲线交点的方法是用解方程组的方法求交点的坐标，以方程组的解为坐标的点是两个方程所对应曲线的公共点。
二。
直线与圆锥曲线的位置关系：判断直线l 与圆锥曲线r 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)代入圆锥曲线的r 的方程：F(x,y)=0,消去y 得到一个关于x 的一元方程。
即⎩⎨⎧==++0),(,0y x F c By Ax ，消去y 轴得0=++c by ax （1） 当a ≠0,则有∆>0，直线l 与圆锥曲线相交；当∆=0时，直线与曲线r 相切；∆<0时，直线r 与曲线r 相离。
（2） 当a=0，即得到一个一次方程，则直线l 与曲线r 相交，此时，若r 是双曲线，则直线l 与双曲线r 的渐近线平行；r 是抛物线，则直线r 与抛物线的对称轴位置关系是：平行或重合。
三．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及到直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
若该弦通过了圆锥曲线的焦点，此时得到的弦也叫焦点弦。
当直线的斜率存在时， 弦长]4)()[1(1212122212212212)()(x x x x k x x k l y y x x -++=-+=-+-=当斜率K 存在且非零时，y y l k 11211-+=.四．求直线与方程圆锥曲线位置关系问题的相关步骤：（1） 代入（将直线方程代入圆锥曲线方程，对于抛物线情形，也可把抛物线方程代入直线方程。
（2） 化简（注意是等价转化）（3） 讨论二次项系数是否为0，只有在二次不为0的情况下才能用有关二次方程理论处理。
（4） 考虑判别式与0，二次方程的根与系数的关系（有时利用“设而不求”的思想。
注意：直线与圆锥曲线只有一个公共点，对于椭圆来说，仅有两者相切的情形；而对于开放型的曲线（双曲线和抛物线）来说，包括两种情况：一是相切，另一个是直线恰与双曲线的渐近线平行（直线与抛物线的对称轴平行或重合）。
2020届高考数学(文)总复习讲义： 直线与圆锥曲线的位置关系
第九节直线与圆锥曲线的位置关系一、基础知识批注——理解深一点1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ， 则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线 (抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件. 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在，可直接求交点坐标再求弦长.对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ＝b 2－4ac ≥0，|x 1－x 2|＝Δ|a |.二、常用结论汇总——规律多一点中点弦所在直线的斜率圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝y1－y2x1－x2(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标.三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．()(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(二)选一选1．直线y＝kx＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．直线y＝ba x＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是()A．1 B．2 C．1或2 D．0解析：选A因为直线y＝ba x＋3与双曲线的渐近线y＝ba x平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．(三)填一填4．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是________．解析：把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，整理，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0.∵直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63.答案：±635．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA ―→·OB ―→等于________．解析：依题意，直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ―→·OB ―→＝－13. 答案：－13考点一 直线与圆锥曲线的位置关系[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0)，且点P (0,2)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程． [解] (1)根据椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，知a 2－b 2＝4， 又点P (0,2)在椭圆上，故b ＝2，所以a ＝22， 所以椭圆C 1的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，由题可知此方程有唯一解，此时 Δ＝(4km )2－4×(1＋2k 2)×(2m 2－8)＝0， 即m 2＝8k 2＋4.①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得ky 2－8y ＋8m ＝0， 由题可知此方程有唯一解，此时 Δ＝64－32km ＝0，即mk ＝2.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝8k 2＋4，mk ＝2，解得k 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－22， 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋22或y ＝－22x －2 2. [解题技法] 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法[题组训练]1．若直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4始终有公共点，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝kx －1，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，当1－k 2＝0，即k ＝±1时，显然符合条件；当1－k 2≠0时，由Δ＝20－16k 2≥0，得－52≤k ≤52且k ≠±1.所以直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4始终有公共点时，k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－52，52. 答案：⎣⎡⎦⎤－52，52 2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1 ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．考点二 与弦有关的问题[典例] (2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．[解] (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)． 因为△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍， 所以|PM |＝2|P Q |，所以x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.[解题技法]有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y ＝kx ＋b 便于运算，即“定点落在y 轴上，斜截式，帮大忙”；若直线经过的定点在x 轴上，一般设为my ＝x －a 可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．[口诀归纳]弦长公式形式多，巧设直线是杰作；定点落在纵轴上，斜截式，帮大忙；直线定点落横轴，斜率倒数作参数.(2)面积问题常采用S △＝12×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．(3)已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程时，常用“点差法”．[题组训练]1．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k的值为( )A ．±7B ．±3或±413C ．±3D ．±413解析：选B 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2. 将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得，(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，解得k 2＜5. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2， 所以|AB |＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82， 解得k ＝±3或±413. 2．(2019·沈阳监测)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2，又点A ，B 在抛物线y 2＝4x上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0考点三 圆锥曲线中的证明问题[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2， 可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为 y ＝12(x ＋2)或y ＝－12(x ＋2)， 即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN . 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，所以y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2).①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子， 可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝－8＋8k ＝0. 所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补， 所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN 成立． [解题技法]圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[对点训练]设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB ―→＝(－a ，b )，从而有AB ―→·NM ―→＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB ―→·NM ―→＝0，故MN ⊥AB .[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截得的弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选C 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标分别为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝4 5.∵p ＞0，∴p ＝1.故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值为( )A ．±2B ．±2C ．±1D ．±3解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(Δ＞0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5，∴m ＝±1.3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4.所以m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．4．过点P (2,2)作直线与双曲线x 24－y 2＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为x －4y ＋6＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为x －4y ＋6＝0或x ＋4y －10＝0D ．不存在解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，且有⎩⎨⎧x 214－y 21＝1，x224－y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，即直线AB 的斜率k ＝14，故所求直线方程为y －2＝14(x －2)，即x －4y ＋6＝0.联立直线AB 和双曲线方程得，3y 2－12y ＋8＝0，Δ＝(－12)2－4×3×8＝48＞0，故该直线存在．5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则 ∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝ ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.6．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．解析：联立直线方程和曲线方程，消去y 得，94x 2＋5bx ＋b 2＋36＝0，因为直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b 2－9(b 2＋36)＞0，解得b ＜－92或b ＞92.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫92，＋∞ 7．经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为π6的直线交C 于M ，N 两点，O为坐标原点，若△OMN 的面积为94，则抛物线的方程为________．解析：法一：直线MN 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得y 2－23py －p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝23p ，y 1y 2＝－p 2，S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12·|OF |(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12×p 2×(23p )2－4(－p 2)＝94，即p 2＝94，得p ＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .法二：直线MN 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得13x 2－ 73px ＋112p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝7p ，|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝7p ＋p ＝8p ，又原点O (0,0)到直线MN 的距离d ＝36p 23＝p 4，∴S △OMN ＝12|MN |d ＝12×8p ×p 4＝94，即p 2＝94，得p ＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x8．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为12的点P 的个数为________．解析：易知直线l ′的方程为2x ＋y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得交点分别为椭圆顶点(1,0)和(0,2)，则|AB |＝5，由△PAB 的面积为12，得点P 到直线AB 的距离为55，而平面上到直线2x ＋y －2＝0的距离为55的点都在直线2x ＋y －1＝0和2x ＋y －3＝0上，而直线2x ＋y －1＝0与椭圆相交，2x ＋y －3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P 有2个．答案：29．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解：(1)设M (x ，y )，因为k AM ·k BM ＝－2， 所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)， 化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．法一：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x 21＋y 21＝2，2x 22＋y 22＝2，两式相减，整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1， ∴直线l 的方程为y －1＝－1×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.法二：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝⎛⎭⎫12，62，D ⎝⎛⎭⎫12，－62，此时CD的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 将其代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，化简得(2＋k 2)x 2＋2k ⎝⎛⎭⎫1－k 2x ＋⎝⎛⎭⎫1－k22－2＝0(x ≠±1)， 所以Δ＝4k 2⎝⎛⎭⎫1－k 22－4(2＋k 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－k22－2＞0，① 则x 1＋x 2＝－2k ⎝⎛⎭⎫1－k22＋k 2，又由N 为线段CD 的中点，得x 1＋x 22＝－k ⎝⎛⎭⎫1－k 22＋k 2＝12，解得k ＝－1，将k ＝－1代入①中可知满足条件． 此时直线l 的方程为y －1＝－1×⎝⎛⎭⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.10．(2019·合肥调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，左焦点为 F (－3，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为12的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN的面积．解：(1)由题意得椭圆E 的右焦点为(3，0)，即c ＝3， 则由椭圆的定义得(3＋3)2＋14＋12＝2a ，解得a ＝2.又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过F (－3，0)且斜率为12的直线的方程为y ＝12(x ＋3)，联立⎩⎨⎧y ＝12(x ＋3)，x24＋y 2＝1消去x ，得8y 2－43y －1＝0，显然Δ＞0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝32，y 1y 2＝－18，∴|y 1－y 2|＝52， ∵A 是椭圆E 的右顶点，∴|AF |＝2＋3，∴△AMN 的面积S ＝12|AF |·|y 1－y 2|＝12×(2＋3)×52＝25＋154.B 级——创高分自选1．(2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求证：点(m ，k )在定圆上．解：(1)由已知得e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2－b 2＝c 2，∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0， 化简得m 2＜4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·⎝⎛⎭⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0， 化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，∴点(m ，k )在定圆x 2＋y 2＝54上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,1)，离心率为32，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝20351，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题设知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝3， 所以圆心到直线l 的距离d ＝|m |5， 由d ＜3得|m |＜15. 所以|CD |＝23－d 2＝2515－m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得17x 2＋16mx ＋4m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－16m 17，x 1x 2＝4m 2－417，所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝451717－m 2， 由|AB ||CD |＝20351，得 17－m 215－m 2＝233，解得m ＝±3，满足|m |＜15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋3或y ＝2x －3.。
2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆锥曲线的位置关系含解析
教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆锥曲线的地点关系含分析编辑： __________________时间： __________________第 8节直线与圆锥曲线的地点关系最新考纲中心修养考情聚焦直线与圆锥曲线的地点关系1.直线与圆锥曲线的地点关系向来是高考的热门、考察知的判断与应用、完成直观想象识有直线与椭圆、抛物线相1.掌握解决直线与椭圆交、波及弦长、中点、面积和数学运算的修养．、抛物线的地点关系的、对称性等问题．题型既有2.依据直线与圆锥曲线的地点思想方法．求参数、加强逻辑推理和数学选择题、填空题、又有解答2.认识圆锥曲线的简单题、难度不小、属中高档题运算的修养．应用．型、做题时要充足利用函数3.弦长问题与中点弦问题的研3.理解数形联合的思想与方程思想、转变与化归思究、提高逻辑推理和数学运算的修养想、数形联合等数学思想的运用直线与圆锥曲线的地点关系的判断(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y、整理获得对于 x的方程 ax2＋bx＋ c＝0.方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的解l 与 C1的交点b＝ 0无解 (含 l是双曲线的渐近线 )无公共点a＝ 0有一解 (含 l与抛物线的对称b≠ 0轴平行或与双曲线的渐近线一个交点平行 )>0两个不等的解两个交点a≠ 0＝ 0两个相等的解一个切点<0无实数解无公共点(2)几何法：在同向来角坐标系中画出圆锥曲线和直线、利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的地点关系．1.直线与圆锥曲线的订交弦长问题设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l 与圆锥曲线 C订交于 A、B两点、 A(x1、y1 )、B(x2、y2)、则 |AB |＝1＋ k2|x1－ x2|＝1＋ k2·x1＋ x22－ 4x1x2＝1＋1·|y1－ y2|＝k212－ 4y 1y 2 .特别、若直线过抛物线的焦点、则弦长2p1＋k2 · y 1＋ y 2 |AB|＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ sin2 α(α为弦 AB 的倾斜角 )．2．中点弦的重要结论x2 y2AB 为椭圆 a2＋ b2＝1(a>b>0) 的弦、 A(x 1、y 1)、 B(x 2、 y 2)、弦中点 M(x 0、y 0)．b2x0(1)斜率： k ＝－ a2y0.b2 (2)弦 AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值－a2[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”．(1) 直线与双曲线有且只有一个公共点、则鉴别式 ＝ 0.( )(2) 经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点． ( )(3) 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()x2＋y2＝1恒有两个公共点． ()(4)直线 y ＝kx ＋ 1与椭圆 5 9(5) 直线与椭圆有且只有一个公共点、则其鉴别式 ＝ 0.()答案： (1) × (2)× (3)√ (4) √ (5)√[小题检验 ]x2 y2 ＝1的地点关系为 ()1．直线 y ＝ kx －k ＋ 1与椭圆9 ＋ 4A ．订交B ．相切C ．相离D ．不确立分析： A [ 直线 y ＝kx － k ＋ 1＝ k(x － 1)＋1 恒过定点 (1,1)、又点 (1,1)在椭圆内部、故直线与椭圆订交． ]2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 解析：A[直线与双曲线相切时、只有一个公共点、但直线与双曲线订交时、也可能有一个公共点、例 如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．应选A.]x2 y23．若直线 y ＝kx 与双曲线9 － 4 ＝ 1订交、则 k 的取值范围是 ()2A. 0，32B. －3， 022C.－，D. －∞，－ 2 ∪ 2，＋ ∞3 3分析： C[ 双曲线 x2 － y2＝ 1 的渐近线方程为2 94y ＝ ± x 、若直线与双曲线订交、数形联合、32 2得 k ∈ －3，3 .]x24．( 人 教A版 教 材P80A组 T8改 编 )已知与向量v ＝ (1,0)平行的直线 l 与双曲线4－ y 2＝ 1订交于 A 、 B 两点、则 |AB|的最小值为 ________．分析： 由题意可设直线 l 的方程为 y ＝m 、代入x24－ y 2＝ 1得x 2＝ 4(1＋ m 2)、所以 x 1＝ 41＋ m2＝ 2 1＋ m2、 x 2＝－ 2 1＋m2、所以 |AB|＝ |x 1－ x 2|＝ 4 1＋ m2≥ 4、即当 m ＝0时、 |AB|有最小值 4.答案： 4x2＋y 2＝1的弦被点 1 1 均分、则这条弦所在的直线方程是________．5．椭圆 2 2，2 分析： 设弦的两个端点为 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、则 x 1＋ x 2＝ 1、 y 1＋ y 2＝ 1.∵A 、 B 在椭圆上、∴ x212＋ y21＝1、 x22＋ y2＝ 1.x 1＋ x 2x 1－ x 2两式相减得＋ (y 1＋ y 2)(y 1－ y 2)＝ 0、即y1－ y2 ＝－ x1 ＋ x2 ＝－ 1、x1－x22 y ＋y即直线 AB 的斜率为－ 12.∴直线 AB 的方程为 y － 1＝－ 1 x － 1、2 2 2 即 2x ＋ 4y － 3＝0.答案： 2x ＋ 4y －3＝ 0[ 题组集训 ]1．若过点 (0,1)作直线、使它与抛物线 y 2 ＝4x 仅有一个公共点、则这样的直线有 ()A ．1条B ．2条C ． 3条D ．4条分析： C[ 联合图形剖析可知、知足题意的直线共有 3 条：直线 x ＝ 0、过点 (0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点 (0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x ＝ 0)、应选 C.]2．双曲线 C ：x2－y2a2b2＝ 1(a ＞ 0、b ＞ 0)的右焦点为 F 、直线 l 过焦点 F 、且斜率为 k 、则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都订交的充要条件是()bbA ． k ＞－ aB ． k ＜ aC ． k ＞ b 或k ＜－ bD ．－ b ＜ k ＜ba aa a分析： D[ 由双曲线渐近线的几何意义知－b＜ k ＜b.应选 D.]aa3．若直线 mx ＋ ny ＝4和圆 O ： x 2＋ y 2＝ 4没有交点、则过点 (m 、 n)的直线与椭圆x2 ＋ y29 4＝ 1的交点个数为 ()A ．至多一个B ． 2C ． 1D ． 0分析： B[ ∵直线 mx ＋ ny ＝ 4 和圆 O ： x 2＋ y 2＝ 4 没有交点、∴4 ＞2、∴ m 2＋ n 2m2＋ n2＜ 4.∴ m2＋ n2＜ m2＋ 4－ m2＝ 1－ 5m 2＜ 1、∴点 (m 、 n) 在椭圆 x2＋ y2＝ 1 的内部、∴过点 (m 、 9 4 9 4 36 9 4n)的直线与椭圆x2＋y2＝ 1 的交点有 2 个、应选 B.]94判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可获得一个对于x 、 y 的方程组、消去 y(或 x) 得一元方程、此方程根的个数即为交点个数、方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象、依据图象判断公共点个数．提示：直线与双曲线订交时要注意交点的地点限制参数的范围．考点二依据直线与圆锥曲线的地点求参数 (师生共研 )[ 典例](1) 若直线 y ＝ kx ＋2与双曲线 x 2－ y 2＝ 6的右支交于不一样的两点、则k 的取值范围是 ()－ 15， 1515A. 33B.0，3C. －15， 0 D. －15，－ 133[分析] Dy ＝ kx ＋ 2， [ 由得 (1－ k 2) x 2－ 4kx － 10＝ 0、x2 － y2＝ 6，1－ 4k2 ≠0＝ 16k2 － 4 1－ k 2 × － 10 ＞ 0∴x 1＋ x 2＝ 4k 2＞0、1－k10x 1x 2＝ k 2－ 1＞015直线与双曲线右支有两个不一样交点、解得－3 ＜ k ＜－ 1.应选 D.](2)(20xx ××· 市 模 拟 )已知直线 3x － y －3＝ 0与抛物线 y 2＝ 4x 交于 A 、 B 两点 (A 在 x 轴上方 )、与 x 轴交于 F 点、→＝ λ→OFOA→)＋ μOB 、则 λ－ μ＝ (1 111A. 2 B ．－ 2 C.3D ．－3[分析 ]B [ 直线 3x － y － 3＝0过抛物线的焦点 F(1,0) 、1把直线方程代入抛物线的方程y 2＝ 4x 、解得 x ＝ 3、或 x ＝ 3、不如设 A(3,23)y ＝ 23y ＝ 23 3、 B 1，－2 3.33→ → →∵OF ＝λOA ＋ μOB 、∴ (1,0) ＝ (3λ、 2 3λ)＋ 13μ，－ 2 3 3μ＝ 3λ＋ 13μ， 2 3λ－ 2 3 3μ .∴3λ＋ 1μ＝ 1,2 3λ－ 23μ＝ 0、∴ λ＝1、 μ＝ 3、3344则λ－ μ＝－1.应选 B.]2由地点关系求字母参数时、用代数法转变为方程的根或不等式解集、也能够数形联合、求出界限地点、再考虑其余状况．[追踪训练 ]1．(20xx ××·市三模)已知 F 为椭圆x2 ＋y2 43＝ 1的左焦点、 A 是椭圆的短轴的上极点、点B 在 x 轴上、且 AF⊥AB 、 A 、 B 、 F 三点确立的圆 C 恰巧与直线 x ＋ my ＋ 3＝ 0相切、则 m 的值为 ( )A ．±3B. 3 C ．± 3D ．3分析：C[由题意可知：椭圆x2＋y2＝ 1的左焦点 (－ 1,0)、设 B(x,0)、由 AF ⊥4 3x － 1x ＋ 1 AB 、且 A 、B 、 F 三点确立的圆 C 、圆心 C2 ， 0 、半径为 r ＝2.在△ AOC 中、由 |AO|2＋ |OC|2＝ |AC |2＝ r 2、即( 3)2＋x － 1 2 ＝ x ＋ 1 2、解得 x ＝ 3、则 C(1,0)、半径为 2、 22由题意可知：圆心到直线x ＋ my ＋ 3＝0距离 d ＝|1＋m ×0＋3|＝ 2、1＋ m2解得 m ＝ ± 3.应选 C.]2．已知直线 y ＝ x ＋ m 被椭圆 4x 2＋ y 2＝ 1截得的弦长为22、则 m 的值为 ________．5解析：把直线 y ＝x ＋ m 代入椭圆方程得 4x 2＋ (x ＋m)2＝ 1、即 5x 2＋2mx ＋m 2－ 1＝0、设该直线与椭圆 订交于两点 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、则 x 1、 x 2是方程 5x 2＋ 2mx ＋m 2－ 1＝0的两根、＝ 4m 2 － 20(m2225 .由韦达定理可得 x 1＋ x 2＝－ 2m、 x 1·x 2＝m2－1 、所以 |AB|＝－ 1)＝－ 16m ＋ 20>0、即 m < 4 5 512 2－ 4x 1 24m2－ 4m2－4＝ 2 2、所以 m ＝ ±1.1＋ 12· x ＋ xx ＝ 2·2555答案： ±1考点三 弦长问题 (师生共研 )[ 典例 ] (20xx ××· 市 摸 底)如图、在平面直角坐标系xOy 中、椭圆x2 ＋y2a2b2＝ 1(a>b>0)的离心率为 1、过椭圆右焦点 F 作两条相互垂直的弦AB 与 CD .当直线 AB 斜率为 0时、2AB ＝ 4.(1)求椭圆的方程；48(2)若 |AB|＋ |CD|＝ 7 、求直线 AB 的方程．直观想象、逻辑推理、数学运算—— 直线与椭圆地点关系综合问题中的中心修养以学习过的直线与椭圆地点关系的有关知识为基础、借助直线、椭圆等平面图形的几何性质、经过逻辑推理将已知条件代数化、并经过消元等进行一系列的数学运算、进而使问题得以解决．信息提取信息解读直观想象、逻辑推理、数学运算x2 y2椭圆 a2＋b2c 1＝2 着眼点 1：求椭圆的方程：1a＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为 2 待定系数法、经过解方程过椭圆右焦点 F 的弦 AB 斜率为 0求出 a 和 b2a ＝ 4时、 AB ＝4分两种状况议论：① 着眼点 2：求直线 AB 的方程 过椭圆右焦点 F 的弦 AB 与 CD 互 当两条弦中一条弦所在直线 ：待定系数法求出直线 AB相垂直、当直线 AB 斜率为 0时的斜率为 0时、另一条弦所在的斜率 k 、也就是利用弦长48直线的斜率不存在；② 48、 |AB|＝ 4、 |AB|＋ |CD |＝ 7当两弦所在直线的斜率均存公式将 |AB|＋ |CD |＝ 7在且不为 0转变为对于 k 的方程c 1[分析 ](1)由题意知 e ＝a ＝ 2、 2a ＝ 4.a ＝2， 又 a 2＝b 2＋c 2、解得b ＝ 3，所以椭圆方程为x24＋ y23＝ 1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0 时、另一条弦所在直线的斜率不存在、由题意知 |AB|＋ |CD |＝ 7、不知足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0 时、设直线 AB 的方程为 y ＝ k(x － 1)、 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2)、则直线 CD 的方程为 y ＝－1k (x － 1)．将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理、得(3 ＋4k 2 )x 2－ 8k 2x ＋ 4k 2－12＝ 0、则 x 1＋ x 2＝ 8k2 、x 1·x 2＝4k2 －12、3＋ 4k23＋ 4k2所以 |AB|＝ k2＋ 1|x 1－ x 2|＝12 k 2＋ 1 k2＋ 1· x 1＋ x2 2－4x1 x 2＝ 3＋4k 2 .12 1＋ 12＋ 1k2＝ 12 k 同理、 |CD|＝43k 2＋ 4 .3＋k2所以 |AB|＋ |CD |＝ 12 k 2＋ 112 k 2＋1 3＋4k 2＋3k 2＋484 k 2＋ 1 248 、解得 k ＝ ±1、＝3＋4k 23k 2＋ 4 ＝ 7 所以直线 AB 的方程为 x － y － 1＝0 或 x ＋ y － 1＝ 0.1．利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情况、若 k 不存在时、可直接求交点坐标再求弦长；2．波及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．[追踪训练 ]已知圆 C ： x 2＋( y － 1)2 ＝5、直线 l ： mx － y ＋ 2－ m ＝0.(1)求证： ? m ∈R 、l 与圆 C 总有两个不一样的交点 A 、 B ；(2)当 |AB|取最小值时、求 l 的方程与 |AB|的最小值．x2＋ y － 1 2＝ 5，解： (1) 由 消去 y 并整理得、 (1＋ m 2)x 2＋ 2m(1－ m)x ＋m 2－ 2m － 4＝ 0、mx －y ＋ 2－ m＝ 0所以 ＝ [2m(1－m)] 2－4(1＋ m 2)(m 2－ 2m － 4)＝ 16 m ＋ 115＞ 0、 4 2＋16 所以 ? m ∈ R 、直线 l 与圆 C 总有两个不一样的交点 A 、 B.2－ 1＝ 1、(2)由 (1)可得 k CD ＝ 1－ 0当|AB |取最小值时、直线 l 的斜率 k ＝－ 1、即 m ＝－ 1、故此时直线 l 的方程为－ x － y ＋3＝ 0、即 x ＋ y － 3＝ 0.x ＋ y －3＝ 0，设 A(x 1、 y 1 )、 B(x 2、y 2)、不如设x 1＜ x 2、由 消去 y 并整理得x2＋ y － 1 2＝ 5，2x 2－ 4x － 1＝ 0. ①解①得 x 1＝ 1－ 26、 x 2＝ 1＋ 26、所以 |AB|＝ 2|x 1－ x 2|＝ 23. 考点四 中点弦问题 (多维研究 )[命题角度 1] 由中点弦确立直线方程1．已知 (4,2)是直线 l 被椭圆x2 ＋y2 369＝ 1所截得的线段的中点、则 l 的方程是 ________________ ．分析： 设直线 l 与椭圆订交于 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2 )．则x21＋ y21＝ 1、且x2＋ y2＝ 1、369369两式相减得y1－y2＝－ x1＋ x2.x1－x24 y 1＋y 2 又 x 1＋ x 2＝ 8、 y 1＋ y 2＝ 4、y1 － y2 1所以 x1 － x2 ＝－ 2、故直线 l 的方程为1y － 2＝－ 2(x － 4)、即 x ＋ 2y － 8＝0.答案： x ＋ 2y －8＝ 0由中点弦确立直线方程常用点差法：即设出弦的两头点坐标后、代入圆锥曲线方程、并将两式相减、式中含有x 1＋ x 2、 y 1＋ y 2、y1－ y2三个未知量、这样就直接联系了中点和直线的x1－ x2斜率、借用中点公式即可求得斜率；也能够利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程获得方程组、化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．[提示 ] 中点弦问题常用的两种求解方法各有缺点：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解、需关注直线的斜率问题；点差法在确立范围方面略显不足．[命题角度 2]由中点弦确立曲线方程2．已知椭圆 E ：x2 ＋y2 a2b2＝ 1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)、过点 F 的直线交 E 于A 、 B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1 、－ 1)、则 E 的方程为 ()x2＋ y2＝ 1 B.x2＋y2＝1A. 45 363627x2＋ y2 ＝1D.x2＋y2＝1C.27 1818 9x21 y21x2 y2分析： D[设 A( x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2 )、则 a2＋b2＝ 1、 a2＋ b2＝ 1、两式作差并化简变形得y1－ y2＝x1－ x2b2 x 1＋ x 2y1 － y2 0－ －1 1、 x 1＋ x 2＝ 2、 y 1＋ y 2＝－ 2、所以 a 2 ＝ 2b 2、又由于－ 2 1 2 、而 ＝ ＝ 2 a y ＋y x1 － x23－ 1a 2－b 2＝c 2＝ 9、于是 a 2＝ 18、 b 2 ＝9.应选 D.]由中点弦确立曲线方程、一般常用点差法、用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式、求解即可．[命题角度3]由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x2－y2 a2b2＝ 1(a>0 、 b＞ 0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4、若抛物线 y＝ ax2上的两点 A(x11、y1)、B(x2、y2 )对于直线 y＝ x＋m对称、且 x1x2＝－2、则 m的值为 ()35A. 2B. 2C．2 D ． 3分析： A[ 由双曲线的定义知2a＝ 4、得 a＝ 2、所以抛物线的方程为y＝2x2.由于点 A(x1、 y1)、 B(x2、 y2)在抛物线 y＝ 2x2上、所以 y1＝ 2x 12、 y2＝ 2x2、两式相减得 y1－ y2＝ 2(x1－x2)(x1＋x2)、不如设 x1＜ x2、又 A、 B对于直线 y＝ x＋ m对称、所以y1－ y2 x1－ x2＝－ 1、故 x121、而 x1 21、解得 x1＝－21 、设A(x1122＋ x ＝－2x ＝－21、 x ＝2、 y )、 B(x 、 y )的中点为M(x0、 y0)、则 x0＝x1 ＋ x2＝－1、 y0＝y1＋ y2＝2x21＋2x2 2422＝5、由于中点 M在直线 y＝ x＋ m上、所以5＝－1＋ m、解得 m＝3.应选A.]4442由中点弦解决对称问题、第一依据斜率之积等于－1、用点差法表示出有关式子．再利用中点在已知直线上、代入解的．[命题角度4] 由中点弦解决离心率问题4．(20xxx2＋y2＝ 1(a＞ b＞ 0)的右焦点为 F(1,0)、且离心率为1 、××·市一模 )已知椭圆 r：a2 b22△ABC的三个极点都在椭圆r 上、设△ABC三条边 AB、 BC、 AC的中点分别为 D、 E、M 、且三条边所在直线的斜率分别为k1、 k2、 k3、且 k1 231＋1＋1、 k 、 k 均不为 0.O为坐标原点、若直线 OD 、 OE、OM 的斜率之和为 1.则k1k2k3＝ ________.分析：由 c＝ 1、 e＝c＝1、则 a＝ 2、b2＝a2－ c2＝ 3、a2x2y2∴椭圆的标准方程为 4 ＋3＝1.设A(x1、y1)、 B( x2、 y2)、 C(x3、 y3)、 D(s1、 t1)、 E(s2、t2)、 M(s3、t3)．由A、 B在椭圆上、则 3x21＋ 4y21＝ 12,3x2＋ 4y2＝ 12、两式相减获11/17y1－ y2＝－3x1＋x2、所以 k1＝y1－ y2＝－3x1＋ x2＝－3s1、即1＝－4t1、同理1x1－ x24·x1－ x24·＋ y24·k13s1k2 y1＋ y2y1t1＝－3s24t2、k31＝－3s34t3、所以k11＋k21＋k31＝－43t1s1＋s2t2＋s3t3、直线 OD 、 OE、OM 的斜率之和为1、则1＋1＋1＝－4. k1 k2 k334答案：－由中点弦解决离心率问题、指导思想是整体代换、设而不求、设出两个有关点的坐标、利用点差法、把有关的关系式是表示出来、再依据详细题目的条件求解．1．已知抛物线 y2＝ 2x、过点 (－ 1,2)作直线 l、使 l与抛物线有且只有一个公共点、则知足上述条件的直线l共有 ()A．0条 B ．1条C． 2条D．3条分析： D[ 由于点 (－ 1,2)在抛物线y2＝2x 的左边、所以该抛物线必定有两条过点(－1,2)的切线、过点 (－ 1,2)与 x 轴平行的直线也与抛物线只有一个交点、所以过点(－ 1,2)有 3 条直线与抛物线有且只有一个交点、应选 D.]2．直线 y＝ x＋1截抛物线 y2＝ 2px所得弦长为 26、此抛物线方程为 ()A ． y2＝－ 2x B． y2＝ 6xC． y2＝－ 2x或y2＝6x D．以上都不对分析：C[由y＝ x＋ 1，得 x2＋ (2－ 2p)x＋ 1＝ 0.x1＋ x2＝2p－ 2、x1x2＝ 1. ∴ 2 6 y2＝ 2px＝ 1＋ 12· x＋ x2－ 4x1x2＝2· 2p－ 22－4.解得 p＝－ 1或 p＝3、2∴抛物线方程为 y2＝－ 2x或y2＝ 6x.应选 C.]3．过点 P(1,1)作直线与双曲线 x2－y2 2＝ 1交于 A、 B两点、使点 P为 AB中点、则这样的直线()A ．存在一条、且方程为2x－ y－ 1＝ 0B．存在无数条C．存在两条、方程为2x±(y＋ 1)＝ 0D．不存在分析： D[ 设 A(x1、y1 )、B(x2、y2)、则 x1＋ x2＝ 2、y1＋ y2＝2、则11 x21－ y21＝ 1、 x2－ y2 22＝ 1、两式相减得 (x1－ x2)( x1＋ x2)－12 (y1－ y2)( y1＋ y2)＝ 0、所以 x1－ x2＝12(y1－ y2)、即 k AB＝2、故所求直线方程为y－ 1＝ 2(x－ 1)、即 2x－ y－ 1＝ 0.y＝ 2x－1，联立1可得2x2－ 4x＋ 3 ＝ 0 、但此方程没有实数解、故这样的直线不存x2－2y2＝ 1在．应选 D.]4．(20xx· 全国Ⅰ卷)设抛物线C： y2＝4x的焦点为 F 、过点 (－ 2,0)且斜率为2 3→ →的直线与 C交于 M、 N两点、则 FM·FN ＝()A ． 5B ． 6C． 7D． 8分析： D[ 如图焦点 F(1,0)、2直线的方程为 y＝3(x＋ 2)、将其代入 y2＝ 4x得： x2－ 5x＋ 4＝0、设M (x1、 y1)、 N(x2、 y2)、则 x1＋ x2＝ 5、 x1x2＝ 4、→→∴FM ·FN ＝(x1－ 1、 y1 ) ·(x2－ 1、 y2)＝ (x1－ 1)(x2－ 1)＋ y1y22 2＝x1x2－ (x1＋ x2)＋ 1＋ (x1＋ 2) ·(x2＋2)3 3 13125＝9 x1x2－9(x1＋ x2)＋9＝139× 4－19× 5＋259＝ 8.]5．(20xx ·浙江百校联盟联考)已知椭圆x2＋y2 a2b2＝1(a>b>0)的右极点和上极点分别为A、B、左焦点为F .以原点O为圆心的圆与直线BF相切、且该圆与 y轴的正半轴交于点 C、过点 C的直线交椭圆于 M、 N两点．若四边形 FAMN 是平行四边形、则该椭圆的离心率为()3123A. 5B. 2C.3D.4分析： A[ 由于圆 O 与直线 BF 相切、所以圆O 的半径为bc、即 |OC|＝bc、由于四边形a aFAMN 是平行四边形、所以点M 的坐标为a＋ c，bc、代入椭圆方程得a＋2c 2＋c2b2＝ 1、所2a4a a2b2以 5e2＋ 2e－ 3＝ 0、又 0<e<1、所以 e＝35.应选 A.]6．(20xx ·全国卷Ⅲ )已知点 M(－ 1,1)和抛物线 C： y2＝ 4x、过 C的焦点且斜率为k的直线与 C交于 A、B两点．若∠AMB ＝90°、则 k ＝ ________.y2＝ 4x 分析： 设直线 AB 的方程为 y ＝ k( x －1)、由y ＝ k x － 1得k 2x 2－ (2k 2＋ 4)x ＋ k 2＝ 0、设 A(x 1、 y 1)、B(x 2、 y 2)．则x 1＋ x 2＝2k2 ＋ 4、 x 1·x 2＝ 1.k2∵∠ AMB ＝90°、∴ k MA ·k MB ＝－ 1解 y1－ 1 y2 － 1x1 · ＝－ 1.＋1 x2 ＋ 1化简得 k 2－ 4k ＋ 4＝ 0、解得 k ＝ 2. 答案： 27．过点 M(2、－ 2p)作抛物线 x 2＝ 2py(p ＞0)的两条切线、切点分别为A 、B 、若线段 AB 的中点的纵坐标为6、则 p 的值是 ________．分析： 设点 A(x 1122x 、、y )、 B( x 、y )、依题意得、 y ′ ＝ px1 x1 x21切线 MA 的方程是 y － y 1＝ p (x －x 1 )、即 y ＝ p x －2p .又点 M(2 、－ 2p)位于直线 MA 上、于是有－ 2p ＝x1× 2－x21、即 x21－ 4x 1－ 4p 2＝ 0；同理有x2－ 4x 2－ 4p 2＝ 0、所以 x 1、 x 2 是方程p 2px 2－ 4x － 4p 2＝ 0 的两根、则 x 1＋ x 2＝ 4、 x 1x 2＝－ 4p 2.由线段 AB 的中点的纵坐标是6 得、 y 1＋ y 2＝ 12、即 x21＋ x2＝ x 1＋ x 22－ 2x 1x 2＝ 12、 16＋ 8p2＝ 12、解得 p ＝ 1 或 p ＝ 2.2p2p2p答案： 1或 28．(20xx ××·市模拟)椭圆x2＋y243＝ 1的左、右焦点分别为 F 1、 F 2、过椭圆的右焦点 F 2作一条直线 l 交椭圆与 P 、Q 两点、则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ________________________________________________________ ________________ ．分析： 由于三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2 倍、且△ F 1PQ 的周长是定值 8、所以只要求出△F 1PQ 内切圆的半径的最大值即可．设直线 l 方程为 x ＝my ＋1、与椭圆方程联立得(3m 2＋ 4)y 2＋ 6my － 9＝0.设 P(x 1、 y 1)、Q(x 2、y 2)、则 y 1＋ y 26m、y 1 y 29、＝－3m2＋ 4 ＝－3m2＋ 4于是 S △F 111 212122－ 4y 1 2m2＋1PQ ＝2|F F | ·|y － y |＝ y ＋ yy ＝ 123m 2＋ 42.∵ m2＋ 1 2＝ 1≤ 1 、2 4 13m ＋＋ 6 169m2＋ 9＋m2＋ 1∴S △ F 1PQ ≤ 3所之内切圆半径r ＝2S △F1PQ ≤ 3、所以其面积最大值是9 π.84169答案： 16π9．(20xx ·北京模拟)已知椭圆 C ：x2 ＋y2 a2b2＝ 1(a>b>0)的离心率为1、椭圆的短轴端点与双曲线y2 22－ x 2＝ 1的焦点重合、过点 P(4,0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 订交于 A 、B 两点．(1)求椭圆 C 的方程；→ →(2)求 OA ·OB 的取值范围．解： (1) 由题意知 e ＝ c ＝ 1、所以 e 2＝c2＝a2－b2＝ 1、所以 a 2＝4b 2.a 2 a2a243y2由于双曲线2 － x 2＝ 1 的焦点坐标为 (0、 ± 3)、所以 b ＝3、所以 a 2＝4、所以椭圆 C 的方程为x2＋y2＝ 1.43→ →(2)当直线 l 的倾斜角为 0°时、不如令 A(－ 2,0)、 B(2,0)、则 OA ·OB ＝－ 4、当直线 l 的倾斜角不为 0°时、设其方程为 x ＝ my ＋ 4、由x ＝ my ＋ 4， ? (3m 2＋ 4)y 2＋ 24my ＋ 36＝ 0、3x2＋ 4y2＝ 12由 >0? (24m)2－ 4× (3m 2＋ 4)× 36>0? m 2 >4、设 A(my 1＋ 4、y 1)、 B(my 2＋ 4、y 2)．由于 y 1 224m、 y 1236 、＋ y ＝－3m2＋ 4y＝3m2＋ 4→ →＝ (my 1 2 1 22 1 2 12 1 2 116 －4、所以 OA·OB 3m2＋＋ 4)(my ＋ 4)＋ y y ＝ m y y ＋ 4m(y ＋ y )＋ 16＋ y y ＝ 4→ → －4， 13.由于 m 2>4、所以 OA ·OB ∈ 4综上所述、→ →的取值范围为－ 4， 13.OA ·OB 410． (20xx ××·市一模)已知椭圆 C ：x2 ＋y2a2 b2＝ 1(a ＞ b ＞0)的离心率为2、 F 121x22、 F 分别是椭圆 C 的左、右焦点、椭圆 C 的焦点 F 到双曲线 2－ y2＝ 1渐近线的距离为 33.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 AB ： y ＝kx ＋ m(k ＜0) 与椭圆 C 交于不一样的 A 、B 两点、以线段 AB 为直径的圆经过点25F 2、且原点 O 到直线 AB 的距离为、求直线 AB 的方程．解： (1) ∵椭圆 C ：x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为2、a2 b22∴c＝2、∵双曲线x2－ y 2＝ 1 的一条渐近线方程为 x － 2y ＝ 0、a22椭圆 C 的左焦点 F 1(－ c,0)、∵椭圆 C 的焦点 F 1 到双曲线x2－ y 2＝1 渐近线的距离为3 .23∴ d ＝|－c|＝ 3＝ c 得 c ＝ 1、1＋2 33则 a ＝ 2、 b ＝ 1、则椭圆 C 的方程为x2＋ y 2＝ 1；2(2)设 A 、 B 两点的坐标分别为 A(x 1、 y 1)、 B(x 2、 y 2)、 由原点 O 到直线 AB 的距离为25、得5|m| ＝2 5、1＋ k25即 m 2＝ 4(1＋ k 2)、① 5将 y ＝ kx ＋ m( k ＜0)代入 x22 ＋ y 2＝ 1；得 (1＋ 2k 2)x 2＋ 4kmx ＋ 2m 2－ 2＝ 0、则鉴别式＝ 16k 2 m 2－ 4(1＋ 2k 2)(2m 2－ 2)＝ 8(2k 2－ m 2＋ 1)＞ 0、∴ x 1＋ x 2＝－ 4km 、x 1x 2＝2m2－ 2、1＋ 2k21＋ 2k2 ∵以线段 AB 为直径的圆经过点 F 2、→ →＝ 0、∴AF2 ·BF2 即( x 1－ 1)(x 2－ 1)＋ y 1y 2 ＝0.即( x 1－ 1)(x 2－ 1)＋ (kx 1 ＋m)(kx 2＋ m)＝0、即(1 ＋k 2)x 1x 2＋ (km － 1)(x 1＋ x 2)＋ m 2＋1＝ 0、∴ (1 ＋k 2)2m2－2＋ ( km － 1) － 4km ＋m 2＋ 1＝ 0、 1＋ 2k21＋ 2k2 化简得 3m 2＋ 4km － 1＝ 0 ②由①②得 11m 4－ 10m 2－ 1＝ 0、得 m 2＝ 1、∵ k ＜0、m＝ 1∴1、知足鉴别式＝ 8(2k2－ m2＋ 1)＞ 0、k＝－21∴AB 的方程为y＝－2x＋ 1.。
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专题九 解析几何狂刷46 直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线2C y x =：与直线1l y kx =+：，“0k <”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=3．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3PF = A ．3 B ．43C 3D ．24．已知F 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y b =与双曲线交于M ，N 两点，且90MFN ∠=︒，则双曲线E 的离心率为 A 7B 3C ．2D 14 5．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点C 的横坐标为53，则AB ＝A ．133B ．143 C ．5D ．1636．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和直线:143x yL +=，若过C 的左焦点和下顶点的直线与L 平行，则椭圆C 的离心率为 A ．45 B ．35 C ．34D ．157．设动点,B C 在抛物线2:E x y =上，点(1,1)A ，直线,AB AC 的倾斜角互补，BC 中点的纵坐标为0y ，则0y 不可能为 A ．3 B ．4 C ．5D ．68．设A ，B 是抛物线24y x =上的两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值为A ．2B ．2C 2D ．19．已知双曲线的一个焦点与抛物线27y x =的焦点重合，且与直线1y x =-交于M N ，两点，若MN中点的横坐标为23-，则此双曲线的标准方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22125x y -= D ．22152x y -= 10．过抛物线2:4C y x =的焦点F 3的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为 A ．3B ．33C 5D ．2211．已知A （2，0），B （0，1）是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线()0y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =u u u r u u u r，则斜率k 的值为A ．23B ．38 C ．23或38D ．23或3412．已知双曲线2221y x b-=2，直线2y kx =+与双曲线的左、右两支各有一个交点，则k 的取值范围是A ．()()11-∞-+∞U ，，B ．()11-，C ．()22-∞+∞U ，，D ．(22-，13．32:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，且16||3AB =，则p = A ．12B ．1C ．2D ．414．已知椭圆E ：22142x y +=，O 为坐标原点，作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与AB 的夹角为θ，且tan 22θ=k = A ．22±B ．2±C 2D 215．已知直线2y x m =+与椭圆C ：2215x y +=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当AOB △的面积取得最大值时，AB =A 542B 210C ．2427D ．342716．如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p =A ．3B ．54C ．52D ．417．过抛物线M ：28y x =的焦点F 作两条斜率之积为2-的直线1l ，2l ，其中1l 交M 于A 、C 两点，2l 交M 于B ，D 两点，则||||AC BD +的最小值为________．18．已知椭圆22:12x C y +=，设过点()20P ，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是__________．19．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个不等实根，则经过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．不确定20．已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45o 的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =u u u r u u u r，则椭圆的离心率为A ．33 B ．32 C ．22D ．2321．已知直线l 与抛物线2y x =交于A ，C 两点，B 为抛物线上一点，A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列.若ABC △中，AC 边上的中线BP 的长为3，则ABC △的面积为 A 3B ．3C 33D ．3322．过双曲线()2222100x y a b a b-＝＞，＞的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为A ．(2，B ．(10，C ．(210，D ．510，23．椭圆2214x y +=上存在两点，A,B 关于直线4x −2y −3=0对称，若O 为坐标原点，则|OA⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |= A ．1 B ．√3 C ．√5D ．√724．已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()10F ，，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0.若O 为坐标原点，直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1，则123111k k k ++= A ．43- B ．−3 C ．1813-D ．32-25．已知双曲线22:145x y C -=右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点.当2AP PB =u u u r u u u r时，OA OB ⋅u u u r u u u r =A ．818 B ．9 C ．274D ．9226．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为−1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，直线l 与抛物线相切且l MN ∥，P 为l 上的动点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值是A ．−12B ．−14C ．−16D ．−1827．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且,4,AF BF 成等差数列，则k =_______.28．若直线):31l y x =-与双曲线222:14x y C b-=（0b >）的右支有两个不同的交点，则双曲线C 的渐近线斜率k 的取值范围是________.29．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 30．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．3231．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2 B 3C ．2D 532．（2018新课标I 理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．833．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 312PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．1434．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．3D ．435．（2017新课标全国I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．1036．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F 2．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=37．（2019年高考浙江卷）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．38．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120FB F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____________．39．（2018新课标Ⅲ理）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．。