圆锥曲线填空题能力拔高题1

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2圆锥曲线的定义-拔高难度-习题

圆锥曲线的定义一、选择题（共12小题；共60分）1. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，点为椭圆上一点，且的周长为，那么椭圆的方程为A. B. C. D.2. 曲线，曲线．若与有相同的焦点，，且同在，上，则A. B. C. D.3. 椭圆的两个焦点为，，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则到的距离为A. B. C. D.4. 是双曲线：右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，则的最小值为A. B. C. D.5. 若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为A. B.C. D.6. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点满足，设直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的方程为A. B. C. D.7. 已知，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为A. B. C. D.8. 如果椭圆的两焦点为和，是椭圆上的一点，且，，成等差数列，那么椭圆的方程是A. B. C. D.9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点与双曲线的焦点不重合，点关于，的对称点分别为，，线段的中点在双曲线的右支上，若，则A. B. C. D.10. 已知抛物线，直线（为常数）与抛物线交于两个不同点，若在抛物线上存在一点（不与重合），满足，则实数的取值范围为A. B. C. D.11. 如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，，点与的焦点不重合，分别延长，到，，使得，，是椭圆上一点，延长到，若，则A. B. C. D.12. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为A. B.C. D. 不确定二、填空题（共5小题；共25分）13. 设抛物线的焦点为，准线为．已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点．若，则圆的方程为．14. 已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，，则三角形的面积为．15. 已知椭圆，点与的焦点不重合．若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则．16. 已知双曲线，过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和，设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，则的值为．17. 已知双曲线左右顶点为，，左右焦点为，，为双曲线上异于顶点的一动点，直线斜率为，直线斜率为，且，又内切圆与轴切于点，则双曲线方程为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知动点与双曲线的两个焦点，所连线段的和为．（1）求动点的轨迹方程；（2）若，求点的坐标；（3）求角余弦值的最小值．19. 已知定点和直线，过定点且与直线相切的动圆圆心为点．（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，点在动点的轨迹上，求的最小值，并求取得最小值时点的坐标．20. 已知，，点满足，记点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）若直线过点且与轨迹交于，两点．（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值．（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值．21. 如图，正方形内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形的顶点，在椭圆上，顶点，在正方形的边上，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于，两个不同点，求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形．22. 若椭圆和椭圆满足，则称这两个椭圆相似，为其相似比．（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线分别与（）中的两个椭圆交于，两点（点在线段上），求的最大值和最小值．（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为的两个椭圆和交于，两点，为线段上的一点，若，，成等比数列，则点的轨迹方程为．“请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．答案第一部分1. D 【解析】由题意可得解得，．又，所以．所以椭圆的方程为．2. B 【解析】由题设条件可知，，所以，，所以．3. C4. D 【解析】设是双曲线的右焦点，因为，所以，显然当，，三点共线且在，之间时，最小，且最小值为到的距离．易知的方程为或，，求得到的距离为，故的最小值为．5. D【解析】设，则，，所以．因为双曲线中，，所以，所以，所以，所以．6. B 【解析】因为点满足，所以，整理得，所以．所以，，可得椭圆方程为，直线的方程为，代入椭圆方程，消去并整理，得，解得或，得，，所以，所以，所以椭圆方程为．7. D8. D9. A 【解析】如图，设的中点为．因为为的中点，为的中点，所以，，又，所以，所以．10. B【解析】满足的点都在圆上，只需与圆有除、外的交点即满足题意，联立两式有．当时交点为、．故另一根必须大于或等于零．解得．11. A 【解析】因为，即，所以，所以，又，，所以，，所以，所以，，所以，，所以，根据椭圆的定义，得，所以．12. C 【解析】设双曲线的右焦点为，连接，，则，又，，所以第二部分13.14.【解析】不妨设点在双曲线的右支上，设，，由双曲线，得，，所以，则解得，所以的面积．15.16.【解析】不妨设点在第一象限，设点，所以直线的方程为，与轴交点为，与轴交点为，直线的方程为，与轴交点为，与轴交点为，所以，，，，所以，，所以．17.【解析】设点是双曲线右支上一点，所以按双曲线的定义，，若设三角形的内切圆心在横轴上的投影为，该点也是内切圆与横轴的切点．设，分别为内切圆与，的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：即，所以内切圆的圆心横坐标为．由题意可得，顶点，，设，则，即，，可得，即有，即有双曲线的方程为．第三部分18. （1）双曲线的两个焦点为，；故动点的轨迹是椭圆；轨迹方程是；（2）由得：；设，则；又；解得：，，，；（3）中，；，，又；所以，故的最小值为．19. （1）由题意知：圆心到切线距离等于圆心到定点的距离，所以点的轨迹是抛物线，抛物线的焦点是 .所以点的轨迹方程是．（2）因为在动点的轨迹上，所以，当时，达到最小，最小值为，此时，代入解得，所以点的坐标为．20. （1）由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线右支，由，，所以，故轨迹的方程为．（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，与双曲线方程联立消得，，所以解得．（i）因为，所以，故得对任意的恒成立，所以当时，．当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立，综上，当时，．（ii）由（i）知，，当直线的斜率存在时，，点到直线的距离为，则所以令，则，因为，所以当直线的斜率不存在时，．综上可知，故的最小值为．21. （1）因为，所以点，又因为，所以点，所以解得所以椭圆方程为．（2）当直线，的斜率均存在时，设直线，的斜率分别为，，只需证明即可，设，，则直线方程为，代入椭圆方程，消去，得，可得，，，．而此时直线，与轴围成一个等腰三角形；当或的斜率不存在时，不妨设的斜率不存在，可得，此时，即当或的斜率不存在时，不存在满足题意的直线．综上，直线，与轴始终围成一个等腰三角形．22. （1）设所求的椭圆方程为，则解得所以所要求的椭圆方程为．（2）①当射线的斜率不存在时，；②当射线的斜率存在时，设射线的方程为，，．由得于是．由得于是．从而．令，则，所以．于是．令，则在上是增函数，所以，即．综合①②，得，即的最大值为，最小值为．（3）过原点的一条射线分别与相似比的两个椭圆和交于，两点，为线段上的一点，若，，成等比数列，则点的轨迹方程为．第11页（共11 页）。

圆锥曲线测试题(20个选择,10个填空)(含答案)

圆锥曲线测试题姓名得分一、选择题（20小题，每题5分）1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=2.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于A ． 2B ．3 CD ．93．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1 (a>0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A . 3B . 6C ．2D ．34.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =- D ．24y x = 5. 已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A（B（C ） 2 （D ） 36. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-7. 设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．18. 双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）429. 已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）7410. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．25B ．45CD11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（）A．2214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =12. 已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±13. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（）A ．12B．2C ．1 D14. 若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（）A ．y =±2xB ．y=C ．12y x =±D．2y x =±15.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=16. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C的方程为（）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =17. 已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等18. 从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（） AB ．12CD19. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)20. O 为坐标原点,F为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（）A ．2B．C．D ．4二、填空题（10小题。

圆锥曲线填空练习题

圆锥曲线填空练习题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它涉及到了抛物线、椭圆和双曲线三种不同形态的曲线。

研究圆锥曲线可以帮助我们更好地理解数学中其他相关概念，同时也对解决实际问题有一定的应用价值。

下面将给出一些圆锥曲线的填空练习题，希望能够通过这些题目进一步加深对圆锥曲线的理解。

1. 定义：圆锥曲线是在平面上由动点与定点之间距离的比值构成的几何图形。

其中，比值小于1时得到的曲线为______；等于1时得到的曲线为______；大于1时得到的曲线为______。

2. 假设圆锥曲线的焦点为F，定点为A，直线与点F和A之间的距离为d。

当圆锥曲线为椭圆时，椭圆的离心率小于1，可以通过以下公式计算离心率e：______。

而当圆锥曲线为双曲线时，双曲线的离心率大于1，离心率的计算公式为：______。

3. 对于椭圆和双曲线而言，直线与两个焦点之间的距离和为常数2a，即：______。

同时，椭圆和双曲线的两个焦点之间的距离等于长轴的长度2a，由此可以得出椭圆和双曲线的焦点与直线之间的关系：______。

4. 圆锥曲线中的抛物线是一种特殊情况，它只有一个焦点，其定点到焦点的距离等于焦点到抛物线上任意点的距离，这个关系可以用公式表示：______. 而抛物线的标准方程为：______。

5. 给出以下圆锥曲线的方程，判断它们的形态和方向：a) $x^2 + 4y^2 - 16x + 24y - 16 = 0$b) $x^2 - 3y^2 + 6y - 4x - 4 = 0$c) $3x^2 + 2y^2 - 12x + 4y - 8 = 0$以上是一些圆锥曲线的填空练习题，通过这些题目的练习，我们可以更好地理解和掌握圆锥曲线的性质和特点。

掌握了这些基础知识后，我们可以进一步研究圆锥曲线的参数方程、焦点、直径、渐近线等更加复杂的内容。

希望大家能够认真思考和解答这些题目，并运用所学的知识解决实际问题。

在数学的世界里探索和发现，总能够带给我们无限的惊喜和乐趣。

(完整)圆锥曲线练习题含答案,推荐文档

x2
28．若双曲线
y2
1 的渐近线方程为 y
3 x ，则双曲线的焦点坐标是_________．
4m
2
29．设 AB 是椭圆 x2 y2 1的不垂直于对称轴的弦， M 为 AB 的中点， O 为坐标原点， a2 b2
则 kAB kOM ____________。
x2
30．椭圆
9
y2 4
1 的焦点 F1 、 F2 ，点 P 为其上的动点，当∠ F1 P
那么 k 的取值范围是（）
A．（
15 ,
15
）
B．（ 0,
15
）
C．（
15 ,0 ）
D．（
15 ,1）
33
3
3
3
18．抛物线
y
2x 2 上两点
A( x1 ,
y1 )
、 B(x2 ,
y2 ) 关于直线
y
x
m
对称，且
x1
x2
1 2
，则 m
等
于（
3
A．
2
）
B． 2
5
C．
2
D． 3
二. 填空题
19．若椭圆 x2 my2 1的离心率为
9 27
16 48
9 27
9．过双曲线的一个焦点
F2
作垂直于实轴的弦
PQ ，
F1 是另一焦点，若∠
PF1Q
2
，则双曲线的离心
率 e 等于（）
A． 2 1
B． 2
C． 2 1
D． 2 2
10． F1, F2
是椭圆
x2 9
y2 7
1 的两个焦点， A 为椭圆上一点，且∠ AF1F2

圆锥曲线经典好题目(带答案)

圆锥曲线练习题一、填空题1. 一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(小于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹为________．2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________．3. 已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．5. 已知P 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线x ＝－1上．试猜测：如果P 为椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线________上．6. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________．二、解答题9. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32，6.求抛物线与双曲线的方程．10. 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，求m 6＋m 4的值．O lxyA B F ·M第17题 11. 如图，已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.12. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2－k )x －(1＋2k )y ＋(1＋2k )＝0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP＝PQ ，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试求OQ →·NQ →的值，并由此判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．参考答案1. 双曲线的一支解析：由双曲线的定义可知是双曲线的一支，故填双曲线的一支．2. 255 解析：由题意可知FF 2=38F 1F 2，即c -b 2=38⨯2c ，化简得c =2b ，所以c 2=4(a 2-c 2)，此椭圆的离心率e =c a =255.3. x 2=-4y 解析：圆心到定点(0，-1)的距离与到定直线y =1的距离相等，都等于圆的半径，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，其方程为x 2=-4y .4. x 24-y 212=1 解析：由渐近线方程可知ba =3，① 因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c =4，② 又c 2=a 2+b 2，③联立①②③，解得a 2=4，b 2=12，所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.5. x =-254解析：x =-1是抛物线的准线，应用类比推理可知点Q 所在的定直线为椭圆的左准线，其方程为x =-254.6. 2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p 2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ，y =x -p 2⇒x 2-3px +p 24=0，由AB =x 1+x 2+p =8，得4p =8⇒p =2. 7. 83解析：如图，过点A 、B 作准线的垂线交准线于A 1B 1，过B 作BC ⊥AA 1于C ，设BF =m ，由抛物线的定义知AA 1=3m ，BB 1=m ，∴△ABC 中，AC =2m ，AB =4m ，k AB =3，直线AB 方程为y =3(x -1)，与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0，所以AB 中点到准线距离为x 1+x 22+1=53+1=83.8. 23解析：如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点，cos 60︒=AE AB =DB 3BF 1=13e ，故e =23.9. 由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)，将交点⎝⎛⎭⎫32，6代入得p =2，故抛物线方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0)，这也是双曲线的一个焦点，则c =1.又点⎝⎛⎭⎫32，6也在双曲线上，因此有94a 2-6b2=1.又a 2+b 2=1，解得a 2=14，b 2=34，因此，双曲线的方程为4x 2-4y 23=1.10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2=-m ，将x =my -m 代入抛物线方程整理得y 2-2pmy +2pm =0，由韦达定理得y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=2pm ，∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2，又△OAB 的面积 S =12⨯p 2|y 1-y 2|=12⨯(-m )⨯4m 4+m 2=22，两边平方即可得m 6+m 4=2. 11．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=, 所以M 的方程为22(2)4x y -+=（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++ 所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2（Ⅲ）以点Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线TS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线TS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)312. (1)将(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0整理得 (-x -2y +2)k +2x -y +1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +2=0，2x -y +1=0，得直线所经过的定点(0,1)，所以b =1.由离心率e =32得a =2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.。

高考经典圆锥曲线习题(含答案)

高考圆锥曲线试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线22110x y -=的焦距为（）2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．（2006辽宁文）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（）（A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A .B.C .D.6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．13422=+y xB ．16822=+y xC ．1222=+y x D ．1422=+y x 7．（2005湖北文、理）双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163B ．83C ．316D ．388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)429．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是_________________________12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.（2007上海文）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P （0，-4）作抛物线G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且＝。

圆锥曲线经典练习题含答案

圆锥曲线专题一、选择题:1.已知抛物线x y 42=的顶点为O ，抛物线上B A ,两点满足0=⋅OB OA ，则点O 到直线AB 的最大距离为( )A.1B.2C.3D.42.椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（A ）20,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 3.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．65 B. 75 C. 58 D. 954.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =(A)2 (B) 2 (C)3 (D) 35.已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A.13 B.23 C. 23D. 2236.（2009天津卷理）设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M 30）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆=（A ）45 （B ）23 （C ）47 （D ）127.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且2AK AF =，则AFK ∆的面积为( )（Ａ）4（Ｂ）8（Ｃ）16（Ｄ）328．过双曲线2222x y -=的右焦点作直线l 交双曲线于A B 、两点，若4,AB =则这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 9.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线10.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）一条直线（D ）两条平行直线11.PAB ∆所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面垂直，且,,4,8,6,AD BC AD BC AB APD CPB αα⊥⊥===∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12.已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

圆锥曲线练习题(附答案)

圆锥曲线一、填空题x2 1、对于曲线C∶4 ky2=1 ，给出下面四个命题：k 1①由线 C 不可能表示椭圆；②当1＜k＜4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则k＜1 或k＞4;④若曲线 C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则 1 ＜k＜52 其中所有正确命题的序号为.x2 2、已知椭圆2a y1(a bb 20) 的两个焦点分别为F1 , F2 ，点P 在椭圆上，且满足PF1 PF20 ，tan PF1 F252 ，则该椭圆的离心率为x 2 y23. 若m0 ，点P m, 在双曲线 1 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离2 4 5为.4、已知圆 C : x2y2 6x 4 y 8 0 ．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．5、已知点P 是抛物线y2 4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M，点A 的坐标是（4 ，a），则当| a | 4 时，| PA | | PM | 的最小值是．76.在ABC 中, AB BC ,cos B ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离18心率e ．7.已知ABC 的顶点B -3, 0 、C 3, 0 ，E 、F 分别为AB、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且| GF |+| GE |= 5 ，则点G 的轨迹方程为8.离心率e5，一条准线为x＝3 的椭圆的标准方程是. 329. 抛物线 y4ax ( a 0) 的焦点坐标是;10 将抛物线 x 4a ( y 3) 2(a 0) 按向量 v =（ 4 ，－ 3 ）平移后所得抛物线的焦点坐标为.1211 、抛物线yx (m m0) 的焦点坐标是 .x2 12. 已知 F 1、F 2 是椭圆2a(10 y2a)2=1(5 ＜a ＜ 10 ＝的两个焦点， B 是短轴的一个端点，则△ F 1BF 2 的面积的最大值是13. 设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y 22 px ( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x轴正向的夹角为 60 °，则| OA |为 .714. 在 △ABC 中， ABBC ， cosB．若以 A ，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆18的离心率 e．二.解答题15 、已知动点 P 与平面上两定点（Ⅰ）试求动点 P 的轨迹方程 C.A(2,0),B( 2,0)1 连线的斜率的积为定值.2（Ⅱ）设直线 l : ykx 1 与曲线 C 交于 M 、N 两点，当 |MN |= 4 2 3时，求直线 l 的方程 . 21 2 1 2 1 216 、已知三点 P （ 5 ，2）、 F 1 （－ 6 ， 0 ）、 F 2 （ 6， 0）。

2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有答案)

2017年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题（拔高题）一. 选择题（共15小题）A．B．2C．D．3 1．（2014•成都一模）已知椭圆C：/+y2=1的右焦点为F, 右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B, 若/=3/, 则|/|=（）2. （2014A．B．C．D．•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C: y2=8x相交于A.B两点,F为C的焦点, 若|FA|=2|FB|,则k=（）3. （2014•A．（﹣2, ﹣9）B．（0, ﹣5）C．（2, ﹣9）D．（1, 6）和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4, x2=2条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切, 则抛物线顶点的坐标为（）A．B．C．D．4.（2014•焦作一模）已知椭圆/（a＞b＞0）与双曲线/（m＞0,n＞0）有相同的焦点（﹣c,0）和（c, 0）,若c是a、m的等比中项, n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是（）A．[0, 3）B．（0, 2/）C．[2/, 3）D．[0, 4] 5.（2014•焦作一模）已知点P是椭圆/+/=1（x≠0, y≠0）上的动点, F1,是∠F1PF2的角平分线上一点,且/•/=0,则|/|的取值范围是（）A．B．C．D．6.（2014•北京模拟）已知椭圆/的焦点为F1.F2,在长轴A1A2上任取一点M, 过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P,则使得/的M点的概率为（）7.A．B．C．D．（2014•怀化三模）从/（其中m, n∈{﹣1, 2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程线方程的概率为（）8.A．B．C．D．（2014•重庆模拟）已知点F1, F2分别是双曲线/的左、右焦点, 过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点, 若△ABF2是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是（）9.A．（1, +∞）B．（1, 2）C．（1, 1+/）D．（2, 1+/）（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线/=1（a＞0, b＞0）的左焦点, 点E是该双曲线的右顶点, 过点F且垂直ABE是锐角三角形, 则该双曲线的离心率e的取值范围是（）10.A．B．C．D．（2014•凉州区二模）已知双曲线/（a＞0, b＞0）的左右焦点是F1,F2, 设P是双曲线右支上一点, /上的投影的大小恰好为/且它们的夹角为/, 则双曲线的离心率e为（）11. （2015•浙江一模）如图, F1.F2是双曲线/的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A.B. 若△ABF2为等边三角形, 则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．12.A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2（2014•河西区二模）双曲线/的左、右焦点分别为F1.F2离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A.B两点, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则e2的值是（）A．B．C．D．13.（2014•呼和浩特一模）若双曲线/=1（a＞0, b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．5 14. （2014•太原一模）点P在双曲线: /（a＞0,条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是（）15.A．a B．b C．e a D．e b（2014•南昌模拟）已知双曲线/的左右焦点分别为F1, F2, e为双曲线的离心率, P是双曲线右支上的点, △PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B, 则OB=（）二. 填空题（共5小题）16．（2014•江西一模）过双曲线/=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线, 若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上, 则双曲线的离心率为_________．17. （2014•渭南二模）已知F1, F2是双曲线C: /（a＞0, b＞0）的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点. 若|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 则双曲线的离心率为_________.18. （2013•辽宁）已知椭圆/的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连接AF、BF, 若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=/, 则C的离心率e=_________.19. （2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F, 其准线与双曲线/=1相交于A, B两点, 若△ABF为等边三角形, 则p=_________.20. （2014•宜春模拟）已知抛物线C: y2=2px（p＞0）的准线l, 过M（1, 0）且斜率为/的直线与l相交于A, 与C 的一个交点为B, 若/, 则p=_________.三. 解答题（共10小题）21. （2014•黄冈模拟）已知椭圆/的离心率为/, 过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点, 当l的斜率为1时, 坐标原点O到l的距离为/,（Ⅰ）求a, b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P, 使得当l绕F转到某一位置时, 有/成立？若存在, 求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在, 说明理由．22. （2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点, A（2, 0）, B（0, 1）是它的两个顶点, 直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D, 与椭圆相交于E、F两点.（Ⅰ）若/, 求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值.23. （2014•福建）已知双曲线E: /﹣/=1（a＞0, b＞0）的两条渐近线分别为l1: y=2x, l2: y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图, O为坐标原点, 动直线l分别交直线l1, l2于A, B两点（A, B分别在第一、第四象限）, 且△OAB的面积恒为8, 试探究: 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在, 求出双曲线E的方程, 若不存在, 说明理由.24. （2014•福建模拟）已知椭圆/的左、右焦点分别为F1.F2, 短轴两个端点为A.B, 且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若C.D分别是椭圆长的左、右端点, 动点M满足MD⊥CD, 连接CM, 交椭圆于点P. 证明: /为定值.（3）在（2）的条件下, 试问x轴上是否存异于点C的定点Q, 使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点, 若存在, 求出点Q的坐标；若不存在, 请说明理由．25. （2014•宜春模拟）如图, 已知圆G: x2+y2﹣2x﹣/y=0, 经过椭圆/=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B, 过圆外一点M（m, 0）（m＞a）倾斜角为/的直线l交椭圆于C, D两点,（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部, 求m的取值范围.26. （2014•内江模拟）已知椭圆C: /的离心率为/, 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为/.（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A.B两点.①若线段AB中点的横坐标为/, 求斜率k的值；②已知点/, 求证：/为定值．27. （2014•红桥区二模）已知A（﹣2, 0）, B（2, 0）为椭圆C的左、右顶点, F为其右焦点, P是椭圆C上异于A, B的动点, 且△APB面积的最大值为/.（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D, 当直线AP绕点A转动时, 试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系, 并加以证明.28. （2014•南海区模拟）一动圆与圆/外切, 与圆/内切.（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程.（Ⅱ）设过圆心O1的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点, 请问△ABO2（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在, 求出这个最大值及直线l的方程, 若不存在, 请说明理由．29. （2014•通辽模拟）如图所示, F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点, 点A（4, 2）为抛物线内一定点, 点P为抛物线上一动点, |PA|+|PF|的最小值为8.（1）求抛物线方程；（2）若O为坐标原点, 问是否存在点M, 使过点M的动直线与抛物线交于B, C两点, 且以BC为直径的圆恰过坐标原点, 若存在, 求出动点M的坐标；若不存在, 请说明理由.30. （2014•萧山区模拟）如图, O为坐标原点, 点F为抛物线C1: x2=2py（p＞0）的焦点, 且抛物线C1上点P处的切线与圆C2: x2+y2=1相切于点Q.（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣/=0时, 求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时, 记S1, S2分别为△FPQ, △FOQ的面积, 求/的最小值．参考答案与试题解析一. 选择题（共15小题）A．B．2C．D．31．（2014•成都一模）已知椭圆C：/+y2=1的右焦点为F, 右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B, 若/=3/, 则|/|=（）考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：过点B作BM⊥l于M, 设右准线l与x轴的交点为N, 根据椭圆的性质可知FN=1, 由椭圆的第二定义可求得|BF|, 进而根据若/, 求得|AF|．解答：解: 过点B作BM⊥l于M,并设右准线l与x轴的交点为N, 易知FN=1.由题意/, 故/.又由椭圆的第二定义, 得/Ⅰ．故选A点评：本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义, 属基础题．A．B．C．D．2. （2014•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C: y2=8x相交于则k=（）考点：抛物线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：根据直线方程可知直线恒过定点, 如图过A、B分别作AM⊥l于M, BN⊥l于N, 根据|FA|=2|FB|, 推断出|AM|=2|BN|, 点B为AP的中点、连接OB, 进而可知/, 进而推断出|OB|=|BF|, 进而求得点B的横坐标, 则点B的坐标可得, 最后利用直线上的两点求得直线的斜率．解答：解: 设抛物线C: y2=8x的准线为l: x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2, 0）如图过A.B分别作AM⊥l于M, BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|, 则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则，∴|OB|=|BF|, 点B的横坐标为1,故点B的坐标为/,故选D点评：本题主要考查了抛物线的简单性质. 考查了对抛物线的基础知识的灵活运用.3. （2014•A．（﹣2, ﹣9）B．（0, ﹣5）C．（2, ﹣9）D．（1, 6）和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4, x2=2线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切, 则抛物线顶点的坐标为（）考点：抛物线的应用. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：求出两个点的坐标, 利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a, 求出抛物线的顶点坐标．解答：解: 两点坐标为（﹣4, 11﹣4a）；（2, 2a﹣1）两点连线的斜率k=对于y=x2+ax﹣5y′=2x+aⅠ2x+a=a﹣2解得x=﹣1在抛物线上的切点为（﹣1, ﹣a﹣4）切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0直线与圆相切, 圆心（0, 0）到直线的距离=圆半径解得a=4或0（0舍去）抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2, ﹣9）故选A.故选A．点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.A．B．C．D．4.（2014•焦作一模）已知椭圆/（a＞b＞0）与双曲线0）和（c, 0）,若c是a、m的等比中项, n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是（）考点：椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：根据是a、m的等比中项可得c2=am, 根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2+b2=m2+n2=c, 根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2, 联立方程即可求得a和c的关系, 进而求得离心率e．解答：解: 由题意: /Ⅰ，∴/, ∴a2=4c2,Ⅰ．故选D.故选D．点评：本题主要考查了椭圆的性质, 属基础题．5.A．[0, 3）B．（0, 2/）C．[2/, 3）D．[0, 4]（2014•焦作一模）已知点P是椭圆/+/=1（x≠0, y≠0）上的动点, F1,F2是椭圆的两个焦点, O角平分线上一点,且/•/=0,则|/|的取值范围是（）考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义. 菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：结合椭圆/=1的图象, 当点P在椭圆与y轴交点处时, 点M与原点O重合, 此时|OM|取最小值0.当点P在椭圆与x轴交点处时, 点M与焦点F1重合, 此时|OM|取最大值/．由此能够得到|OM|的取值范围．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值/. 由此能够得到|OM|的取值范围.当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值．由此能够得到|OM|的取值范围．解答：解: 由椭圆/=1 的方程可得, c=/.由题意可得, 当点P在椭圆与y轴交点处时, 点M与原点O重合, 此时|OM|取得最小值为0.当点P在椭圆与x轴交点处时, 点M与焦点F1重合, 此时|OM|取得最大值c=2/.∵xy≠0, ∴|OM|的取值范围是（0, /）．故选：B.故选: B．故选：B．点评：本题考查椭圆的定义、标准方程, 以及简单性质的应用, 结合图象解题, 事半功倍．A．B．C．D．6.（2014•北京模拟）已知椭圆/的焦点为F1.F2,在长轴A1A2上任取一点M, 过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P,则使得/的M点考点：椭圆的应用；几何概型. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：当∠F1PF2=90°时, P点坐标为/, 由/, 得∠F1PF2≥90°．故/的M点的概率．解答：解: ∵|A1A2|=2a=4, /,设P（x0, y0）,∴当∠F1PF2=90°时, /,解得/, 把/代入椭圆/得/.由/, 得∠F1PF2≥90°．∴结合题设条件可知使得/的M点的概率=/.故选C.故选C．点评：作出草图, 数形结合, 事半功倍．7.A．B．C．D．（2014•怀化三模）从/（其中m, n∈{﹣1, 2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个, 则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）考点：双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：m和n的所有可能取值共有3×3=9个, 其中有两种不符合题意, 故共有7种, 可一一列举, 从中数出能使解答：解: 设（m, n）表示m, n的取值组合, 则取值的所有情况有（﹣1, ﹣1）, （2, ﹣1）, （2, 2）, （2, 3）, （3, ﹣1）, （3, 2）, （3, 3）共7个, （注意（﹣1, 2）, （﹣1, 3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2, 2）, （2, 3）, （3, 2）, （3, 3）共4个Ⅰ此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B点评：本题考查了古典概型概率的求法, 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程, 列举法计数的技巧, 准确计数是解决本题的关键A．B．C．D．8.（2014•重庆模拟）已知点F1, F2分别是双曲线/的左、右焦点, 过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点, 若△ABF2是锐角三角形, 则该双曲线离心率的取值范围是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先求出A, B两点的纵坐标, 由△ABF2是锐角三角形知, tan∠AF2F1=/＜1, e2﹣2e﹣1＜0, 解不等式求出e 的范围．解答：解: 在双曲线/中,令x=﹣c 得, y=±/, ∴A, B两点的纵坐标分别为±/.由△ABF2是锐角三角形知, ∠AF2F1＜/, tan∠AF2F1=/＜tan/=1,∴/＜1, c2﹣2ac﹣a2＜0, e2﹣2e﹣1＜0, ∴1﹣/＜e＜1+/.点评：本题考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 判断∠AF2F1＜/, tan/=/＜1, 是解题的关键．A．（1, +∞）B．（1, 2）C．（1, 1+/）D．（2, 1+/）9.（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线/=1（a＞0, b＞0）的左焦点, 点E是该双曲线的右顶点, 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A.B两点, △ABE是锐角三角形, 则该双曲线的离心率e的取值范围是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的对称性, 得到等腰△ABE中, ∠AEB为锐角, 可得|AF|＜|EF|, 将此式转化为关于a、c的不等式, 化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解: 根据双曲线的对称性, 得△ABE中, |AE|=|BE|,∴△ABE是锐角三角形, 即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中, ∠AEF＜45°, 得|AF|＜|EF|∵|AF|=/=/, |EF|=a+c∴/＜a+c, 即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2, 得e2﹣e﹣2＜0, 解之得﹣1＜e＜2点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形, 求双曲线离心率的范围, 着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识, 属于基础题．10.A．B．C．D．（2014•凉州区二模）已知双曲线/（a＞0, b＞0）的左右焦点是F1,F2, 设P是双曲线右支上一点, /上的投影的大小恰好为/且它们的夹角为/, 则双曲线的离心率e为（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先根据/上的投影的大小恰好为/判断两向量互相垂直得到直角三角形, 进而根据直角三角形中内角为/, 结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式, 最后根据离心率公式求得离心率e．解答：解: ∵/上的投影的大小恰好为/ⅠPF1ⅠPF2∴PF2=c, PF1=/又根据双曲线的定义得：PF1﹣PF2=2a,Ⅰc﹣c=2aⅠe=故选C.故选C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．解答关键是通过解三角形求得a, c的关系从而求出离心率．11. （2015•浙江一模）如图, F1.F2是双曲线/的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A.B. 若△ABF2为等边三角形, 则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a, |BF2|﹣|BF1|=2a, 利用等边三角形的定义可得: |AB|=|AF2|=|BF2|, /. 在△AF1F2中使用余弦定理可得：/=/﹣/, 再利用离心率的计算公式即可得出．：/=/﹣/，再利用离心率的计算公式即可得出.: /=/﹣/，再利用离心率的计算公式即可得出．：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．解答：解: ∵△ABF2为等边三角形, ∴|AB|=|AF2|=|BF2|, /.由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a, ∴|BF1|=2a.又|BF2|﹣|BF1|=2a, ∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a, |AF1|=6a.在△AF1F2中, 由余弦定理可得: /=/﹣/,∴/, 化为c2=7a2,∴/=/.故选B.故选B．点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键.12.A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2（2014•河西区二模）双曲线/的左、右焦点分别为F1.F2离心率为e.过F2的直线与双曲线的右支交于A.B两点, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则e2的值是（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：设|AF1|=|AB|=m, 计算出|AF2|=（1﹣/）m, 再利用勾股定理, 即可建立a, c的关系, 从而求出e2的值．解答：解: 设|AF1|=|AB|=m, 则|BF1|=/m, |AF2|=m﹣2a, |BF2|=/m﹣2a,∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m,∴m﹣2a+/m﹣2a=m,∴4a=/m, ∴|AF2|=（1﹣/）m,∵△AF1F2为Rt三角形, ∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（/﹣/）m2,Ⅰ4a=m∴4c2=（/﹣/）×8a2,Ⅰe2=5﹣2故选D.故选D．点评：本题考查双曲线的标准方程与性质, 考查双曲线的定义, 解题的关键是确定|AF2|, 从而利用勾股定理求解．A．B．C．D．13.（2014•双曲线/=1（a＞0, b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,则该双曲线的离心率为（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：因为双曲线即关于两条坐标轴对称, 又关于原点对称, 所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等, 所以不妨利用点到直线的距离公式求（c, 0）到y=/x的距离, 再令该距离等于焦距的/, 就可得到含b, c的齐次式, 再把b用a, c表示, 利用e=/即可求出离心率．解答：解: 双曲线/的焦点坐标为（c, 0）（﹣c, 0）, 渐近线方程为y=±/x根据双曲线的对称性, 任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等,求（c, 0）到y=/x的距离, d=/=/=b,又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的/,∴b=/×2c, 两边平方, 得4b2=c2, 即4（c2﹣a2）=c2,∴3c2=4a2, /, 即e2=/, e=/故选B点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用, 以及双曲线离心率的求法, 求离心率关键是找到a, c的齐次式．A．2B．3C．4D．514. （2014•太原一模）点P在双曲线: /（a＞0,b＞0）上,F1, F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：通过|PF2|, |PF1|, |F1F2|成等差数列, 分别设为m﹣d, m, m+d, 则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a, c=/, 由此求得离心率的值．c=/，由此求得离心率的值.c=，由此求得离心率的值．解答：解: 因为△F1PF2的三条边长成等差数列, 不妨设|PF2|, |PF1|, |F1F2|成等差数列,分别设为m﹣d, m, m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知: m﹣（m﹣d）=2a, m+d=2c, （m﹣d）2+m2=（m+d）2,解得m=4d=8a, c=/, 故离心率e=/=/=5,故选D.故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质, 以及双曲线的简单性质的应用, 属于中档题．A．a B．b C．e a D．e b15.（2014•南昌模拟）已知双曲线/的左右焦点分别为F1, F2, e为双曲线的离心率, P是双曲线右支上的点, △PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B, 则OB=（）考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有分析：根据题意, 利用切线长定理, 再利用双曲线的定义, 把|PF1|﹣|PF2|=2a, 转化为|AF1|﹣|AF2|=2a, 从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中, 由题意得, 它是一个等腰三角形, 从而在三角形F1CF2中, 利用中位线定理得出OB, 从而解决问题．解答：解: 由题意知: F1（﹣c, 0）、F2（c, 0）, 内切圆与x轴的切点是点A,∵|PF1|﹣|PF2|=2a, 及圆的切线长定理知,|AF1|﹣|AF2|=2a, 设内切圆的圆心横坐标为x,则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a∴x=a.在三角形PCF2中, 由题意得, 它是一个等腰三角形, PC=PF2,∴在三角形F1CF2中, 有:OB=/CF1=/（PF1﹣PC）=/（PF1﹣PF2）=/×2a=a.故选A．点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理. 解答的关键是充分利用三角形内心的性质.二. 填空题（共5小题）16．（2014•江西一模）过双曲线/=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线, 若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上, 则双曲线的离心率为/．考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：先设垂足为D, 根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标, 进而得到D点坐标．表示直线DF 的斜率与直线OD的斜率乘积为﹣1, 进而得到a和b的关系, 进而求得离心率．解答：解: 设垂足为D,根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=/x, 焦点为F（/, 0）D点坐标（/, /）Ⅰk DF==﹣ⅠODⅠDFⅠk DF•k OD=﹣1∴/, 即a=bⅠe===故答案为点评：本题主要考查了双曲线的简单性质. 要熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识.17. （2014•渭南二模）已知F1, F2是双曲线C: /（a＞0, b＞0）的左、右焦点, 过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A, B两点. 若|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 则双曲线的离心率为/.考点：双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的定义可求得a=1, ∠ABF2=90°, 再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|, 从而可求得双曲线的离心率．解答：解: ∵|AB|: |BF2|: |AF2|=3: 4: 5, 不妨令|AB|=3, |BF2|=4, |AF2|=5,∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2, ∴∠ABF2=90°,又由双曲线的定义得: |BF1|﹣|BF2|=2a, |AF2|﹣|AF1|=2a,∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|, ∴|AF1|=3.∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a,∴a=1.在Rt△BF1F2中, |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52,∵|F1F2|2=4c2, ∴4c2=52, ∴c=/．∴双曲线的离心率e=/=/.故答案为：/.故答案为: /．故答案为：．点评：本题考查双曲线的简单性质, 考查转化思想与运算能力, 求得a与c的值是关键, 属于中档题．18. （2013•辽宁）已知椭圆/的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连接AF、BF, 若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=/, 则C的离心率e=/.考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设椭圆右焦点为F', 连接AF'、BF', 可得四边形AFBF'为平行四边形, 得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8, 从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2, 得∠AFB=90°, 所以c=|OF|=/|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14, 得a=7, 最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解: 设椭圆的右焦点为F', 连接AF'、BF'∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF,可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×/, 解之得|BF|=8由此可得, 2a=|BF|+|BF'|=14, 得a=7∵△ABF中, |AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°, 可得|OF|=/|AB|=5, 即c=5因此, 椭圆C的离心率e=/=/故答案为: /点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形, 求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识, 属于中档题．19. （2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F, 其准线与双曲线/=1相交于A, B两点, 若△ABF为等边三角形, 则p=6.考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题：常规题型；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出抛物线的焦点坐标, 准线方程, 然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标, 利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解: 抛物线的焦点坐标为（0, /）, 准线方程为: y=﹣/,准线方程与双曲线联立可得: /,解得x=±/,因为△ABF为等边三角形, 所以/, 即p2=3x2,即/, 解得p=6．故答案为：6.故答案为: 6．故答案为：6．点评：本题考查抛物线的简单性质, 双曲线方程的应用, 考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．20. （2014•宜春模拟）已知抛物线C: y2=2px（p＞0）的准线l, 过M（1, 0）且斜率为/的直线与l相交于A, 与C 的一个交点为B, 若/, 则p=2.考点：抛物线的简单性质. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.可得p的关系式, 解方程即可求得p．可得p的关系式，解方程即可求得p.可得p的关系式，解方程即可求得p．解答：解: 设直线AB: /, 代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0,又∵/, 即M为A.B的中点,∴xB+（﹣/）=2, 即xB=2+/,得p2+4P﹣12=0,解得p=2, p=﹣6（舍去）故答案为: 2故答案为：2点评：本题考查了抛物线的几何性质. 属基础题.三. 解答题（共10小题）21. （2014•黄冈模拟）已知椭圆/的离心率为/, 过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点, 当l的斜率为1时, 坐标原点O到l的距离为/,（Ⅰ）求a, b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P, 使得当l绕F转到某一位置时, 有/成立？若存在, 求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在, 说明理由．考点：椭圆的简单性质. 菁优网版权所有专题：综合题；压轴题.分析：（I）设F（c, 0）, 则直线l的方程为x﹣y﹣c=0, 由坐标原点O到l的距离求得c, 进而根据离心率求得a 和b.（II）由（I）可得椭圆的方程, 设A（x1, y1）、B（x2, y2）, l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式, 假设存在点P, 使/成立, 则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2, y1+y2）, 代入椭圆方程；把A, B两点代入椭圆方程, 最后联立方程求得c, 进而求得P点坐标, 求出m的值得出直线l的方程．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0. 由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使/成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程.（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l: x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使/成立，则其充要条件为: 点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程Ⅰ＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．解答：解: （I）设F（c, 0）, 直线l: x﹣y﹣c=0,由坐标原点O到l的距离为则/, 解得c=1（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1, y1）、B（x2, y2）由题意知l的斜率为一定不为0, 故不妨设l: x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0, 显然△＞0.由韦达定理有: /, /, ①假设存在点P, 使/成立, 则其充要条件为:点P的坐标为（x1+x2, y1+y2）,点P在椭圆上, 即/．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在椭圆上, 即2x12+3y12=6, 2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得Ⅰ，x1+x2=/, 即/当；当点评：本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题, 学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”, 主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法, 而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表, 一个是里, 一个是现象, 一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半, 还是分割成几部分来算？在具体处理的时候, 要根据具体问题及题意边做边调整, 寻找合适的突破口和切入点．22. （2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点, A（2, 0）, B（0, 1）是它的两个顶点, 直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D, 与椭圆相交于E、F两点.（Ⅰ）若/, 求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量的共线定理. 菁优网版权所有专题：计算题；压轴题.分析：（1）依题可得椭圆的方程, 设直线AB, EF的方程分别为x+2y=2, y=kx, D（x0, kx0）, E（x1, kx1）, F （x2, kx2）, 且x1, x2满足方程（1+4k2）x2=4, 进而求得x2的表达式, 进而根据/求得x0的表达式, 由D 在AB上知x0+2kx0=2, 进而求得x0的另一个表达式, 两个表达式相等求得k.（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值, 设y1=kx1, y2=kx2, 进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值.（Ⅰ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．。

高中数学圆锥曲线测试题

圆锥曲线测试题姓名_______________一、选择题（4⨯10分）（）1．双曲线2214x y -=的实轴长为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．12 （）2．抛物线22y x =的准线方程为A ．14y =-B ．18y =-C ．12x =D ．14x =-（）3y 轴上．若焦距为4，则m 等于 A ．4 B ．5 C ．7 D ．8（）4A ．2B ．4C D（）5有相同的焦点，则a 的值为C.4D.10（）6．若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则实数a 等于A.2 C.32D.1（）7 A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等（）8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点,A B 在C 上且关于x 轴对称，点,M N分别为,AF BF 的中点，且AN BM ⊥，则A BC D（）9．且双曲线的一ABCD （）10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为B.3 二、填空题（5⨯4分）11的离心率2=e ，则=m ________. 12．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________.13．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则该点P 到抛物线的焦点的距离为_____________14．已知椭圆C 斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，则直线l 的方程为___________.三、解答题（10⨯4分）15．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程。

16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上，（1）求抛物线C的标准方程（2）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程17．已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为2.直线(1y k x=-）与椭圆C交于不同的两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为3时，求k的值.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一个焦点为)F ，实轴长为2，经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且M 为AB 的中点．（1）求双曲线C 的方程；（2）求直线l 的方程．。

专题05 圆锥曲线大题拔高练(原卷版)

【一专三练】专题05 圆锥曲线大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.2．（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆2222Γ:1x y a b +=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.3．（2023·广东江门·统考一模）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线y x =垂直，A 为垂足且位于第一象限，直线MB 与直线y x =-垂直，B 为垂足且位于第四象限，四边形OAMB （O 8，动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)已知()5,3T 是轨迹C 上一点，直线l 交轨迹C 于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 的斜率之和为1，tan 1PTQ ∠=，求TPQ V 的面积.4．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知双曲线E 的顶点为()1,0A -，()10B ,，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且OFG S =△点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP OH ⋅ 为定值.5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的实轴长为4，左､右顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 与C 的右支分别交于,M N 两点，其中点M 在x 轴上方.当l x ⊥轴时，MN =(1)设直线12,MA NA 的斜率分别为12,k k ，求21k k 的值；(2)若212BA N BA M ∠∠=，求1A MN V 的面积.6．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于,P Q 两点.当PQ x ⊥PAQ △的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA 与直线PB 的斜率乘积为34-，点P 的轨迹为M ．(1)求M 的方程；(2)分别过1(1,0)F -，2(1,0)F 做两条斜率存在的直线分别交M 于C ，D 两点和E ，F 两点，且117||||12CD EF +=，求直线CD 的斜率与直线EF 的斜率之积．8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 三个点在椭圆2212x y +=，椭圆外一点P 满足2OP AO = ，2BP CP = ，（O 为坐标原点）.(1)求12122x x y y +的值；(2)证明：直线AC 与OB .9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>和椭圆E ：()22101x y a a a+=>+有共同的焦点F (1)求抛物线C 的方程，并写出它的准线方程(2)过F 作直线l 交抛物线C 于P ， Q 两点，交椭圆E 于M ， N 两点，证明：当且仅当l x ⊥轴时，PQ MN取得最小值10．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点(4,3)P 在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上，过P 作x 轴的平行线，分别交双曲线C 的两条渐近线于M ，N 两点，||||4PM PN ⋅=．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l 过定点．①121k k +=；②121k k =．11．（2023·福建漳州·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =．过右焦点2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求C 的标准方程；(2)过坐标原点O 作一条与垂直的直线l '，交C 于P ，Q 两点，求||||AB PQ 的取值范围；(3)记点A 关于x 轴的对称点为M （异于B 点），试问直线BM 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由．12．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若||MN =l 的斜率；(2)记直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>过点(4,1)P ，且1C 的焦距是椭圆2222222222:x y a b C a b a b ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭的焦距的3倍．(1)求1C 的标准方程；(2)设M ，N 是1C 上异于点P 的两个动点，且0PM PN ⋅= ，试问直线MN 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．14．（2023·山东青岛·统考一模）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆C 的上顶点，12AF F △为等腰直角三角形，其面积为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，点W 在过原点且与l 平行的直线上，记直线WP ，WQ 的斜率分别为1k ，2k ，WPQ △的面积为S ．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．①S =②1212k k =-；③W 为原点O ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．15．（2023·山东济南·一模）已知抛物线2:2H x py =（p 为常数，0p >）．(1)若直线:22l y kx pk p =-+与H 只有一个公共点，求k ；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：||||||||||||AD EF DB DE FC BF ==．16．（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．17．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点A ⎛ ⎝.(1)若椭圆E 的离心率10,2e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求b 的取值范围；(2)已知椭圆E 的离心率e =，M ，N 为椭圆E 上不同两点，若经过M ，N 两点的直线与圆222x y b +=相切，求线段MN 的最大值.18．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN == ，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.19．（2023·江苏·统考一模）已知直线l 与抛物线21:2C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线22:4C y x =交于两点()33,C x y ，()44,D x y ，其中A ，C 在第一象限，B ，D 在第四象限.(1)若直线l 过点()1,0M，且11BM AM -=l 的方程；(2)①证明：12341111y y y y +=+；②设AOB V ，COD △的面积分别为1S ，2S ，（O 为坐标原点），若2AC BD =，求12S S .20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知点()2,2A 为抛物线2:2Γ=y px 上的点，B ，C 为抛物线Γ上的两个动点，Q 为抛物线Γ的准线与x 轴的交点，F 为抛物线Γ的焦点．(1)若90BOC ∠=︒，求证：直线BC 恒过定点；(2)若直线BC 过点Q ，B ，C 在x 轴下方，点B 在Q ，C 之间，且24tan 7BFC ∠=，求AFC △的面积和BFC △的面积之比．21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知A ，B 为椭圆22221x y a b+=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D的坐标为()1-时，3DF =．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．22．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线()2222:1010,0x y C a b a b-=<的右顶点为A ，左焦点(),0F c -到其渐近线0bx ay +=的距离为2，斜率为13的直线1l 交双曲线C 于A ，B(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()6,0T 的直线2l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线6x =相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为1B ，若△112F B F 为等边三角形，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为12A A ，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线12AA BA 、与y 轴的交点分别为M 、N ，若||3||ON OM =，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.24．（2023·湖南张家界·统考二模）已知曲线C 的方程：()221045x y x -=>，倾斜角为α的直线l 过点()23,0F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.(1)90α=︒时，求三角形ABO 的面积；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使直线l 与曲线C 有两个交点A 、B 的情况下，总有OMA OMB ∠=∠如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.25．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65PQ a =，设点P 在x轴上的射影为点N ，PQN V ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ||CD λ为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.26．（2023·湖南常德·统考一模）已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点到渐近线C 的右焦点F 作直线MN （不与x 轴重合）与双曲线C 相交于M ，N 两点，过点M 作直线l ：()x t a t a =-<<的垂线ME ，E 为垂足.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ，使得直线EN 过x 轴上的定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.27．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹为圆锥曲线．当01e <<为椭圆，当1e =为抛物线，当1e >为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e 为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．已知点(1,0)F ，直线:4l x =动点E 满足到点F 的距离与到定直线l 的距离之比为12(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线22(0)y px p =>中，O 为抛物线顶点，过焦点F 的直线交抛物线与A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长交准线l 与D ，C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，以AB 为直径的圆与CD 相切于CD 中点．那么如图在曲线E 中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．28．（2023·广东广州·统考二模）已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，且与x 轴交于点()(),00M a a >，过点A ，B 分别作直线1:l x a =-的垂线，垂足依次为1A ，1B ，动点N 在1l 上.(1)当1a =，且N 为线段11A B 的中点时，证明：AN BN ⊥；(2)记直线NA ，NB ，NM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.29．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点()2,0A -在椭圆上且||3AF =．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P Q 、分别在椭圆C 和直线4x =上，OQ AP ∥，M 为AP 的中点，若T 为直线OM 与直线QF 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．30．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，2AB=千米，O为AB的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．(1)若3OE=千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)，当线段OG长为何值时，游乐区域OMNV的面积最大？。

圆锥曲线填空题

8圆锥曲线二、填空题1、已知抛物线ｙ2＝a (x +1)的准线方程是x = -3,那么抛物线的焦点坐标是______.2、已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y 2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。

3 )已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；4、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 .5、已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = .6、过双曲线M ：2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________.7、若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 8、已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．9、已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ . 10、长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足CB AC 2=，则动点C 的轨迹方程是 .11、设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P恰为AB 的中点，则=+BF AF . 12、与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为13、过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝。

高考数学圆锥曲线选择填空专题练习(含答案)

高考数学圆锥曲线选择填空专题练习一、选择题1．设椭圆()222210,0x y m n m n +=>>的焦点与抛物线28x y =的焦点相同，离心率为12，则m n -=（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率2e =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =± C ．y x =± D ．y =3．已知1F 、2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12·0PF PF =，若12PF F △的面积为9，则b 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（）A ．5B ．6C ．163D ．2035．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2B C ．D ．46．关于x ，y 的方程()2220x ay a a +=≠，表示的图形不可能是（）A ．B ．C ．D ．7．若点A 的坐标为()3,2，F 是抛物线22y x =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF MA +取得最小值的M 的坐标为（）A ．()0,0B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()2,28．已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =（） A ．4B ．6C ．8D ．109．已知直线210x y -+=与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A B C D 10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，左顶点为A ．以F 为圆心，FA 为半径的圆交C的右支于P ，Q 两点，APQ △的一个内角为60︒，则C 的离心率为（）A B C ．43 D ．53 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若ππ,64α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎣⎦ D ．⎣⎦12．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（）A B C D ．34二、填空题13．过点()6,3M -且和双曲线2222x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为__________．14．一个椭圆中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，(P 是椭圆上一点，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆方程为__________．15．已知椭圆2221x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F △的周长为__________．16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 'l 与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则NQ QF=_______．参考答案： 1．【答案】A【解析】抛物线28x y =的焦点为()0,2，∴椭圆的焦点在y 轴上，∴2c =，由离心率12e =，可得4a =，∴2223b a c =-=，故234m n -=-．故选A ． 2．【答案】D【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率2ce a ==，224c a =，2222213b b a a =+⇒=，3ba=，故渐近线方程为3by x x a =±=±，故答案为D ．3．【答案】C 【解析】1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，12·0PF PF =可得12PF PF ⊥， 122PF PF a ∴+=，222124PF PF c +=，12192PF PF =， ()2221212424PF PF c PF PF a ∴+=+=，()2223644a c b ∴=-=，3b ∴=，故选C ．方法二：利用椭圆性质可得12222πtan tan924PF F S b b b θ====△，3b ∴=． 4．【答案】C【解析】设A 、B 在准线上的射影分别为为M 、N ，准线与横轴交于点H ，则FH p =，由于点F 是AC 的中点，4AF =，∴42AM p ==，∴2p =，设BF BN x ==，则BN BC FH CF =，即424x x -=，解得43x =， 416433AB AF BF ∴=+=+=，故答案为C ． 5．【答案】B【解析】∵双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为y x =±，∴a b =． ∵顶点到一条渐近线的距离为1，∴212a =，∴2ab ==，∴双曲线C 的方程为22122x y -=，焦点坐标为()2,0-，()2,0，∴双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d ==B ．6．【答案】D【解析】因为()2220x ay a a +=≠，所以222+1x y a a=，所以当20a a >>时，表示A ；当2a a <时，表示B ；当20a a >>时，表示C ；故选D ． 7．【答案】D【解析】如图，已知24y x =，可知焦点()1,0F ，准线：1x =-，过点A 作准线的垂线，与抛物线交于点M ，作根据抛物线的定义，可知BM MF =，MF MA MB MA +=+取最小值，已知()3,2A ，可知M 的纵坐标为2，代入22y x =中，得M 的横坐标为2，即()2,2M ，故选D ． 8．【答案】B【解析】抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ，M 是C 上一点FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为1，则M的纵坐标为±26FN FM ===，故选B ．9．【答案】B【解析】因为直线210x y -+=与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，所以1OM k =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有122x x +=，122y y +=，121212y y x x -=-，12121OM y y k x x +==+， 22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩，两式相减可化为，1212221212110y y y y a bx x x x -+-⋅⋅=-+，可得2212b a =，a ∴=，c =，双曲线的离心率为c a ==，故选B ． 10．【答案】C【解析】如图，设左焦点为1F ，设圆与x 轴的另一个交点为B ，∵APQ △的一个内角为60︒，∴30PAF ∠=︒，1603PBF PF AF a c PF a c ∠=︒⇒==+⇒=+，在1PFF △中，由余弦定理可得，22243403403c ac a e e e ⇒-=⇒-=⇒=--，故答案为C ． 11．【答案】A【解析】因为OPMN 是平行四边形，因此MN OP ∥且MN OP =，故2N ay =，代入椭圆方程可得N x =tan ON k α==．因ππ,64α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1<<1<，所以a <，即()2223a a c <-，解得0c a <<，故选A ． 12．【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒，因为tan aOMA b ∠=，所以tan60ab≥︒=，a ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥C ．13．【答案】221189x y -=【解析】设双曲线方程为222x y λ-=，双曲线过点()6,3M -，则222362918x y λ=-=-⨯=，故双曲线方程为22218x y -=，即221189x y -=．14．【答案】22186x y +=【解析】∵个椭圆中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，∴设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，∵(P 是椭圆上一点，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列， ∴2243124a b a c+==⎧⎪⎨⎪⎩，且222a b c =+，解得a =，b =，c = ∴椭圆方程为22186x y +=，故答案为22186x y +=．15．【答案】2【解析】设()1,0F c -，()()2,00F c c >，1F 关于直线y x =-的对称点P 坐标为()0,c ，点P 在椭圆上，则2201c a+=，则1c b ==，2222a b c =+=，则a =，故12PF F △的周长为1212222PF PF F F a c ++=+=． 16．【答案】2【解析】由抛物线定义可得MF MN ='l 倾斜角为π3，MN l ⊥，所以π3NMF ∠=，即三角形MNF 为正三角形，因此NF 倾斜角为2π3，由22 2y pxp y x =⎫=-⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎭，解得6p x =或32p x =（舍），即6Q p x =，62226P P NQ P P QF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-．。

高二上圆锥曲线拔高训练-解析版

高二上圆锥曲线拔高训练µ中档题一、单选题1设点F 1、F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，点M 、N 在C 上(M 位于第一象限)且点M 、N 关于原点对称，若MN =F 1F 2 ，NF 2 =3MF 2 ，则C 的离心率为()A.108B.104C.58D.558【答案】B【分析】分析可知，四边形MF 1NF 2为矩形，设MF 2 =t ，则MF 1 =3t t >0 ，利用椭圆定义可得出2a 与t 的等量关系，利用勾股定理可得出2c 与t 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，O 为F 1F 2、MN 的中点，则四边形MF 1NF 2为平行四边形，则MF 1 =NF 2 =3MF 2 ，又因为MN =F 1F 2 ，则四边形MF 1NF 2为矩形，设MF 2 =t ，则MF 1 =3t t >0 ，所以，2a =MF 1 +MF 2 =4t ，由勾股定理可得2c =F 1F 2 =MF 1 2+MF 2 2=9t 2+t 2=10t ，所以，该椭圆的离心率为e =2c 2a =10t 4t =104.故选：B .2椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B ，F 1A ⋅F 1B=0，则椭圆C 的离心率为()A.22B.33C.12D.55【答案】D【分析】依题意可得AF 1⊥BF 1，求出B 点坐标，代入椭圆方程，可求得离心率.【详解】解：左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，∴AF 1 =AF 2 =a ，设BF 2 =n ，则BF 1 =2a -n ，由F 1A ⋅F 1B=0，可得AF 1⊥BF 1，根据勾股定理，有AB 2=AF 12+BF 12，即a +n 2=a 2+2a -n 2，解得n =23a ，即BF 2 =23a ，由A (0,-b )，F 2(c ,0)，AF 2 =a ，BF 2 =23a ，B ,F 2,A 三点共线，∴B 53c ,23b ，代入椭圆方程有53c 2a 2+23b 2b 2=1，化简得c 2a2=15，所以椭圆离心率为e =c a =55.故选：D3画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C 的离心率为55，M 为其蒙日圆上一动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若△MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为()A.25B.45C.23D.43【答案】B【分析】结合离心率设出椭圆的方程，确定出椭圆的蒙日圆的直径，再利用垂直关系借助勾股定理及均值不等式求解作答.【详解】令椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其半焦距为c ，有c a =55，即a =5c ，则该椭圆的蒙日圆方程为x 2+y 2=a 2+b 2，因为点M ,P ,Q 均在这个圆上，且MP ⊥MQ ，于是PQ 是这个圆的直径，而a 2=b 2+c 2a :b =2:3c =2⇒a 2=16,b 2=12，即有|PQ |=2a 2+b 2=6c ，因此36c 2=|PQ |2=|MP |2+|MQ |2≥2|MP |⋅|MQ |，当且仅当|MP |=|MQ |时取等号，即|MP |⋅|MQ |≤18c 2，△MPQ 的面积S △MPQ =12|MP |⋅|MQ |≤9c 2，即△MPQ 面积的最大值为9c 2，则9c 2=36，解得c =2，则a =25，所以椭圆C 的长轴长为45.故选：B4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2+y 2=b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为()A.12B.22C.23D.63【答案】D【分析】由题意画出图形，可得b 2+b 2=c 2，再由a 2=b 2+c 2结合离心率公式求解．【详解】如图，由题意可得，b 2+b 2=c 2，即2a 2-c 2 =c 2，则2a 2=3c 2，∴c 2a2=23，即e =c a =63．故选：D ．5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点F 1,F 2，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M 在第一象限．MN =F 1F 2 ,NF 1 MF 1 ≥33，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.0,6-12B.(0,6-2]C.(0,3-1]D.22,3-1【答案】D【分析】由题可知四边形MF 1NF 2为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得|MF 2|2-2a |MF 2|+2b 2=0，结合已知条件有a >MF 2 ≥3-1 aΔ=4a 2-2b 2 >0，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且MN =F 1F 2 ，所以四边形MF 1NF 2为矩形，由椭圆的对称性知：NF 1 =MF 2 ，而|MF 2|+|MF 1|=2a ，所以|MF 2|2+|MF 1|2=4c 2，则2|MF 2|2-4a |MF 2|+4a 2=4c 2且M 在第一象限，整理得|MF 2|2-2a |MF 2|+2b 2=0，所以Δ=4a 2-2b 2 >0，所以|MF 2|=a -a 2-2b 2，又NF 1 MF 1=MF 2 MF 1=MF 22a -MF 2≥33，即a >|MF 2|≥(3-1)a ，所以a >a -a 2-2b 2≥3-1 a Δ=4a 2-2b 2 >0 ，整理得12<e 2=c 2a2≤4-23，所以22<e ≤3-1.故选：D .6初中时通常把反比例函数y =kx(k ≠0)的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K >0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转45°，便得到焦点在x 轴的双曲线的图形.所以也可以理解反比例函数的图像是以x 轴，y 轴为渐近线，以直线y =x 为实轴的等轴双曲线，那么当k =4时，双曲线的焦距为()A.8B.4C.22D.42【答案】A【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由2,2 绕原点顺时针旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为x 2a 2-y 2a2=1a >0 .又注意到2,2 在函数y =4x 图像上，其与原点连线与x 正半轴夹角为45o ，则将点2,2 绕原点顺时针旋转45o后，该点落在x 正半轴，设为m ,0 ，因旋转前后到原点距离不变，则m 2=8⇒m =22.即将点2,2 绕原点顺时针旋转45o后，可得22,0 ，则22,0 满足x 2a 2-y 2a2=1.可得双曲线方程为x 28-y 28=1，则c =8+8=4，则焦距为2c =8.故选：A7已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±2 B.±3C.±6D.±7【答案】C【解析】先结合等边三角形和双曲线的定义得到AF 1 =2a ，AF 2 =4a ，再在△AF 1F 2中利用余弦定理，结合2c =F 1F 2 的关系式，解得a ,c 的关系，再计算得到a ,b 的关系即得结果【详解】∵△ABF 2为等边三角形，∴AB =AF 2 =BF 2 ，且∠BAF 2=60°，即∠F 1AF 2=120°，由双曲线的定义可得，B 在双曲线上,，即AF 1 =BF 1 -BF 2 =2a ，A 在双曲线上，即AF 2 -AF 1 =2a ，故AF 2 =AF 1 +2a =2a +2a =4a ，在△AF 1F 2中，又∠F 1AF 2=120°，由余弦定理可得，2c =F 1F 2 =AF 1 2+AF 2 2-2AF 1 ⋅AF 2 cos120°=4a 2+16a 2-2×2a ×4a ×-12 =27a ，即ca=7，所以b a =b 2a 2=c 2-a 2a 2=c a 2-1=6，又焦点在x 轴上，所以该双曲线的渐近线的斜率为±6.故选：C .8某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为3m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以7m 为半径的圆上，则管柱OA 的高度为()A.53m B.74m C.94m D.73m 【答案】B【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，设出抛物线的方程，根据C 的坐标求解出抛物线的方程，由A 的横坐标可计算出A 的纵坐标，结合长度可求解出OA 的高度.【详解】以B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记BM ⊥OC 且垂足为M ，A 在y 轴上的投影点为D ，设抛物线方程为x 2=-2py p >0 ，由题意可知：AD =3,BM =4,OC =7，所以MC =OC -AD =7-3=4，所以C 4,-4 ，代入抛物线方程可知16=8p ，所以p =2，所以抛物线方程为x 2=-4y ，又因为x A =-3，所以y A =y D =-94，所以BD =94，所以OA =DM =BM -BD =4-94=74，所以OA 的高度为74m ，故选：B .9已知椭圆C:x29+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2，P是椭圆C上一点，则△PF1F2的重心与椭圆C短轴顶点距离的最大值为() A.1 B.43 C.2 D.344【答案】D【分析】不妨设P x0,y0，y0≥0，取短轴顶点为Q0,-1，重心Gx03,y03，GQ =-89y0-382+178，根据二次函数性质得到最值.【详解】根据对称性，不妨设P x0,y0，y0≥0，取短轴顶点为Q0,-1，椭圆C:x29+y2=1，F1-22,0，F222,0，则重心Gx03,y03，GQ =x032+y03+12=-89y02+23y0+2=-89y0-382+178，当y0=38时，GQ最大为344.故选：D二、多选题10上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A，B两点和敌方阵地D点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE是抛物线Γ的一部分，其中E在直线AB上，抛物线的顶点C到直线AB的距离为100米，DE长为400米，CD=CE，∠CAB=30°.建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为x2=-2py p>0，则()A.p=200B.Γ的准线方程为y=100C.Γ的焦点坐标为0,-50D.弹道CE上的点到直线AC的距离的最大值为5033【答案】ABD【分析】根据题意，建立以C为坐标原点，x轴平行于AB，y轴垂直于AB，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线AC的方程，不妨设CECE上一点为Q，判断出当Q该点处的切线与直线AC平行时，其到直线AC的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C为坐标原点，x轴平行于AB，y轴垂直于AB.此时C0,0，E-200,-100，D200,-100，抛物线Γ的方程为x2=-2py p>0，即2002=-2p×-100，解得p=200，故A正确；抛物线Γ的方程为x2=-400y，准线方程为y=100，焦点坐标为0,-100，故B正确，C错误；因为∠CAB=30°，C0,0，故k AC=tan30°=3 3，所以直线AC的方程为y=33x即x-3y=0，不妨设CE 上一点为Q x 0,y 0 ，x 0∈-200,0 ，当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.由y =-1400x 2可得y =-1200x ，故-1200x 0=33，解得Q x 0,y 0 =-2003,-1003 ，此时Q 点到直线AC 的距离为-20033+10033 12+-3 2=5033，故D 正确.故选：ABD .11已知抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，圆F ：(x -1)2+y 2=r 2(0<r <1)，过焦点的动直线l 0与抛物线E 交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，与圆F 相交于点C 、D (A 、C 在x 轴上方)，点M 是AB 中点，点T (0，1)，则下列结论正确的有()A.若直线l 0与y 轴相交于点G (0，y 3)，则有1y 1+1y 2=1y 3B.随着l 0变化，点M 在一条抛物线上运动C.OM ⋅FT最大值为-1D.当r ∈12,1 时，总存在直线l 0，使|AC |、|CD |、|DB |成等差数列【答案】AB【分析】设直线l 0的方程为x =ty +1，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4，然后根据1y 1+1y 2-1y 3=0即可得到1y 1+1y 2=1y 3，即可判断A 选项；根据韦达定理和消参的方法得到M 的轨迹方程，即可得到M 的轨迹为抛物线，即可判断B 选项；利用坐标得到FT ⋅OM =-12(y -1)2-12，即可得到FT ⋅OM的最大值，即可判断C 选项；根据焦半径公式得到AC ，DB ，然后根据等差中项的性质列方程得到6r =4t 2+4，即可得到r ∈23,1 ，即可判断D 选项.【详解】设直线l 0:x =ty +1，与y 2=4x 联立得：y 2-4ty -4=0，由韦达定理得：y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4.当t ≠0时，直线l 0与y 轴相交于点G 0,y 3 ，∴y 3=-1t，∴1y 1+1y 2-1y 3=y 1+y 2y 1y 2-1y 3=4t -4-1-1t=0，∴1y 1+1y 2=1y 3，故A 正确；设点M 坐标为x ,y ，则y =y 1+y 22=2t ，x =ty +1=2t 2+1，消去t 得y 2=2x -2，故B 正确；由FT =-1,1 ，OM =x ,y ，得FT ⋅OM =-x +y =-y 2+22+y =-12(y -1)2-12≤-12，故C 错误；∵AC =x 1+1-r ，CD =2r ，DB =x 2+1-r ，若AC 、CD 、DB 成等差数列，则有2CD =AC +DB ，即4r =x 1+1-r +x 2+1-r ，∴6r =x 1+x 2+2=t y 1+y 2 +4=4t 2+4≥4,∴r ∈23,1 ，故D 错误.故选：AB .三、填空题12已知椭圆E :x 216+y 27=1的右焦点F ，P 是椭圆E 上的一个动点，Q 点坐标是(1,3)，则|PQ |+|PF |的最大值是.【答案】13【分析】设椭圆左焦点F ′(-3,0)，根据椭圆的定义将|PQ |+|PF |转化为PQ +PF =PQ +2a -PF ，结合图形的几何性质，即可求得答案.【详解】由E :x 216+y 27=1可知a =4，b =7，c =16-7=3设椭圆左焦点F (-3,0)，则PQ +PF =PQ +2a -PF ≤8+QF =8+(-3-1)2+(0-3)2=8+5=13，当且仅当P ，Q ，F ′共线时且当P 在QF ′的延长线上P 时等号成立．∴|PQ |+|PF |的最大值为13，故答案为：13.13设F 1,F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，若F 1P =F 1F 2 ，且直线l 倾斜角的余弦值为78，则C 的离心率为．【答案】2【分析】设直线的倾斜角为α，可得cos α=78，由P 在第一象限内，且F 1P =F 1F 2 =2c ，可得F 2P =2c-2a ，根据余弦定理可得a ,c 的齐次方程，进而可求出双曲线的离心率.【详解】设直线的倾斜角为α，则cos α=78，由P 在第一象限内，且F 1P =F 1F 2 ，则F 1P =F 1F 2 =2c ，∴F 2P =2c -2a ，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2=cos α=4c 2+4c 2-2c -2a 28c 2=78，整理得3c 2+4a 2-8ac =0，则3e 2-8e +4=0，解得e =2或e =23(舍去).故答案为：214设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若PF 1 =2PF 2 ，则双曲线C 的离心率为.【答案】213/1321【分析】根据给定条件，求出PF 2 ，再借助平面向量数量积的运算律建立关系求解作答.【详解】依题意，不妨令双曲线C 的一条渐近线为bx -ay =0，半焦距为c ，即F 2(c ,0)，如图，则|PF 2|=bca 2+b 2=b ，有PF 1 =2b ，而|F 1F 2|=2c ，在Rt △OPF 2中，|OP |=|OF 2|2-|PF 2|2=c 2-b 2=a ，又O 为线段F 1F 2中点，由2PO =PF 1 +PF 2 ，且F 2F 1 =PF 1 -PF 2 得：4PO 2+F 2F 1 2=2PF 1 2+2PF 2 2，因此4a 2+4c 2=8b 2+2b 2，即2a 2+2c 2=5(c 2-a 2)，则有3c 2=7a 2，即e 2=73，解得e =213，所以双曲线C 的离心率为213.故答案为：21315过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左焦点F (-c ，0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE =12OF +OP，则双曲线的离心率为.【答案】5+12【分析】由向量的运算法则知E 是PF 中点，由此得OP =OF =c ，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，因此利用中位线性得PG =2a ，从而由抛物线的可表示出P 的点横坐标，从而得纵坐标，作PH ⊥x 轴，垂足为H ，在△OPH 中由勾股定理得出a ,c 的方程，变形后可求得离心率e ．【详解】如图，双曲线的右焦点G 也是抛物线的焦点，OE =12(OF +OP)，则E 是PF 中点，又O 是FG 中点，所以OE ⎳PG ，PG =2OE =2a ，设P (x ,y )，过P 作抛物线的准线的垂线PM ，M 是垂足，则PM =x +c =PG =2a ，x =2a -c ，P 在抛物线上，所以y 2=4xc =4x (2a -c )，E 是切点，OE ⊥FP ，所以OP =OF =c ，作PH ⊥x 轴，垂足为H ，由PH 2+OH 2=OP 2得(2a -c )2+4c (2a -c )=c 2，整理得4c 2-4ac -4a 2=0，所以e 2-e -1=0，e =1+52(负值舍去)．故答案为：1+52．四、双空题16椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形R 的四条边均与椭圆C :x 26+y 23=1相切，则C 的蒙日圆方程为；R的面积的最大值为．【答案】x 2+y 2=918【分析】设两条互相垂直的切线的交点为P x 0,y 0 ，分为两切线存在斜率为0和斜率不为0两种情况讨论，斜率不为0时，设切线方程为y -y 0=k (x -x 0)(k ≠0).联立x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k (x -x 0)，利用Δ=0整理成关于k 的一元二次方程，利用两直线垂直斜率之积为-1，化简整理即可求解C 的蒙日圆方程；要使圆的内接四边形面积最大，即四边形为正方形时，结合面积公式即可求解.【详解】设两条互相垂直的切线的交点为P x 0,y 0 ，当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是(±a ,b )，或(±a ,-b ).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是(x 0,y 0)(x 0≠±a ,且y 0≠±b )，所以可设曲线C 的过点P 的切线方程是y -y 0=k (x -x 0)(k ≠0).由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k (x -x 0)，得(a 2k 2+b 2)x 2-2ka 2(kx 0-y 0)x +a 2(kx 0-y 0)2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得(x 02-a 2)k 2-2x 0y 0k +y 02-b 2=0(x 02-a 2≠0)，因为k P A ,k PB (k P A ,k PB 为过P 点互相垂直的两条直线的斜率)是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以k P A ⋅k PB =y 02-b 2x 02-a 2，由此，得k P A ⋅k PB =-1⇔x 02+y 02=a 2+b 2，即C 的蒙日圆方程为：x 2+y 2=9；因为蒙日圆为长方形的外接圆，设r =OA=3，∠AOB =θ，则矩形面积公式为S =4⋅12r 2⋅sin θ=18sin θ，显然sin θ=1，即矩形四条边都相等，为正方形时，S max =18.故答案为：x 2+y 2=9；18.五、解答题17已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C 经过点2,233 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求使△OAB 面积最大时直线l 的方程．【答案】(1)x 26+y 22=1(2)x -y -2=0或x +y -2=0【分析】(1)根据条件列出关于a ,b 的方程求解即可；(2)设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出△OAB 面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案.【详解】(1)因为长轴长是短轴长的3倍，则a 2=3b 2，所以椭圆C 的方程为x 23b 2+y 2b2=1，把点2,233 的坐标代入上式，得23b 2+43b2=1，可得b 2=2，所以a 2=6，故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．(2)易知右焦点F 的坐标为2,0 ，若直线l 的斜率为0，则O ，A ，B 三点不能构成三角形，所以直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x =my +2，联立方程组x =my +2x 26+y 22=1，消去x ，得m 2+3 y 2+4my -2=0，判别式Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m m 2+3，y 1y 2=-2m 2+3，S △AOB =12|OF |⋅y 1-y 2 =y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-4m m 2+3 2+4×2m 2+3=26m 2+1m 2+3．令m 2+1=t (t ≥1)，则S △OAB =26t t 2+2=26t +2t ≤262t ×2t=2622=3，当且仅当t =2时，等号成立，即m 2+1=2，解得m =±1，所以此时直线l 的方程为x -y -2=0或x +y -2=0．18已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点P 到两个焦点的距离之和为4，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D -4,0 的直线与椭圆交于A 、B 两点，F 1为左焦点，记直线AF 1的斜率为k AF 1，直线BF 1的斜率为k BF 1，求证：k AF 1+k BF 1=0．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)由题意可知，椭圆长轴2a =4，再由离心率可计算得b 2=3，即得椭圆方程；(2)设出直线AD 的方程，与椭圆方程联立，分别写出k AF 1,kBF 1的表达式，结合韦达定理即可证明.【详解】(1)由题意得2a =4e =c a =12则a =2c =1，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)如下图示所示：由题意可知，直线斜率必然存在，设AD 为y =k x +4 ，A x A ,y A ,B x B ,y B ，且F 1-1,0 ，联立直线和椭圆方程并整理得：3+4k 2 x 2+32k 2x +64k 2-12=0，所以x A +x B =-32k 23+4k 2，x A x B =64k 2-123+4k 2，且Δ=1441-4k 2 >0，即-12<k <12，而k AF 1+k BF 1=y A x A +1+y Bx B +1=k x A +4 x A +1+k x B +4 x B +1=k 2x A x B +5x A +x B +8 x A x B +x A +x B +1，又2x A x B +5x A +x B +8=128k 2-243+4k 2-160k 23+4k 2+32k 2+243+4k 2=0，所以k AF 1+k BF 1=0,得证.19已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A -2,0 ，过点R 1,0 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，连接AM ，AN 分别交直线x =3于P ，Q 两点，若直线PR 、QR 的斜率分别为k 1、k 2，试问：k 1⋅k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 22=1(2)是定值，定值-2524【分析】(1)根据离心率和点到直线距离公式即可得解；(2)直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程，根据三点共线表示出P 点坐标，同理表示出Q 点坐标，算出斜率即可求解.【详解】(1)由题意得e =c a =22b =0-0+2 12+12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =2c =2，故椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)设直线l 的方程为x =my +1，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，由x =my +1x 24+y 22=1得m 2+2 y 2+2my -3=0，∴y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-3m 2+2，由A 、M 、P 三点共线可知y P 3--2 =y 1x 1--2，∴y P =5y 1x 1+2同理可得：y Q =5y 2x 2+2，故k 1k 2=y P 3-1⋅y Q 3-1=14y P y Q =14⋅5y 1x 1+2⋅5y 2x 2+2=254⋅y 1y 2my 1+3 my 2+3 =254⋅y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=254⋅-3m 2+2-3m 2m 2+2+-6m 2m 2+2+9=254⋅-16 =-2524，因此k 1·k 2为定值-2524.20设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右交点分别为F 1，F 2，下顶点为A .已知椭圆C 的短轴长为23，且椭圆C 过点1,32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于异于点A 的两点P ，Q ，且直线AP 与AQ 的斜率之和等于2，证明：直线l 经过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1.(2)证明见解析.【分析】(1)由已知建立关于a ，b ，c 的方程，求解即可；(2)设P x 1，y 1 ,Q x 2，y 2 ，当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x =t ，有y 1+y 2=2，根据两点的斜率公式有k P A +k QA =y 1+y 2 +23t=2，解得t =3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，与椭圆的方程联立消y 得：3+4k 2 x 2+8kmx +4m2-12=0，得出根与系数的关系，再代入两点的斜率公式k P A +k QA =x 2y 1+x 1y 2+3x 1+x 2x 1x 1=2，化简得m =3-3k ，代入直线方程中可得直线l 经过定点.【详解】(1)解：由已知得2b =23，解得b =3，又椭圆C 过点1,32 ，所以12a 2+32 2b 2=1，即有12a2+3223=1，解得a 2=4，所以椭圆的方程是x 24+y 23=1；(2)解：由(1)得A 0，-3 ，设P x 1，y 1 ,Q x 2，y 2 ，当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x =t ，则y 1+y 2=2，所以k P A +k QA =y 1+3t +y 2+3t=y 1+y 2 +23t=2，解得t =3，此时直线l 的方程为x =3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，与椭圆的方程x 24+y 23=1联立消y 得：3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0，则x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2，又k P A +k QA =y 1+3x 1+y 2+3x 2=x 2y 1+x 1y 2+3x 1+x 2 x 1x 1=2，所以x 2kx 1+m +x 1kx 2+m +3x 1+x 2 =2x 1x 1，即2k -2 x 1x 2+m +3 x 1+x 2 =0，所以2k -2 ⋅4m 2-123+4k 2+m +3 ⋅-8km 3+4k 2=0，整理得3+m 3k +m -3 =0，因为直线l 不过点A ，所以3+m ≠0，所以3k +m -3=0，即m =3-3k ，所以直线l 的方程为y =kx +3-3k ，即k x -3 +3-y =0，恒过点3，3 ，此点也在直线x =3上，所以直线l 经过定点3，3 .21已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1、F 2，其离心率e =12，点P 是椭圆C 上一动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线PF 1，PF 2与椭圆C 分别相交于点A ,B ，求证：PF 1 F 1A +PF 2F 2B为定值．【答案】(Ⅰ)x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明见解析.【分析】(Ⅰ)设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，可得r =S △PF 1F2a +c，当P 为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF 1F 2面积最大，即r 最大，由此得r max =bca +c，由△PF 1F 2内切圆面积最大值可得a ,b ,c 满足的方程，结合离心率和椭圆a ,b ,c 关系可构造方程组求得结果；(Ⅱ)设P x 0,y 0 ，当y 0≠0时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出y 0y 1和y 0y 2，代入PF 1 F 1A +PF 2 F 2B 整理可得定值103；当y 0=0时，易求得PF 1 F 1A +PF 2 F 2B=103，由此可得结论.【详解】(Ⅰ)设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则12PF 1 +PF 2 +F 1F 2 r =S △PF 1F 2，∴r =2S △PF 1F 22a +2c =S △PF 1F2a +c，∴当△PF 1F 2的面积最大时，△PF 1F 2内切圆的半径r 最大，则当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF 1F 2的面积最大，最大值为12×2c ×b =bc ，∴r 的最大值为bc a +c ，又△PF 1F 2内切圆面积的最大值为π3，∴bc a +c =33，由bc a +c =33c a =12a 2=b 2+c 2得：a =2b =3c =1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 23=1．(Ⅱ)设P x 0,y 0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，①当y 0≠0时，设直线PF 1，PF 2的直线方程分别为x =m 1y -1，x =m 2y +1，由x =m 1y -1x 24+y 23=1得：3m 21+4 y 2-6m 1y -9=0，∴y 0y 1=-93m 21+4，∵x 0=m 1y 0-1，∴m 1=x 0+1y 0，∴y 0y 1=-5+2x 03，同理由x =m 2y +1x 24+y 23=1可得：y 0y 2=-5-2x 03，∴PF 1 F 1A +PF 2 F 2B=-y 0y 1-y 0y 2=5+2x 03+5-2x 03=103；②当y 0=0时，直线PF 1，PF 2与x 轴重合，则则PF 1 F 1 A +PF 2 F 2 B =3+13=103；综上所述：PF 1 F 1A+PF 2 F 2B为定值103．22已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点，AB 的中垂线l 1与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)是定值，定值为4.【分析】(1)由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a +c 和椭圆a ,b ,c 关系可构造方程组求得a ,b ，进而得到椭圆标准方程；(2)当直线l 的斜率不为0时，设l :x =my +1，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出l 1方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：a +c =3c a =12a 2=b 2+c 2，解得：a =2，b =3，c =1，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 的中点为H x 0,y 0 .联立x =my +1x 24+y 23=1整理得：3m 2+4 y 2+6my -9=0，由题意可知：m ≠0，则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，∴AB =1+m 2⋅y 1+y 2 2-4y 1y 2=12m 2+1 3m 2+4.∵H 为AB 的中点，∴y 0=-3m 3m 2+4，x 0=my 0+1=43m 2+4，即H 43m 2+4,-3m3m 2+4 .直线l 1的方程可设为x =-1m y +3m 3m 2+4 +43m 2+4，令y =0得：x =13m 2+4，则FG =1-13m 2+4=3m 2+1 3m 2+4，∴AB FG =12m 2+13m 2+43m 2+13m 2+4=4.当直线l 的斜率为0时，AB =2a =4，FG =c =1，则ABFG=4.综上所述：ABFG为定值，且定值为4.23设以△ABC 的边AB 为长轴且过点C 的椭圆Γ的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)椭圆Γ的离心率e =12，△ABC 面积的最大值为23，AC 和BC 所在的直线分别与直线l :x =4相交于点M ，N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设△ABC 与△CMN 的外接圆的面积分别为S 1，S 2，求S 2S 1的最小值.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)94.【分析】(1)运用椭圆的离心率公式、三角形面积公式和a ,b ,c 的关系，可得a ,b ，进而得到椭圆方程；(2)设C x 0,y 0 y 0≠0 ，将直线AC 、直线BC 分别与直线l :x =4，求出M 、N 的坐标，可得MN =4y 0 ⋅x 0-4 x 20-4；设∠ACB =α，r 1，r 2分别为△ABC 和△CMN 外接圆的半径，利用正弦定理可得r 1=AB2sin α，r 2=MN2sin α，可求的S 2S 1=34⋅4-x 024-x 20，再利用二次函数的性质，即可求出结果.【详解】(1)依题意：c a =12,12⋅2a ⋅b =23,a 2=b 2+c 2所以a =2b =3.椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1.(2)设C x 0,y 0 y 0≠0 ，则x 204+y 203=1，A -2,0 ，B 2,0 .直线AC :y y 0=x +2x 0+2与直线l :x =4联立得M 4,6y 0x 0+2 .直线BC :y y 0=x -2x 0-2与直线l :x =4联立得N 4,2y 0x 0-2.MN =6y 0x 0+2-2y 0x 0-2=4y 0 ⋅x 0-4 x 20-4.设∠ACB =α，r 1，r 2分别为△ABC 和△CMN 外接圆的半径，在△ABC 中ABsin α=2r 1，所以r 1=AB2sin α.在△CMN 中MNsin π-α=2r 2，所以r 2=MN2sin α，S 2S 1=πr 22πr 21=MN 2AB 2=16y 20⋅x 0-42x 20-4 216=y 20x 0-42x 20-42.又y 20=344-x 20 ，所以S 2S 1=344-x 20 x 0-4 2x 20-4 2=34⋅4-x 0 24-x 20.令t =4-x 0，而-2<x 0<2，所以2<t <6.S 2S 1=34⋅t 24-t -4 2=34⋅t 2-t 2+8t -12=34⋅1-121t2+81t-1=34⋅1-121t -13 2+13.所以t =3，即x 0=1时，S 2S 1取得最小值，最小值为94.24已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P (3,1)在C 上，且PF 1 ⋅PF 2 =10.(1)求C 的方程；(2)斜率为-3的直线l 与C 交于A ，B 两点，点B 关于原点的对称点为D .若直线P A ,PD 的斜率存在且分别为k 1,k 2，证明：k 1⋅k 2为定值.【答案】(1)x 28-y 28=1；(2)证明见解析.【分析】(1)由点的坐标求c ,再根据双曲线定义求a ,即可求解；(2)设直线l 方程为y =-3x +m ，直接求出P A ,PD 的斜率，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，化简即可求解.【详解】(1)设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)(c >0)，其中c =a 2+b 2.因为PF 1 PF 2 =10，所以(3+c )2+1×(3-c )2+1=10，解得c 2=16或c =0，又c >0，故c =4.所以2a =(3+4)2+1-(3-4)2+1=42，即a =22.所以b 2=c 2-a 2=8.所以C 的方程为x 28-y 28=1.(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则D -x 2,-y 2 .设直线l 方程为y =-3x +m ，与双曲线C 方程联立，消去y 得，8x 2-6mx +m 2+8=0.由Δ=(-6m )2-32m 2+8 >0，得|m |>8.x 1+x 2=3m 4，x 1x 2=m 2+88.所以y 1y 2=-3x 1+m -3x 2+m =9x 1x 2-3m x 1+x 2 +m 2=-m 28+9.所以k 1⋅k 2=y 1-1x 1-3⋅-y 2-1-x 2-3=y 1y 2+y 1-y 2-1x 1x 2+3x 1-3x 2-9=-m 28+8-3x 1-x 2 m 28-8+3x 1-x2 =-1.所以k 1⋅k 2为定值.25已知抛物线C :y 2=2px p >0 上的点M 与焦点F 的距离为52，且点M 的纵坐标为2p .(1)求抛物线C 的方程和点M 的坐标；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点，且MA ⊥MB ，证明直线l 过定点.【答案】(1)抛物线C :y 2=2x ；M 2,2 (2)证明见解析【分析】(1)设M x 0,2p ，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得x 0,p ，由此可得抛物线方程和点M 坐标；(2)设l :x =my +n ，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得k MA ⋅k MB =-1，代入韦达定理的结论可整理得到n =2m +4，代入直线方程可得定点坐标.【详解】(1)设M x 0,2p ，则x 0+p2=522px 0=4p，解得：x 0=2p =1 ，∴抛物线C :y 2=2x ；M 2,2 .(2)由题意知：直线l 斜率不为零，可设l :x =my +n ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y 2=2xx =my +n得：y 2-2my -2n =0，∴Δ=4m 2+8n >0，即m 2+2n >0；∴y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-2n ；∵k MA =y 1-2x 1-2=y 1-2y 21-42=2y 1+2，k MB =y 2-2x 2-2=y 2-2y 22-42=2y 2+2，又MA ⊥MB ，∴k MA ⋅k MB =4y 1+2 y 2+2 =4y 1y 2+2y 1+y 2 +4=4-2n +4m +4=-1；则n =2m +4(此时m 2+2n =m 2+4m +8=m +2 2+4>0成立)，∴直线l :x =my +2m +4=m y +2 +4，当y =-2时，x =4，∴直线l 恒过定点4,-2 .µ压轴题一、单选题1已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点为F 1，F 2，x 轴上方两点A ，B 在椭圆上，AF 1与BF 2平行，AF 2交BF 1于P .过P 且倾斜角为αα≠0 的直线从上到下依次交椭圆于S ，T .若PS =βPT ，则“α为定值”是“β为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件【答案】D【分析】先求出P 的轨迹，其轨迹方程为x 2a 2+c 22a2+y 2a 2-c 22a2=1，取α=π4，结合特殊情形可得“当α取定值，β是定值”是错误的；再由β是定值可得α=π2，从而可判断当β取定值，α是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设M x ,y 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上的动点，c 为椭圆的半焦距，故F 1-c ,0 ，故MF 1 =x +c 2+y 2=x +c 2+b 21-x 2a2=x +c 2+b 21-x 2a 2=c 2x 2a2+2cx +a 2=a +c a x ，设直线l :x =-a 2c ，则M 到该直线的距离为d =x +a 2c，故MF 1 d=ca =e ，如图，设直线MF 1的倾斜角为γ，过M 作l 的垂线，垂足为S ，则MF 1MF 1 cos γ+a 2c -c =e ，故MF 1 =e ×b 2c1-e cos γ，设p =b 2c，故MF 1 =ep 1-e cos γ，同理MF 2 =ep1+e cos γ.设AF 1的倾斜角为θ，则MF 1 =ep 1-e cos θ，MF 2 =ep1+e cos θ，因为AF 1⎳BF 2，故BF 2 AF 1 =F 2PAP，所以BF 2 AF 1 +BF 2 =F 2P AP +F 2P =F 2P AF 2=F 2P2a -AF 1 ，所以F 2P =BF 2 2a -AF 1 AF 1 +BF 2 ，同理F 1P =AF 1 2a -BF 2AF 1 +BF 2，故F 2P +F 1P =2a -2BF 2 ×AF 1AF 1 +BF 2=2a -ep ，故P 的轨迹为以F 1,F 2为焦点的椭圆，其长半轴长为a -ep 2=a 2+c 22a，短半轴长为a 2+c 2 24a 2-c 2=a 2-c 22a ，故P 的轨迹方程为：x 2a 2+c 22a 2+y 2a 2-c 22a2=1，其中y >0.取α=π2，PS2PT 2=y S -y P 2y S +y P2=y Sy P -1 2y S y P +1 2,而a 2≠a 4+2a 2c 2+c 44a 2，故PS 2PT2不是定值即β不是定值.故“当α取定值，β是定值”是错误的.又直线ST 的参数方程为：x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α ，设S x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α ,T x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α ，由x 0+t cos α2a 2+y 0+t sin α2b 2=1整理得到：cos 2αa 2+sin 2αb 2t 2+2x 0cos αa 2+y 0sin αb2 t +x 20a 2+y 20b 2-1=0，故t 1+t 2=-2x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 cos 2αa 2+sin 2αb 2t 1t 2=x 2a 2+y 20b 2-1cos 2αa 2+sin 2αb 2，而PS =βPT ，故1-β t 2=-2x 0cos αa 2+y 0sin αb2 cos 2αa 2+sin 2αb 2-βt 22=x 2a 2+y 20b 2-1cos 2αa 2+sin 2αb 2，所以1-β 2-4β=x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2cos 2αa 2+sin 2αb 2x 20a 2+y 20b 2-1，若β为定值，则1-β2-4β为定值，而1-β 2-4βcos 2αa 2+sin 2αb 2=x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2x 20a 2+y 20b 2-1，故当P x 0,y 0 变化时，x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2x 20a 2+y 20b 2-1始终为定值，又x 0cos αa 2+y 0sin αb 2 2x 20a 2+y 20b 2-1=x 20cos 2αa 4+2x 0y 0cos αsin αa 2b 2+y 20sin 2αb 2x 20a 2+y 20b2-1=x 20cos 2αa 4+2x 0y 0cos αsin αa 2b 2+b 22a21-x 2a 2+c 2 24a 2 sin 2αb 2x 20a 2+b 22a21-x 20a 2+c 2 24a 2b 2-1=x 20cos 2αa 4-b 2sin 2αa 2+c 2 2+2x 0y 0cos αsin αa 2b 2+b 2sin 2α4a 2x 201a 2-b 2a 2+c 2 2+b 24a 2-1故cos 2αa 4-b 2sin 2αa 2+c 2 21a 2-b 2a 2+c 22=b 2sin 2α4a 2b 24a 2-1且cos αsin αa 2b 2=0，但α≠0,α∈0,π ，故α=π2，所以1-β 2-4β=y 0b 2 21b 2x 20a 2+y 20b 2-1=y 20b 2x 20a 2+y 20-1=y 20b 2×a 2+c 2 24a 21-y 20b 24a 2a 2+y 20-1=y 20b 2×a 2+c 2 24a 2a 2-1+1-a 2+c 2 2a 2y 20，但此时1-β2-4β随y 20的变化而变化，不是定值，故“当β取定值，α是定值”是错误的.故选：D .2设O 为坐标原点，F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点，l 1,l 2为双曲线的两条渐近线，F 1A 垂直l 1于A ,F 1A 的延长线交l 2于B ，若OA +OB =2AB ，则双曲线的离心率为()A.6B.5C.62D.52【答案】B【分析】数形结合，通过题意已知条件可求得点F 1(-c ,0)到直线l 1:bx +ay =0的距离AF 1 的值，通过勾股定理可求得OA ，再联立直线AF 1 与l 2解方程组可得点B 坐标，从而列出OB ,AB 的表达式，由OA +OB =2AB 计算可得a ,b 关系，从而可求离心率.【详解】双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：bx ±ay =0，不妨令l 1:bx +ay =0,l 2:bx -ay =0，因为直线F 1A 垂直l 1，则k F 1A ⋅k l 1=-1，故k F 1A =ab，又F 1(-c ,0)，OF 1 =c则点F 1(-c ,0)到直线l 1:bx +ay =0的距离为AF 1 =-bcb 2+a2=b ，所以OA =OF 1 2-AF 1 2=c 2-b 2=a ，k F 1A =a b ，又F 1(-c ,0)，可知直线F 1A 的方程为：y =a b(x +c )，与l 2联立方程组可得：y =a b (x +c )y =b a x ，则b a x =a b (x +c )，解得x =a 2c b 2-a 2y =abc b 2-a 2，故B a 2c b 2-a 2,abc b 2-a 2,由|OA |+|OB |=2|AB |,则|OB |=a 4c 2b 2-a 2+a 2b 2c 2b 2-a 22=a 2c 2a 2+b 2b 2-a 22=a 2c 4b 2-a 22=ac 2b 2-a 2,Rt △OAB 中，由勾股定理可得:AB 2=OB 2-OA 2=a 2c 4b 2-a 2 2-a 2=a 2c 4-a 2b 2-a 2 2b 2-a 2 2=4a 4b 2b 2-a 2 2,故|AB |=2ba 2b 2-a 2；又|OA |+|OB |=2|AB |,则a +ac 2b 2-a 2 =4ba 2b 2-a 2 ，即1+c 2b 2-a 2 =4abb 2-a 2，因为F 1A 的延长线交l 2于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即abcb 2-a 2>0，故b 2-a 2>0，所以b 2-a 2 =b 2-a 2，所以1+c 2b 2-a 2 =4ab b 2-a 2化简得b 2-a 2+c 2=4ab .则2b 2=4ab ，故b =2a ，则e =ca =1+b 2a2=5.故选：B .二、多选题3已知点F 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1，a >b >0 的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 的斜率分别为k 1，k 2，椭圆的离心率为e ，若PF =2QF ，∠PFQ =2π3，则()A.e =74B.e =33C.k 1k 2=-916D.k 1k 2=-23【答案】BD【分析】设出右焦点F ，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理得到a ,c 关系，则离心率可求，设出P ,M 坐标，利用点差法可求得k 1⋅k 2的表示，结合a ,c 关系可求解出k 1k 2的值.【详解】连接PF ，QF ，根据椭圆对称性可知四边形PFQF 为平行四边形，则|QF |=PF ，且由∠PFQ =120°，可得∠FPF =60°,所以|PF |+PF =3PF =2a ,则PF =23a ,|PF |=43a .由余弦定理可得(2c )2=|PF |2+PF 2-2|PF |⋅PF cos60°=169a 2+49a 2-2×43a ⋅23a ⋅12，化简得c 2=13a 2，故e 2=13，所以e =33(负舍)设M x 0,y 0 ,P x 1,y 1 ，则Q -x 1,-y 1 ，k 1=y 0-y 1x 0-x 1，k 2=y 0+y 1x 0+x 1，所以k 1k 2=y 0-y 1x 0-x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=y 20-y 21x 20-x 21，又x 20a 2+y 20b 2=1，x 21a 2+y 21b 2=1，相减可得y 20-y 21x 20-x 21=-b 2a 2．因为c 2a 2=13，所以a 2-b 2a 2=13，∴a 2b 2=23，所以k 1k 2=-23.故选：BD .4已知抛物线C ：y 2=4x ，过焦点F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，y 1>2，E 与F 关于原点对称，直线AB 与直线AE 的倾斜角分别是α与β，则()A.sin α>tan βB.∠AEF =∠BEFC.∠AEB <90°D.α<2β【答案】BCD【分析】作AD ⊥x 轴于D ，做BC ⊥x 轴于C ，设直线l 的方程为y =k x -1 ，与抛物线方程联立求出x 1+x 2,x 1x 2，求出sin α，tan β可判断A ；求出k AE +k BE 可判断B ；求出tan β利用基本不等式得出tan β<1可判断C ；求出tan α、tan2β，做差tan α-tan2β与0比较大小可判断D .【详解】作AD ⊥x 轴于D ，做BC ⊥x 轴于C ，所以D x 1,0 ，C x 2,0 ，抛物线C :y 2=4x 的焦点F 1,0 ，因为y 1>2，所以x 1>1，即α<90°，所以直线l 的斜率存在设为k ，可得直线l 的方程为y =k x -1 ，与抛物线方程联立y =k x -1y 2=4x，整理得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，所以x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1，y 21=4x 1，对于A ，sin α=AD AF =y 1x 1+1，tan β=ADED =y 1x 1+1，所以sin α=tan β，故A 错误；对于B ，因为k AE =y 1x 1+1,k BE =y 2x 2+1，所以k AE +k BE =y 2x 2+1+y 1x 1+1=k x 2-1 x 1+1 +k x 1-1 x 2+1 x 2+1 x 1+1=k 2x 1x 2-x 1+x 2+x 1-x 2-2x 2+1 x 1+1 =0，所以直线AE 与BE 的倾斜角互补，即∠AEF =∠BEF ，故B 正确；对于C ，因为x 1>1，所以tan β=ADED =y 1x 1+1=2x 1x 1+1<2x 12x 1=1，即∠AED <45°，因为∠AEF =∠BEF ，所以∠AEB <90°，故C 正确；对于D ，因为∠AEB <90°，所以0°<2β<90°，tan α=AD FD =y 1x 1-1，tan β=ADED=y 1x 1+1，所以tan2β=2tan β1-tan 2β=2y 1x 1+11-y 1x 1+1 2=2y 1x 1+1 x 1-12，所以tan α-tan2β=y 1x 1-1-2y 1x 1+1 x 1-1 2=y 1x 1-y 1-2y 1x 1-2y 1x 1-1 2=-y 1x 1-3y 1x 1-1 2<0，所以tan α<tan2β，即α<2β，故D 正确.故选：BCD三、填空题5已知双曲线C :x 2-y 23=1的左焦点为F 1，顶点Q (0,23)，P 是双曲线C 右支上的动点，则PF 1 +PQ 的最小值等于.【答案】6【分析】利用双曲线的性质，得到PF 1 =PF 2 +2，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．【详解】结合题意，绘制图像：。

圆锥曲线基础填空30道

圆锥曲线基础填空30道一、填空题1．过圆22+8x y =上任意一点P 作x 轴垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为______________．2．已知椭圆方程221516x y +=表示椭圆，焦点1F ，2F ，椭圆上有一动点P ，则12PF PF +=______．3．已知抛物线()220y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为52，则p =______. 4．若抛物线24y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则M 点的横坐标为_________. 5．已知点F 1(4-，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2的距离的差的绝对值是6，该曲线方程是_____.6．已知双曲线2215x y m -=的焦距为8，则实数m 的值为______. 7．已知直线220x y 经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为__________________；8．已知双曲线的方程为2213x y -=，则焦点到渐近线的距离为_________. 9．方程()222211x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______. 10．抛物线214x y =的准线方程是______． 11．若动点P 与定点()1,1F 的距离和动点P 与直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹方程是______．12．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为________.13．若双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则m =_______. 14．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.15．已知12,F F 为双曲线22:122x y C -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠=______．16．双曲线c =，且一个顶点坐标为()0,2，则双曲线的标准方程为_____________．17，且过点(4)，则该双曲线的标准方程为________．18．若方程22113x y m m+=--表示椭圆，则m 的取值范围是_____________. 19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ，若点F 到直线0bx ay -=，则E 的离心率为____. 20．若双曲线223x y m -=的虚轴长为2，则实数m 的值为__________.21．椭圆2251162x y +=的长轴长为__. 22．双曲线2219y x -=的渐近线方程为__________. 23．焦点的坐标为(5,0)±，渐近线方程为43y x =±的双曲线的标准方程为________. 24．以1F 、2F 为焦点作椭圆，椭圆上一点1P 到1F 、2F 的距离之和为10，椭圆上另一点2P 满足2122P F P F =，则21P F =______．25．设1F ，2F 为定点，126F F =，动点M 满足1210MF MF +=，则动点M 的轨迹是______.(从以下选择.椭圆.直线.圆.线段)26．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为______27．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>则C 的渐近线方程为___________. 28．方程221226x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________.29．能说明“若()20m n +≠，则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.30．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为______.参考答案1．22182x y += 【分析】利用中点坐标公式，确定P ，M 坐标之间的关系，将P 的坐标代入圆的方程，即可求得M 的轨迹方程．【详解】设(,)M x y ，(,0)Q x ，则(,2)P x y ， P 在圆228x y +=上，2248x y ∴+=，整理得22182x y +=，故答案为：22182x y +=． 2．8【分析】先由椭圆方程得到其长轴长，再由椭圆的定义，即可得出结果.【详解】因为椭圆221516x y +=的长轴长为28a ==，又P 为椭圆上一点，1F 与2F 为椭圆的两焦点，根据椭圆的定义可得1228PF PF a +==.故答案为：8.3．3【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由抛物线定义可得，51()22p --=，解得3p =，故答案为：34．3【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果.【详解】易见，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，设M ()00,x y ，则M 到准线的距离为01x +，等于M 到焦点F 的距离为4，即014x +=，故03x =，即M 点的横坐标为3.故答案为：3.5．22197x y -= 【分析】根据双曲线的定义求曲线方程．【详解】 ∵128F F =，126PFPF -=， ∴P 点轨迹是以12,F F 为焦点，实轴长为6的双曲线，26a =，3a =，又4c =，∴2227b c a =-=， ∴曲线方程是22197x y -=．故答案为：22197x y -=． 6．11【分析】由题可得516m +=，即可求出.【详解】由题可得22,5,4a m b c ===，则由222+=a b c 得516m +=，解得11m =.故答案为：11. 7．2215x y += 【分析】求出椭圆的顶点和焦点，进而可得,a b ，则椭圆方程可求．【详解】解：对于直线220x y ，当0x =时，1y =，当0y =时，2x =-，则椭圆中的1,2==b c ，则2225a b c ，所以椭圆方程为2215x y +=．故答案为：2215x y +=． 8．1【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】焦点坐标(2)0，，渐近线方程0x +=，则点到直线距离1d ==. 故答案为：1.9．()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭根据题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】由题意可得()()22220101m m m m⎧>⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩，解得12m <且0m ≠. 因此，实数m 的取值范围是()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭. 故答案为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭. 10．116y =-【分析】本题考查根据抛物线的方程求准线方程，判定开口方向，求得p 的值，然后根据公式得出准线方程.【详解】解：抛物线214x y =中，0y ≥，是一原点为顶点，开口方向向上的抛物线，12,4p = ∴抛物线的准线方程为116y =-, 故答案为116y =-. 【点睛】抛物线22(0)x px p =>的准线方程是2p y =-, 抛物线()20x ax a =≠的准线方程是4a y =-, 11．320x y -+=．【分析】本题考查抛物线的定义与方程，主要用于准确落实抛物线的定义，关键在于首先确定点在直线上，然后可判定P 在过定点F 且与定直线垂直的直线上，从而利用直线的垂直关系求得P【详解】因为定点()1,1F 在直线:340l x y +-=上，所以到定点F 的距离和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点F 与直线:340l x y +-=垂直的直线．所以动点P 的轨迹方程是()1113y x -=-，即320x y -+=．故答案为：320x y -+=．【点睛】平面内到定点距离等于到定直线距离的动点的轨迹不一定是抛物线：当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与已知直线垂直的直线，当且仅当定点不在定直线上时，动点的轨迹才是抛物线.对圆锥曲线的概念的掌握一定要准确全面，此题易错误当成抛物线求解.12【分析】由题意可得双曲线为等轴双曲线，从而可得a b =，进而可求出离心率【详解】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即：a b =，所以c =，所以离心率c e a==13．6【分析】由双曲线与抛物线焦点重合，可得双曲线参数3c =，由222+=a b c 即可求m .【详解】由题意知：212y x =的焦点为(3,0)，而双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线焦点重合， ∴39m +=，即6m =，14．2212516x y += 【分析】设动圆的圆心为C ，半径为r ，结合图像，则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ，|CO 1|＋|CO 2|＝10，由椭圆定义即可得解.【详解】如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r .则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ，∴|CO 1|＋|CO 2|＝10，而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10，2c ＝6，b ＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y +=. 【点睛】本题考查了定义法求轨迹方程，考查了圆与圆内切的相关性质，考查了椭圆的定义，属于基础题.15．34【分析】根据双曲线的定义得1222PF PF -=结合题设条件得出12,PF PF ，由余弦定理即可得出12cos F PF ∠.【详解】由题意可得，12122PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1PF =2PF =因为124F F ==，所以222111122223cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅. 故答案为：34. 16．221416y x -= 【分析】由已知条件求出a 、b 的值，并确定双曲线的顶点位置，由此可得出该双曲线的标准方程.【详解】由于双曲线的一个顶点坐标为()0,2，可设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，则2a =，c ==4b ∴==，因此，该双曲线的标准方程为221416y x -=. 故答案为：221416y x -=. 17．22166x y -= 【分析】由e，可得：a ＝b ，设方程为221x y m m-=，带入点(4)，即可得解. 【详解】依题意，e，222c a =，可得：a ＝b ，设方程为221x y m m-=，带入点(4)，则16101m m-=，解得m ＝6. ∴22166x y -= 故答案为：22166x y -=. 18．(1,2)(2,3)【分析】由10m ->，30m ->且13m m -≠-可得．【详解】方程22113x y m m +=--表示椭圆⇔103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13m <<且2m ≠. 所以m 的取值范围是(1,2)(2,3) 故答案为：(1,2)(2,3).19．2【分析】由点到直线的距离公式列方程可得222a b =，再利用222a b c =+即可解决.【详解】=，得222a b =，因为222b a c =-，所以222a c =，故2c e a ==；. 20．3-或1【分析】分别讨论0m >，0m <两种情况，根据双曲线的虚轴长，即可得出结果.【详解】因为双曲线223x y m -=的虚轴长为2，①当0m >时，双曲线方程可化为2213x y m m -=1=，得1m =；②当0m <时，双曲线方程可以化为2213y x m m -=--，得3m =-；故实数m 的取值为3-或1.故答案为：3-或1.21．10【分析】直接利用椭圆方程，求解椭圆的长轴长即可.【详解】解：椭圆2251162x y +=的长轴在y 轴上，5a =，所以长轴长为：22510a . 故答案为：10.22．3y x =±【分析】直接将方程2209y x -=变形，即可得答案；【详解】22039y x y x -=⇒=±，故答案为：3y x =±.23．221916y x -= 【分析】由已知设双曲线方程为22(0)916x y λλ-=>，即221916x y λλ-=，从而可得291625c λλ=+=，进而求出λ的值可得双曲线的标准方程【详解】解：由题意设双曲线方程为22(0)916x y λλ-=>，即221916x y λλ-=，则229,16a b λλ==，因为焦点的坐标为(5,0)±，所以291625c λλ=+=，解得1λ=，所以双曲线的标准方程为221916y x -=，故答案为：221916y x -= 24．5【分析】根据椭圆的定义得出线段之间的长度关系，由此可得出答案．【详解】因为点P 在椭圆上，所以2122+10P F P F =，又2122P F P F =，所以215P F =，故答案为：5．25．椭圆【分析】直接由椭圆的定义可得解.【详解】动点M 满足1212106||MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆.故答案为：椭圆.26．4【分析】由题意得2493a -=+，从而可求出a 的值【详解】由题得2493a -=+，解得4a =或4a =-（舍去），故答案为：4【点睛】此题考查椭圆与双曲线共焦点问题，属于基础题27．y =【分析】根据离心率公式得到b a =. 【详解】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：b y x a=±，由题意离心率c e a ===b a =y =，故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，属于简单题.28．822m <<【分析】椭圆22221x y m n+=若表示焦点在y 轴上的椭圆，则0n m >>. 【详解】根据题意可得22060822216m m m m ->⎧⎪+>⇒<<⎨⎪>⎩.故答案为：822m <<【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.29．4,2m n ==（答案不唯一）.【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）.【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.30．1.【分析】利用抛物线的标准方程可得1p =，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果.【详解】抛物线22y x =的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得1p =.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.。