第一课狭义相对论基础62

而是等于 x 1u2 / c2
o o
x x
图b 在S´系中测量
故有 x x 1u2 / c2 ut
将 x
x ut 1u2 / c2
代入上式并简化得
t
t-
u c2
x
1 - u2 /c 2
——洛伦兹变换式（4）
二、洛伦兹变换 (Lorentz Coordinate Transformation)
P点的坐标 x 等于oo´ 间距离ut 加上P到y´轴间距离。
但P点到y´轴间距离不等于x´，而是等于 x 1 u2/c2
故有 x ut x 1 u2/c2 或 x x - ut ——洛伦兹变换式（1）
1 - u2 /c 2
二、洛伦兹变换
分析 2 —— 在s´系 s´系：P出现于（x, y, z,t ）
根据爱因斯坦的观点，既然同时性是相对的，那 么长度测量也必定是相对的。即 运动棒的长度测量与参考系有关。
二、长度测量与参考系的关系
1. 条件 s´系的x´轴与s系的x 轴重合，且沿x 轴正方向以 速度u 运动。 棒A´B´固定在 x´ 轴上。
2. 分析（1）
在s´系中测棒A´B´长度，设为 l´ 。
y = y
y y
z = z
z z
t
t
-
u c2
x
1 - u2 /c 2
t
t
u c2
x
1u2 / c2
——洛伦兹变换
——洛伦兹逆变换
四、引入 β 和 γ 后的洛伦兹变换公式
若令 β u c
γ 1 1 β 2
则洛伦兹变换可写作 则洛伦兹逆变换可写作
x x - ut 1 - u2 /c 2
说明：
y = y
z = z
t
t
-
u c2
x
1 - u2 /c 2
1. 与伽里略变换相比，洛伦兹变换中的时间（空间） 坐标明显地与空间（时间）坐标有关。 —— 时间、空间和物质运动三者彼此相关。
2.当u<<c 时, 1u2 / c2 1 x x ut t t
二、长度测量与参考系的关系
说明:
l l 1 u2 /c 2
（3） 收缩效应完全是由于不同的惯性系的相对运动 而引起的测量结果的不同，是相对论的一种效
应。而物体在物理上并没有什么变化。
（4）牛顿绝对空间观是相对论空间观的近似。
当u << c 时, 1 u2 / c2 1 l l
y
y´u
A´ B´
o
x1
x2 x x´
t1+Δt 时刻A´ B´的位置
l x2 x1 ut
因Δ t 是B´ 和A´端相继通过 x1 这一点的两个事件 之间的时间间隔，故Δ t 是固有时或称一地时。
注意：其中Δt 由固定在x1点的一只钟测出。
二、长度测量与参考系的关系
y y´
2. 分析（3） 在s´系看来，棒是静止的。 由于s 系向左运动，x1 这一 点相继通过B´ 和A´ 这两事
y
y´
u
A´ B´
o o´
x1
x
x´
t1 时刻A´B´的位置
二、长度测量与参考系的关系
2. 分析（2）
y y´
在s系中测棒A´B´长度 设t1时刻棒的B´端经过 x1,
t1+Δt 时刻棒的A´端经
u
A´
B´
o
x1
x2 x x´
t1时刻A´B´的位置
过 x1 ， 则t1+Δt 时刻棒的B´端 一定在 x2= x1+uΔt 处。 故在s系中，棒长
u<<c
Lorentz变换
Galileo变换
普遍性（高速、低速）
局限性（力学特例）（低速）
可见 Galileo变换是Lorentz变换在低速下的极限形式。
二、洛伦兹变换 (Lorentz Coordinate Transformation)
说明： 3. 由 x
x - ut
知:
1 - u2 /c 2
第六章 狭义相对论基础
§6.1 力学相对性原理和伽利略变换 §6.2 狭义相对论的基本原理 §6.3 同时性的相对性和时间延缓 §6.4 长度收缩（运动的尺变短） §6.5 洛伦兹变换(相对论坐标变换 ) §6.6 相对论速度变换 §6.7 相对论质量动量和动力学基本方程 §6.8 相对论中质量动量和能量的关系
y
y´
u
A´ B´
o o´
x
x´
一、长度测量的基本原理
在某一参考系中测量棒的长度，就是测量它的两端 点在同一时刻的位置之间的距离。 1. 静止棒的长度测量
由静止的观测者用尺测量，与同时性无关 。 即 静止长度可同时测量也可以不同时测量。 2. 运动的棒的长度测量 测量其两端点在同一时刻的位置之间的距离。 结论：
§6.4 长度收缩(length contraction)（运动的尺变短）
结
论
在一个惯性系中，物体沿其运动方向的长度比静止 时缩短。
若 s 系相对于s 系以速率u 沿x 轴运动，尺A´ B´相对 于s 系静止，
l 为棒在s 系中的长度； l 为该棒在s 系中的长度；
则
l l 1 u2 /c 2
若u≥c, 则上式将没有物理意义。因此两参考系的
相对速度不可能等于或大于光速。
即任何两物体的相对速度都不可能等于或大于光速。
高能粒子加速实验
v2(×1016m2/s2)
（电子加速）
加速电压提高至数百万伏时 9.0
，eU=(1/2) m v 2 将失效 。
6.0
电子获得4.5 Mev 以上的能
量时，电子的速率v几乎恒 1.5
（2）固有长度 ( proper length ) 棒静止时测得的它的长度称作棒的静长或原长， 也称固有长度。
说明：（1）长度收缩是一种相对效应。 在s系中测量相对于s´系静止的棒的长度收 缩。同样在s´系中测量相对于s系静止的棒 的长度也作同样的收缩。
（2）收缩因子 1u2 / c2 仅仅与物体相对于观测 者的运动速度有关。（ 1u<2 / c12 ）
（5）长度收缩只发生在平行于运动的方向上，在垂 直于运动的方向上长度是不变的。
（用火车钻洞假想实验说明。）
（6）固有长度 l（ 静长）最长。
l
l
1u2 / c2
（因 1u2</ c12 ）
例6.3 （P309） 固有长度为5m 的飞船以u = 9×103 m/s 的速率相对 于地面（视作惯性系）匀速飞行。从地面上测量， 它的长度是多少？
Ek
定不变。
1.0 3.0 5.0 (Mev)
4. 基本的物理定律，包括电磁学和量子力学的基本定
律，都在洛伦兹变换下保持不变。——根本性意义
三、洛伦兹变换的逆变换公式
将洛伦兹变换中的 u 换为-u，带撇和不带撇的量对调， 则有
x x - ut 1 - u2 /c 2
x x ut 1u2 / c2
u = 0.99c 实验室测得的距离l =5 2m ，应为固有长度。
从π介子的参考系中测量此距离应为
l l 1 u2 / c2 52 1 0.992 7.3 (m)
而实验室飞过这一段距离所用的时间为
t l 7.3 2.5108 (s) u 0.99c
这正好就是静止π介子的寿命。
x (x ct)
x (x ct)
y y
y y
z z
t (t x)
c
z z
t (t x)
c
小
结
牛顿的绝对时空观
（经典时空观）
VS
爱因斯坦的相对论时空观
小
结
一、牛顿的绝对时空观（经典时空观）
1. 绝对时间：时间的量度与参考系无关。 2. 绝对空间：空间的量度与参考系无关。 3. 时间与空间是相互独立的。 二、爱因斯坦的相对论时空观 1. 时间延缓 t Δ t
解：
依题意l ´= 5m 是固有长度,
l l 1u2 / c2
5 1[(9103) /(3108)]2 1 (3105)2
5[1 1 (3105 )2 ] 4.999999998 (m) 2
提示： 幂级数展开式
(1
1
x) 2
1
1
x
1

1
x2
条件：
有s´两沿个x 惯轴性以参速照度系u 运s 动和。s´，
设t = t´= 0时刻o与o´重合，
时刻 t 在点P发生一个事件。
分析1 ——在s系
s系：P出现于( x, y, z,t )
s系 S´系
y
y u
ut
x 1u2 / c2
x
o o
P（x,y,z,t)
x x
图a 在S系中测量
在s系中测量 （图a） ——时刻为t ,
1u2 / c2
l u
1u2 / c2
又因 l ut t l / u 所以 l l 1 u2 /c 2
可见，在s系中测的棒长比在s´系中测的棒长要短些。
二、长度测量与参考系的关系
3. 结论 ——沿运动方向长度收缩
（1）长度收缩 —— l l 1 u2 /c 2 在一个惯性系中，物体沿其运动方向的长度比静 止时短的效应称作长度收缩。
-u
A´
B´
o
x1 x x´
x1经过B´点
y
y´
件之间的时间间隔若为t ´ , -u
则
t l