平面几何定理及公式

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平面几何基本定理

一．平面几何

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边

的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2．射影定理（欧几里得定理）

3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则

有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：2

222

22a c b m a -+=

4．垂线定理：2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高

线

长

：

C b B c A a

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定

理）

角平分线长：2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

（其中

p 为周长一半）

6．正弦定理：

R C

B b A a 2sin sin sin ===，

（其中R 为三角形外接圆半径） 7．余弦定理：C ab b a c

cos 2222

-+=

8．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C

两点间的一点D ，则有AB 2

·DC +AC 2

平面几何五大定理

平面几何五大定理 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一、燕尾定理：

在ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

S△AOB∶S△AOC=BD∶CD

S△AOB∶S△COB=AE∶CE

S△BOC∶S△AOC=BF∶AF

定理推广:

四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E则有BE ：DE=S△ABC ∶S△ADC

二、鸟头定理：

三、梯形蝴蝶定理:

如图，在梯形中，存在以下关系：

1. 相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2

2. S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab

3. S3=S4

4. S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)

5. AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)

定义推广：

四、等积变换定理：

五、沙漏定理：

平面几何常考定理总结(八大定理)

立体几何的八大定理

一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行

文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行.

符号语言：//a b a b αα⊄⎫

⎪

⊂⎬⎪⎭

⇒//a α

关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行

文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直

线就和交线平行.

符号语言：//l l m α

βαβ⎫

⎪

⊂⎬⎪⋂=⎭

⇒//l m

关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

符号语言：//a b a b A a b αα

αβββ

⊂⎫⎪⊂⎪⎪

⇒⎬⎪⎪⎪⎭

∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:

////a a b b αβαγβγ⎫

⎪

⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭

关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行

文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行

A l β

αa

五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直

文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

平面几何的17个著名定理

1«欧拉(Enter)线…

同一三角形的垂心*重心、外心三点共线，这条直线稀为三角形的欧拉线, 且外4与重心的距离等于垂心与重心距离的一半审

氛九点圆匕*

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶歳与垂心问线段的中点，共九个点共圆，这个風秫为三角形的九点圆；其圆心为三角形夕皿与垂心所连线段的中勲其半径等于三角形外接圆半径的一半• *

3.费尔马点…

己知 P 为锐SAABC 内一点，当ZAPB = ZBPC= ZCPA= 120° 时，PA +

PB + PC 的值最小，这个点P 称为AABC 的费尔马点。心

CP = 2.45 厘米

AP = 1.64 厘米

4、海伦(Heron)公式:：卩

在ZXABC 中，边BC 、CA. AB 的长分别为a 、b 、c,若严丄(a+b+c), “

则/XABC 的面积 S = Jp(p_a)(p_b)(p_c)，

7 p (p-AB>(p-BC)-(p-CA) = 8.96 殛米2

BC AD = 8.96 J#米

5、SK (Ceva)

在AABC 中，过AABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、

AB 与点D 、E 、F,则竺.—= 1；其逆亦真a

DC EA FB

BD = 2.78 MX DC = 1.95 厘米 CE = 1.64 厘米

EA = 2.23 厘米 AF =

2.31 厘米

FB = 2.42 厘米 6、密格尔(Kfeuel)点=♦

若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个

平面几何定理及公式

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

平面几何基本定理

一.平面几何

1．勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)(1)锐角对边的平

方,等于其她两边之平方与,减去这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其她两边的平方与,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.

2．射影定理(欧几里得定理)

3．中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边BC 的中点为P ,则有

)(22222BP AP AC AB +=+;

中线长:2

222

22a c b m a -+=

4．垂线定理:2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高线长

b B

c A a

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5．角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例.

如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则AC AB DC BD =;(外角平分线定理)

角平分线长:2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

(其中

p 为周长一半)

6．正弦定理:

R C

c B b A a 2sin sin sin ===,(其中R 为三角形外接圆半径) 7．余弦定理:C ab b a c

cos 2222

-+=

8．张角定理:AB

DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

9．斯特瓦尔特(Stewart )定理:设已知△ABC 及其底边上B 、C 两

点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD

高中易忘常用平面几何定理及公式

2021/10/10
19
23.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
24.从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
25.如果两个圆相切，那么切点一定在圆心连线上 26.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
2021/10/10
易忘常用平面几何定理及公式
2021/10/10
1
平行直线
1.同位角相等，两直线平行
2.内错角相等，两直线平行
3.两直线平行，同位角相等 4.两直线平行，内错角相等
2021/10/10
2
三角形：
1.三角形两边的和大于第三边
2.三角形两边的差小于第三边
3.直角三角形的两个锐角互余
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
9
矩形 1.矩形的对角线相等 2.有三个角是直角的四边形是矩形 3.对角线相等的平行四边形是矩形
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10
菱形 1.菱形的四条边都相等 2.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 3.菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（a×b）÷2 4.四边都相等的四边形是菱形 5.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
20
27.弧长公式和扇形面积公式，在弧度制下：弧长公式和扇形面积公式分别为 l＝__|α_|_·r__，S＝___12_l·_r_.

平面几何基本定理

一．平面几何

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边

3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有

)(22222BP AP AC AB +=+；

中线长：2

222

22a c b m a -+=

4．垂线定理：2

BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥

高

线

长

：

C b B c A a

c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=

5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线

段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定

理）

角平分线长：2

cos 2)(2A

c b bc a p bcp c b t a +=-+=

（其中

p 为周长一半）

6．正弦定理：

R C

B b A a 2sin sin sin ===，

（其中R 为三角形外接圆半径） 7．余弦定理：C ab b a c

cos 2222

-+=

8．角定理：AB

DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin

9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C

两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD

平面几何定理公理总结

线与角

1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。

直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。

一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。

2.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。不在同一直线上的三点确定一个角。

3.两直线相交，对顶角相等。

4.同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。

5.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。如果一个角的两边

分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

7.平行线

(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

(2)平行线的判定方法：

①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。

(3)平行线的性质：

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。

⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。

⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。

平面几何定理及公式

初等几何选讲复习资料二

平面几何定理及公式

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

平面几何著名定理

1、欧拉（Euler）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

2、九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点：

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

4、海伦（Heron）公式：

在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝2

（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝))()((c p b p a p p ---

5、塞瓦（Ceva ）定理：

在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、

AB 与点D 、E 、F ，则1=⋅⋅FB

EA CE DC BD ；其逆亦真

6、密格尔（Miquel ）点：

若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

7、葛尔刚（Gergonne ）点:

△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。

8、西摩松（Simson ）线：

已知

平面几何基本定理

在平面几何中，有一些基本定理被广泛应用于证明和解决各种几何问题。这些基本定理是我们理解和应用平面几何的基础。本文将介绍几个常见的平面几何基本定理。

一、直角三角形的勾股定理

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理。根据勾股定理，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有以下关系：c² = a² + b²

勾股定理可以帮助我们计算直角三角形中的边长，以及判断一个三角形是否为直角三角形。

二、平行线的性质

平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。平行线的性质有以下几个基本定理：

1. 若两条直线被一条平行线截断，那么它们被另一条平行线所截断的对应线段成比例。

2. 若两条直线被一条平行线截断，那么对应的内角和外角相等。

3. 若两条直线被一条平行线截断，那么对应的同旁内角相等，对应的同旁外角相等。

平行线的性质在证明和解决平面几何问题时经常被使用。

三、相似三角形的性质

相似三角形是指具有相等角度但是边长不一定相等的三角形。相似三角形的性质有以下几个基本定理：

1. AAA相似定理：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

2. AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则它们是相似的。

3. SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两边成比例，则它们是相似的。

相似三角形的性质可以帮助我们求解三角形的边长比例，以及推导出其他与三角形相关的性质。

四、圆的性质

圆是平面几何中的一个重要概念，其性质有以下几个基本定理：

关于平面几何的60条著名定理

关于平面几何的 60 条著名定理

些平面几何的著名定理

1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）

2、射影定理（欧几里得定理）

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分

成2：1 的两部分

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重

心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点

&设三角形ABC的外心为0,垂心为H 从0向BC边引垂线，设垂足为L,则AH=20L

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、

从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，

11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依

次位于同一直线（欧拉线）上

12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）

圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九

点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做

圆内接四边形的九点圆。

13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的

半径公式：r=（s-a）（s-b）（s-c）s , s 为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的

外角平分线交于一点

中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点15、

为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，贝U

有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2