(优选)2019八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习(新版)华东师大版

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【数学】华师版八年级上册第14章勾股定理整合提升密码

专训一：勾股定理及其逆定理的应用常见题型名师点金：勾股定理及其逆定理建立起了“数”与“形”的完美结合，利用这一定理，可以运用代数方法来研究几何问题．中考中涉及本章内容的题目较多，题型有独立知识的填空、选择题等；更多的是将勾股定理及其逆定理作为一种解决问题的手段，综合在其他知识中进行命题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF 的长．(第1题)利用勾股定理求面积2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．(第2题)利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状3．在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD 的形状．利用勾股定理证明线段的相等关系4．如图所示，AD是△ABC的中线，试说明：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．(第4题)利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题(第5题)5．(中考·青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.利用勾股定理的逆定理解决实际问题6．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32海里，B舰每小时航行24海里，它们离开港口一小时后，相距40海里，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？专训二：利用勾股定理巧用旋转法解几何问题名师点金：对于条件较分散而题中又含相等的边(一般是相邻的边)时，常采用旋转法，将分散条件集中到一个三角形中去，即将含其中的一边的三角形旋转到两个相等的边重合的位置；当旋转角度为90°时，常结合勾股定理等知识进行解答．1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．(第1题)2．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．(第2题)利用旋转判定三角形的形状3．如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数．(第3题)4．如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M，N，使∠MCN ＝45°，设AM＝a，MN＝x，BN＝b，判断以x，a，b为边长的三角形的形状．(第4题)专训三：勾股定理中几种常见的热门考点名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用和反证法，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．勾股定理及其应用1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为()A．3 B．4 C．5 D．10(第2题)2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD 于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm，AD＝13 cm，△ABC的面积是6 cm2.(1)求AB的长度；(2)求△ABD的面积．(第3题)勾股定理的验证4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得△EAD，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．(第4题)直角三角形的判别5．在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm，下列关系式成立的是()A．∠B＋∠C>∠A B．∠B＋∠C＝∠AC．∠B＋∠C<∠A D．以上都不对6．已知|x－12|＋|z－13|和(y－5)2互为相反数，则以x，y，z为边长的三角形为________三角形．7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA.(第7题)反证法8．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b且3a＜3b D.3a＝3b或3a＜3b9．用反证法证明“在一个三角形中，不可能有两个角是钝角”的第一步是_____________________________________________________________________ ___．10．已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题可用反证法，其步骤：假设__________，根据__________，一定有____________，但这与已知____________相矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．11．用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．利用勾股定理求最短距离12．如图，圆柱形无盖玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1 cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．(第12题)利用勾股定理解决实际问题13．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题．小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，飞的速度相同，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？思想方法a．方程思想14．如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠得到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．(第14题)b ．分类讨论思想15．在△ABC 中，若AB ＝20，AC ＝15，AD 是BC 边上的高，AD ＝12，试求△ABC 的面积．答案专训一1．解：连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD ⊥AC(等腰三角形三线合一)，BD ＝CD ＝AD ，∠ABD ＝45°，∠C ＝45°，∴∠ABD ＝∠C.又∵DE ⊥DF ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF ，∴∠FDC ＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎨⎧∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC(A .S .A .)，∴BE ＝FC ＝3，∴AB ＝7，则BC ＝7，∴BF ＝4.在Rt △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42＝25，∴EF ＝5.2．解：由折叠的性质可知CD ＝CD′，又CD ＝AB ，∴CD′＝AB.在△ABE 和△CD′E 中，∠B ＝∠D′＝90°，∠AEB ＝∠CED′，AB ＝CD′， ∴△ABE ≌△CD′E ，∴AE ＝EC.设AE ＝x cm .在Rt △ABE 中，AB 2＋BE 2＝AE 2，即62＋(8－x)2＝x 2，∴x ＝254，∴EC ＝AE ＝254 cm .∴S 阴影＝12EC·AB ＝12×254×6＝754(cm 2)．(第3题)3．解：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接CE 、BE.∵点D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.又∵AD ＝DE ，且∠ADC ＝∠BDE ，∴△ADC ≌△EDB ，∴BE ＝AC ＝13.∵AE ＝2AD ＝12，∴AE 2＋AB 2＝122＋52＝169，BE 2＝132＝169，∴AE 2＋AB 2＝BE 2，∴∠EAB ＝90°.∴△ABD 是直角三角形．4．解：过点A 作AE ⊥BC 于点E.在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得AB 2＝AE 2＋BE 2.①在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得AC 2＝AE 2＋CE 2.②由①＋②，得AB 2＋AC 2＝2AE 2＋BE 2＋CE 2.在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得AE 2＝AD 2－DE 2.∵BD ＝CD ，CE ＝CD ＋DE ，BE ＝BD －DE ＝CD －DE ，∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2－DE 2)＋(CD －DE)2＋(CD ＋DE)2＝(2AD 2－2DE 2)＋(2CD 2＋2DE 2)＝2(AD 2＋CD 2)．5．15 点拨：将圆柱沿经过点C 的高展开，得到一个长方形，在上面可以找到A ，C 两点对应的位置，此时可以作点A 关于长方形的边EF 的对称点A′，连接A′C ，再根据“两点之间线段最短”即可得出结果．解答过程如下：如图，作点A 关于EF 的对称点A′，连接A′C ，则A′C 的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，在Rt △A′DC 中，A′D ＝12－4＋4＝12(cm )，CD ＝18÷2＝9(cm )，∴A′C 2＝A′D 2＋CD 2＝122＋92＝225，所以A′C ＝15 cm .(第5题)6．解：由题意得OA＝1×32＝32(海里)，OB＝1×24＝24(海里)，因为322＋242＝402，所以OA2＋OB2＝AB2，即△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°.又因为A舰沿东北方向航行，所以B舰沿西北方向航行．专训二1．解：如图，作∠BCD＝∠ACP，CD＝CP，连接BD，PD，∵∠ACB＝∠ACP ＋∠PCB＝90°，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD，∴∠PCD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠CPD＝45°，PD2＝8.易知△ACP≌△BCD，∴BD＝AP＝3.在△PBD中，PD2＝8，PB＝1，BD＝3，∴PD2＋PB2＝BD2.∴∠DPB＝90°.∴∠BPC＝∠CPD＋∠DPB＝135°.点拨：当题中所给已知条件相对分散的时候，可考虑添加辅助线将分散的条件集中在一起，如本题PB＝1，PC＝2，PA＝3看似没有关系，但是通过构造△PCD 和△PBD，为研究这个问题创造了条件．(第1题)(第2题)2．解：如图，连接EE′.由题意知△ABE≌△CBE′，∴AE＝E′C＝1，BE＝BE′＝2，∠ABE＝∠CBE′.又∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，即∠EBE′＝90°，由勾股定理，得EE′＝8.在△EE′C中，EE′＝8，E′C＝1，EC＝3，∴EE′2＋E′C2＝EC2，由勾股定理的逆定理可知∠EE′C＝90°.∵BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴∠BEE′＝∠BE′E＝180°－90°2＝45°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.3．解：(1)△DEC是直角三角形，理由如下：因为△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，所以△CBE≌△ABD.所以BE＝BD＝3，CE＝AD＝4.又因为∠DBE＝60°，所以△BDE是等边三角形．所以DE＝BD＝3.又因为CD＝5，所以DE2＋CE2＝32＋42＝25＝52＝CD2.所以△DEC是直角三角形．(2)由(1)，得∠DEC＝90°，△BDE是等边三角形，所以∠BED＝60°.所以∠BEC＝90°＋60°＝150°.因为△ABD≌△CBE，(第4题)所以∠ADB＝∠BEC＝150°.4．解：如图，作CD⊥CM，且CD＝CM，连接ND，BD，∵AC⊥BC，CD⊥CM，∴∠ACB＝∠MCD＝90°，∴∠ACM＝∠BCD，又∵AC＝BC，CM＝CD，∴△CAM≌△CBD，∴∠CBD＝∠A＝45°，BD＝AM＝a.∵CM＝CD，∠DCN＝∠MCN＝45°，CN＝CN，∴△MCN≌△DCN，∴ND＝MN＝x.∵∠CBD＝∠CAM＝45°，∠CBA＝45°，∴∠NBD＝∠CBA＋∠CBD＝90°，∴NB 2＋BD 2＝ND 2，即b 2＋a 2＝x 2，∴以x ，a ，b 为边长的三角形是直角三角形．专训三1．C 2.53．解：(1)∵∠C ＝90°，∴S △ABC ＝12·BC·AC ＝6，∴AC ＝4 cm .∵BC 2＋AC 2＝AB 2，∴AB 2＝32＋42＝52，∴AB ＝5 cm .(2)∵AB 2＋BD 2＝52＋122＝169，AD 2＝132＝169，∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴∠ABD ＝90°.∴S △ABD ＝12·AB·BD ＝12×5×12＝30(cm 2)．4．解：由题意得S △ABC ＝S △AED ，∴S 正方形ACFD ＝S △AED ＋S 梯形ACFE ＝S △ABC ＋S梯形ACFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a)(b －a)，整理得2b 2＝c 2＋(b ＋a)(b －a)，∴a 2＋b 2＝c 2.5．B 6.直角7．解：连接BE.∵AE 2＝12＋32＝10，AB 2＝12＋32＝10，BE 2＝22＋42＝20，∴AE 2＋AB 2＝BE 2，∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE ＝90°，即AB ⊥EA.8．D 9.假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角10．∠C ＝90°；勾股定理；AC 2＋BC 2＝AB 2；AC 2＋BC 2≠AB 211．证明：假设这两个整数都是奇数，不妨设其中一个为2n ＋1，另一个为2m ＋1(n ，m 为整数)，于是(2n ＋1)(2m ＋1)＝4mn ＋2n ＋2m ＋1＝2(2mn ＋n ＋m)＋1.∵无论n ，m 取何值，2(2mn ＋n ＋m)＋1都是奇数，这与已知中两个整数的积是偶数相矛盾，∴假设不成立，∴这两个整数中至少有一个是偶数．12．解：将圆柱的侧面的一半沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E.在Rt △CEF 中，∠CEF ＝90°，EF ＝18－1－1＝16(cm )，CE ＝12×60＝30(cm )．由勾股定理得CF 2＝CE 2＋EF 2＝302＋162＝342，即CF ＝34 cm .答：蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm .(第12题)(第13题)13．解：如图，由题意得AB ＝20肘尺，DC ＝30肘尺，BC ＝50肘尺，设EC 为x 肘尺，BE 为(50－x)肘尺，在Rt △ABE 和Rt △DEC 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝202＋(50－x)2，DE 2＝DC 2＋EC 2＝302＋x 2，又∵AE ＝DE ，∴x 2＋302＝(50－x)2＋202，解得x ＝20.答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．14．解：易知CD′＝CD ＝AB ＝3，∠D′＝∠D ＝∠B ＝90°，AD′＝AD ＝4，又∠AEB ＝∠CED′，所以△ABE ≌△CD′E ，所以BE ＝D′E.设BE ＝D′E ＝x ，则AE ＝AD′－D′E ＝4－x.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB 2＋BE 2＝AE 2，即32＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝78，所以BE ＝78.15．解：因为AD 是BC 边上的高，所以△ABD 和△ACD 都是直角三角形．由勾股定理，得BD 2＝AB 2－AD 2＝202－122＝256，CD 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝81，所以BD ＝16，CD ＝9.①若∠ACB 是锐角，如图①，则BC ＝BD ＋CD ＝16＋9＝25，所以S △ABC ＝12BC·AD ＝12×25×12＝150.②若∠ACB 是钝角，如图②，则BC ＝BD －CD ＝16－9＝7，所以S △ABC ＝12BC·AD ＝12×7×12＝42.综上所述，△ABC的面积为150或42.(第15题)。

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第14章勾股定理一、选择题（共2小题〉1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 252.如图，在AABC 中，ZC二90° , AC=2,点 D 在BC±, ZADC二2ZB, AD=,则BC 的长为（）A. - 1B. +1C. - 1D. +1点E是AD的中点，且AE=1, BE的垂直平分线MN恰好过点C.则3.如图，矩形纸片ABCD中,矩形的一边AB的长度为（）A. 1B.C.D. 24. AABC中，AB二AC二5, BC二8,点P是BC边上的动点，过点P作PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,则PD+PE的长是（）A. 4. 8B. 4. 8 或 3. 8C. 3. 8 D・ 55. 如图，在RtAABC中，ZBAC二90° , ZABC的平分线BD交AC于点D, DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC二8, AD二4,则图中长为4 的线段有（）A. 4条B. 3条C. 2条D・1条6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC, DE±BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF 的中点，ZACD 二2ZACB.若DG二3, ECh ,则DE 的长为（）A. 2B.C. 2D.7. 在边长为正整数的AABC中，AB二AC,且AB边上的中线CD将AABC的周长分为仁2的两部分，贝OAABC面积的最小值为（）A. B・C・ D.8. 如图，AABC中，BC二AC, D、E两点分别在BC与AC上，AD丄BC, BE丄AC, AD与BE相交于F 点.若AD二4, CD二3,则关于ZFBD、ZFCD、ZFCE的大小关系，下列何者正确？（）A. ZFBD>ZFCDB. ZFBDVZFCDC. ZFCE>ZFCDD. ZFCEVZFCD9.如图，在RtAABC中，ZACB二90°，点D是AB的中点，且CD二，如果RtAABC的面积为1,则它的周长为（）10.如图，AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题（共15小题〉门.如图，在AABC中，AB二BC二4, A0二BO, P是射线C0上的一个动点，ZA0C二60°,则当Z\PAB 为直角三角形时，AP的长为・12. 在AABC 中，AB=13cm, AC二20cm, BC 边上的高为12cm,则Z\ABC 的面积为 _____ cml13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF, DF二4.设AB二x, AD=y,贝lj x?+ （y-4）'的值为 .14. 正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点.若APBE是等腰三角形，则腰长为—・15. 如图，在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为・16.如图，AABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点.若AD二6, DE二5,则CD的长等于17. 等腰Z\ABC 中，AB二AC二10c叫BC=12cm,则BC 边上的高是cm.18. 已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为_・19. 如图，在等腰AABC中，AB=AC, BC边上的高AD二6cm,腰AB上的高CE二8cm,则Z\ABC的周长等于___ cm.20.如图，四边形ABCD 中，AB〃DC, ZB二90°,连接AC, ZDAC=ZBAC.若BC二4c叫AD二5c叫则AB 二cm.21.如图，点D在AABC的边BC上,ZC+ZBAD=ZDAC, tan Z BAD二AD 二,CD=13,则线段AC的长为22.如图，RtAABC 中，ZABC二90。

八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案(华东师大版)

八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案（华东师大版）一、选择题1．下列各组数据中是勾股数的是（）2．有一直角三角形纸片，∠C ＝90°BC ＝6，AC ＝8，现将∠ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CE 的长为( )A ．7B ．74C ．72D ．43．在∠ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判断∠ABC 是直角三角形的是（）A ．a ＝32，b ＝42，c ＝52B ．a ＝b ，∠C ＝45° C ．∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10D ．a 3b 7，c ＝24．在∠ABC 中，已知4AB =，5BC =和41AC =）A ．∠ABC 是锐角三角形B ．∠ABC 是直角三角形且90C ∠= C ．∠ABC 是钝角三角形D ．∠ABC 是直角三角形且90B ∠=5．要说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”是假命题，能举的一个反例是（）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ﹣3，b ＝2C ．a ﹣＝3，b ＝﹣1D ．a ＝﹣1，b ＝36．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．97．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是9cm ，则图中所有正方形的面积的和是（）A ．264cmB ．281cmC ．2162cmD ．2243cm8．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）A ．同加一个相同的数B ．同减一个相同的数C ．同乘以一个相同的正整数D ．同时平方9．如图，在ABC 中AB AC =，点P 为ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC 且APB APC ∠≠∠求证：PB PC ≠用反证法证明时，第一步应假设（）A ．AB AC ≠ B ．PB PC = C ．APB APC ∠=∠D ．PBC PCB ∠≠∠10．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A 点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（）A ．9B ．13C ．14D ．245π+ 二、填空题11．6，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 . 12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC 的度数为度．13．反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 .14．如图是某滑雪场U 型池的示意图，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘16AB CD ==，点E 在CD 上，4CE =一名滑雪爱好者从A 点滑到E 点时，他滑行的最短路程约为（π取3）．三、解答题15．如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 平分BAC ∠，已知BC 10=，AD=12，求AC 的长.16．如图，在ABC 中，D 为AB 边上一点，已知AC=13，CD=12，AD=5，AB=BC ．请判断ACD 的形状，并求出BC 的长．17．求证：对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)18．一个零件的形状如图所示，按规定BAC ∠应为直角，工人师傅测得90ADC ∠=︒，AD=3，CD=4，AB=12，BC=13请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么．四、综合题19．如图，在ABC 中60BAC ∠=︒，45B ∠=︒且AD 是BAC ∠的平分线，且3AC =CH AB ⊥于点H ，交AD 于点O .（1）求证：ACD 是等腰三角形；（2）求线段BD 的长.20．如图，ABC 的三边分别为5AC =，12BC =和13AB =，如果将ABC 沿AD 折叠，使AC恰好落在AB 边上．（1）试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）求线段CD 的长．21．综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为243OC = 求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，若12342S S S ++=，求2S 的值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B 、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；C 、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；D 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题；故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt∠ACB 中，AC=8，BC=6∴2222=68AC BC ++．根据翻折不变性得∠EDA∠∠EDB ∴EA=EB∴在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ∴BE 2=BC 2+CE 2 ∴（8-x ）2=62+x 2 解得x=74．故答案为：B ．【分析】在Rt∠ACB 中，利用勾股定理算出AB ，根据折叠性质得EA=EB ，在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ，利用勾股定理建立方程，求解可得x 的值，从而得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：A 、∵22337a b +=，2625c = ∴222+a b c ≠，不是直角三角形，故A 不符合题意；B 、 a ＝b ，∠C ＝45°∴∠A=∠B=180=67.5452︒︒-︒，不是直角三角形，故B 不符合题意；C 、∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10，解得∠C=180°×10=7524︒，不是直角三角形，故C 不符合题意； D 、 ∵2223277+==，∴是直角三角形，∠B 是直角，故D 符合题意故答案为：D ．【分析】A 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解；B 、由等边对等角可得∠A=∠B ，然后用三角形内角和定理可判断求解；C 、由三角形内角和定理并结合∠A 、∠B 、∠C 的比值计算即可判断求解；D 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知216AB =，225BC =和241AC =∵222AB BC AC +=∴ABC 是直角三角形，且90B ∠=︒ 故答案为：D ．【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。

华师大版八年级数学上册第14章勾股定理强化专训【新版】

专训一：利用勾股定理巧解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律；利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x ，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x ；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD ，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A 落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE 的长为( )(第1题)A .83 cmB ．2 3 cmC ．2 2 cmD ．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．(2015·东莞)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝EC＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训二：利用勾股定理巧求线段的最短问题名师点金：求最短距离的问题，第一种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决，第二种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．巧用对称法、平移法求平面中的最短问题1．如图是一段楼梯的示意图，高BC是3 m，斜边AC是5 m．如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要()长的地毯．A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m(第1题)(第2题)2．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使EP＋BP最短，则EP＋BP的最短长度是________．3．如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河边CD上选择水厂的位置E，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用．(第3题)巧用展开图法求立体图中的最短问题4．如图是一个长方体纸盒，它的长，宽，高分别为8，4，5，在盒内顶点A 处有一只壁虎，它发现盒内其对角顶点B处有一只苍蝇，于是壁虎沿盒壁向点B 爬行，求这只壁虎由点A爬行至点B的最短路程的平方．(第4题)5．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS处剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接爬到C处，只能沿圆锥表面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)圆锥的母线长(SA)为10，侧面展开图的夹角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．(第5题)答案专训一1．A2．解：由题意易知AD ∥BC ，∴∠2＝∠3.∵△BC′D 与△BCD 关于直线BD 对称，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EB ＝ED.设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x.在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴42＋(8－x)2＝x 2，∴x ＝5，∴DE ＝5，∴S △BED ＝12DE·AB ＝12×5×4＝10.解题策略：解决此题的关键是证得ED ＝EB ，在Rt △ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2，利用勾股定理列出方程即可求解．3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠D ＝∠B ＝∠BCD ＝90°，∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°，又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(H .L .)．(2)解：∵△ABG ≌△AFG ，∴BG ＝FG ，设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE ＝EF ＝DE ＝3，∴EG ＝3＋x ，∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2，∴BG ＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE ＝∠CFE ，又四边形ABCD 是长方形，故AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴∠AFE ＝∠AEF ，∴AE ＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D ＝90°知，ED 2＋DC 2＝CE2，即b2＋c2＝a2.专训二1．C2．5点拨：如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接BP.易知BD⊥AC，且BO＝OD，∴BP＝PD，则BP＋EP＝ED，此时最短．∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED＝5.即EP＋BP的最短长度为5.(第2题)(第3题)3．解：如图，作A点关于直线CD的对称点A′，连接BA′，与CD交于点E，则E点即为所求．连接AE，过点A′作A′F⊥BD交BD的延长线于F.在Rt△A′BF 中，A′B2＝A′F2＋BF2＝302＋402＝2 500，所以A′B＝50千米，故当AE＋BE＝A′B ＝50千米时，铺设水管的费用最节省，总费用为50×3＝150(万元)．4．解：将长方体中涉及点A和点B的相邻两个面展成平面图形，应有如图①②③三种可能情形，由勾股定理可知图①中，AB2＝(4＋8)2＋52＝169；图②中，AB2＝(5＋4)2＋82＝145；图③中，AB2＝(5＋8)2＋42＝185.因为185>169>145，所以最短路程的平方为145.(第4题)(第5题)5．解：(1)圆锥(2)扇形(3)如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125.。

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm.D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（）A.2.5B.C.D.52、如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( )A.②③④B.③④⑤C.④⑤⑥D.②③⑥3、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6cm²B.8cm²C.10cm ²D.12cm ²4、如图，一圆柱高8cm，底面周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处要爬行的最短路程是（）A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定5、如图，AC是OO的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD=12cm，AE=4cm，则OF的长度是（）A. cmB.2 cmC. cmD.6、如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．A. B. C. D.7、如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（）A.10B.12C.14D.208、在⊿中，若，则⊿是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形9、若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A.169B.169或119C.169或225D.22510、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16．那么线段OE的长为( )A.4B.8C.5D.611、下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.1，，3B.3，4，5C.4，5，6D.6，7，812、如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为( )A.10mB.12mC.15mD.20m13、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（）A. B. C. D.14、如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论是( ).A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④15、小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为，则该圆的半径为（）cm.A. B. C.7 D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，等边的边与轴交于点，点是反比例函数图像上一点，若为边的三等分点时，则等边的边长为________．17、用反证法证明：已知直线a、b被直线c所截，∠1+∠2≠180°．求证：a 与b不平行．证明：假设________，则：∠1+∠2=180°（________）这与________矛盾，故假设不成立．所以a与b不平行．18、等腰中，，，则________.19、如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=________.20、如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂足为点，且，则的长为________.21、直角坐标系内有一点M(- ，）。

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A.3B.2C.2D.42、如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A.48B.60C.76D.803、如图，圆柱的底面直径和高均为4，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是 ( )A. B. C. D.4、如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（）A.a 2+b 2=c 2B.a 2+c 2=b 2C.b 2+c 2=a 2D.（a+c）2=b 25、若Rt△ABC中两条边的长分别为a＝3，b＝4，则第三边c的长为（）A.5B.C. 或D.5或6、如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（）A.12B.44C.D.无法确定7、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.68、在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）A.3cmB. cmC.2cm或cmD. cm或cm9、如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=20cm，BD=12cm，则AD的长为（）A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm10、在平面直角坐标系中，定义：已知图形W和直线l，如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线1的距离小于或等于k，则称图形W与直线1“k关联”.已知线段AB，其中点A(1，1)，B(3.1).若线段AB与直线y=-x+b“关联”，则b的取值范围是( )A.-1≤b≤B.0≤b≤4C.0≤b≤6D. ≤b≤611、如图，圆柱底面的半径为cm，高为9 cm，A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，则这根棉线的长度最短是（）A.12 cmB.15 cmC.18 cmD.21 cm12、在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（）A.8 cmB.6 cmC.4 cmD.2 cm13、如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为（）米．A.4B.8C.12D.14、如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）．A. B. C.4 D.615、下列各组中的三条线段不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.1，2，C.5，7，9D.7，24，25二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知AB＝2 ，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°.P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q 之间的距离最短为________（结果保留根号）.17、在中，，，若斜边上的高，则________．18、如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使，AQ，BP相交于点O.若，，则AP的长为________，AO的长为________.19、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是________．20、如图（1），用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD、若AE=4，CE=3BE，那么这个四边形的面积是________ ．21、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为________m．22、在△ABC中，∠C=90°，若a=5，c=13，则b=________.23、如图，把矩形纸片ABCD（BC＞CD）沿折痕DE折叠，点C落在对角线BD上的点P处：展开后再沿折痕BF折叠，点C落在BD上的点Q处：沿折痕DG折叠，点A落在BD上的点R处，若PQ＝4，PR＝7，则BD＝________.24、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________25、如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．（Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；（Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…28、如图四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，求△ABC 的面积.29、如图，学校要把宣传标语掛到教学楼的顶部D处.已知楼顶D处离地面的距离DA为8m，云梯的长度为9m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为3m，云梯的顶部能到达D处吗？为什么？30、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC边上一点，连接BD，将△ABC沿BD折叠，顶点C恰好落在边AB上的点E处，若AC=2，BC=1，求CD的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、A4、B5、D6、C7、C8、D9、A10、C11、B12、C13、C14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。

(优选)2019八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习(新版)华东师大版

勾股定理本章总结提升问题1 勾股定理直角三角形三边的长有什么特殊的关系？例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________．【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．问题2 用拼图证明勾股定理勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？例2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：① ②图14－T －1将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2. 证明：连结DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a . ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋12ab ，S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋12a (b －a )，∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )． ∴a 2＋b 2＝c 2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2＋b 2＝c 2.【归纳总结】把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．问题3 勾股定理的应用勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？例3 如图14－T －2所示，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一堵竖直的墙AO 上，这时梯脚B 到墙底端O 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？图14－T－2问题4 勾股定理与方程思想的综合运用已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？例4 如图14－T－3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？图14－T－3【归纳总结】利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．例5 如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.图14－T－4【归纳总结】将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度．例6 如图14－T－5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．图14－T－5【归纳总结】确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．例7 如图14－T－6，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，试求∠DAB的度数．图14－T－6详解详析【整合提升】例1 12或194例2 证明：证法一：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a.∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABE ＋S △AED ＝12ab ＋12b 2＋12ab ，S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)，∴12ab ＋12b 2＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)， ∴a 2＋b 2＝c 2.证法二：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a. ∵S 五边形ACBED ＝S 梯形ACBE ＋S △AED ＝12b(a ＋b)＋12ab ，S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)，∴12b(a ＋b)＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)． ∴a 2＋b 2＝c 2.例3 [解析] 如图，AB ＝CD ＝2.5米，BO ＝0.7米，由勾股定理求得AO ＝2.4米．因此，OC ＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出OD 的长度，则可求出BD 的长度，即梯脚外移的距离．解：如图，在Rt △OAB 中，AO＝AB2－OB2＝ 2.52－0.72＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．在Rt△COD中，OD＝CD2－OC2＝ 2.52－22＝1.5(米)，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．即梯脚将外移0.8米．例4解：设BD＝x米，则AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．根据题意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得x＝5.即树的高度是10＋5＝15(米)．例5[答案] 13[解析] 将台阶上表面展开，如图，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2＋BC2＝169，所以AB＝13dm，所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.例6[解析] 沿长方体表面从点A爬到点B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走．解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：(1)沿右侧面和前面走时，如图①所示，由勾股定理，得AB＝152＋202＝625＝25，即路线长l1＝25.(2)沿右侧面和上底面走时，如图②所示，由勾股定理，得AB＝（20＋5）2＋102＝725，即路线长l2＝725.(3)沿后侧面和上底面走时，如图③所示，由勾股定理，得AB＝52＋302＝925，即路线长l3＝925.因为l1＜l2＜l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.例7解：如图，连结AC.在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝BC，所以∠BAC＝45°.由AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，设AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.因为∠B＝90°，所以AC2＝AB2＋BC2＝8x2，所以AC2＋AD2＝8x2＋x2＝9x2＝CD2，故∠DAC＝90°，所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝135°.。

八年级数学上册第十四章勾股定理14.1勾股定理14.1.3反证法作业新版华东师大版

反证法1.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角〞时，应假设〔〕2.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设〔〕ABCD，要证明：“如果∠A≠∠C，那么BD不是直径〞当用反证法证明时，第一步应是：假设〔〕4.用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于90°〞时第一步应假设〔〕5.选择用反证法证明“：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．〞时，应先假设〔〕6.用反证法证明命题“假设x2≠4，那么x≠2”的第一步应假设______________．7.用反证法证明命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c〞时，应假设______________．8.用反证法证明命题“不相等的角不是对顶角〞时，应假设______________．9.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．10.用反证法证明〔填空〕：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1∥l211.如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC〔反证法〕参考答案:6.x=27.a不平行于c9.证明：假设l1∥l2，那么∠1+∠2=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕，这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设_不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．10.证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．那么∠1+∠2+∠P=180°〔三角形内角和定理〕，所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l2．11.证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB==AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A.（3+2 ）cmB. cmC. cmD.9cm2、如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A. -1B. +1C. -1D. +14、如图，将Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，点C关于y轴的对称点C′，当点C′恰好落在直线y＝2x+b上时，则b的值是( )A.4B.5C.5.5D.65、如图，圆柱底面的半径为cm，高为9 cm，A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，则这根棉线的长度最短是（）A.12 cmB.15 cmC.18 cmD.21 cm6、用反证法证明“垂直于同一直线的两直线平行”第一步先假设（）A.相交B.两条直线不垂直C.两条直线不同时垂直同一条直线 D.垂直于同一条直线的两条直线相交7、下面各组数据能判断是直角三角形的是（）A.三边长都为2B.三边长分别为2，3，2C.三边长分别为13，12，5D.三边长分别为4，5，68、下列各组数中是勾股数的为（）A.1、2、3B.4、5、6C.3、4、5D.7、8、99、如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（）平方米．A.3B.9C.12D.2410、如图，长方形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过C.则长方形的一边CD的长度为（）A.1B.C.D.211、下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）A. ，，B.7，24，25C.6，8，10D.1，2，312、如图，一圆柱高8cm，底面周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处要爬行的最短路程是（）A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定13、如图，在中，平分，则（）A. B. C.2 D.14、下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）A.2,3,4B.1, ,C.5,12,13D.9,40,4115、如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC=1：2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB= ，则DF的长等于（）A. B. C. D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、Rt△ABC中，斜边BC＝3，则AB2+BC2+CA2的值为________.17、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC 边于点E，若E恰为BC的中点，则图中阴影部分的面积为________．18、如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度都是1cm/s，点Q的速度都是2cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止．当t=________时，△PBQ是直角三角形．19、在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设________则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．20、如图把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是（1，0）．若点D 也在格点位置（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D 的坐标是________．21、在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为________．22、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为________．23、已知⊙O 的直径AB=4，半径OC⊥AB，在射线OB上有一点D，且点D与⊙O 上各点所连线段最短为1，则CD=________．24、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设________25、如图，将△绕点逆时针旋转得到△，其中点与点时对应点，与点是对应点，点落在边上，连结，若∠＝45°，＝6，＝4，则＝________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如果三角形ABC三边长为a，b，c，满足|a﹣5|+ +（13﹣c）2=0，试判断该三角形的形状.28、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE 折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，求cos∠EFC的值．29、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC= ，AC=3 ，AB=4，求△ABC的周长．30、已知，如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、D4、D5、B7、C8、C9、C10、C11、D12、B13、D14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、。

(基础题)华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，是等腰直角三角形，BC是斜边，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果AP=3，那么PP'的长等于（）A. B. C. D.2、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，OC＝5，则弦AB的长是（）A.3B.4C.6D.83、如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为（）A.5B.6C.8D.124、下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.30，40，50B.7，12，13C.5，9，12D.3，4，65、以下列线段长为边，能构成直角三角形的是（）A.2，3，5B.2，3，4C.3，，4D.2，4，56、如果一个等边三角形的边长是2，那么这个等边三角形的面积是（）A.1B.2C.D.7、底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A.10B.8C.5D.48、如图，正方形ABCD的边长为10，△ABP为直角三角形，∠P=90°，且PB=6，则AP等于（）A.6B.7C.8D.不能确定9、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CD翻折，使点A 落在AB上的点E处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CE的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点D，F，则线段B′F的长为( )A. B. C. D.10、在矩形中，，，AC是对角线，点E在线段BC 上，连结AE，将沿AE翻折，使得点B的对应点F恰好落在AC上，点G 在射线CD上，连接EG，将沿EG翻折，使得点C的对应点H恰好落在EF所在直线，则线段EG的长度为（）A. B. C. D.11、如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，EF//BC交AC，CF于M，F，若EM=3，则CE2+CF2的值为( )A.36B.9C.6D.1812、下列说法正确的是（）A.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B.面积相等的两个三角形一定全等C.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于”的第一步是“假设三角形中三个角都大于” D.反比例函数中函数值随自变量的增大一定而减小13、如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为（）A.10cmB.13cmC.15cmD.24cm14、长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，5，7C.1，，3D.1，，15、如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A.45mB.40mC.50mD.56m二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有________个．17、如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为________.18、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=________．19、如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是________.20、如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为________．21、在中，，，，把绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点、，如果恰好经过点A，那么点A与点的距离为________22、用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是不正确的，这组值可以是a=________，b=________．23、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是________．（结果保留根号）24、如图，点D是等边△ABC内一点，DA=8，BD=10，CD=6，则∠ADC的度数是________．25、用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中________.“两直线平行，内错角相等”的逆命题是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．28、小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？29、如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积．30、如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A3、B4、A5、C6、D7、A8、C9、B10、B11、A12、C13、B14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。

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