2019版高考数学二轮复习课件+训练：专题十七坐标系与参数方程讲义理(重点生,含解析)(选修4_4)

专题十七坐标系与参数方程[由题知法]1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [典例] (2019届高三·广州七校第一次联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点A ，B ，求△AOB 的面积．[解] (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝4cos θ＋2sin θ，得|OA |＝23＋1.同理可得|OB |＝2＋ 3.又∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝8＋534.∴△AOB 的面积为8＋534.[类题通法]1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[应用通关]1．(2019届高三·南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x .(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1、曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1， 则C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ. 易知直线l 过原点，且倾斜角为π6，故直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ， 直线l 的极坐标方程为θ＝π6， 将θ＝π6代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1，将θ＝π6代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4，∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.常见的几种曲线的普通方程和参数方程[典例] 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2，求实数m 的取值范围；(2)若点A 的坐标为(2,0)，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程．[解] (1)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数)，得直线l 的普通方程为y ＝mx ，由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，得圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1. 则圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝1m 2＋1，故相交弦长为2 1－1m 2＋1， 所以21－1m 2＋1≥2， 解得m ≤－1或m ≥1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)设P (cos α，1＋sin α)，Q(x ，y )， 则x ＝12(cos α＋2)，y ＝12(1＋sin α)，消去α，整理可得线段PA 的中点Q 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14.[类题通法]1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式： ①t ·1t＝1；②⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1. 2．与参数方程有关问题的求解方法(1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |等于直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的距离．若直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )， 则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π42.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2.所以△PAB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.[由题知法][典例] (2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝8cos θ1－cos 2θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝π4，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．[解] (1)由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．∵曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ1－cos 2θ， ∴ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)法一：当α＝π4时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入y 2＝8x 可得t 2－82t －16＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝82，t 1t 2＝－16，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8 3.又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π4＝22，∴S △AOB ＝12×|AB |×d ＝12×83×22＝2 6.法二：当α＝π4时，直线l 的方程为y ＝x －1，设M (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝x －1，得y 2－8y －8＝0，则y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8， ∴S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2|＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×82－－＝12×46＝2 6.[类题通法] 解极坐标方程与参数方程综合问题的策略(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[应用通关]1．(2018·合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)， 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝θ－2＋4sin 2θ＝5cos 2θ－6cos θ＋5， ∴当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝455，∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.2．(2018·陕西质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(t ＞0，α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)当t ＝1时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； (2)若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围． 解：(1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0，当t ＝1时，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1， ∴曲线C 为圆，且圆心为O ，半径r ＝1， 则点O 到直线l 的距离d ＝|0＋0－3|2＝322，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋322.(2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对任意的α∈R ，t cos α＋sin α－3＜0恒成立， 即t 2＋1cos(α－φ)＜3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝1t 恒成立，∴ t 2＋1＜3， 又t ＞0，∴0＜t ＜2 2.∴实数t 的取值范围为(0,22)． [专题跟踪检测](对应配套卷P207)1．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α（t 为参数，π4<α<3π4）.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α（α为参数，π4<α<3π4）.2．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中，直线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t为参数)，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程和交点A 的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为B (非坐标原点)，求△OAB 的最大面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得曲线C 1的普通方程为y ＝x tan α，故曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2)2＋y 2＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A 的坐标为(4cos α，α)(也可写出直角坐标)．(2)由题意知，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. ∴S △OAB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×22×4cos α×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4－2，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝－1时，(S △OAB )max ＝22＋2， 故△OAB 的最大面积是22＋2.3．(2018·辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[]0，2π.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. (2)由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为3x ＋y －5＝0，由(1)得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1， 又点(0,1)到直线l 的距离为|1－5|1＋3＝2＞1，所以曲线C 与l 相离． 因为点D 在曲线C 上，所以可设D (cos α，1＋sin α)，则点D 到直线l 的距离d ＝|3cos α＋1＋sin α－5|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－42，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫ α＋π3＝1时，点D 到直线l 的距离d 最短，此时α＝π6，故点D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 4．(2019届高三·昆明调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A (2,1)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|P Q|2＝|AP |·|A Q|，求直线l 的斜率k .解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos 2α＞34，则t 1＋t 2＝－4cos α，t 1·t 2＝3， 由参数的几何意义知， |AP |＝|t 1|，|A Q|＝|t 2|， |P Q|＝|t 1－t 2|，由题意知，(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，则(t 1＋t 2)2＝5t 1·t 2，得(－4cos α)2＝5×3， 解得cos 2α＝1516，满足cos 2α＞34，所以sin 2α＝116，tan 2α＝115，所以直线l 的斜率k ＝tan α＝±1515. 5．已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是此曲线的左、右焦点，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．解：(1)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α可化为x 24＋y 23＝1，故曲线C 为椭圆，则焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 所以经过点A (0，3)和F 2(1,0)的直线AF 2的方程为x ＋y3＝1，即3x ＋y －3＝0，所以直线AF 2的极坐标方程为3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3.(2)由(1)知，直线AF 2的斜率为－3，因为l ⊥AF 2，所以直线l 的斜率为33，即倾斜角为30°，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，代入椭圆C 的方程中，得13t 2－123t －36＝0. 则t 1＋t 2＝12313.因为点M ，N 在点F 1的两侧，所以||MF 1|－|NF 1||＝|t 1＋t 2|＝12313.6．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解：(1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ＜π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)； ②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，得cos θ＝±12，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3，∴C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3.(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程中，得ρ2＝sin βcos 2β， ∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β. ∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]． 7．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t ＞0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值． 解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t ＞0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x ，得(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)＜0， 又t ＞0，所以0＜t ＜3， 故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋2， 解得t ＝± 2. 又t ＞0，所以t ＝ 2.8．(2019届高三·成都诊断)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴θ＝2π3.(2)易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0. 又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝2π3ρ，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2π3，∴|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.。