第1章 线性规划与单纯形法-第1节(运筹学-东北大学,钟磊钢)

线性规划问题的几种表示形式
M : 目标函数： z c j x j max
j 1 n ' 1
aij x j bi , i 1,2 , ,m 约束条件：j 1 x 0 , j 1,2 , ,n j
n
用向量表示为：
' M 1' :目标函数： max z CX
例3 将例1的数学模型化为标准型。
例1的数学模型,加松驰变量后 max z 2 x1 3x2 max z 2 x1 3x2 x3 x4 x5
8 x1 2 x2 x3 x1 2 x2 8 4x 4 x x4 16 16 1 1 4 x2 x5 12 4 x2 12 x1 , x2 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x 0
1.1 问题的提出 从一个简化的生产计划安排问题开始
例1
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种 产品，已知生产单位产品所需的设备台时 及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源 产品
设
备
原材料 A 原材料 B
Ⅰ ห้องสมุดไป่ตู้ 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利 最多?
用矩阵表示为：
' M 1' :目标函数： max z CX
AX b 约束条件： X 0 a11 系数矩阵：A a m1 a1n P , P , P ; 1 2 n amn 0 b1 零向量： ；资源向量：b 0 0 b m
如何安排生产，使利润最大,这是目标。
数学模型
目标函数
max z 2 x1 3x2
x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
例2. 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂(见 图1-1)，流经第一化工厂的河流 流量为每天500万立方米，在两 个工厂之间有一条流量为每天 200万立方米的支流。
建模型之前的分析和计算
设： 第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米
( 2 x1 ) 2 经第2工厂前的水质要求： 500 1000 经第2工厂后的水质要求： [ 0.8( 2 x1 ) ( 1.4 x2 )] 2 700 1000
第1节 线性规划问题及其数学模型
• • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 问题的提出 图解法 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的解的概念
第1节 线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论 上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特别是 在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的 线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。 从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交 通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发 挥作用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性 规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法 。
xk
(3) 若存在取值无约束的变量xk,可令, ' " 其中。 x ' , x " 0 x x
k k
k k
例4 将下述线性规划问题化为标准型
min z x1 2 x2 3x3 x1 x2 x3 7 x x x 3 1 2 3 3x1 x2 x3 5 x1 , x2 0; x3为无约束
2. 基，基向量，基变量
3.
•
基可行解 满足非负条件（1-6）的基解，
数学模型
目标函数 min z 1000 x1 800 x 2 约束条件 x1 x1 1 2 x 2 1.4 x1 , x 2 0 0.8 x1 x 2 1.6
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1 , x2 , xn 表示某一方案，这组决策变量的
1.2 图解法
例1是二维空间（平面）线性规划问题， 可用作图法直观地来表述它的求解。 因存在 x1 , x2 0 必须在直角坐标的第1象限内作图， 求解。
图1-2
max z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 2 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
设 x1 , x2分别表示计划生产 II产品的数量， I, 称它们为决策变量。
生产x1 , x2的数量多少，受资源拥有量的限制, 这是约束条件。即x1 2 x2 8;4 x1 16;4 x2 12
生产的产品不能是负值 x1 , x2 0 ,即
目标函数 max z=2x1+4x2
图1-5-1 无界解
max z x1 x2 2 x1 x 4 x1 x2 2 x ,x o 1 2
无可行解
当存在矛盾的约束条件时，为无可行域。 如果在例1的数学模型中增加一个约束条件:
x1 1.5x2 8
C c1 , c2 , , cn ;
n Pj x j b 约束条件： j 1 x 0, j 1,2 , , n j
a1 j x1 b1 a2 j x2 b2 X ; Pj ; b ; j 1,2 , n x b a n m mj
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14
目标函数
max z 2 x1 3x2
2 z x2 x1 3 3 表示一簇平行线
可能出现的几种情况
（1）无穷多最优解(多重最优解)，见图1-4 （2）无界解，见图1-5-1 （3）无可行解，见图1-5-2
图1-4
无穷多最优解(多重最优解)
处理的步骤：
(1) 用x4-x5替换x3，其中x4，x5≥0； (2) 在第一个约束不等式≤号的左端加入松 弛变量x6； (3) 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩 余变量x7； (4) 令z′= -z，把求min z 改为求max z′，即 可得到该问题的标准型
例4的标准型
max z x1 2 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7
图1-1
续例2
• 第一 化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污 水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到 第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要 求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个 工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处 理工业污水的成本是1000元/万立方米。 • 第二 化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方 米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应 处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污 水费用最小。
T
决策变量向量：X x1 , x2 , , xn
如何变换为标准型：
(1) 若要求目标函数实现最小化，即min z=CX。这 时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化， 即令z′= -z，于是得到max z′= -CX。这就同标准 型的目标函数的形式一致了。 (2) 约束方程为不等式。这里有两种情况：一种是 约束方程为“≤”不等式，则可在“≤”不等式的 左端加入非负松弛变量，把原“≤”不等式变为 等式；另一种是约束方程为“≥”不等式，则可 在“≥”不等式的左端减去一个非负剩余变量(也 可称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约 束条件。下面举例说明。
• • • • 1.可行解 2.基 3.基可行解 4.可行基
1. 可行解
max z c j x j
j 1 n
(1 4 ) (1 5 ) (1 6 )
n aij x j bi ,i 1,2 , m j 1 x 0, j 1,2 , ,n j
该问题的可行域为空集，即无可行解，
图1-5-2 不存在可行域
x1 1.5x2 8
1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数： z c1 x1 c2 x2 cn xn max a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 约束条件： a x a x a x b m1 1 m2 2 mn n n x1 , x2 , , xn 0
满足约束条件(1-5)，(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到 最大值的可行解称为最优解。
B是系数矩阵A中的m m阶非奇异子矩阵 B 0 称B为线性规划问题的基。 a11 a12 a1m a21 a22 a2 m B P , P2 , Pm 1 a am 2 amm m1 Pj( j 1,2 , m )为基向量， x j( j 1,2 , m )为基变量。
它们的对应关系可用表格表示：
决策变量
活
1 2 m
x1 a11 a21 a m1 c1
x2 a12 a22 c2
xn a1n a2 n cn
资源
b1 b2 bm
动
am 2 amn
价值系数
线性规划的一般模型形式
目标函数 max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn 约束条件 a11x1 a12 x2 a1n xn ( , ) b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn ( , ) b2 ( 1 .2 ) ( 1 .3 ) am1 x1 am 2 x2 am xn ( , ) bm x1 , x2 , , xn 0 ( 1 .1 )