1.6经济学中的常用函数.doc
常用函数公式运用
常用函数公式运用介绍常用函数公式及其运用是一个很广泛的话题。
由于篇幅有限，我将介绍一些常见的函数公式及其在数学、物理、工程和经济等领域的应用。
1.三角函数公式：- sin²x + cos²x = 1：这个简单的三角恒等式是很多三角函数相关公式的基础。
它在几何学、物理学和工程学中经常被用来证明三角形的恒等关系，以及计算角度间的关系。
- 三角函数的和差化积公式：例如sin(x+x) = sin x cos x +cos x sin x，这个公式在解决角度和方向问题时非常有用。
2.指数函数公式：-指数函数的性质e^(x+x)=e^x*e^x：这个公式在解决复利问题和连续增长模型时非常有用。
它被广泛应用于经济学中的复利计算和人口增长模型中。
- 牛顿冷却定律：温度变化率与温度差成正比，即dT/dt = -k(T-T_a)，其中k为比例常数，T为物体温度，T_a为环境温度。
这个公式描述了物体的温度随时间的变化，从而可以用来研究随时间变化的物理系统。
3.对数函数公式：- 对数函数的性质log(x * x) = log x + log x：这个公式在解决乘法问题时非常有用。
它在经济学、物理学和计算机科学中的各种模型中经常被应用。
-高斯分布公式：x=x^−((x−x)^2/2x^2)/(x√(2x))，其中x 为均值，x为标准差。
这个公式描述了一种常见的概率分布模型，广泛应用于统计学、金融学和工程学中。
4.多项式函数公式：-迪利克雷公式：x(x)=∑(x，x)x(x)=x，其中x(x)表示正整数x的因数个数，x(x)表示小于或等于x且与x互质的数的个数。
这个公式在数论中有重要的应用。
-贝塞尔函数公式：贝塞尔函数是一类特殊函数，用来解决边界值问题。
它们在物理学和工程学中广泛应用于波动现象、傅里叶分析和信号处理等领域。
5.微积分公式：-牛顿-莱布尼茨公式：∫(x,x)x'(x)xx=x(x)−x(x)，其中x'(x)表示函数x(x)的导数。
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
经济学中常用的函数
因此一般地，需求函数是单调减少函数．
常用的需求函数有如下几种类型： 1、线性需求函数：Qabp (a0,b0); 2、二次需求函数：Qabpcp2 (a0,b0,c0); 3、指数需求函数：Qaebp (a0,b0).
价格函数：需求函数的反函数，记作PP(q)
p p0 p p0
供大于求，p下降 物资短缺，p上升
成本函数
某产品的总成本C (Q （) Q 表示产量）是指生产一
定数量的产品所需的费用（劳动力、原料、设
备等）总额．总成本包括不随产量变化而变化
的固定成本C 0 成本C 1 (Q )，即
，以及随产量变化而变化的变动
C(Q)C0C1(Q)．源自平均成本函数 C一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q QP 称为需求函数．
2、 ()()() 0 ，此时称为亏损生产， 即生产处于亏损状态，利润为负；
3、L(Q) 0，此时称为无盈亏生产，若把无盈亏
生产时的产量记为 Q 0 ，将其称为无盈亏点．
谢谢~~
a
10
供给函数
设p 表示商品价格，S 表示供给量，将供给量与商
品价格之间的函数关系S S p称为供给函数．
一般说来，商品价格低，生产者不愿生产， 供给减少；商品价格高，供给增加．
因此一般供给函数为单调增加函数．
常用的供给函数有如下类型：
经济学中的生产函数
经济学中的生产函数经济学中的生产函数是用来描述生产过程中投入和产出之间的关系的数学模型。
它是宏观经济理论中一个重要的概念，通过衡量投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解和分析经济增长、资源配置以及生产效率等问题。
本文将介绍生产函数的基本概念、不同形式的生产函数以及其在经济学中的应用。
生产函数的基本概念生产函数是通过将输入要素与产出数量相联系来描述生产过程的函数关系。
它通常表示为Q = f(K, L, ...)，其中Q表示产出数量，K表示资本投入，L表示劳动投入，...表示其他可能的生产要素。
生产函数假设其他影响因素保持不变的情况下，投入要素与产出之间存在一定的关系。
不同形式的生产函数常见的生产函数形式包括线性生产函数、柯布-道格拉斯生产函数和双曲线生产函数等。
线性生产函数的形式为Q = aK + bL，其中a和b为常数。
线性生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈线性关系，即资本和劳动的增加对产出的影响是恒定的。
柯布-道格拉斯生产函数的形式为Q = K^αL^β，其中α和β为正数。
柯布-道格拉斯生产函数假设资本和劳动投入对产出存在递增的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递增的。
双曲线生产函数的形式为Q = AK / (B + CK)，其中A、B和C为正数。
双曲线生产函数假设资本和劳动投入对产出的贡献呈递减的边际贡献，即资本和劳动的增加对产出的影响是递减的。
生产函数在经济学中的应用生产函数在经济学中有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 增长理论：生产函数是经济增长理论中的重要工具，通过描述投入要素和产出之间的关系，帮助我们理解经济增长的来源与驱动力。
基于生产函数的分析，我们可以探讨如何提高生产要素的质量和效率，促进经济增长。
2. 资源配置：生产函数可以帮助我们优化资源配置，实现资源的高效利用。
通过权衡不同要素的投入和产出，我们可以确定最优的生产要素组合，以实现最大的产出效益。
常用函数公式及用法
常用函数公式及用法函数在数学中是一种重要的工具，它将一个或多个输入值映射到输出值。
函数的应用十分广泛，包括数学、物理、经济学等领域。
下面将介绍一些常用的函数公式及其用法。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在各种科学和工程问题中有很多应用，比如经济学中的供求关系和物理学中的速度和加速度等。
二、二次函数二次函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数在几何学和物理学中有广泛的应用，比如描述抛射物的运动轨迹和分析电磁波在镜面上的反射等。
三、指数函数指数函数的表达式为y=a^x，其中a是正常数。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
指数函数在自然科学和经济学中有广泛的应用，比如放射性衰变、人口增长和利润增长等。
四、对数函数对数函数是指数函数的反函数，表示为y = loga(x)，其中a是正常数且a≠1、对数函数的图像是一条递增曲线，它与指数函数互为反函数。
对数函数在计算和控制论中有广泛的应用，比如简化复杂计算和描述信号传输的强度等。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们与三角形的角度和边长相关联。
三角函数在几何学和物理学中都有广泛的应用，比如测量角度、解决三角形的边长和角度、描述振动和波动等。
三角函数的表达式和图像具有周期性的特点。
六、指数增长函数指数增长函数的表达式为y = ab^x，其中a和b是正常数，且b>1、指数增长函数的图像呈现出指数级的增长趋势，常用于描述人口增长、细胞分裂和资本增长等。
七、对数增长函数对数增长函数是指数增长函数的反函数，表示为y = logb(x)，其中b是正常数且b>1、对数增长函数可以用于描述信息传输速度和事件发展速度等。
八、常数函数常数函数的表达式为y=c，其中c是常数。
经济学中常用的函数
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
经济学中常用的函数
微分学在经济中的应用§1 经济学中的常用函数一、需求函数消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。
这种源动力的核心主要有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。
影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。
忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了需求函数)(P f D =， （1-1）需求函数通常是单调下降函数（如图1-1所示）。
产生下降的原因有两个：一是收入效应，二是替代效应。
注：需求量与价格有时也是按上升方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格越高，越被人门人为是珍品，因而需求量就越大。
下列函数可作为需求函数：线性函数 )0,0(>>-=b a bP a D ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>--=c b a cP bP a D ，指数函数 )0,0(>>=-b A Ae D bP ，幂 函 数 )0,0(>>=-ααA AP D 。
二、供给函数供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量，需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。
所以，供给和需求是相对的概念，这就是 说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。
产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。
影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。
忽略其他因素，只考虑与 价格的关系就得到了供给函数：)(P g Q =， （1-2）供给函数通常是单调上升函数（如图1-2所示）。
注：供给量与价格有时也是按下降方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，供给量增加，当价格上升到一定程度后，人们以为它更珍贵，就不会再提供给市场。
因而价格上涨供给量反而减少。
经常采用的供给函数有如下形式：线性函数 )0,0(>>+-=d c dP c Q ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>++-=c b a cP bP a Q ，指数函数 ),0,0,0(A B k B A B Ae Q kP >>>>-=， 幂 函 数 )0,0,0(>>>-=-ααB A BAP D 。
经济学中的常用函数
一 单利与复利
经济学中的常用函数
单利计算公式
初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r ) 第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp p(1 2r )
……
第n年末的本利和 sn p(1 nr )
目录
上页
下页
返回
结束
复利计算公式
所求总成本函数为 x2 C ( x ) 400 (万元) 100 平均成本函数为
C ( x ) 400 x C ( x) (万元 / 吨) x x 100
目录 上页 下页 返回 结束
小结
1. 函数的定义及函数的二要素 定义域 对应规律
2. 函数的特性
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
Qd f d ( P )
均衡价格
目录 上页 下页
P
P
返回 结束
例2 设某商品的需求函数和供给函数分别为
Q d 190 5P,Q s 25P 20,
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件
Qd Q s 得
190 5P 25P 20
解得 p 7,
因此，市场均衡价格为 P0 7.
初始本金为p , 利率为r
第1年末的本利和 s1 p rp p(1 r )
第2年末的本利和 s2 p(1 r ) rp(1 r )
p(1 r )2
……
第n年末的本利和 sn p(1 r )
n
例1 现有初始本金100(元)，若银行年储蓄利率为5%， 问： （1）按单利计算，3年末本利和为多少? （2）按复利计算，3年末本利和为多少?
经济数学-经济学中常用的函数
=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
练习题答案
1 2 1. R Q Q , R( ) ; 2 9 2. R 0.11Q 0.4 , P (15) 0.0025 , P (12) 0.0034 ,
2
P ( 20) 0.0017, R(10) 0.044, R(12) 0.041, R(15) 0.037; 3.C C (Q ) 200000 1000 Q;
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
经济学中常用的函数
因此一般地，需求函数是单调减少函数．
常用的需求函数有如下几种类型： 1、线性需求函数：Q a bp (a 0,b 0); 2、二次需求函数：Q a bp cp2 (a 0,b 0,c 0); 3、指数需求函数：Q a eb p (a 0,b 0).
的固定成本C0 ，以及随产量变化而变化的变动 成本C1(Q)，即C(Q) C0 C1(Q) ．
平均成本函数 C
为商品价格，Q 为商品量，R 为总收入，
R 为平均收益，
则总收入函数 R (Q) Q P ．
平均收入
R
R
(Q
)
QP Q
P
利润函数
一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q Q P 称为需求函数．
在产量和销量一致时，利润L 是产量（或 销售量）Q 的函数，且利润函数等于收入函数 与成本函数之差，即L L(Q) R (Q) C (Q)
1、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为有盈余生
产，即生产处于有利润状态；
2、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为亏损生产，
供求关系
如果市场上某种商品的市场需求量与供给量
相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商 品价格 P0 称为均衡价格
p p0 p p0
1-6经济学中的常用函数
练习题答案
1 2 1. R = Q − Q , R( ) = ; 2 9 2. R = 0.11Q − 0.4 , P (15) = 0.0025, P (12) = 0.0034, P ( 20) = 0.0017, R(10) = 0.044, R(12) = 0.041, R(15) = 0.037; 3.C = C (Q ) = 200000 + 1000Q;
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E = C1Tq + C 2 2 q 1 Q 为贮存费， 其中 ， C1Tq 为贮存费， C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线 戈珀兹 曲线是指数函数 y = ka
bc
在经济预测中，经常使用该曲线 在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
0 当 lg a < 0 ， < b < 1 时，图形如上页所示 . 且无限增大时， 由图可见 ，曲线当 t > 0 且无限增大时， 其无限与直线 y = k 接近 ，且始终位于该直
下方. 在产品销售预测中， 线 下方 在产品销售预测中，当预测销售量充 分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中 值时， 将达到市场饱和 .
平均收益为 100 Q − 3 Q AP ( Q ) = P ( Q ) = . 4
六、利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的 总成本之差。 总成本之差。即
L(Q ) = R(Q ) − C (Q )
例 5 设某种商品的总成本为C (Q) = 20 + 2Q + 0.5Q ,
2
万元， 若每售出一件该商品的收入是 20 万元， 求生产 10 件的总利润． 件的总利润．
经济数学1.6经济学中常用的函数
经济数学 1.需求函数与供给函数 • 例1 当鸡蛋收购价为每千克4.5元时，某收购站 每月能收购5000kg.若收购价每千克提高0.1元， 则收购量可增加400kg，求鸡蛋的线性供给函数. 解： 设鸡蛋的线性供给函数为 由题意得
5 0 0 0 c 4 .5 d 5 4 0 0 c 4 .6 d
经济数学
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资本4元，单位售价8元。 • 求
(1) 总成本函数;
练习
(2) 单位成本函数;
(3) 销售收入函数; (4) 利润函数. 解
C ( x ) 4 x 1000
1000 x
C (x)
4
R ( x )
8 x
L( x ) R ( x ) C ( x ) 4 x 1000
经济数学 3. 价格函数、收入函数、利润函数 (3) 利润函数
总利润 L ( q ) 等于总收入 R ( q ) 与总成本 C ( q ) 的差，所以总利润函数为 ：
L (q ) R (q ) C (q )
：
q
个单位产品时的平均利润为：
L (q ) q R (q ) C (q ) q
L
Q Q ( p)
常见的需求函数有以下几种类型：
线性需求函数 二次需求函数
Q a bp (a 0, b 0)
2
Q a bp cp
(a 0, b 0, c 0)
指数需求函数
Q Ae
bp
( A 0, b 0)
经济数学 1.需求函数与供应函数 (2) 供应函数
Q c dp
Q a bp cp
第五节经济学中常用函数.docx
第五节经济学中常用函数教学目的：了解经济中常用函数的概念。
结合经济现象理解盂求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念.教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解.教学内容：一.需求函数与价格函数一种商品的需求量0与该种商品的价格“密切相关，如杲不考虑其它因素的影响，则商品的蛊求量Q可看作价格P的函数。
称为需求函数，记作Q = /(卫)。
评注：(1)一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数Q = f(p) 是价格〃的减少函数。
如图(2)在企业管理和经济中常见的需求函数有线性需求函数：Q = a-bp,其中/?>0, a>0均为常数;二次需求函数：Q = a_bp_cp2,其中^>0, b>0, c>Q均为常数；指数需求函数：Q = A严,其中A>0, b>0均为常数；基函数需求函数：Q = AP-a ,其+ A>0, G>0均为常数。
二、供给函数“供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意11!售并且有可供出售的商品量，如果不考虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S是价格p的函数，记作S = S(p)0评注：(1) 一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数S = S(p)是价格〃的单调增加函数。
(2)常见的供给函数有线性函数，二次函数，幕函数，指数函数等。
(3)如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商品价格刁就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。
◎就是均衡数量。
2 4例1 :已知某商品的供给函数是S=-p-4,需求函数是Q = 50--p,试求该漓品处于市3 3场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。
解: 令S=Q,解方程组< e=|/^-44 Q= 50--p得均衡价格p = 27,均衡数量e = 14o2 4说明供给函数S=-p-4与需求函数2 = 50-一0的图彖交点的横坐标就是市场均衡价格。
经济学中的常用函数
b b Q = 0 时 P = , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义： 供给的含义：在某一时间内， 在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品． 生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素， 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
第五节 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义： 需求的含义： 消费者在某一特定的时期内， 消费者在某一特定的时期内， 在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要． 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素， 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
幂函数： 幂函数：Q = kP − A , 其中 A > 0 , k > 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q = −aP + b (a , b > 0)
讨论 P = 0 时的需求量和 Q = 0 时的价格 .
解 P = 0 时 Q = b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量 称为饱和需求量； 饱和需求量；
2
六、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求 量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素， 由于库存费用及资金占用等因素，显然 一次进货是不划算的， 一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货， 次进货，
Q T 每次进货批量为 q = ，进货周期为 t = . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C 1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同， 每次进货量相同，进货间隔时间不变， 进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品， 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
16 经济学中的常用函数
§1.6 经济学中的常用函数一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购置力的需要．消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外, 还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关. 现在我们只考虑商品的价格因素, 其他因素暂时取定值. 这样, 对商品的需求量就是该商品价格的函数, 称为需求函数. 用Q 表示对商品的需求量, p 表示商品的价格, 那么需求函数为:()Q Q p =,鉴于实际情况, 自变量p , 因变量Q 都取非负值.一般地, 需求量随价格上涨而减少, 因此通常需求函数是价格的递减函数.常见的需求函数有:线性需求函数: Q a bp =-, 其中a ,b 均为非负常数; 二次曲线需求函数: 2Q a bp cp =--, 其中a , b , c 均为非负常数;指数需求函数: bp Q ae -=, 其中a ,b 均为非负常数.幂函数：0,0,>>=-k a kP Q a 其中 需求函数()Q Q p =的反函数, 称为价格函数, 记作:()p p Q =,也反映商品的需求与价格的关系.二、供给函数供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．供给量记为S , 供给者愿意接受的价格为p , 那么供给量与价格之间的关系为: ()S S p =,称为供给函数, p 称为供给价格, S 与p 均取非负值. 由供给函数所作图形称为供给曲线.一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替： 线性函数: ,b aP Q -=, 其中a ,b 均为非负常数; 幂函数：: 0,0,>>=k a kP Q a 其中;指数函数: bP ae Q =, 其中a ,b 均为非负常数. 需求函数与供给函数密切相关, 把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中, 由于需求函数是递减函数, 供给函数是递增函数, 它们的图形必相交于一点, 这一点叫做均衡点, 这一点所对应的价格0p 就是供、需平衡的价格, 也叫均衡价格; 这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量. 当市场价格p 高于均衡价格0p 时, 产生了“供大于求〞的现象, 从而使市场价格下降; 当市场价格p 低于均衡价格0p 时, 这时会产生“供不应求〞的现象, 从而使市场价格上升; 市场价格的调节就是这样实现的.应该指出, 市场的均衡是暂时的, 当条件发生变化时, 原有的均衡状态就被破坏, 从而需要在新的条件下建立新的均衡.例1 某商品的需求量Q 与价格p 的关系由23123Q p +=给出, 而供给量Q 与价格p 的关系由22099Q Q p --=-给出, 试求市场到达供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.【解】 要求均衡价格和均衡需求量, 即解方程组2220993123Q Q p Q p ⎧--=-⎨+=⎩, 得到两组结果111201p Q =⎧⎨=-⎩ 和 22156p Q =⎧⎨=⎩. 显然,第一组结果没有意义, 故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量为6个单位.三、生产函数供需平衡价格 供需平衡P生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素 .为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况 .例 2)(22)2()()(x g cx x g cx x g x g x a a a a ===由于间的函数关系为与产出设投入 时，可见，当1=a 规模报酬不变；时，当1<a 如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；时，当1>a 如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增 .四、本钱函数本钱是指生产某种一定数量产品需要的费用, 它包括固定本钱和可变本钱.假设记总本钱为C , 固定本钱为0C , Q 为产量, 1()C Q 为可变本钱, 那么本钱函数为:01()()C C Q C C Q ==+,其中, 00,0,C Q ≥> 显然本钱函数是递增函数, 它随产量的增加而增加.〔2〕平均本钱函数平均本钱是指生产每单位产品的本钱, 记为C , 即平均本钱函数为:01()()=+C C Q C Q C Q Q Q =,平均本钱的大小反映企业生产的好差, 平均本钱越小说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低, 效益更好.五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用 Q 表示出售的产品数量，R 表示总收益, R 表示平均收益，那么Q Q R R Q R R )(,)(==如果产品价格 p 保持不变，那么p R PQ Q R ==,)(六、利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总本钱之差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.6 经济学中的常用函数
一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要.
消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外，还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关.现在我们只考虑商品的价格因素，其他因素暂时取定值.这样，对商品的需求量就是该商品价格的函数，称为需求函数.用Q表示对商品的需求量，〃表示商品的价格，则需求函数为:
Q = Q(P\
鉴于实际情况，自变量因变量Q都取非负值.
一般地，需求量随价格上涨而减少，因此通常需求函数是价格的递减函数.
常见的需求函数有:
线性需求函数：Q = a-bp,其中。
，〃均为非负常数；二次曲线需求函数：Q = a-bp-cp-,其中d, b , c
均为非负常数；指
数需求函数：Q = ae-bp , 其中a ,b均为非负常数. 幕函数：Q
= kP~a，其中。
＞0,氐＞0
需求函数Q = Q(P)的反函数，称为价格函数，记作：
P = P(Q),
也反映商品的需求与价格的关系.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者
愿意并且能够售出的商品.
供给量记为S,供应者愿意接受的价格为则供给量与价格之间的关系为：
s = s（p）,
称为供给函数，卩称为供给价格，S与P均取非负值.由供给函数所作图形称为供给曲线.
一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：
线性函数：Q = aP-b,,其中a ,b均为非负常数；
專函数：：Q = kP a中a>0,k>0;
指数函数：Q = ae bP,其中a »均为非负常数.
需求函数与供给函数密切相关，把需求曲线和供给曲线画在
同一坐标系中，由于需求函数是递减函数，供给函数是递增函数，
它们的图形必相交于一点，这一点叫做均衡点，这一点所对应的
价格几就是供、需平衡的价格，也叫均衡价格；这一点所对应的
需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.当市场价格〃
高于均衡价格时，产生了“供大于求”的现象，从而使市场价
格下降；当市场价格P低于均衡价格时，这时会产生“供不应求”的现象，从而使市场价格上升；市场价格的调节就是这样实
现的.
应该指出，市场的均衡是暂时的，当条件发生变化时,
原有的均衡状态就被破坏，从而需要在新的条件下建立新
例1某商品的需求量Q与价格〃的关系由
3Q2 + p = 123
给出，而供给量Q与价格〃的关系由
Q2-20Q-p = -99
给出，试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.
【解】要求均衡价格和均衡需求量，即解方程组
[Q2-20Q-P=-99
[3Q2 + p = \23 1
帥=120 “2 =15
得到两组结果]Q = _1和]02 = 6 •
显然，第一组结果没有意义，故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量为6个单位.
三、生产函数
生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的
最大可能产量之间的关系•一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素•为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况•
例2
设投入兀与产出g(劝间的函数关系为g(x) = cx a
由于g(2x) = 2a cx a = 2a g(x)
可见，当时，规模报酬不变；
当QV1时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；
当0>1时，如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增•
成本是指生产某种一定数量产品需要的费用，它包括固定成本和可变成本.
若记总成本为C,固定成本为Co, Q为产量，G(Q)为可变成
本，则成本函数为：
c = c(0 = Co+G(0
其中，C O>O,Q>O,显然成本函数是递增函数，它随产量的增加而增加.
(2)平均成本函数
平均成本是指生产每单位产品的成本，记为巴，即平
&C(0)_C° | C&)
Q Q Q
平均成本的大小反映企业生产的好差，平均成本越小
说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低，效益更好.
五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全
部收入.
用Q表示出售的产品数量，R表示总收益，R表示平均收益，则
R = R© ,录=譽
如果产品价格P保持不变，则
R（Q） = PQ , R= P
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。
即
L（e）=w）-c（e）
例3某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每
生产一件产品的费用为50元，预计售价80元，求总成本函数，平均成本函数，总收益函数，总利润函数和平均利润函数.
解设产量为Q ,则总成本函数，平均成本函数,总收益函数分别为
C⑷= 10000 + 50q,
尸10000
C(g) = ----- + 50
q，
R(q) = 80g.
L(q) = 80q -(10000 + 50q) = 30q -10000 .
平均利润函数为：
Z⑷二如=30-竺
q q •
七、库存函数
设某企业在计划期7■内，对某种物品总需求量为Q,由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，
Q
考虑均匀的分〃次进货，每次进货批量为q=：,进货
T
周期为t=~・假定每件物品的贮存单位时间费用为
C1,每次进货费用为C2,每次进货量相同，进货间隔时间q
不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为2
在时间厂内的总费用E为
2 q
其中，gq为贮存费，C2父为进货费用.
2 q
八、戈珀兹(Gompertz)曲线
戈珀兹曲线是指数函数y = ka 在经济预测中，经常使用该曲线.
初始期i发展期i饱和期
I I
当Igo v0,0vZ?vl时，图形如上页所示・
由图可见，曲线当》＞0且无限增大时, 其无限与直线y = £接近，且始终位于该直线
下方.在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到斤值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和・。