02 命题逻辑等值演算

证明： → → 证明：p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r ∧ →
– 证：p→(q→r) → → – ⇔¬ ∨(¬q∨r) (蕴涵表达式 ⇔¬p∨ ¬ ∨ 蕴涵表达式) 蕴涵表达式 – ⇔(¬p∨¬ ∨r (结合律 ∨¬q)∨ 结合律) ¬ ∨¬ 结合律 – ⇔¬(p∧q)∨r ⇔¬ ∧ ∨ – ⇔ (p∧q)→r ∧ → (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 (蕴涵表达式 蕴涵表达式) 蕴涵表达式
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等值演算应用(证明不等价) 等值演算应用(证明不等价)
证明 A：p→(q→r) 与 B：(p→q)→r 不等价 ： → → ： → →
– 法一：真值表法(略) 法一：真值表法 略 – 法二：观察法 法二：
• 010是A的成真赋值，是B的成假赋值 是 的成真赋值， 的成假赋值 的成真赋值
– 法三：等值演算化成易于观察真值的公式，再观察 法三：等值演算化成易于观察真值的公式，
– 基本恒等式 – 替换规则
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替换规则
替换/置换规则 替换 置换规则
– 设 Φ(A) 是含公式 A 的命题公式 – Φ(B) 是用公式 B 置换 Φ(A) 中某些 所有 某些(所有 所有)A 后得到的命题公式 – 若 B⇔A，则 Φ(B)⇔Φ ⇔Φ(A) ⇔ ， ⇔Φ
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等值演算应用(证明等价) 等值演算应用(证明等价)
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– 不等价
基本逻辑恒等式(vs. 算术规则) 基本逻辑恒等式(vs. 算术规则)
双重否定律(Double negation) 双重否定律
– ¬¬ ⇔A ¬¬A⇔
幂等律(Idempotent law) 幂等律
– A∨A⇔A, A∧A⇔A ∨ ⇔ ∧ ⇔
交换律(Commutativity) 交换律
– A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A ∨ ⇔ ∨ ∧ ⇔ ∧
– 范式
• 析取范式、合取范式 析取范式、 • 主析取范式、主合取范式 主析取范式、
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逻辑等价(Logical 逻辑等价(Logical Equivalence)
若等值式A↔ 是重言式 则称A与 逻 是重言式， 若等值式 ↔B是重言式，则称 与B逻 辑等价，记作 ⇔ 辑等价，记作A⇔B
– A, B, ⇔均为元语言符号 – A、B中可以含哑元 、 中可以含哑元
– 不能既是上海人，又是杭州人，因而p、r中必有一个假命题，即 不能既是上海人，又是杭州人，因而 、 中必有一个假命题 中必有一个假命题， p∧┐q∧r⇔0，于是 ⇔ ┐p∧q∧┐r为真命题，因而必有 、r为假命 ∧ ∧ ⇔ ，于是E 为真命题， ∧ ∧ 为真命题 因而必有p、 为假命 题，q为真命题 为真命题
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等值演算应用(实际问题) 等值演算应用(实际问题)
王教授所说： 王教授所说：E = (B1∧C2∧D3)∨(B1∧C3∧D2)∨(B2∧C1∧D3) ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨(B2∧C3∧D1)∨(B2∨C1∧D2)∨(B3∧C2∧D1)为真命题 ∧ ∧ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ 为真命题 等值演算得：E ⇔ (┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r) 等值演算得： ∧ ∧ ∨ ∧ ∧
– 甲：不是苏州人，是上海人 不是苏州人， – 乙：不是上海人，是苏州人 不是上海人， A1=┐p∧q ∧ A2=p∧┐q ∧
– 丙：既不是上海人，也不是杭州人 A3=┐q∧┐r 既不是上海人， ∧
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等值演算应用(实际问题) 等值演算应用(实际问题)
甲的判断全对 甲的判断对一半 甲的判断全错 乙的判断全对 乙的判断对一半 乙的判断全错 丙的判断全对 丙的判断对一半 丙的判断全错 B1=A1=┐p∧q ∧ B2=(┐p∧┐q)∨(p∧q) ∧ ∨ ∧ B3=p∧┐q ∧ C1=A2=p∧┐q ∧ C2=(p∧q)∨(┐p∧┐q) ∧ ∨ ∧ C3=┐p∧q ∧ D1=A3=┐q∧┐r ∧ D2=(q∧┐r)∨(┐q∧r) ∧ ∨ ∧ D3=q∧r ∧
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逻辑运算应用(数字逻辑) 逻辑运算应用(数字逻辑)
命题逻辑是二值逻辑， 命题逻辑是二值逻辑，有很多实际反映
– (1) p→(q→r) 与 (p∧q) →r → → ∧ – (2) p→(q→r) 与 (p→q) →r → → →
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例题
判断下列各组公式是否等价
– (1) p→(q→r) 与 (p∧q) →r → → ∧
p q r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 q→r → 1 1 0 1 1 1 0 1 p→(q→r) → → 1 1 1 1 1 1 0 1 p∧q ∧ 0 0 0 0 0 0 1 1 (p∧q)→r ∧ → 1 1 1 1 1 1 0 1
• (p→q)⇔((¬p∨q)∨(¬r∧r)) → ⇔ ¬ ∨ ∨¬∧ • r为左边公式的哑元 为左边公式的哑元
– 公式逻辑等价验证：真值表 公式逻辑等价验证：
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练习
判断下列各组公式是否等价
– p→q 与 ¬p∨q ∨ – p↔q 与 p∧q∨¬p∧¬q ↔ ∧ ∨ ∧
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例题
判断下列各组公式是否等价
（分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律）
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等值演算应用(实际问题) 等值演算应用(实际问题)
某次研讨会， 名与会者根据王教授的口音对 某次研讨会，3名与会者根据王教授的口音对 他是哪个省市的人进行了判断
– 甲说王教授不是苏州人，是上海人 甲说王教授不是苏州人， – 乙说王教授不是上海人，是苏州人 乙说王教授不是上海人， – 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人 丙说王教授既不是上海人，
• p→(q→r) ⇔¬p∨¬ ∨r → → ∨¬q∨ ∨¬ • (p→q)→r ⇔¬ ¬p∨q)∨r⇔(p∧¬ ∨r → → ⇔¬(¬ ∨ ∨ ⇔ ∧¬ ∧¬q)∨
– 000、010是A的成真赋值，是B的成假赋值 、 的成真赋值， 是 的成真赋值 的成假赋值
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等值演算应用(判断公式类型) 等值演算应用(判断公式类型)
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等值演算应用(判断公式类型) 等值演算应用(判断公式类型)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬
– ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∨¬q))∧ ∧ ∨¬ – ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ – ⇔ p∧r ∧ – 可满足式
• 101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值 和 是成真赋值， 是成真赋值 和 等是成假赋值
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等值演算应用(证明等价) 等值演算应用(证明等价)
注明
– 等值演算比真值表验证简单
• 含n个命题变量的公式真值表有 n行 个命题变量的公式真值表有2 个命题变量的公式真值表有 • 随着 的增长，行数呈现指数(几何级数 增长 随着n的增长，行数呈现指数 几何级数 几何级数)增长 的增长
– 为简便起见，可省去替换规则的说明 为简便起见， – 用等值演算不能直接证明两个公式不等价
等值表达式
– A↔B⇔(A→B)∧(B→A) ↔ ⇔ → ∧ → – 等价否定：A↔B⇔¬ ↔¬ 等价否定： ↔ ⇔¬ ↔¬B ⇔¬A↔¬
归谬论
– (A→B)∧(A→¬ ⇔¬ → ∧ →¬ ⇔¬A →¬B)
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等值演算
等值演算
– 由已知等价公式推演出新等价公式的过程
等值演算基础
– 等价关系性质
• 自反性 reflexivity)、对称性 自反性( 、对称性(symmetry)、传递性 、传递性(transmission)
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等值演算应用(判断公式类型) 等值演算应用(判断公式类型)
(1) q∧¬ →q) ∧¬(p→ ∧¬
– ⇔ q∧¬ ¬p∨q) (蕴涵表达式 ∧¬(¬ ∨ 蕴涵表达式) ∧¬ 蕴涵表达式 – ⇔ q∧(p∧¬ ∧ ∧¬q) ∧¬ – ⇔ p∧(q∧¬ ∧¬q) ∧ ∧¬ – ⇔ p∧0 ∧ – ⇔0 – 矛盾式
结合律(Associativity) 结合律
– (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), ∨ ∨ ⇔ ∨ ∨ (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) ∧ ∧ ⇔ ∧ ∧
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基本逻辑恒等式
分配律(Distributivity) 分配律
– A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) ∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C) ∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧
摩根律(De Morgan) 德.摩根律 摩根律
– ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ⇔¬A∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
吸收律
– A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A ∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ⇔
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基本逻辑恒等式
零律(Domination laws) 零律
– A∨1⇔1, A∧0⇔0 ∨ ⇔ , 2(1), 3, 4(3), 5(1)(2), 6(2)(4) • 11: 无需说明理由，但需简化公式书写 无需说明理由，
– 选作
• 7, 8, 9, 10, 12
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命题逻辑等值演算
主要内容
– 逻辑等价
• 基本逻辑恒等式
– 等值演算
• 替换规则 • 等值演算应用
同一律(Identity laws) 同一律
– A∨0⇔A, A∧1⇔A ∨ ⇔ ∧ ⇔
排中律(Excluded middle) 排中律
– A∨¬ ⇔1 ∨¬A⇔ ∨¬
矛盾律(C 矛盾律 ontradiction law)
– A∧¬ ⇔0 ∧¬A⇔ ∧¬
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基本逻辑恒等式
蕴涵表达式
– A→B⇔¬ ∨B → ⇔¬ ⇔¬A∨ – 假言易位：A→B⇔¬ →¬ 假言易位： → ⇔¬ →¬A ⇔¬B→¬
结论
– 王教授是上海人，甲说的全对，丙说对了一半，乙全说错 王教授是上海人，甲说的全对，丙说对了一半，