高中数学复习专题讲座(第33讲)函数的连续及其应用

合集下载

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高考数学中的一个重要难点，对于很多学生来说，理解和掌握这个知识点是比较困难的。

本文将分为三个部分进行讲解，首先是函数连续的概念和定义；其次是连续函数的性质和判断方法；最后是函数连续的应用。

一、函数连续的概念和定义在数学中，函数连续是指函数在一些点上没有突变、断层，即在该点上没有跳跃，也没有突变的现象。

具体来说，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下三个条件：1.函数在点x=a处存在；2.函数在点x=a处的左极限和右极限存在且相等；3.函数在点x=a处的极限等于函数在该点的函数值。

符号化表示如下：f(a-)=f(a+)=f(a)二、连续函数的性质和判断方法1.连续函数的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商也在点x=a处连续。

2.连续函数的复合函数性质：如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=b处连续，并且a是g(x)的定义域内特定点的函数值，则复合函数f(g(x))在点x=b处连续。

3.连续函数的初等函数性质：初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们在其定义域上都是连续的。

对于函数连续的判断方法，可以通过根据定义依次检查函数是否满足连续的条件，也可以利用函数的性质进行判断。

三、函数连续的应用1.函数连续与导数的关系：对于连续函数f(x)，在其定义域内的每个点上都有导数存在。

2.函数连续与极值的关系：对于连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，如果f(x)在内部点取得最大值或最小值，则必然在[a,b]的边界点或者内部存在极值。

3.函数连续与介值定理的关系：对于连续函数f(x)，如果[a,b]上f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。

4.函数连续与零点存在性的关系：对于连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。

《函数的连续》课件

在闭区间上的连续函数一定取得最大值和最小值。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的。例如，函数$f(x) = x^2$在全体实数域$mathbf{R}$上是连续的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。

函数连续_精品文档

函数连续函数是数学中的重要概念，我们常常用函数来描述两个变量之间的关系。

在实际应用中，我们经常遇到需要研究函数是否连续的问题。

本文将从函数连续的定义、连续函数的性质以及连续函数在实际问题中的应用等方面进行探讨。

一、函数连续的定义在数学中，函数连续是指函数在某个区间上的所有点上都满足一定条件的性质。

具体来说，函数连续的定义可以分为两种情况：1. 函数在某个点上连续：如果函数f在点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，那么我们称函数在点x=a处是连续的。

2. 函数在某个区间上连续：如果函数f在区间[a, b]上的每一个点都连续，则我们称函数f在该区间上连续。

二、连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的连续性质和解决实际问题时非常有用。

1. 极限存在性：函数在点a处连续意味着它的极限在该点处存在。

2. 极限性质：连续函数的极限性质成立，即函数在点a处的极限等于函数在该点的函数值。

3. 间断点性质：连续函数在某个区间上不存在间断点。

4. 连续函数的四则运算：如果函数f和g在某个区间上连续，那么它们的和、差、积和商（除非分母为零）也在该区间上连续。

三、连续函数的应用连续函数在实际问题中有着广泛的应用。

下面我们以几个典型的实例来说明连续函数的应用。

1. 物理过程的描述：连续函数常常用来描述物理过程中的变化。

例如，用连续函数表示物体的运动轨迹、温度的变化以及流体的流动速度等。

2. 优化问题的求解：连续函数在优化问题中有着重要的应用。

例如，在求取一元函数的最大值或最小值时，我们可以通过连续函数的极限性质和导数的定义来求解。

3. 工程设计：在工程设计中，连续函数经常用于模拟和优化系统。

例如，用连续函数描述电路中电流和电压的变化，以及用连续函数分析材料的强度和耐久性等。

四、函数连续的判定方法确定一个函数是否连续的方法有很多种，下面介绍几种常用的判定方法。

1. 有界性和单调性判定：如果函数在某个区间上有界且单调，那么它是连续的。

总复习《第33讲基本不等式》

1 8 ； , ( x 1) 的最小值是___ 变式2. 函数 f ( x) 4 x x 1
2x 1 ；变式3. 函数 f ( x) 2 , ( x 0) 的最大值是___ x 1
1 9 1,则 x y min 15 ；变式4.已知x>0,y>0且 x 1 y
总复习第33讲
基本不等式代数背景几 Nhomakorabea背景A
ab 2
b
a b 2ab
2 2
a0 b0
a 换a b换 b
ab
a b 2 a b
ab 2
B
O E
ab
a
AO AE
ab 2
C
ab
1．基本不等式
ab ab 2 ：
几何平均数称呼：算术平均数前提： a，b是正实数 . 取等：当且仅当a=b .
2．常用的几个重要不等式 (1) a2＋b2≥ 2ab 2 . (a，b∈R)； ab ≤ (2) ab (a，b∈R)；
22 2 2 a b a b (3) 2 2
(a，b∈R)；
1. 利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则 x＝y 时， (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______
2 p . x＋y有_____ 最小值是 _____
简记：积定和最小.
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y时，最大值是 xy有_____
p2 ______. 4
简记：和定积最大.
题目： 4 ；函数f(x)＝4x＋1/x,(x>0)的最小值是____
变式1.函数f(x)＝4x＋a/x (x>0，a>0)在x＝3时 36 ；取得最小值，则a＝________

高考数学复习考点知识专题讲解课件第33讲等差数列及其前n项和

求出
1 + 4 = 5,
首项和公差,然后求出通项公式和前n项和即可;
4×3

2
1 = −3,
= 0,
[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意有ቐ
解得ቊ

=
2,
1 + 4 = 5,
41 +
(−1)
课堂考点探究
(2)[2022·福建莆田二检] 已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12,则a4-3a6的
从而求出{an}的通项公式,最终得证.
证明:由{ }是等差数列,a2=3a1,得 2 - 1 = 41 - 1 = 1 ,即{ }的公
差为 1 ,所以 = 1 +(n-1) 1 =n
2
2
1 ,所以Sn=n a1.当n≥2时,Sn-1=(n-1) a1,
所以an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1=a1+(n-1)·2a1,故{an}是公差为2a1的等差数列.
12a6=36,故a6=3,所以S11=
2
=11a6=33,故选D.
课堂考点探究
角度2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8-a5=-6,S9-S4=75,则Sn取得最大值
5 − 2
=1,且
5−2
=12,可得a13=12×12=144.故选B.
1 =0,满足题意,则有 13 = 1 +(13-1)d
课堂考点探究
(3)[2020·全国卷Ⅱ] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则
25
S10=
.
[解析]设等差数列{an}的公差为d,则a2+a6=a1+d+a1+5d=2,∴2a1+6d=2,又a1=-2,

高三数学总复习优秀ppt课件(第33讲)等比数列(46页)

an bn
是等比数列吗？
是
（2）已知数列an,数列{ bn }是项数相同的等比数
列，那么数列an bn是等比数列吗？不一定
an bn (n≥ 2)? an1 bn1
回顾反思
（1）思想方法：回到定义去！（2）基本策略：作商！ aann1（n≥2）为常数. （3）思维误区：作商时不考虑等比数列的特征．（4）解题策略：注重整体思想的应用．
聚焦重点：知三求二的策略
基础知识
1．等比数列的通项公式
如果等比数列an的首项是a1，公比是 q，则等比
数列的通项公式为 an a1qn1.
2．等比数列的前n项和公式
当q=1时， Sn na1
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
问题研究
对于等比数列{an}中的a1，q，n，an，Sn，如何由其中已知的三个量求出其余两个量？
是以
1 2
为公比的等比数列，{an}的前
n
项和为
Sn，
试问：S1，S2，S3…，Sn，…能否构成等比数列？
为什么？
1．14 2．2n－1
参考答案
3. 当 n=1 时，S1=a1=1．
当
n≥2
时，an=a2qn-2=-
1 2
(
1 2
)n-2=-(
1 2
)n-1．
1 (n 1),
∴an=
(
1 2
)n1
= 3n－3n-1=3 3n1 3n1=2·3n-1．
纵上，an
1 (n 1),
2
3n1(n
≥
2).
可知a1=1，a2=6，a3=18． ∵a22≠a1 a3，

高考数学复习考点知识与结论专题讲解33 数列的概念和性质

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第33讲数列的概念和性质通关一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项;数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释:(1){}n a 与n a 的含义完全不同:{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项；(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.通关二、数列的分类1,2,3,4,,100 ,,n3,4,5,,n1,,20156,6,6,6,2,3,4,-1,1,1,-1,3,4,4,通关三、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成n a ()f n =，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 要点诠释:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:1,0,1,0,1,0，通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是sin 2n n a π=.(3)数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通关四、数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和:指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12n n S a a a =+++，1*1(1)2(n n n S n a S S n n -=⎧⎪=⎨-∈⎪⎩N ）且….结论一、数列通项公式给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若第n 项和第1n +项正负交错，那么符号用(1)n-或1(1)n +-或1(1)n --来调控；(3)熟悉一些常见数列的通项公式；(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)4142,,,,52117；(2)1925,2,,8,,222；(3)7,77,777,； (4)0,3,8,15,24,.【答案】(1)432n a n =+(2)22n n a =(3)()71019n n a =-(4)21n a n =-【解析】(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4444,,,581114，，它们的分母相差3，因而有432n a n =+. (2)把分母统一为2，则有1491625,,,,,22222，因而有22n n a =.(3)把各项除以7，得到1,11,111,，再乘以9，得到9,99,999,，因而有()71019n n a =-. (4)观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即222221,2,3,4,5,，则有21n a n =-.【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)23451,,,,,3579；(2)3143984,,,,251017；(3)392565,,,,24816；(4)5791,,,,81524--.【答案】(1)21n n -(2)221n n n ++(3)12n n +(4)1221(1)2n n n n ++-+【解析】(1)先将数列23451,,,,,3579，第1项也化为分数，数列变为12345,,,,13579，此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为21n na n =-. (2)将数列各项化为带分数，即149161,2,3,4,251017，可以发线正整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为2n ，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为221n n +.两部分合成为221n n a n n =++.(3)将数列各项化为带分数，即11111,2,3,4,24816，可以发现整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为1，分母是2n，所以两部分合成为12nn +. (4)先将数列各项取为正数，即为5791,,,,81524，再将第1项也化为分数(注意第1项化为分子符合各项分子变化规律的分数)即为3579,,,,381524，可以观察出各项分子是3开始的奇数，通项公式可以写为21n +，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，求出分母的通项公式是22n n +，合起来为2212n n n ++，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公式为1221(1)2n n n n++-+. 结论二、数列的周期性对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*T T ∈N，使得对任意的正整数0n n >，恒有n Tn aa +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列.若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n …，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期. 【例2】设数列{}n a 满足1112,1n na a a +==-，记数列{}n a 前n 项之积为n T ，则2020T 的值为（）. A.2 B 1 C.1-D.2-【答案】D 【解析】因为12a =，111n n a a +=-，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，即数列{}n a 是周期为3的周期数列，且1231a a a ⋅⋅=-，故673202067331(1)22T T ⨯+==-⨯=-.故选D.【变式】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，若167a =，则20a 的值为（）.A.67B57C.37D.17【答案】B【解析】因为数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，167a =，所以215217a a =-=，323217a a =-=，43627a a ==，所以数列{}n a 是周期为3的循环数列，所以20257a a ==.故选B.结论三、已知n S 求n a 的一般步骤任意数列{}n a 的前n 项和1121(1);(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=+++=⎨-⎩….要点诠释:由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1,2n n n a S S n -=-…便求出当2n …时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n …时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n …两段来写. 【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式na =__________.【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-⎩…【解析】因为已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，所以当1n =时，110a S ==，当2n …时，1n n n a S S -=-22221(1)1(1)21n n n n n ⎡⎤=----=--=-⎣⎦，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,1.21,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…【变式】已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则其通项公式na =__________.【答案】14,123,2n n n -=⎧⎨⋅⎩… 【解析】当1n =时，11314a S ==+=；当2n …时，()()111131312323nnnnn n na S S ----=-=+-+=⋅=⋅.当1n =时，111232a -⨯=≠，所以14,1.23,2n n na n -=⎧=⎨⋅⎩…结论四、n a 与n S 混合在一起的处理方法数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，通过纽带:1(2)n n n a S S n -=-…，根据题目已知条件，消掉n a 或n S ，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解. 要点诠释：(1)若消掉n S ,应利.用已知递推式,把n 换成1n -得到另一个式子,两式相减即可求得通项. (2)若消掉n a ,只需把1n n n a S S -=-代入递推式得到n S ，1n S -的关系,求出n S 后再利用n a 与n S 的关系求通项.【例4】若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+,则1a =数列{}n a 的通项公式n a =__________.【答案】11(2)n --【解析】由已知条件得,当1n =时,112133a a =+,故11a =.当2n …时,2133n n S a =+,112133n n S a --=+,所以12233n n n a a a -=-,即12n n a a -=-.所以{}n a 是以1为首项,2-为公比的等比数列,所以1(2)n n a -=-.【变式】已知数列{}n a 的前n 项和n S ,若1111,3n n a S a +==,则7a =（）.A.74B. 534⨯C. 634⨯D. 641+【答案】B【解析】由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=…,两式相减可得:111,233n n n a a a n +=-…,即14,2n n a a n +=….数列{}n a 是从第二项起的等比数列,公比为4, 因为113n n S a +=,11a =.所以23a =.所以72572434a a -==⨯.故选B.结论五、数列单调性的判断方法①作差法:10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列; 10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列; 10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列.②作商法:当0n a >时,11n n a a +>⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 【例5】已知{}n a 是递增数列,且对于任意的*2,n n a n n λ∈=+N 恒成立,则实数λ的取值范围是__________. 【答案】3λ>-【解析】解法一（定义法）因为{}n a 是递增数列,所以对任意的*n ∈N ,都有1n a +>n a ,即22(1)(1)n n n n λλ+++>+,整理得210n λ++>,即(21)(*)n λ>-+. 因为1n …,所以(21)3n -+-…,要使不等式(*)恒成立,只需3λ>-.解法二（函数法）设2()n f n a n n λ==+,其图像的对称轴为直线2n λ=-,要使数列{}n a 为递增数列,只需使定义在正整数上的函数()f n 为增函数,故只需满足(1)(2)f f <,即3λ>-. 【变式】已知数列{}n a 的通项公式为(37)0.9n n a n =+⨯,则数列{}n a 的最大项是（）.A.5aB. 6aC. 7aD. 8a 【答案】C 【解析】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+,解得203n <,又*n ∈N ,所以6n ….于是12a a <<7a <,当7n …时,11n na a +<, 故78a a >>, 因此最大项为7a .故选C .。

《函数连续性》课件

02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续。
《函数连续性》ppt课件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态，如果函数在这一点或这个范围内的极限值等于该点的函数值，则函数在该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过渡。
函数连续性的性质

高三数学第二轮专题讲座复习：函数的连续及其应用

高三数学第二轮专题讲座复习：函数的连续及其应用高考要求函数的连续性是新增加的内容之一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系重难点归纳 1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的其情形(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=242+-x x ,(1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数命题意图函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法知识依托本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象错解分析第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式技巧与方法对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2,其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x 则函数f (x )在R 上是连续函数例2求证方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b 命题意图要判定方程f (x )=0是否有实根即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可本题主要考查这种解题方法知识依托解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正错解分析因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用证明设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b例3已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x (1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5 学生巩固练习 1 若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( )A 23 B 32C 1D 02 设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( )A (0，2)B (0，1) C (0，1)∪(1，2)D (1，2)3 x x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________ 4 若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________ 5 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性 6 已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续 7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根 8 求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间参考答案 1 解析 ]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f 2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x 答案 A 2 解析 11lim )(lim 11==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续答案 C 3 解析利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f xx x x f x x x x x 解析答案 215 解 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数 6 解 (1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x )= lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =217 证明设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞, +∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根 8 解不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)。

2020高考数学函数的连续及其应用

难点33 函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b .●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3)lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( ) A.23 B.32 C.1 D.02.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题 3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________.4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续 lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续.又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x 答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.答案：C 二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x答案：π1 21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析答案：21 三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续. (2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x ) = lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =21 7.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)。

高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案

第33讲极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P 为椭圆外一点，过P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D 四点，AC 与BD 交于点M ，AD 与BC 交于点N ，则称点P 为直线MN 关于椭圆的极点，直线MN 为点P 关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于A 、D 和B 、C 四点，AC 与BD 交于点M ，AB 与CD 交于点P ，所以点N 和直线PM 也是一对极点极线，事实上，点M 和直线PN 也是一对极点极线，因此在PMN 中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN 称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形ABCD 有一组对边平行时，如AD BC ∥，此时我们看成AD 和BC 的交点N 在无穷远处，那么以M 为极点，对应的极线是图2中的2PN ，其中2PN BC ∥；以P 为极点，那么极线是1MN ，其中1MN BC ∥；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D 、M 、N 几个点就都与切点C 重合，从而点C 和切线PC 是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy 中，设有圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C 的对称中心重合的点()00,P x y ，在圆锥曲线C 的方程中，用0x x 替换2x ，0y y 替换2y ，02x x +替换x ，02y y+替换y ，得到的方程即为以P 作为极点的极线l 的方程.例如，设椭圆C 的方程为2212x y +=，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2412x y +=，即410x y +−=；又如，设抛物线C 的方程为22y x =，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2422xy +=⋅，即420x y −+=.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P 在不同位置时，极线l 的情形：（1）当点P 在椭圆C 上时，极线l 为椭圆C 在P 处的切线，如图4所示；（2）当点P 在椭圆C 外部时，极线l 为点P 对椭圆C 的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P 在椭圆C 内部时，过点P 任作椭圆C 的一条割线交C 于A 、B 两点，椭圆C 在A 、B 两点处的切线交于点Q ，则当割线AB 绕着点P 旋转时，点Q 的轨迹就是极线l ，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O 为椭圆中心，点P 在椭圆内，延长OP 交椭圆于点Q ，交椭圆与点P 对应的极线l 于点M ，则OP 、OQ 、OM 成等比数列；当P 恰好为弦AB 的中点时，直线AB 的方程为2200002222x x y y x y a b a b+=+，且极线l 和椭圆在点Q 处的切线均与AB 平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P 的极线是直线l ，过P 作椭圆的一条割线交椭圆于A 、B 两点，交极线l 于点Q ，则P 、A 、Q 、B 成调和点列，即PA QA PBQB=（或写成211PQ PA PB=+）（3）配极原理：若点P 关于椭圆的极线过点Q ，则点Q 关于椭圆的极线也过点P .由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点1P 、2P 、3P 的极线分别为1l 、2l 、3l ，则1P 、2P 、3P 共线⇔1l 、2l 、3l 共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线2:0l ax by r +−=与圆222:C x y r +=，点(),A a b 则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r=，所以直线l与圆C相切，故A项正确；B项，若点A在圆C内，则222a b r+<，圆心C到直线l的距离2d r==>，所以直线l与圆C相离，故B项正确；C项，若点A在圆C外，则222a b r+>，圆心C到直线l的距离2d r==<，所以直线l与圆C相交，故C项错误；D项，若点A在直线l上，则2220a b r+−=，即222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r==，所以直线l与圆C相切，故D项正确.解法2：显然对于圆C，以(),A a b作为极点，那么极线就是2:0l ax by r+−=A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确；B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确；C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点()1,0A−，()1,0B，过其焦点()0,1F的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.（1）当CD=时，求直线l的方程；（2）当P点异于A、B两点时，证明：OP OQ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，所以长半轴长a =，故椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−=，判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②，所以12CD x x =−==k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）极点极线看问题：设(),0P m ，以P 为极点，则对应的极线为1mx =，即1x m=，显然点Q 在极线上，所以1Q x m =，不难发现101Q OP OQ m y m⋅=⋅+⋅=. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−，而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−+−，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−+−，由①知12222kx x k =−−+，故()()()()()()222222222222122111122212121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−+−++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−⑤ 所以()()()()()()()()()()()()222222121211212222212121212122111111111111211Q Q x x x y x x x x x x x x x x x x x x y x x x −+⎛⎫+++++++==== ⎪ ⎪−−−−++−−−⎝⎭ 22222121122121122kk k k k k k k −−+−⎛⎫++= ⎪+⎝⎭−++++，因为1x ，()21,1x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号，又()()()()()222212121212222221122211112222k k k k k y y kx kx k x x k x x k k k k +−−=++=+++=−−+==++++()2221121k k k k +−=−⋅++，所以12y y 与11k k −+异号，即21y y 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A 、B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题意，(),0A a −，(),0B a ，()0,1G ，故(),1AG a =，(),1GB a =−，所以218AG GB a ⋅=−=，解得：3a =或3−（舍去），故E 的方程为2219x y +=.（2）极点极线看问题：如图1，设AB 和CD 交于点Q ，AD 和CB 交于点M ，则PQM 为自极三角形，所以点Q 和直线PM 是一对极点极线，设(),0Q m ，则极线PM 的方程为19mx=，即9x m =，又点P 在直线6x =上，所以96m =，从而32m =，故3,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，这样就得到了直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写. 解法1：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()6,P t ，()11,C x y ，()22,D x y ，当0t ≠时，直线PA 的方程为93x y t =−，代入2219x y +=消去x 化简得：22815490y y t t ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，解得：0y =或269t t +，所以269C ty t =+，故22927339C C t x y t t −=−=+，从而2222736,99t t C t t ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，直线PB 的方程为33x y t =+，代入2219x y +=消去x 化简得：2291890y y t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：0y =或221t t −+，所以221D t y t =−+，从而2233331D D t x y t t −=+=+，故222332,11t t D t t ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，设3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2222796,929t t TC t t ⎛⎫− ⎪= ⎪++⎝⎭，()222392,121t t TD t t ⎛⎫− ⎪=− ⎪++⎝⎭，即()22319t TC TD t +=−+，故TC TD ∥，所以T 、C 、D 三点共线，从而直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，当0t =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，显然直线CD 也过点T ，综上所述，直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭解法2：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，()06,P y当00y ≠时，由图2可知点C 不与点B 重合，因为221119x y +=，所以()2211199y x =−，故CA 、CB 的斜率之积为2111211113399CA CB y y y k k x x x ⋅=⋅==−+−−① 又PA 的斜率09PA CA y k k ==，PB 的斜率03PB BD y k k ==，所以13CA BD k k =，代入式①化简得：BC 、BD 的斜率之积13BC BD k k ⋅=−，显然CD 不与y 轴垂直，否则AC 与BD 的交点在y 轴上，故可直线CD 的方程为x my t =+，联立2219x ty x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x 整理得：()2229290m y mty t +++−=，判别式()()222244990m t m t ∆=−+−>，所以2290m t +−>，由韦达定理，12229mt y y m +=−+，212299t y y m −=+，所以()121221829t x x m y y t m +=++=+，()22221212122999t m x x m y y mt y y t m −=+++=+，()1212121212133393BC BD y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅==−−−−++，故()121212339y y x x x x −=−++，即22222299918339999t t m t m m m −−−⋅=−⋅++++，整理得：22990t t −+=，解得：32t =或3，若3t =，则C 、D 中有一个点与B 重合，不合题意，所以32t =，满足0∆>，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，当00y =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，也过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【解析】（1）由题意，()1,0F ，当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =，由22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，即点A的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当点A的坐标为2⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为2y x =，当点A的坐标为1,⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为y =−. （2）极点极线看问题：如图，设A '、B '分别为A 、B 关于x 轴的对称点，则显然四边形AA BB ''构成等腰梯形，其对角线的交点为F ，以()1,0F 为极点，则对应的极线为1012xy ⋅+⋅=，即2x =，而BA '和B A '的交点应该在极线上，从而()2,0M 就是BA '和B A '的交点，由图形的对称性不难发现OMA OMB ∠=∠. 且这一结论还可以推广，若F 不是焦点，而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点，比如可设为(),0t ，那么它的极线为012txy +⋅=，即2x t =，所以点2,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭必定也能使OMA OMB ∠=∠注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写. 解：当l y ⊥轴时，易得0OMA OMB ∠=∠=︒当l 不与y 轴垂直时，可设其方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()222210m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，12222m y y m +=−+，12212y y m =−+， ()()()()()()()122112211212121212222222222AM BM y x y x x y x y y y y yk k x x x x x x −+−+−++=+==−−−−−− 而()1221122x y x y y y +−+()()()()12211212121122my y my y y y my y y y =+++−+=−+ 22122022m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅−−−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以0AM BM k k +=，从而OMA OMB ∠=∠，综上所述，OMA OMB ∠=∠.【例5】（2008·安徽）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点)M，且左焦点为()1F .（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B 时，在线段AB上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，求证：点Q 在某定直线上.【解析】（1）由题意，22222211a b ab ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）极点极线看问题：因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，故P 、A 、Q 、B 是一组调和点列，从而点Q 必定在点P 的极线上，因为点P 的坐标为()4,1，所以它的极线为41142x y⋅+=，化简得：220x y +−=，从而点O 在定直线220x y +−=上. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写. 解：设(),Q x y ，()11,A x y ，()22,B x y 因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，设AP AQ PBQBλ==()0,1λλ>≠，则PA PB λ=，AQ QB λ=，而()114,1PA x y =−−，()224,1PB x y =−−，()11,AQ x x y y =−−，()22,QB x x y y =−−所以()()12124411x x y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，且()()1212x x x x y y y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，从而12124111x x y y λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩①②，且121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩③④，①×③得：22212241x x x λλ−=−，②×④得：2221221y y y λλ−=−，所以22222212122224211x x y y x yλλλλ−−+⋅=+−−，即()222221122222421x y x y x y λλ+−+=+−⑤ 又A 、B 在椭圆C 上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而221122222424x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入⑤的：2244421x y λλ−=+−，化简得：220x y +−=，即点Q 始终在直线220x y +−=上.强化训练1.（★★★）对于抛物线2:2C y x =，设点()00,P x y 满足2002y x <，则直线00:l y y x x =+与抛物线C （） A.恰有1个交点B.恰有2个交点C.没有交点D.有1个或2个交点【解析】显然直线l 是点P 对应的极线，因为2002y x <，所以点P 在抛物线内部，从而直线l 与抛物线C 没有交点. 【答案】C2.（★★★）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过点()2,2A 的直线与椭圆C 在x 轴上方相切于点B ，则直线BF 的方程为______.【解析】由题意，()1,0F ，以F 为极点，则极线为12x=，即2x =，所以点A 在极线上，根据配极原理，以A 为极点的极线过点F ，所以该极线就是BF ，其方程为2212xy +=，即21x y +=【答案】21x y +=3.（★★★）过点()2,1P 的直线l 与椭圆2214x y +=相交于点A 和B ，且AP PB λ=，点Q 满足AQ QB λ=−，若O 为原点，则OQ 的最小值为________.【解析】由题意，PA QA PBQAλ==所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图，易求得极线l 的方程为214xy +=，即220x y +−=，所以点Q在该极线上，从而min 5OQ ==.【答案】54.（★★★★）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率e =，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）如下图所示，直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，22b =，所以1b =，椭圆C的离心率e =，所以2a =，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）极点极线看问题：如图，连接AP 、BD 交于点Q ，显然点Q 的极线是直线MN ，当P 在椭圆上运动的过程中，点Q 会在直线BD 上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线MN 是过定点的直线，易求得直线BD 的方程为22x y +=，所以可设()22,Q t t −，那么极线MN 的方程为()2214t xty −+=，整理得：()220x t x y −−−=，所以直线MN 过的定点是()2,1．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得()0,1D ，()2,0B ，()2,0A −，可设直线BP 的方程为2x my =+()0,2m m ≠≠±，联立22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()22440m y my ++=，解得：0y =或244m m −+，所以244p m y m =−+，从而228224p p m x my m −=+=+，故222824,44m m P m m ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，从而直线DP 的斜率为()222224144248282224DP mm m m m k m m m m −−−−−++===−−−+故直线DP 的方程为()2122m y x m +=+−，联立()02122y m y x m =⎧⎪+⎨=+⎪−⎩解得：()222m x m −=+，所以()22,02m N m −⎛⎫ ⎪+⎝⎭，直线AD 的方程为121x y +=−，即220x y −+=，联立2202x y x my −+=⎧⎨=+⎩，解得：24242m x m y m +⎧=−⎪⎪−⎨⎪=−⎪−⎩，所以点M 的坐标为244,22m m m +⎛⎫−− ⎪−−⎝⎭，设()2,1G ，则42,22mm GM m m +⎛⎫=−− ⎪−−⎝⎭，4,12m GN m ⎛⎫=−− ⎪+⎝⎭，从而22m GM GN m +=−，故G 、M 、N 三点共线，即直线MN 过定点()2,1G .【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点()2,1G ，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明GM 与GN 共线，从而得出直线MN 过定点G . 5.（★★★★）如下图所示，椭圆22:143x y E +=的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线与椭圆E 交于不与A 、B 重合的C 、D 两点，记直线AC 和BD 的斜率分别1k ，2k ，证明：12k k 为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，()1,0F −，椭圆E 的极点F 对应的极线为10143x y−⋅⋅+=，即4x =−，如图，AC 与BD 的交点P 应在极线上，所以可设()04,P y −，显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率012PA y k k ==−，直线BD 的斜率026PB yk k ==−，从而123k k =.下面给出严格求解过程. 解：由题意，()1,0F −，直线CD 不与y 轴垂直，可设其方程为1x my =−，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立221431x y x my =+=−⎧⎪⎨⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122634m y y m +=+，122934y y m =−+，所以()121232my y y y =−+ 显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率1112y k x =+，直线BD 的斜率2222y k x =−，从而()()()()()()121121212112121212122122123933233222333121222y y y y y y x y my k my y y k x y my y my y y y y y y y −+−−−−−−======+++−++−−.6.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上、下顶点分别为A 和B ，左焦点为F ，原点O 到直线FA的距离为2. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设2b =，直线4:l y kx =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O 到直线FA的距离OA OF bc d AFa ⋅===，所以椭圆C的离心率2c e a ==. （2）极点极线看问题：由题意，直线l 与y 轴交于定点()0,4P ，显然点G 在点P 对应的极线上，当2b =时，易求得椭圆C 的方程为22184x y +=，从而该极线的方程为04184x y ⋅+=，即1y =，所以点G 在定直线1y =上．下面给出严格求解过程.解：由题意，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>所以2k <或2k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−−，从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++③，接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+，代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++−，从而232G G y y +=−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x x x k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.。

高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用

高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用高考要求函数的连续性是新增加的内容之一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系重难点归纳 1 深刻明白得函数f (x )在x 0处连续的概念等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，那个地点隐含着f (x )在点x =x 0邻近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，确实是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的其情形(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，能够得到运算函数极限的一种方法假如函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就能够了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解例1函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数命题意图函数的连续性，专门是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映因而画函数图象去直观反映题目中的连续性咨询题也就成为一种最重要的方法知识依靠此题是分式函数，因此解答此题的闪光点是能准确画出它的图象错解分析第(3)咨询是此题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解应明确明白第(3)咨询是求的分数函数解析式技巧与方法对分式化简变形，注意等价性，观看图象进行解答解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,因此)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x那么函数f (x )在R 上是连续函数例2求证方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b 命题意图要判定方程f (x )=0是否有实根即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此依照连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可此题要紧考查这种解题方法知识依靠解答此题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正错解分析因为此题为超越方程，因而考生最易想到画图象观看，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用证明设f (x )=a sin x +b －x ,那么f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0, 又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，因此存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也确实是方程x =a ·sin x +b 的根因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b例3函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,因此lim 1-→x f (x )不存在，因此f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1), 因此f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，因此lim 1→x f (x )不存在，因此f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续又lim 0→x f (x )=f (0)=0,因此f (x )在x =0处连续(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数差不多上初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，因此f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5] 学生巩固练习 1 假设f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，那么f (0)等于( ) A 23 B 32 C 1 D 0 2 设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 那么f (x )的连续区间为( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2) 3 x x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________ 4 假设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，那么a 的值为_________ 5 函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x(1)f (x )在x =0处是否连续？讲明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性 6 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续 7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根 8 求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间参考答案 1 解析 ]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x 答案 A 2 解析 11lim )(lim 11==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续答案 C 3 解析利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案 π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析答案 21 5 解 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,因此lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，因此f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数6 解 (1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续， lim 0-→x f (x )= lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a , 因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),因此a =21 7 证明设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,因此必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,因此f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根 8 解不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)课前后备注。

严格单调和反函数的关系 (老黄学高数第33讲)

ห้องสมุดไป่ตู้
由指数函数y=ax的单调性可推知对数函数y=logax 当a>1时，在R上严格增；当0<a<1时，在R上严格减.
例讨论函数y=x2的增减性及其反函数. 解：函数y=x2在(-∞,0)上是严格减的，有反函数y= ，x∈(0,+∞)；函数y=x2在[0,+∞)上是严格增的，有反函数y= ，x∈[0,+∞). 但y=x2在定义域R上不单调，且不存在反函数.
注：不单调不一定不存在反函数. 如反比例函数y=1/x在它的定义域内不单调，但仍有反函数.
老黄学高数
第33讲严格单调和反函数的关系
严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反函数。
设y=f(x), x∈D严格增(减)，则f必有反函数f-1，
且f-1在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数。
证：∵f在D上严格单调, ∴任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y. 若有x1∈D，且x1≠x，使f(x1)=y；则y=f(x)非严格单调； ∴对每一个y∈f(D),都有唯一的一个x∈D,使f(x)=y；从而函数f存在反函数x=f-1(y), y∈f(D).
任取y1，y2∈f(D)，使y1<y2. 设x1=f-1(y1), x2=f-1(y2)，则y1=f(x1), y2=f(x2)，当f在D上严格增时, x1<x2,即f-1(y1)<f-1(y2)，则f-1在其定义域f(D)上也是严格增函数.
当f在D上严格减时,x1>x2,即f-1(y1)>f-1(y2)，则f-1在其定义域f(D)上也是严格减函数.

高一数学复习考点知识与题型专题讲解33--- 三角恒等变换技巧基础过关必刷题

高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题强化训练二：三角恒等变换技巧基础过关必刷30题一、单选题1．（2022·全国·高一）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()3s i n 5αβ+=-，5cos 13β=-，则si n α的值为（） A ．1665B ．3365C ．5665D ．6365 2．（2022·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知函数32222cos 2cos 2cos 2()2cos2x x x f x x+-=，则函数()f x 的最小正周期是（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．（2022·全国·高一课时练习）若4cos 5=-α，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα-+＝（）A ．2B ．12C ．﹣2D ．12-4．（2022·全国·高一课时练习）计算tan82tan 221tan82tan 22︒︒︒︒-=+（） A ．1-B ．1C．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()cos cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期和最大值分别为（） A ．1,4πB ．1,2πC．2π．2π 6．（2022·河北·张家口市第一中学高一月考）设α，β均为锐角，且()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，则2tan 1sin βα+的最大值是（）A ．2D ．7．（2022·北京·101中学高一期中）函数()2sin cos 2f x x x =-在区间[]0,2π上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2022·安徽·合肥百花中学高一期末）设函数()2cos2f x x x =-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为π-B ．()y f x =的图像关于直线6x π=-对称C ．()y f x =的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在[0,2]π有3个零点9．（2022·上海·上外浦东附中高一期中）若3522ππθ<< A ．sin 4θB ．cos 4θC ．sin 4θ-D ．cos 4θ-10．（2022·江苏省前黄高级中学高一月考）若1tan 20211tan αα+=-，则1tan2cos2αα+的值为（）A ．2019B ．2020C ．2022D ．2022二、多选题11．（2022·全国·高一课时练习）下列三角式中，值为1的是（） A ．4sin15cos15︒︒B ．222cos sin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22tan 22.51tan 22.5-︒︒D 12．（2022·全国·高一课时练习）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()y f x =的最小值为πB ．()y f x =的最小值为2-，其周期为2πC ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称13．（2022①tan 25tan3525tan35+︒︒︒︒； ②()2sin35cos 25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-︒+︒．A ．①B ．②C ．③D ．④14．（2022·江苏·盱眙县都梁中学高一月考）关于函数()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下列说法：其中正确说法的是（）A ．()y f x =B ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数；C ．()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；D ．将函数2y x 的图象向左平移24π个单位长度后，将与已知函数的图象重合.15．（2022·江苏沭阳·高一期中）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则下列结论正确的有（） A ．()22f x -≤≤B ．()f x 在区间(0,)π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．若()()g x f x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()g x 单调递减区间为,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭16．（2022·河北安平中学高一月考）已知函数()cos f x x x-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值D ．()f x 的值域为[]1,2-三、填空题17．（2022·全国·高一课时练习）化简sin(α＋60°)＋2sin(α－α)的结果是______.18．（2022·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________． 19．（2022·全国·高一课时练习）已知4cos 5θ=-，且t a n 0θ>，则3c o s t a n 1s i n θθθ-的值为______． 20．（2022=______．21．（2022·江苏如皋·高一月考）计算：2211tan 20sin 701tan 20⎛+︒⋅= -︒⎝⎭︒___________.四、解答题22．（2022·全国·高一课时练习）已知sin 2cos 022x x-=．求cos25cos sin()4x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．23．（2022·全国·高一课时练习）（1）求()()1tan11tan 44+︒+︒的值；（2）求()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒+︒的值． 24．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos cos 120cos 120A A A +-+︒+︒；（3）sin 2cos 1cos 21cos αααα⋅++．25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值．26．（2022·湖南·永州市第一中学高一期中）已知函数()22sin cos 2cos 1f x x x x =+-，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()0y f x a =-≤在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.27．（2022·山东·滕州市第一中学新校高一月考）已知角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<.（1）求10sincos 29cos1818παππ的值；（2）设()()()sin 22f x x x αα=--，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．求()f x 的最大值． 28．（2022·全国·高一课时练习）求下列各式的值：（1）已知11cos(),cos()23αβαβ-=-+=，求cos cos ,sin sin αβαβ的值；（2）求()2sin 4012cos 402cos 40cos 401+︒︒+︒-︒的值；29．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =-+∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（2）若()006,0,53f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．30．（2022·陕西·榆林十二中高一月考）化简计算与证明．（1）已知角α是第二象限角，且4sin 3cos 0+=αα，求()cos sin 259cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（22sin 50cos101︒+︒︒；（3）已知02xπ<<，证明：()2lg cos tan 12sinlg lg 1sin 224x x x x x π⎤⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦．参考答案1．D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又()3sin 5αβ+=-，则3,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=-，又5cos 13β=-，所以12sin 13β=，所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，354126351351365⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D 2．B 【详解】32222cos 2cos 2cos 2()2cos2x x x f x x +-=322cos 2cos (1cos )1cos x x x x +-+=+22cos (1cos )(1cos )1cos x x x x +-+=+22cos 1x =-cos2x =所以()f x 的最小正周期为22ππ=，故选：B3．C 【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+. 故选：C. 4．C 【详解】由题意，tan82tan 22tan(8222)tan 601tan82tan 22︒︒︒︒︒︒︒-=-==+故选：C 5．B 【详解】解：函数1cos 2()cos()sin()3332x f x x x ππ+=--12131111sin(2)cos2()sin 2sin 2sin(2)2322222423x x x x x x x x ππ=-=---==- 则()f x 的最小正周期为22ππ=，最大值为12. 故选：B 6．B 【详解】解：因为α，β均为锐角，()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，所以sin 2sin cos ,cos βαβα=即tan 2sin cos βαα=，故222tan 2sin cos 22sin cos 1sin 2sin cos cos sin βααααααααα==≤=+++，当且仅当2sin cos cos sin αααα=，即t a nα时等号成立，7．A 【详解】()22sin cos 22sin 12sin f x x x x x =-=-+，令()0f x =可得sin x =sin x =(舍去)，因为sin x =[]0,2π有2个根，所以()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为2. 故选：A. 8．D 【详解】()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，对A ，最小周期为22T ππ==，故π-也为周期，故A 正确；对B ，当6x π=-时，262x ππ-=-为sin y x =的对称轴，故B 正确；对C ，当12x π=时，206x π-=，又()0,0为2sin y x =的对称点，故C 正确；对D ，()0f x =则()2sin 202,66x x k k Z πππ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭，解得(),212k x k Z ππ=+∈，故()f x 在[0,2]π内有71319,,,12121212x ππππ=共四个零点，故D 错误故选：D 9．A 【详解】解：3522ππθ<<，∴35424πθπ<<，84358πθπ<<，所以cos 0θ>，cos 02θ<，sin 04θ>，∴cos 2θ=-，∴sin 4θ．10．C 【详解】222221cos sin 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan αααααααα++=+-- ()222221tan 1tan 2tan 1tan 1tan 1tan αααααα++=+=--- 1tan 20211tan αα+==-.故选：C 11．ABC 【详解】A 选项,1=2sin 30=2=124sin15cos15︒︒︒⨯，故正确.B 选项，2212cossin 2cos 216632=πππ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，故正确. C 选项，22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒，故正确.D 1≠，故错误故选：ABC 12．AD 【详解】()2244f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，函数的最小值是22T ππ==，故A 正确，B错误；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，令2x k =π，得,2k x k Z π=∈，其中一条对称轴是2x π=，故C 错误，D 正确. 故选：AD【详解】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，所以tan 25tan353tan 25tan35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos65sin 25=，所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==；对于③，因为tan 451=，1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===-- 对于④，因为tan 451=，1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+ 故选：ABC 14．ABC 【详解】()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭234x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2212x k ππ-=，即,24x k k Z ππ=+∈时，max ()f x A 正确；2T wππ==，故选项B 正确；令22212k x k ππππ≤-≤+，即1132424k x k ππππ+≤≤+，即当113[,]2424x k k ππππ∈++时()y f x =单调递减，取0k =，有()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选项C 正确；将函数2y x 的图象向右平移24π个单位长度后，将与已知函数的图象重合，故选项D 错误.所以ABC 正确，D 错误.15．ACD 【详解】函数22()sin cos cos 2sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，对于A ：由于x ∈R ，故()22f x -≤≤，故A 正确；对于B ：令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈，所以函数在(0,)π上有两个零点，故B 错误；对于C ：函数的最小正周期为22ππ=，故C 正确；对于D ：由于,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令：3222()262k x k k Z πππππ+-+∈剟，解得5()36k x k k Z ππππ++∈剟，当0k =和-1时，()g x 单调递减区间为,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ACD ． 16．BC 【详解】解：对于A ，因为0,62f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以A 错误，因为()sin()||cos()|sin ||cos |()f x x x x x f x πππ+=+-+-=，所以 π为函数的周期，考虑[0,]x π∈的情况，当[0,]2x π∈时， ()cos 2sin(),,6663f x x x x x ππππ⎡⎤-=--∈-⎢⎥⎣⎦，因为,,6322ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 ()f x 在[0,]2π上单调递增，所以min max ()(0)1,()()2f x f f x f π==-=当 [,]2x ππ∈时，27()cos 2sin(),,,6636f x x x x x ππππ⎡⎤+=++∈⎢⎥⎣⎦因为 273,,3622ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在[,]2ππ上单调递减，所以 min max ()()1,()()2f x f f x f ππ==-==()f x 的最小正周期为π，()f x 在 ()0,2π上有且仅有1个最小值，值域为[-，所以BC 正确，D 错误，故选：BC 17．0 【详解】解：原式＝sin(α(α＋60°)]＋2sin(α－60°)＝sin(αα＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α＋60°＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α－60°＋180°)＋2sin(α－60°) ＝－2sin(α－60°)＋2sin(α－60°) ＝0. 故答案为：0 18．-1 【详解】()()22224422sin cos sin cos sin cos 1cos 2cos sin ααααααααα-+-==-- 故答案为：-1 19．625-【详解】解：∵4cos 5θ=-，且tan 0θ>，∴3sin 5θ=-，∴()()2321sin sin cos tan cos sin 3361sin sin 11sin 1sin 1sin 5525θθθθθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫===+=-⨯-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．故答案为：625- 20．2sin 4【详解】原式=2|cos4|2|sin 4cos4|=-+，因为342ππ<<，所以cos40,sin4cos40<+<．所以原式2cos42(sin 4cos4)=-++2sin 4=．故答案为：2sin 4 21．8 【详解】解：222222sin 20111tan 2020sin 20sin 701tan 20c o 12c s os 0︒+⎛+︒︒⋅=⋅ ︒-︒⎝⎭⎝-︒⎭︒ ()22222220sin 20sin 7030sin1s 0012cos 0cos co co 20440sin 20sin140sin 40s 0cos 42︒+︒+︒⎛⎫︒=︒︒︒︒⨯⨯=⨯⨯ ⎪︒-︒⎝⎭︒sin100sin1008882sin 404s co 8s 0in 0=⨯︒︒︒=⨯︒=︒故答案为：822由sin 2cos 022x x -=，知cos 02x≠，所以tan 22x =，所以222tan2242tan 1231tan 2xx x ⨯===---．所以cos25cos sin()4xx x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭cos2cos (sin )4x x x π=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭22=⎝⎭cos sin sin x xx +==1tan tan 4x x +==． 23．（1）2；（2）232 【详解】（1）因为tan1tan 44tan(144)11tan1tan 44︒+︒︒+︒==-︒︒，所以tan1tan 441tan1tan 44︒+︒=-︒︒，即tan1tan 44tan1tan 441︒+︒+︒︒=，所以()()1tan11tan 441tan 44tan1tan1tan 44+︒+︒=+︒+︒+︒︒=2 （2）设45αβ+=︒，则tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-，所以tan tan tan tan 1αβαβ++=，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 2αβαβαβ++=+++=，所以(1tan1)(1tan 44)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 22)(1tan 23)2+︒+︒=+︒+︒=⋅⋅⋅=+︒+︒=，又1tan 45+︒=2 所以原式=2223222⨯= 24．（1）1cos 22x （2）0 （3）sin 1cos αα+（1）22ππ111sin sin cos sin cos 244222x x x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫-+==-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()11cos cos 120cos 120cos cos cos 022A A A A A A A A +-++=--︒=︒（3）2sin 2cos 2sin cos cos sin 1cos 21cos 2cos 1cos 1cos αααααααααα⋅=⋅=++α++25．（1）∵221cos 21cos 2sin 2sin cos 3cos sin 23sin 22cos 2122x xy x x x x x x x -+=+-=+-⨯=--，∴由辅助角公式可得()21y x ϕ--，其中tan 2ϕ=， ∴函数的最小正周期为22ππ=. （2）由（1）知：()21y x ϕ--，其中tan 2ϕ=，∴当22,2x k k Z πϕπ-=+∈，即,24x k k Z ϕππ=++∈时，函数()21y x ϕ=--取得最大值，1.26．（1）()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[;（2）[)1,+∞. 【详解】（1）()sin 2cos2f x x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[ （2）由()0y f x a =-≤在π[,0]2-恒成立，即()a f x ≥，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，∵π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π3ππ2,444t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，作出3ππ,,44y t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦草图，由图知：当π4t =，max 1y = ∴1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞. 27．（1）14；（2）1.解：（1）角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<，tan yxα==23πα=．10sin cos 2sincos 2cos 211199cos cos 223234cos 2sin 1818186πππαααπππππππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==-=-+== ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭（2）()()()sin 222sin 22sin 233f x x x x x ππααα⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()max 2sin 16f x π==．28．（1）112-；512-；（2（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-111123212⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--111523212⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭．（2）原式()2sin 402sin 40cos 40cos 402cos 401︒+︒︒=︒+︒-()()()()2sin 60sin 60sin 40sin80cos 40cos80cos 60cos 600202020++=︒=-︒︒++︒︒︒︒︒︒-︒︒++︒2sin 60cos 20tan 602cos60cos 20︒︒︒︒===︒29．（1）最小正周期为π，最大值为2，最小值为1-；（2．【详解】（1）由2()cos 2cos 1f x x x x =-+，得()2()cos )2cos 1f x x x x =--2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为π．因为2470,02,233666x x x πππππ≤≤∴≤≤∴-≤-≤，所以1sin 21,12sin 22266x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤-≤∴-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-．（2）因为062sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以03sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又00,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以02,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以04cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以006cos 2cos 26x x ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣-⎦=00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=⨯=30．【详解】（1）由4sin 3cos 0+=αα，则3tan 4α=-，()()cos sin sin sin sin sin 32tan 59sin cos 4cos sin cos sin 2222παπααπααααππππαααααα⎛⎫+-- ⎪--+⎡⎤-⋅⎝⎭⎣⎦===-=⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式2sin 50cos101⎛︒+︒ =2sin 50cos10︒+︒==12sin 502cos102⎛⎫︒+︒+︒ ⎪=2sin 502sin 3010︒+︒+︒==50⎫︒︒⎪==2cos52cos5︒===︒. （3）左边2sin lg cos 12sin lg cos 24x x x x x π⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()lg sin cos lg cos sin 44x x x x ππ⎫=++⎪⎭()()2lg sin cos lg 1sin 2x x x =+=+，得证.。

函数的连续性(课件

数学上，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值为$f(x_0)$，即 $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称$f(x)$在点$x_0$处连续。
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
闭区间上的连续函数满足中值定理，即如果一个闭区间上的连续函数在两端取值相等，则该函数在这个区间内至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质，即如果一个闭区间上的连续函数在两端取值异号，则该函数在这个区间内至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质，它表明函数在定义域内的任意两点之间的变化都是均匀的。一致连续的函数在定义域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其性质比较稳定。这个性质在解决一些数学问题时也非常有用，例如求解函数的极限等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解33---空间向量与空间角

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第33讲空间向量与空间角[考情分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．考点一异面直线所成的角核心提炼设异面直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，异面直线l 与m 的夹角为θ. 则(1)θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2； (2)cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝⎪⎪⎪⎪a ·b |a ||b | ＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. 例1 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 D解析方法一如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1， B 1D 1∩BB 1＝B 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP . 连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt △C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6.方法二以B 1为坐标原点，B 1C 1，B 1A 1，B 1B 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则B (0,0,2)，P (1,1,0)，D 1(2,2,0)，A (0,2,2)，PB →＝(－1，－1,2)，AD 1--→＝(2,0，－2)．设直线PB 与AD 1所成的角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AD 1--→|PB →||AD 1--→|＝|－6|6×8＝32.因为θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以θ＝π6.方法三如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6.(2)(2022·河南名校联盟联考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA 1，BB 1，CC 1，DD 1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB 1与CD 1所成角的余弦值为( )A.45B.35C.34D.23 答案 A解析设上底面圆心为O 1，下底面圆心为O ，连接OO 1，OC ，OB ，O 1C 1，O 1B 1，以O 为原点，分别以OC ，OB ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,2,0)， B 1(0,1,2)，D 1(2,0,2)，则CD 1--→＝(1,0,2)， AB 1--→＝(0，－1,2)，cos 〈CD 1--→，AB 1--→〉＝CD 1--→·AB 1--→||CD 1--→||AB 1--→＝45×5＝45，又异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线AB 1与CD 1所成角的余弦值为45.规律方法平移线段法求异面直线所成角的步骤(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角． (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角． (3)计算：求该角的值(常利用解三角形)．(4)取舍：由异面直线所成的角的范围确定两条异面直线所成的角．跟踪演练1 (1)(2022·南宁模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为平面AA 1B 1B 的中心，O 1为平面A 1B 1C 1D 1的中心．若E 为CD 中点，则异面直线AE 与OO 1所成角的余弦值为( ) A.255 B.105C.510D.55答案 B解析设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,1,0)， O (2,1,1)，O 1(1,1,2)， AE --→＝(－2,1,0)， OO 1--→＝(－1,0,1)，设异面直线AE 与OO 1所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE --→·OO 1--→||AE --→||OO 1--→＝25×2＝105.则异面直线AE 与OO 1所成角的余弦值为105. (2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝CA ＝CB ＝5，AB ＝PC ＝2，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为( )A.1112B.2324C.34D.56 答案 B解析如图，连接CD ，取CD 的中点F ，连接EF ，BF ，则EF ∥PD ，∠BEF 为异面直线PD ，BE 所成的角．由题意可知PD ＝CD ＝BE ＝26，EF ＝6，BF ＝()62＋12＝7，所以cos ∠BEF ＝24＋6－72×26×6＝2324.考点二直线与平面所成的角核心提炼设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则(1)θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.例2(2022·全国甲卷)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，DP ＝ 3.(1)证明：BD ⊥P A ；(2)求PD 与平面P AB 所成角的正弦值．(1)证明在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图．因为CD ∥AB ，AD ＝CD ＝CB ＝1， AB ＝2，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以AE ＝BF ＝12，故DE ＝32， BD ＝DE 2＋BE 2＝3，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD .因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BD ，又PD ∩AD ＝D ，PD ，AD ⊂平面P AD ，所以BD ⊥平面P AD . 又因为P A ⊂平面P AD ，所以BD ⊥P A .(2)解由(1)知，DA ，DB ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)， B (0，3，0)，P (0,0，3)，则AP →＝(－1,0，3)， BP →＝(0，－3，3)， DP →＝(0,0，3)．设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－3y ＋3z ＝0，可取n ＝(3，1,1)，则cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝55，所以PD 与平面P AB 所成角的正弦值为55. 易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a 和平面的法向量n 所成的角〈a ，n 〉的关系是〈a ，n 〉＋θ＝π2或〈a ，n 〉－θ＝π2，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．跟踪演练2 (2022·龙岩质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，P A ＝PD ＝PB ，BC ＝DC ＝12AD ＝2，E 为AD 的中点，且PE ＝4.(1)求证：PE ⊥平面ABCD ；(2)记PE 的中点为N ，若M 在线段BC 上，且直线MN 与平面P AB 所成角的正弦值为39，求线段BM 的长度． (1)证明连接BE ，∵BC ＝12AD ＝DE ＝2，AD ∥BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形， ∴BE ＝CD ＝2，∵P A ＝PD 且E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD ， ∴PD ＝PE 2＋DE 2＝16＋4＝25， ∴PB ＝PD ＝25，∴PE 2＋BE 2＝PB 2，即PE ⊥BE ，又∵AD ∩BE ＝E ，AD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD .(2)解以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (－2,2,0)，P (0,0,4)， ∴AB →＝(－2,2,0)，PB →＝(0,2，－4)，设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，2y －4z ＝0，故可取n ＝(2,2,1)，设BM ＝t (t ∈[0,2])，则M (－t ，2,0)，而N (0,0,2)， ∴MN →＝(t ，－2,2)，设直线MN 与平面P AB 所成的角为θ，则sin θ＝||cos 〈MN →，n 〉＝||MN →·n ||MN →|n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t －4＋2t 2＋4＋4·9＝39，化简得11t 2－24t ＋4＝0，解得t ＝2或t ＝211，满足t ∈[0,2]，故线段BM 的长度为2或211.考点三平面与平面的夹角核心提炼设平面α，β的法向量分别为u ，v ，平面α与平面β的夹角为θ，则(1)θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |.例3(2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO 是三棱锥P －ABC 的高，P A ＝PB ，AB ⊥AC ，E 为PB 的中点．(1)证明：OE ∥平面P AC ；(2)若∠ABO ＝∠CBO ＝30°，PO ＝3，P A ＝5，求平面CAE 与平面AEB 夹角的正弦值． (1)证明如图，取AB 的中点D ，连接DP ，DO ，DE .因为AP ＝PB ，所以PD ⊥AB . 因为PO 为三棱锥P －ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC .因为AB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥AB . 又PO ，PD ⊂平面POD ，且PO ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面POD .因为OD ⊂平面POD ，所以AB ⊥OD ，又AB ⊥AC ，AB ，OD ，AC ⊂平面ABC ，所以OD ∥AC .因为OD ⊄平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以OD ∥平面P AC .因为D ，E 分别为BA ，BP 的中点，所以DE ∥P A .因为DE ⊄平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，所以DE ∥平面P AC .又OD ，DE ⊂平面ODE ，OD ∩DE ＝D ，所以平面ODE ∥平面P AC .又OE ⊂平面ODE ，所以OE ∥平面P AC . (2)解连接OA ，因为PO ⊥平面ABC ，OA ， OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥OA ，PO ⊥OB ，所以OA ＝OB ＝P A 2－PO 2＝52－32＝4. 易得在△AOB 中，∠OAB ＝∠ABO ＝30°，所以OD ＝OA sin 30°＝4×12＝2，AB ＝2AD ＝2OA cos 30°＝2×4×32＝4 3. 又∠ABC ＝∠ABO ＋∠CBO ＝60°，所以在Rt △ABC 中，AC ＝AB tan 60°＝43×3＝12.以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0,0,0)，B (43，0,0)，C (0,12,0)， P (23，2,3)，E ⎝⎛⎭⎫33，1，32，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫33，1，32，AB →＝(43，0,0)， AC →＝(0,12,0)．设平面CAE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33x ＋y ＋32z ＝0，12y ＝0，令z ＝23，则n ＝(－1,0,23)．设平面AEB 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33x 1＋y 1＋32z 1＝0，43x 1＝0，令z 1＝2，则m ＝(0，－3,2)，设平面CAE 与平面AEB 夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪n ·m |n ||m |＝4313. 所以sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫43132＝1113. 所以平面CAE 与平面AEB 夹角的正弦值为1113.易错提醒平面与平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，两向量夹角的范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．跟踪演练3 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝π3，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面P AD .(2)求平面AEF 与平面AED 夹角的余弦值． (1)证明连接AC (图略)．因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AE ，又因为AB ＝AD ，且四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．又因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ，又因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，因为P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以AE ⊥平面P AD ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面P AD .(2)解以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，1，AE →＝(3，0,0)，AF →＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，因为P A ⊥平面AED ，所以n ＝(0,0,1)是平面AED 的一个法向量．设平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，32x ＋12y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝0，y ＝－2，即m ＝(0，－2,1)．设平面AEF 与平面AED 夹角为θ，则cos θ＝||cos 〈n ，m 〉＝||n ·m ||n ||m ＝15＝55，所以平面AEF 与平面AED 夹角的余弦值为55. 专题强化练一、单项选择题1．A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面答案 B解析方法一因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则OP →－OA →＝－14OA →＋18OB →＋18OC →，即OP →－OA →＝18 OB →－OA →)＋18(OC →－OA →)，即AP →＝18AB →＋18AC →，由空间向量共面定理可知，AP →，AB →，AC →共面，则P ，A ，B ，C 四点一定共面．方法二因为34＋18＋18＝1，由空间向量共面定理的推论知，P ，A ，B ，C 四点共面．2．(2022·温州模拟)在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1与底面垂直，上、下底面均为矩形，AB ＝1，AD ＝AA 1＝A 1B 1＝2，则下列各棱中最长的是( ) A ．BB 1B ．B 1C 1 C ．CC 1D ．DD 1 答案 B解析由四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1可得 AD A 1D 1＝AB A 1B 1＝12，故A 1D 1＝4.因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而A 1D 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，故AA 1⊥A 1D 1，AA 1⊥A 1B 1，而A 1D 1⊥A 1B 1，故可建立如图所示的空间直角坐标系．故A 1(0,0,0)，B (0,1,2)，B 1(0,2,0)，C 1(－4,2,0)，C (－2,1,2)，D (－2,0,2)，D 1(－4,0,0)，故BB 1＝|BB 1--→|＝1＋4＝5，B 1C 1＝|B 1C 1--→|＝4，CC 1＝|CC 1--→|＝4＋1＋4＝3，DD 1＝|DD 1--→|＝8＝22，结合选项知棱B 1C 1最长．3.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AD ，E 为侧棱DD 1上一点，若直线BD 1∥平面AEC ，则二面角E －AC －B 的正切值为( )A.2B ．－ 2 C.22D ．－22答案 B解析如图，连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，B 1D 1，由题意可知，BD 1∥EF ，因为F 为BD 的中点，所以E 为DD 1的中点，又AC ⊥平面BDD 1B 1， BD ，EF ⊂平面BDD 1B 1，所以EF ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠EFD 为二面角E －AC －D 的平面角，设AD ＝a ，则ED ＝a ，DF ＝22a ，在Rt △EFD 中，tan ∠EFD ＝EDDF＝2，又二面角E －AC －B 与二面角E －AC －D 互补，所以二面角E －AC －B 的正切值为－ 2.4．(2022·菏泽检测)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，A 1在底面ABC 上的射影点D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C解析如图，连接A 1D ，AD ，A 1B ，由CC 1∥AA 1，知∠A 1AB 为异面直线AB 与CC 1所成的角，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的等边三角形，且侧棱长为3，A 1在底面ABC 上的射影点D 为BC 的中点，可得AD ＝4－1＝3，A 1D ＝9－3＝6， A 1B ＝(6)2＋1＝7，由余弦定理得cos ∠A 1AB ＝9＋4－72×3×2＝12，因为∠A 1AB ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以∠A 1AB ＝π3，所以异面直线AB 与CC 1所成角的大小为π3.5．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则( )A ．AB ＝2ADB ．AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30° C ．AC ＝CB 1D ．B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45° 答案 D解析如图，连接BD ，易知∠BDB 1是直线B 1D 与平面ABCD 所成的角，所以在Rt △BDB 1中，∠BDB 1＝30°，设BB 1＝1，则B 1D ＝2BB 1＝2， BD ＝B 1D 2－BB 21＝ 3.易知∠AB 1D 是直线B 1D 与平面AA 1B 1B 所成的角，所以在Rt △ADB 1中，∠AB 1D ＝30°. 因为B 1D ＝2，所以AD ＝12B 1D ＝1，AB 1＝B 1D 2－AD 2＝3，所以在Rt △ABB 1中，AB ＝AB 21－BB 21＝2，所以A 项错误；易知∠BAB 1是直线AB 与平面AB 1C 1D 所成的角，因为在Rt △ABB 1中，sin ∠BAB 1＝BB 1AB 1＝33≠12，所以∠BAB 1≠30°，所以B 项错误；在Rt △CBB 1中，CB 1＝BC 2＋BB 21＝2，而AC ＝AB 2＋BC 2＝3，所以C 项错误；易知∠DB 1C 是直线B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角，因为在Rt △DB 1C 中，CB 1＝CD ＝2，所以∠DB 1C ＝45°，所以D 项正确．6．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a 与b ，规定：①a ×b 为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a ×b 三个向量构成右手直角坐标系(如图1)；③||a ×b ＝||a ||b sin 〈a ，b 〉；④若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ×b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1，z 1y 2，z 2，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1，z 1x 2，z 2，＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1，y 1x 2，y 2，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc .如图2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，则下列结论正确的是( )A ．|AB →×AD →|＝|AA 1--→| B.AB →×AD →＝AD →×AB →C ．(AB →－AD →)×AA 1--→＝AB →×AA 1--→－AD →×AA 1--→D ．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝(AB →×AD →)·C 1C --→答案 C解析如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)， A 1(2,0,3)，C 1(0,2,3)，AB →＝(0,2,0)，AD →＝(－2,0,0)，AA 1--→＝(0,0,3)，则AB →×AD →＝(0,0,4)，所以选项A 错误； AD →×AB →＝(0,0，－4)，故选项B 错误； AB →－AD →＝DB →＝(2,2,0)，则(AB →－AD →)×AA 1--→＝(6，－6,0)， AB →×AA 1--→＝(6,0,0)，AD →×AA 1--→＝(0,6,0)，则AB →×AA 1--→－AD →×AA 1--→＝(6，－6,0)．所以(AB →－AD →)×AA 1--→＝AB →×AA 1--→－AD →×AA 1--→，故选项C 正确； C 1C --→＝(0,0，－3)，则(AB →×AD →)·C 1C --→＝－12，故选项D 错误．二、多项选择题7．(2022·山东联考)若{}a ，b ，c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( ) A ．a ＋b ＋c ，a －b ，2b ＋c B ．a －b ，a －c ，b －c C ．a ＋2b ，a －2b ，a ＋c D ．a －2b ，6b －3a ，－c 答案 ABD 解析选项A ，因为a ＋b ＋c ＝(a －b )＋(2b ＋c )，所以a ＋b ＋c ，a －b ，2b ＋c 共面；选项B ，因为a －b ＝(a －c )－(b －c )，所以a －b ，a －c ，b －c 共面；选项C ，a ＋2b ，a －2b 在a ，b 构成的平面内且不共线，a ＋c 不在这个平面内，不符合题意；选项D ，因为a －2b ，6b －3a 共线，所以a －2b ，6b －3a ，－c 共面．8．(2022·广州模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝4，则下列命题为真命题的是( )A ．若直线AC 1与直线CD 所成的角为φ，则tan φ＝52B ．若经过点A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，且l 与平面BCC 1B 1交于点M ，则AM ＝29 C ．若经过点A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则sin θ＝33D ．若经过点A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sin μ＝63答案 ACD解析对于A ，如图，直线AC 1与直线CD 所成的角，即为直线AC 1与直线AB 所成的角即∠BAC 1，则tan φ＝tan ∠BAC 1＝BC 1AB ＝52，正确；对于B ，构建如图所示的空间直角坐标系，过A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，与平面BCC 1B 1交于M (x ，2，z )且x ，z >0，则AM →＝(x ，2，z )，又AA 1--→＝(0,0,3)， AB →＝(0,2,0)， AD →＝(4,0,0)，则cos 〈AA 1--→，AM →〉＝zx 2＋4＋z 2＝cos 〈AB →，AM →〉＝2x 2＋4＋z 2＝cos 〈AD →，AM →〉＝xx 2＋4＋z 2，故x ＝z ＝2，则AM ＝23，错误；对于C ，如图，过A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m 为以4为棱长的正方体的体对角线AP ，故sin θ＝33，正确；对于D ，如图，过A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需平面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如平面EDF ，故cos μ＝33，则sin μ＝63，正确．三、填空题9．在空间直角坐标系中，设点M 是点N (2，－3,5)关于坐标平面Oxy 的对称点，点P (1,2,3)关于x 轴的对称点为Q ，则线段MQ 的长度等于________．答案 6解析因为点M 是点N (2，－3,5)关于坐标平面Oxy 的对称点，所以M (2，－3，－5)，又因为点P (1,2,3)关于x 轴的对称点为Q ，所以Q (1，－2，－3)．因此|MQ |＝|MQ →|＝(1－2)2＋[(－2)－(－3)]2＋[(－3)－(－5)]2＝ 6.10.如图，矩形ABCD 是圆柱O 1O 2的轴截面，AB ＝2，AD ＝3，点E 在上底面圆周上，且EC ︵＝2DE ︵，则异面直线AE 与O 2C 所成角的余弦值为________．答案1920解析以O 2为坐标原点，O 2B ，O 2O 1所在直线分别为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O 2(0,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,3)，E ⎝⎛⎭⎫32，－12，3，故AE →＝⎝⎛⎭⎫32，12，3，O 2C --→＝(0,1,3)，故cos 〈AE →，O 2C --→〉＝AE →·O 2C --→|AE →||O 2C --→|＝12＋934＋14＋9×1＋9＝1920，故异面直线AE 与O 2C 所成角的余弦值为1920.11.如图，在二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB ＝1，AC ＝2，BD ＝3，CD ＝22，则这个二面角的大小为________．答案 60°解析设这个二面角的大小为α，由题意得CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2|CA →|·|BD →|cos(π－α)， ∴(22)2＝4＋1＋9－2×2×3×cos α，解得cos α＝12，∴α＝60°，∴这个二面角的大小为60°.12．(2022·南通模拟)已知正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，P 是正六棱柱内(不含表面)的一点，则AP →·AB →的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎫－12，32 解析建立如图所示的空间直角坐标系，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ＝1，由正六边形的性质可得， A (0,0,0)，B (1,0,0)， F ⎝⎛⎭⎫－12，32，0， C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，设P (x ，y ，z )，其中－12<x <32，所以AB →＝(1,0,0)，AP →＝(x ，y ，z )，所以AB →·AP →＝x ，所以AB →·AP →的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，32. 四、解答题13.(2022·莆田质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，F 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AFC ；(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在横线上，并作答． ①∠ABC ＝π3；②BD ＝3AC ；③PC 与平面ABCD 所成的角为π4.若P A ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝2，且________，求平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)证明连接BD 交AC 于点O ，因为ABCD 是菱形，所以O 为BD 的中点．连接OF .因为F 为PD 的中点，所以OF 为△PBD 的中位线，所以OF ∥PB .因为OF ⊂平面AFC ，PB ⊄平面AFC ，所以PB ∥平面AFC . (2)解过O 作Oz ∥AP .以O 为原点，OB →，OC →，Oz →为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．选条件①：∠ABC ＝π3.在菱形ABCD 中， AC ⊥BD .因为AB ＝AP ＝2，所以OB ＝OD ＝2×sin π3＝3，OA ＝OC ＝2×cos π3＝1.所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)， C (0,1,0)，D (－3，0,0)，P (0，－1,2)， F ⎝⎛⎭⎫－32，－12，1. 所以AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACF 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量．设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ，所以cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝|0＋0＋3|4＋0＋3×0＋0＋1＝217.所以平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值为217. 选条件②：BD ＝3AC .在菱形ABCD 中，BD ＝3AC ，所以OB ＝3OC ，所以BC ＝OB 2＋OC 2＝2OC . 因为AB ＝AP ＝2，所以OB ＝OD ＝3，OA ＝OC ＝1. 所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)， C (0,1,0)，D (－3，0,0)，P (0，－1,2)， F ⎝⎛⎭⎫－32，－12，1. 所以AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACF 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量．设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ，所以cos θ＝||cos 〈n ，m 〉＝||n ·m ||n ||m ＝|0＋0＋3|4＋0＋3×0＋0＋1＝217.所以平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值为217. 选条件③：PC 与平面ABCD 所成的角为π4.因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成的角，即∠PCA ＝π4.在Rt △P AC 中，由∠PCA ＝π4，可得P A ＝CA ＝2.所以OB ＝OD ＝3，OA ＝OC ＝1. 所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)， C (0,1,0)，D (－3，0,0)，P (0，－1,2)， F ⎝⎛⎭⎫－32，－12，1. 所以AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACF 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量．设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ，所以cos θ＝||cos 〈n ，m 〉＝|n ·m ||n ||m |＝|0＋0＋3|4＋0＋3×0＋0＋1＝217.所以平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值为217. 14.(2022·湖北联考)如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝1，BC ＝1，CD ＝2，点A 在平面PCD 内的射影恰好是△PCD 的重心G .(1)求证：平面P AB ⊥平面PBC ；(2)求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明因为P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，因为∠ABC ＝90°，所以BC ⊥AB ，又P A ∩AB ＝A ，P A ⊂平面P AB ， AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面P AB ⊥平面PBC . (2)解取CD 的中点E ，连接AE ，因为∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝1，CD ＝2，所以四边形ABCE 是矩形，所以AB ⊥AE ，因为P A ⊥平面ABCD ，AB ，AE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE ，所以AB ，AE ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，E (0,1,0)， D (－1,1,0)，设P (0,0，t )(t >0)，则G ⎝⎛⎭⎫0，23，t 3，AG →＝⎝⎛⎭⎫0，23，t 3，DG →＝⎝⎛⎭⎫1，－13，t 3，因为点A 在平面PCD 内的射影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG ⊥平面PCD ，又DG ⊂平面PCD ，所以DG ⊥AG ，所以DG →·AG →＝0，所以0－29＋t 29＝0，t ＝2，则P (0,0，2)，BC →＝(0,1,0)，PB →＝(1,0，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧BC →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x －2z ＝0，不妨令x ＝2，即m ＝(2，0,1)， DG 的方向向量是DG →＝⎝⎛⎭⎫1，－13，23，设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，DG →〉|＝|m ·DG →||m ||DG →|＝4233×129＝223.故直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值为223.。

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用1.函数的连续性函数的连续性是指在其定义域上，函数在任意一点的左右极限存在且相等，即函数在这一点处没有跳跃或间断现象。

具体来说，函数f(x)在x=a处连续，是指当x无限接近于a时，f(x)无限接近于f(a)。

要判断函数的连续性，可以通过求函数的极限来进行判断。

设函数f(x)定义域为D，x=a是D的一个聚点，则函数f(x)在x=a处连续的充要条件是：lim┬(x→a)⁡f(x)=f(a)在求函数的极限时，可以运用极限的性质，如四则运算、复合函数的极限、三角函数的极限等。

2.应用题在高考中，经常会出现与函数的连续性相关的应用题，下面我们通过例题来具体分析：例1：设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，则方程f(x)=3的根的个数为（）。

解析：根据题目中给出的条件，我们知道函数f(x)在x=1、x=2和x=3处的函数值，而函数在这些点上连续。

由于函数在这些点的函数值没有间断现象，所以可以用插值法求解方程f(x)=3的根。

由于f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，我们可以直观地发现，函数在x=2和x=3之间有一个根，所以方程f(x)=3的根的个数为1例2：已知函数f(x)在[-1,1]上连续，且f(x)满足f(x^2)=f(x)，则f(0)的值为（）。

解析：根据题目中给出的条件，我们可以看出函数f(x)存在关于x的对称性，即函数关于x轴对称。

所以，我们只需要找到函数f(x)在[0,1]上的值即可。

由于函数在[-1,1]上连续，所以可以得到f(1)=f((-1)^2)=f(-1)，即f(1)=f(-1)。

由对称性可得f(0)=f(1)=f(-1)。

所以f(0)的值为f(1)=f(-1)。

因此，f(0)的值在题目中是无法确定的。

通过以上两个例题的分析，我们可以看出，对于函数的连续性应用题，需要根据题目中给出的条件来进行具体分析。

高数函数极限与连续市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

解：（由外向内脱“函数”这件衣服）
故
可以把
y
arcsin
x 2
2
分解成
y u2 , u arcsin v, v x 的复合 2
练习3、将 f ( x) x x 分解成几种简朴
函数旳复合.
机动目录上页下页返回结束
5. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
x x
x x
定理2. 有限个无穷小旳和还是无穷小 .
反例：lim n
n2
1
n
n2
2
n
n n2 n
机动目录上页下页返回结束
例3、求
lim
x
2x3 7 x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型 )“ 抓大头”
解：x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.
先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.
x1
x1
x1
机动目录上页下页返回结束
3、无穷小与无穷大 lim f (x) 0 称函数 f (x) 在此极限过程为无穷小
lim 1 0 称函数 f (x) 在此极限过程为无穷大 f (x)
定理1 . 有界函数与无穷小旳乘积是无穷小 .
例： lim sin x lim 1 sin x 0 .
4、两个主要极限 5、无穷小阶旳比较
机动目录上页下页返回结束
1、自变量趋于无穷大时函数旳极限
1）直观定义: 函数 y f ( x)在自变量 x
（或n ）的过程中, 对应函数值 f ( x)无限
趋近于一个确定常数 A.
lim
n

难点33函数的连续及其应用

难点33函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高等数学中的一个重要概念，也是函数论的基础。

连续性可以用来描述函数在特定点附近的变化情况，并且在实际问题中有广泛的应用。

首先，我们来介绍连续的定义。

设函数f(x)在点x=a处有定义，则当x自变量无论怎样地从a的左边或右边逼近a时,函数值f(x)极限总存在，并且与a相等,则称函数f(x)在点x=a处连续。

接下来，我们来讨论几个与连续性相关的重要定理。

首先是函数连续性的四则运算。

根据连续性的定义，我们可以证明如果函数f和g在特定点x=a处连续，则函数f+g、f-g、f*g和f/g也在该点连续。

这个定理可以通过极限的定义和运算法则来证明。

其次是函数的复合的连续性。

如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(y)在点y=b处连续，并且f(a)=b，则复合函数g(f(x))在点x=a处连续。

这个定理也是通过连续性的定义和极限的性质来证明的。

再次是闭区间上连续函数的性质。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上有界且一致连续。

也就是说，闭区间上的连续函数在该区间上的取值是有限的，并且对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当，x1-x2，<δ时，f(x1)-f(x2)，<ε。

最后，我们来介绍函数连续的应用。

函数的连续性在实际问题中有广泛的应用。

例如，在经济学中，连续函数的概念可以用来描述市场供需曲线的变化情况，帮助我们分析市场的均衡点和价格变动。

在物理学中，连续函数的概念可以用来描述物体的运动轨迹和变化速度。

在工程学中，连续函数的概念可以用来描述电路中电流和电压的变化情况，帮助我们分析电路的稳定性和性能。

总结起来，函数的连续及其应用是高等数学中的一个重要概念。

通过理解函数的连续性定义和相关的定理，我们可以更好地理解和应用函数的性质。

同时，函数的连续性也在实际问题中有广泛的应用，帮助我们分析并解决各种实际问题。

高中数学复习专题讲座(第33讲)函数的连续及其应用

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

《函数的连续》课件

函数连续_精品文档

总复习《第33讲 基本不等式》

最新高三教案-第33讲圆锥曲线方程及性质 精品

高考数学复习考点知识专题讲解课件第33讲 等差数列及其前n项和

高三数学总复习优秀ppt课件(第33讲)等比数列(46页)

高考数学复习考点知识与结论专题讲解33 数列的概念和性质

《函数连续性》课件

高三数学第二轮专题讲座复习：函数的连续及其应用

2020高考数学函数的连续及其应用

高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案

高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用

严格单调和反函数的关系 (老黄学高数第33讲)

高一数学复习考点知识与题型专题讲解33--- 三角恒等变换技巧基础过关必刷题

函数的连续性(课件

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解33---空间向量与空间角

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用

高数函数极限与连续市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

难点33函数的连续及其应用

总复习《第33讲基本不等式》

最新高三教案-第33讲圆锥曲线方程及性质精品

高考数学复习考点知识专题讲解课件第33讲等差数列及其前n项和