§2.2_超几何分布)
2.2-超几何分布
C C P( X k ) C
k M n k N M n N
( 其中k为非负整数)
如果一个随机变量的分布列由上式确
定，则称X服从参数为N,M,n的超几何分布.
思考交流
下列随机变量X是否服从超几何分布？如果服 从，那么个分布的参数（即定义中的N,M,n）分别 是多少？ （1）一个班共有45名同学，其中女生20人，先从 中任取7人，用X表示其中女生的人数.
k 4 3 k 10 4 3 10
3
P ( X k ) 0.1667
0 .5
0 .3
0.0333
例1 一个袋中装有8个红球和4个白球，这些球除
颜色外完全相同.先从袋中任意摸出5个球，
用X表示摸出红球的个数.
（1）求P(X=3)；
（2）试写出X的分布列. 2 C83C4 14 解： ( 1 )P ( X 3 ) 5 0.4242 C12 33 ( 2 ) X的可能取值为 1， 2， 3， 4， 5.则X的分布列为
服从.
P41练习
解：X表示“选出的7名同学中女生的人数” “x=k”(k=1,2,...,7)表示“选出的7名同 学中恰有k名女生，即选出k名女生，7-k名
K 7 K 男生.共有 C20 C25 种选法,X的可能取值为1，
2，3，4，5，6，7.则X的分布列为
k 7 k C20 C25 P( X k ) ( k 1,2..., Байду номын сангаас) 7 C45
5 k C8kC4 P( X k ) ( k 1,2 ,3 ,4 ,5 ) 5 C12
近似计算后，列成表格 为：
X k
1
2
超几何分布
选修2-3 第2章概率§2.2 超几何分布（理科）(第1课时) 总第30教案一、【学习目标】1、通过实例，理解超几何分布及其特点。
2、通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单应用。
二、【概念解读】1．一般地，若一个随机变量X的分布列为__________________________________________ 则称X服从超几何分布。
记为_________________________。
并将______________________ 称为__________________。
2．超几何分布是一种常见的离散型随机变量的分布。
H(r；n，M，N)中的各个字母都有其具体的含义：r表示样本中次品数，n表示样本容量，M表示次品总数，N表示总体中的个体总数。
3当一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出n件产品中，则不合格品数X的概率三、【实例分析】例题1、生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品。
采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，则接收该批产品。
问：该批产品被接收的概率是多少？例题2、高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。
现一次从中摸出5个球，(1)若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率。
(2)若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。
例题3、盒中装着标有1,2,3,4的蓝色卡片4张，标有1,2,3,4的红色卡片4张，现从盒中任意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性相等，设取到一张红色卡片记2分，取到一张蓝色卡片记1分，以X 表示抽出的3张卡片的总得分，Y 表示抽出的3张卡片上的最大数字，求X 和Y 的概率。
例题4、10只灯泡中含有)82(≤≤n n 只不合格品，若从中一次任取4只，问：恰含有2只不合格品的概率)(n f 是多少？当n 为何值时，f(n)取得最大值？并求此时取到的不合格品只数X 的概率分布。
2.2 超几何分布
2
C C
n2 N M n N 3 M
3
C C C
n 3 N M n N
4
C C C
4 M n4 N M n N 5 M
5
C C C
n 5 N M n N
此时，随机变量 X 服从超几何分布
如果一个随机变量 X 的分布列为
C C PX r C
r M
nr N M n N
答:
C2C48 C2C48 243 P(X 1) 5 5 (略) C50 C50 245
分层训练:
必做题 选做题 思考题 作业 P51 P52 P52 P52 练习 2 习题 5 习题 6 习题 4
自学检测: P51 练习 1
一批产品有 100 件，其中有 5 件次品．现从 中取出 10 件．令 X：取出10 件产品中的次 品数． 则 X 的概率分布为
x 0 1 2 3 4 5 1 9 3 7 5 5 0 10 2 8 4 6 P C5 C95 C5C95 C5 C95 C5 C95C5 C95 C5 C95
2）若随机变量X的分布列是： X P 0 1—p 1 p
该类概率分布称为X~0-1分布或两点分布. 记为:X~0-1分布或X~ 两点分布
新课引入
在产品质量管理中,常常通过抽样来分析合 格品与不合格品的分布,进而分析产品的质量. 假定一批产品共 N件，其中有 M 件次品，现 从中随机取出 n 件．次品数X 的概率分布如何?
学习目标: 1 通过实例,理解超几何分布及其特点. 2 通过对实例的分析,掌握超几何分布及其导出 过程,并能进行简单的应用. 自学指导: 1.什么是超几何分布?它有什么特点? X～H (n, M, N)与H (r; n, M, N)各表示什么意思?
2019-2020学年苏教版选修2-3 2.2 超几何分布 课件(31张)
X
0
1
2
P
________
________
________
解析：P(X＝0)＝CC2225＝110＝0.1， P(X＝1)＝C13C·25C12＝0.6， P(X＝2)＝CC2325＝0.3. 答案：0.1 0.6 0.3
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第2章 概 率
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第2
ξ
0
1
2
P
22 35
12
1
35
35
故至少取得一件次品的概率为 P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝1325＋315＝1335.
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第2章 概 率
综合问题 盒中装着标有数字 1，2，3，4 的卡片各 2 张，从盒中 任意抽取 3 张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求： (1)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率； (2)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概率； (3)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率．
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第2章 概 率
现实生活及生产实际中的许多问题都需要超几何分布的概率模 型来解决．在本题中，产品被拒收的概率为 P(X≥1)，X≥1 包 含 X＝1 和 X＝2 两种情况．
1.在 20 件产品中，有 15 件是一级品，5 件是 二级品，从中任取 3 件，其中至少有 1 件为二级品的概率为多 少？
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第2章 概 率
解：设 ξ 表示二级品的件数，P(ξ＝1)＝CC15C320215＝120258，P(ξ＝2)＝ CC25C320115＝23208，P(ξ＝3)＝CC35C320015＝2228. 所以 P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3) ＝120258＋23208＋2228＝123278.
2.2 超几何分布
2.2超几何分布.【问题导思】1．如何识别超几何分布？【提示】 超几何分布必须满足以下两条：(1)总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．(2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品的件数． 2．在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ 【提示】 不放回抽样．3．在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？【提示】 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n . 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动．设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列． 【思路探究】 写出X 的可能取值―→ 求出每个X 对应的概率―→写出分布列【自主解答】 X 的所有可能取值为0,1,2，由题意得： P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为1．解答本题易出现P (X ＝k )算错或列表时X ＝k 与P (X ＝k )的位置不对应的错误．2．求超几何分布的分布列，关键是求得P (X ＝k )的值，而求其值，就要先分清N ，M 和n 的值．本例中若所选3人中男生人数为X ，其他条件不变，求X 的分布列． 【解】 X 的所有可能取值为1,2,3，由题意得：P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.∴X 的分布列为的概率在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件， 求：(1)2件都是合格品的概率； (2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品， 1件是次品的概率．【思路探究】 解答本题可根据超几何分布公式求解．【自主解答】 从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数C 2100，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等， ∴C 2100＝4 950为基本事件总数．(1)100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个的组合数C 295，记“任取2件都是合格品”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P (A 1)＝C 295C 2100＝893990，(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为C 25，记“任取2件都是次品”为事件A 2，那么事件A 2的概率为P (A 2)＝C 25C 2100＝1495.(3)记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为事件A 3，而取到1件合格品，1件次品的结果数为C 195C 15那么事件A 3的概率为P (A 3)＝C 195C 15C 2100＝19198.1．解答本题第(3)问时，也可利用前两问的结果，借助其对立事件来求，即P (A 3)＝1－P (A 2)－P (A 1)＝19198.2．应用超几何分布的概率公式时，要正确确定M 、N 、n 、k ，同时要避免不必要的重复计算．某种彩票的开奖是从1,2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的等级为【解】 P (X ≥5)＝P (X ＝5)＋P (X ＝6)＋P (X ＝7)＝C 57·C 229C 736＋C 67·C 129C 736＋C 77·C 029C 736≈0.01，∴至少中三等奖的概率为0.01.在2010年上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 片区，3个场馆分布在B 片区，3个场馆分布在C 片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A 片区的每个场馆的排队时间为2小时，B 片区和C 片区的每个场馆的排队时间都为1小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．(1)求小红每个片区都参观1个场馆的概率；(2)设小红排队时间总和为X (小时)，求随机变量X 的分布列．【思路探究】 (1)是古典概型问题，利用古典概型公式求解即可；(2)A 片区需等2小时，B 片区、C 片区均需等1小时，这样A 片区参观场馆的个数可视为超几何分布，也可按三区计算，分类讨论．【自主解答】 (1)从10个场馆中随机选定3个场馆，基本事件的总数为C 310＝120，设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件D ，其中所包含的基本事件的个数为C 14C 13C 13＝36.由于每个基本事件发生的可能性是相等的，所以P (D )＝36120＝310.即小红每个片区都参观1个场馆的概率是310.(2)随机变量X 可能取得的值为：3,4,5,6.P (X ＝3)＝2C 33＋2C 13C 23C 310(或C 36C 310)＝16， P (X ＝4)＝C 14C 13C 13＋2C 23C 14C 310(或C 14C 26C 310)＝12， P (X ＝5)＝2C 24C 13C 310(或C 24C 16C 310)＝310，P (X ＝6)＝C 34C 310＝130.∴随机变量X 的分布列如下1．本例(3)按所等时间分两类时X 并不服从超几何分布，但A 片区参观场馆的个数服从超几何分布．它们之间存在着对应关系．2．解决这类问题的关键是要根据题目中所给条件与超几何分布的概念，确定所求问题是否服从超几何分布．一袋中有x (x ∈N ＋)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球． (1)当x ＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；(2)当x ＝3时，设X 表示取出的2个球中红球的个数，求X 的分布列； (3)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于23，求x 的最小值．【解】 (1)当x ＝3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A ，P (A )＝C 23＋C 23＋C 22C 28＝14， 即取出的2球颜色都相同的事件概率为14.(2)当x ＝3时，X 可取0、1、2，∵P (X ＝0)＝C 25C 28＝514，P (X ＝1)＝C 13C 15C 28＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 28＝328.∴X 的概率分布列为：(3)设“取出的2P (B )＝C 1x C 13＋C 1x C 12＋C 13C 12C 2x ＋5<23，∴x 2－6x ＋2>0， ∴x >3＋7或x <3－7， 且x ∈N ＋， ∴x 的最小值为6.弄错随机变量的分布类型致误布袋中有5个红球，4个黑球，设从袋中取出一个红球得1分，取出一个黑球得0分，现从袋中随机取出4个球，求所得分数X 的分布列．【错解】 由题意可知X 可能的取值为1,2,3,4，且X 服从超几何分布，其中M ＝5，N ＝9，n ＝4，则P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 9－5C 49(k ＝1,2,3,4)．【错因分析】 X 不服从超几何分布，而取到的红球个数Y 服从超几何分布，虽然X ，Y 可能取值相同，但意义不同．【防范措施】 弄清超几何分布的条件与特点，避免弄错随机变量X 的分布类型，将不服从超几何分布的随机变量误认为服从超几何分布．【正解】 由题意可知从袋中随意取4个球可能出现的结果分别为：0红4黑，1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红0黑，这五种情况分别得0分，1分，2分，3分，4分，故X 可能的取值为0,1,2,3,4，因为P (X ＝0)＝C 05C 44C 49＝1126，P (X ＝1)＝C 15C 34C 49＝1063，P (X ＝2)＝C 25C 24C 49＝1021，P (X ＝3)＝C 35C 14C 49＝2063，P (X ＝4)＝C 45C 04C 49＝5126，所以随机变量X 的分布列为解决超几何分布问题的关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同m 时的概率P (X ＝m )，从而求出X 的分布列．1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021 D.1721【解析】 根据题意知该问题为古典概型，∴P ＝C 14C 25C 39＝1021.【答案】 C2．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( )A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率． 【答案】 B3．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数分别为________(即定义中的N 、M 、n )的超几何分布． 【解析】 由超几何分布的定义可知N 、M 、n 分别为10,3,5. 【答案】 10,3,54．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．【解】 X 的可能取值是1,2,3， P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为一、选择题1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )A.C 615A 615B.C 310C 35C 615C.C 410C 25C 615D.C 410A 25A 615【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】 C2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0＜ξ≤2)B ．P (ξ≤1)C ．P (ξ＝2)D ．P (ξ＝1)【解析】 由已知得ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 222C 226，P (ξ＝1)＝C 122·C 14C 226，P (ξ＝2)＝C 24C 226.∴P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 122·C 14＋C 222C 226.【答案】 B3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则p (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621 D.521【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】 D4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( ) A.3979 B.180 C.12 D.4181【解析】 由题意知所求概率为P ＝C 240＋C 240C 280＝3979. 【答案】 A5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( ) A ．恰有1只是坏的的概率 B ．恰有2只是好的的概率 C ．4只全是好的的概率 D ．至多有2只是坏的的概率【解析】 恰好2只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B 二、填空题6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P (X ＝1)＝________.【解析】 X ＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P (X＝1)＝C 13C 12C 25＝35.【答案】 357．某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，求有2人会说日语的概率为________．【解析】 有两人会说日语的概率为C 26C 24C 410＝37.【答案】 378．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的2件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k 45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】47245三、解答题9．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X 的分布列，并求该考生合格的概率． 【解】 X 可以取1,2,3.P (X ＝1)可以取C 18·C 22C 310＝115；P (X ＝2)＝C 28·C 12C 310＝715；P (X ＝3)＝C 38·C 02C 310＝715.所以X 的分布列为：该考生合格的概率为P (X P (X ＝3)＝715＋715＝1415.10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列．【解】 从50名教师中随机选出2名的方法数为C 250＝1 225.选出2人使用版本相同的方法数为C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350.故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501 225＝27.(2)∵P (X ＝0)＝C 215C 235＝317，P (X ＝1)＝C 120C 115C 235＝60119，P (X ＝2)＝C 220C 235＝38119.∴X 的分布列为11．交5元钱，可以参加一次摸奖，袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽取2个球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．【解】 设随机变量X 表示抽奖人所得的钱数，则X 的取值为2、6、10.P (X ＝2)＝C 28C 02C 210＝2845，P (X ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝10)＝C 22C 08C 210＝145.故X 的分布列为(教师用书独具)袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【思路探究】 先写出X 所有可能的取值，求出每一个X 所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3， X ＝0表示取出的3个球全是黑球， P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为：P (X ≥1)＝1－528＝2328.某食品厂生产的40件产品中，重量超过505克的产品有12件，现从这40件产品中任取2件．(1)设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； (2)求至多含有一件重量超过505克的产品的概率．【解】 (1)由题意Y 的可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 128C 112C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 240＝11130.∴Y 的分布列为(2)由(1)P ＝P (Y ＝0)＋P (Y ＝1)＝63130＋2865＝119130.。
2.2超几何分布
数学概念 注意： (1) 超几何分布的模型是不放回抽样. (2) 超几何分中的参数是M, N, n.
(3) 记号H(r;n,M,N)中字母的含义.
样本容量 总体中的个体总数
H(r; n, M, N)
样本中不合格品数 不合格品总数
数学运用
例1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一 个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜 色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红 球1个白球的就获一等奖. 求获得一等奖的概率.
X 2 3 4 5 700 42 2584 8075 8550 3800 23751 23751 23751 23751 23751 23751 0 1
P
变题：至少摸出4个红球就中一等奖?
数学运用
例2 生产方提供50箱的一批产品，其中2箱不合格 产品. 采购方接收该批产品的准则是：从该批产品 中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产 品，则接收该批产品. 问：该批产品被接收的概率 是多少？
从全班任取n个人，取到女生的人数； 从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数； 买n张彩票，中奖的张数…… 等等都可以用超几何分布描述.
课堂练习
课本P51 练习1,2
课堂小结 超几何分布：
一般地，若一个随机变量X的分布列为：
r n CM C NrM P( X r ) n CN
r 0， 1， ， min M， n
则称上式为随机变量 X 的概率分布列．为随机变量 X 的概率分布表．
概率分布
知识回顾
3. 随机变量概率分布的性质：
pi (i 1,2,, n) 满足以下两个条件：
(1)
(2)
pi 0
p1 p2 pn 1
2020_2021学年高中数学第二章概率2_2超几何分布课件北师大版选修
第59页
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培根曾说：“读史使人明智，读诗使人聪慧，演算使人精密，哲理使人 深刻，道德使人高尚，逻辑修辞使人善辩。”生活里没有书籍，就好像没有 阳光；智慧中没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀。知识是人类进步的阶梯，阅 读则是了解人生和获取知识的重要手段和最好途径。那些主人公具有美好品 格的书籍，那些富有人文精神的书籍，很容易在阅读者的内心引起震荡。比 如读鲁迅的书，会被鲁迅“我以我血荐轩辕”的赤子之心打动；读李白的诗， 会被李白“安能摧眉折腰事权贵”的傲骨打动；读《钢铁是怎样炼成的》，会 被主人公保尔不向命运屈服的钢铁般的意志所折服……此外，读书能够祛除 内心的浮躁，让一颗心沉浸在文字宁静的世界里，给心灵以慰藉和滋润；还
1．“超几何分布”模型的识别、判断 “超几何分布”是常见的概率模型，广泛地取材于现实生 活、生产实践中的问题，如产品中的合格品与不合格品，盒中 的红球与黑球，学生中的男生与女生等等．应用“超几何分 布”模型求概率，关键在于这种模型的识别与判断．具体来 说，这类问题的特点是：
(1)总体中含有两类不同的个体； (2)不放回抽取，且无先后顺序； (3)随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的 数量．
X2
6
10
P
28 45
16 45
1 45
探究3 根据超几何分布的意义，所摸2球的钱数之和X并不 服从超几何分布，若设摸到的2个球中1元球的个数为ξ，则ξ～ H(10，8，2)．X与ξ之间存在着对应关系：X＝2对应于ξ＝2，X ＝6对应于ξ＝1，X＝10对应于ξ＝0，在求解时一定要注意到这 一点．
课后巩固
X5
6
7
8
P
4 35
18 35
12 35
高中数学选修课件第二章§超几何分布
在实际应用中，我们通常需要同时考虑期望和方差。例如，在制定抽样方案时，我们既要保证样本具 有代表性（即期望接近总体均值），又要控制抽样误差（即方差尽可能小）。这就需要我们根据具体 问题和数据特征来选择合适的抽样方法和样本容量。
04
超几何分布在统计学中应 用
抽样调查中应用
总体比例估计
样本抽取方式
超几何分布适用于不放回抽样，即每个样本被抽取后不再放回总体 中。若采用放回抽样方式，则不适用超几何分布。
概率计算公式的使用
在使用超几何分布的概率计算公式时，需确保各参数满足条件，如 N ≥ n, m ≥ k 等。同时，要注意组合数 C(n, k) 的计算方式及意义 。
期望值与方差的计算
在计算超几何分布的期望值与方差时，需正确运用公式并注意各参数 的含义及取值范围。
红球的概率。
根据超几何分布的概率计算 公式，可以计算出恰好摸到2
个红球的概率为 P(X=2)=C(6,2)*C(4,1)/C(10,
3)。
一批产品共有100件，其中5 件是次品，95件是正品。从 这批产品中任取3件，求取到
的次品数X的数学期望。
首先根据超几何分布的概率 计算公式，可以计算出取到0 件、1件、2件、3件次品的概 率，然后利用数学期望的公
后续章节预习提示
泊松分布
泊松分布是一种描述单位时间内随机事 件发生的次数的概率分布，与超几何分 布在某些条件下具有相似性质。预习时 应关注泊松分布的定义、性质及应用场 景。
VS
大数定律与中心极限定理
大数定律揭示了随机变量序列在大量重复 试验下的稳定性，而中心极限定理则阐明 了大量独立随机变量之和的分布近似于正 态分布的条件。预习时应理解这两个定理 的含义及应用条件。
北师版数学选修2-3讲义：第2章 2 超几何分布
§2超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C380C610C10100 B.C680C410C10100C.C480C620C10100 D.C680C420C10100【解析】设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C680C420 C10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]个白球，这些球除颜色外完全相同．。
2.2 超几何分布
－
也称X服从参数为N，M，n的超几何分布． (2)在公式中，就其中的字母变量足以使人眼花缭乱，字母代表的 意义更是容易记混，所以解决超几何分布问题完全没必要记公 式，记字母的意义．
题型一 超几何分布问题的概率求解 【例1】 10件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率： (1)至少有1件次品． (2)至多有1件次品． [思路探索] 属于超几何分布问题，用公式求解．
取0,1,2,3，
1 2 C3 21 C C9 27 9 3· P(Y＝0)＝C3 ＝55，P(Y＝1)＝ C3 ＝55， 12 12 3 C2 C1 27 C3 1 3· 9 P(Y＝2)＝ C3 ＝220，P(Y＝3)＝C3 ＝220. 12 12
又X＝3＋(3－Y)＝6－Y，X可取3,4,5,6， 故P(X＝3)＝P(Y＝3)，P(X＝4)＝P(Y＝2)， P(X＝5)＝P(Y＝1)，P(X＝6)＝P(Y＝0)． X的分布列为 X 3 4 5 6
2 C70 161 P(X＝0)＝C2 ＝330， 100 1 C70 C1 7 15 P(X＝10)＝ C2 ＝33， 100 2 C15 7 P(X＝20)＝ 2 ＝ ， C100 330 1 C70 C1 14 10 P(X＝50)＝ 2 ＝ ， C100 99
1 C10 C1 1 15 P(X＝60)＝ C2 ＝33， 100 1 1 C5 C70＋C2 79 10 P(X＝100)＝ C2 ＝990， 100 1 C1 15 1 5C15 P(X＝110)＝ C2 ＝990＝66， 100 1 1 C5 C10 1 P(X＝150)＝ C2 ＝99， 100 2 C5 2 1 P(X＝200)＝C2 ＝990＝495，(8分) 100
超几何分布超几何分布
第二章 概 率
[解] (1)设甲班的学生数为 n，
n（n－1）
由题意得，17＝CC272n＝
2 7×6
＝n（7n×－61），
2
整理得 n2－n－6＝0，解得 n＝3 或 n＝－2(舍去)．
即 7 个学生中，有甲班 3 人．
栏目 导引
第二章 概 率
(2)由题意知 X 服从参数 N＝7，M＝3，n＝2 的超几何分布，
栏目 导引
第二章 概 率
1.袋中有 7 个球，其中 3 个黑球、4 个红球，从袋中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列，并求至少有一个红球 的概率． 解：X＝0，1，2，3，X＝0 表示取出的三个球全是黑球， P(X＝0)＝CC7333＝315.
栏目 导引
第二章 概 率
同理 P(X＝1)＝CC14C37 32＝1325， P(X＝2)＝CC24C37 31＝1385，P(X＝3)＝CC7343＝345. ∴X 的分布列为：
栏目 导引
第二章 概 率
1．一个袋子里装有 4 个白球，5 个黑球和 6 个黄球，从中任
取 4 个球，则含有 3 个黑球的概率为( A )
A. 20 273
B. 10 273
C.20 91
D.10 91
解析：由条件知，随机变量 X 服从 N＝15，M＝5，n＝4 的超
几何分布，所以 P(X＝3)＝CC35C145110＝22703.
栏目 导引
第二章 概 率
[解] (1)从袋中随机摸 4 个球的情况为 1 红 3 黑，2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况.1 分 分别得分为 5 分，6 分，7 分，8 分．
故 X 的可能取值为 5，6，7，8， 3 分 P(X＝5)＝CC14C47 33＝345，4 分 P(X＝6)＝CC24C47 32＝1385，5 分
高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布课件 北师大版选修23
C 310
C 14 C 26
5
C 310
= .
6
+
C 24 C 16
C 310
+
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 若随机变量X服从超几何分布,则随机试验和随机变量
X必须同时满足以下两个条件:(1)试验是不放回地抽取n次;(2)随机
变量X表示抽取到的“次品”件数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 10件产品中有2件次品,任取2件进行检验,求下列
解析根据超几何分布概率模型知A正确.
答案A
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样. (
)
(2)只要所研究的事物是由较明显的两部分组成就可以研究合格
品的超几何分布. (
)
(3)超几何分布在本质上是事件在该随机试验中发生的次数与总
次数的比. (
)
答案(1)× (2)√ (3)√
探究一
探究二
探究三
探究一
思维辨析
超几何分布的概率
【例1】从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项
竞技测试.试求选出的3名同学中,至少有1名女同学的概率.
分析由题目可知选出的女同学人数服从参数N=10,M=4,n=3的
超几何分布,根据超几何分布概率公式直接求,也可用间接法求解.
C13 ·C23
且 A1 ,A2 ,A3 为两两互斥事件.又 P(A1 )=
C310
=
3
7
,P(A2 )=P(X=2)= ,
40
40
第2章 2 超几何分布
§2 超几何分布学习目标 1.理解超几何分布的概念.2.掌握超几何分布的公式．知识点 超几何分布已知在10名学生中，有4名男生，现任选3人，用X 表示选到的男生的人数． 思考1 X 可能取哪些值？ 答案 0,1,2,3.思考2 “X ＝2”表示的试验结果是什么？P (X ＝2)的值呢？答案 任选3人中恰有2人为男生，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310.思考3 如何求P (X ＝k )(k ＝0,1,2,3)?答案 P (X ＝k )＝C k 4C 3－k 6C 310.梳理 超几何分步一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 特别提醒：(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，则这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k 时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)． (2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据超几何分布的公式求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．1．超几何分布就是一种概率分布模型．( √ )2．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则所拿黑球个数X就服从超几何分布．( √ )3．超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列．( √ )类型一 超几何分布例1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数．求X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 6C 4－k 4C 410(k ＝0,1,2,3,4)．所以P (X ＝0)＝C 06C 44C 410＝1210，P (X ＝1)＝C 16C 34C 410＝435，P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 36C 14C 410＝821，P (X ＝4)＝C 46C 04C 410＝114，所以X 的分布列为引申探究如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，如何求解？解 由题意得：P (X ＝k )＝C k 6C 5－k 4C 510(k ＝1,2,3,4,5)，C 1042P (X ＝2)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝3)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝4)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝5)＝C 56C 04C 510＝142.故X 的分布列为反思与感悟 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．(2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N,0≤k ≤n,0≤k ≤M,0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只需代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．跟踪训练1 10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品件数X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列 解 X 的可能取值为0,1,2,3. 由题意知X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 03C 57C 510＝21252＝112，P (X ＝1)＝C 13C 47C 510＝105252＝512，C 1025212P (X ＝3)＝C 33C 27C 510＝21252＝112.所以X 的分布列为类型二 转换随机变量以服从超几何分布例2 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10. P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C 210＝145.故ξ的分布列为反思与感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，k 的含义． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．跟踪训练2 在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道试题进行测试，至少答对2道试题才算及格，求该考生答对试题数X 的分布列，并求该考生及格的概率． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 X ＝1,2,3，P (X ＝1)＝C 18C 22C 310＝115；P (X ＝2)＝C 28C 12C 310＝715；P (X ＝3)＝C 38C 02C 310＝715.所以X 的分布列为该考生及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝715＋715＝1415.类型三 超几何分布的应用例3 50张彩票中只有2张有奖，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n 至少为多少？ 考点 超几何分布 题点 超几何分布的应用解 设随机变量X 表示“抽出中奖彩票的张数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n 的超几何分布，可得至少有一张中奖的概率为P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，又n ∈N ＋，且n ≤50，解得n ≥15. 所以n 至少为15.反思与感悟 利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的问题，其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型．在利用超几何分布的模型时，将实际问题与超几何分布的模型进行比较，认清实质，把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析．跟踪训练3 生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格．采购方接收该批产品的条件是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是多少？ 考点 超几何分布 题点 超几何分布的应用解 从50箱产品中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱全合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P (X ≤1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.所以该批产品被接收的概率为243245.1．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为XB ．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC ．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X 是首次摸出黑球时的已摸次数考点 超几何分布 题点 超几何分布的理解 答案 B2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X 服从超几何分布，其参数为( ) A ．N ＝15，M ＝7，n ＝10 B ．N ＝15，M ＝10，n ＝7 C ．N ＝22，M ＝10，n ＝7 D ．N ＝22，M ＝7，n ＝10考点 超几何分布 题点 超几何分布的理解 答案 A解析 根据超几何分布的概念可知，A 正确．3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845B.1645C.1145D.1745考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 B解析 由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________． 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 45解析 设所选女生数为随机变量X ，则X 服从超几何分布，所以P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.5．从某省立医院的3名医生、2名护士中随机选派2人参加抗震救灾，设其中医生的人数为X ，写出随机变量X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310，所以X 的分布列为1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品由较明显的两部分组成．2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 D解析 设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552. 2．若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则事件{X ＝k }中含有的基本事件个数为( )A ．C k M C n －k NB ．C k M C n －kN －MC ．C k M C n －kM －ND ．C n －k M C kM －N考点 超几何分布 题点 超几何分布的概念 答案 B解析 事件{X ＝k }表示从含M 件次品的N 件产品中，任取n 件产品，其中恰有k 件次品，则必有n －k 件正品，因此事件{X ＝k }中含有C k M C n －kN －M 个基本事件．3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( ) A.150 B.125 C.1825 D.14 950 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 记X 为2张中的中奖数，则P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.4．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a 等于( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 B解析 由题意知，1645＝C 110－a C 1aC 210，解得a ＝2或8.5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 B解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率． 6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 “X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C. 7．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)等于( ) A.56 B.712 C.16D.512考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 A解析 由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.二、填空题8．从1,2,3,4,5中任取3个数，记最大的数为ξ，则P (ξ＝4)＝________. 考点 题点 答案310解析 P (ξ＝4)＝C 11C 23C 35＝310.9．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案1538解析 易知P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538.10．已知10个元件中只有3个是A 种型号，5个人购买这种元件，每人只买1个，至少有1人买到A 种型号元件的概率是________． 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案1112解析 这是一个超几何分布，相当于有10件产品，其中有3件不合格品，从中抽取5件，求至少有1件不合格品的概率．易得所求概率为1－C 57C 510＝1112.11．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示) 考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 C 13C 397＋C 497C 4100解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台． 三、解答题12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X 的分布列； (2)他能及格的概率． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列 解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.13．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495)，[495,500)，…，[510,515)，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品的数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505克的产品的数量，求Y 的分布列．考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品的数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.(2)Y 的可能取值为0,1,2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以Y 的分布列为四、探究与拓展14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________.考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案512解析 设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得m ＝5或m ＝14(舍去)．所以P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.15．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X 的分布列． 考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一个‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (X ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (X ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (X ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，X 的分布列为。
第2章 2 超几何分布
【解】 的所有可能取值为1,2,3,4,5，
且P( ＝1)＝＝，P( ＝2)＝＝，
P( ＝3)＝＝，P( ＝4)＝＝，
P( ＝5)＝＝.
因此 的分布列为
1
2
3
4
5
P
由分布列知P( ≤3)＝P( ＝1)＋P( ＝2)＋P( ＝3)＝＋＋＝. [构建·体系]
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球 的概率是( )
为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几
何分布．
2．超几何分布的表格形式
X＝k
0
1
Байду номын сангаас
2
…
k
…
P(X＝k) ________ ________ ________ … ________ …
【答案】 1. 2.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．( ) (2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.( )
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
4
P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝.
故所求的分布列为
X
5
6
7
8
P
探究2 在上述问题中，求得分大于6分的概率．
【提示】 根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率
为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的
0
1
2
P
[探究共研型]
超几何分布的应用
探究1 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2
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X 1, 2,3, 4,5
变量 X 的分布列也可写成：
5 K C8K C4 P( X k ) 5 C12
思考：现从中任意摸出 4 个球，用变量 X 表示摸 出红球的个数， X 的取值是？ 分布列怎么表 示？
6
抽象概括
超几何分布: 一般地,设有 N 件产品，其中有 M 件次品.从 中任取 n 件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中次品 的件数,那么 k n k CM CN M P( X k ) (k 0,1, 2, , m ) 其中 n CN
X 1, 2,3, 4,5
X k
1 2
3 C82C4 5 C12
3
4
5
5 0 C8 C4 5 C12
1 4 P( X k ) C8 C4 5 C12
3 2 1 C8 C4 C84C4 5 5 C12 C12
5
【新课引入】
例1 一袋子中装有 8 个红球和 4 个白球，这些球除颜 色外完全相同，现从中任意摸出 5 个球，用变量 X 表示摸出红球的个数，写出 X 的分布列。
解：设摸出红球的个数为 X, 则 X 服从超几何分 布,其中 N 30, M 10, n 5 ,于是由超几何分布 模型得中奖的概率 P ( X ≥ 3) P ( X 3) P ( X 4) P ( X 5) 3 2 4 1 5 0 C10 C 20 C10 C 20 C10 C 20 ≈0.191 5 5 5 C 30 C 30 C 30
解决此类问题的一般过程： 1、判断随机事件的分布是不是超几何分布 2、利用超几何分布的概率求解公式求出分布列
练习: 1.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球， 设其中有 个红球，求 的分布列.
解：设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超 几何分布,其中 N 5, M 3, n 2 , ∴ X 的可能取值为 0,1,2. k 2 k C3 C2 ∴ P( X k ) ( k 0,1, 2) 2 C5 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 P 1 3 3 10 5 10
练习2.
小结
超几何分布: 一般地,设有 N 件产品，其中有 M 件次品.从 中任取 n 件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中次品 的件数,那么 k n k CM CN M P( X k ) (k 0,1, 2, , m ) 其中 n CN
m min M , n ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N N * .
k 3 k C4 C104 P( X k ) (k 0,1, 2, 3) 3 C10
【新课引入】
例 1： 一袋子中装有 8 个红球和 4 个白球，这些球除颜 色外完全相同，现从中任意摸出 5 个球，用变量 X 表示摸出红球的个数，写出 X 的分布列。 5 C 从 12 个球中摸出 5 个，共有 12 种取法：
则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知：
X 服从 N 10 , M 5 , n 5 的超几何分布。
8
解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。 则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知：
X 服从 N 10 , M 5 , n 5 的超几何分布。
m min M , n ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N N * .
如果一个随机变量 X 的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N ， M ， n 的超几何分布. 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n
例 2. 高三（ 1）班的联欢会上设计了一项游戏：准备了 10 张相同的卡片，其中只有 5 张卡片上印有“奖”字。游戏 者从中任抽 5 张，如果抽到 2 张或 2 张以上印有“奖”字的 卡片就可获得一份精美小礼品，如果抽到 5 张都印有“奖” 字的卡片，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书。 ⑴某人获得精美小礼品的概率是多少？ ⑵他能获得一套丛书的概率是多少？ 解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的10件产品中有4件次品，现从这10件产品 中任取3件，用X表示取得的次品数，试写出X的分布列.
分析 首先，从这10件产品中任取3件，共有C103种取法， 每一种取法都是等可能的. 已知在10件产品中有4件次品，故X的可能取值为 0,1,2,3.
其中，“X=0”表示“任取的3件产品中不含次品”， 这意味着，从4件次品中取出0件，再从10-4件正品中取 0 30 C 出3-0件，由分步乘法计数原理可知，共有 4 C104 种 取法，故事件“X=0”的概率为
如果一个随机变量 X 的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N ， M ， n 的超几何分布. 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n
C C P ( X k ) 那么变量 X 的分布列应为： C
⑴某人获得精美小礼品的概率是：
K 5
5 k 5 5 10
113 P( X 2) 1 P( x 2) 126
⑵他能获得一套丛书的概率是：
5 0 C5 C5 1 P( X 5) 5 C10 252
9
例 3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏， 在一 个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜色 外完全相同.游戏者一次从中摸出 5 个球.至少摸到 3 个红球就中奖，求中奖的概率.（精确到 0.001）
0 3 0 C4 C10 4 20 P ( X 0) 0.1667 3 C10 120
类似地，“X=1”表示“任取的3件产品中恰有1件次 品”，这意味着，取出1件次品和3-1件正品，共有 C41C10-43-1种取法。故 1 31 C4 C104 60 P ( X 1) 0.5 3 C10 120
同理可得，
2 3 2 C4 C10 4 36 P ( X 2) 0.3 3 C10 120 3 3 3 C4 C10 4 4 P ( X 3) 0.0333. 3 C10 120
事实上，“X=k”（k=0,1,2,3）表示“取出的3件产 品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k 件，再从10-4件正品中取出3-k件，共有C4kC10-43-k种 取法，故X 的分布列为