【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换 文
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
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思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
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要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
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2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
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【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案 解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是 答案 解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
负数 ，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝
π
.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的 弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理课件 文
即 2b2＝b2＋c2－2bccos A，又 c2＝b2＋ 2bc，
2 1 ∴cos A＝ 2 ，A＝45° ，sin B＝2，
又A>B，∴B＝30°，∴C＝105°.
解析答案
(3)(2015· 广东)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 1 π 1 ＝ 3，sin B＝2，C＝6，则 b＝________. 1 π 5π 解析 因为 sin B＝2且 B∈(0，π)，所以 B＝6或 B＝ 6 . π π 2π 又 C＝6，B＋C<π，所以 B＝6，A＝π－B－C＝ 3 . a b 又 a＝ 3，由正弦定理得sin A＝sin B，
第四章 三角函数、解三角形
§4.7 正弦定理、余弦定理
内容 索引
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析 审题路线图系列
思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外 接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理 a2＝ b2＋c2－2bccosA ；
所以 bc＝6 2，故 b＝3.
思维升华 解析答案
跟踪训练2
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝ 3 bsin A－acos B.
(1)求角B；
解 由 a＝ 3bsin A－acos B 及正弦定理，
π 1 sinB－6＝ . 2
得 sin A＝ 3sin B· sin A－sin A· cos B，
解 因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图
4.4 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及应用1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案 A解析 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D 项，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C 项，故选A.2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 3．若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8B.π4C.3π8D.5π4解析 f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.4．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.5．若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A ．2B.32C.23D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ωπ3－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴ω的一个可能值是2.6．(2019·某某省某某市一中、某某六中联考)已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，则|x 1－x 2|的值可能为( ) A.5π4B.3π4 C.π2D.π3解析 函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1 ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 变换后得函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋1的图象，易知函数y ＝g (x )的值域为[－1,3]． 若g (x 1)·g (x 2)＝9，则g (x 1)＝3且g (x 2)＝3，均为函数y ＝g (x )的最大值， ∴|x 1－x 2|的值为函数y ＝g (x )的最小正周期T 的整数倍，且T ＝2π4＝π2.7．(多选)将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )具有以下哪些性质( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝－π3对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos2x 的图象．对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝－π3时，g (x )＝32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝－π3对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称，故D 正确．8．(多选)已知函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1，下列四个结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数B ．点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到D ．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域为[0，2]答案 AB解析 函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，因此函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数，因此A 正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋π4＝2sinπ＝0，因此点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心，因此B 正确；由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos2x ，因此由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度不能得到函数f (x )的图象，因此C 不正确；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， ∴f (x )的值域为[－1，2]，因此D 不正确．9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为____________________．答案 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )解析 由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则周期T ＝π，即2πω＝π，则ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 设f (x )周期为T ，由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin2π3＝32. 11．(2020·黄岗中学模拟)已知函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝3sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1，∵周期T ＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .(2)∵g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )max ＝2×1＋1＝3.12.(2019·某某七校联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，其中点P (1,2)为函数f (x )图象的一个最高点，Q (4,0)为函数f (x )的图象与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位长度得到y ＝g (x )的图象，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的图象的对称中心．解 (1)由题意得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12. 又∵2πω＝12，∴ω＝π6.将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(2)由题意，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －2)＋π3＝2sin π6x .∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋23·sin π6x ·cos π6x ＝1－cosπ3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.由π3x －π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝3k ＋12(k ∈Z )． ∴函数y ＝h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋12，1(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)． 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝2k π＋π6或ωx 2＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2可得，φ的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.15．(2019·全国Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增；④ω的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B．②③C．①②③D．①③④ 答案 D解析 如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增，所以③正确．16．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解 (1)∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式
(教材习题改编)已知
cos
α＝－35，α
是第三象限角，则
π cos(4
＋α)为( )
A．
2 10
C．7102
B．－
2 10
D．－7102
解析：选 A.因为 cos α＝－35，α 是第三象限的角， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－（－35）2＝－45， 所以 cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝ 22·(－35)－ 22·(－45) ＝ 102.
又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝255，cos α＝ 55，则 cosα－π4
＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝ 55× 22＋255× 22＝31010.
答案：3
10 10
三角函数公式的直接应用
(1)已知 α∈π2，π，sin α＝153，则 tanα＋π4＝(
2．若 α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________． 解析：－1＝tan34π＝tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ， 所以 tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以 1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：2
三角函数公式的活用 (高频考点) 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题 的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数 公式．主要命题角度有： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．
角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知 sin α＋cos α＝13，则 sin2(π4－α)＝(
《新步步高》2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.2文档
1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.2．下列各角的终边与角α的终边的关系【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)1．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213答案 B解析 ∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 答案 A解析 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12.3．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255 C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 ∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2000，x －16，x >2000，则f [f (2 016)]＝________.答案 －1解析 ∵f [f (2 016)]＝f (2016－16)＝f (2000)， ∴f (2000)＝2cos 2000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34答案 (1)D (2)B解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.(2)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1答案 A解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 (1)－13(2)C解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}． 思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12， 则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝________. 答案 (1)12(2)1解析 (1)∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.(2)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin60°cos30°＋cos60°sin30° ＝32×32＋12×12＝1. 题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________________________________________________________________________. 答案 (1)C (2)－916解析 (1)2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝31010.(2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.思维升华 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45(2)已知sin(π－α)－cos(π＋a )＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α等于( )A ．0 B.12 C.32D.43答案 (1)D (2)D解析 (1)由已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35， 得cos α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23①， 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又π2＜α＜π， 所以sin α＞0，cos α＜0，sin α－cos α>0， 则sin α－cos α＝43.7．分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝________.(2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________. 思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综上①②，原式＝52或－52.(2)由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ，②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上，C ＝712π.答案 (1)52或－52 (2)712π温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．[方法与技巧]同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．[失误与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．若cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( ) A ．－24B.24C ．－2 2D ．2 2答案 C解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0 ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(13)2＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.2．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25 B ．－25C.25或－25 D ．－15答案 B解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， ∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1答案 B解析 由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0， 故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( )A.32B ．－32C.12 D ．－12答案 B解析 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0， 又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.6．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝_________________________________________. 答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74， 所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 7．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝_________________________________________.答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 9．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 答案 0解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin2α.解 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.12．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， sin B ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0，∴点P 在第二象限，选B.13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6等于( ) A.12B.32 C ．0D ．－12答案 A解析 由已知，得f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫176π＋sin 176π ＝f ⎝⎛⎭⎫116π＋sin 116π＋sin 176π ＝f ⎝⎛⎭⎫56π＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π ＝0＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋12＝12. 14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝________. 答案 2解析 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 15．若tan α＝1m，α∈(π，2π)，则cos α＝________. 答案 －m 1＋m 21＋m 2解析 由tan α＝sin αcos α＝1m和sin 2α＋cos 2α＝1， 得cos 2α＝m 21＋m 2， 当m ＞0时，α为第三象限角，cos α＜0， 所以cos α＝－m 21＋m 2＝－m 1＋m 21＋m 2；当m ＜0时，α为第四象限角，cos α＞0， 所以cos α＝m 21＋m 2＝－m 1＋m 21＋m 2. 故cos α＝－m 1＋m 21＋m 2.。
【步步高】高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形两角和与差的正弦、余弦和正切公式文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式文1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ .答案2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 90°－50°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ .答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tanα＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝12－131＋12×13＝17.4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin α＋π4＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 ． 答案 (1)－75 (2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ .(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ．答案 (1)35(2)－1解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ .答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)] ＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cosB ·cosC ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ．答案 (1)π4(2)3解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin (π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝ .答案539解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角． 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin2A ＋B ＝－53， ∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin 30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12 解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴c os α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3 ＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23 ＝3－223－123－123＋1 ＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.8 解三角形的综合应用 文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.8 解三角形的综合应用 文1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．( × )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)如图，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据a ，b ，γ进行计算．( √ )1．(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝________ n mile.答案 5 6解析 如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝60°，∠B ＝75°， ∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC ＝5 6.2．某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好为3千米，则x 的值是________． 答案3或2 3解析 依题意，x 2＋9－2×3x cos 30°＝(3)2， x 2－33x ＋6＝0，(x －3)(x －23)＝0，∴x 1＝3或x 2＝2 3.3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________ km(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)．答案 6.6解析 ∵AB ＝1 000×160＝503km ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝5032km.∴航线离山顶h ＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4 km.∴山高为18－11.4＝6.6 km.4．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 答案 70解析 设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________.答案π3解析 由题意得p ∥q ⇒4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)，又S ＝12ab sin C ，所以2ab sin C ＝3(a 2＋b 2－c 2)⇒sin C ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab ⇒sin C ＝3cos C ⇒tan C ＝3， 解得C ＝π3.题型一 求距离、高度问题例1 (1)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________ m.(2)(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 (1)50 2 (2)100 6 解析 (1)由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．(2)在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6. 思维升华 求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为________海里/小时．(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.答案 (1)1726 (2)30＋30 3解析 (1)由题意知，在△PMN 中，PM ＝68海里，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠MNP ＝45°.由正弦定理，得MN sin 120°＝68sin 45°，解得MN ＝346海里，故这只船航行的速度为3464＝1762海里/小时． (2)在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， 由正弦定理得PB sin 30°＝ABsin 15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， ∴树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m. 题型二 求角度问题例2 (1)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的______方向．(2)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝________. 答案 (1)北偏西10° (2)45°解析 (1)由已知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 又AC ＝BC ，所以∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， 所以灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°.(2)依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ×AD ＝ 305 2＋ 2010 2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．(2015·南京模拟)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)答案539解析 如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ， 连结AO ，则∠PAO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m. 在Rt△ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ， 所以BC ＝20 m. 所以cos∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625(m)．所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 题型三 三角形与三角函数的综合问题例3 (2015·成都外国语学校期末)已知函数f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)由题意知，f (x )＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3(1＋sin 2x )＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3.又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3.由A ＝π3，a ＝3， 得|BC →|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，① 又BC 边上的中线长为3， 知|AB →＋AC →|＝6，②联立①②，解得AB →·AC →＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274，∴|AB →|·|AC →|＝272.∴△ABC 的面积为S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2cos C ＋c ＝2b ，则△ABC 的周长的取值范围是_____________________________________．答案 (2,3]解析 在△ABC 中，由余弦定理可得2cos C ＝a 2＋b 2－c 2ab，∵a ＝1,2cos C ＋c ＝2b ，∴1＋b 2－c2b＋c ＝2b ，化简可得(b ＋c )2－1＝3bc .∵bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴(b ＋c )2－1≤3×⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，解得b ＋c ≤2(当且仅当b ＝c 时，取等号)．故a ＋b ＋c ≤3.再由任意两边之和大于第三边可得b ＋c >a ＝1， 故有a ＋b ＋c >2，故△ABC 的周长的取值范围是(2,3]．9．函数思想在解三角形中的应用典例 (14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思维点拨 (1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t 的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t 的取值范围． 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，[1分] 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t 2－600t ＋400＝900 t －132＋300.[3分]故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分]即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[9分] 故v 2＝900－600t ＋400t2.[10分]∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[13分] 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]温馨提醒 (1)三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题．(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义．[方法与技巧]1．利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．2．在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件． [失误与防范]1．不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为_______________________________________________________km.答案 6解析 如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°，∴ACsin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝22×32＝ 6. 2．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________ 海里． 答案 10 2解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________ km/h. 答案 6 2解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.4．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于________ m.答案 120(3－1)解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt△ACD 中，CD ＝ADtan∠ACD ＝60t an 30°＝60 3 m ，在Rt△ABD 中，BD ＝ADtan∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3 ＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.5.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于________．答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°， 所以BC ＝15 2.在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝152×3＝15 6.6．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船相距____m. 答案 10 3解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30 ＝10 3 (m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)．7．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.答案 4003解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°.又AB ＝200 m ，∴AC ＝40033 m. 在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2，∴CD ＝13 AC ＝4003 m. 8．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，且内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________． 答案 (1，2]解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]．9.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时． (2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.10.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74， 故PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin 30°－α， 化简得3cos α＝4sin α，所以tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________ m.答案 50解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，BC ＝3h .在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.12.如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________ n mile/h.答案 32解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°， 由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32. 13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 507解析 如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.14．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且A ，B ，C，D 四点共圆，则AC 的长为________ km.答案 7解析 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49， 故AC ＝7.15.在斜度一定的山坡上的一点A 处测得山顶上一建筑物顶端相对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点处测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．设此山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝______________________________________.答案 3－1 解析 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，所以∠ACB ＝30°. 又AB ＝100 m ，由正弦定理，得100sin 30°＝BCsin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin 90°＋θ ，解得cos θ＝3－1.。
《新步步高》2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.5文档
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.118 B.1718C.89D.29答案 B 解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin2α＝19， 解得sin2α＝－89， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718，故选B. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α等于( ) A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝________.答案 22 解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3， ∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos2α2sin (α＋π4)＝________. (2)设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值是________． 答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α ＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)∵sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( ) A.35B.45 C ．－35 D ．－45 (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 (1)A (2)C解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3) ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12D.32(2)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)B (2)C解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin45°＝22.故选B. (2)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3. 思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4B.π3C.π2D.3π4(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x 的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3答案 (1)A (2)B 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4. (2)f (x )＝1－cos2(π4＋x )－3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于() A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453，3(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223. 又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.6．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________． (2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝________. 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·河北冀州中学期中)cos85°＋sin25°cos30°cos25°等于( ) A ．－32B.22C.12D ．1 答案 C解析 原式＝sin5°＋32sin25°cos25°＝sin (30°－25°)＋32sin25°cos25°＝12cos25°cos25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.34答案 D解析 由sin2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．若tan θ＝3，则sin2θ1＋cos2θ等于( ) A. 3 B ．－ 3C.33 D ．－33答案 A解析 sin2θ1＋cos2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.4．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α等于() A ．－53 B ．－59C.59D.53答案 A解析 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153.∴cos2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53.5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.1318 B.1322C.322 D.16答案 C 解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin10°＝1－cos100°2(1＋sin10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin10°)＝1＋sin10°2(1＋sin10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．(2015·杭州模拟)函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值为__________． 答案 1－32解析 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最大值为1－32.9．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)10．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)等于() A ．－255 B ．－3510C ．－31010 D.255答案 A 解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255. 11．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C.2D. 3 答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 12．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos2α－32sin2α ＝12×23－32×53＝2－156. 13．设f (x )＝1＋cos2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.14．已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2. (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间；(2)已知角α满足α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1，求f (α)的值． 解 f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2 ＝sin x 2cos x 2＝12sin x . (1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，0. (2)2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒sin2α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， ∴f (α)＝12sin π4＝24.。
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用 理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.如下表所示：3.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( ³ )(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ³ ) (5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为 ． 答案 2，1π，－π42．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ) (0<φ<π2)是偶函数，则φ＝ .答案π3解析 因为y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x －φ ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0<φ<π2，所以φ＝π3. 3．(2015²湖南改编)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝ .答案π6解析 因为g (x )＝sin[2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ， 得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ k 1－k 2 π＋π2－φ.因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为 ．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12³(30－10)＝10，b ＝12³(30＋10)＝20，又12³2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8³10＋φ＝2π， 解得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．5．(2014²安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )． 当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1 已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表如下：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为 (填正确的序号)．①x ＝－π2；②x ＝－π4；③x ＝π8；④x ＝π4.(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ． 答案 (1)① (2)6解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程． (2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ²2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 题型二 由图象确定y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 ．(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为 ．答案 (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(2)f (x )＝2sin(2x ＋π3)解析 (1)由题意得A ＝2，T 4＝6－2，所以T ＝16，ω＝2πT ＝π8.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8³2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4. (2)由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2为最小值点，∴2³712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π， ∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝ .答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π， ∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2³512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为 ．答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6解析 设点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为y ＝sin(ωt ＋φ)．由题意可得，函数的初相位是π6.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.命题点2 方程根(函数零点问题)例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 ． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是 ． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m 2的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象性质综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ωx ＋φ －12cos ωx ＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2²π2，所以ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x . 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)y ＝2cos 2x ＋2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2x ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x －2sin 2x＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是 ．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)， 则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3， 即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)²cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)²cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，[6分]于是T ＝2π1＝2π.[7分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[9分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[12分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[13分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2² (sin x ²aa 2＋b2＋cos x ²b a 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． [失误与防范]1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是 ．答案 ④解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有④.2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为 ．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是 ． 答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2³512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，∴f (x )的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝ .答案π3解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0,0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ．答案 －32解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32.6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是 安． 答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin(100π³1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ .答案32解析 由题意可得，函数的周期为2³⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为 ．答案π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．(2015²天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3³1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4³π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为 ． 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析 观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω²0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.12．(2014²天津改编)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 ．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是 ． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝ . 答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)，21 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是______，取得最小值时，x 的取值集合为______________．答案 2 {x |x ＝6k π，k ∈Z }解析 ∵－1≤cos 13x ≤1，∴f (x )min ＝4－2×1＝2，此时的cos 13x ＝1，13x ＝2k π，∴x ＝6k π，k ∈Z .2．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为____________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z解析 sin x －cos x >0，即sin x >cos x .画出y ＝sin x 及y ＝cos x 在[0,2π]上的图象如图．由图象知原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z .3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 (x ∈[－π，0])的单调递减区间是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3解析 ∵由题意知2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，∴k π＋π6≤x ≤k π＋2π3 (k ∈Z )．又x ∈[－π，0]，∴－5π6≤x ≤－π3.5．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的零点，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,2)解析 令f (x )＝0，则m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故－π6≤2x －π6≤5π6，设2x －π6＝t ，则m ＝2sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，根据题意并结合函数图象(图略)可知m 的取值范围是[1,2).题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为____________． (2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为________．(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (3)1－22 解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为____________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π k ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z . (2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例 3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为________． 答案 ①②③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2， 故周期为π的有：①②③. 命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f (x )的图象，下列叙述正确的有________(填正确的序号)． ①关于直线x ＝π12对称；②关于直线x ＝5π12对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称； ④关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称．(2)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.答案 (1)② (2)－π6解析 (1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π＜π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴①、③错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴②正确，④错误．(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________． 答案 2解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为________．答案 (1)2或－2 (2)－33解析 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.4．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川改编)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________(填正确的序号)． ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ④y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，且|φ|<π2，则f (x )的单调递减区间为________________．(3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间；(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．解析 (1)对于①，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意．(2)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. ∴π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)① (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z(3)－1或3温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与对称轴的交点是最值点．[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．3．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，下列说法正确的是________(填正确的序号)． ①f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增； ②f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减； ③f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增； ④f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减． 答案 ②解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减． 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．答案 2－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．答案 2解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4ω，将⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.4．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是___________________．①是奇函数；②在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减；③⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心； ④最小正周期为π. 答案 ③解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，①错误；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，②错误；最小正周期为π2，④错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心，③正确．5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是__________． 答案 [0,1]解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 8．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________________．答案 [k π－3π8，k π＋π8]，(k ∈Z )解析 由f (π8)＝－2得，f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________． 答案 32解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π 解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ²360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|²r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|²r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表：4.如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段切线判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ³ ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( ³ ) (4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ .答案 －8解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ．①2k π＋45°(k ∈Z ); ②k ²360°＋94π(k ∈Z )；③k ²360°－315°(k ∈Z ); ④k π＋5π4(k ∈Z )．答案 ③解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z ) ，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确．3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 ． 答案2sin 1解析 设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1sin 1，∴2弧度的圆心角所对弧长为2r ＝2sin 1. 4．已知θ角的终边与480°角的终边关于x 轴对称，点P (x ，y )在θ角的终边上(不是原点)， 则xyx 2＋y 2＝ .答案34解析 由题意知角θ的终边与240°角的终边相同， 又∵P (x ，y )在角θ的终边上， ∴tan θ＝tan 240°＝3＝y x，于是xyx 2＋y 2＝y x1＋ y x2＝31＋3＝34. 5．函数y ＝2cos x －1的定义域为 ． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一 角及其表示例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 ．(2)若角α在第三象限，则角α2在第 象限．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) (2)二或四解析 (1)∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)设集合M ＝{x |x ＝k 2²180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4²180°＋45°，k ∈Z }，那么下列关系正确的是 ．①M ＝N ；②M ⊆N ；③N ⊆M ；④M ∩N ＝∅.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是 ．答案 (1)② (2)③解析 (1)方法一 由于M ＝{x |x ＝k2²180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4²180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .方法二 由于M 中，x ＝k2²180°＋45°＝k ²90°＋45°＝(2k ＋1)²45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4²180°＋45°＝k ²45°＋45°＝(k ＋1)²45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故③正确．题型二 弧度制的应用例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝|α|²R ＝π3³10＝10π3(cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋R ²|α|＝1012|α|²R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.即当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大． 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ．(2)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为 cm 和圆心角为 弧度时，扇形面积最大．答案 (1)－π3(2)1 2解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16³2π＝－π3.(2)设扇形圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2.∴S 扇形＝12|α|²r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. 题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为 ．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ．答案 (1)12 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32解析 (1)∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 即Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.命题点2 三角函数值的符号例4 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是第 象限角．(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第 象限角． 答案 (1)三 (2)二 解析 (1)∵sin α＜0，∴α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． (2)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．命题点3 三角函数线例5 满足cos α≤－12的角α的集合为 ．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析 作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .思维升华 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r .(2)根据三角函数定义中x 、y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在 ．①x 轴上； ②y 轴上；③直线y ＝x 上； ④直线y ＝－x 上．(2)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (1)① (2)(－2,3] 解析 (1)||cos α＝1，∴角α的终边在x 轴上． (2)∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为 ．(2)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为 ．思维点拨 (1)点P 转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P 点坐标和三角形边长的关系．(2)求函数的定义域可转化为解不等式－32＜sin x ＜32，利用三角函数线可直观清晰得出x 的范围． 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2， 则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，yP ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ) 温馨提醒 (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置．[方法与技巧]1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能取终边与单位圆的交点，则OP ＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． [失误与防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．给出下列四个命题：( ) ①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角．其中正确的命题有 个． 答案 3解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为 ． 答案3解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ， 所以3r ＝|α|²r ，所以α＝ 3.3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝ .答案 －43解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 4．若角α的终边在直线y ＝－34x 上，则2sin α＋cos α＝ . 答案 －25或25解析 设P (4a ，－3a )(a ≠0)是角α终边上任意一点，则OP ＝r ＝ 4a 2＋ －3a 2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，此时sin α＝－35，cos α＝45， 则2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. 当a <0时，r ＝－5a ，此时，sin α＝35，cos α＝－45， 则2sin α＋cos α＝65－45＝25. 5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是 ．答案 1解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 ． 答案π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝π3，r ＝2.7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为 ． 答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知， 角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝ .答案 －35解析 由题意及图，易知A 点的横坐标为－35， 所以cos α＝－35. 9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角|α|＝l r ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1²sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．所以圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝ .答案 1解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1. 12．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)，其中符号为负的是 ．答案 ③解析 与－1 000°终边相同的角是80°，所以－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；与－2 200°终边相同的角是－40°，所以－2 200°是第四象限角，则cos(－2 200°)>0；－7π2<－10<－3π，所以－10是第二象限角，则tan(－10)<0.13．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM .其中正确的是 ．答案 ②解析 角1718π在第二象限，OM <0，MP >0，∴②正确． 14．已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解 由题意，得r ＝3＋m 2，所以sin θ＝m3＋m 2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝5－3＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153. 15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ²π3＋t ²|－π6|＝2π.所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3²4＝4π3的位置，则xC ＝－cos π3²4＝－2，yC ＝－sin π3²4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π²4＝163π，Q 点走过的弧长为23π²4＝83π.。
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第二课时 解三角形的综合问题
个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件
的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
[针对训练] (2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边
分别为a,b,c,已知acos B+b·cos A=2ccos C.
-
-
=
=
=
+
+ ( -) +- - +
=
2
=4cos B+ -5≥2
=
·
-5
的最小值.
解:(2)由(1)得 cos(A+B)=sin B,
所以 sin[ -(A+B)]=sin B,
且 0<A+B<,
所以 0<B<,0<-(A+B)<,
所以-(A+B)=B,解得 A=-2B,
由正弦定理得
+
=
+
( -)+
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] (2024·江苏南通质量监测)在△ABC中,点D在边BC上,AB=3,
AC=2.
(1)若AD是∠BAC的平分线,求BD∶DC;
解:(1)法一 因为点D在边BC上,AB=3,AC=2,
所以在△ABD和△ACD中,由正弦定理,得
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换课件 文
5π 1 θ 15 (4)设 <θ<3π，且|cos θ|＝ ，那么 sin 的值为 .( × ) 2 5 2 5 (5)公式 asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值无
2 2
关.( × )
答案
2
考点自测
6 1 α － 3 1.已知 cos α＝ ，α∈(π，2π)，则 cos ＝________. 3 2
＝－8.
π 2 4 解析 原式＝cos 9· cos 9π·cos(－3π＋9π) π 2 4 π －cos 9· cos 9π·cos 9π·sin 9 ＝ π sin 9
解析答案
(2)已知
π cosθ＋4＝
π 10 0， ，则 2 10 ，θ∈
解析 α π ∵ ∈( ，π)， 2 2
1＋cos α ＝－ 2 2 6 ＝－ . 3 3
α ∴cos ＝－ 2
1 2 3 4 5
解析答案
1 2sin235° －1 －2 2. 的值为________. cos 10° － 3sin 10°
解析 2sin 35° －1 原式＝ 1 3 2 cos 10° － sin 10° 2 2
思维点拨
解析答案
温馨提醒
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的
联系，然后进行变换.
2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.
3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已
知条件中的函数解析式整理为 f(x) ＝ Asin(ωx＋ φ) 的形式，然后借助三
2 2
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 文1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ³ ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( ³ )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ³ ) (4)六组诱导公式中的角α可以是定义域内的任意角．( √ )(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )1．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝ .答案 －1213解析 ∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ．答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴2sin θcos θ＝79.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝23或－23. 又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.3．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 ．答案255解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝ . 答案 －23解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2， ∴α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －16，x >2 000，则f (f (2 016))＝ .答案 －1解析 ∵f (f (2 016))＝f (2 016－16)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ . (2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为 ．答案 (1)45 (2)32解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1 ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. (2)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2³18＝34，∴cos α－sin α＝32. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .答案 －1解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为 ．(2)已知A ＝sin k π＋α sin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ．答案 (1)－13(2){2，－2}解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.(2)∵当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}． 思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ .(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝ . 答案 (1)12(2)1解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3³360°＋120°)cos(3³360°＋210°)－cos(2³360°＋300°)sin(2³360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)³sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32³32＋12³12＝1. 题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝ . (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin －α－32π cos 32π－αcos π2－α sin π2＋α²tan 2(π－α)＝ .答案 (1)31010 (2)－916解析 (1)2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.② 由①②消去sin β， 解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝31010.(2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α －sin α sin α²cos α²tan 2α＝－tan 2α＝－916.思维升华 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(1)已知sin(3π＋α)＝lg1310，则cos π＋αcos α[cos π－α －1]＋cos α－2πcos αcos π－α ＋cos α－2π＝ .(2)(2015²朝阳模拟)已知sin(π－α)－cos(π＋a )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝ . 答案 (1)18 (2)43解析 (1)由于sin(3π＋α)＝－sin α， lg1310＝－13，得sin α＝13.所以原式＝－cos αcos α －cos α－1 ＋cos α－cos 2α＋cos α ＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α＝18. (2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23①， 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又π2＜α＜π， 所以sin α＞0，cos α＜0，sin α－cos α>0， 则sin α－cos α＝43.7．分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝ . (2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝ .思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综上①②，原式＝52或－52.(2)由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22， 当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上，C ＝712π.答案 (1)52或－52 (2)712π温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．[方法与技巧]同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [失误与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．(2015²福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于 ．答案 －512解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.2．已知2sin 2x ＋sin 2x 1＋tan x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π2，则sin x －cos x ＝ .答案22解析 原式＝2sin 2x ＋2sin x cos x1＋sin x cos x＝2sin x cos x sin x ＋cos xsin x ＋cos x＝2sin x cos x ＝12，由于π4<x <π2，此时sin x >cos x ，所以sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝ 1－12＝22. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3解析 由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0， 故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4．已知2tan α²sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝ .答案 －32解析 由2tan α²sin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0， 又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 ．答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.6．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ . 答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74， 所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 7．化简：sin 2α＋π ²cos π＋α ²cos －α－2πtan π＋α ²sin 3 π2＋α ²sin －α－2π ＝ .答案 1解析 原式＝sin 2α² －cos α ²cos αtan α²cos 3α² －sin α ＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 ． 答案 0解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.9．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α²1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α 1＋cos 2αsin 2α ＝cos α1cos 2 α＋sin α 1sin 2α ＝cos α1－cos α＋sin α1sin α ＝0.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. B 组 专项能力提升(时间：20分钟) 11．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝ . 答案 π3 解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 12．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在第 象限．答案 二解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2， ∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0， ∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0，∴点P 在第二象限．13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ． 当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝ . 答案 12解析 由已知，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫176π＋sin 176π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋sin 116π＋sin 176π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π ＝0＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＝12. 14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin 3π2＋θ ＋cos π－θ sin π2－θ －sin π－θ ＝ . 答案 2解析 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 15．已知f (x )＝cos 2 n π＋x ²sin 2n π－x cos 2[ 2n ＋1 π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值．解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2 2k π＋x ²sin 22k π－xcos [ 2³2k ＋1 π－x ] ＝cos 2x ²sin 2－xcos 2 π－x＝cos 2x ² －sin x2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[ 2k ＋1 π＋x ]²sin 2[ 2k ＋1 π－x ]cos 2{[2³ 2k ＋1 ＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋ π＋x ]²sin 2[2k π＋ π－x ]cos 2[2³ 2k ＋1 π＋ π－x ] ＝cos 2 π＋x ²sin 2π－xcos 2 π－x＝ －cos x 2sin 2x－cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007)＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014)＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1.。
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1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等． 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限3．正弦、余弦和正切函数的常用性质4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4.5．解三角形(1)正弦定理：a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．6．求三角函数最值的常见类型、方法：(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y＝a sin x＋bc sin x＋d型，化归为A sin x＋B cos x＝C型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y＝a(sin x＋cos x)＋b sin x·cos x＋c型，常令t＝sin x＋cos x，换元后求解(|t|≤2)．7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔(a·b)2＝(|a||b|)2⇔x1y2－y1x2＝0.(2)a·b＝|a||b|cos θ，变形： |a|2＝a2＝a·a，cos θ＝a·b|a||b|，a在b上的投影(正射影的数量)＝a·b |b|.注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．8．向量中常用的结论：(1)OA→＝λOB→＋μOC→ (λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A、B、C共线；(2)在△ABC中，若D是BC边的中点，则AD→＝12(AB→＋AC→)；(3)已知O，N，P在△ABC所在平面内．若|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则O为△ABC的外心；若NA→＋NB→＋NC→＝0，则N为△ABC的重心；若PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则P为△ABC 的垂心．热点一：三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及性质【典例】【2017则函数()f x在[0,]π上的单调减区间是▲ ．【考点定位】三角函数的性质.【题型概述】该类题主要包括三角函数的图象和变换以及已知图象确定解析式两种题型，已知图象求解析式这类型题的解决方法一般为利用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置；函数的图象变换这类型题，务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【跟踪练习1】【2017南京三模】在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．【答案】 2，两个交点. 【跟踪练习2】【2017的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数的sin 2y x =的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．考点：三角函数图像与性质 热点二：平面向量的数量积【典例】【2017南京三模】在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．【答案】3【考点定位】向量的坐标运算,向量的数量积及其应用，对角线互相垂直的四边形的面积的求 法，中档偏难【跟踪练习1】【2017苏锡常镇三模】在△ABC 中，AB AC ⊥，，AC t =，P 是△ABC所在平面内一点，若4||||AB ACAP AB AC =+，则△PB C 面积的最小值为 ▲ ．【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则热点三：三角函数与三角形问题的结合【典例】【2017苏北三市三模】如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．（2）在ABC △中，由正弦定理得，10分又3AD DB =，所以 ………………………………………12分 在BCD △中，由余弦定理得，14分【考点定位】正余弦定理的应用.【题型概述】该类题型将三角函数的图象和性质与正弦定理融合到一起，其解法往往是，既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；同时它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.【跟踪练习1】【2017南通三模】在锐角△ABC 中，，．若△ABC 的面积为，则的长是____．【答案】【跟踪练习2】ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________. ①若ABC ∆最小内角为α，则 ②若A B B A sin sin >，则A B >；③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ④若02=++AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <. 【答案】①④⑤【解析】对①，因为ABC ∆最小内角为α，所以时，tan x x >，，则cos sin 0x x x -<，所以上单减，由②sin sin A B B A >得，即()()F B F A >，所以B A <，故②不正确；对③，因为tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，则在钝角ABC ∆中，不妨设A 为钝角，有tan 0,tan 0,tan 0A B C <>>，故tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<,③不正确；对④，考点：1、解三角形正弦定理、余弦定理；2、向量. 热点四：三角变换、向量、三角形问题的综合【典例】【2017,2(sin ,cos )x x =．（1时，求⋅m n 的值；（2，求cos 2x 的值．【解析】解：（1 ……………………………4分6分（2………………………8分……………10分……………12分……………………………14分【考点定位】平面向量的坐标运算，两角和差的三角函数，正弦定理的应用，三角形面积公式. 【跟踪练习1】【2017盐城三模】设△ABC 面积的大小为，且32AB AC S ⋅=. （1）求sin A 的值；（2，16AB AC ⋅=，求AC ．【跟踪练习2】设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,a x x b x x ==∈（I a b =，求的值；（II ）设函数()f x a b =⋅，求()x f 的最大值．考点：1、三角恒等变形；2、三角函数求最值．。
【步步高】高三数学大一轮复习 4
§4.2 同角三角函数的基本关 系式及诱导公式
第四章 三角函数、解三角形
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 . (1)利用平方关系解决问题时，
(2)商数关系：
tan
α＝csoins
α α
题型二
三角函数的诱导公式的应用
【例 2】 (1)已知 cosπ6＋α＝ 33， 求 cos56π－α的值；
思维启迪 解析 探究提高
熟练运用诱导公式和基本关系式， 并确定相应三角函数值的符号是
(2)已知 π<α<2π，cos(α－7π)＝ 解题的关键．另外，切化弦是常用
－35，
的规律技巧．
求 sin(3π＋α)·tanα－72π的值．
思维启迪
解析 探究提高
题型分类·深度剖析
题型三
三角函数式的化简与求值
【例 3】 (1)已知 tan α＝31，求 2sin αcos1α＋cos2α的值；
思维启迪 解析 探究提高
三角函数式的化简与求值，都是
(2)化简：
按照从繁到简的形式进行转化，
tanπc－osα－coαs－2ππ－sinα－sinπ－－αα＋32π. 要认真观察式子的规律，使用恰
题型分类·深度剖析
变式训练 2
(1)化简：tancoπs＋－ααc－os3π2πs＋inα－si3nπ－α－α32π；
解 原式＝tacnosαc3oπs＋αsαin[－－s2inπ＋3π＋α＋απ2] ＝tan－αccoossααsinsin2π＋α α＝ta－n αcocossααscionsαα
(江苏专用)2017版高考数学专题4三角函数、解三角形31正弦定理、余弦定理理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题4三角函数、解三角形31正弦定理、余弦定理 理亠 sin A cos B cos C 3 .若 ----- =^—= ---------- ，则△ ABC 的形状为 三角形.a b c4.在△ ABC 中, B =n, AB=\匡，BC = 3,贝U sin A =.4、5. _________________________________________________ 在△ ABC 中, a =^3, b =^2, B = 45°,贝V c = ___________________________________________________ . ,2 —J3 T T 16 .已知△ ABC 中，角 A , B, C 的对边分别是 a , b , c ,且 tan B = -2 2 2, BC- BA =-,a 十 c —b 2贝H tan B = _________________.17. 在△ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,若 S =：(b 2+ c 2— a 2)，则 A = ________ .48. 锐角三角形的内角分别是 ______________________________ A B 、C,并且A >B 下面三个不等式成立的是 __________________________________________________ . ① sin A >sin B; ② cos A <cos B;③ sin A + sin B>cos A + cos B.9 .在锐角厶ABC 中, a , b , c 分别是角 A, B, C 的对边，已知 a , b 是方程x 2— 2 3x + 2 = 0的两个根，且 2sin( A + B —寸3 = 0,贝U c = ___________________ . c10.在厶ABC 中,角A 、B ____________________________________ C2 .在△ ABC 中，已知 b 2— be — 2c 2= 0, a = 6， cos A = 7，则厶ABC 的面积S =8所对的边分别为a、b、c,若-<cos A,则厶ABC勺形状为_______________________________________b三角形.11. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了 2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为_____________ m.a c12•设△ ABC的三个内角 A B, C的对边分别是a, b, c,且----- =-―，则A= .cos A sin C13 •如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为___________ •1 i 2入14. （2015 •江淮名校联考）已知点ABC的重心，且AGL BG若面一中面一B= 矿C则实数入= __________ .答案解析又由题知BGAB 得A <C 所以A= 45°.22 2解析 由 b - be — 2c = 0 可得(b + c )( b — 2c ) = 0.2 2 2•••b = 26在厶 ABC 中, a = b + c — 2bc cos A, 即 6 = 4c 2+ c 2— 4c 2• 7.二 c = 2，从而 b = 4.81・・ S AAB = 2bC Sin 3 .等腰直角两式相除，得1 — tan B= tan C,所以B — C — 45°,所以A — 90°, △ ABC 为等腰直角三角形.解析 由正弦定理知BCsin AAB sin C，所以 sin A =¥，解析 由正弦定理得 sin Aasin B b=sin C sinA cosB cosC —b — c4. 3 '70 10解析 由题意得 AC — AB + BC — 2AB- BC- cos B= 2 + 9 — 6灵—5,即AC — ,5，则 BC sin A AC sin B' 3 5 /曰 — ，得 sin A 2 sin A — 3 ；10 10 sin Asin 601 A= 2x4X 2X15J 磁+护〉〈述=9+爭2 2 +2 2 4 ,当 A = 120° 时，C = 180°— 45°— 120°= 15°, sin 15 ° = sin(45 ° — 30° ) = sin 45 ° cos 30 ° — cos 45 ° sin 30.6— .2n7. &1且 S = ^bc sin A,所以 sin A = cos A,n所以tan A = 1,所以A =—. 8.①②③解析 A >B ? a >b ? sin A >sin B ,故①成立.函数y = cos x 在区间［0 , n ］上是减函数， ■/ A >B,. cos A <cos B ,故②成立.n n在锐角三角形中，••• A + B>~2，二A >nn— B, 且 A , y — B € (0 ,专),则有 sin A >sin i 亍—B ，即 sin A >cos B ,同理 sin B >cos A ,. sin A + sin B >cos A + cos B,故③成立. 9. .6...c = b ，心―6+ 卫sin B 2=sin 30 ° cos 45 ° + cos 30 ° sin 45解析 由余弦定理得 2 2 2a + c —b = 2ac cosB,再由 B C- BA= 2，得 ac cos B = £ ,二 tanB * 2-护 B =22a + c — b_____ 2 —£ 2J 2= 1 2x22— 3.解析 因为 1 2 2 2 . S= 4(b + c -a)= 4(2bccos1A ) = ^bc cos A ,解析 ••• a , b 是方程x 2— 2 3x + 2= 0的两个根,a +b = 2 3, ab = 2.■/ sin( A + B )=#, 又sin C = sin( A + E ),• sin C=^ C= 2 .'：△ ABC 是锐角二角形，C € (0 , —) , C =—.232 2 2 2•根据余弦定理得： c = a + b -2ab cos C = (a + b ) — 3ab = 6,• c = ■ 6(负值舍去). 10. 钝角 sin C s^<cos A ，sin &sin B^s A ,所以 sin( B + A )<sin B cos 代即 sin B cos A^ cos B sin A — sin B cos A <0, 所以 cos B sin A <0, 又sin A >0,于是有cos B <0, B 为钝角， 故厶ABC 是钝角三角形. 11. 50 7解析 依题意得 OD= 100 m , CD= 150 m ,连结OC 易知/ OD = 180°—/ AOB= 60°，因此由余弦定理有OC = OD+ CD — 2OD- Ct cos / ODC1即 OC = 1002+ 1502— 2X 100X 150X 2，解得 OC 50 7(m).n12.7c解析 令 =k ,由正弦定理，得a = k sin A , c = k sin Csin Csin A sin Cn代入已知条件得 cos A = sin ― ，- tan A = 1 ,v A € (0 , n ) , • A = ~. 解析设顶角为C,因为 1 = 5c ,且 a = b = 2c ,解析 依题意得• C为最小角，由余弦定理得：a +b —c 4c + 4c —c 7cosC= 2ab = 2X2C X2C =14.-解析如图，连结CG并延长，交AB于点D,由ABC的重心，知D为AB的中点, ••• AG BG 二DG= -AB3由重心的性质得，CD= 3DG即CD= 2AB由余弦定理AC=AD+ CD —2AD- CD- cos / ADC B C=B D+ CD—2BD • CD" cos / BDC •••/ ADG-Z BD= n , AD= BD••• AC+ BC= 2AD+ 2CD,又—= —tan A tan B tan C'cos A cos B 2 入cos C+ =sin A sin B sin C 'sin A cos B+ cos A sin B sin C sin 2C AB 入 = = =2sin 佔in B cos C 2sin 佔in B cos C 2BC・ AC* cos CA B_ A B_ IB C+A C—A B = 5AB—A B=4，i即入=4.4 ,...c = b.心 =^^sin B。
【步步高】高三数学一轮 4
§4.3 三角函数的图像与性质高考会这样考 1.考查三角函数的图像：五点法作简图、图像变换、图像的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．复习备考要这样做 1.会作三角函数的图像，通过图像研究三角函数的性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论其图像、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1． “五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？2． 三角函数的图像和性质函数性质y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图像值域[－1,1] [－1,1] R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；对称中心：(k π＋π2，0)(k ∈Z ) 对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )；单调减区单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z )；单调减区间 [2k π，2k π＋π](k ∈Z )单调增区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z ) 间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z ) 奇偶性奇函数偶函数奇函数[难点正本 疑点清源] 1． 函数的周期性若f (ωx ＋φ＋T )＝f (ωx ＋φ) (ω>0)，常数T 不能说是函数f (ωx ＋φ)的周期．因为f (ωx ＋φ＋T )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T ω＋φ，即自变量由x 增加到x ＋T ω，T ω是函数的周期．2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1． 设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由正弦函数的图像知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π.2．y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝_______________________.答案 5 34π＋2k π，k ∈Z解析 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π (k ∈Z )，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .3． (·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确．4． 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为( )A ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π－π4，k ∈Z }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋π4，k ∈Z }答案 A解析 令π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π－π4，k ∈Z .5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ； ②函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像关于x ＝π12对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数； ④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①②④答案 D解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12不是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称轴；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数．题型一 三角函数的定义域、值域问题例1 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域；(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >09－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}．(2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图像，在同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.思维启迪：(1)化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)． (2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性的判定方法：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x .∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝π6答案 A解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.所以当x ＝5π6时，f (x )＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋π6＝－2 3.(2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图像的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由题设，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＝±a 2＋b 2， 即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2， 由此得到a ＝b .又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，∴aω⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0，从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ， 即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0<ω<5，∴ω＝2， 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f (x )的最小正周期是π.方程思想在三角函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．审题视角 ①求出2x －π3的范围，求出sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域．②系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两种情况讨论．③根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解． 规范解答解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，[3分]若a >0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5， 解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；[7分]若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.[11分]综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.[12分]温馨提醒 (1)对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝Aa sin(ωx ＋φ)或y ＝Aa cos(ωx ＋φ)的最值，但要注意对a 的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值．(2)再由已知列方程求解．(3)本题的易错点是忽视对参数a >0或a <0的分类讨论，导致漏解.方法与技巧1．利用函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)，求三角函数的值域(最值)．2．利用函数的单调性求函数的值域或最值．3．利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号)． 失误与防范1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .3．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝ sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R 答案 C解析 由题意得cos x ≥12，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z .2． y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的一个对称中心是( )A ．(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0答案 B解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0) (k ∈Z )， ∴令x －π4＝k π (k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－3π4得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.3． (·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上是减少的，则ω等于( ) A.23B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上是减少的，π2ω＝π3，∴ω＝32.4． 函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是( )A ．非奇非偶函数B ．仅有最小值的奇函数C ．仅有最大值的偶函数D ．有最大值又有最小值的偶函数 答案 D解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值，而且在R 上有f (－x )＝f (x )，所以正确答案为D. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为_____________________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π (k ∈Z )解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .6． 已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________． 答案 [－32，3]解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.7． 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝________.答案 43解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，且在这个区间上的最大值是3，所以2sinπ4ω＝3，且0<π4ω<π2，因此ω＝43. 三、解答题(共22分)8． (10分)设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则－54<k <－14，k ∈Z .∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .9． (12分)(1)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域；(2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域． 解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为(0,2]． (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分)1． (·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.2． (·上海)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．16B ．72C ．86D ．100答案 C解析 易知S 1>0，S 2>0，S 3>0，S 4>0，S 5>0，S 6>0，S 7>0.S 8＝sin π7＋sin2π7＋…＋sin 7π7＋sin 8π7＝sin 2π7＋sin 3π7＋…＋sin 7π7>0，S 9＝sin3π7＋sin 4π7＋…＋sin 7π7>0， S 10＝sin 4π7＋…＋sin 7π7>0， S 11＝sin 5π7＋sin 6π7＋sin 7π7>0， S 12＝sin 6π7＋sin 7π7>0， S 13＝sin 7π7＝0， S 14＝sin7π7＋sin 14π7＝0， ∴S 1，S 2，…，S 100中，S 13＝0，S 14＝0，S 27＝0，S 28＝0，S 41＝0，S 42＝0，S 55＝0，S 56＝0，S 69＝0，S 70＝0，S 83＝0，S 84＝0，S 97＝0，S 98＝0，共14个．∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是100－14＝86(个)．3． 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2， ∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且ω≥8k －2，k ∈Z ，∴ωmin ＝32，故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 函数y ＝2sin(3x ＋φ) (|φ|<π2)的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.答案π4解析 由题意得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4.5． 函数y ＝sin x ＋1sin x(0<x <π)的最小值为________．答案 2解析 令sin x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]．又y ＝1＋1t在t ∈(0,1]上是减函数，所以当t＝1时，y 取得最小值2.6． 已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x 时，f (x )＝sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；⑤f (x )的图像上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________． 答案 ①④⑤解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图像如图所示．由图像可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π (k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图像上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是 ①④⑤. 三、解答题7． (13分)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换 文1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( ³ ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos π＋α 2＝sin α2.( ³ )(3)在非直角三角形中有：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ．( √ ) (4)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( ³ )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ³ )1．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2＝________.答案 －63解析 ∵α2∈(π2，π)，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－23＝－63. 2.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为________．答案 －12解析 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.3．(教材改编)sin 15°－3cos 15°＝________. 答案 － 2解析 sin 15°－3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2.4．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为______．答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.5．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 答案π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)计算：tan 12°－34cos 212°－2 sin 12°＝________. 答案 (1)12cos 2x (2)－4解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋1 2²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ²cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝ 2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin 12°－60°12sin 48°＝－4.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)cos π9²cos 2π9²cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π9＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝________.答案 (1)－18 (2)4－3310解析 (1)原式＝cos π9²cos 29π²cos(－3π＋49π)＝－cos π9²cos 29π²cos 49π²sinπ9sinπ9＝－12sin 29π²cos 29π²cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)由题意可得，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝4－3310. 题型二 三角函数的求角问题例2 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝________.(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案 (1)π4 (2)－3π4解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255³31010－55³1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α²tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α²tan β＝－3a1－ 3a ＋1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α²tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0.∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．(1)若α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ²tan B ，则C ＝________. 答案 (1)－3π4 (2)π3解析 (1)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β ＋tan β1－tan α－β tan β＝12－171＋12³17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34³17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ²tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.题型三 三角恒等变换的应用例3 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ 1－2a sin θ ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．(1)(2014²课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.8．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (14分)(2015²重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．思维点拨 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决． 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，[5分]因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[7分](2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[8分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[10分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[12分] 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[14分]温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，φ的确定一定要准确．(2)将ωx ＋φ视为一个整体，设ωx ＋φ＝t ，可以借助y ＝sin t 的图象讨论函数的单调性、最值等．[方法与技巧]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换． 2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决． [失误与防范]1．利用辅助角公式，a sin x ＋b cos x 转化时一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角． 2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案 －79解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2³19－1＝－79.2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.答案 16解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16.3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________. 答案 35解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335， ∴32cos α－32sin α＝335，∴12cos α－32sin α＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－32sin α＋12cos α＝35.4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝________. 答案 －14解析 ∵a ⊥b ，∴a²b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为__________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2³π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )． 6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________． 答案 －210 解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35. ∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45. ∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22³(35－45)＝－210. 8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________. 答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12， 两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34. ∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0， ∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1－cos 2 α－β ＝－74. ∴tan(α－β)＝sin α－β cos α－β ＝－73. 9．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ 的值． 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322， 可得A sin 3π4＝2A 2＝322，解得A ＝3. (2)由f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π3 ＝3sin θ＝3，解得sin θ＝33. 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝3³63＝ 6. 10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2 ωx 2，x ∈R (其中ω＞0)． (1)求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1.由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝________.答案 π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.答案 π3 解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2 α－β ＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437³1314－17³3314＝32， 故β＝π3. 13．若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是下列中的____________．(填序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4；②⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；④⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 答案 ④解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1，所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π. 14．设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为____________________________________．答案 3解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点 P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3. 方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x ≥232tan x ²12tan x ＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.15．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x .∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π6＜α＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45³32－35³12＝43－310.。