(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

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抛物型微分方程实验

实验项目三

实验名称：抛物型方程的有限差分法

实验目的：掌握抛物型方程的有限差分法的基本思想和实现步骤实验内容：用有限差分法编程数值求解抛物型方程

1、分别用最简显格式和最简隐格式计算下列热传导方程初边值问

题：

22(,0)sin()(0,)(1,)001;00.1

u u t x u x x u t u t x t π⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪==⎪≤≤≤≤⎪⎩（书习题P180页第 1题） 2、构造下列初边值问题的显格式并计算: （书习题P180页第2题）

(),0.51,0,

(1)(,0)()sin(),0.51,

(0.5,)(1,)0,0.(),0.51,0,

(2)(,0)()sin(),0.51,

(0.5,)0,(1,)0.5(1,),0.u u x x t T t x x u x x x x u t u t t T u u x x t T t x x u x x x x u u t t u t t T x ϕπϕπ∂∂∂⎧=<<<≤⎪∂∂∂⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎩∂∂∂⎧=<<<≤⎪∂∂∂⎪==≤≤⎨⎪∂⎪==≤≤∂⎩

实验类型：综合

实验学时：4

实验仪器设备：计算机一台

偏微分方程数值解第四章

4
求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组. h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2; M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N); for m=1:M u(m,1)=sin((m-1)*h*pi);
中国地质大学(北京)廉海荣编
2 2
联立(4.6)-(4.10), 得
中国地质大学(北京)廉海荣编
第四章抛物型微分方程数值解
- 6 -
[u ]kj +1 − [u ]kj
τ
k
=
⎤ 1 ⎡ k k k k 2 ⎢ x 1 ([u ] j +1 − [u ] j ) − x j − 1 ([u ] j − [u ] j −1 ) ⎥ + O(τ + h ) 去掉误差 h2 ⎣ j + 2 ⎦ 2
c
c
j+
1 2
= (1 − 2rx j ) u k
c
1 1 ⎞ ⎛ + r ⎜ x j − h + x j + h ⎟ uk 2 2 ⎠ ⎝
c
= (1 − 2rx j ) u k
c
+ 2rx j u k
c
= uk
c
所以，当 1 − 2rx j ≥ 0 时，按最大范数稳定. 此时 r ≤ 数稳定的充分条件.

抛物型方程

前言

抛物型方程解的估计及其应用

1前言

数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用．

微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用．

在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的

1-有限差分法的基本知识汇总

通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用
P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．根据Newton第二定律，就得到：
2u P( x dx, t ) P( x, t ) S Sdx 2 t
V
有热源三维热传导方程
☆ 一维浓度扩散方程
☆ 动量输运方程
抛物型方程
C 2C 2 F x, t t x
C为物质浓度，λ为扩散系数。
u 2u f t x 2 x
u为速度，fx为流体体积力，ν 为流体粘性系数。
显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同
y
M'
T'
也就是说，张力 T 是一个常数。
s
'

T
M
g s
x
x x x
T ( x)sin T ( x x)'sin ' sg sa 纵向：
a 为小弦段在纵向Leabharlann Baidu加速度
sin tan u ( x, t ) , x sin ' tan ' u ( x x, t ) x
如果误差的影就要分析这种误差传播的值从而影响时的舍入误差必然会计算因此层上计算出来的结果时要用到第进行的计算差分格式的计算是逐层层上的误差如果存在常数使得那么称差分格式是稳定的其中某种尺度范数它可以是也可以取考虑逼近对流方程的差分格式的稳定性

(十二章)抛物型方程有限差分法

各种隐格式，例如向后差分格式和Grank-Nicholson格式，也可以类似地推广用于高维情形。每次计算新的一层差分解时，同样需要求解一个线性方程组。但是，这个线性方程组不再是三对角的，方程组阶数为，其中是抛物方程的维数。因此，求解成本大大增加，甚至导致无法求解。为了克服这一困难，人们提出了各种降维技巧，局部地把高维问题化成一维问题求解。下面给出的求解二维抛物方程的LOD格式（局部一维格式）就是其中一例。
由于第层值可以通过第层值直接得到，如此的格式称为显格式。并视为的近似值。
若记，，则显格式可写成向量形式其中若记那末截断误差（1.5） ==。其中是矩形，中某一点。事实上，+
=+ = ==。这里
故，从而
（2）向后差分格式
， ==0
其中，。取为网比，则进一步有 +=+
按层计算：首先，取，则利用初值和边值==0，来确定出第一层的，，即求解方程组：
表示-网格边界点的集合。
表示定义在网点处的待求近似解，，。
注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系（）：可得到以下几种最简差分格式
（1）向前差分格式
， ==0 其中，。取为网比，则进一步有
=+++ 此差分格式是按层计算：首先，令，得到
=+++ 于是，利用初值和边值==0，可算出第一层的，。再由取，可利用和==0算出，。如此下去，即可逐层算出所有（，）。

抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82

本科生毕业论文（设计）

题目：一类抛物型方程的计算方法

作者单位数学与信息科学学院

作者姓名

专业班级2011级数学与应用数学创新2班

指导教师

论文完成时间二〇一五年四月

一类抛物型方程的数值计算方法

(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）

指导教师

摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。

关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性

Numerical computation methods for a parabolic equation

Yan qian

（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）

Advisor: Nie hua

Abstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.

用向前差分格式计算初边值问题

一、题目

用向前差分格式计算如下热传导方程的初边值问题

222122,01,01(,0),01

(0,),(1,),01x

t t u u

x t t x u x e x u t e u t e t +=<<<≤??=≤≤??==≤≤

已知其精确解为

2(,)x t u x t e +=

二、考虑的问题

作为模型，考虑一维热传导方程：

22(),0u u

a f x t T t x

=+<≤??…………（1.1）其中a 是正常数，()f x 是给定的连续函数。现在考虑第二类初边值问题的差分逼近：

初始条件：(,0)(),0u x x x l ?=<<…………（1.2）

边值条件：(0,)()u t t η=，(,)()u l t t γ=，0t T ≤≤………（1.3）

假设()f x 和()x ?在相应区域光滑，并且在0,x l =满足相容条件，使上述问题有惟一充分光滑的解。

三、网格剖分

取空间步长l

h N

=和时间步长T

M τ=，其中

,N M 都是正整数。用两族平行直线

(0,1,,)j x x jh j N ===L 和(0,1,,)k t t k k M τ===L 将矩形域{}

0;0G x l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格节点为(,)j k x t 。以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；

h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界

点集合。

其次，用k

j u 表示定义在网点(,)j k x t 的函数，M k N j ≤≤≤≤0,0

二维抛物方程的有限差分法

摘要

二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。

首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。

关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式

FINITE DIFFERENCE METHOD FOR

TWO-DIMENSIONAL PARABOLIC

EQUATION

Abstract

Two-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.

抛物方程的有限差分法

图1

,我们需要求解这1/h +1()×T/τ+1()个点对应的函数值实上由已知的初边值条件蓝色标记附近的点可直接得到,所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可,可记为u []

k j

=u (x j ,t k )。

建立差分格式

j =1, (1)

-1;k =0,1,…,T τ-1,用向前差分代替关于时间的

一阶偏导数,用二阶中心差分代替关于空间的二阶偏导数,则可定义最简显格式:

-u k j =u k j+1-2u k j +u k

j-1

变形有:

(上接第50页)极大值理论,检测初始行波、故障点反射波和对端母线反射波到达测量端的时间,测量故障点距离,从测试结果看,该方案有效弥补传统行波测距的不足之处,提高了故障测距的精确度。

【参考文献】

[1]陈靖.行波法故障测距的理论研究及其实现方案[D].武汉:武汉大学,2004.数值解的剖分图如图2:

图2

真解与数值解的误差剖分图如图3:

图3

3数值实验及结果分析

我们对所求解的初边值问题(1)进行算法精度的数值实验,当

u 0

(x )sin πx 时,边界值仍然为u (0,t )=u (1,t )=0,其精确解为:u (x ,t )

从表中我们可以看出。

有限差分法在数值计算中的应用

有限差分法在数值计算中的应用有限差分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、金融学等。本文将介绍有限差分法的基本原理，以及其在数值计算中的应用。

一、有限差分法的基本原理

有限差分法是通过近似计算导数、积分等运算的一种方法，其基本思想是将函数在某一点处展开成一个泰勒级数，然后用有限个点处的函数值来逼近原函数。有限差分法的核心是将连续的函数转化为离散的数据点，然后通过有限个离散点之间的差分来近似原函数的性质。

有限差分法的主要步骤包括以下几个：

1. 网格划分：将计算区域划分为均匀的网格，即将连续的空间划分为一系列离散的点。

2. 逼近函数：将原函数在每个网格点处做泰勒级数展开，得到对应的近似函数。

3. 差分近似：根据泰勒级数展开的结果，利用有限个网格点之间的差分，来近似计算导数、积分等运算。

4. 求解方程：根据差分结果，可以得到离散的代数方程组，通过求解这个方程组得到数值解。

二、1. 偏微分方程求解：有限差分法可以用来求解各种类型的偏微

分方程，包括抛物型、椭圆型和双曲型方程。通过将偏微分方程离散

化为代数方程组，再通过求解方程组得到数值解。

2. 数值积分：有限差分法可以用来近似计算函数的积分。通过将积

分区间划分为一系列小区间，并用离散点上的函数值来近似替代原函数，可以得到积分的数值结果。

3. 非线性方程求解：有限差分法也可以用来求解非线性方程。通过

将非线性方程转化为离散的代数方程组，并利用迭代方法求解方程组，可以得到非线性方程的数值解。

4. 边值问题求解：有限差分法可以应用于求解各类边值问题，如求

抛物型偏微分方程

抛物型偏微分方程（Parabolic Partial Differential Equation）是数学分析中重要的一个分支，研究对象主要是关于时间和空间变量的二阶偏微分方程。在物理、工程和经济等领域中，抛物型偏微分方程有着广泛的应用，比如热传导方程、扩散方程和波动方程等。

1. 定义和形式

抛物型偏微分方程是指对于函数 u(x, t) 存在连续二阶偏导数，并满足形式如下的方程：

∂u/∂t = a∇²u + bu + f(x, t)

其中，a 是常数，∇²u 是 u 关于空间变量 x 的拉普拉斯算子，b 是各项异性系数，f(x, t) 是给定的源项函数。该方程描述了函数 u 关于时间t 的演化过程，与空间变量 x 的变化有关，反映了物理现象在时间和空间上的动态发展。

2. 物理意义和应用

抛物型偏微分方程在物理学领域中有着重要的应用。其中，热传导方程是抛物型偏微分方程的典型例子，描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。热传导方程在热力学、材料科学和地球物理学等领域中具有广泛的应用，例如预测地球内部热流、分析塑料注塑过程中温度分布等。

此外，扩散方程也是抛物型偏微分方程的重要应用之一。扩散过程描述了物质在空间中传播的方式，常用于研究化学反应、人口扩散和

金融市场中的价格传播等问题。波动方程则描述了波在空间中传播的规律，例如声波、电磁波和水波等。

3. 解法和数值模拟

抛物型偏微分方程的解法可以通过变量分离、变换等方法获得解析解。然而，在实际问题中，解析解往往难以求得，需要借助数值方法进行近似计算。

抛物方程的有限差分法

一
㈤＝￡川
［去一划）ｌ＋０（）（４）
１本文研究的方程
取空间步长击，时间＝ｏ・００２５以及仁０・０１的矩形网格剖分
，
ห้องสมุดไป่ตู้
本文主要研究一维热传导方程的有限差分解法．下面给出了各向区域，用－＂．～－ｄ￣、、Ｕ，）表示坐标点（，）＝（，＾，ｒ） √ ＝Ｏ，１， … １；＝０１，同性介质中无热源的一维热传导方程及初始条件：
项目与深囊
Ｓｃ科ｉｅｎｃｅ＆技Ｔｅｃｈ视ｎｏｌｏｇｙＷｉＶｉｓｔｉｏｎ
科技
・
探索・争鸣
抛物方程的有限差分法
李娜（青岛科技大学数理学院，山东青岛２６６０６１）
【摘要】抛物方程是描述物理现象的一类重要方程，其中差分方法和有限元方法是求其数值解的两类主要方法。本文主要介绍有限元方
一
对于＝ｌ， … ，｝一１；＝０，１， … ，一１，用向前差分代替关于时间的
ｋ＋ｌｋ
＾

抛物型方程的有限差分解法及其在复杂电磁环境中的应用

研究生姓名指导教师姓名单位名称申请学位级别论文提交日期学位授予单位答辩委员会主席
430070 无线电物理 2010 年 5 月 2010 年 5 月王嘉赋徐晓英
学科专业名称论文答辩日期学位授予日期评阅人
2010 年 5 月
摘要
研究电磁波的长距离传播对移动通信和电磁环境研究都具有重要意义。影响电磁波传播的环境因素主要是阻抗边界和传播介质，现代信息技术和科学研究的进展表明，准确地预测电磁波在复杂环境下的传播不仅有利于提高通信质量，也能通过对接收信号的分析来研究传播介质和边界的特性。本文研究了电磁波传播理论和数值计算方法，包括初始场、地形边界和传播空间等模型，预测了电磁波在各种复杂电磁环境下的传播损耗，并介绍了理论算法在实际中的应用。本文推导了从麦克斯韦方程组到抛物型方程(PE)的近似过程，并且在阻抗边界条件下使用有限差分法(FDM)分别求解了窄角和宽角抛物型方程的解。为了求其数值解，根据天线理论求解了适用于 PE 的高斯天线初始场，改进了传统的汉宁窗模型提高吸收层的吸收效果，使用了阶梯模型和分段线性地形模型来处理复杂地形。在地形传播的应用上，简要地介绍了后向反射波、逆算法和目标定位的计算方法。在大气波导中的传播方面，研究了波导形成的条件和种类，模拟了典型波导环境中的传播。详细地研究了低仰角 GPS 信号在海平面的传播模式，改进了现有的 GPS 初始场模型并修正了包含星地路径的传播损耗公式，提出了一种圆极化波传播的算法。计算了 GPS 信号在典型大气波导中的传播，通过计算结果总结了 GPS 信号与一般高斯天线的不同之处。在实例计算时，通过与傅里叶算法和 AREPS 的结果对比来证明本文的 FDM 是有效的。本文的成果是实现了抛物型方程的有限差分法解法，解决了解法本身及其用于复杂电磁环境问题中的几个关键问题，通过与相关研究结果的比较说明了其准确性和实用性。本文的创新点如下：对现有的吸收层提出了一种有效的改进方法，建立了适用于各种不同条件的 GPS 初始场模型，并得到了 GPS 圆极化波传播的研究结果。此外，还总结了低仰角 GPS 信号在海平面上的传播特点。关键词：抛物型方程，有限差分法，逆算法，大气波导，GPS 初始场

抛物形扩散方程的有限差分法与数值实例

偏微分方程数值解

所在学院:数学与统计学院

课题名称:抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生：向聘

抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例

1.1抛物型扩散方程

抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程:

其中a 是常数，f(x)是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1) 的定解分为两类：

第一，初值问题(Cauchy 问题)：求足够光滑的函数u x, t ，满足方程(1.1.1) 和初始条件：

u x, 0 x ,

(1.1.2)

第二，初边值问题(也称混合问题)：求足够光滑的函数u x,t ，满足方程(1.1.1) 和初始条件：

u x, 0 x ,

0 x l (1.1.3)

及边值条件

u0,t ul,t 0，

0 t T (1.1.4)

假定f X 和 x 在相应的区域光滑，并且于0,0，l,0两点满足相容条件，则上述问题有唯一的充分光滑的解。

1.2抛物线扩散方程的求解

F 面考虑如下热传导方程

u(0.t) u(L,t) 0 u(x,0)

(x)

其中，0 x l ，0 t T, a (常数)是扩散系数。

f(x),0 t T (1.1.1)

(1.2.1)

取h秸为空间步长, M为时间步长，其中N，M是自然数，用两族

平行直线x X j jh , j 0,1, , N 和t t k k , k 0,1, , M 将矩形域

G 0 x l; 0 t T 分割成矩形网格。其中 X j ,t k 表示网格节点；G h 表示网格点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；G h 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h 表示G h - G h 网格边界点的集合。

(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法

1. 简单差分法

考虑一维模型热传导方程 (1.1)

)(22x f x

a t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：

第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） ()()x x u ϕ=0,,

∞<<∞-x

第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ϕ=0,,

l x l <<-

及边值条件

()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，

T t ≤≤0

假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近取

h =

为空间步长，M

T =

τ为时间步长，其中N ，M 是

自然数，

jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=；

k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=

将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表

示网格节点；

h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；

h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系

有限差分法求解抛物型方程说明

有限差分法求解抛物型方程

偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.

§1 差分方法的基本思想

有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.

有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.

泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.

首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记

0()(), =0,1,2,

i i u x u x ih u i =+=

图1 单变量函数离散化

函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为

()()()()()2!3!

i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++