线段间的数量关系
九年级数学几何综合专题复习教案——与线段数量关系有关的探究问题
离根本模型，根据线段关系的常见类型，逐层猜测，再利用全等或相似等知识进展推理论证。
四、课后补练：
A
1、四边形 ABCD 是正方形，F、E 分别是 DC 和 CB 延长线上的点，
D
且 DF=BE，连接 AE、AF、EF。
〔1〕求证：△ADF△≌△ABE
F
〔2〕△ABE 可以看成是△ADF 以点 为旋转中心，按顺时针方
C
C
A
D
图4
B
B
A
D
图5
二、典例
分析：
例题：如图，把图 5 中∠ADC 绕点 D 旋转，其直角的两边分别与 AC、BC 边交于点 E、F。
问题一：求证：DE=DF
问题延伸：连接 EF，可知△DEF 的形状为
。
问题二：猜测线段 AE、BF、AC 之间的数量关系，说明理由。
问题延伸：那么线段 AE、BF、DA 之间的数量关系是
。
问题三：猜测线段 AE、BF、EF 之间的数量关系，并证明。
问题延伸：那么线段 AE、BF、DF 之间的数量关系是
。
变式一：假设 EF 交 DC 于点 G，试探究线 D G、DC、EF 之间的数量关系，并证明。〔注意分析图形， 归纳探究方法，并适当做拓展延伸〕
变式二：角在移动中，请问线段 CG 是否有最大值？假设有，求出最大值。假设没有，请说明理由。 〔注意一题多解，给学生充裕的时间思考，提倡交流讨论，鼓励学生讲解〕
微专题 直角三角形中根号二、根号三倍的线段数量关系
针对训练 1. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，过C作AB边上的高CD，H为 BC边上的中点，连接DH，点F是CD上一点，且DF＝AD，连接BF并延长交AC 于E，交DH于G.用等式表示线段BG与AE之间的数量关系.
第1题图
解：如解图，连接CG，AG. ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴DC＝DB， ∵AD＝DF， ∴△ADC≌△FDB(SAS)， ∴∠ACD＝∠FBD， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠CEF＝∠FDB＝90°， ∴BE⊥AC，
方法一利用等腰直角三角形构造含倍关系的线段问题看到45角时要考虑到通过构造等腰直角三角形来转换线段之间的数量关系
微专题 直角三角形中 2 、3倍的线段数量关系
方法一 利用等腰直角三角形构造含 2倍关系的线段问题
方法解读
看到45°角时，要考虑到通过构造等腰直角三角形来转换 线段之间的数量关系. 如图，Rt△ABC，∠B＝45°. 结论：BC＝ 2 AC＝ 2 AB；AB＝AC＝ 2 AD＝ 2 BD ＝ 2 DC
第2题图
解：线段AG与CG之间的数量关系为AG＝ 3 CG. 证明：如解图，作CH⊥AG于点H. 由题意可知，∠ECF＝∠ACG＝120°. ∴∠FCG＝∠ACE. ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝ 30°. ∴∠AGC＝30°. ∴CA＝CG. ∴HG＝ 1 AG.
线段之间数量关系
1．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE=AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB=∠EAB ，连接AG ．（1）如图①，当EF 与AB 相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG ；（2）如图②，当EF 与CD 相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论．
2．已知平行四边形ABCD 中，G 为BC 中点，点E 在AD 边上，且∠1=∠2（1）求证：E 是AD 的中点；（2）若F 为CD 延长线上一点，连接BF ，且满足∠3=∠2．求证：CD=BF+DF ．
11．已知▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且
AC ⊥AD ，∠ADC=45°，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，交AB 于点F ，连接OF ，点M 为CD 的中
点，连接EM ．（1）若BC=6，求EM 的长；（2）求证：CF+OF=DO ．
20．如图，矩形ABCD 中，点E 为矩形的边CD 上任意一点，点P 为线段AE 中点，连接BP 并延长交边AD 于点F ，点M 为边CD 上一点，连接FM ，且∠1=∠2．（1）若AD=2，DE=1，求AP 的长；（2）求证：PB=PF+FM ．
22．已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP ⊥CF ，交AD 延长线于点P ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（2）求证：CP=BM+2FN ．
六年级春季班第16讲：线段的相等与和、差、倍-张教师版
线段的相等与和、差、倍
内容分析
线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容.重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义.另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图
语言描述画法.
1、线段的表示
(1)可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点.如图所示:
线段可以用表示端点的两个字母A、B表示，记作线段AB.
A i
(2)也可以用一个小写英文字母，如图所示：
线段可以用小写英文字母a表示，记作线段a.
2、线段的大小比较
通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”.
线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法.叠合法如下：
将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD叠合.这时
端点B可能的位置情况如下表:
图形
点B的位置付万表/」、
情况一
A | --------- IB
(A) (B)
C123 1 D
点B在线段CD上(C、
D之间)
记作：AB < CD (或
CD > AB)
情况二
A 1 --------- IB
(A) (B)
1---------- 1
C D
点B与点D重合记作：AB = CD
情况三
A |------------- IB
(A) (B)
1---------- 1--- 1
C D
点B在线段CD的延长
线上
记作：AB > CD (或
CD < AB)
3、如图，已知线段用圆规、直尺画出线段使
中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题
专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．
产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．
一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，
点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．
【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
点数和线段条数的关系
点数和线段条数的关系点数和线段条数的关系包括：
1、两端,点的数目等于线段个数加一；
2、不包括两端,点的数目等于线段个数减一；
3、一般我们会把点当成树来说；
4、包括两端,树的棵树等于段数加一；
5、不包括两端,树的棵树等于段数减一。
数量关系与线段图
三年级数学应用题解题基础训练
一、数量关系：
１. 部总关系（合与分）：部分数与总数的关系
〖部分数＋部分数＝总数〗
图解：
口述：知道两部分的数量（或几部分的数量），求总数，用加法来算。
例如：男生人数＋女生人数＝全班人数
原来有的只数＋买来的只数＝现在的总只数
剩下的人数＋走了的人数＝原有的人数
〖总数－部分数＝部分数〗
图解：
或
口述：知道总数和一部分数，求另一部分数，用减法来算。
例如：全班人数 － 男生人数 ＝女生人数
原有的人数－下车的人数＝剩下的人数
原有的人数－剩下的人数＝下车的人数
【付出的钱数－买东西用的钱数＝应找回的钱数】
部分数 部分数 总数
部分数 部分数 ？ 总数
部分数 ？
部分数 总数
２. 相差关系（比较）：大数、小数、相差数的关系
（１）〖较大数－较小数＝相差数〗
图解：
或
口述：知道比较的两个数量，求较大数比较小数多多少？或者求较小数比较大数少多
少？即求相差数，用减法来算。
举例: 一（2）班男生有30人，女生有20人，男生比女生多多少人？
想：因为男生有30人，女生有20人，故男生为较大数，女生为较小数，求男生比女
生多的人数，即求男生与女生的相差人数，所以用减法来算。
例如：男生人数－女生人数＝男生比女生多的人数
＝女生比男生少的人数
篮球价钱－足球价钱＝篮球比足球贵的钱数
＝足球比篮球便宜的钱数
【如何找出比较关系中的较大数、较小数、相差数】
甲数
多多少？
乙数
较大数 甲数
乙数
（相差数） 少多少？
较小数 较大数
鸭 （相差数）鸭比鸡多2只
较小数5只 鸡 较大数？只 鸭 鸡比鸭少2只
鸡 较大数 7只
３.份总关系：每份数、份数、总数的关系
四年级下册数学线段表示数量关系
在四年级下册的数学学习中，线段可以用来表示数量关系。以下是一些常见的数量关系问题和线段的应用：
长度比较：通过比较线段的长度，学生可以理解不同数量之间的大小关系。例如，给出两个线段，让学生比较它们的长度，并判断哪一个更长或更短。
分割线段：学生可以将一个线段按照特定的比例或数量关系进行分割。例如，给出一个线段AB，要求学生将它分成三等分或五等分，学生可以使用刻度线段来表示分割的位置。
连线和图形构建：学生可以使用线段构建各种图形，如三角形、正方形、长方形等。通过线段的组合和排列，学生可以了解不同形状和图形的数量关系。
比例关系：线段可以用来表示比例关系。例如，给出一个线段AB，要求学生用另一个线段CD表示AB的2倍或3倍长度。学生可以利用线段的比例关系进行测量和构建。
通过以上的学习活动和问题，学生可以通过线段的表示来探索和理解数量关系。这种视觉化的表示方式可以帮助学生更好地理解数学概念，并培养他们的空间思维能力和逻辑推理能力。
暑假突破：证明线段间的关系技巧
暑假突破：证明线段间的关系技巧
名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．
一、证明两线段的数量关系
(类型1) 证明两线段的相等关系
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO 与BC边交于点M，与DE交于点N.
求证：BM＝MC.
证明：∵DE∥BC，
(类型2) 证明两线段的倍分关系
2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE.
证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，
易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，则：
又∵BA＝2BD，所以CF＝2CE.
又AM平分角BAC，
所角BAM＝角CAM.
角CAM＝角F.
则AC＝CF.
因此AC＝2CE.
二、证明两线段的位置关系
(类型1) 证明两线段平行
3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，
EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.
(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．
(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．
解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：
由EF∥BC，易知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.所以
∵E为AB的中点，EF∥BC，
所以F为AC的中点．
又∵DF∥AB，则D为BC的中点．
所以BD＝CD.
2023年中考数学总复习专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题(学生版)
（全国通用）
专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题
图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．
产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．
一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．
一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．
【例1】（2022•武汉模拟）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；
（3）如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．
【例2】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为，，．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【例3】（2022•河南三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．
猜想与证明三条线段之间的数量关系
二、自主探究，合作交流：
猜想－探索-归纳-结论
、已知正方形ABCD，BE=CF，探索AE与BF的数量关系与位置关系。学生回答，以示鼓励。
合理分析，
意的各种可能性，
物体框架，
视图
平移后到B1F，线段AE与B1F还相等吗？、是正方形内任意一点，MN⊥PQ，它们还相等
移到正方形的外部呢？
三、类化练习，拓展创新。
）你获得哪些证明方法？
）出示例题：
如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，以点MON=90°。当∠MON绕点O旋转，且射线OM
的边AB、BC于点E、F时，BO、EF交于点P．
（1）证明：△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF
（2）探究BE、BO、BF 这三条线段长度具有怎样的数量关系（3）探究AE、EF、FC 这三条线段长度具有怎样的数量关系
数学线段的知识点总结
数学线段的知识点总结
一、线段的概念
1.1 线段的定义
线段是两个端点之间的直线部分。线段的两个端点可以是任何点，它们的位置决定了线段的长度和方向。
1.2 线段的表示
线段可以用两个端点的坐标表示，也可以用一个字母表示。例如，线段AB可以用AB表示，也可以用符号[a, b]表示，其中a和b分别是线段的端点。
1.3 线段的长度
线段的长度是指两个端点之间的距离，可以用数学工具计算。线段的长度通常用绝对值表示，例如线段AB的长度通常表示为|AB|。
1.4 线段的方向
线段的方向由其两个端点决定，可以用箭头符号表示。例如，如果线段AB的方向是从A 指向B，则可以用AB表示；如果方向是从B指向A，则可以用BA表示。
二、线段的性质
2.1 线段的等长性
如果两个线段的长度相等，则它们是等长的。等长的线段具有相同的长度，可以通过数学计算来证明。
2.2 线段的中点
线段的中点是指线段上到两个端点距离相等的点。线段的中点通常可以用线段的两个端点的坐标求得。
2.3 线段的延长
线段可以向两个方向延长，得到一条射线。这条射线的起点是线段的一个端点，方向是线段的延长方向。
2.4 线段的平分
线段可以被一条直线平分，得到两个等长的线段。这条直线称为线段的中垂线，它垂直于线段，并通过线段的中点。
三、线段的计算
3.1 线段的坐标
线段的两个端点的坐标可以用来计算线段的长度和方向。如果知道了两个端点的坐标，可以通过距离公式计算线段的长度，通过向量计算得到线段的方向。
3.2 线段的向量表示
线段的方向可以用向量表示，可以用向量的加法、减法和数量积等运算来处理线段的性质和计算问题。
三条线段的数量关系解题方法
三条线段的数量关系解题方法
三条线段的数量关系解题方法通常涉及以下几个方面：
1.比较法：
直接比较三条线段的长度，确定它们之间的大小关系。
例如，有三条线段a, b, c，如果a > b且b > c，则a > b > c。
2.代数法：
当线段长度与某些变量或表达式有关时，可以通过代数运算来找出它们之间的关系。
例如，如果线段a的长度是x + 2，线段b的长度是2x，线段c的长度是x - 1，我们可以通过比较这些表达式来确定线段的大小关系。
3.利用几何性质：
在几何图形中，某些线段的长度可能受到特定几何性质的约束。
例如，在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这些性质可以用来判断线段的可能长度。
4.方程法：
如果知道线段之间的某种数量关系，可以设立方程来求解。
例如，如果知道两条线段a和b的和等于第三条线段c的长度，可以设立方程a + b = c来求解。
5.比例法：
当线段之间成比例关系时，可以利用比例的性质来解题。
例如，如果线段a与线段b成比例，即a/b = k（k为常数），那么可以通过这个比例关系来找出其他线段的长度或它们之间的关系。
6.图形结合法：
在解决复杂问题时，画出图形可以帮助直观地理解线段之间的关系。
例如，在解决与三角形、四边形等几何图形相关的问题时，画出图形并标注线段的长度和角度等信息，有助于找到解题的线索。
请注意，具体使用哪种方法取决于问题的具体条件和要求。在实际解题过程中，可能需要结合多种方法来找出线段之间的数量关系。
中考数学线段数量关系探索
中考数学线段数量关系探索
几何中的基本图形就是线段。与线段有关的问题主要是考查数量关系与位置关系。
线段的数量关系的问题比较多，有2条、3条或者4条之间的关系。
简单的就是相等、倍数，乘积或者勾股、截长补短等等各种关系。方法考查相似、全等、勾股等居多。
其中以下地区都有涉及：
2019·泰安、2019·怀化、2019·大庆
2019·柳州、2019·兰州、2019·广元
2019·苏州、2019·天门、2019·岳阳
2019·泰州、2019·聊城、2019·广东
2019·荆门、2019·孝感、2019·常德
2019·黄石、2019·河池、2019·毕节
2019·宜昌、2019·宜昌、2019·深圳
2019·广西、2019·黄石、2019·杭州
2019·成都、2019·湘西、2019·哈尔滨
【中考真题】
一、3、4条线段的比例或乘积关系
1．（2019·泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE·AB＝DE·AP；
【分析】
题（1）比较基础，主要是证明菱形的四条吧相等来证明菱形；
题（2）设计4条线段的乘积关系，首先想到的就是转化为比例式，再找三角形相似。
如果AE与DE组成三角形，那么AB与AP也组成三角形。
AE·AB＝DE·AP
发现两个三角形并不相似。
如果AE与AP组成三角形，则AB、DE无法组成三角形。
AE·AB＝DE·AP
因此题目暗示需要进行转化才可以。
小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)
线段图解题
主要内容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。
重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。
意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。
一、线段图解题方法和技巧：
什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。
1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据；
2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段；
3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小；
4、画多条线段时，一般先画最小的量。
5、虚实结合。“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据；
二、常见的可以用线段图来表示的数量关系
1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。
例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？
2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。
例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比
甲的5个
乙的2个
7个文具
小明少几分？
小强的得分：
小明的得分：
3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。
线段数量关系解题策略
线段数量关系解题策略
初二数学几何专题辅导课（11）
题目：如图，直角三角形ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，AD,CE 是角平分线，AD与CE相交于点F，求证:EF=FD
本题同样求解线段的和差问题，同样可以采取截长补短的解题策略，具体方法如下：
方法1：截长法，构造翻折型全等
方法2：截长法，构造旋转型全等
方法3：补短法，构造翻折型全等
上期练习课内容：
初二几何专题辅导练习课01 初二几何专题辅导练习课02 初中几何专题辅导练习课03 初中几何专题辅导练习课04 初中几何专题辅导练习课05 初中几何专题辅导练习课06 初中几何专题辅导练习课07
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17．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE
求证：AF=AD+CF
18．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，
且DE=DB ，求证：AE=BE+BC
在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E （1）当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系。
1、已知四边形A B C D 中，A B A D ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =
∠，
60MBN = ∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）
于E F ，．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
B C D E
F
D A B C
E M
图1
A
C
N
E
D N
图2
A
C
B
D
E M D N
图3
A
C B
M
E （图1） A B C
D
E F
M N
（图2）
A B C
D
E F
M N
（图3）
A
B
C
D E
F M
N
E
D
C
B
A
1、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,点E 是
AB 上一个动点，若∠B=60°，AB=BC,∠DEC=60°，试判断AD+AE 与BC 的关系并证明你的结论。
2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD
考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且
1
()2
AE AB
AD =
+,求∠ABC+∠ADC 的度数。
F
E
D C
B
A
19．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论．
（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，
90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系
及数量关系．
（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒
θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
3 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0
120BDC ∠=，以D 为顶点做一个0
60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；
B
C
D
N
M
A
应用：
1、已知四边形A B C D 中，A B A D ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =
∠，
60MBN = ∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）
于E F ，．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且
︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，
BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
（图1） A B C
D
E F
M N
（图2）
A B C
D
E F
M N
（图3）
A
B
C
D E
F M
N