数学分析1期末考试讲解
上海交大数学分析第1学期期终考试解答演示教学
一、填空题（每小题4分，共 16分）1. 极限210arcsin lim x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭61e . 2. 极限=∑=∞→n i n n i n 1arctan 1lim 2ln 214-π .3.积分(121arctan d x x x x -+=⎰154. 4. (电院专业同学做此题，不做4*)设常数0a >，则平面曲线222222()4()x y a x y +=-所围图形的面积为 24a . 4*. (管院专业同学做此题，不做4)设)(x f 49623-+-=x x x ，则)(x f 在]4,0[上的最大值为 0 . 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1. 考虑下列断语，则有 ……【 D 】 (I) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(2b a R x f ∈. (II) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(b a R x f ∈.(A) I 正确，II 不正确. (B) I 不正确，II 正确. (C) I ，II 均不正确. (D) I ，II 均正确. 2. 设常数0>k ，则方程ln 0exx k -+=在),0(+∞内的实根个数为 ……【 B 】 (A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 设)(x g 为区间I 上的上凸函数，)(x f 为J 上递减的下凸函数，且J g R ⊂)(，则【 A 】 (A) g f 为I 上的下凸函数. (B) g f 为I 上的上凸函数. (C) g f 必为I 上的单调函数. (D) 以上结论都不正确.4. 设)(x F 是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】 (I) )(x F 在],[b a 上连续.(II) 若0)()(<b F a F ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξF . (III) )(x f 在],[b a 上没有第一类间断点.(IV) 若0)()(<b f a f ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξf . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. B 卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本题共12分) 全面讨论函数2)1(12--=x x y 的性态，并列表作图 （已知43)1(24,)1(2-+=''--='x x y x x y ） 解 函数定义域：1≠x令 .00=→='x y 令210-=→=''x y（5）拐点)98,21(-- ，极小值点)1,0(-由∞=→y x 1lim 得垂直渐近线 1=x ；由0lim =∞→y x 得水平渐近线 0=y . ----------------------------------（8）草图：（12）四、计算题 (第1小题6分，其它4小题各7分，共34分)1. 求极限111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解 原式=xx xx x ln )1(ln 1lim1---→ ------------------------------（2）=21)1(ln 1lim ---→x x x x =)1(211lim 1--→x x x =2121lim1=→x x --------------------------------（6） 2. 求极限30e sin (1)lim x x x x x x→-+.解 原式=3243220))(6())(21(lim xx x x x x x x x x --+-⋅+++→οο-------（3）=323320))(3(lim x x x x x x x x --+++→ο=31)(3lim 3330=+→x x x x ο ------------------------------（7）3.求不定积分x . 解 原式=⎰--x xd 1arcsin 2=)111arcsin 1(22dx xxx x -----⎰-----（3）=)11arcsin 1(2dx xx x ⎰+---=C x x x +++--14arcsin 12 ----------------------------（7）4. 设函数[0,1]f C ∈，且0)0(=f ，当(0,1]x ∈时，()0f x >，又20()(xf x f t t =⎰，求)(x f 的表达式.解 由于当0≠x 时，()0f x >，由2()f x 可导知()f x 也可导. 方程两边对x 求导，得xx x f x f x f 2tan 21tan )()()(2+='---------------(2)当0≠x 时，有 xx x f 2tan 21tan )(2+='方程两边对x 积分得 dx xxx f ⎰+=2tan 21tan 21)(=⎰⎰--=-xxd dx x x 22cos 2cos 21cos 2sin 21=C x+-2cos arcsin21 -----------------------（6）再由0)0(=f 得C=8π. ------------------------------------------（7）5. 计算定积分e21(ln )d x x x ⎰.解 原式=xdx x x x x d x e eeln 23)(ln 33)(ln 12123312⎰⎰-= ---------------------（3）=⎰⎰--=-e ee dx x x x e xdx e 12133133)ln (923ln 923 -------------------（6）=32275)31(9233333-=---e e e e --------------------------------（7）五、(本题共10分) 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()0f a f b >，()()02a bf a f +<，又对任意的[,]x a b ∈有()0g x ≠.试证:在),(b a 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξξg f g f '='.证 不妨设,0)(>a f 则0)2(,0)(<+>ba fb f ，由0)2()(<+⋅b a f a f ，0)()2(<⋅+b f ba f 及零点存在定理知 ),2(),2,(21b b a x b a a x +∈∃+∈∃使 0)()(21==x f x f -----------------------（5） 构造函数 )()()(x g x f x F =],[b a x ∈，-------------------------------------（8） 则0)()(21==x F x F ，故由Rolle 定理知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ使0)(='ξF 即)()()()(ξξξξg f g f '=' ------------------（10）六、（本题共10分）设)(),(x g x f 是定义在]1,0[上的有界函数，)(x f 和)(x g 在]1,0[上取值相异的点构成数列}{n x ，该数列满足1ln(1)()n n x x n +=+∀∈N . 证明：(1) 数列}{n x 收敛，且lim 0n n x →∞=；(2) ]1,0[R g f ∈-，并计算积分值1[()()]d f x g x x -⎰.证（1）因为n n n x x x ≤+=+)1ln(1 ，N n ∈∀，故数列}{n x 单调减，又]1,0[∈n x 有界， 所以数列}{n x 收敛。
数学分析1考试题及答案
数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。
答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。
答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。
答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。
答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。
答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。
答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。
答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。
数学分析(1)期末试题A答案
学习资料收集于网络，仅供参考2007-2008学年第一学期期末数学分析（1）考试试题（A 卷）参考答案及评分标准、判断题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）1. X2. X3. V4. X5. V6.、填空题（本题共 8小题，每空2分，共20分） 1.f (n 1)(. )+ ------ ( (x -x o )n* ,:介于 x 与x o 之间. (n 1)!三、计算题（本题共 5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）3.(6)1. 设y = x e ,试求y .解基本初等函数导数公式，有(x 3) =3x 2,(x 3) =6x,(x 3) =6,(x 3)(k)=0, k =4,5,6, (e x 严=e x ,k =1,2,111,6,应用莱布尼兹公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x 90x 120)e .2. 4 co sx2- s x2e 2叫23. e x f( f( e)) f(x e ) 4. 6 (x - 1) 5. -In二.6. 0, 17. y =x , y - -xx 7. V 8. x 9. V 10. xf (n) (Kn)nf(x)=f(x o ) f(x o )(x -x o )中^r (x -x o )8.学习资料收集于网络，仅供参考x = a（t -sint）,2.试求由摆线方程《所确定白^函数y=f（x）的二阶导数.y = a（1 - cost）学习资料收集于网络，仅供参考dy (a(1 - cost)) dx (a(t-sint))sint x t ------ 二 cot 一，1 - cost 2…t1 2t 2I cotcsc _dy 2 2 22 一 _ .一dx (a(t-sint)) a(1 -cost) 1 4 t——csc - ....................... .......4a 23.试求f (x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式 解因为2 3. x x 3ln(1+x)=x ———+—+o(x ),.......2 3所以f(x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为4622x x 6ln(1 x )= x -——一■ o(x ).2 34. 试求极限 解通分后连续使用两次洛必达法则，得 x e - x -1xx(e -1)x e -1 e x(x 1)-1 xelim - ---- x 山 e x(x - 2)3分2分3分2分-- 3 2 5.试求函数y ^2x -9x +12x|在［-1,3］上的最值和极值解 32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x 2 -9x 12), -1 < x < 0,一 2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在闭区间［-1,3］上连续，故必存在最大最小值.-6x 2 18x-12, 6x 2 -18x 12 -6(x-1)(x-2), 6(x-1)(x-2),令y' = 0,得稳定点为x=1,2.又因 匚(0) =—12, f ；(0) =12,故y 在x = 0处不可导.列表如下所以x = 0和x = 2为极小值点，极小值分别为 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1为极大值点f(1)= 5.又在端点处有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函数在x = 0处取最小值0,在x = -1处取最大值................................ 2分四、 证明题(本题共3小题，每小题10分，共30分).21 .证明不等式e x>1 +x+— (x>0) 22、一人vx一证令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = e x- x -1, x 0 f (x) -e x-1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0,............................. 3 分当x A0时有f "(x) >0,所以f'(x)严格递增， 又f (x)在x=0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x >0, ................................ 3 分-1 < x :二 0, 0 x <极大值为23.所以f(x)严格递增，又f(x)在x = 0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x>0, ................................ 3 分x x2即e >1+x + ——,x >0. ............................. 1 分22.设f为(血，十a)上的连续函数，对所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,证明f (x)必x ；：：x :.能取到最大值.证由题设f(0)>0,取8=*0■，由lim f(x) = lim f (x) = 0，m X >0,当| x |A X 时，2 x『二xf(x)<S<f(0). ................................ 4 分又f在［-X , X ］上连续，由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知，f在［-X, X］能取到最大值................................ 4分且此最大值为f在(—叫+如)上的最大值. .................................. 2分3.若函数f(x)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=0, f(1) = 1, f'(0)= f'(1) = 0,则存在c^(0,1)使得|f (c)|_2.证法一：v x w (0,1),把f (x)在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) ^^x ,f , 0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4^(x-1)2,2!上两式相减，有f ( 1) f ( 2)(x-1)2.记| f ”(c)尸max{| f 7 -1) |,| f 'J) |},则有1《|f (c)|［x2 (x-1)2］1\|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.证法二：在［0,1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理有f (D = f ⑴—f (0) =1 , 0 ＜1 .当0 时，在［0,可上对f '(x)应用拉格朗日中值定理有1 .1 = f 注)—f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,与二(0,1)................................. 3分当白＜匚＜1时，在［匕1］上对f'(x)应用拉格朗日中值定理有11 = f ( ) - f (1) = f (c)( -1),=|f(c)|=—— 2, c ( ,1) (0,1).1 -................................ 2分综上证明知存在cW(0,1)使彳#|f”(c)户2. ................................ 2分。
数学分析1期末考试讲解
《数学分析Ⅰ》题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【 】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。
2010—2011 学年第一学期期末考试大学《数学分析 1》 试题及答案
五、证明题（3 小题，1,2 小题各题 6 分，3 小题 7 分，共 19 分）
1、设 an
=
sin1 2
+
sin 2 22
++
sin n 2n
，证明数列 an 收敛.
2、证明 f (x) = x2 在a,b上一致连续.
3、若函数
f
在 a,b上可导，且
f
+
(a
)
f
−
(b)
，
k
为介于
f
+
(a
)和f
−
(b)
( ) 1、已知 y = ln x + 1+ x2 ，求 dy ； dx
2、设
x y
= =
a(t a(1
− sin t) − cost)
，求
dy dx
；
3、设 y = xsin x ，求 y ；
4、设 y = arcsin 1− x2 ，求 dy .
5、求函数 f (x) = (2x − 5) 3 x2 的极值.
1
( ) d 1− x2 , ……………………………………3 分
( )2
1− 1− x2
( ) = 1 d 1 − x2 = − 1 x dx ……………………………………………………5 分 x 2 1− x2 x 1− x2
5、解：定义域 (− ,+)
f
(x) = 23
x2
+
(2
x
−
5)
2
x
−
( ) 9、若在 x0 附近 f (x) = pn (x)+ o (x − x0 )n ，则 pn (x)是唯一的，其中
数分大一下期末考试知识点
数分大一下期末考试知识点数学分析是数学专业中的一门重要课程，也是大部分理工科专业的必修课之一。
对于大一学生来说，数分下学期末考试的内容通常是其中最为关键的一部分。
为了帮助大家复习和准备考试，下面将对数分大一下期末考试的知识点进行总结和归纳。
1. 无穷级数无穷级数是数学分析中的重要概念，有着广泛的应用。
在考试中，通常会涉及到级数的收敛与发散、级数的运算性质等方面的问题。
复习时需要掌握无穷级数各种判别法，例如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
2. 函数极限与连续性函数极限与连续性是数学分析的基础内容。
考试中可能出现求函数极限、证明函数连续性等类型的题目。
在复习过程中，需要熟练掌握函数极限的定义和性质，以及连续性的定义、判别方法和运算规则。
3. 导数与微分导数与微分是数学分析的核心内容，也是大家最常接触到的部分。
在考试中，通常会出现求导数、求高阶导数、应用导数等类型的题目。
复习时需要熟悉导数的定义、运算法则，以及常见函数的导数公式和基本性质。
4. 可积性与不可积性在数学分析中，可积性是一个重要的概念。
考试中可能会涉及到函数的可积性问题，需要掌握黎曼可积的判定条件和计算方法。
此外，还需要了解黎曼积分的性质和应用，如函数的积分中值定理等。
5. 序列与级数序列与级数是数学分析中的基本概念之一，也是数学分析的重要内容。
在考试中，通常会出现求序列极限、判别序列的收敛性、级数求和等类型的题目。
复习时需要掌握序列和级数的基本定义、性质和运算法则。
6. 多元函数的极限、连续性与偏导数多元函数是数学分析中一个较为复杂的知识点。
在考试中，可能会出现多元函数的极限、连续性、偏导数等问题。
复习时需要熟悉多元函数的极限、连续性的定义和判别方法，以及多元函数的偏导数的计算和性质。
7. 多元函数的积分多元函数的积分是数学分析中的重要内容之一。
在考试中，通常会出现多元函数的积分的计算和应用题。
复习时需要掌握多元函数的积分的计算方法，并了解应用题中的一些常见方法，如变量代换等。
大一数学分析期末知识点
大一数学分析期末知识点在大一数学分析的学习过程中，学生将接触到许多基础的数学知识点。
这些知识点在期末考试中占据重要的地位，对于学生来说是必须要熟练掌握的。
本文将着重介绍大一数学分析期末考试中常涉及的几个主要知识点。
1. 函数与极限在数学分析的学习中，函数与极限是一个非常重要的基础概念。
学生需要了解函数的定义、性质和图像表示方法。
同时，对于函数的极限也是非常重要的。
学生需要学会计算函数的极限，理解极限存在与否的条件，并能够应用极限理论解决相关问题。
2. 数列与级数数列与级数是数学分析中的另一个核心内容。
学生需要了解数列的定义、分类和性质，能够计算数列的极限。
对于级数，学生需要学会判断级数的敛散性，掌握级数求和的方法，并了解级数收敛的判定方法。
3. 微分学微分学是数学分析的重要内容之一。
学生需要熟练掌握函数的导数概念与计算方法，理解导数的几何与物理意义，并能够应用导数解决相关问题。
此外，学生还需要了解高阶导数、隐函数与参数方程的微分计算方法。
4. 积分学积分学是数学分析的另一个重要内容。
学生需要熟悉不定积分和定积分的定义与计算方法，了解换元积分法和分部积分法等积分技巧，并能够应用积分解决相关问题。
此外，对于柯西定理和牛顿-莱布尼茨公式的理解也是必要的。
5. 常微分方程常微分方程是数学分析的一门重要的应用课程。
学生需要了解一阶和二阶常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些特殊类型的微分方程解法，并能够应用常微分方程解决实际问题。
以上所列举的知识点只是大一数学分析期末考试中的主要内容，还有其他相关知识点也是需要学生积极掌握的。
学生在备考期末考试时，应该注重理解概念，熟练掌握运算方法，并进行大量的练习，加强对知识点的理解与应用能力。
通过系统的学习与反复的训练，相信大家能够在大一数学分析期末考试中取得优异的成绩！。
《数学分析1》期末考试试卷1
《数学分析1》期末考试试卷（闭卷 120分钟）一.判断题（每小题2分,共20分）1、设A B ，为非空数集，{}S A B inf min infA infB =，则S=，.2、若0lim ()x x f x →存在，0lim ()x x g x →不存在，则0lim[()()]x x f x g x →±不存在3、若()f x 无上界，则存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n f x →∞=+∞4、lim ()x af x A →=⇔存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n n x a f x A →∞→=且5、若lim n n x A →∞=，lim n n y →∞不存在，lim n n n x y →∞存在，则0A =6、11(1)1)(12)n n e n n n ⎧⎫++<=⎨⎬⎩⎭递增，且（， 7、()()f x g x ，在0x x =不可导，则()()f x g x ±在0x x =也不可导 8、00()()f x f x +-''，均存在，则()f x 在0x x →连续9、若0()0f x '<，则存在0δ>，使得()f x 在00()x x δδ-+，内递减 10、()f x 在0x x =不可导，则0x 不是()f x 的极值点二.求极限（每题5分，共20分）1、4tan()4lim cot 2x x x ππ→- 2、101lim()1x x x x →+- 3、1ln lim (arctan )2xx x π→+∞-4、tan 24lim(tan )xx x π→三. 计算（每题5分，共20分）1、用导数定义求1(ln )x x e x ='2、2(arcsin )y x dy =，求3、ln((0)y x a =>，，求'y 4、求2()(sin )n x四. 证明（每题5分，共20分）1、设0lim ()0x x f x a →=>.证明：n =2、lim n n x a →∞=，lim()0n n n y x →∞-=，证明lim n n y a →∞=.3、证明：()f x =[)1∞，+内一致收敛4、求证: 3tan 23x x x x π∈>-（0，）时，. 五.确定[)()0f x x =∈∞，+的单调区间. （5分）六. ()()f x g x ，在[,]a b 上连续，()()f a g a <,()()f b g b >.求证:存在(,)a b ξ∈，使 ()()f g ξξ= （5分）七. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,求证：(0,1)ξ∈，使得()(1)()(1)f f f f ξξξξ''-=- （5分） 八. 求证:23()xf x x e -=在区间(,)-∞+∞内有界. （5分）。
工科数学分析I期末复习提纲
《工科数学分析I 》期末考试复习提纲1． 不定积分：原函数与不定积分的概念与基本性质，第一、二类换元积分法，分部积分法，有理函数的积分，万能变换……例1． 求下列积分：（1）42d (1)x x x +⎰ （2）22221d (1)x x x x ++⎰ （3）221d sin cos x x x ⎰ （4）sin(ln )d x x ⎰ （5） cos cos d ax bx x ⎰ （6）x x xe xd )1(2⎰+(7)2d 2sin x x-⎰(8)⎰(9)221x dx x -⎰ (10)2(23)d x x x +⎰ （11）d ln ln(ln )xx x x ⎰（12） arctan d x x x ⎰（13） 241d 1x x x++⎰ （14）x x ⎰ （15）5x（17）sin x e xdx ⎰(18) d 1sin x x -⎰ (19) 21d 1x x x x +++⎰例2． 求1cos d cos sin x I x a x b x =+⎰及 2sin d .cos sin xI x a x b x =+⎰例3． 已知x x x f 22tan 2cos )(cos '+=，20π<<x ，试求)(x f .例4． 设'()sin sin ()f x x xf x dx +=⎰，求()f x .例5． 设()2||f x x =，则()f x dx =⎰2．定积分：定积分的基本概念与基本性质，微积分基本定理，变限积分求导公式，定积分的计算，积分中值定理……例1．利用定积分定义求下列极限：（1）11lim sin()k n n k k n n π=→∞=∑ （2）111lim()12n n n n n →∞++++++例2．设221()()d 1f x x x f t t =-+⎰，求()f x .例3．设()f x 在[0,]2π上连续，且单调增加，证明2202()sin ()f x xdx f x dx πππ≥⎰⎰.例4．求下列函数的导数： （1）2()x f x =⎰（2）22sin ln(1)t xe t dt +⎰例5．求极限（1）22ln(1)limtan x x t dt x x→+⎰（2）21cos 2limt xx e dt x-→⎰例6，求下列定积分： （1）12--⎰（2）1-⎰（3）30⎰ （4）0arctan x xdx（5）220sin cos nn xdx xdx ππ⎰⎰及 （6）120111(3sin x x -+⎰（7）20sin 1cos x x dx x π+⎰（提示：使用公式00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰） 例7设()f x 在[,]a b 上连续，递增，证明：()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰.3．定积分的应用：定积分的几何应用：求平面图形的面积，旋转体的侧面积、体积，求已知截面面积的立体体积，求弧长……例1．求由抛物线2y x =与22y x =-所围图形面积. 例2．求二曲线sin r θ=与r θ=所围公共部分面积. 例3．求由曲线222()x y a r +-=绕x 轴旋转而得的曲面的面积. 例4．在曲线0)y x =≥上一点M 作切线，使得切线、曲线以及x 轴所围的平面图形D 的面积为13，求 （1） 切点M 的坐标； （2） 过切点M 的切线方程；（3） 平面图形D 绕x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积.例6． 求圆的渐伸线(cos sin )(02)(sin cos )x a t t t t y a t t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩的长度.4．数项级数：数项级数的概念与基本性质，数项级数的Cauchy 收敛原理，正项级数的比较判别法，Cauchy 根值判别法，比值判别法，交错级数的Lebnizi 判别法，一般项级数的Dirichlet 、Abel 判别法，绝对收敛与条件收敛…… 例1．讨论下列级数的敛散性并求出级数和：（1）22121(1)n n n n ∞=++∑ （2）1(21)ln (1)(21)n n n n n ∞=++-∑例2．设数列{}n na 与级数11()nn n n aa ∞+=-∑都收敛，证明级数1n n a ∞=∑也收敛.例3．若数列21nn a∞=∑，21nn b∞=∑收敛，证明级数211||,()n nn nn n a b ab ∞∞==+∑∑都收敛. 例4．判断下列级数的收敛性：（1）1(1)11n nn∞+=∑（2）21(ln )kn n n ∞=∑ （3）121ln121n n n n ∞=+--∑ （4）111()n nn n n n n+∞=+∑ （5）1n ∞=∑ （6）1!n n n n ∞=∑（7）14()31nn n n ∞=-+∑例5．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是否绝对收敛：（1）1cos(!)(1)n n n n ∞=+∑ （2）1121n n ∞=-∑例6．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是否绝对收敛：（1）11(1)sin nn n ∞=-∑ （2）11(1)n nn n ∞=-∑例7．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是否绝对收敛：（1）1sin ln n nx n ∞=∑ （2）2sin n nxn ∞=+（3）22sin 1(1)(1)(5arctan )ln nnn n n n n ∞=-+-∑ （4）1cos31(1)n n n n n ∞=+∑5．广义积分：无穷积分与瑕积分收敛的定义，广义积分的基本性质，非负函数广义积分的比较判别法，广义积分收敛的Cauchy 收敛准则，Dirichlet 判别法，Abel 判别法，绝对收敛与条件收敛…… 例1．判断下列广义积分的收敛性并求出积分值： （1）201xdx x +∞+⎰ （2）10ln xdx ⎰（3）1ln p dx x x+∞⎰例2．判断下列广义积分的收敛性：（1）21(ln )1p x dx x +∞+⎰ （2）20π⎰ （3）1(0,0)p q dx p q x x+∞>>+⎰（4）20ln sin xdx π⎰例3．判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛：（1）1+∞⎰ （2）11sin cos x x dx x+∞⎰（3）21sin (0)pxdx p x +∞>⎰（4）0ln sin x xdx x +∞⎰ 例4．设()f x 在[1,)+∞连续，()0f x >，ln ()limln f x xλ=-，证明：当 1λ>时，1()f x dx +∞⎰收敛.例5．设()f x 在[1,)+∞连续可微，当x →+∞时，()f x 单调递减趋于0，则1()f x dx+∞⎰收敛的充分必要条件是1'()xf x dx +∞⎰收敛.。
(完整版)《数学分析》考试知识点.
《数学解析》考试知识点题目种类及所占比率：填空题（ 20 分）、解答题（ 60 分）、证明题 (70 分)考试范围：一、极限和函数的连续性考试内容：1照射与函数的看法及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性；2数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无量小量与无量大量的看法及关系、无量小量与无量大量的阶，极限的计算；3函数的连续性和一致连续性；4实数系的连续性；5连续函数的各种性质。
考试要求：1理解照射与函数的看法，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；认识初等函数的看法，会求初等函数的定义域；2理解函数与数列极限 (包括左右 )的看法，会用极限的看法证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求函数熟练掌握数列极限与函数极限的看法；理解无量小量的看法及基本性质。
掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特别极限。
掌握实数系的基本定理。
熟练掌握函数连续性的看法及有关的不连续点种类。
熟练掌握闭区间上连续函数的性质。
二、一元函数微分学考试主要内容：微分的看法、导数的看法、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法规、泰勒展式；导数的应用。
考试要求：理解导数和微分的看法。
熟练掌握函数导数与微分的运算法规，包括高阶导数的运算法规、复合函数求导法规，会求分段函数的导数。
熟练掌握Rolle 中值定理， Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理以及 Taylor 展式。
能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。
掌握用洛必达法规求不定式极限的方法。
三、一元函数积分学考试主要内容：定积分的看法、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的看法和广义积分收敛的鉴识法。
考试要求：理解不定积分的看法。
掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。
期末数学全面解析
期末数学全面解析一、引言数学作为一门基础学科，无论在学校教育还是社会生活中都扮演着重要的角色。
期末考试作为一学期学习成果的集中体现，对于学生来说是一场重要的考验。
本文将对期末数学考试涉及的各个知识点进行全面解析，帮助同学们更好地备战期末考试。
二、代数与方程1. 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式，通过找到未知数使等式成立。
解一元一次方程的常用方法包括等式两边同时加减相同的数、等式两边同时乘除相同的数等。
2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数的方程，解这类方程可以使用“代入法”、“消元法”、“加减消元法”等。
需要注意的是，在解这类方程时，要始终保持等式两边平衡。
三、几何与三角1. 圆的性质圆是几何中最基本的图形之一。
圆的性质有很多，其中包括半径、直径、弧长、圆周角等概念。
掌握这些性质对于解题至关重要。
2. 三角形的性质三角形是几何中常见的图形，掌握三角形的性质对于解题非常重要。
包括三角形内角和为180度、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等。
四、概率与统计1. 事件与概率概率是描述事件发生可能性的数值，常用的表示方法是以0到1之间的小数形式表示。
通过统计分析已知数据来计算概率，了解事件发生的可能性大小。
2. 统计图表统计图表是展示数据分布和关系的重要工具。
常见的统计图表包括条形图、折线图、饼图等。
通过观察统计图表可以直观地了解数据的趋势和规律。
五、解题技巧1. 善用公式在解题过程中，合理运用相关的数学公式能够大大简化解题过程。
例如，在解三角形题目时，可以使用正弦定理和余弦定理来求解未知量。
2. 做好题前分析在做数学题之前，进行题目的分析是非常重要的一步。
通过仔细阅读题目，理解题目要求，并对题目中的已知条件和未知量进行整理，有利于问题的解决。
六、总结本文对期末数学考试涉及的各个知识点进行了全面解析，讲解了代数与方程、几何与三角、概率与统计等内容，并介绍了解题的一些技巧和方法。
希望同学们通过学习本文，对数学知识有更深入的理解，为期末考试做好充分的准备。
期末数学优秀详解
期末数学优秀详解（文章开始）在期末数学考试中，获得优秀成绩的背后，是同学们在学习过程中的坚持与努力。
本文将从几个重要知识点出发，详细解析期末数学考试中的一些难点，帮助同学们更好地理解和掌握。
一、函数与方程函数与方程是数学中的基础概念，也是期末考试中常见的考点之一。
在解题过程中，我们需要理解函数的定义、性质以及方程的求解方法。
以一元二次函数为例，我们来详细讲解如何解决相关题目。
1. 一元二次函数的性质与图像一元二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
我们可以通过分析函数的导数、零点、极值和图像来了解函数的性质。
此外，掌握如何使用平移、缩放和翻转等变换来描述函数的图像也非常重要。
2. 一元二次方程的求解解一元二次方程时，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等不同的方法。
在具体解题中，可以根据题目给出的条件和要求选择适合的方法进行求解。
同时，注意特殊情况的处理，如判别式为0、方程无实数解等。
二、立体几何立体几何是数学中的一个重要分支，也是期末考试中的一大难点。
下面，我们将重点介绍立体几何中的几个核心概念和解题技巧。
1. 空间几何体的性质与计算熟悉各种几何体的定义、性质和特点对于解题非常关键。
例如，掌握正方体、长方体、圆锥、圆柱、球体等几何体的表面积、体积计算公式，并能够熟练应用于解决实际问题。
2. 各种几何体的空间位置关系解决空间位置关系问题时，我们需要了解不同几何体之间的相交、垂直、平行等关系。
在具体分析时，可以利用截面、投影等方法来辅助理解和求解。
三、概率与统计概率与统计是数学中的实用分支，也是期末考试中的重点内容。
在解题过程中，我们需要掌握概率计算与统计分析的方法和思路。
1. 概率的计算方法概率的计算方法包括古典概型、几何概型和条件概率等。
在解决问题时，根据具体情况选择合适的计算方法，并注意计算过程中的细节和误区。
2. 统计分析的方法与应用在统计分析中，我们需要了解数据的收集、整理和分析方法。
数学分析1期末考试讲解(可编辑修改word版)
《数学分析Ⅰ》题目讲解⎝一、 单项选择题（每小题 2 分，共 14 分）1、设数列{x }满足x = 1 ⎛x + 1 ⎫ 且lim x = ，则n为【 】n +1 2 n ⎪ x n ⎭ n →∞ nxA 、0B 、1C 、1 2D 、22、 已 知f (x ) = ⎧ tan x ⎪, ⎨ ⎩⎪ 1, x ≠ 0, x = 0, 则 x = 0是 f (x )的 【 】⎪A 、第一类不连续点B 、第二类不连续点C 、连续点D 、可去不连续点3、已知 f (x ) = ⎧ x s in 1 , ⎨x ⎪⎩0, x > 0， 则 x ≤ 0 f (x )在 x = 0处A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若limf (x)存在，下列说法一定正确的是x x0A 、 fB 、 fC 、 fD 、 f (x )在x 0的任一邻域内有界(x )在x 0的某一邻域内无界(x )在x 0的某一邻域内有界(x )在x 0的任一邻域内无界5、若 f (x )在 x = 0处连续， 并且lim h →0 f (h 2)h2 = c ， 则【 】A 、 fB 、 fC 、 fD 、 f (0) (0) (0) (0) = 0且= 0且 = c 且= c 且f - '(0)存在f + '(0)存在f - '(0)存在f + '(0)存在6、若f (x)在点x0处存在左、右导数，则f (x)在点x0处必然【】A、可导B、不可导C、连续D、不连续7、下列叙述错误的是【】A、若fB、若f (x)在点x0可导，则f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微；(x)在点x0连续；C、若f (x)在点x0可导，则( f (x0))′= 0；D、设f (x)在点x可导，则x0是极值点当仅当f ′(x0) = 0.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）⎡x31、lim ⎢ + 5x + 63 +⎛1- 1 ⎫x ⎤⎪⎥=x→∞⎢⎣ 4x +1 ⎝x ⎭⎥⎦2、曲线y = ln x上平行于直线y = 1x +1的切线的方5程为3、设f '(a) =1，则limh→0 f (a + 2h) -hf (a - 3h)=4、曲线y = 2x +e-x2 的斜渐近线为f (x) = x3- 9x2+ 24x -15的极小值点x5、函数_6、已知当x → 0时ln(1+ ax)与e x-1等价，则a7、(5x)( n) =参考答案：1. 1+1；4 e2. y = 1 (x5-5)+ ln 5；3. 5；4. y = 2x；5. 4；6. 1；7. (ln n5)5x三、计算题（每小题 6 分，共 36 分）1、计算lim ⎛ 1+1 + + 1 ⎫.n→∞n +1 n + n +⎪⎝⎭1、计算lim ⎛ 1+ 1 + + 1 ⎫ n →∞ n +1 n + n + ⎪⎝⎭解：设x = 1 + 1 + +1，由于 nn +1 n +nn≤ x ≤ n，nn +1 n.n lim nn →∞ = 1，lim n →∞ n = 1 n +1，（4 分）由夹逼性，lim x n →∞=1，即原极限为 1。
大学数学分析试卷讲解教案
课时：2课时年级：大学本科教材：《数学分析》教学目标：1. 理解试卷中涉及的主要知识点和概念；2. 分析解题思路和方法，提高解题能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 主要知识点的理解和应用；2. 解题思路和方法的分析。
教学难点：1. 复杂问题的分析和解决；2. 解题思路的拓展和创新。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾上节课所学内容，提出本节课的学习目标。
2. 强调数学分析在各个领域的重要性。
二、讲解试卷1. 分析试卷中的选择题，讲解每个选项的正确性和错误原因。
2. 分析填空题，讲解解题步骤和关键点。
3. 分析解答题，讲解解题思路、方法和技巧。
三、课堂练习1. 学生独立完成试卷中的题目，教师巡视指导。
2. 学生展示解题过程，教师点评并纠正错误。
四、总结1. 总结本节课的重点内容，强调解题方法和技巧。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
第二课时：一、复习上节课内容1. 回顾上节课所学知识点和解题方法。
2. 学生提问，教师解答。
二、讲解试卷中的难点1. 分析解答题中的难点，讲解解题思路和方法。
2. 引导学生思考，培养学生的创新思维。
三、课堂练习1. 学生独立完成试卷中的题目，教师巡视指导。
2. 学生展示解题过程，教师点评并纠正错误。
四、总结1. 总结本节课的重点内容，强调解题方法和技巧。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：1. 课后作业的完成情况；2. 学生对知识的掌握程度；3. 学生解题能力、逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学反思：1. 根据学生的学习情况，调整教学方法和进度；2. 关注学生的个体差异，因材施教；3. 注重培养学生的创新思维和解决问题的能力。
大一期末数学试卷讲解
一、选择题1. 下列函数中，在其定义域内连续的函数是：（）A. f(x) = |x|，x∈RB. f(x) = x^2，x∈RC. f(x) = x^3，x∈RD. f(x) = |x|，x∈[0, +∞)【答案】A【解析】选项A中的函数f(x) = |x|在其定义域内连续，因为绝对值函数在其定义域内处处连续。
选项B、C、D中的函数在其定义域内均不连续。
2. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点是：（）A. x = 0B. x = -1C. x = 1D. x = 3【答案】C【解析】对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
将x = ±1代入f(x)，得f(±1) = -2。
因此，f(x)的极值点是x = 1。
3. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是：（）A. 顶点在(2, 0)B. 顶点在(0, 4)C. 顶点在(4, 0)D. 顶点在(0, -4)【答案】A【解析】函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2，这是一个开口向上的抛物线，其顶点为(2, 0)。
4. 下列级数中，收敛的是：（）A. ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)B. ∑(n=1 to ∞) (1/n)C. ∑(n=1 to ∞) (n^2)D. ∑(n=1 to ∞) (e^n)【答案】A【解析】根据p级数的性质，当p > 1时，p级数收敛。
选项A中的级数是p级数，且p = 2 > 1，因此收敛。
5. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的逆矩阵是：（）A. [2 -3; -4 1]B. [2 3; -4 1]C. [1 2; -3 4]D. [1 -2; 3 4]【答案】A【解析】计算矩阵A的行列式|A| = 14 - 23 = 4 - 6 = -2。
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题在数学分析期末考试中，学生们将面对一系列挑战性的问题。
这些问题涉及到微积分、极限、导数、积分等重要概念。
本文将通过解答一些典型的数学分析期末考试题目，帮助学生们加深对数学分析的理解。
1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 的最大值和最小值。
为了求解该问题，我们首先计算函数的导数 f'(x) = 3x^2 - 3。
然后，我们将导数设置为零并解方程，得到驻点的横坐标 x = 1 和 x = -1。
接下来，我们计算这两个驻点对应的函数值，即 f(1) = -2 和 f(-1) = 2。
由于我们得到了驻点和函数值，我们可以得出结论：函数 f(x) = x^3 - 3x在 x = -1 时取得最大值为 2，在 x = 1 时取得最小值为 -2。
2. 求函数 f(x) = e^x 在区间 [-1, 1] 上的积分值。
为了求解该问题，我们可以直接应用定积分的定义。
首先，我们将函数 f(x) = e^x 进行积分，得到积分函数F(x) = ∫(e^x)dx = e^x。
然后，我们将积分函数 F(x) 在区间 [-1, 1] 的两个端点带入，得到积分值 F(1) - F(-1) = e^1 - e^(-1)。
3. 求曲线 y = x^2 在点 (1, 1) 处的切线方程。
为了求解该问题，我们首先计算曲线 y = x^2 的导数 y' = 2x。
然后，我们将横坐标 x = 1 带入导数表达式，得到切线的斜率 k = y'(1) = 2。
接下来，我们利用点斜式的公式 y - y1 = k(x - x1)，将切线的斜率和给定点代入公式，得到切线方程 y - 1 = 2(x - 1)。
通过解答上述题目，我们可以看到数学分析涉及到各种各样的概念和计算方法。
学生们需要掌握微积分的基本原理和技巧，以应对各种复杂的数学问题。
同时，通过解析题目，学生们可以提高自己的问题解决能力和数学思维能力。
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《数学分析Ⅰ》题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【 】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。
（6分）2. 求极限2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭220020011tan lim lim (1)tan tan sin cos lim (2)sin sin lim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫= ⎪⎝⎭=+解：分分20 (4)cos 1lim (5)2cos sin 1(6)3x x x xx x →⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪= ⎪+⎪⎝⎭=分分分3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x 的二阶微分2d y .3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x =的2d y .解：令ln u x =，则d 1()d y f u x x='， （2分）[]2222222d ()d 11() (3)d d 11()()()()(ln )(ln )(5)f u y f u x x x xf u f u x x f u f u xf x f x x'-=⋅+'=''⋅-'⋅''-'=''-'=分分所以，222(ln )(ln )d =d f x f x y x x''-' （6分）4. 求方程2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数22d d xy .4.求方程2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数22d d xy . 22222232d 1d ()1d 1 (3)d 2d ()2d 11d d d 12 (6)2d d d 41x x x t t t y t y y t t t tx x t t t y y y t t+====+-⎡⎤+===-⎢⎥⎣⎦+解：分分′′5. 设()cos=，求y'.sin xy x解：对等式两端取对数，()ln cos lnsin y x x =，（1分）再对上式两端分别求导，()()sin cos ln sin cos sin x y x x x y x''='+ （4分） ()2cos sin lnsin sin x x x x=-+ （5分）所以，()()2cos cos sin sin lnsin (6)sin xx y x x x x ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦分6. 求由方程32xy e x y =+所确定的函数()y y x =的微分d y .解：在方程两端对x 求导，得()223xyey xy yy +'=+'. （3分）解此方程，得223xyxy yey xe y-'=-。
（4分） 所以，22d d 3xyxy yey x xe y-=-。
（6分）四、综合题（3小题，共29分）1. 叙述证明题（4小题，共14分）（1）叙述lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义；（3分）（2）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理；（3分） （3）叙述()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义；（3分）（4）证明()sin f x x =在(,)-∞+∞上一致连续。
（5分）解：（1）lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义：对任意给定的0ε>，存在正整数N ，当n N >时，有n x A ε-<。
（3分）（2）数列的柯西（Cauchy ）收敛原理：数列{}n x 收敛的充要条件是{}n x 是一个基本数列。
（3分）（3）()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义：若()f x 在区间I 内满足对任意的0ε>，存在()0δδε=>，使得对I 内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，则称()f x 在区间I 内一致连续。
（3分）（4）证明：对任意12,x x R ∈，由于1212121212()()sin sin 2cos sin22 3f x f x x x x x x x x x -=-+-=≤-（分） 故对任意的0ε>，取δε=，则对(,)-∞+∞内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，即()f x 在(,)-∞+∞上一致连续。
（5分）2. 证明：当0x >时，2ln(1)2xx x x -<+<.（7分）证明：（1）证明ln(1)x x +<. 根据Lagrange 中值定理，()ln(1)ln(1)ln11001x x x x x ξξ++-==<<-+这里（2分）由于111ξ<+，所以ln(1)x x +<。
（3分）（2）证明2ln(1)2xx x -<+.令2()ln(1)2xf x x x =--+，则21()111xf x x x x-'=--=++，（2分）当0x >时，()0f x '<，()f x 严格单调递减，由(0)0f =，知()()00f x x <>，从而2ln(1)2xx x -<+。
（4分）3. 设()f x 在区间[,]a b 可导，且()0,()0f a f b +->>′′，()()f a f b A ==，证明：（1）存在(,)a b ξ∈使得()f A ξ=；（5分）（2）()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。
（3分）证明：（1）由()()()lim 0x a f x f a f a x a++→-=>-′，存在10δ>，使当1(,)x a a δ∈+时，有()()0f x f a x a->-，此时，()()f x f a A >=。
在1(,)a a δ+中去一点1x ，有1()f x A >；由()()()lim 0x b f x f b f b x b--→-=>-′，存在20δ>，使当2(,)x b b δ∈-时，有()()0f x f b x b->-，此时，()()f x f b A <=。
在2(,)b b δ-中去一点2x ，有2()f x A <。
（3分）于是，12()()f x A f x >>。
由()f x 在[,]a b 可导，()f x 在[,]a b 连续，由中间值定理，存在12(,)[,]x x a b ξ∈⊂，使得()f A ξ=。
（5分）（2）由罗尔（Rolle ）定理，在(,)a ξ内至少存在一点1ξ使得1()0f ξ=′，在(,)b ξ内至少存在一点2ξ使得2()0f ξ=′。
故()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。
（8分）。