第一讲数与式

第一讲 数与式
基础知识
有理数有两种分类方式：
有理数⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数 有理数⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零
正分数正整数正有理数 代数式
从确定的数到字母表示数，并且表示数的字母像数一样地参加运算，进而引入代数式，是数学发展史上的一个里程碑，也是我们学习过程的一次飞跃。

代数式使数量关系的表示简洁明了，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示，是从具体到抽象与概括有有力工具，给研究和计算带来了极大方便。

在列代数式时，就注意以下几点：
1、在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母表示
2、字母与字母相乘可以省略乘号
3、在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式
4、列代数式是应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来
5、代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘是必须把带分数化成假分数。

拓展知识：
1、 数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

（1） 所有有理数组成的数集叫做有理数集；
（2） 所有的整数组成的数集叫做整数集。

2、 任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。

3、 根据绝对值的几何意义知道：|a|≥0，即对任何有理数a ，它的绝对值是非负数。

4、 比较两个有理数大小的方法有：
（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；
（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数
与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；
（3） 做差法：a –b>0 ⇔a>b;
（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.（做差法与做商法如何进行选
择？）
数学思想
数形结合思想
分类讨论的思想
整体思想
转化的思想
一、 妙用定律巧求值
例1计算
)20031...3121()20041...31211()20031...31211)(20041...3121(+++⨯++++-+++++++
例2求1002-992+982-972+…+42-32+22-12
例3 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
二、 比较数的大小
例4比较a
1与a ，3a 与2a 的大小关系
例5设a 1,a 2,a 3,…a 2000都是有理数，令
)...)(...(),...)(...(199932200021200032199921a a a a a a N a a a a a a M ++++++=++++++=，试比较M 、N 的大小。

三、 代数式的代入与求解
例6已知y=ax 5+bx 3+cx-5,当x=-3时，y=7，当x=3时,求y 的值
例7
已知：2310x x +=，求代数式2(2)(10)5x x x -++-的值.
四、 数列规律归纳
例8 按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635
，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第９个数是 ．
例9（2010年丰台中考一模12题）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为
整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方
形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．
例10（2009年海淀区中考二模12）如图，将边长为
),,,( 3212
1=+n n 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A 1, A 2, A 3, ….①若摆放前6
个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）
之和为 ；②若摆放前n （n 为大于1的正
整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .
作业
1、乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221011311211 ＝
2、比较大小：A ＝89012345677890123456，B ＝8901234566
7890123455，则A B 3、比较a a 与2，a a 与3的大小
A 4
A 2A 3A
1
4、已知代数式2
4352)(dx x cx bx ax x +++，当x=1时，值为1。

求当x=-1时，代数式的值
5、若4322=-+b a a , 求代数式a a a b a b a b a ÷++-+-+)]1(4)())([(22的值.
6、计算：
7、计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
8、计算
9、
（要求写出解题过程）
10、阅读下列材料：
)210321(3
121⨯⨯-⨯⨯=⨯ )321432(3
132⨯⨯-⨯⨯=⨯ )432543(3
143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 由以上三个等式相加，可得
205433
1433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1110...433221⨯++⨯+⨯+⨯（写出过程）
（2）=+⨯++⨯+⨯+⨯)1(...433221n n
（3）=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯987 (543432321)
11、古希腊数学家把1,3，6,10,15,21，。

叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a 1，第二个三角形数记为a 2，…,第n 个三角形数记为
a n ，计算a 2-a 1,a 3-a 2,a 4-a 3，…，由此推算，a 100-a 99= , a 100= 。

拓展：
1、
2、。