函数及其表示(导)学案 (3)

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函数的表示(导学案)

§2.2函数的表示1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.独立自测1．下列四种说法正确的有( )①函数是从其定义域到值域的映射；②f(x)＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x(x ∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝x2x与g(x)＝x 是同一函数． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个2．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f(x)的图象的是( )3．函数y ＝f(x)的图象如图所示，根据函数图象填空：(1)f(0)＝________；(2)f(1)＝________；(3)若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．4、函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过（）得到.A 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位5、函数1)1(2-+-=x y 的图象与函数1)1(2+-=x y 的图象关于（） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、以上都探究案例. （1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )（2）已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,求)(x f 的解析式；(3)已知2211)11(x x xx f +-=+-，试求)(x f 的解析式.（ 4）已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ；（5）已知)(x f 满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f训练案1、已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为（） A 、11+x B 、x x +1 C 、1+x xD 、x +1A 、B 、C 、D 、2、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，则_______)]}1([{=-f f f .3、已知f (x )=x x 22+，则f (2x +1)= .4、已知二次函数y ＝f(x)的最大值为13，且f(3)＝f(－1)＝5，求f(x)的解析式，。

高一数学：函数及其表示(导学案含答案)

第一节函数及其表示1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[答案] (1)D (2)B 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B考点二求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝()A ．－2B ．2C ．3D ．－3[答案] B考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[答案] D[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________. 解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2.答案：23．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43 D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝ln xC ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516 B ．3C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( ) A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1,1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 解析：选B 9．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．答案：(0,1]10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 答案：－211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。

《函数及其表示》学案

学习过程一、复习预习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等的回顾二、知识讲解考点1 函数与映射的概念考点2 函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．考点3 相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．考点4 函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．考点5 分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．三、例题精析【例题1】【题干】(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？①f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.②f 1：y ＝⎩⎨⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：③f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．(2)已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1x x ≤1 1＜x ＜2 x ≥2 y123【答案】(1) ①不同②同③同 (2) A【解析】(1)①不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .②同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． ③同一函数．理由同②.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．(2)由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．所以Δ＝4(1－k )<0，解得k >1时满足题意.【总结】1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法：要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法：判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．【例题2】【题干】给出下列两个条件：(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．【解析】(1)令t ＝ x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又∵f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋3 【总结】求函数解析式的常用方法：(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【例题3】【题干】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( ) A.12B.45C.2D.9【答案】C【解析】∵x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，∴4a＝4＋2a，解得a＝2.【总结】解决分段函数求值问题的方法：(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．【例题4】【题干】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】选C【解析】①当a>0时，∵f(a)>f(－a)，∴log2a>log12a＝log21a.∴a>1a，得a>1.②当a<0时，∵f(a)>f(－a)，∴log12(－a)>log2(－a)＝log121－a.∴－a<1－a得－1<a<0，故C项为正确选项．四、课堂运用【基础】1．下列各组函数中，表示相等函数的是()A．y＝5x5与y＝x2B．y＝ln e x与y＝e ln xC．y＝(x－1)(x＋3)x－1与y＝x＋3D．y＝x0与y＝1 x02．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( ) A.12B.14 C ．1D ．－143．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝13x2－4x＋6C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3【巩固】4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则函数f (3)＝________.⎧x2＋1，x≥0，1，x<0，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝⎩⎨【拔高】6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．7．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x＋5.课程小结。

函数的概念及其表示(第三课时教学设计)-高中数学人教A版2019必修第一册

3.1函数的概念及其表示（第三课时）教学设计一、内容及内容解析（一）教学内容1.函数的表示法；2.分段函数。

（二）教学内容解析学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，本节课直接给出函数的三种表示方法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并且通过例题引进分段函数。

学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识需要。

同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因此学习函数的表示也是向学生渗透数形结合的思想，培养学生直观想象素养的重要过程。

（三）教学重点函数的三种表示法及各自的优缺点，分段函数。

二、教学目标1.通过研究实例，能总结出函数三种表示法各自的特点，体会数形结合的思想．2.通过用图象法表示一些函数，能利用函数图象探索解决问题的思路，体会利用图象简化代数运算的过程．3.通过具体实例，能认识分段函数，并能简单应用．三、教学问题诊断分析问题：提炼函数的三种表示法各自的优缺点。

突破：课本3.1.1中四个实例为学习函数的三种表示方法做了铺垫。

在实际教学中，先引导学生比较三种表示方法各自的特点，再师生一起进行评价并总结。

四、教学支持条件为了增加学生对分段函数的理解，可以利用GGB软件，作出图像，让学生观察各段图象函数解析式.五、教学过程设计上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.问题1：我们在初中已经接触过函数的三种表示法，分别是什么？如何表示？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必要的补充.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.设计意图：本节课就是学习函数的三种表示方法，通过回顾初中函数表示的三种方法，为后面的学习奠定基础。

函数的概念及表示导学案

1.2 《函数的概念及表示》导学案【导入新课】回顾问题导入：1．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量.新授课阶段（一）函数的概念：1. 函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称为从集合A 到集合B 的一个（function ），记作：(),y f x x A=∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫（range ）.显然，值域是集合B 的子集. 1．判断下列图中对应关系是否是函数2.下列函数中，哪些函数相等？①y x = ②||y x =③y ④2y = ⑤3y =（判别方法：函数是否为同一个函数，主要看和是否相同.）3．已知函数 f (x )＝12 x ＋1 求： f (0)，f (1)，f (－2)， f (a )2. 区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：满足不等式a x b≤≤的实数x 的集合叫做，表示为；满足不等式a x b<<的实数x 的集合叫做，表示为；满足不等式a x b a x b≤<<≤或的实数x 的集合叫做，表示为[)(],,,ab ab ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的 .（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞. 例1 对范围1x a-≤≤用区间表示正确的为（） A ．()1,a - B ．[]1,a - C ．[)1,a - D ．(]1,a -1.将下列集合与区间互化 ⑴ {}32≤≤-x x ⇔ ⑵{}20<<x x ⇔ ⑶x ∈{}xm x n <≤⇔ ⑷x ∈{}13-≤<-x x⇔ ⑸x ∈{}x x h ≥⇔ ⑹{}3<x x ⇔ （7）(),x∈-∞+∞⇔ （8）(),x b ∈-∞⇔ （9）()[]2,53,7⋂⇔3. 函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指 .1.()45f x x =-+ 2. 8()2f x x =+3. ()f x★4. 0()(1)f x x =-例2 函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（） A ．{}3,0,1- B ．{}3,2,1,0 C ．{}31≤≤-y y D ．{}30≤≤y y 例3 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式()y f x=，并写出它的定义域．（二）函数的三种表示方法：1. 结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系；优点：简明扼要；给自变量求函数值.图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势.列表法：就是列出来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等.例4 函数||)(x x x f =的图象是（）2. 分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做，如以下的例9的函数就是分段函数.说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同.例5画出下列函数的图象．（1）y ＝x －2，x ∈Z 且｜x ｜2≤；（2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］；（3）y ＝｜x ｜；（4）3232232x y x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≥＜－，＝－－＜－．.例6已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为 .练习1.下列说法中正确的是（）A.函数定义中的集合B 就是值域B.实数集可以表示为区间[,]-∞+∞C.任何一个集合都可以用区间来表示D.一个函数只要定义域和对应关系确定，那么这个函数就是确定的2.判断下列各组中的两个函数是否相等，若不相等，请说明理由。

《函数及其表示》导学案及答案

《函数及其表示》导学案一、学习目标1.了解函数的概念，构成函数的要素，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.了解简单的分段函数，并能简单应用；3.了解简单的复合函数，并能简单应用。

二、知识梳理（一）函数的概念1．函数与映射的概念注意：判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。

2.函数的三要素（1）函数由、和三个要素构成。

（2）对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做，与x的值对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做，显然，值域是集合B的子集。

3.相等函数如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。

（二）函数的表示法表示函数的常用方法：、、。

1. ：就是把变量x,y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值。

2. ：就是将变量x,y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系。

3. ：就是把x，y之间的关系绘制成图像，图像上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值。

（三）分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数。

说明：分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。

处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系；画分段函数图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。

当自变量不确定时，需分类讨论。

（四）复合函数如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t=g（x）的定义域为D，值域为C，则当AC⊆时，称函数))fy=g(x(为f(t)与g（x）在D上的，其中t叫做中间变量，t=g（x）叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数。

三、典例分析【题型一】函数的基本概念【例1】若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()【变式训练1】对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是()【题型二】相等函数的判断【例2】下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1【变式训练2】下列各组函数中，两个函数是同一函数的组数有（） ①||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩②246y x x =-+与2(2)2y t =-+③()2f x x =-，()2131x g x x -=--④()f x x =，()2g x =⑤()1f t t =-，()1,11,1x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【题型三】函数的表示方法【例3】已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].【变式训练3】设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：则f (g (3))等于( )A ．1B ．2C ．3D ．不存在【题型四】分段函数角度一：分段函数求值【例4-1】（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，3x ，x ≤0，)则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9 C.19 D ．9(2)已知⎪⎩⎪⎨⎧=+∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈),0[,0,2,sin 21)(x x x x x f π若f (a )＝12，则a ＝________。

函数及其表示(导学案)

函数及其表示（导学案）【高考目标导航】一、考纲点击1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2．会求函数解析式，了解简单的分段函数，并能简单应用.二、热点、难点提示1．函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点；2．函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点；【考纲知识梳理】一、函数与映射的概念（复习用书P6）注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是 . 二、函数的其他有关概念（1）函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素：、、 .（3）相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.（注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：、和 .（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数.【要点名师透析】一、求函数的定义域1、确定函数的定义域的原则（1）当函数用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；（2）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定.2、确定函数定义域的依据（1）若f(x)是整式，则定义域为；（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母的x 取值的集合；（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取的x 取值的集合；（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 取值的集合；3、例题解析：（《备考指南---系统复习用书》P6~7）(同学们预习时，先独立思考，然后看后面的答案P126)4、例题对应的变式练习：例题1变式：给出下列八组函数：（★★）①x y =与2x y =；②R x x y ∈-=,1与N x x y ∈-=,1；③x y =与x x y 2=；④42-=x y 与22-⋅+=x x y ；⑤x y 11+=与u y 11+=；⑥2x y =与2x x y =；⑦x y 2=与⎩⎨⎧<-≥=0,20,2x x x x y ；其中表示同一函数的有 .（填写序号）例题2变式（★★）：（1）若函数)(x f 满足x x x f 2)1(2-=+，求()f x .（2）求一次函数)(x f ，使19)]([+=x x f f .例题3变式：求函数的定义域（★）：（1）y =，⑵31||x y x x -=+，⑶3522-+-=x x y . 写出答案：（1），（2），（3） . 例题4变式：求下列函数的值域：（1）232y x x =-+（★）；（3）312x y x +=-（★★）；（3）|1||4|y x x =-++（★★）；（4）1sin 2cos x y x-=-（★★★选做）预备练习：（1）已知221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩,则1()(2)f f 的值为（2）已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(,2)21(,)1(,2)(2x x x x x x x f ，若3)(=x f ，则x =。

函数及其表示、解析式(学生学案)

函数及其表示、解析式（学生学案）学问构造：1.函数的根本概念(1)函数的定义：设a、b是非空数集，假如遵照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的随意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈a.2.映射的概念一般地，设a、b是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的随意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a→b为从集合a到集合b的一个映射.3.分段函数与复合函数①假如一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出解析式再组合在一起，但要留意各区间之间的点不重复、无遗漏。

②假如y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层函数，g(x)叫做内层函数。

根底训练：1.以下各对函数中，表示同一函数的是().a.f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg xb.f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)c.f(u)＝，g(v)＝d.f(x)＝()2，g(x)＝2.设函数，那么＝________.3.设集合，，从到有四种对应如下图：其中能表示为到的函数关系的有_____ ____.4.确定函数是一次函数，且，,那么__ __.5.设函数，，那么_________；__________.6.设函数，,那么___________；____；____.7.〔1〕，，；〔2〕，，；〔3〕，，.上述三个对应__________________是到的映射.例题选讲：例1：判定以下对应是否是从集合a到集合b的映射：(1)a=r,b={x|x0}，f:x→|x|；(2)a=n,b=n，f:x→|x-2|；(3)a={x|x0},b=r，f:x→x2.例2：设有函数组：① ，；② ，；③ ，；④ ，.其中表示同一个函数的有_________例3：(1)确定f＝lg x，求f(x)；〔2〕确定函数，求；(3)确定f(x)是二次函数，假设f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式.(4)确定f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x).例4例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时启程前往乙家.如图，表示甲从启程到乙家为止经过的路程y〔km〕与时间x〔分〕的关系.试写出的函数解析式.例5.矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，〔1〕将的面积表示为的函数，求函数的解析式；〔2〕求的最大值.稳固作业：a组：一、选择题：1.以下函数中，与函数一样的函数是〔〕2.确定集合，映射，在作用下点的象是，那么集合〔〕二、填空题：3.给定映射，点的原象是_______ .4.设有函数组：① ，；② ，；③ ，；④ ，；⑤ ，.其中表示同一个函数的有___ ___.5.确定，且，那么m等于________.6.确定a，b为常数，假设，，那么_______.第8题7.设f(x)＝，那么f[f( )]＝_____________.8.如下图的图象所表示的函数解析式为__________________________.三、解答题：9. 确定函数与分别由下表给出：(1)求的值；(2)假设2时，求的值；10.以下从m到n的各对应法那么中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？(1)m={直线ax+by+c=0}，n=r，f1:求直线ax+by+c=0的斜率;(2)m={直线ax+by+c=0}，n={α|0≤α＜π}，f2:求直线ax+by+c=0的倾斜角;(3)当m=n=r，f3:求m中每个元素的正切；(4)m=n={x|x≥0}，f4:求m中每个元素的算术平方根.11.〔1〕确定，求；〔2〕确定，求；〔3〕确定是一次函数，且满意，求；〔4〕确定满意，求.〔5〕确定，求的解析式12.确定二次函数的最小值等于4，且，求的解析式.b组：一、选择题：1.(·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为().a.y＝b.y＝c.y＝d.y＝2.(·辽宁)设函数f(x)＝那么满意f(x)≤2的x的取值范围是().a.[－1,2]b.[0,2]c.[1，＋∞)d.[0，＋∞)二、填空题：3. (·江苏)确定实数a≠0，函数f(x)＝假设f(1－a)＝f(1＋a)，那么a的值为________.4. 函数，其中p，m为实数集r的两个非空子集，又规定，，给出以下四个命题：①假设，那么②假设，那么③假设，那么④假设，那么其中真命题的序号有____ __.5. 设集合对随意实数x恒成立}，那么以下结论中：①p q ；②q p；③p=q；④p q= .其中正确结论的序号有______ ______.三、解答题：6.确定函数与的图像关于点对称，求的解析式.7.确定函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.求函数g(x)的解析式.8.〔1〕设，求函数的解析式；〔2〕确定，求函数的解析式.。

高一数学函数及其表示导学案

天津市宝坻区大白庄高级中学高一数学导学案：函数及其表示【学习目标】1.了解映射的概念及表示方法；2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；3. 能解决简单函数应用问题.4. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【探究任务】映射概念先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系，并用图示意.① {1,4,9}A =, {3,2,1,1,2,3}B =---，对应法则：开平方；② {3,2,1,1,2,3}A =---，{1,4,9}B =，对应法则：平方；③ {30,45,60}A =︒︒︒, 1{}2B =, 对应法则：求正弦.反思：① 映射的对应情况有、，一对多是映射吗？② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.※ 典型例题例1．探究从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？（1）A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ；（2）A ={三角形}，B ={圆}；（3）A ={ P | P 是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R =∈∈；（4） A ={高一学生}，B = {高一班级}.※ 动手试试练1.下列对应:f A B →：① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→ ②*,,:1;A N B N f x x ==→- ③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→不是从集合A 到B 映射的有（）.A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③练2. 已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？例2.（1）已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，求(0)f 、[(1)]f f -的值.（2）设22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x =（）A. 1B.C. 32D. 练习1.设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋＜，则(1)f -＝ .2. 已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则{[(1)]}f f f -=（） A. 0 B. π C. 1π+ D.无法求3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3 x＞f f x ＋x ，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16※ 典型例题例3.中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式费用分别为12,y y （元）.（1）写出12,y y 与x 之间的函数关系式？（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？※ 动手试试练习1．函数y ＝x ＋|x |x的图象是() 练习2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2x 2＜x ＜ 3 x 的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3} 【小结】师生归纳总结【课下作业】课本P 24 5、7、9。

高中数学函数及其表示教案3 新人教A版必修1

函数及其表示教学目标：使学生掌握函数图像的画法.教学重点：函数图像的画法.教学难点：函数图像的画法.教学过程：一、复习回顾上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.练习：下列函数中，哪个函数与函数y ＝x 是同一个函数？()()()()()xx y 4x y 3x y 2x y 122332==== 两个只有当它们的三要素完全相同时才为同一个函数. 二、学生活动在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y ＝2x －1，y ＝1x（x ≠0）以及y ＝x 2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等.回想一下，在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法描点法作图的步骤有哪些？列表、描点、连线练习（P25例4）试画出下列函数的图象：⑴f(x)＝x ＋1⑵f(x)＝(x －1)2＋1,x ∈[1,3)三、建构数学将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x 0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x 0,f(x 0)).当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为{(x,f(x))｜x ∈A}，即{(x,f(x))｜y ＝f(x),x ∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y ＝f(x)的图象.四、数学运用例5 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况如果把人口数y （百万人）看做年份x 的函数，试画出这个函数的图象.解：由上表的数据，画出的函数图象是11个点.补：一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2.若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？并画出它的图象.思考：设函数y ＝f(x)的定义域为A ，则集合P ＝{(x,y)｜y ＝f(x),x ∈A}与集合Q ＝{y ｜y ＝f(x),x ∈A}相等吗？请说明理由. 解析：P ≠Q ，因为P 、Q 的代表元素不一样，P 是点集，Q 是值域.问题：直线x ＝1和函数y ＝x 2＋1的图象的公共点可能几个？解析：根据图象知有且仅有一个公共点.变：⑴（P29习题6）直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1几个？解析：根据图象知有且仅有一个公共点.⑵直线x ＝－1和函数y ＝x 2＋1，x ∈[0.＋∞）的图象的公共点可能几个？解析：根据图象知没有公共点.⑶直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1，x ∈A 的图象的公共点可能几个？解析：当a ∈A ，则根据图象知有且仅有一个公共点；当a ∉A 时，没有公共点.例6 试画出函数f(x)＝x 2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：⑴比较f(－2),f(1),f(3)的大小；⑵若0＜x 1＜x 2,试比较f(x 1)与f(x 2)的大小. 解：函数的图象如下 ⑴根据图象知f(3)＞f(－2)＞f(1),⑵根据图象知，当0＜x 1＜x 2f(x 1)＜f(x 2).思考：在上例⑵中，⑴如果把“0＜x 1＜x 2”改为“x 1＜x 2＜0”，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？⑵如果把“0＜x 1＜x 2”改为“|x 1|＜|x 2|”，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？解析：仍然根据函数的图象，有⑴f(x 1)＞f(x 2).⑵∵f(x)的图象关于y 轴对称，∴当|x 1|＜|x 2|时有f(x 1)＜f(x 2). 学生练习P28练习1,2,3五、回顾反思能用描点法画出常见函数的图象，并能根据函数的图象解决有关问题六、作业P20习题2.1⑴7,8,9。

3.1.2函数的概念及表示导学案

即墨二中高一数学导学案时间：2019.10 编写人：大师兄审核人：编号：课题：函数的表示法【学习目标】（1）掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法；（2）会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）（3）会画简单的函数图象；（4）了解分段函数的概念，能画分段函数的图象。

【学习重难点】重点：掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法难点：会求简单的函数解析式，会画简单的函数图象课前预习案函数的表示方法解析法，就是用____________表示两个变量之间的对应关系，图象法，就是用____________表示两个变量之间的对应关系，列表法，就是用____________表示两个变量之间的对应关系，课堂探究案例1：某种笔记本的单价是5元，买{}()5,4,3,2,1∈x x 个笔记本需要y 元。

试用函数的三种表示法表示函数()x f y =思考1：结合例4比较函数的三种方法，它们各自的优点是什么？解析法：列表法：图象法：例2：作出下列函数的图象并求出函数的定义域、值域（1）x y 8= （2）1+-=x y （3）762+-=x x y变式1：作出下列函数的图象并根据图象求出值域（1）[)+∞∈=,2,2x x y （2）[)2,2,22-∈+=x x x y例3：画出函数x y =的图象分段函数：有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。

思考2：结合例3思考，分段函数是一个函数还是几个函数？思考3：分段函数的定义域、值域是各段函数定义域、值域的并集吗？注意：分段函数的书写方式。

变式2：画出函数2-=x y 的图象例4：给定函数()()()R x x x g x x f ∈+=+=,1,12（1）在同一直角坐标系中画出函数()()x g x f ,的图象；（2）R x ∈∀，用()x M 表示()()x g x f ,中的较大者，记为()()(){}x g x f x M ,m ax =，请分别用图象法和解析法表示函数()x M变式3：给定函数()()()R x x x g x x f ∈-=+-=,1,12（1）在同一直角坐标系中画出函数()()x g x f ,的图象；（2）R x ∈∀，用()x m 表示()()x g x f ,中的较小者，记为()()(){}x g x f x x m ,m in =，请分别用图象法和解析法表示函数()x m。

高中数学函数的表示法导学案新人教A版必修1 学案

某某省某某市某某区均安中学高中数学函数的表示法导学案新人教A版必修1【学习目标】1.了解简单的分段函数，并能简单应用；2. 理解函数的概念及三种表示分方法，会求函数解析式;3.能熟练地画出函数的图像，领悟学习数形结合思想的重要性. 4.了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；【课前预习】阅读教材第19-22页，完成新知学习1．函数的表示法常用的有__________、__________、__________。

解析法：用表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着，这样的函数通常叫做。

关键：“分段函数，分段处理”3．映射：一般地，设A 、B 是两个的，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的x ，在集合B 中都有的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个．记作“:f A B →”关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .4．函数与映射的关系：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射. 简言之：函数一定是映射，而映射不一定是函数.5．对于映射f ：A→B，我们把集合A 中的元素叫原象，B 中与原象对应的元素叫做象。

课内探究案【预习自测】1．已知()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01001x x x x x f π，则()[]___________1=f f 。

2．已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，则(0)f =；[(1)]f f -=. 3．下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”；（2）A = R *，B =R ，对应法则是“求算术平方根”；（3）{}|0,A x x B =≠=R ，对应法则是“求倒数”.4．已知函数f(x ＋1)＝3x ＋2，则f(x)的解析式是 ( )A ．3x ＋2B ．3x ＋1C ．3x －1D ．3x ＋45．已知函数f(x)＝x ＋b ，若f(2)＝8，则f(0)＝________________.6．已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，则(0)f =；[(1)]f f -=.【合作探究】例1、画出函数00x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，，的图象.变式、画出分段函数1y x =-的图像例2 、画出223,(03)y x x x =--≤<的图象. 变式、画出|32|2--=x x y 的函数图像例3、下列对应不是映射的是( )．变式：下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x →+；（4）*,{0,1}A N B ==，对应法则:f x x →除以2得的余数；（5）A N =，{0,1,2}B =，:f x x →被3除所得的余数；例4、已知2(1),f x x x +=+求()f x 的解析式。

青岛版初中数学九年级下册《函数与它的表示法(3)》导学案

青岛版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！5.1 函数与它的表示法（3）学习目标：1.理解函数解析式与其图象之间的关系．2.学会解决分段函数问题，体会数学建模思想．学习重点：会利用一次函数解决分段函数问题学习过程：一、复习导入1.什么是一次函数？2.一次函数解析式是什么？二、探究新知x 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相y应话费（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x100时，求与之间的函数关系式；≥y x （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x100时,≥月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.三、应用新知例1 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0x100和x100时，y与x的函数关系式；≤≤≥（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？分析：从函数图象上看图象分为两段,当0x100时,电费y是电量x的正比例≤≤函数,当x100时,y是x的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出≥相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.例2、某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？四、达标测试1、一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的1/4，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟2、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？3、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？4、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？5、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家12千米？五、总结反思1、通过本节内容的学习，你的收获是什么？2、你还有什么疑问？相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。