第六章信号与系统

i =1 K i = K +1
Ai eα i t ∑
n
系数Ai由微分方程的初始条件决定{r (0 + ), r ' (0),L}
• 例：
d 3r (t ) d 2 r (t ) dr (t ) 求微分方程 +7 + 16 + 12r (t ) = e(t )的齐次解 3 2 dt dt dt
特征方程为：α + 7α + 16α + 12 = 0
• 四、系统的分析方法（系统的描述） 系统的分析方法（系统的描述）
系统的分析：对于给定的某具体系统， 系统的分析：对于给定的某具体系统，求出给定激励的响应 第一步： 第一步：建立系统的数学模型 连续系统：微分方程；离散系统：差分方程 连续系统：微分方程；离散系统： 第二步：应用数学方法求解数学模型（时域法和变换域法） 第二步：应用数学方法求解数学模型（时域法和变换域法） 时域法： 时域法：经典法解方程 变换域法：将数学模型通过变换（傅立叶变换拉式变换、 变 变换域法：将数学模型通过变换（傅立叶变换拉式变换、Z变 的函数， 换）转换成相应变换域自变量ω、s、z的函数，将微积分方程 、 的函数 转换成代数方程，将卷积运算转换成乘法运算求解 转换成代数方程，
r (t ) = T [e(t )] = g (t ) ⋅ e(t ) = sin t ⋅ e(t )； 当输入 | e(t ) |< M时，输出 r (t ) = sin t ⋅ e(t )， Q| sin t |≤ 1， | r (t ) |≤ M , 所以此系统为稳定系统 ∴
作业：6-3：1、2、4
3 2
+ 2) 2 (α + 3) = 0 (α 特征根为：α1Leabharlann = α 2 = −2，α 3 = −3
齐次解为：rc (t ) = ( A1t + A2 )e
− 2t
+ A3e
− 3t
• 二、特解
特解的函数形式由激励信号的函数形式决定，已知激励信号， 特解的函数形式由激励信号的函数形式决定，已知激励信号， 查表得到特解的函数形式，代入方程中解得待定系数。 查表得到特解的函数形式，代入方程中解得待定系数。 d 2 r (t ) dr (t ) de(t ) 例：求微分方程 +2 + 3r (t ) = + e(t )的特解， 2 dt dt dt 已知e(t ) = t 2
6.2 微分方程的经典解法
• N阶常系数线性微分方程 阶常系数线性微分方程
对于线性非时变系统，激励信号 与响应之间的关系可以 对于线性非时变系统，激励信号e(t)与响应之间的关系可以 阶常系数线性微分方程来描述： 用N阶常系数线性微分方程来描述： 阶常系数线性微分方程来描述
d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) an + an −1 + L + a1 + a0 r (t ) = n n −1 dt dt dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) bm + bm −1 + L + b1 + b0 e(t ) m m −1 dt dt dt
例2：r (t ) = T [e(t )] = e e ( t )； 当输入为 e(t − t0 )时，输出为： T [e(t − t0 )] = e e ( t −t0 )
而r (t − t0 ) = e e (t −t0 ) = T [e(t − t0 )] 所以该系统为时不变系统
• 3、因果性 、
查表得，特解形式为： (t ) = B(t ) = B1t 2 + B2t + B3 r 代入原方程得： 1t 2 + 4B1 + 3B2 )t + (2B1 + 2B2 + 3B3 ) = t 2 + 2t 3B （
根据等式两端相同幂次项系数相等的原则，得： 3B1 = 1； 1 + 3B2 = 2； 1 + 2 B2 + 3B3 = 0 4B 2B
所以该系统为线性系统
例2：r (t ) = T [e(t )] = e e ( t )； 当输入为 a1e1 (t ) + a2 e2 (t )时，输出为： r (t ) = T [a1e1 (t ) + a2 e2 (t )] = e[ a1e1 ( t ) + a2e2 (t )] = e a1e1 ( t ) ⋅ e a2e2 (t )
系统篇——线性系统分析 系统篇——线性系统分析
第六章 连续系统的时域分析
6.1 系统概述
• 一、系统的概念
物理系统： 物理系统：由某些元件以特定方式连接而成的具有特定功能的整体 电系统： 电系统： 输入信号e(t) 输入信号 激励 系统 输出信号r(t) 输出信号 响应
分析输入信号、输出信号和系统之间的（运算）关系 分析输入信号、输出信号和系统之间的（运算） 系统的表现形式： 系统的表现形式： 1、微分方程 2、系统函数 3、方框图 4、信号流图 、 、 、 、 本章主要以微分方程为数学工具讨论系统的特性， 本章主要以微分方程为数学工具讨论系统的特性，即输入 输出之间的关系
系统当前的输出与当前及以前时刻的输入有关， 系统当前的输出与当前及以前时刻的输入有关，则即时系统 都是因果系统。激励是产生响应的原因， 都是因果系统。激励是产生响应的原因，只有加入激励之后 才能有输出响应；有因才有果。 才能有输出响应；有因才有果。 时域变换系统均为非因果系统
例：反折r (t ) = T [e(t )] = e(−t ) 当t = −5时，r (−5) = e(5)即 − 5时刻的输出要由第5时刻的输入决定 当前时刻的输出要由以后时刻的输入决定，所以为非因果系统
• 三、线性非时变系统的性质 数学模型：常系数线性微分方程
1、线性特性及其判别方法： 、线性特性及其判别方法：
输入信号e(t )，输出信号r (t )，则a1e1 (t ) + a2 e2 (t )～a1r1 (t ) + a2 r2 (t )
例1：r (t ) = T [e(t )] = g (t ) ⋅ e(t )；T [•]表示一种运算 当输入为a1e1 (t ) + a2 e2 (t )时，输出为： r (t ) = T [a1e1 (t ) + a2 e2 (t )] = g (t ) ⋅ [a1e1 (t ) + a2 e2 (t )] = a1 g (t ) ⋅ e1 (t ) + a2 g (t ) ⋅ e2 (t ) = a1r1 (t ) + a2 r2 (t )
系数a、b由系统的元件参数 、L、C决定 系数 、 由系统的元件参数R、 、 决定 由系统的元件参数 微分方程的经典解法： 微分方程的经典解法：方程的完全解由齐次解和特解两部分组成
r (t ) = rc (t ) + B(t )
齐次解 特解
• 一、齐次解
d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) 齐次方程：an + an −1 + L + a1 + a0 r (t ) = 0的解 n n −1 dt dt dt 特征方程为：anα n + an −1α n −1 + L + a1α + a0 = 0
而a1r1 (t ) + a2 r2 (t ) = a1e e1 ( t ) + a2 e e2 (t ) ≠ e a1e1 ( t ) ⋅ e a2e2 ( t ) 所以该系统为非线性系统
• 2、时不变性 、
系统的响应与激励输入到系统的时刻无关
输入信号e(t )，输出信号r (t )，则e(t − t0 )～r (t − t0 ) 当输入信号延迟一段时间t0时，输出信号也延迟t0，而波形不变
节点： i ( t ) = 0，回路：∑ u ( t ) = 0 ∑
i i
ic(t) C + R1 R2 L
iL(t) 激励信号e(t)为电源： + 电压源：u (t) s ~ 电流源：i (t) s
响应 r(t) u(t) 或 i(t) r(t)为 i(t)： 方程左边为响应，右边为激励
对于节点有：ic (t ) + iL (t ) = is (t )， 1 t 对于回路有： ∫ ic (τ )dτ + ic (t ) R1 = u s (t ) C −∞ diL (t ) 1 t L + iL (t ) R2 − ic (t ) R1 − ∫ ic (τ )dτ = 0 dt C −∞
特征方程的根α1，α 2， α n微分方程的特征根 L
1、当特征根为单根的时候，微分方程的齐次解为： rc (t ) = A1eα1t + A2 eα 2t + L + An eα nt = ∑ Ai eα i t
i =1 n
2、当特征根为重根的时候，微分方程的齐次解为： rc (t ) = ∑ Ai t i −1eα1t +
• 4、稳定性 、
有界输入产生有界输出， 有界输入产生有界输出，当|e(t)|<M时，|r(t)|<∞ 时
例1：r (t ) = T [e(t )] = g (t ) ⋅ e(t ) = e t ⋅ e(t )； 当输入 | e(t ) |< M时，输出r (t ) = et ⋅ e(t )， Q et → ∞， r (t ) → ∞, 所以此系统为非稳定系统 ∴
例1：r (t ) = T [e(t )] = g (t ) ⋅ e(t )； 当输入为e(t − t0 )时，输出为：T [e(t − t0 )] = g (t ) ⋅ e(t − t0 )
r (t − t0 ) = g (t − t0 ) ⋅ e(t − t0 ) ≠ T [e(t − t0 )] 所以该系统为非时不变系统即时变系统