弹塑性力学课件
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弹塑性力学第一章 PPT资料共54页
16.11.2019
10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
16.11.2019
11
§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
16.11.2019
12
§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如：
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j
i1
33
1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
16.11.2019
32
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系
16.11.2019
弹塑性力学
授课教师：龙志飞 目录
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
《工程弹塑性力学》PPT课件
工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
弹塑性力学课件
5．Ramberg-Osgood模型
其加载规律可写为： （ 9）
如取 就有
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
M1 C
等向强化模型
S
A
—— 是刻画塑性变形历史的参数
假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩：
[1] 由
则在颈缩时真应力应满足条件
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
颈缩时的条件也可写为：
即
结论： 拉伸失稳点C的斜率为其纵坐标值除以 (1 )
[3] 以截面积收缩比q为自变量
其中
——为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角 可见（33）式中有三个未知量 在不卸载的情况下，由本构方程：
得到 P 与 a 之间的非线性关系
结论： 随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能 变成不稳定的。
§1.8 弹性极限曲线
卸载时的载荷-位移曲线（见图9） 与初始弹性加载时的曲线有相同 的斜率。
应力和应变:
最终的应力和应变值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的叠加求得：
残余应力和残余应变:
特别地，当载荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到杆 中的残余应力和残余应变（见图10）为：
其中
节点O的残余位移为：
不产生新的塑性变形的限制条件：
其中
值满足
（37）式对应于图12中虚线所构成 的六边形区域。 说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。
弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
工程弹塑性力学·塑性位势理论
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
工程弹塑性力学·塑性位势理论
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学本构关系
1
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(1) 稳定材料与非稳定材料
弹塑性力学课件-10塑性极限分析
s ij ij
1 2
s
ij
ui x j
s
ji
u j xi
体力为零时：
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
ST
V
13
虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
fiui*dV
设机动允许的位移（速度）场 u * i
q ij*
破坏载荷： k Pi 应力场： s * ij
虚功率原理：
k Piui*dS
s
*
ij
i*j
dV
ST
V
s*
s s ij
*
ij
ij
s ij
l Piui*dS s iji*jdV
ST
V
k l
ST
s l
16
三．塑性极限分析定理
2. 上限定理：
机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何 方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移 （速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上 做功为正]
破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。k P
k ：机动允许载荷系数
限：Pl+= kP
（3）在多个破坏荷中取最小值： Plmin+
（4）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件， 则解：）Plmin+ =Pl 。否则： Plmin+ 为Pl 的一个上限解（近似
21
§10－3 梁的塑性极限分析
一．静定梁的极限分析
弹塑性力学(浙大课件)_图文
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
(a)
显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中
的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。
若设偏应力状态 ：
由于:
主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得
(b)
显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中
的任意两式和l1’2+l2’2+l3’ 2=1所确定
。
可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1
I2’应用较广,又可表达为:
(1.52)
1.3 应变张量
等效应变(应变强度):
(1.54)
等效剪应变(剪应变强度):
(1.55)
1.4 应变速率张量
一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，
而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:
设应变速率分量为:
质点的运动速度分量
1.4 应变速率张量
斜截面外法线n的方向余弦:
令斜截面ABC 的面积为1
(1.3)
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
(a)
显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中
的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。
若设偏应力状态 ：
由于:
主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得
(b)
显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中
的任意两式和l1’2+l2’2+l3’ 2=1所确定
。
可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1
I2’应用较广,又可表达为:
(1.52)
1.3 应变张量
等效应变(应变强度):
(1.54)
等效剪应变(剪应变强度):
(1.55)
1.4 应变速率张量
一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，
而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:
设应变速率分量为:
质点的运动速度分量
1.4 应变速率张量
斜截面外法线n的方向余弦:
令斜截面ABC 的面积为1
(1.3)
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
弹塑性力学讲稿课件
详细描述
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。
弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件
塑性力学
研究材料在塑性状态下应 力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假 设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。 塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。 塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满 足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关 系由本构方程描述，该方程反映了材 料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足 应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定 物体的边界条件和初始条件，求 解物体内部的应力和应变状态的 问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程 或积分方程来解决，具体方法取 决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的 刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀 的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的 最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性 质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严 谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的 解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便 地处理非线性问题。
工程弹塑性力学教学课件
实验设备与实验原理介绍
实验设备
弹塑性力学实验中常用的设备包括压力机、拉伸机、压缩机 、弯曲机等。
实验原理
介绍弹塑性力学的基本原理，包括弹性变形和塑性变形的基 本概念、应力应变关系、屈服准则等。
实验操作与数据处理方法介绍
实验操作
详细介绍实验操作步骤，包括试样制备、加载方式选择、数据采集等。
数据处理方法
工程弹塑性力学教学 课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹塑性力学基础知识 • 弹塑性力学分析方法 • 弹塑性力学在工程中的应用案例 • 弹塑性力学实验与实践教学 • 总结与展望
01 弹塑性力学概述
弹塑性力学定义与分类
弹塑性力学定义
弹塑性力学是研究物体在受力状态下 ，弹性变形和塑性变形相互作用的学 科。
塑性力学的基本方程
包括屈服条件方程、流动法则方程、 强化法则方程等。
弹塑性力学基本原理
弹塑性本构关系
描述材料在弹塑性状态下的应力 应变关系。
弹塑性稳定性理论
研究结构在弹塑性状态下的稳定性 问题。
弹塑性极限分析
确定结构在弹塑性状态下的极限承 载能力。
03 弹塑性力学分析方法
弹性力学分析方法
弹性力学基本原理
弹塑性力学基础知识
02
弹性力学基础知识
弹性力学的基本假设
包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设 等。
弹性力学的基本概念
包括应力、应变、弹性模量等。
弹性力学的基本方程
包括平衡方程、几何方程和物理方程等。
塑性力学基础知识
塑性力学的基本概念
塑性力学的基本应用
包括屈服条件、流动法则、强化法则 等。
包括压力加工、材料强度、结构稳定 性等。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
弹塑性力学课件
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. Albert Einstein
可以证明坐标转换矩阵具有正交性：βik βjk = βki βkj = δij 。
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
坐标变换
将向量看作 1 阶张量
u∗ j = ui βij
2 阶张量 T 的坐标分量满足 T∗ ij = βik βjl Tkl n 阶张量 R 满足下述坐标转换方程 R∗ i1 ······in = βi1 j1 · · · · · · βin jn Rj1 ······jn 而上述方程，在很多教科书中当作 n 阶张量的定义。
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
张量的并乘（张量积）
弹塑性力学PPT课件
在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的 解题方法，即：
1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解
边值问题的方法，称为位移法。
2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，
叫应力法。
3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的
一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量
混合求解。这种方法叫混合法。
.
20
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度
变化等因素的影响而发生的应力、应变和位
移及其分布规律的一门科学，是研究固体在
受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段
这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门
科学。
.
3
二、 弹塑性力学的研究对象
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
①．增量理论（流动理论）： ②．全量理论（形变理论）：
.
14
①．增量理论（流动理论）：
（i）Prandtl-Reuss理论
( 1 )
2
(a)
理想弹塑性材料
deij
1 2G
dsij
3d p 2
sij
，d m 3Kd m
（b）等向强化材料
deij
1 2G
dsij
3d 2
.
17
(4)．边界条件
（A）应力边界条件：
ij l j Fi ， (在ST上)
（B）位移边界条件：
1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解
边值问题的方法，称为位移法。
2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，
叫应力法。
3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的
一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量
混合求解。这种方法叫混合法。
.
20
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度
变化等因素的影响而发生的应力、应变和位
移及其分布规律的一门科学，是研究固体在
受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段
这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门
科学。
.
3
二、 弹塑性力学的研究对象
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
①．增量理论（流动理论）： ②．全量理论（形变理论）：
.
14
①．增量理论（流动理论）：
（i）Prandtl-Reuss理论
( 1 )
2
(a)
理想弹塑性材料
deij
1 2G
dsij
3d p 2
sij
，d m 3Kd m
（b）等向强化材料
deij
1 2G
dsij
3d 2
.
17
(4)．边界条件
（A）应力边界条件：
ij l j Fi ， (在ST上)
（B）位移边界条件：
《工程弹塑性力学》PPT课件_OK
0.25 1.0
[K46] [0]
22
0.7 单元划分应注意的问题
1. 单元大小及疏密——根据精度、计算能力综合. 主要部位、应力（位移）变化大的部位划细 应力误差与单元尺寸成正比 位移误差与(单元尺寸)2成正比
2. 单元的三边应尽量接近；应力、位移误差反 比于最小内角的正弦；
3. 结构尺寸或材料突变处划作单元边界，附近单 元划小；
m
9
• 形函数的性质
(1) (Ni )i=1，(Ni )j=0，(Ni )m=0 (2) 单元内任一点：Ni+Nj+Nm=1
3. 位移模式的矩阵表示
j Ni(x, y)
1 i
m
{
f
}
u
v
NNiiuvii
N N
ju jv
j j
N mum Nmvm
[N
]{
}e
其中
[N
]
Ni 0
0 Ni
Nj 0
[B]：应变矩阵； [S]：应力矩阵；
vi , (Vi)
三结点三角形单元中，[B]、 [S] y vj i ui , (Ui)
的元素均为常数，故这种单元又称 j uj vm
常应变单元，或常应力单元。
m um x
kii kij kim
[k
]
k
ji
k jj
k jm ,
kmi kmj kmm
[krs
uj
vm
m um
x
单元结点力向量{F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
单元结点位移向量{d}e=[ui vi uj vj um vm]T
•
体力、面力
静力等效 ——
塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件
一、按增量理论求解
对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
d z
1 E
d z
d
2 3
z
,
1 2
d z
1 2G
dz
d
z
(6-19)
无量纲化后得到：
消去 d 得：
d d d, d d d,
d d d d
(6-20)
(6 21)
由（6-18）式知 1 2 及 d d 0,
路径①沿OBC。在B点有0 0, 0 0。
A
在BC段上有 1 ln1 , 2 1
D ③
解出 e2y 1 tanh ,
e2y 1
O
在C点
e2 e2
1 1
0.76,
1 2 0.65
(6 30)
C ①
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
Tp 2 A pdxdy
6 100
就是截面的塑性极限扭矩。
仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时， p 表面必然是一个
圆锥，既然斜率是 s , 高度就应为 sa，按（6-100）式求出
Tp
2 3
sa3.
6 101
与（6-96）式相比可知对圆柱体
Tp / Te 4 / 3.
6 102
塑性力学简单的弹 塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 薄壁筒的拉扭联合变形 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的厚壁圆筒 §6.7 旋转圆盘
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1820，纳维建立各向同性弹性体方程 1821，柯西建立平衡微分方程、几何方程、广义胡克定 律 1838，格林指出各向异性体有21个独立的弹性常数，拉 梅肯定各向同性只有两个独立的弹性常数。
18
弹性力学的发展历程
线性理论发展（1854-1907）
主要进行应用 1855，圣维南提出圣维南原理 1862，艾里提出应力函数
深入发展时期（1907-）
1873，开始发展变分法 1932，迈克斯提出差分法 1946，出现有限元法
19
O( z )
x
x
f yxy
xy
fy
x
fx
fx
在正面上，两者正 方向一致， 在负面上，两者正 方向相反。
y
9
第二节
弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
材力：以拉为正
b
τzy τyz τzy
a
绕前后两面中心 轴的平衡方程：
第一章 绪论
1-1 弹性力学的内容 1-2 弹性力学中的几个基本概念 1-3 弹性力学中的基本假定
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学 --研究弹性体由于受外力、边 界约束或温度改变等原因而发生的应力、形 变和位移。 研究弹性体的力学，有“材料力学” 、 “结构力学”、“弹性力学”。它们的研究 对象分别如下：
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 -- 形状的改变。以通过一点的沿坐 标正向微分线段的正应变 和切 应变 来表示。 正应变 x , y ，以伸长为正，缩短为负。 切应变 xy , 以直角减小为正,用弧度表示。
11
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
是十分严格的：常常引用近似的计算假设 （如平面截面假设）来简化问题，并在许 多方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
3
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的 基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析。
2 yz zx y z 2 zy yx 0 2 2
τyz
yz zy
10
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理： 由微分体的平衡条件 Μ 0 得：
xy yx ,
xy 与 yx 不仅数值相同， 在弹力中，
符号也相同。 xy与 yx 数值相同，符号相反。 在材力中， 因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同 (为什么?)。
第一节
弹性力学的内容
学习目的
工科学生学习弹力的目的： （1）理解和掌握弹力的基本理论； （2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法（变分法、差分法 和有限单元法）解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学 科打下基础。
4
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对 象有什么区别？ 2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
第一章
绪论
外力
§1－2
弹性力学中的几个基本概念
外力 --其他物体对研究对象（弹性体） 的作用力。
5
第二节
弹性力学中的几个基本概念
体力
体力 --（定义）作用于物体体积内的力。 例如：重力、惯性力 （表示）以单位体积内所受的力来量
fx , fy , fz . 度，
（量纲）[力][长度]-3 （符号）坐标正向为正。
17
第三节
弹性力学中的基本假定
研究范围
弹性力学基本假定，确定了弹性 力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
弹性力学的发展历程
发展初期（1660-1820）
主要探索受力与变形之间的关系 1678，胡克发现弹性体变形与受力之间的关系 1807，托马斯．杨提出材料的弹性模量
理论基础的建立（1821-1855）
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于 ( , ) ( , ) 2 ( , ) 3 , 可略去 ( , ) 2 等项,使几何方程成为线性方程。
2
第一节 弹性力学的内容
研究方法
在研究方法上，弹力和材力也有区别： 弹力研究方法 ：在区域V内严格考虑
静力学、几何学和物理学三方面条件，建立 三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条 件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上 述方程，得出较精确的解答。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不
例：表示出下图中正的体力和面力
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
7
第二节
弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 --假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 --截面上某一点处，单位截面面积上 的内力值。 （量纲）[力][长度]-2 （表示）
o z x P A
yx
B y
α
C
xy
α
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 -- 一点位置的移动，用 u, v 表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。 变形前p x, y ,变形后 p x u , y v .
12
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。 2. 在d x d y 1 的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
第一章
绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上形变与位移的几何关系， 建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；
13
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上: 在给定面力的边界 s 上， 建立应力边界条件; 在给定约束的边界 su 上， 建立位移边界条件。 然后在边界条件下求解上述方程，得 出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素,从而建立 计算模型,并归纳为学科的基本假定。
14
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
弹性力学关研究理想弹性体（符合 连续性、完全弹性、均匀性和各向同性 的假定）的小变形问题的，这也是确定 了弹性力学研究的范围。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性--假定物体由同种材料组成。 因此， E、μ等与位置 ( x, y, z )无关。 （4）各向同性--假定物体各向同性。 因此， E、μ等与方向无关。 由（3）,（4）知E、μ等为常数 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
16
第三节
弹性力学中的基本假定
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性--假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。
15
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性 -- 假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示 （物理线性）。
z fy △Q F P fz △V x y fx
Q F V 0 V lim
6
第二节
弹性力学中的几个基本概念
面力
面力 --（定义）作用于物体表面上的力。 （表示）以单位面积所受的力来量 度， f x , f y , f z . （量纲）[力][长度]-2 （符号）坐标正向为正 。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
1
第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。 理论力学—不考虑物体内部的变形，把物 体当做刚性体来分析其静止或 运动状态。
第一节
弹性力学的内容
研究对象
弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
σ x-- x 面上沿 x向正应力， xy-- x 面上沿 y向切应力。
（符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。
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弹性力学的发展历程
线性理论发展（1854-1907）
主要进行应用 1855，圣维南提出圣维南原理 1862，艾里提出应力函数
深入发展时期（1907-）
1873，开始发展变分法 1932，迈克斯提出差分法 1946，出现有限元法
19
O( z )
x
x
f yxy
xy
fy
x
fx
fx
在正面上，两者正 方向一致， 在负面上，两者正 方向相反。
y
9
第二节
弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
材力：以拉为正
b
τzy τyz τzy
a
绕前后两面中心 轴的平衡方程：
第一章 绪论
1-1 弹性力学的内容 1-2 弹性力学中的几个基本概念 1-3 弹性力学中的基本假定
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学 --研究弹性体由于受外力、边 界约束或温度改变等原因而发生的应力、形 变和位移。 研究弹性体的力学，有“材料力学” 、 “结构力学”、“弹性力学”。它们的研究 对象分别如下：
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 -- 形状的改变。以通过一点的沿坐 标正向微分线段的正应变 和切 应变 来表示。 正应变 x , y ，以伸长为正，缩短为负。 切应变 xy , 以直角减小为正,用弧度表示。
11
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
是十分严格的：常常引用近似的计算假设 （如平面截面假设）来简化问题，并在许 多方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
3
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的 基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析。
2 yz zx y z 2 zy yx 0 2 2
τyz
yz zy
10
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理： 由微分体的平衡条件 Μ 0 得：
xy yx ,
xy 与 yx 不仅数值相同， 在弹力中，
符号也相同。 xy与 yx 数值相同，符号相反。 在材力中， 因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同 (为什么?)。
第一节
弹性力学的内容
学习目的
工科学生学习弹力的目的： （1）理解和掌握弹力的基本理论； （2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法（变分法、差分法 和有限单元法）解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学 科打下基础。
4
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对 象有什么区别？ 2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
第一章
绪论
外力
§1－2
弹性力学中的几个基本概念
外力 --其他物体对研究对象（弹性体） 的作用力。
5
第二节
弹性力学中的几个基本概念
体力
体力 --（定义）作用于物体体积内的力。 例如：重力、惯性力 （表示）以单位体积内所受的力来量
fx , fy , fz . 度，
（量纲）[力][长度]-3 （符号）坐标正向为正。
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第三节
弹性力学中的基本假定
研究范围
弹性力学基本假定，确定了弹性 力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
弹性力学的发展历程
发展初期（1660-1820）
主要探索受力与变形之间的关系 1678，胡克发现弹性体变形与受力之间的关系 1807，托马斯．杨提出材料的弹性模量
理论基础的建立（1821-1855）
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于 ( , ) ( , ) 2 ( , ) 3 , 可略去 ( , ) 2 等项,使几何方程成为线性方程。
2
第一节 弹性力学的内容
研究方法
在研究方法上，弹力和材力也有区别： 弹力研究方法 ：在区域V内严格考虑
静力学、几何学和物理学三方面条件，建立 三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条 件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上 述方程，得出较精确的解答。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
材力 也考虑这几方面的条件，但不
例：表示出下图中正的体力和面力
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
7
第二节
弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 --假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 --截面上某一点处，单位截面面积上 的内力值。 （量纲）[力][长度]-2 （表示）
o z x P A
yx
B y
α
C
xy
α
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 -- 一点位置的移动，用 u, v 表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。 变形前p x, y ,变形后 p x u , y v .
12
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。 2. 在d x d y 1 的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
第一章
绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上形变与位移的几何关系， 建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；
13
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上: 在给定面力的边界 s 上， 建立应力边界条件; 在给定约束的边界 su 上， 建立位移边界条件。 然后在边界条件下求解上述方程，得 出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素,从而建立 计算模型,并归纳为学科的基本假定。
14
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
弹性力学关研究理想弹性体（符合 连续性、完全弹性、均匀性和各向同性 的假定）的小变形问题的，这也是确定 了弹性力学研究的范围。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性--假定物体由同种材料组成。 因此， E、μ等与位置 ( x, y, z )无关。 （4）各向同性--假定物体各向同性。 因此， E、μ等与方向无关。 由（3）,（4）知E、μ等为常数 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
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第三节
弹性力学中的基本假定
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性--假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。
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第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性 -- 假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示 （物理线性）。
z fy △Q F P fz △V x y fx
Q F V 0 V lim
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第二节
弹性力学中的几个基本概念
面力
面力 --（定义）作用于物体表面上的力。 （表示）以单位面积所受的力来量 度， f x , f y , f z . （量纲）[力][长度]-2 （符号）坐标正向为正 。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
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第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。 理论力学—不考虑物体内部的变形，把物 体当做刚性体来分析其静止或 运动状态。
第一节
弹性力学的内容
研究对象
弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
σ x-- x 面上沿 x向正应力， xy-- x 面上沿 y向切应力。
（符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。