数学分析1期末考试讲解

合集下载

数学分析(1)期末试题集(计算题部分)

.
2.设求的极值.
解:当时, .令 ,得稳定点 .
当时, ;当时, ,故为极小值点,极小值为 ;
当时, ,所以在内严格单调增,无极值.
而在的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故为极大值点,函数的极大值为 .
3.设函数满足 .讨论是否为的极值点.
解若 ,由极值的必要条件知, 不是的极值点.
13.设 ,求极限 .
解因为 ,设 ,则 ,由数学归纳法知有上界.另外, ,设 ,则 .由数学归纳法知单调增.由单调有界原理得收敛,所以 ,即 ,解方程并注意到极限保号性,得 .
14.求极限 .
解利用三角函数诱导公式得
所以,原式 .
15.设在的某邻域内可导,且 ,求极限 .
解法1
而 ,所以
解: ,又
所以 .
30.
解:
31.求；
解:
(注:用了罗比达法则和等价无穷小量的替换定理).
32. ;
解:原式= .
33.求 .
解
,因此 .
34.求极限 .
解法1因为 ,由复合函数的极限运算性质,只须考虑极限
,所以,原式 .
解法2令 ,所以
原式 .(注:中间过程用了洛比达法则).
34.求极限 .
解
35.求极限 .
令 ,得 ????

《数学分析》课件 (完整版)

第十章数项级数无穷级数与代数运小结第十一章广义积分瑕积分第十二章函数项级数第十三章幂级数函数的幂级数展开小结第十四章傅立叶级数任意区间上的傅立叶级数小结第十五章多元函数的极限与连续性第十六章偏导数与全微分泰勒公式小结第十七章隐函数存在定理方程组情形第十八章极值与条件极值条件极值及lagrange乘数法第二十章重积分曲面面积第二十一章曲线积分与曲面积分第一型曲线积分与曲面积分2第二型曲线积分与曲面积分第二十二章各种积分间的联系与场论初步场论初步第十七章源自文库二十二章的小结附录

1、数学分析徐森林(456页文字版)

出版者：清华大学出版社
地邮
社总机：０１０唱６２７７０１７５组稿编辑：刘颖文稿编辑：王海燕封面设计：印刷者：装订者：
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｔｕｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
址：北京清华大学学研大厦编：１０００８４
Ⅳ
目录
第４章Ｔａｙｌｏｒ公式 ……………………………………………………………………… ２４５４．１带各种余项的Ｔａｙｌｏｒ公式 …………………………………………………… ２４５４．２Ｔａｙｌｏｒ公式的应用 …………………………………………………………… ２６５复习题４ ……………………………………………………………………………… ２７９第５章不定积分………………………………………………………………………… ２８２５．１原函数、不定积分……………………………………………………………… ５．２换元积分法、分部积分法……………………………………………………… ５．３有理函数的不定积分、可化为有理函数的不定积分………………………… 复习题５ ……………………………………………………………………………… ２８２２９３３１１３２６
图书在版编目（ＣＩＰ）数据数学分析．第１册／徐森林，薛春华编著． — 北京：清华大学出版社，２００５．９ＩＳＢＮ７唱３０２唱１１７４６唱２ Ⅰ ．数 … Ⅱ ． ① 徐 … ② 薛 … Ⅲ ．数学分析－高等学校－教材 Ⅳ ．Ｏ１７

数学分析期末试题A答案doc

2024年数学分析期末试题A及答案

一、选择题

1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D

解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。 A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B

解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =

\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cos

x|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.

$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A

解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C

数学分析1期末考试讲解

《数学分析Ⅰ》题目讲解

一、单项选择题（每小题2分，共14分）

1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭且lim n

n x →∞=，则

为【】

A 、0

B 、1

C 、1

2 D 、2

2、已知

tan

,0,

()

1,0,

f x x

⎧

≠

⎪

=⎨

⎪=

⎩

则0

x=是()

f x的

【】

A、第一类不连续点

B、第二类不连续点

C、连续点

D、可去不连续点

3、已知

sin,0

()

0,0

x x

f x x

⎧

⎪

=⎨

⎪≤

⎩

，则()

f x在0

x=处

【】

A、左可导

B、右可导

C、可微

D、不连续

4、若0

lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【

】

A 、

()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、

()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、

()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、

()f x 在0x 的任一邻域内无界

5、若()f x 在0x =处连续，并且2

20()lim h f h c h

→=，则【】 A 、

(0)0f =且(0)f -'存在 B 、

(0)0f =且(0)f +'存在 C 、

(0)f c =且(0)f -'存在 D 、

(0)f c =且(0)f +'存在

6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【】

A 、可导

B 、不可导

C 、连续

D 、不连续

7、下列叙述错误的是【】

A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；

B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；

C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′

《数学分析》课件 (完整版)

比较判别法III（与比较）
设有唯一瑕点（1）若则收敛；若则发散。（2）若则时收敛，时发散。
第十章数项级数
§5 无穷级数与代数运算有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
定理 10.19 若级数收敛，其和为，为自然数列，则亦收敛于
比较判别法II（用极限比较）
设有唯一瑕点且（1）若，则收敛收敛；（2）若，则发散发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当，均收敛时，定义显然，的值与的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
比较判别法III（与比较）
设函数在有定义，在任意有限区间上可积。（1）若则收敛；若则发散。（2）若则时收敛，时发散。
常用积分线性：当，均收敛时，
Chauchy 收敛原理
收敛 TH11.2 收敛收敛。 Def . 绝对收敛收敛；条件收敛发散而收敛。
设有唯一暇点
(Dirichletቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (Abel)
习题 ( P.64 )
1. 2. (1) (3) (9) (11) (12) 3. (1) (7) 4. (2) 5. (1)

数学分析华东师大版上21

log | q |
,
当 n N 时,有
|qn0| .
这就证明了 lim q n 0. n
前页后页返回
例3
用定义验证
n2
lim
n
3n2
n
7
1. 3
分析任给 0, 由
n2
1
n7
3n2 n 7 3 3（3n2 n 7） ,
当 n 7 时, n 7 2n, 3n2 n 7 3n2 2n 2n2,
任意的正数 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, | an a | ,
则称数列 { an } 收敛于a , 又称 a 为数列 { an }的极限,
前页后页返回
记作
lim
n
an
a
( 或 an a, n ) .
aN 1 an
(
d
)
a1 a a a a2
x
若{ an }不收敛, 则称 { an }为发散数列.
{an} {(1)n} 满足:
当
a
0
(a
0)
时,在
(a
1 2
,
a
1 2
)
之外有无限多
个偶数项（奇数项）. 所以由定义1', { an } 不以
a 为极限. 又因 a 是任意的, 所以 { an }发散.

《数学分析》Ⅰ期末考试试题

学号姓名

一、叙述题

1、述函数关系与数列极限关系的Heine 定理；

2、叙述Lagrange 微分中值定理；

3、用肯定的语言叙述)(x f 在数列集D 上不一致连续；

二、计算题

4、求数集⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=++=Λ、、 2 1 )11(1n n

D n 的上确界； 5、求极限n n n 1)131211(lim ++++∞→Λ ； 6、求不定积分⎰

+221x x dx ； 7、求不定积分dx x x x ⎰

1(arctan ；三、讨论题 8、指出函数x x x f sin )(=

的不连续点，并确定其不连续点的类型； 9、讨论函数2221)(x e x f -=

π的单调性、极值点、凸性、拐点；

四、证明题 10、用定义证明2

1721lim 22=-+∞←n n n ；

11、证明不等式)2,0( , sin 2π

π∈x x x x ππ ； 12、设)(x f 在有限开区间),(b a 内连续，且)(+a f ，)(-b f 存在，则)(x f 在),(b a 上一致连续。

大学高等数学详细分析讲义

第一章极限

数学分析以极限为工具，以函数为研究对象，主要研究函数的连续性、可微性和可积性，及其相关问题和应用。

极限理论是分析的基础，是分析中难点之一，其中心问题有两个：极限的存在性和极限的计算，两者是密切相关的。本章通过若干例题，总结了求解数列极限和函数极限的常用方法.

Ⅰ 基本概念和主要结果一数列极限

1 定义设{为数列，为定数. 若}n a a 0,0>∃>∀N ε，使得当时有

N n >ε<−a a n ，

则称数列{收敛于a ，a 称为数列{的极限，并记作

}n a }n a a a n n =∞

→lim .

2 几何意义：a a n n =∞

→lim 的充要条件是：0>∀ε，邻域),(εa U 之外至多含有数列中的有限项.

{}

n a 3 性质

性质1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。性质2（有界性）收敛数列必有界。

性质3（保号性）若0lim >=∞

→a a n n ，则0>∃N ，当时，有.

N n >0>n a 性质4（保不等式性）设{与{均为数列. 若存在正数，使得当时有

，则}n a }n b 0N 0N n >n n b a ≤n n n n b a ∞

→∞

→≤lim lim .

性质5 改变数列的有限项不改变数列的敛散性，且不改变收敛数列的极限。

性质6（迫敛性）设收敛数列{与}n a {}n b 均以a 为极限，数列{}n c 满足：，当

时，有0>∃N N n >n n n b c a ≤≤，则数列收敛，且{}n c a c n n =∞

一年级数学期末题目答案及讲解

一年级数学期末题目答案及讲解这里是一年级数学期末题目的答案及讲解。

题目1：

一年级小明有3只苹果和2只橙子，他将苹果和橙子放在一起。请问他一共有几只水果？

解答及讲解：

小明有3只苹果和2只橙子，将它们放在一起。我们需要将苹果的数量和橙子的数量相加，即3 + 2 = 5。所以，小明一共有5只水果。

题目2：

一年级小红有7块巧克力，她分给小明5块。请问小红还剩几块巧克力？

解答及讲解：

小红有7块巧克力，分给小明5块。我们需要将小红原本的巧克力数量减去分给小明的巧克力数量，即7 - 5 = 2。所以，小红还剩下2块巧克力。

题目3：

一年级小王有10本书，他借给小李3本书，小明5本书。请问小王还剩几本书？

解答及讲解：

小王有10本书，借给小李3本书和小明5本书。我们需要将小王原本的书的数量减去借出去的书的数量，即10 - 3 - 5 = 2。所以，小王还剩下2本书。

题目4：

一年级小花看到一个有红色、黄色和蓝色三个圆圈的图案，其中红色圆圈的数量是黄色圆圈数量的2倍，而蓝色圆圈的数量是黄色圆圈数量的3倍。请问一共有几个圆圈？

解答及讲解：

假设黄色圆圈的数量为x。根据题目中的信息，红色圆圈的数量是黄色圆圈数量的2倍，所以红色圆圈的数量为2x；蓝色圆圈的数量是黄色圆圈数量的3倍，所以蓝色圆圈的数量为3x。我们需要将三个颜色的圆圈数量相加，即x + 2x + 3x = 6x。所以，一共有6个圆圈。

这是一年级数学期末题目的答案及讲解。希望对你有所帮助！

六年级上册数学分析

在六年级数学考试结束，做好试卷的分析，会让你得到新的收获。下面是店铺网络整理的六年级上册数学期末考试试卷分析以供大家学习参考。

六年级上册数学分析(一)

一、试题分析

这份试题紧扣新课程理念，从概念、计算、应用三方面考查学生的双基、思维、问题的解决能力，可以说是全面考查学生的综合学习能力。命题本着密切联系学生生活实际，知识结构科学合理，对基础知识的考核也体现了迁移性、灵活性，侧重了基本技能的考察，同时也体现了对学生素质和能力的培养考核。重点突出以下几方面：

1、注重思维能力的考查：不论是填空、判断、选择，还是计算、解决问题，都立足考查学生基础知识的掌握情况，以及理解和运用的能力。

2、注重学生观察能力的考查。

3、注重学生应用数学知识解决生活中实际问题能力的考查。

二、学生情况分析

这次考试我班有55人参加考试，全部及格，但是仍有失误。

三、试卷分析

第一大题：填空题，学生已经基本掌握了圆的认识，百分数的认识方面知识，能够根据题意解决问题。但总体答题情况不容乐观，学生对百分数的对比量掌握不够好。教师在教学中得加强练习。

第二大题：选择题，失分在第2小题，说明学生对单位1掌握得不够好。今后要加强这方面知识的比较训练。

第三大题：判断题，大部分学生对这类知识掌握得不错。个别学生出现失分是由于学生对于题目里的字眼理解不清。

第四大题计算，本题大部分同学都能完成，对百分数的换算很熟练准确，这得益于平时坚持训练。但也有少数学生由于计算粗心，所以出现失分。

第五大题：动手画画算算。本题大部分学生能准确画对称轴，对阴影部分的面积计算较好。

数学分析精品课程

2 x 2 y
方向: 指向圆弧中点.
湖南人文科技学院
数学分析
三、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移动了距离s时, 力F对物体所作的功为W=F × s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就
湖南人文科技学院
数学分析
例1 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力. 解:在端面建立坐标系如图取x为积分变量,x ,R],取任一小区间[x, x+ dx],小矩形片上各处的压强近似等于 p x , 小矩形片的面积为 2 R2 x 2 dx. 桶的一端面上所受的压力为 R 2 2 2 2 x R x dx R3 . 0 3
o
x
由对称性Fx=0.
湖南人文科技学院
数学分析
Gmp 又 dFy sin dF sin d R
Gmp 2Gmp 2 Fy 22 j sin d [ cos ]j R R 2 2 2
2Gmp j 2Gmp j cos( ) sin R 2 2 R 2 2Gmp j 引力大小 : F F F sin R 2
a
dFy -l/2
dFx
dF

数学分析期末复习题

13数学分析(三)复习范围

一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题

2. 求隐函数(组)的一阶偏导数

3. 求抽象函数的二阶偏导数

4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程

5. 求函数的极值

6. 计算第一型曲面积分

7. 计算第二型曲面积分

8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算

10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题

13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示

14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)

15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ

p sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值

二、解答与证明题(第小题10分，共30分)

1. 用定义证明多元函数的极限

2. 证明多元函数的连续性

3. 研究含参量积分的一致收敛性

4. 证明含参量非正常积分的连续性

5. 三重积分的证明题

6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题

7. 证明二重极限不存在

8. 多元函数的可微性证明

例题

一、计算题

1. 全微分计算题

公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+u

∂∂dz 。

例1：求函数u=22

z x x y -+的全微分；

例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数

例3：设z

y e z x +=，求y

x z ∂∂∂2。

例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx

(完整版)数学分析全套课件(华东师大)

1.集合
一、集合
❖集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.
集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.
❖元素
组成集合的事物称为集合的元素.
集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识.
a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M.
a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
❖集合的表示 •列举法
则S必有下确界. 例3 设 A, B为非空数集,满足: x A,y B有x y.
证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所
研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集.
❖集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.
同理又有sup B sup S.
所以 supS max{sup A,sup B}.

数学分析1期末考试讲解

数学分析(1)期末试题集(计算题部分)

《数学分析》课件 (完整版)

1、数学分析 徐森林(456页 文字版)

数学分析期末试题A答案doc

数学分析1期末考试讲解

《数学分析》课件 (完整版)

数学分析华东师大版上21

《数学分析》Ⅰ期末考试试题

大学高等数学详细分析讲义

一年级数学期末题目答案及讲解

六年级上册数学分析

数学分析精品课程

数学分析期末复习题

(完整版)数学分析全套课件(华东师大)

1、数学分析徐森林(456页文字版)