快速解决圆锥曲线中点弦问题的方法

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圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案

圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。

例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。

例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。

例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。

例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。

三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。

2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。

3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。

4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。

练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。

圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）

圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）点差法分析中点及斜率（圆锥曲线）Ø方法导读我们在解答圆锥曲线题目时,经常会碰到一些中点弦的问题,比如根据弦的斜率求中点坐标,根据中点坐标求弦的斜率,或者其它一些跟中点弦相关的计算和证明等等.按照常规思路,我们会联立直线和圆锥曲线方程,消去或,然后通过韦达定理来处理中点弦的问题,这样能得到我们所要求的结果,但计算量会比较大,一不小心就会算错,造成失分.今天来介绍下圆锥曲线中的点差法,专门针对中点弦的问题进行简化运算,快速得到答案.Ø高考真题【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.Ø解题策略【过程分析】我们来分析下第一问,第二问不在本专题研究范围之内,学生可自行总结.题目中出现了弦的中点坐标条件,证明的结论是弦的斜率范围.根据正常思路,先设出直线方程为,代入中点坐标可得,联立直线和椭圆,消去y得,然后将代入得到不等式,再结合中点的条件及的范围得到的范围,又或者先求出的表达式,然后结合的范围分析求解. 解题思路上不算太复杂,套路也是常用的处理方式,但计算量大,非常容易算错,费事费力,一不小心就会造成选择不对,努力白费的局面,所以这个时候选择一个好方法就显得尤为重要,点差法就是专门处理这类中点弦的问题的快捷方法,通过将点的坐标代入曲线方程,然后作差能快速得到斜率和中点的关系,从而大大简化运算,轻松得分.Ø解题过程(1)设,,则,,两式相减,并由得.由题设知,,,于是.①又数形结合可知,故;(2)由题意得,设,则,由(1)及题设得,.又点在上,所以,从而,. ∴. 同理,所以,故,即,,成等差数列.设该数列的公差为,则.②将代入①得.所以的方程为,代入的方程,并整理得.故,,代入②解得.所以该数列的公差为或.Ø解题分析从解析第一问中可以看出,我们用点差法来处理中点弦的问题是极为方便的,计算量小,思路也很简单.设出弦与曲线的交点坐标,,因为点在曲线上,故代入曲线方程可得,,然后作差,作差是点差法的精髓所在,作差之后我们可以得到,平方差公式展开得,然后根据两点间的斜率公式和中点坐标公式,代入就可以得到,表达式中中点坐标和弦的斜率关系一目了然,简明扼要,然后在根据的范围得到的范围. 所以点差法用在弦的中点和斜率关系的求解上绝对可以起到事半功倍的效果,没有了冗长的计算,学生学起来不但轻松了,而且学习兴趣也会大大提高,增强学习数学的自信心.Ø拓展推广点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子,我们称这种代点作差的方法为“点差法”.结论:结论1:斜率为的直线与椭圆交于,两点,中点为,则.结论2:斜率为的直线与双曲线交于,两点,中点为,则.结论3:斜率为的直线与抛物线交于,两点,中点为,则.若圆锥曲线的焦点在y轴上,结论如何,请同学们结合点差法自己动手推理试试.点差法应用题型:1.以定点为中点的弦所在的直线方程2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹3.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题4.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程或离心率等5.与中点弦有关的证明定值,求参数范围,存在性问题等等注意事项:利用点差法时,有时要验证求出的结果是否满足直线与曲线相交的要求,可用判别式分析.举例说明:已知双曲线的方程,问是否存在被点平分的弦,如果存在,求出弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由.按照常规的解法:设直线的方程为,与双曲线方程联立,由得,且,但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率,显然不符合题意,由此可见“点差法”是有局限性的.事实上,(1)若中点在圆锥曲线(包括圆)内部,则满足条件的直线必定存在;(2)若中点在圆锥曲线(包括圆)上,则满足条件的直线必不存在;(3)若中点在圆锥曲线(除双曲线外)外部,则满足条件的直线必不存在.特别地,对于点在双曲线的外部时,满足时直线必定存在,否则一定不存在(当点在坐标轴上时属于特殊情况,应当特殊考虑). 拓展:定比点差法圆锥曲线中涉及“中点、中点弦”等问题可以考虑使用“点差法”. 有时问题中不出现“中点”,而是“定比分点”,这时可以考虑使用“定比点差法”. 定比点差法与点差法类似,都是根据某两点在圆锥曲线上,则这两点满足曲线方程,然后作差. 定比点差法代点后一个等式不变,另一个等式两边同乘以,再相减.设,在二次曲线上,则,两式作差得,即①,若,则,即②,将②代入①得③,然后根据条件进行相应分析即可.变式训练1已知直线与抛物线交于,两点,则线段中点坐标是__________.变式训练2已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、两点,且点是线段的中点.若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,请说明理由.变式训练3已知椭圆,(1)求斜率为的平行弦的中点轨迹方程;(2)过的直线的椭圆相交,求被椭圆截得的弦的中点轨迹方程;(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 变式训练4已知过点的直线与椭圆且相交于,两点,中点坐标为且(为坐标原点).(1)求直线的方程;(2)证明:为定值. 变式训练5 如图,在中,,,,椭圆以,为焦点且过点,点为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点满足,问是否存在不平行的直线与椭圆交于不同的两点,且,若存在,求出直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. 答案变式训练1设中点坐标为,则①又由点差法知,即②由①②知:,故所求为.变式训练2见解析设存在被点平分的弦,且,,则,.∵点在曲线上,∴,, 两式相减,得,∴,故直线.由消去y,得,,方程无解,故不存在这样的直线. 变式训练3见解析(1)设这些平行弦的方程为,弦的中点为.联立直线方程和椭圆方程:,消去y得,因此,,∴,的横纵坐标是,,,消去得平行弦的中点轨迹方程为:,.(2)设弦的端点为,,弦的中点为.∴,∴,∵,因此,化简得.(包含在椭圆内部的部分) (3)由(2)可得弦所在直线的斜率为,因此所求直线方程是:,化简得:.变式训练4 见解析(1)设,,∴,①-②得,∵中点坐标为,∴.∴直线的方程为。

运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题

迹。
1 2
,
1 4
4
，则求椭圆的方程。
A
10
解设 Ax1,y1、 Bx2,y2 ，则
x1x2
1,y1y2
1 2
，且
x12 y12 1 a2 b2
，（1）
x22 y22 1 a2 b2
，（2）
1
2
得：x12 x22 y12 y22
a2
b2
y1y2 b2x1x2b21 x1x2 a2y1y2 a2 1
运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题
高中数学教师欧阳文丰制作
A
1
、
导言
圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，简便易行的优点。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 A(x1, y1)
oM
A（xx1 , y1）
A
3
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程. 二、例题讲解
解法一：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理A及中点坐标公式来构造
4
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 二、例题讲解
x
2 1
x12
4
y12 2
1 相减
x22 4
y22 2
1
y1y2 x1x2
12
x1x2 y1y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD1，
此时直线 l的方程为： y1x1

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解+析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ，又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ，解得21-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点，所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1），则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ，两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。

高考数学专题复习圆锥曲线中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题, 是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题； (2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)求弦中点的坐标问题.其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中央对称变换法等.一、求中点弦所在直线方程问题在的直线方程. 解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)22 _ _ 2(4k1)x8( 2k k)x又设直线与椭圆的交点为 A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么x 1,x 2是方程的两个根,于是8(2k 2 k)x 1 x2—TT~2一"一,4k 1 2又M 为AB 的中点,所以工一9 4^2一s 2 ,2 4k 1-1解得k-, 2故所求直线方程为 x 2y 4 0.2 2x y 例2过椭圆—— —1上一点P (-8, 0)作直线交椭圆于 Q 点,求PQ 中点的轨迹万 6436x 2例1过椭圆一 16 2y-1 内一点 M (2, 41)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所,代入椭圆方程并整理得: _ 2 一4(2k 1)16 0解法二：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, 所以 x 1 x 2 4 , y 1 y 2 2,22又A 、B 两点在椭圆上,那么 x 1 4 y l.... 1 . (2)222两式相减得(x 1 x 2 ) 4( y 1 y 2 )所以Li- X21,即x 〔 x 2 4( y 〔 y 2) 2故所求直线方程为 x 2y 4 0. 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为那么另一个交点为 B(4- x ,2 y ), 由于A 、B 两点在椭圆上,所以有(4两式相减得x 2y 4 0, 由于过A 、B 的直线只有一条, 故所求直线方程为 x 2y 4 0.、求弦中点的轨迹方程问题 %), B (x 2,y 2), M (2, 1)为 AB 的中点,22_16 , x 2 4 y 2 16 ,0 ,k1kAB八,2A( x , y ),由于中点为M (2, 1),22x 24y 216 2-2x)24(2 y)2 16程.解法一：设弦PQ中点M ( x, y),弦端点P ( Xi, yi) , Q ( X2, y2),2 2那么有9X1216y12576,两式相减得9(x12 x22)9X2 16y2 576三、弦中点的坐标问题例3求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1, y1), B(x2, y2),其中点y x 1P(x0,y o),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0 ,所以x.六3, y. x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于人(为」),B(x2,y2),其中点P(x0,y0),由题意得"24",两式相减得y22 y： 4(x2 x1),y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)416(y：2、y2 ) 0,又由于x1 x2 2x, y1 y22y,所以9 2x(x1x2) 16 2y(y1 y2) 0,y1y29x 工所以—————,而k PQx1x216y化简可得9x2 72x 16y2 0 (x 8).解法二：设弦中点M(x,y) , Q ( x1, y1),由x W 2y, x1 8 y1 广八八-一,y 工可得x1 2x 8 ,2 22 又由于Q在椭圆上,所以卫64 1 ,即4(x“ 36 64 鱼136所以PQ中点M的轨迹方程为(x 4)16x 8).所以y i y 24,即y o 2 , X 0 y 0 1 3,即中点坐标为〔3,2〕.上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些根本解法.下面我们看一个结论 2 2弓।理设A 、B 是二次曲线C ：A X Cy D X Ey F弦AB 的中点,那么 0上的两点,p 〔X0,y0〕为 kAB E 0) 2 设 A (X I ,V I )、B (X 2, y 2)贝u Axi 2 AX 22Cy i 2Cy 2 D X I Ey i F 0……(i) DX 2 Ey 2 F ⑴(2)得 A(X i .2A X 0 (x i X 2 ) X 2)(X i X 2) C(y i y 2)(y i v2 D(X i X 2) 2) E(y i V2) 0 . (2AX 0 D)(x i •• 2Cy 0 〔说明：当A2A X 0 酝B D E ) 2推论i 设圆X 2X 0 D 2y 0 k AB 推论2b \X--- -• ----------k AB 设点 2Cy o (y i y 2)D(X 1 X 2) X 2) (2Cy ° E)(y i y ?) .X i X 2y i y X i X 2 时,上面的结论就是过二次曲线〔假设点设椭圆a2・a y0.〔注：对丫？血2・a V .〕推论3 设双曲线bi?及 2 ■ E(y i y 2) 2AX 0 2Cy ° E 即 k AB2AX 0 D 2C V ^~~ED X Ey F 0的弦 P 在圆上时,那么过点 2匕b 2a< b C 上的点P 〔X0,y .〕的切线斜率公式, AB 的中点为 p 〔X0,y0〕〔y .0〕,那么 k P 的切线斜率2X 0 D2y .E为) i的弦AB也成立.假设点2y b 2a y 0.〔假设点p 在双曲线上,的中点为P〔X0,y.〕y 00),那么P 在椭圆上, 那么过点P 的切线斜率为i的弦AB 的中点为那么过 P 点的切线斜率为2推论4设抛物线y2Px 的弦AB 的中点为P 〔x0,y0〕〔k 卫〕P 在抛物线上,那么过点 P 的切线斜率为y0P (x 0 , y 0 ) y 00)那么y.bl?a 2 ■a V .)k AB0)那么P y0.(假我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明.例1、求椭圆252L 116 斜率为3的弦的中点轨迹方程.解：设P (x,V)是所求轨迹上的任一点,那么有c 16 cx3 — ?一25 y,故所示的轨迹方程为( 16x+75y=075,2412x；1)…,,一2例2、椭圆a2y 1(a b 0),A、2 ,2a bB是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线l2 ,2a bP(x0,0),求证:证实：设AB的中点为T(x i,y i),由题设可知AB与x轴不垂直,,y i 0b2 a2 aQy i --- Z-■''.•.l的方程为：2ax1 ~ 1T2a b2 ,2a b -.l±AB2 土?〞(xb x1• . | x1 | ab2a2例3、抛物线C: y x ,直线在关于l对称的两点,k的取值范围是什么?解：设中点为C上两点A、P(x0 , y0 )(k AB 12y0令y=02*?t(x.x1)2a-2""ab-?x01l:y k(x 1) 1,要使抛物线C上存B两点关于l对称,AB的0)1k2 k(x0 1)•• P在抛物线内_ 2(k 2)( k1,1k24y0. PC1 kl y°k(x°J 1 1 I、P( ,- k)2 k 21) 1,k3» 0,4k与抛物线有关的弦的中点的问题〔1〕中点弦问题：y =3+ 1与/+_/+分-了= 1交于两点,且这两点关于直缥+ y = 0对称,那么笳+5 = 7〔上题麻烦了.是圆不用中点法〕争两交点是〔工1,乃、〔电1?都满足二i■太曲线方程.?〔1〕•㈡〕有〔局一/〕3 +/〕+〔＞[-M〕C X1+⑷土中.「占〕-〔＞-以〕=.小同时除出一々〕有区+引+33〔乃+打〕〞一"建二0」〔占一修〕〔七一刍〕空生就是直线的斜率E 〔西十两〕,乃〕就是交点中点坐标的两倍,由关于另〔占-%〕直线对称,所以逐=-1,且交点的中点就是两直线交点为〔」,当,所以, 2 2占十勺二1 j【十乃二1,所以又有1+ 〔1〕+匕・31〕=.得到g/p例1由点〔2,0〕向抛物线y2 4x弓|弦,求弦的中点的轨迹方程.分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系.解法1:利用点差法. 2 2设漏点为A〔x i,yj , B〔x2,y2〕,那么y i 4x i, y4x2,2 2 ., 、两式相减得y2y1 4〔 x2x1〕, ①①式两边同时除以x2 x1,得〔y2 y i〕 y—y1 4, ②x2x1设弦的中点坐标为〔x, y〕,那么x1 x2 2x, y1 y2 2y, ③又点〔x, y〕和点〔2,0〕在直线AB上,所以有」一 y 2y1. ④瓯'+短+㈣-乃= 1.〕*、婚+W+6电-打二1⑵2 x2x1y i y 22 2一代入(i)得 y 2 2(x 2)k2 2故得所求弦中点的轨迹万程是y 2(x 2)在抛物线y 4x 内部的局部.评注：(i )求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式,此题所给 (x, y)与条件的内在联系,列关于 x, y 的关系式,进而求出轨迹的方程.(2)弦中点轨迹问题与中点的关系,要学会推导,并能运用.将③、④代入②得2y y 4, x 22整理得y 2(x 2).故得中点的轨迹方程是 y 2 2(x 2)在抛物线y 2 4x 内部的局部. 解法2:设弦AB 所在直线的方程为y k(x 2),由方程组y k(x 2)4x消去x 并整理得ky 2 4y 8k 0, (3)(x i , y i )、 B (x 2,y 2)、 '\ ' (x, y),对于方程(3),由根与系数的关系,有y i V2 2出的两种方法,都是找动点设抛物线y 22 Px (0)的弦 AB ,A (x i ,y i ) ,B(x 2,y 2),弦 AB 的中点 C (x o ,y 0),2,y i 那么有 2 y 22px i2 Px 2⑴(2)(i) — ( 2)2y i 2y 22p(x i x 2),.y i y 2x i x 22P y i y 2将 y i y 2y 1y 2q _yi 72,代入上式,并整理得x i x 2k AB—,这就是弦的斜率 y .例2抛物线y22x ,过点Q(2,i)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点轨迹方程.解：如图,设弦AB的中点为A、B、M点坐标分别为(x［,y i),2 -(x,y),根据题意设有y i2x 1 ,①2 -公y2 2x 2 ,② x 1 x 2 2x , ③ y iy 2 2y,④ rd,⑤x 1 x 2 x 2y i y 2i x 1 x 2, -------- -,x i X2y2-i 2 7 ⑥代入⑤得,y 丫*2,即(丫3)x -o2y 2 2x ,利用根与系数的关系,求出弦中点的轨迹方程.专题：直线与抛物线的位置关系及中点弦问题(1)位置关系：Q 直线/：, =必+皿用=0) r 抛物线y 2 = 2px(p>0)联立解CJ tky~ -2/?y + 2^ = 0 @假设k 二 (L 直战与抛物战的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点:假设k HU , △真线与抛物线相交,有阴个交点；A = 0n 亢浅与抛物浅相切,有一个交点；宜线与抛物线相离,无交点二(2)相交弦长：宜城与圆世曲线相交的茂长公式设直线圆锥曲线才Fi.r4)=O .它HI 的交点为Pi (xi»yi)- Pj 口?而,[Fix. v) = 0 且由1 ,Ti 消去了得到那苏十H.r+p=0『mHO), △=/ 一4川p*[,二心 + H设马・力3 那么弦长公式为；那么I AE 匕J1 +/那么 +//一4而/ 假设联立消去不得y 的一元二次方程：町/十fry + f/ = 0(m * 0)S 小阳,为yJ 『Ml AB 1= j + Jjbi +y 万一4%力 {3)典洌分析：④代入①—②得,2 y(y iy 2) 2(x 1评注：此题还有其他解答方法,如设AB 的方程为y k(x 2) i ,将方程代入例1抛物线的方程为y2=4x,直线1过定点斜率为k,k为柯值时,直线1与抛物线y 2 = 4x ：只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点？解：由题意,设直绷的方程为y-l = Ar(x+2)由方程组e；：：：(x+2)ffl ky2 - 4y + 4 (2k +1) - O (1)(1)当k = O时,由方程(1)得y = l将y = 1 代入y2 = 4x,得x =这时直线,与抛物线只有V个公共点g ,1)(2)当kHO时,方程⑴的判别式为©A = T6 冲+"I)⑴当A = 0时,即2k2 + k・l = 0,解得k = ・l,或k =；于是当k=-l,或k=T时,方程(1)只有一个解,从而方程组只有一个解.此时直线1与抛物线有一个交点.(2)当A>0时即2尸+J <0,解得—1<上< —2于是当时,方程⑴有两个解,从而方程组有两个解.此时直线1与抛物线有两个交点.(3)当A <0时,即+解得k<-l或幺>-于是当k<-l或k>不时,方程(1)没有肝,从而方程组没有解.此时直线I与制物线没有交点.绿上所述：当・l<k<g且k*0时,直缭口抛物线有网个交点；当k7或或k・0时,直蝴抛物线有一个交点;2当k<-l或k>:时,直缭口抛物线没有交点.例2、抛物线C：J=4x,设直线与抛物线两交点为A、B,且线段AB中点为M 〔2, 1〕,求直线/的方程.解由即意可知,亘线1斜率一定存在,故可设庆〔勺,?〕,13@2,%〕〔乂1工乂2〕,Mx l + x2 = 4,y1+y2 = 2曲[曰=4% =2!L^=_1_=2 gp k = 2I月=4七3一出乂+»2 2止匕由f直线/的方程为y-l = 2〔x-2〕,艮P2x-y-3 = 0由y - 4x 消x彳号y2・2y-6 = 0 n△ > 02x-y-3 = 0所以直线/的方程为y・l = 2〔x-2〕RU2x・y・3 = 0说明：中点弦问鹿的常见解决方法,点差法例3抛物线的顶点在原点,焦点在x釉的正半轴上,百线y = -4x + ]被抛物线所截得的弦AB的中点的纵坐标为- 2 .〔I〕求抛物线的方程：〔2〕是否存在异于原点的定点H,使得过〃的动直线与抛物线相交于A Q两点,且以PQ为直径的圆过原点？解〔1〕：由条件可设抛物线方程为：r =2px〔p>o〕联立直线y = -4x+l化简得：2y2+〃y - 〃 =〔〕设43],必〕,8〔/2,丫2〕那么?+〕'2 =-^ = -4.,./? = 8抛物纹方程为：y 2 =]6工〔2〕设存在满足条件的定点内.设动直线方程为〕& + 0〕联立抛物线方程化简得:02-16丁 + 161=0设.〔再,必〕,..2,/2〕那么有用/ + 丫.2 =〔〕即：b = -16k 故动电线方程为丁=6-164 = Z:〔x-16〕,恒过定点〔16. 0〕当直线斜率不存在时,设宜线方程为/ = %,易触得% = 16.粽匕存在异于原点的定止〃(16, 1J)满足条件0例4直线『过定点人43且与‘抛物线.：5'22#(2>0)交］子,Q两点,假设以PQ 为直径的阿枇过原点..求尸的伍解：可设直线/的方程为f = my+4代入« =2『工得y L-2/JW1V-8/J = 0»设代百,X )◎0,%)•那么九力=—8/,斯与=?- * =竽匕=16+2P 2p 4p由题总如,OPLOQ. Wl OP OQ = 0即丹马+耳为= 16 —8p = 0; p 二2此时,抛物线的方程为f = 4K.例5在抛物战y? = 64十上求一点,使到电战4K十3y+46 = 0的距嘉最短,并求出最短距瓦解；设与百线4#+ 3y +用=0平行且与楠制相切的直建方程为：x-y + m = 0联立化筒群/ +48v-48w = 0 L)由A = 0解得旧=-12,故切线方程为：4工+ 3, —12 = 0代人双曲线方程解得f 9-24 )最短师离d = 2例6求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中点y x 1P(x0,y0),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0,所以x.3, y0 x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y) , B(x2,y2),其中点2P(x0,y0),由题意得y124x1,两式相减得\2 y： 43x1), y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)4,所以y〔y2 4,即y0 2 , x0y 1 3,即中点坐标为(3,2).。

两类有关圆锥曲线中弦问题的解法

备考指南有关圆锥曲线中弦的问题对同学们的空间想象能力和分析能力有比较高的要求.这类问题往往涉及较多的变量，经常让考生捉摸不透，不知如何下手.只有熟悉并掌握几类经典题型及其解题规律，才能举一反三，从容应对有关圆锥曲线中弦的问题.接下来，通过例题，探讨一下两类有关圆锥曲线中弦问题及其解法.一、切点弦恒过定点问题很多圆锥曲线问题涉及了切点弦，切点弦有一些特殊的性质和特征，我们需要熟练掌握.例如，（1）如果过圆锥曲线的准线和长轴所在直线的交点作圆锥曲线的切点，则切点弦长正好与圆锥曲线的通径相等；（2）过椭圆右准线上任何一点，作椭圆的切线时，这个切点弦恒过椭圆的右焦点.在解答切点弦恒过定点问题时，我们可以灵活运用切点弦的这些特殊性质和特征来建立关系式，消去参数，进而求得切点弦的方程，最后根据一元一次方程有无数个解的性质求得定点的坐标.例1.已知椭圆C :x 24+y 2=1，若过椭圆C 的右准线l 上任意一点M 作两条椭圆的切线，切点分别为A 、B .试求证：直线AB 恒过一个定点.证明：设点M 的坐标为t )(t ∈R)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，所以直线MA 的方程为x 1x41y =1，又点M 在直线MA 上，所以1+ty 1=1，2+ty 2=1，联立方程可得，直线AB +ty =1，化简得：x =3(1-ty )，所以直线AB 恒过定点(3,0).由已知的椭圆方程可求得其右准线的方程，所以可直接设点M 的坐标，然后通过切线的方程表示出切点弦的方程，进而得到直线AB 恒过的定点坐标.二、相交弦过定点问题任意相交的弦肯定不过定点，但是如果两个满足一定条件的弦相交，就会恒过一定点.在解题时，要注意观察，学会根据相交弦的特征进行分析，寻找一些特殊的位置、点、关系，据此建立关系式，通过消元，求得相交弦的方程.在建立关系式时，要逐步减少变量，这样就容易发现并求出定点的坐标.例2.如图，若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ，点P 为直线l 上异于点T 的任意一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆C :x 24+y 2=1交于M ,N通过椭圆的焦点？解：设M ()x 1,y 1,N (x 2,y 2)，直线A 1M 的斜率为k 1，则直线A 1M 的方程为y =k 1(x +2)，联立方程可得ìíîïïy =k 1(x +2x 24+y 2=1，消去y 并整理得：()1+4k 21x 2+16k 21x +16k 21-4=0，由交点的坐标可知，该方程的两个根为-2和x 1，根据韦达定理可得-2x 1=16k 21-41+4k 21，可得x 1=2-8k 211+4k 21,y 1=4k 11+4k 21，所以M 点的坐标为：(2-8k 211+4k 21,4k 11+4k 21)，同理可得点N 的坐标为(8k 22-21+4k 22,-4k 21+4k 22)，其中k 2为直线A 2N 的斜率.由于点P 的坐标为(t ,y p )，所以y p =k 1()t +2,y p =k 2(t -2)，所以k 1-k 2k 1+k 2=-2t ，因为直线MN 的方程为：y -y 1x -x 1=y 2-y 1x 2-x 1，令y =0得：x =x 2y 1-x 1y 2y 1-y 2，将M ,N 的坐标代入上式，化简得：x =4t，由t >2，可得：0<4t<2.所以当4t=3时，MN 过椭圆的交点，此时t ，综上可知当t =相交弦MN 过椭圆的交点.先设出M 、N 的坐标；再由A 1、A 2的坐标，得到直线A 1M 、A 2M 的方程；然后通过联立方程，求出M 、N 点的坐标，进而求出直线MN 的方程.解答相交弦过定点问题，需要关注一些特殊点的位置，比如点P 的位置，既在直线l 上，也在直线PA 1、PA 2上，所以点P 的坐标满足这三个直线的方程，从而建立关系式.可见解答有关圆锥曲线中弦问题，需注意：（1）明确弦与圆锥曲线的位置关系；（2）关注弦与弦之间的位置关系；（3）根据弦的特征、性质，建立关系式；（4）掌握并灵活运用一些消元的技巧.（作者单位：江西省玉山县第一中学）52Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

关于圆锥曲线的中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
答：
一·中点弦问题
1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。

2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。

3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。

二·典例剖析
三·失误提醒
1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。

另外，法3其实是法2的结论的变形。

2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。

但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。

以上。

(完整)点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。

“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题

实践讲堂
‘ ‘ 点茬法 ” 禳决圆锥曲线韵中点弦问题
韩晓刚（山十六中，北唐河
摘要：圆锥曲线的弦的中点有关的问题。们称之为与我圆锥曲线的中点弦问题涉及至解决圆锥曲线中点弦的问４题．采用 “ 差法 ” 求解 “ 差法 ” 利用直线和圆锥曲常点来点是线的两个交点。把交点代入圆锥曲线的方程．得到两个等式．式相减．以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子两可（称中点和斜率结合公式）再结合已知条件，用学过的也。运知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、率时．般斜一都可以用点差法来解与韦达定理法纷繁冗长的计算相比。点差法可以大大减少运算量．化解题过程．到 “ 而不优达设求 ” 目的本文将从求弦的斜率与弦的中点问题、弦中的求点轨迹、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程四个方面举
ｍ则肿＝。 ‘弦中点轨迹在已知椭圆内，ｘｙ＋ｙｋ２，０． ‘ 所求弦中点的轨迹方程为（已知椭圆内）在变式１直线Ｚ似一一ｏ５：０是参数）抛物线ｙ：：（＋）０（与＝（＋）的相交弦是Ａ则弦Ａ的中点轨迹方程是１２Ｂ．Ｂ。过定点弦的中点轨迹方程）分析：线Ｚａ－一ｎ５＝方程中带有参数０即直线直：ｘｙ（＋）０，。是过定点的直线还要注意弦中点轨迹在已知抛物线内．最后要注明所求弦中点的轨迹方程为ｙ２２７在已知抛物线＝ｘ— （内）。变式２已知定长为００）线段ＡＢ的两端点在抛：（ ≥１的物线ｙ上移动，动弦ＡＢ的中点 Ⅳ 的轨迹方程。（长求弦为定值的弦的中点轨迹方程）解：两端点坐标为Ａ（，曰（。Ｙ）设Ｙ），２，的中点为（ｏｙ）则ｌ２２０因两端点在抛物线上，以ｙ１Ｙ：Ｘｏ，＝ｘ，所ｌ２２，

有关圆锥曲线的中点弦问题

有关圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

中点弦问题是高中解析几何模块中的一类重要题型，也是高考的一个热点问题之一。

身为高中数学教师，研究好其解法及常见类型很有必要。

1.中点弦问题的主要解法解法一：解方程组法例1过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。

解：设P（x1,y1 ）, Q( x2,y2),设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为：y-1 = k(x-2) ,解方程组y=k(x－2)+1x216+y29=1 ，将直线方程代入椭圆方程，消去y并整理得（16k2+9）x2+(-64 k2+32k)x+(64k2-64k-128)=0因为直线与椭圆有两个交点，所以△＞0，由根与系数的关系，有x1+x2=64k2－32k16k2+9，∵点A恰好是线段PQ的中点，由中点坐标公式，有x1+x22=2∴64k2－32k16k2+9=4解之得，k=-98,将k=-98代入直线方程y-1 = k(x-2)得所求直线方程为9x+ 8y-26=0解法二：点差法例2过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。

解：设P（x1, y1）, Q(x2,y2),因为直线PQ与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，所以P,Q两点在椭圆上，所以有x21 16 + y21 9=1x22 16 + y22 9=1两式相减得：(x1－x2)(x1+x2)16+(y1－y2)(y1+y2)9=0∴(x1－x2)(x1+x2)16=-(y1－y2)(y1+y2)9∴y2－y1x2－x1=－9(x1+x2)16(y1+y2)又∵k =y2－y1x2－x1, x1+x22=2,y1+y22=1∴k=-98由点斜式，得直线PQ的方程为：y-1=-98(x-2)即9x+8y-26=0解法三：中点转移法例3过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。

圆锥曲线中点弦问题

圆锥曲线中点弦问题
点弦问题在微积分领域中是重要的一项研究，它涉及坐标几何、微积分和数学分析学。

本
文旨在深入研究圆锥曲线上的点弦问题。

圆锥曲线是二维坐标系中最重要的曲线，它的几何形状是圆锥面截面形式的曲线，其形状
随其参数的变化而变化。

点弦问题可以理解为寻找并定义由固定的一系列点组成的半弦曲线，具体点的位置和形状
受其中的点的影响。

如果在一个圆锥曲线上，这些点按一定的规则排列，半弦曲线的形状
和位置就可以推导出来，这就是所谓的“点弦问题”，也可以称为“半弦曲线构造问题”。

在解决圆锥曲线上点弦问题时，首先讨论的是构成曲线的点的位置，其次是参数的估计和
形状的推算。

采用曲面的本地坐标系，将点坐标改写成相对曲面的相对点，通过微分几何
计算求解曲线等价参数。

在定义曲线形状之前，要求由曲面本身和控制点确定的曲线，该
曲线必须能与控制点重合，同时满足曲线的连续条件。

最后，圆锥曲线上点弦问题的解决可以采用数值解法，有效地计算构成曲线的点，根据不
同的输入参数得到不同的曲线结果。

总之，研究圆锥曲线上的点弦问题是十分重要的，它不仅涉及坐标几何、微积分和数学分
析学，而且还可以有助于深入了解圆锥曲线上的数学知识。

研究者需要运用有关的数学理
论和实践技术来解决这一问题，从而使其在教学和科学研究方面都得到正确地解释和应用。

_点差法_解决圆锥曲线的中点弦问题

中来。如我在教学《分数的基本性质》时，是这样导入的：唐僧师话。然后又让学生亲自验证，但验证的结果是：想唱歌的学生抽
徒走到半路上，口渴了，孙悟空摘了一个西瓜回来，把它平分成到了跳舞，想跳舞的学生反而抽到了讲故事。通过这样一系列
四块，一人一块，八戒大喊道：“猴哥，分给我太少了，我不干！ ” 的活动，让学生真正体验到在现实生活中存在着不确定的现
第一个音符就准确、悦耳、动听。 ”新课的导入就好比演奏家定乐！师：我想让大家通过抽签表演节目的形式为尚利明同学过
弦，音调定准了，就为整个演奏奠定了基础。一堂课如果一开头一次有意义的生日，你愿意吗？这时孩子们兴奋极了，个个脸上
就讲得索然无味，如同嚼蜡，学生就难以提高兴趣。所以一定要乐开了花。随后我往讲台桌上放了 4 个签，并向学生介绍：有唱
据题意，a2=（y1y2）2+（x1x2）2=（x1-x2）2=（x12-x22）2-（x1-x2）2
=（x1-x2）2[（x1+x2）2+1]=[（x1+x2）2-4x1x2]·[（x1+x2）2+1]
=[（2x0）2-4（2x02-y0）][（2x0）2+1]=4（y0+x02）（1+4x02），所求动
悟空又切了两刀，把西瓜平均分成八块，拿给八戒两块，八戒笑象，随后导入新课。选择学生熟悉的事物组织教学，学生积极性
着说：“这还差不多，能多吃一块。 ”讲完后我问学生：“八戒多吃高，课堂气氛活跃，效果显而易见。
了吗？ ”有的学生说多吃了，有的说没有。我便及时导入：“今天，
四、通过动手操作，激发学生兴趣
可迎刃而解了。
二、求弦中点的轨迹方程

运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤

思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。

(完整版)圆锥曲线的中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：(1) 求中点弦所在直线方程问题； (2) 求弦中点的轨迹方程问题；(3) 求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题2 2例1、过椭圆 L 厶 1内一点M(2, 1)弓I 一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程。

16 4解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：2 2 2 2(4k1)x8(2k k)x 4(2k 1) 16 0又设直线与椭圆的交点为 A( x-i , y 1) , B ( x 2, y 2),则x 1, x 2是方程的两个根，于是 8(2k 2 k)2 , 4k 1两式相减得x 2y 4 由于过A 、B 的直线只有故所求直线方程为 x2y 40。

二、求弦中点的轨迹方程问题2 2例2、过椭圆 — L 1上一点P (-8 , 0)作直线交椭圆于64 36解法一：设弦 PQ 中点 M( x, y )，弦端点 P ( x 1, y 1), Q( x 2, y 2),2 2 则有9笃励打576 , 9x 216y 2 576X 1 x 2又M 为AB 的中点，所以x 1 x 2 2 24(2k k)4k 2 1故所求直线方程为 x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A*, yj , B ( X 2,y 2), M(2,所以x 1x 2 4 ,y 1y 2又A 、B 两点在椭圆上，则X 124y 1216 , 2 2X 2 4y 216,两式相减得(x 「2 X2)4(y 12 )0 ,所以也一y2X 1X 2-，即2 k AB1 4( y 1 y 2)2，x 2y 4A(x ,y)，由于中点为M(2, 1),则另一个交点为 B(4- X ,2 y )，因为A B 两点在椭圆上, 所以有 (42Xx)2 4y 2 4(2 16 y)2 16 0，Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

高中数学中点弦问题的解题方法

高中数学中点弦问题的解题方法会泽县茚旺高级中学杨顺武解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

“中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题.一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦问题的方法有）：第一种方法：联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切（如下图）。

此时缩小的曲线方程如()()()222tR b x a x =-+-，()()12222=±tb y ta x ，两边对x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。

因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是x y '在中点处的值。

二、题型示例题型一以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解法一：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。

解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径

丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹与圆锥曲线的弦及其中点有关的问题称之为圆锥曲线中点弦问题.中点弦问题在解析几何试题中比较常见，侧重于考查圆锥曲线与直线的位置关系、弦长公式、中点坐标公式、直线的斜率以及韦达定理.下面谈一谈解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径.一、利用韦达定理若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b 2a，x 1x 2=c a ，这个定理即是韦达定理.运用韦达定理求解圆锥曲线中点弦问题，需先将圆锥曲线方程与弦所在的直线的方程联立，通过消元，构造一元二次方程；再利用韦达定理，建立关于弦端点的坐标的关系式，最后结合中点坐标公式进行求解.例1.过点A (2,1)的直线与椭圆x 216+y29=1相交于P ,Q 两点，若点A 恰是线段PQ 的中点，求直线PQ 的方程.解：设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y -1=k (x -2)，将其与椭圆的方程x 216+y 29=1联立，并消去y 得，(16k 2+9)x 2+(-64k 2+32k )x +(64k 2-64k -128)=0，由韦达定理得x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9.又A (2,1)，所以x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9=4，可得k =-98，所以直线的方程为y -1=-98(x -2)，即9x +8y -26=0.当遇到中点弦问题时，应很快联想到韦达定理，将圆锥曲线的方程和直线的方程联立起来，构造一元二次方程，建立方程两根之间的关系式，这是解题的关键.二、采用点差法点差法是解答中点弦问题的常用方法.运用点差法解题，要先设出或明确圆锥曲线的方程、弦的两个端点的坐标、弦的中点坐标；然后将弦的两个端点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两式作差；再根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解.例2.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P (1,1)的直线l交椭圆C 交于A ,B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程.解：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将其分别代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得ìíîïïïïx 124+y 123=1,x 224+y 223=1,将两式相减可得3()x 1-x 2（x 1+x 2）+4()y 1-y 2（y 1+y 2）=0，即3x +4y ∙y 1-y 2x 1-x 2=0.因为AB 所在直线的斜率与MP 的斜率相等，所以3x +4y ∙y -1x -1=0，化简得3x ()x -1+4y ()y -1=0，即为点M 的轨迹方程.运用点差法解题，可以达到设而不求的效果，大大减少计算量.但点差法的适用范围比较窄，只有在已知直线的方程、圆锥曲线的方程、弦中点的坐标三者中的两者时，才可运用此方法求解.三、运用导数法借助导数法来求解圆锥曲线中点弦问题，需要先对圆锥曲线的方程进行求导，得到曲线在某点处的切线的斜率，就能将其看作中点弦的斜率，再根据中点坐标公式求解.例3.过椭圆C ：x 216+y 24=1内一点M （2,1）作直线l ，交椭圆于A ,B 两点，使M 点恰好是弦AB 的中点，求该直线的方程.解：对x 216+y 24求导，得2x 16+2y 4y ′，把M （2,1）代入2x 16+2y 4y ′=0，得y ′=-12，所以直线AB 的方程为y =-12x +2.本题运用导数法求解十分简单、便捷，但需明确曲线的切线的斜率与曲线在某点处的导数之间的关系，据此建立关系式，即可快速解题.总之，在求解圆锥曲线中点弦问题时，同学们要注意将中点与韦达定理、中点坐标公式、直线的斜率公式相关联起来，从中寻找到解题的突破口，灵活运用上述三种方法解题，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）45。

巧解圆锥曲线的中点弦问题

方程为
y=
1 2
x+1.
评析：这种方法利用作差变形直接得到斜率，十分
方便，体现了“设而不求”的思想 .
方法二：代入法 .
设 A（x1, y1），B（x2, y2）. 直线方程为：y=k（x+1）+
1 2
.
ì x2
联立方程可得
ïï í
4
+ y2
=1
ïï y î
=
k
(
x
+
1
)+
1 2
化简可得（1+4k2）x2+（8k2+4k）x+4k2+4k-3=0，x1 +
做完题之后，让学生在坐标系下画出双曲线和直
线，观察一下它们之间的位置关系，这时学生会发现所
求直线不符合实际情况 . 学生还可以联立直线和曲线方
程，利用判别式判断是否有两个根 .
由
ì
ï
í
x
2
-
y2 2
=1
ï
î
y
=
-2x
+
1
消去 y，得 -2x2 + 4x - 3 = 0，∴Δ=-8＜0，这时发现
直线 L 与曲线不相交，所以所求直线不存在 .
x2
=
-
8k2 + 4k 1 + 4k2
=-2，k=
1 2
，故所求直线方程为
y=
1 2
x+1.
评析：这种做法利用了方程思想，运用了韦达定理
两根之和求出 k，这里也没有求出坐标，也是设而不求的
做法 .
方法三：作差法 .
设 A（x，y），B（-2-x，1-y）.