运筹学大M法和两阶段法

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《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法

大M法的优势与局限性
优势
大M法能够处理大规模的整数规划问题，且计算过程相对简单，容易实现。
局限性
大M法只能求得问题的近似解，而非最优解，且当M值选取不合适时，可能导致求解结果偏离最优解较远。同时，对于一些特殊问题，如非线性、非凸等问题，大M法可能无法得到满意的结果。
04
大M法实施步骤
确定问题与目标
局限性
两阶段法需要花费更多的计算时间和资源，因为需要进行多次迭代和优化。此外，两阶段法对于初始解的选择比较敏感，如果初始解不好，可能会导致算法陷入局部最优解，而非全局最优解。
02
两阶段法实施步骤
阶段一：问题建模与求解
80%
确定问题目标
明确问题的目标，并将其转化为可量化的数学模型。
100%
建立数学模型
两阶段法案例
总结词
两阶段法是一种常见的求解线性规划问题的方法，通过将问题分解为两个阶段进行求解，可以找到最优解。
详细描述
在第一阶段，两阶段法首先确定一个初始解，然后通过迭代不断改进这个解，直到满足一定的收敛条件。在第二阶段，两阶段法使用一种称为对偶单纯形法的方法来求解子问
题，最终得到最优解。
大M法案例
输出求解结果，包括最优解、最优值等。
分析结果与决策
结果分析
对求解结果进行分析，包括最优解的合理性、最优值的可行性等。
制定决策方案
根据分析结果，制定相应的决策方案，包括最优解的实施方案、次优解的备选方案等。
方案评估与选择
对制定的决策方案进行评估和选择，确保方案符合实际需求和可行性。
05
案例分析
《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法
目
CONTENCT

大M法和两阶段法

1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
-1
3 2 5M-3 0 1 0 -2 0 1 0 -2
2
-7 -1 -8M+5 -1/3 -7/3 (11/3) 11/3M+7/3 0 0 1 0
-1
（3） 2 5M-1 0 1 0 0 0 (1) 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0 0 0 1 0 → 2/3 5/2 →
→
两阶段法
第一阶段：引入辅助问题
max S x5 x6 x7 s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3 x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2, ,7
Cj 段 ↓ -1 1
→ 基 x5
0 b 2
0 P1 （1）
0 P2 -1
0 P3 2
0 P4 -1
-1 P5 1
-1 P6 0
-1 Qi P7 0 2 → 注
-1
-1 Cj-Zj 0
x6
x7 → x1 x6 x7 → x1 x4
6
7 15 2 2 5 7 8/3 2/3
2
1 4 1 0 0 0 1 0
大M法

引入人工变量x5，x6，x7，将原问题化为
max F 2 x1 x 2 x3 x 4 M ( x5 x6 x7 ) s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2,,7
Cj-Zj 0

线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况

进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
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School of Business ECUST
单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2

运筹学第1章-线性规划

凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
下一页返回
图解法步骤：
（1）建立坐标系；（2）将约束条件在图上表示；（3）确立满足约束条件的解的范围；（4）绘制出目标函数的图形（5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部卖出。
下一页返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。

线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况课件

0 1 001 -1 2+2M -M -M 0
00 00
3 3/1
2 0 -1 1 0 1 -1
1 1/2
-1 1 0 -1 0 0 1
1
-
1 0 0 1 1 0 -1
2 2/1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
-Mx7
-Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50
(1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80
(2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
max z= 4x1 +2x2 -3x3 +5x4
s.t.
2x1 -x2 + x3 +2x4 －x5
=50 (1)
3x1
-x3 +2x4
+x6 = 80 (2)
x1 +x2
+x4
x1, x2, x3, x4, x5,

线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况

x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1Hale Waihona Puke -x2+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50 (1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80 (2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60 (3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
4 2 -3 5
0
0 MM
CB XB
[ x1]
x2
x3
x4
x5
x6 x7 x8 b
M [ x7]
2
-1
1
2
-1 0 1 0 50
0 x6
3 0 -1 2
0
1 0 0 80
M x8
1 10
1
0
0 0 1 60
1 0 0 1 1 0 -1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M

运筹学大M法和两阶段法

0
0
0
-1
0
0
1
0
-3
0
x5
12
3
0
0
-2
1
2
-5
30
x2
1
0
1
0
-1
0
1
-2
0
x3
1
-2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj
→
0
0
0
0
0
0
-1
-1
结论
▪ 此时，目标函数已得最优值，人工变量均为0。转入第二阶段。
第二阶段
▪ 求原问题最优值。目标函数为原问题的目标函数，单纯形表初始表为第一阶段最后一段的元素值，但应去掉人工变量所在列。
↓
0
1
-M
-M
Cj-Zj
0
2
-M
-1
Cj-Zj
0
3
-1
-1
Cj-Zj 3
4
-1
-1
Cj-Zj
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M
Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
3/2
x7
1
-2
0
（1）
0
0
0
1
1→
→
4M -6M+3 M-1 3M-1

运筹学论文

1.线性规划1.1图解法1.1.1解题步骤1.图解法步骤2.建立坐标系3.找出可行域4.绘出目标函数图形5.求出最优解1.2单纯形法1.2.1 解题思想：保持最优性不断改善解的可行性1.2.2 解题步骤1.找到初始可行解确定基变量，没有合适的基变量时，引入人工变量。

2.列出单纯型表，通过检验系数σ=Cj-C B B-Pj 确定进基变量，通过θ=B-b-B-a 确定出基变量，不断迭代达到最优解。

3.判断标准：在Max的条件下，σ全部小于0时，停止迭代，达到最优解。

1.2.3 解的几种情况在终表上的体现1.唯一最优解：终表上所有非基检验数均小于0。

2.多重最优解（无穷）：终表上存在非基检验数等于0，通过终表可以写出一个最优解X* Max Z。

3.无界解：终表上，存在正检验数相应的系数列中的所有系数均为非正（两出基θ均小于0）。

4.无解（只出现在使用人工变量的情况下）Ⅰ.大M法：最优解有X人工（X人工不等于0）.Ⅱ.两阶段法：Minω不等于0，无解。

1.3对偶单纯形法1.3.1 解题思想：保证最优性，改善可行性1.3.2 解题步骤1.前提：保障最优性：σ=c j-z j=c j-C B B-1≤0。

2.检查可行性：检查B-1b（常数项），若非负，则得到最优解，若还有负数，则开始下一步。

3.判断出基变量：找出B-1b中负数最小值，min（B-1b I B-1b＜0），这个数所在对应变量Xi就是出基变量。

4.判断进基变量：看出基变量Xi所在行的每一个系数aij，若aij≥0，则无可行解，若存在aij＜0，则计算θ=min（（σ/aij）I aij＜0）.5.主元迭代（初等行变换），直到B-1b≥0时结束。

2.对偶问题2.1对偶问题的一般性质1.对偶性：对偶问题的对偶问题是原问题。

2.弱对偶性：若拔X是原问题的可行解，则拔Y是对偶问题的可行解，cX≤Yb（出让价格大于盈利）。

3.无界性:若原问题（对偶）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。

管理运筹学(第四版)第二章习题答案

第二章补充作业习题：用大M 法和两阶段法求解下面LP 问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≥-+=0,3232s.t.42min 21212121x x x x x x x x z解：标准化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-=----=0,,,3232s.t.42max 432142132121x x x x x x x x x x x x z（1）大M 法引入人工变量65,x x ，得到下面的LP 问题⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+-+-=+------=6,,1,03232s.t.42max 642153216521 j x x x x x x x x x Mx Mx x x z j因为人工变量6x 为4>0，所以原问题没有可行解。

（2）两阶段法：增加人工变量65,x x ，得到辅助LP 问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+-+-=+----=6,,1,03232s.t.max 6421532165 j x x x x x x x x x x x g j初始表因为辅助LP 问题的最优值为4>0，所以原问题没有可行解。

习2.1 解：设1x 为每天生产甲产品的数量，2x 为每天生产乙产品的数量，则数学模型为,5183202..200300max 211212121≥≤≤+≤++=x x x x x x x t s x x z最优解为：()TX 4.8,2.3*=，最优值为：z = 2640。

（1）最优解为：()TX 5.0,5.1*=，最优值为：z = 4.5。

（2）无可行解有无穷多最优解，其中一个为：TX⎪⎭⎫⎝⎛=0,310*1，另一个为：()TX10,0*2=，最优值为：z = 20。

（4）无界解解：A B 资源限额会议室 1 1 5 桌子 3 2 12 货架 3 6 18 工资2522设1x 为雇佣A 的天数，2x 为雇佣B 的天数，则数学模型为,186312235..2225min 2121212121≥≥+≥+≥++=x x x x x x x x t s x x z最优解为：()TX3,2*=，最优值为：z = 116。

人工变量法和两阶段法

x1 , x2 0
1 1 A 5 2
2 6
90 b 490
240
C 6 8
它的对偶问题是：
这里Y y1, y2, y3
minW Y 90 490 240T
minW 90 y1 490 y2 240 y3
在单纯形迭代过程中，要求人工变量逐步从基变量被替换出，变为非基变量，最后，基变量中不含有人工变量。
为使人工变量被替换出成为非基变量，有 1.大M法 2.两阶段法
1.大M法：在目标函数求最大值的线性规划问题中，设人工变量在目标函数中的系数为-M，M为任意大的正数。只要人工变量不为零，目标函数最大值就是一个任意小的数。
s.t .
y1 4 y2
2
2 y1
4 y3 3
y1 , y2 , y3 0
4.2.2 一般形式的线性规划模型与对偶模型之间的关系对于非对称形式的线性规划模型如何写出其对
偶模型？其思路是首先将非对称形式转换为对称形式，然
后再按照对应关系写出其对偶模型。
原问题求极小------ min Z maxZ
x1 x1

a22 x2 a32 x2

a23 x3 a33 x3

b2 b3
x1 0, x2 0, x3无约束
（4 9）
原问题约束方程有“=”，如何转化？
（1）将约束条件2的等式约束转化为两个不等式约束
a21 x1

a22 x2

a23 x3

b2

a210，x3

0，x3

0
对称形式线性规划模型的对

单纯形法、大M法、两阶段法

缺点
对于一些问题，大M法可能无法得到精确解，且需要人工选择足够大的M值，容易造成误差。
04 两阶段法
两阶段法的原理
01
两阶段法是一种求解线性规划问题的迭代算法，它将问题分解为两个阶段进行求解。
02
第一阶段是预处理阶段，通过引入松弛变量和剩余变量，将原问题转化为标准形式。
03
第二阶段是求解标准形式的问题，通过迭代更新变量的值，直到找到最优解或满足终止条件。
04
约束条件是决策变量必须满足的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
02 单纯形法
单纯形法的原理
线性规划问题是在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法。
03 大M法
大M法的原理
大M法是一种求解线性规划问题的近似算法，其基本思想是通过引入一个足够大的常数M，将原问题转化为一个易于求解的近似问题。
在大M法中，将约束条件中的“≤”或“≥”替换为“=”，并引入一个新变量，使得近似问题在某种意义下逼近原问题。
大M法的步骤
1. 确定原问题的约束条件和目标函数。
线性规划的应用场景
生产计划
01
在制造业中，线性规划可以用于制定生产计划，优化资源配置，
提高生产效率。
物流优化
02
在物流领域，线性规划可以用于优化运输路线、仓储布局和配
送方案，降低成本。
金融投资
03
在金融领域，线性规划可以用于投资组合优化，帮助投资者在

9_大M与两阶段法

Case 2: Functional Constraints in >= Form (P129-131)

To illustrate how the artificial-variable technique deals with functional constraints in >= form, we will use the model for designing Mary's radiation therapy, as presented in Sec. 3.4. For your convenience, this model is repeated right, where we have placed a box around the constraint of special interest here.

After a slack variable x3 is introduced into the first constraint, an artificial variable x4 is introduced into the second constraint, and the Big M method is applied, so the complete artificial problem (in augmented form) is
4.6 Big-M Method and Two-Phase Method
We have presented the details of the simplex method under the assumptions that the problem is in our standard form (maximize Z subject to functional constraints in ≤ form and nonnegativity constraints on all variables) and that bi ≥ 0 for all i = 1, 2 .... , m. In this section we point out how to make the adjustments required for other legitimate forms of the linear programming model.

运筹学及其应用3.3 大M法和两阶段法

6
1 1 1 1 0 0 0 4
T
=

−2 0 0
1 3 0
−1 1 0
0 0 0
−1 0 0
1 0 1
0 1 1
1 09
1 1 1 1 0 0 0 4
→

−2 0 2
1 3 −1
−1 1 1
0 0 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 1
1 −91
1
v 两阶段法的第一阶段求解一个目标中只包含人工变量的LP问题，即令目标函数中其它变量的系数取零，人工变量的系数取某个正的常数（一般取 1），在保持原问题约束不变的情况下求这个目标函数极小化的解。
v 显然在第一阶段中，当人工变量取值为0时，目标函数值也为0。这时候的最优解就是原问题的一个基可行解。如果第一阶段求解结果最优解的目标函数值不为0，也即最优解的基变量中含有非零的人工变量，表明原LP问题无可行解。
5
例：
min Z = 3x1 + 0x2 − x3 + 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7
第1阶段：
min ω = x6 + x7

x1 −2 x1

+ x2 + x3 + x2 − x3 3 x2 + x3
+ x4
− x5 + x6
+ x7
=4 =1 =9
x1~5
≥0
对单纯形矩阵作初等行变换，有：
1 0 0
0 1 0
0 0 0
−1/ 4 3/4 3/4
5/ 2
3 3
/ /

2最优化教案(两阶段法与大M法)

§4.2 两阶段法与大M 法————初始可行基的求法求解线性规划的步骤是： 1）已知一个初始基本可行解 2）从初始基本可行解出发，写出单纯型表，求出进基离基变量，做主元消去法，求出一个新的基本可行解且使目标函数值得到改善。

3）判断当前基本可行解是否是最优解那末，当观察不出来初始基本可行解时，怎么办？下面介绍的方法是几种求初始基本可行解的方法4.2.1 两阶段法mincxt s .b Ax =x ≥0其中A 是nm ⨯矩阵，b≥0。

若A 中有m 阶单位矩阵，则初始基本可行解立即得到。

比如，[]N I A m ,=，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0b x x x N B就是一个基本可行解。

若A 中不包含m阶单位矩阵，就需要用某种方法求出一个基本可行解。

介绍两阶段法之前，先引入人工变量的概念。

设A 中不包含m阶单位矩阵，为使约束方程的系数矩阵中含有m阶单位矩阵，把每个方程增加一个非负变量，令b x Ax a =+ （4.2.2）x ≥0 ，a x ≥0即bx x I A a m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),( （4.2.3）x ≥0 ，ax≥0显然，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b x x a 0是4:2:3的一个基本可行解.向量x ®¸0是人为引入的，它的每个分量成为人工变量。

人变量与前面介绍过的松弛变量是两个不同的概念。

松弛变量的作用是把不等式约束改写成等式约束，改写前后的两个问题是等价的。

因此，松弛变量是“合法”的变量。

而人工变量的引入，改变了原来的约束条件从这个意义上讲，它们是“不合法”的变量。

第一阶段是用单纯形方法消去人工变量（如果可能的话）：min a Tx es:t A x +x ®=b (4:2:1) x ¸0;x ®¸0其中e =(1;1;1;¢¢¢;1)T 是分量全是1的m 维列向量，x ®=(x n+1;¢¢¢;x n+m )T 是人工变量构成的m 维列向量。

EX3_解答_大M法和两阶段法

第三次作业解答 P49 ：10—(2),(3)小题10）用大M 法和两阶段法分别求解下列两个线性规划问题1+2x 2-x 1 +2x 2 ≥ 2x 1 ≤ 3x 1, x 2 ≥ 0[x 5后，线性规划模型如下：M ax Z’=-x 1-2x 2-Mx 5-x 1+2x 2 -x 3 +x 5 = 2x 1 +x 4 = 3x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0C B X B θj-M 0 x 5 x 4 2/2 -Z ’ -2 0 x 2 x 4 -Z ’max 最优解X * =（0, 1, 0, 3）T ，最优值为Z min =2。

用两阶段法求解如下：第一阶段：标准化并引入人工变量x 5，对人工变量进行优化线性规划模型如下：5-x 1+2x 2 -x 3 +x 5 = 2x 1 +x 4 = 3x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0 C BX Bθj-1 0 x 5 x 4 2/2 -W 0 0 x 2 x 4 -Z ’由于人工变量x 5=0，故可以划去该列，以x 2， x 4为基变量进行第二阶段的计算。

第二阶段：M ax Z’=-x 1-2x 2-1/2x1+x 2-1/2x 3= 1x 1 +x 4 = 3x 1, x 2, x 3, x 4≥ 0由于上表中所有非基变量的检验数小于等于0，因此，原问题已经达到最优解，即X * =（0, 1, 0, 3）T ，最优值为Z min =2。

（2）Max Z=x 1+2x 2+3x 3-x 4x 1+2x 2+3x 3 = 15 2x 1+x 2+5x 3 = 20x 1 +2x 2+x 3+x 4 = 10x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0[解] 首先，标准化并引入人工变量x 5, x 6后,线性规划如下：（1）Max Z=x 1+2x 2+3x 3-x 4-Mx 5-Mx 6x 1+2x 2+3x 3+x 5 = 15 2x 1+x 2+5x 3+x 6 = 20x 1 +2x 2+x 3+x 4 = 10 x 1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0 C B X Bθj-M -M -1 x 5 x 6 x 4 15/3 20/5 10/1 -Z -M 3 -1 x 5 x 3 x 4 15/7 20/1 30/9 -Z2 3 -1 x 2 x 3 x 425/3 15/6 -Z 2 3 1 x 2 x 3 x 1 -Zmax 。

单纯形法、大M法、两阶段法

cB
x
B
+cN
x
N
cB (B-1b-B-1Nx N )+cN x N
cBB-1b－(cBB-1N－cN )x N z0 +(cN cBB-1N)x N
z0 + (cj cBB-1Pj)x j, R 非基变量下标集 jR
记 N cN cBB-1N 即 j cj cBB-1Pj，j R
➢对于约束条件是“≤”形式的不等式，引入松弛变量将其转换为标准型，再将系数矩阵中松弛变量对应的单位矩阵取为初始可行基。
➢对于约束条件是“≥”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，可采用人工变量，即对不等式约束就减去一个非负的剩余变量后，再加入一个非负的人工变量；对等式约束再加入一个非负的人工变量，总可得到一个单位矩阵作为初始可行基。
步3. 解ak=B-1Pk，若ak≤0，停止,不存在有限最优解. 否则转
步4.计算
r＝min{abiik
| aik
0}

br ark
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B
步5.以ark为主元素进行迭代.转步2
新可行解：x=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…， 0,xk,0,…，0)
；若aik>0,为保证可行性，即xBi=bi-aikxk≥0，应取
令r
=
min{
bi aik
| aik
0}
br ark
注意：xBr=0
xk

bi aik
重复上述过程，直至所有的σj均≥0，得到最优解。
总结计算步骤：给定初始基
步1.令xN=0,，xB=B-1b=b，z0=cBxB ；

线性规划大M法或两阶段法

两阶段法
阶段Ⅰ 求解人造极大问题（先将线性规划问题化标准型，并将其约束条件中加入人工变量，得第一阶段的数学模型）
max w = -xn+1 -xn+2 - … -xn+m 或者 min w = xn+1 +xn+2 + … +xn+m
s.t. ( 2.1 )
人工变量的系数均为1或-1
因为人工变量

2x2

x
－
3
M
x
6

Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4

x
1

x2

2x3

x5

10

2
x
1

2x2

x3

x7

1
x j 0, j 1,2,,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
x1， x2， x3 ， x4， x5 ≥ 0
一、大M法
cj 基解
-M -M
xx45
6 4
3 -1
x1
x2
-2
x3
-M
x4
-M
x5
比值
3 2 -3 1 0 2 min
1 -2 1 0 1 4
10M 3+4M -1 -2+2M 0
0
3 x1 2 1 2/3 -1 1/3 0 -M x5 2 0 -8/3 22 -1/3 1
000Fra bibliotek-M0