1.6经济学中的常用函数.doc

§1.6 经济学中的常用函数

一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要.

消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外，还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关.现在我们只考虑商品的价格因素，其他因素暂时取定值.这样，对商品的需求量就是该商品价格的函数，称为需求函数.用Q表示对商品的需求量，〃表示商品的价格，则需求函数为:

Q = Q(P\

鉴于实际情况，自变量因变量Q都取非负值.

一般地，需求量随价格上涨而减少，因此通常需求函数是价格的递减函数.

常见的需求函数有:

线性需求函数：Q = a-bp,其中。，〃均为非负常数；二次曲线需求函数：Q = a-bp-cp-,其中d, b , c

均为非负常数；指

数需求函数：Q = ae-bp , 其中a ,b均为非负常数. 幕函数：Q

= kP~a，其中。＞0,氐＞0

需求函数Q = Q(P)的反函数，称为价格函数，记作：

P = P(Q),

也反映商品的需求与价格的关系.

二、供给函数

供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者

愿意并且能够售出的商品.

供给量记为S,供应者愿意接受的价格为则供给量与价格之间的关系为：

s = s（p）,

称为供给函数，卩称为供给价格，S与P均取非负值.由供给函数所作图形称为供给曲线.

一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：

线性函数：Q = aP-b,,其中a ,b均为非负常数；

專函数：：Q = kP a中a>0,k>0;

指数函数：Q = ae bP,其中a »均为非负常数.

需求函数与供给函数密切相关，把需求曲线和供给曲线画在

同一坐标系中，由于需求函数是递减函数，供给函数是递增函数，

它们的图形必相交于一点，这一点叫做均衡点，这一点所对应的

价格几就是供、需平衡的价格，也叫均衡价格；这一点所对应的

需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.当市场价格〃

高于均衡价格时，产生了“供大于求”的现象，从而使市场价

格下降；当市场价格P低于均衡价格时，这时会产生“供不应求”的现象，从而使市场价格上升；市场价格的调节就是这样实

现的.

应该指出，市场的均衡是暂时的，当条件发生变化时,

原有的均衡状态就被破坏，从而需要在新的条件下建立新

例1某商品的需求量Q与价格〃的关系由

3Q2 + p = 123

给出，而供给量Q与价格〃的关系由

Q2-20Q-p = -99

给出，试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.

【解】要求均衡价格和均衡需求量，即解方程组

[Q2-20Q-P=-99

[3Q2 + p = \23 1

帥=120 “2 =15

得到两组结果]Q = _1和]02 = 6 •

显然，第一组结果没有意义，故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量为6个单位.

三、生产函数

生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的

最大可能产量之间的关系•一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素•为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况•

例2

设投入兀与产出g(劝间的函数关系为g(x) = cx a

由于g(2x) = 2a cx a = 2a g(x)

可见，当时，规模报酬不变；

当QV1时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；

当0>1时，如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增•

成本是指生产某种一定数量产品需要的费用，它包括固定成本和可变成本.

若记总成本为C,固定成本为Co, Q为产量，G(Q)为可变成

本，则成本函数为：

c = c(0 = Co+G(0

其中，C O>O,Q>O,显然成本函数是递增函数，它随产量的增加而增加.

(2)平均成本函数

平均成本是指生产每单位产品的成本，记为巴，即平

&C(0)_C° | C&)

Q Q Q

平均成本的大小反映企业生产的好差，平均成本越小

说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低，效益更好.

五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全

部收入.

用Q表示出售的产品数量，R表示总收益，R表示平均收益，则

R = R© ,录=譽

如果产品价格P保持不变，则

R（Q） = PQ , R= P

六、利润函数

利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即

L（e）=w）-c（e）

例3某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每

生产一件产品的费用为50元，预计售价80元，求总成本函数，平均成本函数，总收益函数，总利润函数和平均利润函数.

解设产量为Q ,则总成本函数，平均成本函数,总收益函数分别为

C⑷= 10000 + 50q,

尸10000

C(g) = ----- + 50

q，

R(q) = 80g.

L(q) = 80q -(10000 + 50q) = 30q -10000 .

平均利润函数为：

Z⑷二如=30-竺

q q •

七、库存函数

设某企业在计划期7■内，对某种物品总需求量为Q,由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，

Q

考虑均匀的分〃次进货，每次进货批量为q=：,进货

T

周期为t=~・假定每件物品的贮存单位时间费用为

C1,每次进货费用为C2,每次进货量相同，进货间隔时间q

不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为2

在时间厂内的总费用E为

2 q

其中，gq为贮存费，C2父为进货费用.

2 q

八、戈珀兹(Gompertz)曲线

戈珀兹曲线是指数函数y = ka 在经济预测中，经常使用该曲线.