第二章流体力学

a2 b2 v h2p 2 2 S2
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外力的总功是
W p1s11 - p2 s22 t
因为流体被认为不可压缩。所以a1b1和a2b2两小段流体 的体积S1υ1t和S2υ2t必然相等，用V表示，则上 式可写成 W P 1 -P 2 V 其次，计算这段流体在流动中能量的变化。对于稳 定流动来说，在a1a2间的流体的动能和势能是不改变 的。由此，就能量的变化来说，可以看成是原先在 a1b1处的流体，在时间t内移到了a2b2处，由此而引 起的能量增量是
因为时间t极短，所以a1b1和a2b2是 两段极短的位移，在每段极短的位移中， a b1 1 压强p、截面积S和流速υ都可看作不变。p v 21 设p1、S1、υ1和p2、S2、υ2分别是a1b1 S1 1 与a2b2处流体的压强、截面积和流速， h1 则后面流体的作用力是p1S1，位移是 υ1t，所作的正功是p1S1υ1 t ，而前 面流体作用力作的负功是-p2S2υ2t ， 因此，外力的总功是：
（1）不容易被压缩的液体，在不太精确的研究中 可以认为是理想流体。研究气体时，如果气 体的密度没有明显变化，可以认为是理想 流体。 （2）理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能 不会转化为内能。
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3.定常流动
定常流动指流体的流动状态不随时间发生 变化的流动。流体做定常流动时，流体中各流 体元在流经空间任一点的流速不随时间发生变 化，但各点的流速可以不同。
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解 : 水面为参考面 , 则有 A 、 B点的高度为零 ,C点的高 度为 2.50m,D 点的高度为 - 4.50 m.
(1) 取虹吸管为细流管, 对于流线 ABCD 上的 A 、 D 两点 , 根据伯努利方 程有
1 2 1 2 ghA v A p A ghD vD pD 2 2
1 1 2 2 E2 - E1 ( mv 2 mgh2 ) - ( mv1 mgh1 ) 2 2 1 2 1 2 V [( v 2 gh2 ) - ( v1 gh1 )] 2 2
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1 2 1 2 ( p1 - p2 )V V [( v 2 gh2 ) - ( v1 gh1 )] 2 2
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第2章 流体力学
2.1 理想流体的流动 2.1.1 理想流体 2.1.2 连续性原理 2.1.3 伯努利方程 2.1.4 伯努利方程的应用 2.2 黏滞液体的运动规律 2.2.1 牛顿黏滞定律 2.2.3 层流、湍流 、雷诺数
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教学重点 ★ 综合运用连续性方程和伯努利方程分析求解理 想流体问题。 ★了解层流、湍流和雷诺数
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4. 流线
流线是分布在流体流经区域 中的许多假想曲线，曲线上每一 点的切线方向和该点流体元的速 度方向一致。
流体流过不同形状障碍物的流线
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流线的几点性质 （1）流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点速 度的变化，速度大的地方流线密，反之则稀。 （2）对于定常流动，流线的形状和位置不随时间 而变化。 （3）流线不能相交，是一条光滑的曲线。
v vA 2 pB - pA 2 g (hB - hA ) 2 gh
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1 2 PA v A PB 2
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3.流速与高度的关系（小孔流速）
在自然界、工程技术和我们的日常生活中 , 存 在着许多与容器排水相关的问题 ,如水库放水( 泻洪与发电 ) 、水塔经管道向城市供水及用吊 瓶给患者输液等 , 其共同的特点是液体从大容 器经小孔流出.
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(2) 对于同一流线上 A 、 B 两 点,应用伯努利方程有
1 2 1 2 p A v A pB v B 2 2 1 2 pB p0 - vB 2
根据连续性方程可知 , 均匀虹吸管内 , 水的速率处 处相等,vB=vD. 1 5 p B 1.013 10 - 1.0 10 3 9.4 2 5.7 10 4 Pa 2 结果表明 , 在重力势能不变的情况下 , 流速大处压 强小,流速小处,压强大.B点压强小于大气压,水能 够进入虹吸管.
a1 b1 p 2 S2 v
1
a2 h1
b2
v h2 p S 2 2 2
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大学物理教程 现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。假设流 体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁对这段流体的作 用力垂直于它的流动方向，因而不作功。所以流动过程中，除了 重力之外，只有在它前后的流体对它作功。在它后面的流体推它 前进，这个作用力作正功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作 用力作负功。
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大学2.1.1 流体力学的基本概念 1. 流体
流体是由许多彼此能够相对运动的流体元所组成的连 续介质，具有流动性。流体是液体和气体的总称。
2.理想流体
理想流体指不可压缩、完全没有粘滞性的流体， 它是实际流体的理想化模型。
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2. 理想流体
不可压缩的没有黏滞性的流体称理想流体， 它是实际流体的理想化模型。
☆ 适用范围：理想流体和不 可压缩的黏滞流体。
S1
S3
v3 v2
v1
S2
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2.1.3 伯努利方程 理想流体的伯努利方程
1738年伯努利(D. Bernoulli) 提出了著名的伯努利方程. 伯努利方程是流体动力学的基 本定律，它说明了理想流体在 管道中作稳定流动时，流体中 某点的压强p、流速υ和高度h 三个量之间的关系为：
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7.台风 台风从一栋坐北朝南、关门闭户的民房吹过，如 果室内外压强差为0.02p0。则： (1)若空气密度为 1.29Kg/m3 ，风速为多少？ (2)试解释为什么台风容易将屋顶掀翻。 解： （1）根据伯努利方程，有
1 2 v p p0 2
依照题意，有
0.02 p0
1 2 v 2
则
v
2 0.02 p0

2 0.02 1.01 105 56(m s-1 ) 1.29
这样的风速属于超强台风。
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(2)台风过处，室内外存在较大的压强差，与正常 情况相比，屋顶受到室内外气压的净作用力是向 上的，故易掀翻屋顶，也容易造成房屋倒塌。
连续性原理
v1，v2是A,B处的流体流速，S1,S2截面是任意选取。
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☆ 物理意义：单位时间内通过横截面S的液体体 积，故称体积流量，用qv表示 ☆ 物理本质：同一流管在相同时间内流过任一截 面的体积流量都相同。因而截面大处流速小， 截面小处流速大。 ☆ 当有多条支流时
v1S1＝v2 S2 v3S3
v2
v1 B`
B
A A`
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如图中所示，设有理想流体做稳定流动，在流 管中A,B点做垂直截面S1,S2的流动，流管很细。
1v1tS1 v2 tS2
2
v2 v1 B B` A A`
如果流体体积不可压缩，
2 1
v1 S 1 v 2 S 2
（2-2）
v s 常量
2.皮托(pitot)管原理
是一种用来测量流体速度的装置
图2-10所示是一根两端开口弯 成直角的玻璃管，这是一种最 简单的测量流速的比较古老的 仪器，称为皮托管。1773年， 皮托就是利用这种简单的办法 测出法国塞纳河的流速。
vA v , vB 0
PB - PA gh
图2-10 皮托管
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例1：如图所示，设在流管中的流量为 5 0.12m3· s-1,A点的压强为 2 10 Pa ，截面 积为100cm2,B点的截面积为60cm2，假定 水是理想流体，求A、B两点的流速和B 点的压强。 解：根据连续性方程可知 所以 v A Q / S A
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丹· 伯努利 (Daniel Bernoull, 17001782) 瑞士科学家 1 p v 2 gh 常量 （2-5） .
式中是流体的密度，g是重力加速度。
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1 p v 2 gh 常量 （2-5） 2
试用功能原理导出伯努利方程。 我们研究管道中一段 流体的运动。设在某 一时刻，这段流体在 a1b1位置，经过极短 时间t后，这段流 体达到a2b2位置
p v2 h 常量 g 2 g
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2.1.4 伯努利方程的应用
1. 压强与高度的关系 若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽略时 , 伯努利方程可以直接写成：
p1 gh1 p2 gh2
或 p gh 常量
表明流速不变或流速的改变可以忽略时 , 理想流体 稳定流动过程中流体压强能与重力势能之间的转换 关系,即高处的压强较小,低处的压强较大。 两点的压强差为：
从功能原理得
整理后得
1 1 2 p1 v1 gh1 p2 v 2 2 gh2 (2-4) 2 2 1 p v 2 gh 常量 (2-5) 伯努利方程 2
它表明在同一管道中任何一点处，流体每单位体 积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。在 工程上，上式常写成
水电站
水库大坝 20
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小孔流速
由伯努利方程
1 2 p0 gh p0 v 2
得小孔流速
v 2 gh
S为小孔的截面积
流量
QV vS
vB
2( p0 - pB )

2 gh
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例：用一根跨过水坝的粗细均 匀的虹吸管,从水库里取水,如 图所示.已知虹吸管的最高点C 比水库水面高 2.50 m, 管口出 水处D比水库水面低4.50 m,设 水在虹吸管内作定常流动. (1) 若虹吸管的内径为3.00×10-2m,求从虹吸管流 出水的体积流量. (2) 求虹吸管内B、C两处的压强.
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由连续性方程有
因 SA 远大于 SD, 所以 vA 可以忽 略不计,pA= pD=p0.整理后得
SD vA vD SA
vD 2 g (hA - hD )
2 9.8 [0 - ( -4.5)]m s-1 9.4m s-1
2 DD QD SD vD π vD 4 (3.00 10-2 ) 2 3.14 9.4m 3 s-1 6.6 10- 3 m 3 s -1 4 结果表明 , 通过改变 D 点距水面的垂直距离和虹 吸管内径,可以改变虹吸管流出水的体积流量.
p1 - p2 g (h2 - h1 )
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1.等高线中流速与压强的关系-测量流量的汾丘里管
1 2 1 2 p1 v1 p2 v2 2 2
Q s1v1 s2v2
P P 1-P 2 gh
Q S1S2
2 gh 2 2 S1 - S2
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对于同一流线上的C、D两点,应用伯努利方程有
1 2 1 2 pC vC ghC pD v D ghD 2 2
均匀虹吸管内,水的速率处处相等,vC=vD ,整理得
pC p0 g (hD - hC )
1.013 10 5 1.0 10 3 9.8 (-4.5 - 2.5)Pa 3.2 10 4 Pa 虹吸管最高处 C点的压强比入 口处 B 点的压强低 , 正是因为 这一原因 , 水库的水才能上升 到最高处,从而被引出来.
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5. 流管 流管是由一束流线围成的管状区域。 对于定常流动，由于流线不能相交，所以流 体只能在流管里流动，而不能穿越流管。因此， 流管仿佛就是一条实际的水管。
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2.1.2 连续性原理
如果在流体内取一个截面积很小的细流管， 流管中任一个横截面S上各点的流速都相同。在 流管中A,B点做垂直截面S1,S2，速度分别为v1,v2, 在定常流动中，假定液体不可压缩，在很小的 △t时间内流进流管的流体质量应等于在相同时 间内流出流管的流体质量。连续性原理在物理实 质上是流体力学中关于质量守恒的定律。