2020年北师版数学必修二 1.1.2

第一章§1 1.2

A级基础巩固

一、选择题

1．在如图所示的几何体中，是棱台的是(C)

A．①②B．①③

C．③D．②③

[解析]①中几何体各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中几何体各侧棱的延长线能交于一点，且截面与底面平行．故只有③是棱台．2．下列关于直棱柱的描述不正确的是(D)

A．侧棱都相等，侧面是矩形

B．底面与平行于底面的截面是全等的多边形

C．侧棱长等于棱柱的高

D．有两个矩形的侧面的棱柱是直棱柱

[解析]举反例，如图是在直棱柱上分别作过AD、B′C′的平行平面截得的棱柱．该棱柱有两个矩形的侧面，但不是直棱柱．

3．给出下列几个结论：

①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；

②多面体至少有四个面；

③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．

其中，错误的个数是(A)

A．0B．1

C．2D．3

[解析]①显然是正确的；

对于②，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少

应有四个面，而且这样的面必是三角形，故②是正确的；

对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故③是正确的．4．一个棱柱是正四棱柱的条件是(D)

A．底面是正方形有两个侧面是矩形

B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面

C．底面是菱形且有一个顶点处的两条棱互相垂直

D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱

[解析]对于A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形(相对的两个面)；

对于B，垂直于底面的侧面不是面内所有直线都垂直于底面，因此，不能保证侧棱垂直于底面；

对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；

对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D．

5．下列几何体中棱柱的个数为(D)

A．5 B．4

C．3 D．2

[解析]棱柱的特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．

6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(B)

A．1 B．2

C．快D．乐

[解析]由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2．

二、填空题

7．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于__60°__．

[解析]由展开图可知，折成的无盖盒子的示意图如图所示(上面无盖)．在△ABC中，因为AB，AC，BC均为正方形的对角线，所以AB＝AC＝BC，故△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°．

8．下列结论中正确的是__④__．

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；

③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；

④底面是正多边形，并且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥．

[解析]①不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心；②不能保证底面为正多边形，只能说明多边形共圆；③这个命题更具迷惑性，最关键的原因是不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确，只有④正确．

三、解答题

9．如图所示的是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．

[解析] 过A ′、B 、C 三点作一个平面，再过A ′、B 、C ′作一个平面，就把三棱台ABC －A ′B ′C ′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A ′－ABC 、B －A ′B ′C ′、A ′－BCC ′.(本题答案不唯一)

10．如图所示，若正四棱锥底面边长为a ，SO 为正四棱锥的高，∠SBO ＝60°，求正四棱锥的侧棱长和斜高．

[解析] 如图所示，在正四棱锥S －ABCD 中，因为BC ＝a ，

所以OB ＝

2

2

a ，在Rt △SOB 中，∠SBO ＝60°， 所以SB ＝2OB ＝2a ，SO ＝

62

a ． 作OM ⊥BC 于M ，连接SM ，则SM ⊥B C ． 在Rt △SOM 中，OM ＝a 2，SM ＝SO 2＋OM 2＝7

2a ．

所以正四棱锥的侧棱长为2a ，斜高为

7

2

a ． B 级 素养提升

一、选择题

1．已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( C )

A ．2 3

B ．14

C ．5

D ．6

[解析] 设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

2(ab ＋bc ＋ca )＝11，4(a ＋b ＋c )＝24，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

2(ab ＋bc ＋ca )＝11， ①a ＋b ＋c ＝6， ② 由②平方，得a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝36， ∴a 2＋b 2＋c 2＝25， 即a 2＋b 2＋c 2＝5．

2. 如图所示几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( D )

A ．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B ．该几何体有12条棱、6个顶点

C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D ．该几何体有9个面，其中一个为四边形，另外8个为三角形

[解析] 围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，故四边形ABCD 不是该多面体的面． 二、填空题

3．对如图所示的几何体描述正确的为__①③④⑤__(填序号)．

①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．

[解析] ①正确，因为有六个面，属于六面体．

②错误，因为各侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确． ③正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱． ④⑤都正确，如图(1)(2)所示．

4．正四棱台两底面边长分别为3 cm 和5 cm ，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为__16__cm 2．