《平行线分线段成比例》课件7(人教A版选修4-1)

A
D E
l1 l2
F
l3
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B BC EF 下 下 是 ; C AB DE 上 上 AB BC DE EF
A
D E
l1 l2
F
l3
l1 AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B E l2 BC EF 下 下 是 ; C F l3 DE AB 上 上 AB BC DE EF 上 下 和 是 ; DE EF AB BC 上 下 结论是对应线段成比例.
B A
F
D E C
图1 13
1
AD AC 2 在ADC 中,因为 EF // CD, 所以 AF AE AB AD 由12式得 .所以 AD 2 AB AF . AD AF
即 AD是 AB和 AF 的比例中项.
A
例3 用平行于三角形一边且 和 其他两边相交的直线截 三角形 , 所截得的三 角形的三 边与原三 角形的三边对应成比例 .
a c t, b d 请你证明这 设 两个等式(比 例的性质) .
AB DE AB DE BC EF , , . BC EF AC DF AC DF
一般地, 我们有
平行线分线段成比例定 理 三条平行线 截两条直线,所截的对应线段成比例 .
此定理表明三条平行线可以把两条线段的比 等值地进行传递： (截得的线段的长度变化, 上 x ， 但比值不变.) —— = —— 下 y xk 上 x， —— = —— 下 y yk xn xp xm yn yp ym 上 x . —— = —— 下 y 上 x， —— = —— 下 y
D B
E C
F
图1 14
已知 : 如图1 14, DE // BC , DE分别 AD AE DE 交AB、AC于点D、E.求证 : . AB AC BC
已知 : 如图1 14, DE // BC , DE分别交AB、AC于点D、 AD AE DE E.求证 : . AB AC BC
二、定理推论：
三、是否推广到空间?
a c 如果 , b d b d 那么 , a c ab cd b d 成立吗?
AB AB m 当 为有理数时, 即 (m, n是互质的正 BC BC n 整数), AB是长度单位的m倍, BC 是长度单位的 n倍, 依照上面的方法, 可以证明1成立. AB 更一般地, 可以证明,当l1 // l2 // l3 , 且 是实数 BC 时, 1式也成立. 由1式和比例性质, 可以得到
选修 4-1
几何证明选讲
第一讲 相似三角形的判 定及有关性质
平行线分线段成比例
复习
一、平行线等分线段定理：
二、定理推论：
三、常见图形中的常见结论：
我们看到 平行线等分线定理以相邻两条平行线间 , " 的距离相等"为条件.如果一组平行线中相邻 两条平 行线间距离不相等 .又可以得出怎样的结论 ? 呢
l A l` D
l1
观察 如图1 8 ,两条 直线被一组平行线 所 截, 当平行线间的距离 不相等时, 所截的线段 AB与BC、DE与E 之 F 间有什么关系?
E
l2
B
C
F
l3
图1 8
容易发现, 若AB BC , 则DE EF .
由以往学习平面几何的 经验,当几何图形不全等 时, 可以考察它们是否相似 .而相似是通过" 对应 边成比例, 对应角相等"来表现的由此得到启发 . , 我们可以研究被一组平 行线截得的线段是否有 " 对应边成比例" ? AB DE AB 2 探究 在图1 8中, 相等吗? 取 BC EF BC 3 l l` 的特殊情形进行探讨.
A D
l1
B
E
l2
C
F
l3
图1 8
我们可以将上述问题化归为平行 线间距离相等的情形 . AB 2 如图1 9, 如果 , 设线段 BC 3 AB的中点为P1 , 线段BC 的三分 点为P2、P3 , 这时有 AP P1 B BP2 P2 P3 P3C . 1
l A P1 B P2 P3 C
A
D E
l1 l2
F
l3
AB AC DE DF BC AC EF DF AB DE AC DF BC EF AC DF
是 是
是
是
综合以上，结论是对应线段成比例.
上 全 ; 上 全 B 下 全 ;C 下 全 上 上 ; 全 全 下 下 ; 全 全
A
D E
l1 l2
F
l3
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
例 2 如图1 13, ABC 中, DE // BC , EF // CD . 求证 : AD是AB和AF的比例中项. 证明 在ABC中,
因为DE // BC, AB AC 所以 AD AE
探究 如图1 15 , 直线 l1、l2 被三个 平面、、 所 截 , 直线l1 与它们 的交点分别为A、 B、C , 直线l2与它


C
l1 l 2

B
A D E F
图1 15 们的交点分别为 AB DE D、E、F . 与 相等吗? BC EF
小结：
一、平行线分线段成比例定理：
l3
图1 11
平行线分线段成比例定理推论:
A
D E E D A
表达式： ∵DE∥BC， AD AE ∴ =
“A”字图形
“8”字图形
推论 平行于三角形一边的直 线截其他两边 或 ( 两边的延长线)所得的对应线段成比例 .
这是今后最常用的两个基本图形.
平行线分线段成比例定理推论:
"平行线分线段成比例定 " 是平面 理 几何中的定理, 一个自然的想法是, 这个定理在空间中也成 立吗? 请你 完成这个探究 .
实际上, 命题的推广可以有不同 的方 向.例如 , 在 "平行线分线段成比例定 理 " 中, 如果将平行线改为平行 平面, 也可以探究相应命题是 否成立.请你 完成下列探究 .
DE 2 DQ1 2 AB DE 所以 ,因此 . EF 3 DQ1 3 BC EF
1
AB AB m 当 为有理数时, 即 (m, n是互质的正 BC BC n 整数), AB是长度单位的m倍, BC 是长度单位的 n倍, 依照上面的方法, 可以证明1 成立.
AB 更一般地, 可以证明,当l1 // l2 // l3 , 且 是实数 BC 时, 1式也成立.
l` D Q1 E Q2 Q3 F
l1 a1 l2 a2 a3 l3
图1 9
分别过P1、P2、P3 作直线a1、a2、a3平行于l1 , 与l `的交点分 别为Q1、Q2、Q3 .由平行线等分线段定理可知 : DQ1 Q1 E EQ2 Q2Q3 Q3 F . 因为 DE DQ1 Q1 E 2DQ1 , EF EQ2 Q2Q3 Q3 F 3DQ1 ,
A
D
E C
B
证明 过点E作EF // AB, 交 BC于点F ,
F
图1 14
AD AE BF AE 因为 DE // BC , EF // AB , 所以 , , AB AC BC AC
且四边形DEFB为平行四边形 故 DE BF. ,
AE DE AD AE DE 则 . 因此 . AC BC AC AC BC
l
A D B
l`
l1
观察图1 10 和图1 11 , 它们是图1 8 的特殊情形, 即 l 与 l `的交点都在l1上 . 根 据 平行线分线段成比例定理可得 , AD AE . AB AC
l2
E C
l3
图1 10
l
D
A B C
l` E
l1
l2
如果把图 10 和图1 11中的直线l2 1 看成是平行于 ABC的BC 边的直线, 那么可以得到:
A B D E F
l1 l2
l3
C
例1 如图1 12, ABC 中, DE // BC , DF // AC , AE 4, EC 2, BC 8.求 BF 和 CF 的长.
B D
A
E F C
图1 12
解 因为DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
A
D
AB AC 上 全 是 ; DE DF 上 全 B
C
A
D E
l1 l2
F
l3
AB AC 上 全 是 ; DE DF 上 全 B BC AC 下 全 是 ;C EF DF 下 全
A
D E
l1 l2
F
l3
AB AC 上 全 是 ; DE DF 上 全 B BC AC 下 全 是 ;C EF DF 下 全 AB DE 上 上 ; 是 AC DF 全 全
. .
.
一般地, 我们有 平行线分线段成比例定 三条平行线 理 截两条直线 ,所截的对应线段成比例 .
思考:你怎样理解“对应线段成比例”
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B
C
A
D E
l1 l2
F
l3
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B BC EF 下 下 是 ; C AB DE 上 上