【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)不等式(真题+模拟)专项复习及解析
不等式(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
最新-2018年高考数学真题汇编 8：不等式 理 精品
2018高考真题分类汇编：不等式1.【2018高考真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A2.【2018高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.A.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b B.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b C.若2a-2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a-2a=a b-3b ，则a ＜b 【答案】A3.【2018高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.4.【2018高考真题山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【答案】A5.【2018高考真题辽宁理8】设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大，最大值为55，故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。
该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。
2018年高考数学总复习不等式的综合
2018年高考数学总复习不等式的综合命题趋势探究1.从内容上看，不等式经常作为一种工具与函数和方程结合在一起，去研究函数和方程的有关题目；或利用函数和方程的理论研究不等式.如根的分布、恒成立、解析几何中参数的取值范围问题等都是高考命题的热点内容，在高考试题中往往以综合题出现.另外，高考试题中还常以应用题的形式考查函数、方程和不等式的综合问题.2.从考查形式上看，选择题主要考查实数的大小比较及简单的综合问题；填空题主要考查含参数问题中参数的取值范围及函数的最值等；解答题主要是考查不等式与函数、数列、解析几何等知识的综合题目.知识点精讲不等式经常作为一种研究函数和方程有关命题的工具，反之，利用函数和方程的理论也可研究不等式，如恒成立和根的分布问题等.这些都是高考命题中的重点内容，往往以综合题形式出现.题型归纳及思路提示题型不等式恒成立问题中秋参数的取值范围思路提示解答不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图像来解决，其方法大致有：（1）借助函数图像或利用一元二次方程判别式来求解.将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正（或非负）、恒负（或非正）的问题，再借助图像或判别式来求解.（2）分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.（3）变更主元，利用函数与方程的思想求解.（4）借助两个函数图像比较两函数值的大小.构造两个函数，并画出它们的图像，通过图像来比较两个函数值的大小，即用数形结合思想来解决恒成立问题.一、利用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到很好解决.例对于x R，不等式2230x x m，求实数m的取值范围.解析不妨设2f x x x m，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使()0()23f x（xR ），只需0，即2(2)4(3)0m，解得2m，故实数m 的取值范围(,2].变式1 若对于xR ，不等式2230mxmx，求实数m 的取值范围.例已知函数2()22f x xkx 在1x 时恒有()f x k ，求实数k 的取值范围.解析令2()()22F x f x k xkx k ，则()0F x 对一切1x恒成立，()F x 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为xk .①当对称轴1xk 时，()F x 在(1,)上单调递增，故只需(1)F 122k 0k ，得31k；②当对称轴1x k 时，()F x 在(1,)上的最小值为()F k ，故只需()F k 22220kkk ，得11k.由①②知k 的取值范围是[3,1]. 评注为了使()f x k 在[1,)上恒成立，构造一个新函数()()F x f x k 是解题的关键，再利用二次函数的图像和性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决.变式 1 已知函数2()lg(1)f x x xx ，若不等式(3)(392)0xxxf m f 对任意xR 恒成立，求实数m 的取值范围.二、分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题通过等价变形，将变量与参变量从整体式中分离出来，转化为()(f x 或，，)a恒成立问题：（1）若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()(())f x a f x a 恒成立a m （或am ）；（2）若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()(())f x a f x a 恒成立a m （或a m ）；（3）若()f x 在定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域上的最小上界（或最大下界）m ，即()f x 在定义域上增大（或减少）时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可取到.例当(1,2)x时，不等式240x mx恒成立，则m 的取值范围是 .解析解法一：构造函数2()4f x xmx （[1,2]x ）.由于当(1,2)x时，不等式240xmx 恒成立，则(1)0f ，(2)0f ，即140m 且4240m，解得5m.解法二：分离参数法.(1,2)x 时，不等式240x mx 2(4)mxx21xmx，令214()()xf x xxx，因为22244()10x f x xx在区间(1,2)上恒成立，故函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，故5()4f x ，所以5m，因此m 的取值范围是(,5]. 评注若本题中的条件改为[1,2]x，则m 的取值范围是(,5)，希望同学们认真、仔细地体会其中的不同.变式1 设函数2()1f x x对任意的3[,)2x ，2()4()(1)x f m f x f x m4()f m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .变式2 不等式2|3||1|3x x aa 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(,1][4,) B.(2][5,)C.[1,2]D. (,1][2,)变式3 若不等式lg(2)1lg()ax ax 在[1,2]x时恒成立，试求a 的取值范围.变式4 已知不等式11112log (1)122123a a n nn对于一切大于1的自然数都成立，试求实数a 的取值范围.三、变更主元例若不等式221(1)x m x，对满足22m的所有m 都成立，求x 的范围.分析欲求x 的范围，将x 视为参数，将m 视为主元，那么关于x 的二次不等式转化为关于m 的一次不等式的形式进行求解，非常简捷.解析原不等式可化为2(1)(21)0m xx .令2()(1)(21)f m m xx (22)m，它是关于m 的一次函数. 由题意知22(2)2(1)(21)(2)2(1)(21)f x x f xx ，解得171322x，所以x 的取值范围是1713(,)22.评注利用函数思想，确定主元，根据一次函数的性质求解.变式 1 对于满足04p 的所有实数p ，使不等式243xpx x p 都成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(3,) B. (1][3,)C.(1,3)D.[1,3]例7.37 已知()f x 是定义在[1,1]上的奇函数，且(1)1f .若,[1,1]a b ，0a b ，有()()0f a f b a b.（1）判断函数()f x 在[1,1]上是增函数还是减函数；（2）解不等式11()(2)22f xf x；（3）若2()21f x ma m 对所有[1,1]x ，[1,1]a 恒成立，求实数m 的取值范围.分析本题亮点在于利用主元变更和等价转化的思想逐步消去参数，从而求得实数m 的取值范围.解析（1）设1211x x ，则1212()()()()f x f x f x f x 121212()()()0f x f x x x x x ，可知12()()f x f x ，所以()f x 在[1,1]上是增函数.（2）由()f x 在[1,1]上是增函数知11121121211222xx xx，解得1142x，故不等式的解集为11[,]42. （3）因为()f x 在[1,1]上是增函数，所以()(1)1f x f ，则函数()f x 在[1,1]上的最大值为1，依题意有2211mam 对[1,1]a恒成立，即220mam 恒成立，令2()2g a ma m ，[1,1]a ，函数()g a 是关于a 的一次函数，若[1,1]a 时，()g a 恒成立，则22(1)20(1)20g m m g mm，解得(,2]{0}[2,)m .评注对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用所给条件，判断差的符号；对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性，将函数值的大小转换到自变量的大小上来；对于（3），确认主元，把22mam 看为关于a 的一次函数，即2()2g a ma m 在[1,1]a 上大于对于0，利用()g a 是一条直线这一图像特征，数形结合得关于m 的不等式组，从而得m 的范围.变式 1已知22()2x a f x x(x R )在区间[1,1]上是增函数.（1）求实数a 的值所组成的集合A ；（2）设关于x 的方程1()f x x的两根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||mtm x x 对任意aA 及[1,1]t恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.题型函数与不等式综合思路提示对于函数不等式，要注意从函数观点出发，转化为利用函数的图像和性质来解不等式.例若不等式29(2)2xk x 的解集为区间[,]a b ，且2ba ，则k.解析如图7-21所示，直线(2)2y k x 过定点(2,2)，因为原不等式的解集为[,]a b ，且3b，又2ba，所以1a，则直线与圆的交点为(1,22)A ，代入直线方程(2)2y k x ，得2k .变式 1已知函数()f x 的定义域为[2,)，部分对应值如表7-3，()f x 为()f x 的导函数，函数()y f x 的图像如图7-22所示，若两正数a ，b 满足(2)1f ab ，则33b a的取值范围是（）表7-3x20 1 ()f x 111A.64(,)73B.37(,)53C.26(,)35D.1(,3)3例设函数1()ln xf x x ax在[1,)上为增函数.（1）求正实数a 的取值范围；（2）当1a时，求证*1111111ln 1(234231n nN nn 且2)n.分析由已知函数是给定区间上的增函数，则()0f x ，由此求参数a 的取值范围. 解析（1）由已知21()(0)ax f x aax，依题意得210ax ax对[1,)x 恒成立，又*a R ，所以10ax 对[1,)x 恒成立，所以1ax对[1,)x恒成立，故max 1()ax ，又因为101x，所以只需1a，所以正实数a 的取值范围是[1,). （2）当1a ，当1x 时，1()ln (1)0x f x xf x，即1ln (1)x x xx，故ln(1)1x x x，0x.取1x n*()nN ，得11ln(1)1n n *()n N .所以有11ln(1)1n n，11ln(1)21n n ，，11ln(1)12，将以上1n 个不等式相加，得2111lnln1123n n n，即111ln 23nn.构造函数()ln(1)([0,1])g x x x x ，由1()1011x g x x x ，得函数()g x 在区间[0,1]上单调递减.故当01x时，()(0)0g x g ，令1x n，则11ln(1)n n.所以有11ln(1)11n n ，11ln(1)22n n ，，11ln(1)11，将以上1n 个不等式相加，得2311ln ln ln112121n n n ，即111ln 1231nn .综上可得*1111111ln 1(234231n nN nn 且2)n.变式1已知函数2()2ln f x x x a x .（1）若函数()f x 在区间(0,1)上恒为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当实数1t时，不等式(21)2()3f t f t 恒成立，求实数a 的取值范围.有效训练（限时45分钟）1.不等式2||20xx 的解集是（）A.{|22}x x B. {|2x x 或2}x C. {|11}x xD.{|1x x或1}x 2.已知不等式210axbx 的解集是11[,]23，则不等式20xbx a 的解集是（）A. (2,3)B. (,2)(3,) C.11(,)32D. 11(,)(,)323.不等式22|log ||||log |x x x x 的解集是（）A. (0,1)B. (1,) C.(0,) D. (,)4.若不等式210xax 对一切1(0,]2x成立，则a 的最小值为（）A.0 B.2 C. 52D. 35.设函数246,0()6,0xx xf x x x，则不等式()(1)f x f 的解集是（）A.(3,1)(3,) B. (3,1)(2,)C. (1,1)(3,) D.(,3)(1,3)6.若关于x 的不等式2(1)4m xxx 的解集为{|02}x x ，则实数m（）A.12B.1 C.2 D.7.已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd的取值范围是 .8.关于x 的不等式组22202(25)54xx x kx 的整数解的集合为{2}，则实数k 的取值范围是 .9.已知符号函数1,0sgn 0,01,0xxx x，则不等式(1)sgn 2x x 的解集是 .10.已知集合2{|540}A x xx ，2{|220}B x xax a ，若B A ?，求实数a的取值范围. 11.已知函数()||f x x a .（1）若不等式()3f x 的解集为{|15}x x，求实数a 的值.（2）在（1）的条件下，若()(5)f x f x m 对一切实数x 恒成立，且实数m 的取值范围.12.（1）解关于x 的不等式2(lg )lg 20x x ；（2）若不等式2(lg )(2)lg 10x m x m 对于||1m 恒成立，求x 的取值范围.最有效训练题291．B 解析不等式组1||31x yx y 所表示的平面区域如图7-54阴影部分所示，易知)1,0(A ，联立131x yx y ，得)2,1(B ，联立131x yx y ，得23)121(221),21,21(ABCS C ，.故选B .2．D 依题意，满足3,0)4)(1(x y x y x 的区域如图7-55阴暗部分所示，则22y x的最小值为10.故选D .3．B 解析依题意，若使目标函数)0(a y ax z ，取得最大值的最优解有无穷多个，则53ACk a，得53a.故选B .4．B 解析如图7-56所示，不等式组表示的可行域（阴暗部分），当直线zx y2过点),(a a A 时，取得最小值a 3，当直线z x y 2过点)1,1(B 时，取得最大值3.又最大值是小值3倍，则31,93aa .故选B .5．D 解析不等式组表示的可行域（阴暗部分）如图7-57所示，|42|y x z 表示区域内动点),(y x P 到直线042y x的距离的5倍.当P 点位于点A 时，z 取得最大值.联立,05202y xy x 解得)9,7(A ，故215|4187|5max z .故选D .6．D 解析不等式组表示的可行域如图7-58所示，其面积为)1(2|1|21a a ，解得3a，故选D .7．)24,7(解析因为点)1,3(和)6,4(在直线023a y x 的两侧，所以0)24)(7(a a，得247a .8．2解析依题意，约束条件表示的平面区域如图7-59所示，当直线z xy过点)0,2(A 时，z 取最小值，此时2z.所以2min z .9．32解析)1(84421kk k S，则1618)1(818)1(8188818122kk kk kkkk kkS 321618)1(82k k .当且仅当2k 时，取“=”号），故1kkS 的最小值为32.10．52解析作出可行域，如图607所示的阴影部分，经分析，当y x z2向上平移至与圆422yx相切位置时，z 取最大值.则52||,25||z z d，又因z 取最大值，所以52maxz .11．解析依题意,0,01491003003020504yxy x y x 求y x P32131的最小值.如图7-61所示，作出可行域，平移直线032yx ，当直线经过点)10,4(时，z 取最小值93，故当30,5.12w v 时所需经费最少，此时所花的经费为93元.12. 解析不等式组的解集为3条直线032:1y x l .01553:3.0632:2y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界）；如图7-62所示，设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为A 、B 、C ，则坐标分别为A )43,,815(,B(0，-3),C )1912,,1975(,作一组平行线t yxl :平行于0:0yxl ，当t 往0l 右上方移动时，t 随之增大，所以当l 过C 点是y x 最大值为,,1963但不是整数解，又有其19750x知x 可取1,2,3，当1x 时，代入原不等式组的2y，所以,1:0yxl 当2x时，得0y或-1，所以2:0y x l 或1当3x 时，1y，所以2:0yxl 故y xz的最大整数解为2yx 或13yx。
专题04 数列与不等式文-2018年高考题和高考模拟题数学(文)分项版汇编 含解析
4．数列与不等式1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2．【2018年文北京卷】】“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.3．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 4．【2018年浙江卷】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）。
2018年成人高考高起点数学(文)考试真题及答案
2018年成人高考高起点数学(文)考试真题及答案第一部分 选择题（85分）一、选择题（本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={ 2，4，8 }，B={ 2，4，6，8 }，则A ∪B=（ ）A. { 6 }B. { 2，4 }C. { 2，4，8 }D. { 2,，4，6，8 }2.不等式 x ²-2x<0 的解集为（ ）A. { x | 0 < x < 2 }B. { x |-2 < x < 0 }C. { x | x < 0 或 x > 2 }D. { x | x < -2 或 x > 0 }1.1.2.1y .A .62.D .C 2.B 4.A 3x 2tan x f .53y .D x y .C sinxy .B x y .A 04.) 1，0 ( D.)0，2 ( C.)0，1 ( B.)0，1- ( A.x-12y .3213x-21-+=-==+=+=====∞+=---x y D x y C y B x x的是（）下列函数中，为偶函数ππππ）的最小周期是（）π（）（函数）内为增函数的是（），下列函数中，在区间（的对称中心是（）曲线7.函数y=log ₂（x+2）的图像向上平移一个单位后，所得图像对应的函数为（ ）A. y=log ₂（x+1）B. y=log ₂（x+2）+1C. y=log ₂（x+2）-1D. y=log ₂（x+3）8.在等差数列y=log ₂（x=2）的图像向上平移1个单位后，所得图像对应的函数为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 29.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，这2个数都是偶数的概率为（ ）A.1/10B.1/5C.3/10D.3/510. 圆x ²+y ²+2x-6y-6=0的半径为（ ）16.D 4.C 15.B 10.A11. 双曲线3x ²-4y ²=12的焦距为（ ）72.D 4.C 32.B 2.A12. 已知抛物线y=6x 的焦点为F ，点A （0，1），则直线AF 的斜率为（） 32-.D 23-.C 32.B 23.A13.若1名女生和3名男生排成一排，则该女生不在两端的不同排法共有（ ）A. 24种B. 16种C. 12种D. 8种14.已知平面向量a=（1，t ），b=（-1，2）若a+mb 平行于向量（-2，1）则（）A. 2t-3m+1=0B. 2t-3m-1=0C. 2t+3m+1=0D. 2t+3m-1=01-.D 0.C 3B.A.233-3-x 3cos 2x f .15的最大值是（）π，π）在区间π（）（函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=16. 函数y=x ²-2x-3的图像与直线y=x+1交于A,B 两点，则|AB|=（ ）4.D 13.C 25.B 132.A17.设甲：y=f(x)的图像有对称轴；乙：y=f(x)是偶函数，则（ ）A 甲是乙的充分条件但不是必要条件B 甲是乙的必要条件但不是充分条件C 甲是乙的充要条件D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件第二部分 非选择题（65分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18.过点（1，-2）且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程为_____.18. 掷一枚硬币时，正面向上的概率为1/2，掷这枚硬币4次，则恰有2次正面向上的概率是_____.._____x 2sin x 53-sinx .20==为第四象限角，则，且已知._____)0,01e -x y .21x 2处的切线方程为在点（曲线+=三、解答题（本大题共4小题，共49分。
2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
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18．（12 分）如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以 AC 为 折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ= DA，求三棱锥
A．12 π
B．12π
C．8 π
D．10π
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后
求解圆柱的表面积．
【解答】解：设圆柱的底面直径为 2R，则高为 2R，
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12 分）设抛物线 C：y2=2x，点 A（2，0），B（﹣2，0），过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
问题解决问题的能力．
2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：第二篇 第28练 不等式选讲
9 10 11 12
解答
10.已知a2＋2b2＋3c2＝6，若存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1| 成立，求实数x的取值范围.
解 由柯西不等式知，
[12＋( 2)2＋( 3)2][a2＋( 2b)2＋( 3c)2]≥(1·a＋ 2· 2b＋ 3· 3c)2，
即6×(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2. 又∵a2＋2b2＋3c2＝6， ∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，∴－6≤a＋2b＋3c≤6. ∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立， ∴|x＋1|<6，∴－7<x<5. ∴x的取值范围是{x|－7<x<5}.
所以 f(x)>1 的解集为x32<x<2
.
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解答
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
x－1－2a，x<－1， 解 由题设可得 f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，
－x＋1＋2a，x>a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a3－1，0，
审题路线图 (1) 整理得绝对值不等式 ―→ 零点分段法求解 (2) |x－a|－fx≤m1 ＋1n恒成立 ⇒ |x－a|－fx≤m1 ＋1nmin ―利―不用―等―基式―本→ |x－a|－fx≤4恒成立 ―→ 求gx＝|x－a|－fx的最大值
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解答
3.(2016·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集； 解 当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
2018届高考数学(文)二轮专题复习习题：第1部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-3
限时规范训练六 导数的简单应用 限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a x＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝2x －1x2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝08．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax2(a ＞0)．∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，∴ax －1≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在x ∈[1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x.令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x.当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x，则h ′(x )＝－x e x<0(x >0)，因此h (x )在[0，＋∞)单调递减．而h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1.当0<a <1时，设函数g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1>0(x >0)，所以g (x )在[0，＋∞)单调递增．而g (0)＝0，故e x≥x ＋1.当0<x <1时，f (x )>(1－x )(1＋x )2，(1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)，取x 0＝5－4a －12，则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0，故f (x 0)>ax 0＋1. 当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)>(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当m ＞0时，f ′(x )＝x ＋mx －mx，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x ＞0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x ＞0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－x －x －m x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32＞0，F (4)＝－ln 4＜0，所以F (x )有唯一零点．当m ＞1时，0＜x ＜1或x ＞m 时，F ′(x )＜0；1＜x ＜m 时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12＞0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．当0＜m ＜1时，0＜x ＜m 或x ＞1时，F ′(x )＜0；m ＜x ＜1时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m ＜0， 所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )＞0，而F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 12．(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 的图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，∴f ′(x )＝1x＋2a x －2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x x －2.∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)存在且唯一，证明如下：∵g (x )＝ln x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1 ①，设直线l 与曲线h (x )＝e x相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0②，由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1.证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一． 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增， 又f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，结合零点存在性定理，说明方程f (x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0.。
2018年全国卷各地模拟题总汇(文科)——13不等式
【2018安徽省合肥一中等六校第二次联考23】选修4-5：不等式选讲 （1）已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|，解不等式f(x)≥2； （2）已知正数x,y,z 满足x+2y+3z=1，求的最小值.【答案】【解析】（1）当()23,1|1||2|1,1223,2x x f x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，而()2f x ≥，解得12x ≤或52x ≥.15|22x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭不等式解集为或.............5分（2）由于，所以当且仅当，即时，等号成立.∴的最小值为.............10分【2018安徽省黄山市一模检测23】已知函数()|21||23|f x x x =++-. (1)求不等式()6f x ≤的解集；(2)若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)原不等式等价于32(21)(23)6x x x ìïï>ïíïï++-?ïî或1322(21)(23)6xx x ìïï-＃ïíïï+--?ïî或12(21)(23)6x x x ìïï<-ïíïï-+--?ïî， 解得322x <?或1322x -＃或112x -?-. ∴原不等式的解集为{}|12x x -＃. ………………………………5分(2) ()|21||23||(21)(23)|4f x x x x x =++-?--=Q ，|1|4,3a a \->\<-或5a >，∴实数a 的取值范围为(,3)(5,)-???. ……………………………………10分【2018安徽省六安市皖西省示范高中联盟期末23】设函数()221f x x x =--+. （Ⅰ）解不等式()0f x ≤；（Ⅱ）x R ∀∈，()224f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()0f x ≤，即221x x -≤+，即2244441x x x x -+≤++，------2分23830x x +-≥，-----3分解得13x ≥或3x ≤-，-------4分 所以不等式()0f x ≤的解集为1{3x x ≥或3}x ≤-.------5分（Ⅱ）()=221f x x x --+=13,2131,223,2x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------6分故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，------7分因为对于x R ∀∈，使()224f x m m -≤恒成立.所以25242m m +≥，-----9分 即24850m m +-≥，解得12m ≥或52m ≤-， ∴51,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .------10分[2018·会宁一中23]选修4—5:不等式选讲 已知，．（1）求的最小值（2）证明：．【答案】【答案】（1）3； （2）证明见解析．【解析】（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．·······5分（2）．·······10分【2018河北省唐山市上学期期末】(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，g (x )＝x 2＋ax －2. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）不等式|x ＋1|－|x －1|≥x 2＋3x －2等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，2≥x 2＋3x －2，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2x ≥x 2＋3x －2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2≥x 2＋3x －2． 解得 ∅，或－1≤x ≤1，或－3≤x ＜－1．所以不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－3≤x ≤1}． …5分（Ⅱ）x ∈[－1，1]，令F (x )＝g (x )－f (x )＝x 2＋(a －2)x －2 不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧F (1)＝a －3≤0，F (－1)＝1－a ≤0，解得1≤a ≤3，所以a 的取值范围为[1，3]. (10)分【2018湖南师大附中月考卷五】(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知不等式||x ＋||x －3<x ＋6的解集为()m ，n . (Ⅰ)求m ，n 的值；(Ⅱ)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 【解析】(Ⅰ)由||x ＋||x －3<x ＋6， 得⎩⎨⎧x ≥3x ＋x －3<x ＋6或⎩⎨⎧0<x <33<x ＋6或⎩⎨⎧x ≤0－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9，5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知x >0，y >0，9x ＋y ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ()9x ＋y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ×9x y ＝16， 当且仅当y x ＝9x y 即x ＝112，y ＝14时取等号， ∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy .10分【2018东北三省三校第三次联合模拟考23】选修4-5：不等式选讲 已知函数()22 f x x b x b =++-. (I)若1b =.解不等式()4f x >(Ⅱ)若不等式()1f a b >+对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围 【答案】解：（Ⅰ）()121214,b f x x x ==++->时，1111112222444424x x x x x x x x ⎧⎧⎧≥≤--<<⎪⎪⎪⇒>⇒<-⇒∈Φ⎨⎨⎨⎪⎪⎪>->>⎩⎩⎩或或 所以解集为：()(),11,-∞-+∞（Ⅱ）()()()2222222f a a b a b a b b a a b b a b =++-=++-≥++-=()()()()min 2202a b b a f a b +⋅-≥=当且仅当时21b b ∴>+()()2221b b ∴>+()()3110b b ∴+-> 所以b 的取值范围为：()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【2018福建省厦门市（3月）23】选修4-5：不等式选讲 已知函数()()31f x x a x a R =++-∈. （1）当1a =-时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()31f x x ≤+的解集为M ，且1,14M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围. 【答案】（1）当1a =-时，()131f x x x =-+-，()11311f x x x ≤⇒-+-≤.即131131x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1131311x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11311x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ 或11312x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 或134x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1143x ≤≤或1132x <≤ 或∅.所以原不等式的解集为1142xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）因为1,14M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，所以当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()31f x x ≤+恒成立， 即3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，①当11,43x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1331x a x x ++-≤+，即6x a x +≤，所以66x x a x -≤+≤，所以75x a x -≤≤在11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以()()min min 75x a x -≤≤，即7544a -≤≤；②当1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3131x a x x ++-≤+，即2x a +≤，即22x a -≤+≤， 所以22x a x --≤≤-在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()()min min 22x a x --≤≤-，即713a -≤≤； 综上，a 的取值范围为713a -≤≤.【2018广东省第三次调研考23】已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.（Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.【2018广东省东莞市第一次调研23】已知函数f (x )＝|x －a |. （Ⅰ）若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3.解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. ………………………………4分（Ⅱ）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]． …………………………………10分【2018广东省佛山市质量检测（一）23】已知函数R a a x x x f ∈-=,)(. （Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.【2018广东省广州市综合测试（一）23】已知函数()f x =23x a x b++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．【2018广东省惠来一中下学期第一次阶段考试23】已知函数()2123,f x x x x R =-+-∈. （1）解不等式()5f x ≤； （2）若()()1g x f x m=+的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】解：（1）原不等式等价于1133222244525445x x x x x ⎧⎧⎧<≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤≤-≤⎩⎩⎩或或,因此不等式的解集为 19,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. …………5分 （2）由于()()1g x f x m=+的定义域为R ,则()0f x m +=在R 上无解.又()212321232f x x x x x =-+-≥--+=,即()f x 的最小值为2,所以2m -<，即2m >-.…………10分【2018广东省惠州一中（惠州市）第三次调研23】设函数()221f x x x =--+.（1）解不等式()0f x ≤；（2）x R ∀∈，()224f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】解：（1）不等式()0f x ≤，即221x x -≤+，即2244441x x x x -+≤++，……2分23830x x +-≥，解得13x ≥或3x ≤-.……3分所以不等式()0f x ≤的解集为1{3x x ≥或3}x ≤-.……4分（2）()=221f x x x --+=13,2131,223,2x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩……6分 故()f x的最大值为1522f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，……8分因为对于x R ∀∈，使()224f x m m-≤恒成立.所以25242m m +≥，即24850m m +-≥，解得12m ≥或52m ≤-，∴51,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .……10分【2018广东省揭阳市第二次模拟23】已知函数()11f x x x m =++++，m R ∈， （Ⅰ）若不等式()2f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）求不等式()2f x m -<的解集.【答案】解：（I ）|||)1(1||1||1|)(m m x x m x x x f =++-+≥++++=， 由题意知|2|||-≥m m ，得22)2(-≥m m ，解得1≥m ；（II ）不等式为m x m x 2|1||1|<-++-，即m m x x 2|)1(||1|<+-+- 若0≤m ，显然不等式无解； 若0>m ，则11>+m ．①当1≤x 时，不等式为m x m x 211<-++-，解得21m x ->， 所以121≤<-x m； ②当11+<<m x 时，不等式为m x m x 211<-++-，恒成立， 所以11+<<m x ；③当1+≥m x 时，不等式为m m x x 2)1(1<+-+-，解得123+<mx ，所以1231+<≤+mx m ； 综上所述，当0≤m 时，不等式的解集为空集， 当0>m 时，解集为}12321|{+<<-m x m x ．.【2018广东省汕头市期末23】已知函数2()|2|||=-++f x x a x a. (1)当2a =时，解不等式()1f x ≥； (2)求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.【2018广东省深圳市第一次调研考23】已知0,0,a b >>且222a b +=.（I ）若是2214|21||1|x x a b +?--恒成立，求x 的取值范围； （Ⅱ）证明：5511()()a b a b++≥4.【2018广东省二模23】已知，.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）法一：不等式，即.可得，或或 …………………3分解得，所以不等式的解集为.…………………5分法二：，……………………………………2分当且仅当即时等号成立. …………………4分所以不等式的解集为.……………………………………5分（Ⅱ）依题意可知……………………………………6分由（Ⅰ）知，所以…………………………………………………………………8分由的的取值范围是…………………………………………10分【2018广东省深圳市南山区上学期期末23】（1）当2a =时，解不等式：()6|25|f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式f （x ）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：681≥+ts ．【答案】.解：当a=2时，不等式：f （x ）≥6﹣|2x ﹣5|，可化为|x ﹣2|+|2x ﹣5|≥6．..1分①x≥2.5时，不等式可化为x ﹣2+2x ﹣5≥6，∴x≥；………..2分②2≤x ＜2.5，不等式可化为x ﹣2+5﹣2x≥6，∴x ∈∅；………..3分 ① x ＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，………..4分 综上所述，不等式的解集为（﹣]；………..5分（Ⅱ）证明：不等式f （x ）≤4的解集为[a ﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，…..7分∴=（）（2s+t ）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．………..10分【2018广东省省际名校（茂名市）下学期联考（二）23】 已知函数()11f x x x =++-.（1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤. 【答案】（1）解：()()11112f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当11x -≤≤时取等号，所以()min 2f x =，即2a =.（2）证明:假设:2m n +>，则()332,2m m n n >->-. 所以()()3323322612n n m n n >-+=+-≥+. ① 由（1）知2a =，所以332m n +=. ② ①与②矛盾，所以2m n +≤.【2018广东省五校1月联考23】已知函数f （x ）=|x ﹣2|+|2x+1|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＞5；（Ⅱ）若关于x 的方程=a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）解不等式|x ﹣2|+|2x+1|＞5， x≥2时，x ﹣2+2x+1＞5，解得：x ＞2；﹣＜x ＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x ﹣2x ﹣1＞5，解得：x ＜﹣， ……… （3分）故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）； ……… （4分）（Ⅱ）f （x ）=|x ﹣2|+|2x+1|=，故f （x ）的最小值是，所以函数f （x ）的值域为[，+∞）， ……… （6分）从而f （x ）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）． ……… （8分）根据已知关于x 的方程=a 的解集为空集，所以实数a 的取值范围是（﹣，0]． （10分）【2018广东省肇庆市第二次检测23】已知()|3||f x x x =++-，()22g x x mx =-+.（Ⅰ）求不等式()4f x >的解集；（Ⅱ）若对任意的12,x x ，()12()f x g x ≥恒成立，求m 的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）法一：不等式()4f x >，即|3||1|4x x ++->. 可得1314x x x ≥⎧⎨++->⎩，或31314x x x -<<⎧⎨++->⎩或3314x x x ≤-⎧⎨--+-<⎩ …………………3分解得31x x <->或，所以不等式的解集为{}|31x x x <->或.…………………5分 法二：()|3||1|314x x x x ++-≥+--=，……………………………………2分 当且仅当()()310x x +-≤即31x -≤≤时等号成立. …………………4分 所以不等式的解集为{}|31x x x <->或.……………………………………5分 （Ⅱ）依题意可知()()min max f x g x >……………………………………6分由（Ⅰ）知()min 4f x =，()()2222g x x mx x m m =-+=--+所以()2max g x m =…………………………………………………………………8分由24m <的m 的取值范围是22m -<<…………………………………………10分【2018河北省衡水中学第十次模拟23】已知函数()42f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，若2x a M +≥的解集包含[0,1]，求a 的取值范围. 【答案】解：（1）(,2)(4,)-∞+∞ （2）1a ≥【2018湖北省武汉市四月调研23】已知()22f x ax x =--+. （1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤.综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤.（2）∵224x ax +--≤恒成立， 而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =. ∴a 的取值为1或1-.【2018河南省八市学评下学期第一次测评23】已知函数错误！未找到引用源。
2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数34Word版含答案
考点测试34 二元一次不等式组与简单的线性规划一、基础小题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43 D ．34答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，即△ABC .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，得交点A 的坐标为(1,1)．又B 、C 两点的坐标分别为(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，故S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43，故选C.2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤2，x －y ≥0，则x ＋3y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)，易知z ＝x ＋3y 过点B (2,1)时取得最大值，z max ＝2＋3×1＝5.故选D.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，则|y －x |的最大值是( )A ．2 2B ．322C ．4D ．3答案 D解析 画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A (1,2)，B (4,1)，当直线z ＝x －y 过点A 时z min ＝－1，过点B 时z max ＝3，则－1≤x －y ≤3，则|y －x |≤3.4．若点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，y ≤－x ＋4，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．10B ．8C ．16D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如图所示，易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10，故|OP |的最大值为10，即x 2＋y 2的最大值等于10.故选D.5．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ． B ．(22，32] C ．(32，25] D ．(0,22)∪(25，＋∞)答案 D解析 圆C 不经过区域D 有两种情况：①区域D 在圆外；②区域D 在圆内．由于不等式组中的一个不等式对应的直线y ＝x 正好经过圆的圆心，故利用圆的性质即可求解出r 的取值范围．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0表示的平面区域，得到如图所示的△MNP 及其内部，其中M (1,1)，N (2,2)，P (1,3)，且MN ⊥PN .∵圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)表示以C (－1，－1)为圆心，r 为半径的圆．∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点．又∵CM ＝＋2＋＋2＝22，CP ＝＋2＋＋2＝25，∴当0<r <22或r >25时，圆C 不经过区域D 上的点．12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．答案 92解析 目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.二、高考小题13．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案 C解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.14．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 作出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得A (2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0，得B (1,2)．斜率为1的平行直线l 1，l 2分别过A ，B 两点时它们之间的距离最小，且最小值为A 、B 两点之间的距离|AB |＝ 2.故选B.15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________． 答案 －10解析 可行域如图所示(包括边界)，直线2x －y ＋1＝0与x －2y －1＝0相交于点(－1，－1)，当目标函数线过(－1，－1)时，z 取最小值，z min ＝－10.16．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案 4解析 由线性约束条件画出可行域，如图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A 点坐标为(1,1)．当动直线3x ＋y －z ＝0经过点A (1,1)时，z 取得最大值，z max ＝3×1＋1＝4.17．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 216000解析 设生产产品A x 件，产品B y 件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，设生产产品A ，产品B 的利润之和为E 元，则E ＝2100x＋900y .画出可行域(图略)，易知最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100，此时E max ＝216000.18．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32解析 作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫1，32处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.三、模拟小题19．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．32D ．2答案 B解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B.20．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0.则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 答案 D解析 画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.21．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.22．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 答案 B解析 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(1,1)作l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1的斜率之间，因此，－12<－a <0，即0<a <12.故选B.23．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，4x ＋3y －12≤0，y －2≥0，则z ＝2x －y ＋1x ＋1的最大值为( )A ．54 B ．45 C ．916 D ．12答案 B解析 因为z ＝2x －y ＋1x ＋1＝2x ＋2－y －1x ＋1＝2－y ＋1x ＋1，所以要求z 的最大值，只需求u ＝y ＋1x ＋1的最小值，画出可行域(图略)可知，使u ＝y ＋1x ＋1取得最小值的最优解为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，代入z＝2x －y ＋1x ＋1，可求得z 的最大值为45，故选B.24．一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( )A ．16B ．18C ．20D ．36答案 C解析 平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫32，0，也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8,0)，当以AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2,8)，由此作出(x ，y )所在的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.一、高考大题1．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． 二、模拟大题2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．3．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知：甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元．已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？解 设甲项目投资x (单位：百万元)， 乙项目投资y (单位：百万元)， 两项目增加的GDP 为z ＝260x ＋200y ，依题意，x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤30，2x ＋4y ≤100，24x ＋32y ≥800，x ≥0，y ≥0，所确定的平面区域如图中阴影部分．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝20，即A (10,20)；解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，24x ＋32y ＝800，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，即B (20,10)．设z ＝0，得y ＝－1.3x ，将直线y ＝－1.3x 平移至经过点B (20,10)，即甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元，两项目增加的GDP最大．。
2018年高考数学—不等式专题
不等式(必修 5P80A3 改编 )若对于 x 的一元二次方程 x2－(m＋ 1)x－ m＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________.分析由题意知＝ [(m＋ 1)]2＋＞即2＋＋＞，4m 0. m 6m 1 0解得 m＞－ 3＋2 2或 m＜－ 3－2 2.答案(－∞，－ 3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞ )x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅱ卷 )若x，y 知足拘束条件x＋ y－3≥0，则z＝x－ 2y 的最小值为x－ 3≤ 0，________.分析画出可行域，数形联合可知目标函数的最小值在直线x＝ 3与直线 x－y＋1＝0 的交点 (3， 4)处获得，代入目标函数z＝x－2y获得－ 5.答案－52x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅲ卷 )设 x， y 知足拘束条件x－2y－1≤0，则＝z 2x x≤1，＋3y－5 的最小值为 _____.分析画出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示.由题意可知，2 5 z当直线 y＝－3x＋3＋3过点 A(－1，－1)时，z获得最小值，即 z min＝2×(－ 1)＋3×(－1)－5＝－ 10.2x － y ≤ 0，(2017 ·西安检测 )已知变量 x ， y 知足 x －2y ＋ 3≥ 0，x ≥0，则 z ＝( 2)2x ＋y的最大值为 ________.分析作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示.令 m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线 y ＝－ 2x ＋ m 经过点 A 时，直线 y ＝－ 2x ＋m 的纵截距最大，此时 m 最大，故 z 最大 .由2x －y ＝0，x ＝1，x － 2y ＋3＝0， 解得y ＝2，即 A(1，2).代入目标函数 z ＝( 2)2x ＋y得， z ＝ ( 2)2×1＋2＝4.答案42x －y ≤0， (2016·北京卷 若 ， 知足 x ＋ y ≤ 3， 则 2x ＋ y 的最大值为 ())x yx ≥0，A.0B.3C.4D.5分析画出可行域，如图中暗影部分所示，令 z ＝ 2x ＋y ，则 y ＝－ 2x ＋ z ，当直线 y ＝－ 2x ＋ z 过点 A(1，2)时， z 最大， z max ＝ 4.答案 Cx ＋y ≤2， (2016 ·山东卷 )若变量 x ，y 知足 2x －3y ≤ 9，则 x 2＋ y 2的最大值是 ()x ≥0，A.4B.9C.10D.12分析作出不等式组所表示的平面地区，如图(暗影部分 )所示，x 2＋y 2 表示平面地区内的点到原点的距离的平方，由图易知平面地区内的点 A(3，－1)到原点的距离最大 .因此 x 2＋y 2 的最大值为32＋(－1)2＝10.答案Cx y(2015 ·福建卷 )若直线 a ＋ b ＝ 1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，则a ＋b 的最小值等于()A.2B.3C.4D.5x y1 1分析 由于直线 a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，因此 a ＋b ＝1.因此 ＋ ＝ ＋ 1 1 a b a b ＝ ＝时取 · ＋ ≥2＋2 ·＝ ，当且仅当 2a b (a b) a b ＝2＋b ＋a b a4a b“＝”，应选 C.答案 Cb 4a的最小值为 () (2016 ·合肥二模 )若 a ， b 都是正数，则 1＋a · 1＋ b A.7 B.8 C.9 D.10分析 ∵a ，b 都是正数，∴ 1＋ b 1＋ 4a b 4ab 4a a b ＝5＋ ＋ b ≥5＋2 · ＝9，当且仅a a b当 b ＝ 2a>0 时取等号 .应选 C.答案 C1 2(2015 ·湖南卷 )若实数 a ，b 知足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ()A. 2B.2C.2 2D.4分析1 2 2 2 2依题意知 a ＞0，b ＞0，则 ＋ ≥ 2 ＝，a babab1 2当且仅当a＝b，即 b＝ 2a 时，“ ＝”建立 .1 2 2 22，由于＋＝ ab，因此ab≥，即 ab≥2a b ab因此 ab 的最小值为 2 2，应选 C 答案 C。
(完整版)数学不等式高考真题
1.(2018•卷Ⅱ）设函数(1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围2。
（2013•辽宁)已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1(1）当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣｜x﹣4｜的解集；(2)已知关于x的不等式｜f(2x+a)﹣2f(x）|≤2的解集｛x｜1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ)［选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=｜x+1|﹣|x﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围．4.（2017•新课标Ⅱ)［选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ)（a+b）（a5+b5)≥4；(Ⅱ）a+b≤2．5。
（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=﹣x2+ax+4,g（x）=|x+1｜+|x﹣1｜．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x)的解集;(2）若不等式f(x）≥g（x）的解集包含［﹣1，1］,求a的取值范围．6.(2017•新课标Ⅱ)［选修4—5：不等式选讲］已知a＞0，b＞0，a3+b3=2,证明：（Ⅰ）(a+b）(a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．7。
（2018•卷Ⅰ）已知（1）当时，求不等式的解集(2)若时，不等式成立，求的取值范围8.（2018•卷Ⅰ）已知f（x)=|x+1|—|ax-1｜(1)当a=1时,求不等式f(x)〉1的解集（2）若x∈（0，1）时不等式f(x）〉x成立,求a的取值范围9。
（2017•新课标Ⅲ)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2｜．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10。
（2014•新课标II）设函数f（x)=｜x+ |+｜x﹣a|(a＞0)．（1）证明：f（x）≥2;（2）若f(3）＜5，求a的取值范围．11。
2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）i（2+3i）=（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.36．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．28．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+49．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018高考复习数学第一轮 第五讲 整式、分式不等式的解法(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)
2018高考复习数学第一轮第五讲 整式、分式不等式的解法一、知识要点1、 一元一次不等式ax b >的解法当0a >时，解集为|b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，解集为|b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．2、 一元二次不等式的解法性质如下：设12x x 、是方程()200ax bx c a ++=>的两实根且12x x <，则一元二次3、 简单的一元高次不等式的解法常用“数轴标根法”，按“奇穿偶不穿”的原则办理．注意零点值是否相符．4、 分式不等式的解法（1） 进行同解变形：()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅>；分式不等式转化为整式不等式来解．()()()0()00()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩； （2） 有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”求解，但必须注意分母不为零．二、例题精讲例1、解关于x 的不等式，求解集： （1） ()()21430x x --< （2） 2760x x ++< （3） 231080x x --> （4） 42280x x +-< （5） 221x x <- （6） 2450x x --< （7） ()()()()2221120x x x x ++--≤（8） 222232x x x x x+-<+-答案：（1）13,24⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()6,1--；（3）31(,)24-；（4）(；（5）∅；（6）R ；（7）[]2,2-；（8）()()1,23,-+∞．例2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x <<，求不等式20cx bx a ++<的解集．答案：11,,32⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3、已知对任意x R ∈，总有222321x tx x x +--<<-+，求实数t 的取值范围． 答案：()1,2-例4、若不等式()2211x m x ->-，对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．答案：⎝⎭例5、设1a <，解关于x 的不等式2220x ax a x x a+>+--． 答案：当01a <<时，()12,,a a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭； 当0a =时，()2,0-； 当102a -<<时，()1,2,a a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭；当12a =-时，()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭；当12a <-时，()1,2,a a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．例6、若不等式()()2lg 2lg 10x m x m -++->对于1m ≤恒成立，求x 的取值范围． 答案：()310,10,10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．*例7、设函数()2f x ax =+，不等式()6f x <的解集为()1,2-，试求不等式()1xf x ≤的解集． 答案：21,,52⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭*例8、设P ：关于x 的不等式1x a >的解集是{}|0x x <，Q ：函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．答案：[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦三、 课堂练习1、若关于x 的不等式20x ax a -->的解集为(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是 ．关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则a 的取值范围是 ． 答案：()4,0-； (][),62,-∞-+∞2、若不等式()()0x a x b x c++≥-的解集为[)[)1,23,-+∞，则a b += ．答案：2-3、若关于x 的一元二次方程()22120x a x a +-+-=的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a 的取值范围是 ． 答案：()2,1-4、不等式22106x mx ≤++≤有且仅有一解，则实数m 的值是 ． 答案：4±5、不等式2251031372x x x x -+≥-+的解集是 ． 答案：()11,,12,32⎛⎫⎡⎤-∞+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四、课后作业一、填空题1、关于x 的方程210ax a ++=，当[]1,1x ∈-时，方程恒有解，则a 的取值范围为 ． 答案：11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2、若关于x 的不等式260x ax a --<的解集为{}|x m x n <<且5n m -≤，则a 的取值范围是 ． 答案：251a -≤≤3、不等式()2220ax bx a a ++>≠的解集是{|11x x <<+，则a = ，b = ．答案：2,4-4、已知不等式组22430,680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩的解集是不等式2290x x a -+<的解集的子集，则实数a 的取值范围是 ．答案：(],9-∞5、不等式20x ax b --<的解集是{}|23x x <<，则不等式210bx ax -->的解集为 ． 答案：11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭6、当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．答案：5m ≤-二、选择题7、设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >解集是（ ）A 、()()3,13,-+∞B 、()()3,12,-+∞C 、()()1,13,-+∞D 、()(),31,3-∞-答案：A8、不等式221x x +>--的解集是（ ） A 、()()1,01,-+∞ B 、()(),10,1-∞- C 、()()1,00,1-D 、()(),11,-∞-+∞答案：A9、在R 上定义运算⊗：()1x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（ ） A 、11a -<<B 、02a <<C 、1322a -<<D 、3122a -<< 答案：C三、解答题10、（1）集合221|032x A x x x -⎧⎫=≥⎨⎬++⎩⎭，(){}2|550B x x a x a =+--<，若1|52A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，求a 的取值范围；（2）设函数()2f x ax =+，不等式()6f x <的解集为()1,2-，试求不等式()1xf x ≤的解集． 答案：（1）112a -<≤；（2）21,,52⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭．11、已知函数()23x f x x a+=-（x a ≠，a 为非零常数）．（1）解不等式()f x x <；（2）设x a >，()f x 的最小值为6，求a 的值． 答案：（1）当0a >时，解集为3,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当0a <时，()3,,a a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1a =12、（1）解关于x 的不等式220ax x a x a --+≤；（2）解关于x 的不等式221ax x +≥+； （3）已知关于x 的不等式()()2226149282120k k x k x k k ⎡⎤⎡⎤++-+--<⎣⎦⎣⎦的解集M 与整数集Z 满足{}1MZ =，求实数k 的取值范围．答案：（1）当1a <-时，解集为(]1,,a a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；当1a =-时，解集为R ；当10a -<<时，解集为[)1,,a a⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；当0a =时，解集为[)0,+∞；当01a <<时，解集为1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1a =时，解集为{}1；当1a >时，解集为1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）当2a =时，解集为()(),11,-∞--+∞；当2a >时，解集为()[),10,-∞-+∞；当2a <时，解集为(]1,0-． （3）14k <-或1423k <≤。
2018年高考数学—不等式专题
不等式(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y得到－5. 答案 －5(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x＋3y －5的最小值为_____.解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4.答案 C(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示， x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大.所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.答案 C(2015·福建卷)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7B.8C.9D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b，即b＝2a时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C 答案 C。
高考文科数学—2018真题分类-专题十五--不等式选讲第三十五讲不等式选讲(带答案)word版本
专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd >>||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11a b+=． (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． 15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤（Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -…的解集包含]2,1[，求a 的取值范围． 19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲答案部分1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ． (2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ． 由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ．3．【解析】(1)1 3,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x<-时，①式化为2340x x--≤，无解；当11x-≤≤时，①式化为220x x--≤，从而11x-≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m xx x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，． 10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+…，得13x -剟.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a …时，①等价于13a a -+…，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤． 所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-， 即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-． 因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号． 故33ab+≥a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12+＜a ≤3．综上，a，52+）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<． （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为(-1，43]． 17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……1x ⇔…或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-…在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--…在[1,2]上恒成立22x ax ⇔---剟在[1,2]上恒成立 30a⇔-剟．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩， 即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤， 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-， 由题设可得2a -=1-，故2a =．。
2018届高考数学一轮复习精选试题不等式(解答题) Word版含答案
不等式
解答题(本大题共个小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米小时)是车流密度（单位:辆千米）的函数，当桥上的的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时，研究表明；当
时，车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ）当时，求函数的表达式;
(Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆每小时）可以达到最大，并求最大值（精确到辆小时）.
【答案】(）由题意，当时，；当时，设
由已知，解得.
故函数的表达式为.
()由题意并由（）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，
当且仅当即时等号成立.
所以当时，在区间上取得最大值.
综上可知，当时，在区间上取得最大值.
即当车流密度为辆千米时，车流量可以达到最大，最大值约为辆小时
．已知是正实数,且<,求证:<
【答案】证明：由是正实数,故要证<
只要证（）<() 只要证<
只要证<, 而> 只要证 <,
由条件<成立，故原不等式成立。
．设均为正实数．
(Ⅰ）若，求的最小值；
(Ⅱ）求证：.
【答案】（Ⅰ）：因为均为正实数，由柯西不等式得
，当且仅当时等号成立，∴
的最小值为
(Ⅱ）∵均为正实数，∴，当时等号成立；。
2018大二轮高考总复习文数文档：解答题6 选修4-5(不等式选讲)
第一单元 高考中档大题突破解答题06：选修4－5(不等式选讲)年份卷别具体考查内容及命题位置命题分析Ⅰ卷不等式的证明·T 23Ⅱ卷绝对值不等式的解法及恒成立问题·T 232017Ⅲ卷绝对值不等式的解法及不等式有解求参数问题·T 23甲卷含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T 24乙卷绝对值不等式的解法及图象·T 242016丙卷绝对值不等式解法·T 24Ⅰ卷绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公式·T 242015Ⅱ卷不等式的证明、充要条件的判断·T 24Ⅰ卷基本不等式·T 242014Ⅱ卷绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T 24Ⅰ卷绝对值不等式的求解、分段函数及其图象及不等式恒成立问题·T 242013Ⅱ卷基本不等式的应用·T 24 1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一，稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.基本考点——绝对值不等式1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点．(2)划区间、去绝对值号．(3)分别解去掉绝对值的不等式(组)．(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．3．图象法求解绝对值不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，可在直角坐标系中作出不等式所对应函数的图象，利用函数图象求解．1．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝Error!故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝或x ＝5.13故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为{x |x <或x >5}．13所以|f (x )|>1的解集为{x |x <或1<x <3或x >5}.2.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )13＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤.－1＋172所以f (x )≥g (x )的解集为Error!.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．常考热点——证明不等式1．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．a ＋b ＋c33abc定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋ann n a 1a 2…an 3．证明不等式的3种基本方法(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种．(2)用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋(a ＋b )3(a ＋b )24＝2＋，3(a ＋b )34所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －|＋|x ＋|，M 为不等式f (x )<2的解集．1212(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解：f (x )＝Error!当x ≤－时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；12当－<x <时，f (x )<2恒成立；1212当x ≥时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.12所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝Error!当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－2＋≤，(|x |－32)5454且当x ＝时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝，3254故m 的取值范围为.(－∞，54]2．(2017·莆田一模)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －2|.(1)求不等式f (x )＞2的解集；(2)设f (x )的最小值为M ，若2x ＋a ≥M 的解集包含[0,1]，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝Error!∴当x ≤2时，f (x )＞2,6－2x ＞2，解得x ＜2；当2＜x ＜4时，f (x )＞2得2＞2，无解；当x ≥4时，f (x )＞2得2x －6＞2，解得x ＞4.所以不等式f (x )＞2的解集为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(2)∵|x －4|＋|x －2|≥2，∴M ＝2，∵2x ＋a ≥M 的解集包含[0,1]，∴20＋a ≥2,21＋a ≥2，∴a ≥1.故a 的取值范围为[1，＋∞)．3．(2017·濮阳一模)已知函数f (x )＝|x －1|，不等式f (x ＋5)≤3m (m ＞0)的解集为[－7，－1](1)求m 的值；(2)已知a ＞0，b ＞0，且2a 2＋b 2＝3m ，求2a 的最大值．1＋b 2解：(1)函数f (x )＝|x －1|，不等式f (x ＋5)≤3m (m ＞0)，即|x ＋4|≤3m ，即－3m ≤x ＋4≤3m ，即－4－3m ≤x ≤3m －4，即不等式的解集为[－4－3m,3m －4]．再根据它的解集为[－7，－1]，可得Error!，∴m ＝1.(2)已知a ＞0，b ＞0，且2a 2＋b 2＝3m ＝3，∴2a ＝·a ·≤·＝2，1＋b 2221＋b 222a 2＋1＋b 222当且仅当a ＝时，即a ＝b ＝1时，等号成立，21＋b 2故2a 的最大值为2.1＋b 224．(2017·清远一模)已知不等式|x ＋3|－2x －1＜0的解集为(x 0，＋∞)．(1)求x 0的值；(2)若函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋|－x 0(m ＞0)有零点，求实数m 的值．1m 解：(1)不等式转化为Error!或Error!，解得x ＞2，∴x 0＝2.(2)由题意f (x )＝|x －m |＋－x 0(m ＞0)有零点，等价于|x －m |＋|x ＋|＝2(m ＞0)有解，|x ＋1m |1m ∵|x －m |＋|x ＋|≥m ＋，当且仅当(x －m )(x ＋)≤0时取等号，1m 1m 1m ∵|x －m |＋|x ＋|＝2(m ＞0)有解，∴m ＋≤2，1m 1m ∵m ＋≥2，∴m ＋＝2，∴m ＝11m 1m 5．(2017·汕头一模)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若存在x 0满足f (x 0)＋|x 0－2|＞3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|，由f (x )≥5得|x －2|＋|2x ＋1|≥5.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2;当－＜x ＜2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥5，12即x ≥2，所以此时不等式无解；当x ≤－时，不等式等价于2－x －2x －1≥5，12解得x ≤－，所以x ≤－.4343所以原不等式的解集为∪[2，＋∞)．(－∞，－43](2)f (x 0)＋|x 0－2|＝2|x 0－2|＋|2x 0＋a |＝|2x 0－4|＋|2x 0＋a |≥|2x 0＋a －(2x 0－4)|＝|a ＋4|，因为原命题等价于(f (x 0)＋|x 0－2|)min ＞3，所以|a ＋4|＞3，所以a 的取值范围为a ＜－7或a ＞－1.6．(2017·梅州一模)设函数f (x )＝|x ＋|＋|x －2m |(m ＞0)．8m (1)求证：f (x )≥8恒成立；(2)求使得不等式f (1)＞10成立的实数m 的取值范围．(1)证明：函数f (x )＝|x ＋|＋|x －2m |(m ＞0)，8m ∴f (x )＝|x ＋|＋|x －2m |≥|x ＋－(x －2m )|＝|＋2m |＝＋2m ≥2＝8，8m 8m 8m 8m 8m ·2m 当且仅当m ＝2时，取等号，故f (x )≥8恒成立．(2)解：f (1)＝|1＋|＋|1－2m |，当m ＞时，8m 12f (1)＝1＋－(1－2m )，不等式即＋2m ＞10，8m 8m 化简为m 2－5m ＋4＞0，求得m ＜1或m ＞4，故此时m 的范围为∪(4，＋∞)．(12，1)当0＜m ≤时，f (1)＝1＋＋(1－2m )＝2＋－2m 关于变量m 单调递减，128m 8m 故当m ＝时，f (1)取得最小值为17，12故不等式f (1)＞10恒成立．综上可得，m 的范围为(0,1)∪(4，＋∞)．。
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第六章 不等式考点19 不等式的性质、解法与基本不等式两年高考真题演练1．(2015·福建)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．(2015·湖南)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2C ．2 2D ．43．(2015·山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)4．(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞05．(2015·福建)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB→|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．216．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q7．(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz8．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 39．(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元10．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．11．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________． 12．(2015·山东)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．13．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．14．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________. 考点19 不等式的性质、解法与基本不等式一年模拟试题精练1．(2015·临沂一模)x y＞1的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＞y B ．x ＞y ＞0C ．x ＜yD ．y ＜x ＜02．(2015·山东青岛质检)设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( )A.1a ＞1bB.1a －b ＞1aC ．|a |＞－b D.－a ＞－b3．(2015·武汉模拟)若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b ＞b ＋1a B.b a ＞b ＋1a ＋1C ．a －1b ＞b －1a D.2a ＋b a ＋2b ＞a b4．(2015·山西重点中学模拟)不等式x －2x 2－1＜0的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |x ＜2且x ≠1}C ．{x |－1＜x ＜2且x ≠1}D ．{x |x ＜－1或1＜x ＜2}5．(2015·沈阳四校联考)若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为( )A ．{x ∈R |0＜x ＜2}B ．{x ∈R |0≤x ＜2}C ．{x ∈R |0＜x ≤2}D ．{x ∈R |0≤x ≤2}6．(2015·山西省质检二)对于函数f (x )定义域内的任意一个x 都有f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做函数f (x )的上确界，则函数g (x )＝－12x －21－x(x ∈(0，1))的上确界是( ) A.14 B ．－4 C.92 D ．－927．(2015·河南洛阳质检)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为( )A ．(－3，1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．∅D ．(0，1)8．(2015·山东泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋a b≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab 9．(2015·皖南八校联考)函数f (x )＝a x －1＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象过一个定点P ，且点P 在直线mx ＋ny －1＝0(m ＞0，n ＞0)上，则1m ＋4n的最小值是( ) A ．12 B ．13 C ．24 D ．2510．(2015·湖南株洲调研)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.5411．(2015·郑州市预测)已知a ，b 是两个零点的单位向量且c ·a＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 212．(2015·河南八市质量监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x ＜0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14时恒有f (x ＋a )＜f (x )，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－174，0 B ．[－2，0) C ．(－∞，－2) D ．[－2，－2)13．(2015·山西省三诊)不等式1x＜a 的解集是{x |a ＜x ＜0}，则a ＝________．14．(2015·江西省质检三)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－2)(x －2)＜0，则实数k 的取值范围是________．15．(2015·邯郸市质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，则1x ＋4y的最小值为________． 16．(2015·吉林市高三摸底)已知正项等比数列{a n }的公比q ＝2，若存在两项a m ，an ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．考点20 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划两年高考真题演练1．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．142．(2015·湖南)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．(2015·安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．14．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨)3 2 12 B (吨) 1 2 8A.12万元 B ．16万元C ．17万元D ．18万元5．(2015·四川)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492C ．12D ．14 6．(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C.43D ．3 7．(2015·福建)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．28．(2014·福建)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．499．(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．310．(2015·新课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．11．(2015·新课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．12．(2015·北京)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．13．(2015·浙江)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划一年模拟试题精练1．(2015·北京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2015·武汉调研试题)设A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )3．(2015·汕头模拟)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－24．(2015·山西省三诊)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－3B ．－1 C.32 D ．35．(2015·昆明一中检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－36．(2015·贵州七校一联)一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( )A ．16B ．18C ．20D ．367．(2015·云南师大附中适应性考试)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则a ＋b 的值为( )A.14B ．2C ．4D ．0 8．(2015·郑州市预测)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．17B ．18C ．20D ．219．(2015·西安八校联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，那么函数y ＝bx 2＋ax 在区间[b ，a ]上的值域为( )A ．[－30，－2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－30，112C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，112 D ．[－3，1]10．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则w ＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．111．(2015·北京朝阳区高三期末)在平面直角坐标系中，若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k （x －1）表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________．12．(2015·宝鸡市质检)若目标函数z ＝kx ＋y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤1，x ＋y ≥2，y －x ≤2表示的可行域内，不仅在点(1，1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是________．13．(2015·三明模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y ≥2x －2，y ≤2，且z＝kx ＋y 取得最小值时的点有无数个，则k ＝________．14．(2015·厦门市质检)点P (x ，y )在直线y ＝kx ＋2上，记T ＝|x |＋|y |，若使T 取得最小值的点P 有无数个，则实数k 的取值是________．15．(2015·赤峰市测试)已知O (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a内的任意一点，当该区域面积为4时，z ＝2x －y 的最大值为________．参考答案第六章 不等式考点19 不等式的性质、解法与基本不等式【两年高考真题演练】1．C [由题意1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，当且仅当a ＝b ＝2时，取等号．故选C.2．C [由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，由于1a ＋2b ≥22ab，∴ab ≥22ab，∴ab ≥2 2.故选C.]3．C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，化简得(2x －2)(2x －1)＜0，∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.]4．C [A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2， ∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立．] 5.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t(0，t ) ＝(1，4)，∴P (1，4)，PB→·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.] 6．C [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.]7．B [作差比较，∵x ＜y ＜z ，a ＜b ＜c ，则(az ＋by ＋cx )－(ax＋by ＋cz )＝a (z －x )＋c (x －z )＝(a －c )(z －x )＜0，∴az ＋by ＋cx ＜ax ＋by ＋cz ；(az ＋by ＋cx )－(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )＜0，∴az ＋by ＋cx ＜ay ＋bz ＋cx ；(ay ＋bz ＋cx )－(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(b －c )(z －x )＜0，∴ay ＋bz ＋cx ＜ay ＋bx ＋cz ，∴az ＋by ＋cx 最小．故选B.]8．D [因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3ab≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，选择D.]9．C [设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x ＝160(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号)．所以该容器的最低总造价为160元．故选C.]10．4 [log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.]11．－12 26－6 [因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋6x－6，x ＞1，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f [f (－2)]＝f (4)＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝f (0)＝0.当x ＞1时，f (x )＝x ＋6x－6≥26－6，当且仅当x＝6时“＝”成立．∵26－6＜0，∴f (x )的最小值为26－6.]12. 2 [由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．] 13．3 2 [∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2.]14.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]【一年模拟试题精练】1．B [当x ＞y ＞0时，x y ＞1成立；而当xy＞1时，可得x ＞y＞0或x ＜y ＜0，故选B.]2．B [由题设得a ＜a －b ＜0，所以有1a －b ＜1a 成立，即1a －b ＞1a不成立．]3．A [检验法：取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增．所以，当a ＞b ＞0时，f (a )＞f (b )必定成立．但g (a )＞g (b )未必成立，这样，a －1a ＞b －1b⇔a ＋1b ＞b ＋1a，故选A.]4．D [x －2x 2－1＜0⇔(x －1)(x ＋1)(x －2)＜0⇔x ＜－1或1＜x＜2，故选D.]5．C [∵全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}， ∴∁U A ＝{x ∈R |0＜x ≤2}，故选C.]6．D [g (x )＝－12x －21－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋21－x ·[x ＋(1－x )]＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋1－x 2x ＋2x 1－x ≤－92，所以M ≥－92，上确界为－92.] 7．B [不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a ＜0，即a 2－a ＜0，解得0＜a ＜1，所以不等式at 2＋2t －3＜1转化为t 2＋2t －3＞0， 解得t ＜－3或t ＞1，故选B.]8．C [因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，即b a ＋ab≥2b a ·ab＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以选C.]9．D [函数f (x )＝a x －1＋3恒过点P (1，4)， ∴m ＋4n －1＝0，m ＋4n ＝1.∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋4n )＝1＋4n m ＋4mn＋16≥25.] 10．C [由x ＞0，y ＞0知4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，故选C.]11．B [设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(1，1)，代入c ＋t a ＋1tb ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋t ，1＋1t ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ＝（1＋t ）2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t＋2≥2 2.]12.A [由题意知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14上y ＝f (x ＋a )的图象应在函数y ＝f (x )图象的下方，当a ＝0时，显然不合题意，当a ＞0时，作出y ＝f (x ＋a )和y ＝f (x )图象，由图象知不合题意，当a ＜0时作出y ＝f (x ＋a )和y ＝f (x )图象如图所示，由图象可知，要使f (x ＋a )＜f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14上恒成立，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14即可，则有－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋a 2－14＋a ＜－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－14，整理得a 2－12a －1＜0，即1－174＜a ＜0.]13．－1 [1x＜a 化为x (－ax ＋1)＜0，它的解集是{x |a ＜x ＜0}，知a ＜0，则由x (－ax ＋1)＜0得1a ＜x ＜0，则a ＝1a，解得a ＝－1.]14．[1，2] [可判断k ＝0或k ＜0均不符合题意，故k ＞0.于是原不等式即为k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋2k (x －2)＜0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋2k (x －2)＜0，依题意应有1≤k 2＋2k≤3且k ＞0，∴1≤k ≤2.]15．3 [∵2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－y ，∴x ＋y ＝3， 因此，1x ＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋y x ＋4x y ＋4≥13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2y x ·4x y ＝3.] 16.32 [正项等比数列{a n }的公比q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a 1·2m －1×a 1·2n －1＝4a 1，∵a 1≠0，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6.则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32，当且仅当n ＝2m ＝4时取等号．∴1m ＋4n 的最小值为32.]考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划【两年高考真题演练】 1．C[作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移直线l 可知，经过点A 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＋2y －8＝0，得A (2，3)， 故z max ＝3×2＋3＝9.选C.] 2．A[作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1表示的平面区域如图：平移直线y ＝2x －z 知，过点M (0，1)时，z 最小＝－1.故选A.]3．A [(x ，y )在线性约束条件下的可行域如图，∴z max ＝－2×1＋1＝－1.故选A.]4．D [设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．]5．A [xy ＝12×2xy ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时，等号成立，把x ＝52，y ＝5代入约束条件，满足．故xy 的最大值为252.]6．B [不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， ∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1.] 7.C [由图形知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，B ⎝⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，O (0，0)．只有在B 点处取最大值2， ∴2＝42m －1－2m 2m －1.∴m ＝1.]8．C [平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以圆心C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当圆心C在点N (6，1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C.]9．C[在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1下，S ＝2x ＋y 的最大值应在点(1，0)处取得，即S max ＝2×1＋0＝2，显然2>1，故选C.]10．4 [x ，y 满足条件的可行域如图所示的阴影部分，当z ＝3x ＋y 过A (1，1)时有最大值，z ＝4.]11．8[画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC .作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线z ＝x＋y 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2即A (3，2)， 故z 最大＝2×3＋2＝8.] 12.7 [z ＝2x ＋3y ，化为y ＝－23x ＋13z ，当直线y ＝－23x ＋z 3在点A (2，1)处时，z 取最大值，z ＝2×2＋3＝7.]13．15 [因为实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，则3x ＋4y －10＋z ＝0.当直线3x ＋4y －10＋z ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，z 取最值，故|z －10|5＝1，∴z ＝5 或z ＝15，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值为15.]【一年模拟试题精练】1．B [该线性约束条件所表示平面区域如下图所示，该区域为边长为2的正方形，故其面积为(2)2＝2.]2．A[由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞1－x －y ，x ＋（1－x －y ）＞y ，y ＋（1－x －y ）＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞12，y ＜12，x ＜12.]3．A [该约束条件表示的平面区域如图所示，故12·(3－k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1－1＝1，得k ＝1，k ＝7(舍去)．] 4．D [作出可行域如图，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点E 时，直线的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即E (2，－1)，代入得z ＝2×2－1＝3.]5．B [由z ＝2x －3y 得y ＝23x －z3，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分包括边界)；平移直线y ＝23x －z 3，由图象可知当直线y ＝23x －z3，过点C 时，直线y ＝23x －z3截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即C (3，4)． 代入目标函数z ＝2x －3y ，得z ＝2×3－3×4＝6－12＝－6. ∴目标函数z ＝2x －3y 的最小值是－6. 故选B.]6．C [平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8，0)，当以AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2，8)，由此作出(x ，y )所在的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20.]7．C [作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点A (1，1)时取最大值，所以a ＋b ＝4.]8．B [依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域．注意到x 2＋y 2可视为该平面区域内的点(x ，y )与原点间的距离的平方，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，与原点间的距离最远的点是(3，3)，因此x 2＋y 2的最大值等于32＋32＝18.]9．B [根据可行域的图形可知目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，即a ＝1，在点(－1，1)处取得最小值－3，即b ＝－3，则y ＝－3x2＋x ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －162＋112，x ∈[－3，1]，∴y min ＝－30，y max ＝112，故选B.]10．D [该线性约束条件表示平面区域如图所示，w ＝y ＋1x表示(x ，y )和(0，－1)两点的斜率，故w min ＝k AB ＝0－（－1）1－0＝1.]11.(－∞，0) [该约束条件所表示平面区域如图所示，要使该区域为三角形，需k ＜0.]12．(－2，1) [该约束条件表示平面区域如图所示：由题意可得：k CD ＜－k ＜k AB ，即－1＜－k ＜2，得k ∈(－2，1)．]13．－2或1 [该线性约束条件表示平面区域如图所示，由题意可得－k ＝k AB ＝2或－k ＝k AC ＝－1，即k ＝－2或1.] 14.±1 [y ＝kx ＋2恒过(0，2)，T ＝|x |＋|y |表示由A (0，－T )，B (T ，0)，C (0，T )，D (－T ，0)构成的图形，k CD ＝1，k BC ＝－1，由题意可得T ＝2，k ＝±1.]15．6 [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域，如图，由图可得A(a，－a)，B(a，a)，由S△OAB＝12×2a×a＝4得a＝2，∴A(2，－2)，化目标函数为y＝2x－z，∴当y＝2x－z过A点时，z最大，z max＝2×2－(－2)＝6.]。