泰州市姜堰区九年级上期末考试数学试题有答案
2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区九年级上学期数学期末试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年江苏省泰州市姜堰区九年级上学期数学期末试题及答案第一部分 选择题（共18分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母m 的概率为( ) A.B.C.D.161415211【答案】D 【解析】【分析】“mathematics”中共11个字母，字母m 有2个，根据概率公式可得答案． 【详解】解：∵单词“mathematics”，共11个字母，字母m 有2个， ∴抽中字母m 的概率为， 211故选：D ．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2. 的半径为3，若点P 在内，则的长可能为( ) O O OP A. 2 B. 3C. 4D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】【分析】当的半径是R ，点P 到圆心O 的距离是d ，当时，点P 在上，当O d R =O 时，点P 在内，当时，点P 在外，根据以上内容判断即可．d R <O d R >O 【详解】∵点P 在内，的半径为5， O O ∴，3OP <A 、，故本选项正确；23<B 、，此时P 在圆上，故本选项错误； 33=C 、，此时P 在圆外，故本选项错误； 43>D 、以上都有可能，不对，故本选项错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，注意：点P 和圆O 有三种位置关系：当的半O径是R ，点P 到圆心O 的距离是d ，①当时，点P 在上，②当时，点P 在d R =O d R <内，③当时，点P 在外．O d R >O 3. 将关于x 的函数的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是(()20y ax bx c a =++≠)A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. 与y 轴的交点不变D. 自变量x 的取值范围不变【答案】C 【解析】【分析】二次函数的图像向下平移两个单位时，函数解析式变为()20y ax bx c a =++≠，图像开口方向不变，但顶点坐标、与坐标轴的交点均发生变化．【详解】解：将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称()20y ax bx c a =++≠轴不变、自变量x 的取值范围不变，与y 轴的交点改变，故选项C 符合条件，选项A 、B 、D 均不符合条件， 故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图像，解题的关键是熟知二次函数图像平移的特点．4. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( )A. 平均数不变，方差变小B. 平均数不变，方差变大C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大【答案】B 【解析】【分析】分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可．【详解】解：换人前平均身高为：，()173176176178179176.4cm 5++++=换人后平均身高为：，()172176176178180176.4cm 5++++=换人前的方差为：，()()()()2222211173176.42176176.4178176.4179176.4 4.245S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦换人前的方差为：，()()()()2222221172176.42176176.4178176.4180176.47.045S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦∵，， 176.4176.4= 4.247.04<∴平均数不变，方差变大，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了方差和平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n 个数据，，，…的平均数为，则方差1x 2x n x x ． ()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦5. 如图，用一张矩形纸片覆盖等边，且，若边被、DEFG ABC ∥DG BC AB DG EF 三等分，则被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的( )ABCA. B.C.D.12131449【答案】A 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得出，，进而得出，AM 1AB 3=23AN AB =19AML ABC S S = ，设，则，，得出49ANK ABC S S = 9ABC S a = AML S a = 4ANK S a = 43MNKL S a a a =-=四边形，未被覆盖的面积为：，再求解即可． 936a a a -=【详解】解：∵，边被、三等分， ∥DG BC AB DG EF ∴ ~~AML ANK ABC ANK ，∴，， AM 1AB 3=23AN AB =∴，， 19AML ABC S S = 49ANK ABC S S = 设，9ABC S a = 则，， AML S a = 4ANK S a = ∴， 43MNKL S a a a =-=四边形∴未被覆盖的面积为：，936a a a -=被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积ABC 3162MNKL ABC S S == 四边形故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．6. 如图，在中，，点D 、E 分别在上，交于F ，若ABC 90C ∠=︒BC AC 、AD BE 、，，则的值为( )BD CD CE ==AF DF =tan ABC ∠A. B.C.D.12233445【答案】C 【解析】【分析】如图，过作，交的延长线于，证明，A AG BC BE G ()AAS AGF DBF ≌则，证明，则，解得，12AG BD BC ==AEG CEB ∽12AE AG CE BC ==12AE CE =，根据，计算求解即可．32AC CE =tanACABC BC∠=【详解】解：如图，过作，交的延长线于，A AG BC BE G∴， G DBF ∠=∠在和中，AGF DBF ∵， G DBF AFG DFB AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴， ()AAS AGF DBF ≌∴， 12AG BD BC ==∵，， G CBE ∠=∠AEG CEB ∠=∠∴， AEG CEB ∽∴，解得， 12AE AG CE BC ==12AE CE =∴， 32AC CE =∴， 332tan 24CEAC ABC BC CE ∠===故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第二部分 非选择题（共132分）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 若锐角α满足sinα=，则∠α的度数是_____．12【答案】30°##30度 【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由锐角α满足sinα=， 12则∠α的度数是30°． 故答案为30°．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．8. 二次函数，当时，随的增大而______．（填“增大”或“减小”）． 22y x x =-1x >y x 【答案】增大 【解析】【分析】根据函数解析式求得对称轴为直线，抛物线开口向上，根据二次函数图象的1x =性质即可求解．【详解】解：∵二次函数， ()22211y x x x =-=--∴对称轴为直线，抛物线开口向上， 1x =∴当时，随的增大而增大， 1x >y x 故答案为：增大．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9. 若a ，b 是方程的两根，则______． 260x x +-=22a b +=【答案】 2-【解析】【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，进1x 2x 20ax bx c ++=1212·b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩行求解即可．【详解】解：由韦达定理得： ，1a b +=-22a b ∴+()2a b =+．2=-故答案：．2-【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．10. 在阳光下，身高为m 的小强在地面上的影长为m ，同一时刻，测得附近一座建筑1.62物的影长为m ，则这座建筑物的高度为______m ． 20【答案】16 【解析】【分析】设建筑物的高度为，根据同时同地物高与影长成正比列方程求解即可． m x 【详解】解：设建筑物的高度为， m x 由题意得，， 1.6202x =解得，16x =∴这座建筑物的高度为， 16m 故答案为：16．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握同时同地物高与影长成正比．11. 已知关于x 的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常2y x c =-+数c 的值为______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】【分析】根据二次函数图像的特点解答即可．【详解】解：∵关于x 的二次函数的图像不经过第一、二象限 2y x c =-+∴，0c ≤故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，根据二次函数解析式的系数确定图像位置是解答本题的关键．12. 如图，四边形内接于，若，，则ABCD O 80A ∠=︒120BOC ∠=︒OCD ∠=______．︒【答案】70 【解析】【分析】如图，连接，由圆周角定理得，，AC OD ，1602BAC AOB ∠=∠=︒，则，，由，则2COD CAD ∠=∠20CAD ∠=︒40COD ∠=︒OC OD =，计算求解即可．1802CODOCD ODC ︒-∠∠=∠=【详解】解：如图，连接，AC OD ，由圆周角定理得，，， 1602BAC AOB ∠=∠=︒2COD CAD ∠=∠∴， 20CAD BAD BAC ∠=∠-∠=︒∴， 40COD ∠=︒∵， OC OD =∴，180702CODOCD ODC ︒-∠∠=∠==︒故答案为：70．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．13. 如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，以点O 为位似中心，把xOy 按相似比缩小，得到．若点A 的坐标为，则第一象限内点C 的坐OAB 1:3OCD ()6,3标为______．【答案】 ()2,1【解析】【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：是以点O 为位似中心，且与的相似比为的位似图形， OCD OAB 13∵点A 的坐标为，()6,3∴点C 的坐标为 或116,333⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭116,333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即点C 的坐标为或， ()2,1()2,1--∴第一象限内点C 的坐标为； ()2,1故答案为：．()2,1【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或，熟记位似变k -换的性质是解题的关键．14. 若，则的最大值为______． 2x y +=1xy +【答案】2 【解析】【分析】根据题意可得，代入可得，根据二次函数的性质即2x y =-()2112xy y +=--+可得出答案．【详解】解：∵， 2x y +=∴，2x y =-∴， ()()221212112xy y y y y y +=-+=-++=--+∴当时，的最大值为2， 1y =1xy +故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．15. 公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O 作，交于点C ，以C 为圆心，AB O OC AB ⊥O 为半径作，若，则______．CA AB 24cm S =阴ABC S = 2cm【答案】4 【解析】【分析】设的半径为，则，根据O r AC ==，即，求，然后代()2OABC ACB S S S S =-- 阴影扇形22422r r r π⎫⨯⎪--=⎪⎪⎝⎭2r 入求面积即可．【详解】解：由题意知，，设的半径为，则90ACB ∠=︒O r AC ==， ∴，即， ()2OABC ACB S S S S =-- 阴影扇形22422r r r π⎫⨯⎪--=⎪⎪⎝⎭解得，24r =∴， 242ABC r r S ⨯== 故答案为：4．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积．16. 如图，中，，，，P 是上方一动点，射线ABC 4AB =2BC =60ABC ∠=︒AB ，连接交的外接圆于点D，则的最小值为______．AP BC ∥BP APC △AD##11-【解析】【分析】连接，取中点M ，连接，，中，根据CD BC AM DM ABC ，，可得，即可得是直角三1cos cos 602ABC ∠=︒=12BC AB =cos BC ABC AB∠=ABC 角形，且，再根据，可得，进而得90ACB ∠=︒AP BC ∥90CAP ACB ∠=∠=︒，即有点D 在以为直径的圆上，即点M 为该圆圆心，18090BDC CDP ∠=︒-∠=︒BC 结合图形有，当且仅当A 、M 、D 三点共线时取等号，即当A 、M 、D 三点AD AM MD ≥-共线时，有最小值，最小值为：，问题随之得解．AD AD AM MD =-【详解】解：连接，取中点M ，连接，，如图，CD BC AM DM∵中，，，，ABC 4AB =2BC =60ABC ∠=︒∴，， 1cos cos 602ABC ∠=︒=12BC AB =∴， cos BC ABC AB∠=∴是直角三角形，且， ABC 90ACB ∠=︒∴AC ==∵，AP BC ∥∴，90CAP ACB ∠=∠=︒∴，90CDP CAP ∠=∠=︒∴，18090BDC CDP ∠=︒-∠=︒∴点D 在以为直径的圆上，即点M 为该圆圆心，BC ∵如图，，当且仅当A 、M 、D 三点共线时取等号，AD AM MD ≥-∴当A 、M 、D 三点共线时，有最小值，最小值为：，AD AD AM MD =-∵中，， AMC AC =112MC BC ==∴AM ==∵，1MD MC ==∴，1AD AM MD =-=-即， AD 1-．1-【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是直角三角形，点D 在以为直径的圆上，是解答本题的关键．ABC BC 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或解方程：（1）； ()02cos301π︒+-（2）．2230x x +-=【答案】（1）1+（2），13x =-21x =【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质计算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【小问1详解】解： ()02cos301π︒+-+21=+；1=+【小问2详解】解：，2230x x +-=()()310x x +-=，．13x =-21x =【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．18. 近年来，随着电商的高速发展，越来越多的消费者投入到“网购”的热潮当中，下图是年双十一成交总额统计图及2022年双十一前十品类成交总额统计图．20162022-（1）年期间，较前一年，成交总额增长最多的是______年，2022年双十一20162022-前十品类成交总额的中位数是______；（2）根据图2中数据，要清楚地反映各品类销售占比，适合的统计图是______；A ．条形统计图B ．折线统计图C ．扇形统计图（3）请结合图中数据，对电商的发展作出分析．【答案】（1）2020；594（2）C （3）近年来电商发展迅速，越来越多的人热衷于网购等（答案不唯一）【解析】【分析】（1）结合条形图可知年、年两年的增长相比于前一年均增长超过20192020亿，即算出相应的增长量，比较即可；根据图2，结合中位数即可作答；2000（2）根据各类统计图的特点即可作答；（3）根据两幅条形图的特点作答即可．【小问1详解】结合条形图可知：年、年两年的增长相比于前一年均增长超过亿， 2019202020002019年，（亿）；60003653.22346.8-=2020年，（亿）；860060002600-=∵，2346.82600<∴较前一年，成交总额增长最多的是2020年；根据条形图中的数据，从右往左一次增大，这10个数据中，排在第5和第6的数据分别为：，，542646即中位数为：， 5426465942+=故答案为：2020，594；【小问2详解】扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小．条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别．折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．故选：C ；【小问3详解】根据两幅条形图的特点，可知：近年来电商发展迅速，越来越多的人热衷于网购，家用电器、手机数码、服装是电商销售的三大领域等（结合图形作答即可）．【点睛】本题考查了条形统计图、中位数以及统计图的选择等知识，掌握相应的考点知识，注意数形结合的思想，是解答本题的关键．19. 甲、乙两人到古镇溱潼旅游，准备从溱湖湿地公园（用S 表示）、溱湖海洋馆（用H 表示）、溱湖动物园（用D 表示）和溱潼千年茶花（用C 表示）这4个景点中随机选择1个景点游览．（1）甲选择的景点是溱湖湿地公园的概率是______；（2）用树状图或者列表法求甲、乙两人选择的景点恰好相同的概率．【答案】（1） 14（2） 14【解析】【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）先根据题意画出树状图，然后再用概率公式进行运算即可．【小问1详解】 解：甲选择的景点是溱湖湿地公园的概率是． 14故答案为：． 14【小问2详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：∵共有16种等可能的情况，甲、乙两人选择的景点恰好相同的有4种情况， ∴甲、乙两人选择的景点恰好相同的概率为． 41164=【点睛】本题主要考查了根据概率公式进行运算，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图．20. 如图，点D 、E 为外两点，给出下列信息：①；②ABC BAD CAE ∠=∠；③．ADB AEC ∠=∠ABC ADE ∠=∠请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号）【答案】见详解【解析】【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可．【详解】（1）条件：①②，结论③；（2）条件：①③，结论②；（3）条件：②③，结论①；以上三个命题均是真命题．选择（1）进行证明，证明：，，ADB AEC ∠=∠ BAD CAE ∠=∠，ADB AEC ∴∽ ， AB AD AC AE ∴=， AB AC AD AE∴=，BAD CAE ∠=∠ ，BAD DAC CAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，BAC DAE ∴∠=∠，ABC ADE ∴∽△△．ABC ADE ∴∠=∠【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键．21. 苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为24m ，拱高14.4m ，每隔3m 有一根立柱．（1）该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；（2）求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．【答案】（1）(答案不唯一) 2110y x =-（2）75.6m【解析】【分析】（1）根据构建平面直角坐标系时，尽量使得抛物线的解析式比较简单的原则，可以的类型即可求解；2y ax =（2）由（1）可根据抛物线的解析式求每根柱子的长，从而可求．【小问1详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则有，()12,14.4A -设抛物线解析式为，2y ax =21214.4a ∴⨯=-解得：， 110a =-． 2110y x ∴=-【小问2详解】解：当时，3x =， 2130.910y =-⨯=-当时， 6x =， 216 3.610y =-⨯=-当时， 9x =， 2198.110y =-⨯=-()()()214.40.914.4 3.614.48.114.4-+-+-+⎡⎤⎣⎦．()75.6m =答：这七根立柱共需要的不锈钢管．75.6m 【点睛】本题考查了构建平面直角坐标系，二次函数的实际应用，掌握构建平面直角坐标系及理解二次函数中的自变量和因变量的实际意义是解题的关键．22. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部N 沿人行道垂直方向拉一皮卷尺到B MN 处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置，使得小明能在镜中看到两灯全貌，BN 其视线如图所示，图中标注字母的点均在同一平面内，D 、P 、F 三点共线，且EP MN⊥，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，FM MN ⊥ 1.5m AB = 1.2m BC =0.3m CD =，．10m DN =3m MF =（1）灯杆的高度：MN （2）求长．EP 【答案】（1）13m MN =（2）2.3m EP =【解析】【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，即可求解；()AA PMF PND ∼PMF △（2）过点E 作，根据即可求出答案．EG CN ⊥()AA ABC EGC ∠∠∼【小问1详解】解：由题意可得：，()AA PMF PND ∼∴， MF MP DN NP=∵，，，1.5m AB = 1.2m BC =0.3m CD =∴，45ADB ∠=︒∴，45PDN ∠=︒∴是等腰直角三角形，DNP ∴是等腰直角三角形，PMF △∵，，10m DN =3m MF =∴，，10m NP =3m MP =∴m ；+3+1013MN MP PN ===【小问2详解】解：过点E 作，如图所示，EG CN ⊥∵，，+90BAC ACB ∠∠︒=+90ECG ACB ∠∠︒=∴，BAC ECG ∠=∠∴，()AA ABC EGC ∠∠∼∴， AB BC EG CG=∵，，1.5m AB = 1.2m BC =10m EG NP ==即， 1.5 1.210CG=解得：m ，8CG =∴m ，10.38 2.3GN CN CG --===∴m ；2.3EP GN ==【点睛】本题考查了相似三角形，灵活运用所学知识是解题关键．23. 如图，在中，，以AB 为直径作，交BC 于点D ，过点D 作ABC AB AC =O ，垂足为E ． DE AC ⊥（1）求证：是的切线；DE O （2）若，，求DE 的长． 8AB =1sin 4EDC ∠=【答案】（1）见解析 （2【解析】 【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到，推出，求OD C ODB ∠=∠OD AC ∥得，于是得到结论；90DEA ∠=︒（2）连接，先证明，在中求出，利用勾AD CAD ODA EDC ∠=∠=∠Rt ACD △AC 股定理求出，再在在中即可求出的长．AD Rt AED △DE 【小问1详解】连接 ，OD ∵，AB AC =∴，B C ∠=∠∵，OB OD =∴，B ODB ∠=∠∴，C ODB ∠=∠∴，OD AC ∥∵，DE AC ⊥∴，90DEA ∠=︒∴．90ODE DEA ∠=∠=︒又∵ 是 的半径，OD O ∴是 的切线；DE O【小问2详解】 连接．AD ∵为的直径，AB O ∴，90ADB ADC ∠=∠=︒∴．90EDC ADE ∠+∠=︒∵，90ODA ADE ∠+∠=︒∴，ODA EDC ∠=∠∵，OD AC ∥∴．CAD ODA EDC ∠=∠=∠在中， Rt ACD △∵， 1sin 4EDC ∠=∴， 1sin 4CD CAD AC ∠==∵，8AB =∴，8AC =∴， 148CD =∴，2CD =∴．AD ==在中，Rt AED △∵， 1sin 4DE CAD AD∠==∴ 4AD DE ==【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．24. 【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P 带球沿直线接近球门，MN AB 他在哪里射门时射门角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球员P 对球门的张角时，在上取一点Q ，AB APB ∠MN 过A 、B 、Q 三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图MN MN 1，那么球员P 由M 向N 的运动过程中，的大小______：（填序号）APB ∠①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q ，那么球员P MN 运动到切点Q 时最大，如图2，试证明他们的发现．APB ∠【实际应用】如图3，某球员P 沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在AB MN MN 上找出球员P 的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹）APB ∠【答案】操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析【解析】【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D ，分别在MN ABQ 射线，射线上取一点F ，E ，连接交的外接圆于H ，连接交QM DN AF ABQ BE 的外接圆于G ，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明ABQ AG BH ，即可得到结论；ATB ASB ADB AQB >==∠∠∠∠猜想验证：如图所示，在上任取一点G （不与Q 重合），连接交的外接圆MN AG ABQ 于H ，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； BG BH ，AGB AQB <∠∠实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E ，延长交于F ，以AB CD AB EA MN 点A 为圆心，的长为半径画弧交直线于O ，以O 为圆心，以的长为半径画弧EF CD EF 交直线于P ，点P 即为所求．MN 【详解】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D ，分MN ABQ 别在射线，射线上取一点F ，E ，连接交的外接圆于H ，连接交QM DN AF ABQ BE 的外接圆于G ，连接，ABQ AG BH ，∴；AQB AHB ADB AGB ===∠∠∠∵，AHB AFB FBH =+∠∠∠∴，AQB AFB >∠∠∵，AGB AEB GAE =+∠∠∠∴；ADB AEB >∠∠在上取一点T ，连接并延长交的外接圆于S ，连接，DQ AT ABQ BS∴，ASB AQB =∠∠∵，ATB ASB TBS =+∠∠∠∴，ATB ASB ADB AQB >==∠∠∠∠∴球员P 由M 向N 的运动过程中，的大小是先变大后变小，APB ∠故答案为：③；猜想验证：如图所示，在上任取一点G （不与Q 重合），连接交的外接圆MN AG ABQ 于H ，连接，BG BH ，∴，AHB AQB =∠∠∵，AHB AGB GBH =+∠∠∠∴，即，AGB AHB <∠∠AGB AQB <∠∠∴上异于点Q 的其他所有点对的张角都小于，MN AB APB ∠AQB ∠∴球员P 运动到切点Q 时最大；APB ∠实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E ，延长交于F ，以AB CD AB EA MN 点A 为圆心，的长为半径画弧交直线于O ，以O 为圆心，以的长为半径画弧EF CD EF 交直线于P ，点P 即为所求；MN 理由如下：∵，OE AB MN AB ⊥，⊥∴，MN OE ∵，且，即是两条平行线间的距离，OP EF =EF MN ⊥EF ∴也是这两条平行线间的距离，OP∴，OP MN ⊥∴ 直线与相切，MN O ∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P 时，最大．MN O APB ∠【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．25. 如图1，P 为内一点，连接，如果与相似，那么称点P ABC PB PC ，PBC ABC 为的“黄金点”ABC（1）①等边三角形______“黄金点”（填“存在”或“不存在”）：②中，，，若点P 是的“黄金点”，则ABC 40A ∠=︒=60B ∠︒ABC P ∠=______°；（2）如图2，中，，，的中线交于点ABC 90ACB ∠=︒tan A =ABC BD CE 、P ，试说明：点P 是的“黄金点”；ABC （3）如图3，中，，，，若点P ABC 90A ABC ACB ∠<∠<∠<︒15BC =25AC =是的“黄金点”，且点P 在的平分线上，求的长．ABC ABC ∠BD PC 【答案】（1）①不存在；② 80︒（2）见解析 （3）13516【解析】 【分析】（1）①证明不可能是等边三角形，则与一定不相似，即可PBC PBC ABC 得到结论；②分三种情况讨论即可得到答案；（2）在中，，，可设,则ABC 90ACB ∠=︒tan A =,2BC AC x ==，，则，AB ==12CD AC x ==ABC BCP ∠=∠，，同时得到，则1,2DE BC DE BC =∥BD =12EP DP CP BP ==23CP CE x ==，，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，,23BP BD x ==BCP 90BPC ∠=︒得到，即可得到结论；PCB CBA ∽（3）若点P 是的“黄金点”，由（1）中②可知，则，先证明ABC PBC CAB ∽，则,得到，BCD ACB ∽△△153255BC BD CD AC AB BC ====395CD BC ==，则，，由，则25916AD AC CD =-=-=16BD =803AB =PBC CAB ∽，代入数值即可得到的长． PC BC BC AB=PC 【小问1详解】解：①∵点P 是为等边三角形内一点，ABC ∵是等边三角形，ABC ∴,60ABC ACB ∠=∠=︒∵点P 是为等边三角形内一点，ABC ∴，，PBC ABC ∠<∠PCB ACB ∠<∠即，，60PBC ∠<︒60PCB ∠<︒∴不可能是等边三角形，PBC ∴与一定不相似，PBC ABC ∴等边三角形不存在 “黄金点”，故答案为：不存在②∵在中，，，ABC 40A ∠=︒=60B ∠︒∴，=88001AC ABC ACB B ∠-︒∠=︒-∠若，PBC BCA ∽则,，60P ABC ∠=∠=︒80PBC BCA ABC ∠=∠=︒>∠∴此种情况不存在；若，PBC CBA ∽则,， 80P ACB ∠=∠=︒60PBC CBA ABC ∠=∠=︒=∠即点P 在上，AB ∴与P 为内一矛盾，ABC ∴此种情况不存在；若，PBC CAB ∽则,，80P ACB ∠=∠=︒40PBC CAB ABC ∠=∠=︒<∠，60PCB CBA ACB ∠=∠=︒<∠∴此种情况成立；综上可知，80P ∠=︒故答案为：80︒【小问2详解】在中，，，可设, ABC 90ACB ∠=︒tan A =,2BC AC x ==∴，AB ==∵的中线交于点P ，ABC BD CE 、∴，是的中位线，， 12CE BE AE AB ====DE ABC 12CD AC x ==∴，，， ABC BCP ∠=∠1,2DE BC DE BC =∥BD ==∴， 12EP DP CP BP ==∴，， 23CP CE x ==23BP BD x ==∵， 2222222CP BP x x x BC ⎫⎫+=+==⎪⎪⎪⎪⎭⎭∴是直角三角形，,BCP 90BPC ∠=︒∴，PCB CBA ∽∴点P 是的“黄金点”；ABC【小问3详解】若点P 是的“黄金点”，由（1）中②可知，则，ABC PBC CAB ∽∴，CBP A ∠=∠∵点P 在的平分线上，ABC ∠BD ∴，CBP ABD ∠=∠∴，A ABD ∠=∠∴，BD AD =∵，，CBP A ∠=∠BCD ACB ∠=∠∴，BCD ACB ∽△△∴， BC BD CD AC AB BC==∴, 153255BC BD CD AC AB BC ====∴， 395CD BC ==∴，25916AD AC CD =-=-=∴，16BD =∴， 1635AB =∴， 803AB =∵，PBC CAB ∽∴， PC BC BC AB=∴．222513580163BC PC AB ===即的长为． PC 13516【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理及其逆定理、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 【小题热身】如图1，过抛物线上一点作轴交抛物线于点B ，2y ax =()1,2A AB x 延长到点D ，使，过点D 作交抛物线于点C ，连接，求的AB 1BD =CD AD ⊥AC tan A 值．【举一反三】参加学校“举一反三”社团的小明在解答完成上述问题后，运用学到的“控制变量法研究该题，并发现：①只改变点A 在抛物线上的位置，的值不变化；②只tan A 改变a 的大小或只改变的长，的值改变．于是运用“问题一般化”的方法研究BD tan A 该题，并提出如下问题：过抛物线上一点作射线轴交抛物线于点B ，在()20y ax a =>()()2,0A m am m >AB x 射线上取一点D ，使，过点D 作交抛物线于点C ，连接，如图AB BD b =CD AD ⊥AC 1和图2，请选择图1或图2，求的值．（用含a 、b 的代数式表示）tan A 【拓展延伸】如图3，在抛物线上任取一点A ，过点A 作射线轴交()20y ax a =>AB x 抛物线于点B ，在射线上点B 的左右两侧各有一个动点D 、E ，分别过D 、E 作垂线AB AB 交抛物线于C 、F ，交于点G ，连接，则、EF AC BC BG BF DF AF 、、、、BCD △、、中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．BEG BDF V BEF △【答案】[小题热身]2；[举一反三]；[拓展延伸]与面积始终相等，证ab BDF V BEF △明见解析【解析】【分析】[小题热身]将代入求得抛物线解析式为，由抛物线的对称性可得()1,2A 22y x =，，，当，，则，根据，计()12B -，()22D -，3AD =2x =-8y =6CD =tan CD A AD=。
2019年泰州市姜堰区九年级上册期末考试数学试题有答案
第一学期期末考试九年级数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）注意：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效.一、选择题（每题3分，共18分）1．30sin 的值为A ．21B ．23C ．33D ．412．下列各组图形一定相似的是A ．两个矩形B ．两个等边三角形C ．有一内角是80°的两个等腰三角形D ．两个菱形3．小华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数4．如果关于的一元二次方程22(10)1m x x －＋＋＝有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞2且m ≠1D ．m ＜2且m ≠１5．如图，将宽为1cm 的长方形纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为A ．cm2B ．cm2C ．cm2D ．cm26．如图，二次函数c bx axy 2（a ＞0）的图像与直线1y 交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式012c bxax 的解集为A ．1x B ．31x C ．1x 或3x D ．3x 二、填空题：（每题3分，共30分）7．抛物线1422x xy的对称轴为直线▲.8．100件某种产品中有5 件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率为▲.9．将抛物线y=-22+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为▲.10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=▲．11．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为▲.12．某人沿着坡度3:1i 的山坡走了50米，则他离地面的高度上升了▲米.13．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是2510t t h ，则小球运动到的最大高度为▲米.14．△ABC 中，AB=AC=4，BC=5，点D 是边AB 的中点，点E 是边AC 的中点，点P 是边BC 上的动点，∠DPE ＝∠C ，则BP ＝▲．15．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若四边形ABCO 为平行四边形，则∠ADB ＝▲．16．已知二次函数x axy 322（a ＜0）的图像与x 轴交于A(6,0)，顶点为B ，C 为线段AB 上一点,BC ＝2，D 为轴上一动点.若BD ＝OC ，则D 的坐标为▲.三、解答题：（共102分）17．（本题满分10分）（1）计算：60tan 2321（2）解方程：1)3)(1(x x （第5题图）（第6题图）（第10题图）（第14题图）（第15题图）（第16题图）18．（本题满分8分）某班召开主题班会，准备从由2名男生和2名女生组成的班委会中选择2人担任主持人.（1）用树状图或表格列出所有等可能结果；（2）求所选主持人恰好为1名男生和1名女生的概率．19．（本题满分8分）甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环）依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10.（1）求甲第10次的射击成绩；（2）求甲这10次射击成绩的方差；（3）乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环,方差为 1.6环2，请问甲和乙哪个的射击成绩更稳定？20．（本题满分10分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，31tan B，AC=2，D 为AB 中点，DE 垂直AB 交BC 于E.（1）求AB 的长度；（2）求BE 的长度．21．（本题满分10分）如图，AB 、CD 为两个建筑物，建筑物AB 的高度为60米，从建筑物AB 的顶点A 处测得建筑物CD的顶部C 处的俯角∠EAC 为30°，测得建筑物CD 的底部D 处的俯角∠EAD 为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD 的长度；（2）求建筑物CD 的高度（结果保留根号）．22．（本题满分10分）如图，二次函数c bx ax y2的图像与轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，其中B 点坐标为（3，0），C 点坐标为（0，3），且图像对称轴为直线1x ．（1）求此二次函数的关系式；（2）P 为二次函数c bx ax y2在轴下方的图像上一点，且S △ABP = S △ABC ,求P 点的坐标．CBDAE23．（本题满分10分）如图，四边形OABC 为平行四边形，B 、C 在⊙O 上，A 在⊙O 外，22sinOCB.（1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若BC ＝10cm ，求⊙O 的半径长及图中阴影部分的面积．24．（本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，DE ＝2，直线OE 分别交AB 、CD 于G 、F. （1）求证：DF ＝BG ；（2）求DF 的长；（3）若∠ABC=60°，求tan ∠AEO ．25．（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，点E 是AD 边上一动点（不与点A ，D 重合），过A 、E 、C 三点的⊙O 交AB 延长线于点F ，连接CE 、CF ．（1）求证：△DEC ∽△BFC ；（2）设DE 的长为，△AEF 的面积为y ．①求y 关于的函数关系式，并求出当为何值时，y 有最大值；②连接AC ，若△ACF 为等腰三角形，求的值．26．（本题满分14分）已知二次函数22nnx mxy （0n ，m ≠0）的图像经过A （2，0）．（1）用含n 的代数式表示m ；（2）求证：二次函数22nnx mxy 的图像与轴始终有2个交点；（3）设二次函数22nnxmxy 的图像与轴的另一个交点为B （t ，0）．①当n 取21,n n 时，t 分别为21,t t ，若21n n ，试判断21,t t 的大小关系，并说明理由.②若t 为整数，求整数n 的值．第一学期期末考试九年级数学试题参考答案一、选择题（每题3分，共18分）1.A2.B3.D4. D5.D6.C 二、填空题：（每题3分，共30分）7.直线1x 8.201 9.2)1(22x y10.314 11. 5 12.25 13. 514.1或4 15.30度16.（2，0）或（4，0）三、解答题：（共102分）17.（本题满分10分）（1)原式＝33221 (4)分＝25...................................5分（2）整理得，0222x x (7)分解得，31,3121x x (10)分18.(1)略（共12种等可能性结果）...................................4分 (2)P（恰好为1名男生和1名女生）＝32 (8)分19. （1）9....................2分（2）1......................4分（3）因为平均成绩相等，且甲的方差小于乙的方差，所以乙的射击成绩更稳定.....................................................................8分20.（1）102； (5)分（2）310....................10分21.（1）60........................4分（2）32060 (10)分22.（1）322x xy (4)分（2）（71，－3）或（71，－3） (10)分23.(1)证明略..........................................4分（2）⊙O 的半径长25 (7)分，阴影部分的面积为25225 (10)分．24.（1）证三角形BGO 与三角形DFO 全等即可；................................3分（2）DF 的长为 1...........................................................6分（3）53 (10)分25.（1）证明略；.........................4分（2）①1232x xy， (7)分；当43时，y 有最大值；.......9分；②215,21xx或43x............................................12分；26.（1）把A （2，0）代入22nnx mxy ，得42n m................2分；(2))2(4)(2n m n ＝)2(4242n n n＝422n n ＝4>0.所以二次函数22n nx mxy 的图像与轴始终有2个交点；.............5分；（3）①依题意可知242nn t (7)分；所以242242221121n n n n t t ＝)2(2()(82121n n n n ）因为21n n ，所以021n n ，又因为0n，所以02,0221n n 。
江苏省泰州市姜堰区2020届九年级上学期期末考试数学试题
2019～2020学年度第一学期期末考试九年级数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）请注意：1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．第一部分选择题（共18分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）的解是（▲）1．方程2x xA．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-12．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（▲）A．相交B．相切C．相离D．无法判断3．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数是（▲）A．100°B．110°C．120°D．130°4．数据3、4、6、7、x的平均数是5，这组数据的中位数是（▲）A．4 B．4.5 C．5 D．65．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（▲）A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大6．如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB 交⊙O于D，弦CD交AB于点E,若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（▲）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5（第3题图）（第6题图）第二部分 非选择题（共132分）二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分) 7．数据1、2、3、2、4的众数是▲ ．8．一元二次方程x 2﹣3x +2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝ ▲ ．9．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差5.62=甲S 分2，乙同学成绩的方差1.32=乙S 分2，则他们的数学测试成绩较稳定的是 ▲ （填“甲”或“乙”）．10．如图，123l l l ∥∥，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为 ▲ ．11．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是 ▲ cm 2（结果保留π）． 12．若m 是关于x 的方程x 2-2x -3=0的解，则代数式4m -2m 2+2的值是 ▲ ． 13．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6cm 和8cm ，则△ABC 的外接圆半径为 ▲ cm ． 14．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为 ▲ ．15．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE =4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为 ▲ ．16．如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一个动点（不与点A 、B 重合），且AC+BC=8，若AB =m（m 为整数），则整数m 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17．（本题满分10分）计算： （1）()28233+--； （2）()13127+3.14+2π-⎛⎫- ⎪⎝⎭．（第10题图）（第15题图）（第16题图）18．（本题满分8分）解下列方程：（1）()2239x +=； （2）2430x x --=．19．（本题满分8分）化简求值：2224411m m m m m +++÷+-，其中m 满足220m m --=．20．（本题满分10分）已知□ABCD 边AB 、AD 的长是关于x 的方程122+-mx x ＝0的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？ （2）当AB =3时，求□ABCD 的周长.21．（本题满分10分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回．．．，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．22．（本题满分10分）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表:甲 10 6 10 6 8 乙79789经过计算，甲进球的平均数为8个，方差为3.2个2． （1）求乙进球的平均数和方差；（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？23．（本题满分10分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB 的高度．24．（本题满分10分）如图，点C在以AB为直径的圆上，D在线段AB的延长线上，且CA=CD，BC=BD．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若AB=8，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，∠AED=90°，将△AED绕点E顺时针旋转得到△A′ED′，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q 与点C重合时，△AED停止转动．（1）求线段AD的长；（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与A′D′的位置关系，并说明理由；（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．26．（本题满分14分）阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O 的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．l解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①△ABM②△AOP③△ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为12，求k的值．图1 图2l（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B的横坐标Bx的取值范围．备用图九年级数学试题参考答案1．C ； 2． B ； 3． C ； 4．C ； 5． D ； 6． C ； 7． 2； 8．1； 9．乙； 10．320； 11．24π； 12．-4； 13．5； 14．3000(1+ x )2=4320； 15．5106； 16．6或7； 17．（1）2； …………5分 （2）6． …………5分 18．（1）31-=x ,02=x ；………4分 （2）721+=x ,722-=x ．……4分19．21+-m m , …………4分 41． …………4分20．（1）34； …………5分 （2）14． …………5分 21．（1）31； …………5分 （2）31． …………5分 22．（1）乙进球的平均数为： x 乙＝8，乙进球的方差为：S 乙2＝0.8； …………5分（2）乙，理由略 …………5分 23． 4． …………10分24．（1）略； …………5分 （2）3838π-． …………5分 25．（1）5； …………4分（2）PQ ∥A ′D ′， …………1分 理由略；…………3分 （3）25． …………4分 26．（1）②； …………4分 （2）±1； …………6分 （3） 32-＜B x ＜33或337-＜B x＜ 32--． …………4分。
2020-2021学年泰州市姜堰区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年泰州市姜堰区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.用代数式表示“比m的相反数大1的数”是：A. m+1B. m−1C. −m−1D. −m+12.下列方程中，是一元二次方程的是()A. x2−2x+x3=0B. 2x2−x−3=0C. x2+y=1D. x=1x3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，与x轴的交点分别为(−3,0)(1,0)，且函数与y轴交点在(0,−1)的下方，结合图象给出下列结论：①abc<0；②b2−4ac<4a；b≤y≤6b；③当−2≤x≤3时，y的取值范围是−32④5a−b+2c<−1．其中，正确的结论是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④4.如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为3︰1的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P(−3,1)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则P′的坐标是()A. (−1,)B. (1,)C. (−9,3)D. (9,3)5.如图，以△ABC的BC边为直径的⊙O，与AB、AC两边分别交于M、N两点，如果∠MON=40°，那么∠A的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°6.双曲线y=1有三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，若x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关x系是()A. y2<y1<y3B. y1<y2<y3C. y1<y3<y2D. y3<y2<y1二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.若方程x2−m=0有整数根，则m的值可以是______ (只填一个)．8.黄金分割数√5−1是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请向问√5−1最2接近的整数为______．9.若α、β是一元二次方程x2+2x−3=0的两个不相等的根，则α2−2β的值是______．10.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图，它的底面半径OB=6cm，高OC=6√3cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是______ ．11.2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x，则所列的方程应为______ (不增加其它未知数)．12.某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办了“玩转数学”比赛．评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为每个参赛小组打分，按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，各项成绩均按百分制记录．甲小组的研究报告得85分，小组展示得90分，答辩得80分，则甲小组的参赛成绩为______．13. 如图，15根水管(每根水管截面的直径均为50cm)堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚至少要____________cm 高(结果保留根号)． 14. 如图，已知点A(0,4)，B(4,1)，BC ⊥x 轴于点C ，点P 为线段OC 上一点，若△AOP 与△PBC 相似，则点P 的坐标为______ ．15. 在△ABC 中，点D ，E 分别在线段AB ，AC 的反向延长线上，DE//BC ，AB =3，AC =2，AD =1，那么CE =______．16. 如图，在正方形ABCD 内，以AB 为边作等边△ABE ，则∠BEG = ______°.三、解答题（本大题共10小题，共102.0分） 17. 计算：(1)(12)0(2)3−3 (3)1.3×10−5(4)5−2．18. 已知关于x 的方程x 2−2(k −3)x +k 2−4k −1=0． (1)若这个方程有实数根，求k 的取值范围； (2)若此方程有一个根是x =1，请求出k 的值．19. 随着污染问题越发严重，其中汽车尾气作为头号污染源，被列为首要解决目标，我市预计7月1日起执行国六标准，某汽车经销商打算从丰田凯美瑞和荣放RAV4两款车型中(两款车型价位相差不大)，选择一款比较畅销的国六车型作为主推车型．据統计两款车型近6个月的销售量如下：整理、描述数据：凯美瑞54626058m64分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：平均数中位数众数方差凯美瑞60a62c荣放RAV458.358b 4.6结合以上数据，完成下列问题(1)m=______，a=______，b=______，c=______；(2)经销商为了获取较大利润，选择哪款车型作为主推车型，请从两个不同角度说明理由是什么？20. “端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．(1)用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．21. 小强在一块矩形硬纸皮(尺寸如图所示)的四个角上各剪去一个同样大的小正方形，然后将四周凸出部分折起，做成一个底面积为1500cm2的无盖盒子，剪去的小正方形的边长应是多少？22. 尺规作图：如图，已知∠α与线段a；求作：△ABC：使AB=AC=a，∠C=∠α(简要写出作法，保留作图痕迹)．23. 在灯光下，小亮和大刚影子等长，能说明他们身高相等吗？为什么？24. 如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．(1)若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；(2)若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．25. 探索发现：如图①，△DEC与△ABC均为等腰直角三角形，∠E=∠ABC=90°，点A在边CD上，B在边EC上，把△DEC绕C点旋转α(0°<α<180°)得到图②，在图②中连接AD、BE交于点P，则图②中：(1)∠APB=______ ；△BCE与△ACD的关系为______ ．(2)连接图②中的AE、BD，如图③所示，若CE=3BC=3，则在旋转的过程中，四边形ABDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理由；创新应用：(3)如图④，四边形ABCE中，AB=BC，∠ABC=90°，CE=2，AE=4，连接BE，请求出BE的最大值，并说明理由．(4)如图⑤，BE、AC为四边形ABCE的对角线，CE=2，∠CAE=60°，∠CAB=90°，∠CBA=30°，连接BE，请直接写出BE的最大值______ ．x2−x交于A、B两点．26. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx−4k+4与抛物线y=14(1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；(2)点P在抛物线上，当k=−1时，解决下列问题：2①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．参考答案及解析1.答案：D解析：解：m的相反数为−m.∴比m的相反数大1的数是−m+1．故选D．2.答案：B解析：解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项错误，B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确，C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误，D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，故选：B．根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项即可得到答案．本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：①开口向上，a>0，对称轴在y轴左侧知b>0，与y轴交点在负半轴得c<0，故abc<0，①正确；②二次函数图象过(−3,0)(1,0)，代入可得{0=9a−3b+c0=a+b+c，解得a=−13c，b=−23c，∴b2−4ac−4a=(−23c)2−4⋅(−13c)⋅c−4⋅(−13c)=43c(43c+1)，∵函数与y轴交点在(0,−1)的下方，∴43c+1<0，且c<0，∴43c(43c+1)>0，即b2−4ac−4a>0，∴b2−4ac>4a，故②错误；③∵a=−13c，b=−23c，∴y=−13cx2−23cx+c，∴抛物线对称轴是x=−1，顶点为(−1,43c)，∴当−2≤x≤3时，y最小为43c，∵b=−23c，∴当−2≤x≤3时，y最小值时−2b，故③错误；④∵a=−13c，b=−23c，∴5a−b+2c=−53c+23c+2c=c，∵函数与y轴交点在(0,−1)的下方，∴c<−1，即5a−b+2c<−1，故④正确；故选：C．根据二次函数图象过(−3,0)(1,0)，与y轴交点在(0,−1)的下方分别判断．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据已知求出a、b、c之间的关系．4.答案：B解析：本题考查直角坐标系中的位似变换.根据关于原点位似的图形的坐标变化规律即可解答．解：设P′(x,y)，则P(−3,1)与P是对应点．∵△OAB与△OA′B′是相似比为3︰1的位似图形，点O为位似中心，∴−3x=−3，−3y=1，∴x=1，y=，∴P(1,).故选B．5.答案：B解析：解：连接CM，∵BC是⊙O的直径，∴∠BMC=90°=∠AMC，∵∠ACM=12∠MON=12×40°=20°，∴∠A=90°−∠ACM=90°−20°=70°，故选：B．根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠BMC是直角，再根据圆周角定理可得∠ACM，即可求出∠A．本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解决问题的关键．6.答案：C解析：解：∵反比例函数y=1x中，k=1>0，∴此函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵x1<0<x2<x3，∴y1<0、y2>y3>0，∴y1<y3<y2．故选：C．先根据反比例函数y=1x的系数k=1>0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1<0<x2<x3，判断出y1、y2、y3的大小．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及反比例函数的增减性是解答此题的关键．7.答案：例如m=0，1，4，9，…解析：解：将方程移项得x2=m，开方得x=±√m，因为方程有整数根，所以m为完全平方数，故m的值可以是0，1，4，9，16，25，36，…将方程移项得x2=m，开方得x=±√m，因为方程有整数根，再讨论m的值．本题是一道结论开放性题目，对此题的解答，可以加深同学们对直接开平方法的理解．8.答案：1解析：解：∵√5≈2.236，∴√5−1最接近的整数为1．故答案为1．利用√5的近似值求解．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=√5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．9.答案：7解析：解：∵α是一元二次方程x2+2x−3=0的根，∴α2+2α−3=0，∴α2=−2α+3，∴α2−2β=−2α+3−2β=−2(α+β)+3，∵α、β是一元二次方程x2+2x−3=0的两个不相等的根，∴α+β=−2，∴α2−2β=−2×(−2)+3=7．故答案为7．先利用一元二次方程的解的定义得到α2=−2α+3，则α2−2β=−2(α+β)+3，接着利用根与系数的关系得到α+β=−2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．10.答案：72πcm2解析：解：在Rt△OBC中，OB=6，OC=6√3，BC=√OB2+OC2=12，所以这个圆锥漏斗的侧面积=12×12×2π×6=72π(cm2).故答案为72πcm2．先利用勾股定理计算出BC，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．11.答案：3000(1+x)2=5000解析：解：设这种商品的年平均增长率为x，3000(1+x)2=5000．故答案为：3000(1+x)2=5000．若这种商品的年平均增长率为x，根据现在生产1吨某产品的成本是3000元，两年后生产1吨药品的成本是5000元可列方程．本题考查增长率问题，发生了两年变化，知道现在为3000，两年后为5000，设出增长率即可列出方程．12.答案：85分解析：解：根据题意知，甲小组的参赛成绩为85×40%+90×30%+80×30%=85(分)，故答案为：85分．根据加权平均数的定义计算可得．本题考查的是加权平均数的求法，根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适．13.答案：50+100√3解析：解：连接三个圆的圆心，得等边三角形，等边三角形的边长是4根水管的直径，即4×50=200cm，等边三角形的高是100√3cm，雨棚的高至少是等边三角形的高与两半径的和，所以雨棚的高至少是100√3+50cm．14.答案：(2,0)或(165,0)解析：解：∵BC⊥x轴于点C，∴∠AOP=∠BCP=90°，∵点A(0,4)，B(4,1)，∴OA=4，OC=4，BC=1，∵△AOP与△PBC相似，∴OAPC =OPBC或OABC=OPPC，即44−OP =OP1或41=OP4−OP，解得：OP=2或OP=165，∴点P的坐标为(2,0)或(165,0)，故答案为：(2,0)或(165,0)．根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．本题考查相似三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15.答案：83解析：解：∵DE//BC，∴AEAC =ADCB，∵AB=3，AC=2，AD=1，∴AE2=13，∴AE=23，∴CE=AE+AC=23+2=83，故答案为83由DE//BC，则可得其对应线段成比例，进而再结合题干中的条件，即可得出答案本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握是解题的关键，属于中考常考题型．．16.答案：45解析：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．又∵三角形ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠EAB=∠ABE=∠AEB=60°．∴∠DAE=∠DAB−∠EAB=90°−60°=30°，∴AE=AD，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠BEG=180°−∠DAE−∠AEB=180°−75°−60°=45°．故答案为：45．本题通过正方形的性质得到AB =BC =CD =DA ，∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB =90°，在由等边三角形的性质得到AB =AE =BE ，∠EAB =∠ABE =∠AEB =60°.进而得到∠ADE =∠AED =75°， 从而得到答案即可．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．17.答案：解：(1)原式=1；(2)原式=(13)3=127；(3)1.3×10−5=1.3105=13106；(4)原式=(15)2=125．解析：(1)根据a 0=1(a ≠0)进行计算；(2)根据负整数指数幂：a −p =1a p (a ≠0,p 为正整数)进行计算即可；(3)根据负整数指数幂：a −p =1a p (a ≠0,p 为正整数)进行计算即可；(4)根据负整数指数幂：a −p =1a p (a ≠0,p 为正整数)进行计算即可．此题主要考查了负整数指数幂和零次幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1． 18.答案：解：(1)∵x 2−2(k −3)x +k 2−4k −1=0有实数根，∴△=4(k −3)2−4(k 2−4k −1)=4k 2−24k +36−4k 2+16k +4=40−8k ≥0，解得：k ≤5；(2)将x =1代入方程得：12−2(k −3)+k 2−4k −1=0，即k 2−6k +6=0，△=(−6)2−4×6=12，解得k =6±2√32=3±√3，所以，k =3+√3或k =3−√3．解析：(1)由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；(2)将x =1代入方程中，得到关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值．此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根． 19.答案：62 61 56或58 323解析：解：(1)m =60×6−54−62−60−58−64=62；把这些数从小到大排列，最中间的两个数据平均数为(60+62)÷2=61，中位数是61，即a =61；c =16[(54−60)2+(62−60)2+(60−60)2+(58−60)2+(62−60)2+(64−60)2]=323； 荣放RAV4近6个月的销售量中56和58出现的次数最多，故b 为56和58；故答案为：62，61，56或58，323．(2)从平均数、中位数、众数上看，凯美瑞都比荣放RAV4要好，因此选择凯美瑞车型．(1)根据平均数的计算方法，可以求出m 的值，将凯美瑞的6个月的销售的数量排序后，求出处在第3、4位的两个数的平均数即为中位数，利用方差公式可求出凯美瑞车型的销售方差，从统计图中可以得到荣放RAV4销售数量，出现次数最多的数就是众数，从而确定m 、a 、b 、c 的值，(2)从平均数、中位数、众数几个方面得出结论．本题主要考查了方差，中位数，众数的应用，解题时注意：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 20.答案：解：(1)用列表法得出所有可能的结果如下：甲乙石头 剪刀 布石头 (石头，石头) (石头，剪刀) (石头，布)剪子 (剪刀，石头) (剪刀，剪刀) (剪刀，布)布 (布，石头) (布，剪刀) (布，布)用树状图得出所有可能的结果如下：(2)裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的．理由：根据表格得，P(甲获胜)=39，P(乙获胜)=39．∵P(甲获胜)=P(乙获胜)，∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的．解析：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)依据题意用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果；(2)根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．21.答案：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒子的底面两边分别长为(70−2x)cm和(50−2x)cm.依题意得：(70−2x)(50−2x)=1500，整理得：，解得：(不合题意，舍去)答：剪去的小正方形的边长为10cm.解析：设剪去的小正方形的边长为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则盒子的底面两边分别长为(70−2x)cm和(50−2x)cm.依题意得：(70−2x)(50−2x)=1500，整理得：，解得：(不合题意，舍去)答：剪去的小正方形的边长为10cm.22.答案：解：如图所示：①作∠C=∠α，②截取AC=a，以A为圆心a长为半径画弧，则AB=a，③△ABC即为所求．解析：利用已知角和线段，首先作一角等于已知角，进而得出符合题意的答案即可．此题主要考查了复杂作图，正确掌握利用已知角作出相等角是解题关键．23.答案：解：在灯光下，小亮和大刚的影长与其距离点光源的位置有关，所以当影子等长时，不能说明他们的身高相等．解析：根据中心投影的性质直接回答即可．考查了中心投影的知识，解题的关键是了解灯光下影长与物高和物体距离点光源的距离的大小有关，难度不大．24.答案：(1)证明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，∴∠FED=∠A，∵∠B+∠FED=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠BCA=90°，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，∴△FED∽△FAC，∴DFFC =DEAC，∴26=3AC，解得：AC=9，即⊙O的直径为9．解析：(1)利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案；(2)利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED∽△FAC，进而求出即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△FED∽△FAC是解题关键．25.答案：45°△BCE∽△ACD4√33+2√213解析：解：(1)如图2中，设EC交AD于O．∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=√2CB，CD=√2CE，∠ACB=∠ECD=45°，∴ACBC =CDCE，∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴∠ODC=∠OEP，∵∠COD=∠EOP，∴∠OPE=∠OCD=45°，故答案为45°，△BCE∽△ACD．(2)如图③中，作EH⊥BA交BA的延长线于H，作BG⊥DE交DE的延长线于G．由题意CE=3BC=3，∴AB=BC=1，EC=DE=3，∵BE≤BC+EC，∴BE≤4，∴当点E在BC的延长线上时BE的值最大，最大值为4，∵S四边形ABDE =S△ABE+S△BDE=12⋅AB⋅EH+12DE⋅BG，又∵EH≤BE，BG≤BE，∴EH与BG的最大值为4，∴四边形ABDE的面积的最大值=12×1×4+12×4×3=8．(3)如图④中，以EC为直角边，向下作等腰直角△CEH(EC=EH,∠CEH=90°)，连接AH．∵△ABC，△CEH都是等腰直角三角形，∴AC=√2CB，CH=√2CE，∠ACB=∠ECD=45°，∴ACBC =CHCE，∠ACH=∠BCE，∴△ACH∽△BCE，∴AHBE =ACBC=√2，∴BE=√22AH，∵AH≤EH+AE，∴AH≤2+4=6，∴AH的最大值为6，∴BE的最大值=6×√22=3√2．故答案为3√2．(4)如图⑤中，作△ACE的外接圆⊙O，作直径CH，连接EH.AH.延长CA到N，使得AN=AC，连接BN，HN，以CH为边向上作等边△CHM，连接BM，EM．∵CA =AN ，BA ⊥CN ，∴BC =BN ，∵∠ACB =60°，∴△BCN 是等边三角形，∴CB =CN ，∵∠BCN =∠MCH =60°，∴∠BCM =∠NCH ，∵CM =CH ，∴△BCM≌△NCH(SAS)，∴BM =NH ，∵CH 是直径，∴∠CAH =∠CEH =90°，∴HA ⊥CN ，∵AC =AN ，∴CH =NH =CM =BM ，在Rt △CEH 中，CH =CEsin60∘=4√33， ∵∠HCE =30°，∠HCM =60°，∴∠MCE =90°，∴EM =√CM 2+EC 2=√(4√33)2+22=2√213， ∵BE ≤BM +EM ，∴BE ≤4√33+2√213， ∴BE 的最大值为4√33+2√213． 当E 在BC 的延长线上时，EH 、BG 同时最大，且相等，故答案为4√33+2√213． (1)如图2中，设EC 交AD 于O.证明△ACD∽△BCE ，推出∠ODC =∠OEP ，可得结论．(2)如图③中，作EH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，作BG ⊥DE 交DE 的延长线于G.首先证明BE ≤BC +EC =4，当点E 在BC 的延长线上时BE 的值最大，最大值为4，此时四边形ABDE 的面积最大．(3)如图④中，以EC 为直角边，向下作等腰直角△CEH(EC =EH,∠CEH =90°)，连接AH.证明△ACH∽△BCE ，推出AH BE =ACBC =√2，推出BE =√22AH ，求出AH 的最大值即可解决问题． (4)如图⑤中，作△ACE 的外接圆⊙O ，作直径CH ，连接EH.AH.延长CA 到N ，使得AN =AC ，连接BN ，HN ，以CH 为边向上作等边△CHM ，连接BM ，EM.利用全等三角形的性质解决问题即可．本题考查四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．26.答案：解：(1)(4,4)；(2)当k =−12时，直线解析式为y =−12x +6，解方程组{y =−12x +6y =14x 2−x得{x =−4y =8或{x =6y =3， 则A(6,3)、B(−4,8)；①如图1，作PQ//y 轴，交AB 于点Q ，设P(x,14x 2−x)，则Q(x,−12x +6)，∴PQ =(−12x +6)−(14x 2−x)=−14(x −1)2+254，∴S △PAB =12×(6+4)×PQ =−54(x −1)2+1254=20， 解得x 1=−2，x 2=4，∴点P 的坐标为(4,0)或(−2,3)；②设P(x,14x 2−x)，如图2，由题意得：AO =3√5，BO =4√5，AB =5√5， ∵AB 2=AO 2+BO 2， ∴∠AOB =90°， ∵∠AOB =∠PCO ，∴当CP CO =OAOB 时，△CPO∽△OAB ， 即|14x 2−x||x|=√54√5， 整理得4|14x 2−x|=3|x|，解方程4(14x 2−x)=3x 得x 1=0(舍去)，x 2=7，此时P 点坐标为(7,214)； 解方程4(14x 2−x)=−3x 得x 1=0(舍去)，x 2=1，此时P 点坐标为(1,−34)； 当CP OC =OBOA 时，△CPO∽△OBA ， 即|14x 2−x||x|=√53√5， 整理得3|14x 2−x|=4|x|，解方程3(14x 2−x)=4x 得x 1=0(舍去)，x 2=283，此时P 点坐标为(283,1129)；解方程3(14x 2−x)=−4x 得x 1=0(舍去)，x 2=−43，此时P 点坐标为(−43,169) 综上所述，点P 的坐标为：(7,214)或(1,−34)或(−43,169)或(283,1129).解析：(1)变形为不定方程k(x −4)=y −4，然后根据k 为任意不为0的实数得到x −4=0，y −4=0，然后求出x 、y 即可得到定点的坐标；(2)通过解方程组{y =−12x +6y =14x 2−x得A(6,3)、B(−4,8)； ①如图1，作PQ//y 轴，交AB 于点Q ，设P(x,14x 2−x)，则Q(x,−12x +6)，则PQ =(−12x +6)−(14x 2−x)，利用三角形面积公式得到S △PAB =−54(x −1)2+1254=20，然后解方程求出x 即可得到点P 的坐标；②设P(x,14x2−x)，如图2，利用勾股定理的逆定理证明∠AOB=90°，根据三角形相似的判定，由于∠AOB=∠PCO，则当CPCO =OAOB时，△CPO∽△OAB，即|14x2−x||x|=√54√5；当CPOC=OBOA时，△CPO∽△OBA，即|14x2−x||x|=√53√5，然后分别解关于x的绝对值方程即可得到对应的点P的坐标．本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定方法；会利用待定系数法求抛物线解析式，通过解方程组求两函数图象的交点坐标，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决思想问题．。
2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区张甸初级中学九年级数学上册期末考试试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．对于问题：如图1，已知∠AOB ，只用直尺和圆规判断∠AOB 是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA 、OB上分别取C 、D ，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E ，若测量得OE=OD ，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ）A ．等角对等边B ．线段中垂线上的点到线段两段距离相等C ．垂线段最短D ．等腰三角形“三线合一” 2．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．20x =B ．()()23121x y -=-C ．2310ax x -+=D ．2110x x++= 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝12，sin A ＝13，则BC 等于（ ） A ．14 B ．4 C ．36 D ．1364．2020的相反数是（ ）A ．12020B ．12020-C ．-2020D ．2020 5．如图，是抛物线2y ax bx c =++的图象，根据图象信息分析下列结论：①20a b +=；②0abc >；③240b ac ->；④420a b c ++<.其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④6．已知反比例函数1y x =，下列结论中不正确的是（ ）A ．图象经过点(-1,-1)B ．图象在第一、三象限C ．当x 1>时，0y 1<<D ．当x 0<时，y 随着x 的增大而增大7．ABC ∆与DEF ∆相似，且面积比1:4，则DEF ∆与ABC ∆的相似比为（ ）A ．1:2B ．2:1C ．1:4D ．4:18．如图，双曲线ky x =经过Rt BOC ∆斜边上的中点A ，且与BC 交于点D ，若BOD 6S ∆=，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．89．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值是( )A ．45 B ．35 C ．34 D ．4310．如图，点A ．B ．C 在⊙D 上，∠ABC=70°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．110°B ．140°C ．35°D ．130°11．如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若6，则⊙O 的半径为（ ）A．2B．22C．62D．12．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O半径为2，则六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．23C．4 D．3二、填空题（每题4分，共24分）13．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%.在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少______个窗口.14．如图，点p是∠a的边OA上的一点，点p的坐标为（12,5），则tanα=_____．15．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．16．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．17．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为___________．18．从数﹣2，﹣12，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k ＝mn ，则正比例函数y ＝kx 的图象经过第三、第一象限的概率是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）阅读下面的材料：小明同学遇到这样一个问题，如图1，AB =AE ，∠ABC =∠EAD ，AD =mAC ，点P 在线段BC 上，∠ADE =∠ADP +∠ACB ，求BC AD的值． 小明研究发现，作∠BAM =∠AED ，交BC 于点M ，通过构造全等三角形，将线段BC 转化为用含AD 的式子表示出来，从而求得BC AD 的值（如图2）．（1）小明构造的全等三角形是：_________≌________；（2）请你将小明的研究过程补充完整，并求出BC AD 的值． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，若将原题中“AB=AE ”改为“AB =kAE ”，“点P 在线段BC 上”改为“点P 在线段BC 的延长线上”，其它条件不变，若∠ACB =2α，求：DE BC的值（结果请用含α，k ，m 的式子表示）． 20．（8分）已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB DC ，AC BD ⊥，垂足为M ，过点A 作AE AC ⊥，交CD 的延长线于点E .（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形（2）若12AC =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长 21．（8分）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润W （元）最大，最大是多少元？22．（10分）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC AC AD DE AE==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．23．（10分）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象分别交x 轴，y 轴于A （4.0），B （0，2）两点，与反比例函数y ＝m x的图象交于C ．D 两点，CE ⊥x 轴于点E 且CE ＝1．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出：不等式0＜kx +b ＜m x 的解集． 24．（10分）如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且()1,0A -.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断ABC ∆的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当ACM ∆周长最小时，求点M 的坐标及ACM ∆的最小周长.25．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点C ，点D 是AB 延长线上一点，∠A ＝30°，∠D ＝30°．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．26．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（﹣3，0）．已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3（m为常数），顶点为P．（1）当抛物线经过点A时，顶点P的坐标为；（2）在（1）的条件下，此抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C．点Q为直线AC上方抛物线上一动点．①如图1，连接QA、QC，求△QAC的面积最大值；②如图2，若∠CBQ＝45°，请求出此时点Q坐标．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵CD=CE，OE=OD，∴AO是线段DE的垂直平分线，∴∠AOB=90°；则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．2、A【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．【详解】解：A、20x 该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；B、该方程属于二元二次方程，不符合题意；C、当a=1时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3、B【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝BC AB，∴BC12＝13，解得BC＝4，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数正弦的定义，熟练掌握定义是解题的关键.4、C【分析】根据相反数的定义选择即可.【详解】2020的相反数是-2020，故选C.【点睛】本题考查相反数的定义，注意区别倒数，绝对值，负倒数等知识，掌握概念是关键．5、D【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 、y 轴的交点，通过推算进行判断． 【详解】①根据抛物线对称轴可得12b x a=-= ，20a b +=，正确； ②当x=0 ，c 0y =< ，根据二次函数开口向下和12b a -=得，0a < 和0b > ，所以0abc >，正确； ③二次函数与x 轴有两个交点，故240b ac =-> ，正确；④由题意得，当x 0= 和x=2 时，y 的值相等，当x 0=，y 0< ，所以当x=2，y 420a b c =++< ，正确； 故答案为：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和判断，掌握二次函数的性质是解题的关键．6、D【解析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【详解】解：A 、x=-1，y=11-=-1，∴图象经过点（-1，-1），正确； B 、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；C 、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y 随x 的增大而减小，∴当x ＞1时，0＜y ＜1，正确；D 、应为当x ＜0时，y 随着x 的增大而减小，错误．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k ＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y 的值随x 的值的增大而减小． 7、B【分析】根据面积比为相似比的平方即可得出答案． 【详解】ABC ∆与DEF ∆相似，且面积比1:4∴ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2∴DEF ∆与ABC ∆的相似比为2:1故答案为：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，比较简单，熟练掌握性质定理是解题的关键．8、B 【分析】设,k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据A 是OB 的中点，可得22,k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据BC OC ⊥，点D 在双曲线k y x =上，可得2,2k D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角形面积公式列式求出k 的值即可． 【详解】设,k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵A 是OB 的中点 ∴22,k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵BC OC ⊥，点D 在双曲线k y x=上 ∴2,2k D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴BOD 112322222k k S BD OC x k x x ∆⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ ∵BOD 6S ∆= ∴3642k =÷= 故答案为：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、中点的性质、三角形面积公式是解题的关键． 9、C【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB 的长度，再利用勾股定理求出BC 的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【详解】∵CD 是斜边AB 上的中线，CD=5，∴AB=2CD=10，根据勾股定理，8= tanB=6384AC BC ==． 故选C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．10、B【解析】根据圆周角定理可得∠ADC=2∠ABC=140°，故选B. 11、A【解析】试题分析：连接OA ，设⊙O 的半径为r ，由于AB 垂直平分半径OC ，AB=6，则AD=622AB =，OD=2r ，在Rt △AOD 中，OA 2=OD 2+AD 2，即r 2=（2r ）2+（62）2，解得r=2．考点:（1）垂径定理；（2）勾股定理．12、D【分析】连接OB 、OC ，证明△OBC 是等边三角形，得出3=2OM OB 即可求解． 【详解】解：连接OB 、OC ，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM ⊥BC ，∴△OBM 为30°、60°、90°的直角三角形，∴33==2=322OM 故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM 是解决问题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、9【分析】设每个窗口每分钟能卖x 人的午餐，每分钟外出就餐有y 人，学生总数为z 人，并设要同时开n 个窗口，根据并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在15分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂10分钟内卖完午餐，可列出不等式求解.【详解】解：设每个窗口每分钟能卖x 人的午餐，每分钟外出就餐有y 人，学生总数为z 人，并设要同时开n 个窗口，依题意有4545230301010(180%)x z y x z y nx z x =-⎧⎪⨯=-⎨⎪--⎩①②③， 由①、②得y x =，90z x =，代入③得10902nx x x -，所以8.8n .因此，至少要同时开9个窗口.故答案为：9【点睛】考查一元一次不等式组的应用；一些必须的量没有时，应设其为未知数；当题中有多个未知数时，应利用相应的方程用其中一个未知数表示出其余未知数；得到20分钟n 个窗口卖出午餐数的关系式是解决本题的关键．14、512【分析】根据题意过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据P （12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出PE tan OEα=，代入进行计算求出即可．【详解】解：过P 作PE ⊥x 轴于E ，∵P （12，5），∴PE=5，OE=12，∴512PE tan OE α==． 故答案为：512． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，注意掌握在Rt △ACB 中，∠C=90°，则AC BC AC sinB cosB tanB AB AB BC===，，． 15、20%【解析】分析：本题需先设出这个增长率是x ，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x ，根据题意得：2000×（1+x ）2=2880解得：x 1=20%，x 2=-220%（舍去）故答案为20%．16、1【分析】先由“频率=频数÷数据总数”计算出频率，再由简单事件的概率公式列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是5011503=， 设口袋中大约有x 个白球，则5153x =+， 解得10x =． 故答案为：1．【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．17、1．【详解】解：∵EF ∥AB,∴△DEF ∽△DAB,∴EF ：AB=DE ：DA=DE ：（DE+EA ）=2：5,∴AB=1,∵在▱ABCD 中AB=CD ． ∴CD=1．故答案为：1【点睛】本题考查①相似三角形的判定；②相似三角形的性质；③平行四边形的性质．18、16【解析】从数﹣2，﹣12，1，4中任取1个数记为m ，再从余下，3个数中，任取一个数记为n ． 根据题意画图如下：共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限，即可得到k=mn ＞1．由树状图可知符合mn ＞1的情况共有2种，因此正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是21=126． 故答案为16．三、解答题（共78分）19、（1）ABM EAD △≌△；（2）1BC m AD m +=；（3）22sin DE BC k m kα=+. 【分析】（1）根据已知条件直接猜想得出结果；（2）过点A 作BAM AED ∠=∠交BC 于点M ，易证ABM EAD △≌△，再根据MC AC =结合已知条件得出结果； （3）过点A 作BAM AED ∠=∠交BC 于点M ，过点C 作CN AM ⊥，得出ABM EAD △∽△，根据相似三角形的性质及已知条件得出MC AC =，进而求解．【详解】（1）解：ABM EAD △≌△；（2）过点A 作BAM AED ∠=∠交BC 于点M ．在中ABM 和EAD ，BAM AED ∠=∠，AB AE =，ABC EAD ∠=∠，∴ABM EAD △≌△．∴BM AD =，BMA ADE ∠=∠．∴ADP AMC ∠=∠．∵BMA MAC ACB ∠=∠+∠，ADE ADP ACB ∠=∠+∠，∴MAC ADP AMC ∠=∠=∠．∵MC AC =．∵AD mAC =， ∴1AC AD m=． ∴1BC BM MC AD AC AD AD m =+=+=+． ∴1111AD AD BC m m AD AD m m++==+=．（3）解：过点A 作BAM AED ∠=∠交BC 于点M ．在中ABM 和EAD ，BAM AED ∠=∠，ABC EAD ∠=∠，∴ABM EAD △∽△．∴BMA ADE ∠=∠，BM AM AB kAE k AD DE AE AE====． ∴BM kAD kmAC ==，AM kDE =．∵BMA ADE ∠=∠，∴ADP AMC ∠=∠．∵BMA MAC ACB ∠=∠+∠，ADE ADP ACB ∠=∠+∠，∴MAC ADP AMC ∠=∠=∠．∴MC AC =．过点C 作CN AM ⊥．∴90MNC ∠=︒，11222MCN ACB αα∠=∠=⨯=，12MN AN AM ==． 在Rt MNC △中，sin sin MN MCN MCα=∠=， ∴12sin sin 2sin 2sin AM MN AM kDE MC αααα====． ∴(1)BC BM MC kmAC MC kmMC MC km MC =+=+=+=+()2(1)2sin 2sin k m k DE kDE km αα+=+=． ∴()222sin 2sin DE DE BC k m k k m k DE αα==++．【点睛】本题考查了三角形全等的性质及判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质并能灵活运用.20、 (1)详见解析;(2)9【分析】(1)直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；(2)利用锐角三角函数关系得35AE EC =，设3AE k =，5EC k =，再利用勾股定理得出AE 的长，进而求出答案． 【详解】(1)∵AC BD ⊥，AC AE ⊥，∴//BD AE ，∵//AB DC ，∴//AB DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形；(2) ∵四边形ABDE 是平行四边形，∴ABD CDB E ∠=∠=∠，∵AC BD ⊥，AC AE ⊥，∴90EAC ∠=︒, ∴3cos cos 5AE ABD E EC ∠=∠==， 设3AE k =，5EC k =，∵12AC =，∴222AC AE EC +=，即()()2221235k k +=，解得：3k =，∴9AE =，∴9BD =．【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系、勾股定理，正确得出35AE EC =是解题关键． 21、（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价1.5元时，商场获得的利润W 最大，最大利润是6125元．【分析】(1) 设每次下降百分率为m ，，得方程()250132m -=，求解即可(2)根据销售利润=销售量×(售价−−进价)，列出每天的销售利润W(元))与涨价x 元之间的函数关系式．即可求解．【详解】解：（1）设每次下降百分率为m ，根据题意，得 ()250132m -=，解得120.2, 1.8m m ==（不合题意，舍去）答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克涨价x 元，由题意得：()()1050020W x x =+-2203005000x x =-++()2207.56125x =--+∵200a =-<，开口向下，W 有最大值，∴当7.5x =（元）时，6125W =最大值（元）答：每千克水果应涨价1．5元时，商场获得的利润W 最大，最大利润是6125元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案22、证明见解析；【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ，即可得∠BAD=∠CAE ，再由AB AC AD AE =可得AB AD AC AE =，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE ．【详解】∵在△ABC 和△ADE 中，AB BC AC AD DE AE==, ∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC=∠DAE ，∴∠BAD=∠CAE ， ∵AB AC AD AE=， ∴AB AD AC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键．23、（1）y ＝﹣12x +2，y ＝﹣6x ；（2）﹣2＜x ＜4 【分析】（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知C 的纵坐标为1，代入一次函数解析式即可求得C 的坐标，然后代入y=m x求得m 的值，即可求得反比例函数的解析式； （2）根据图象找出y ＝kx+b 在x 轴上方且在y=m x 的下方的图象对应的x 的范围．【详解】（1）根据题意，得402k b b +=⎧⎨=⎩， 解得k ＝﹣12，b ＝2， 所以一次函数的解析式为y ＝﹣12x +2， 由题意可知，点C 的纵坐标为1．把y ＝1代入y ＝﹣12x +2，中，得x ＝﹣2． 所以点C 坐标为（﹣2，1）．把点C 坐标（﹣2，1）代入y ＝m x 中， 解得m ＝﹣3．所以反比例函数的解析式为y ＝﹣6x； （2）根据图像可得：不等式4＜kx+b ＜m x的解集是：﹣2＜x ＜4． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．24、（1）213222y x x =--，D 325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）ABC ∆是直角三角形，见解析；（3）35,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）直接将（−1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；（2）分别求出AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；（3）利用轴对称最短路线求法得出M 点位置，求出直线BC 的解析式，可得M 点坐标，然后易求此时△ACM 的周长．【详解】解：（1）∵点()1,0A -在抛物线2122y x bx =+-上， ∴()()2111202b ⨯-+⨯--=， 解得：32b =-. ∴抛物线的解析式为213222y x x =--， ∵22131325y x x 2x 22228⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴顶点D 的坐标为：325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）ABC ∆是直角三角形，证明：当0x =时2y =-，∴()0,2C -，即2OC =，当0y =时，2132022x x --=， 解得：11x =-，24x =，∴()4,0B ，∴1OA =，4OB =，5AB =，∵225AB =，2225AC OA OC =+=，22220BC OC OB =+=，∴222AC BC AB +=，∴ABC ∆是直角三角形；（3）如图所示：BC 与对称轴交于点M ，连接AM ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时MC MA +的值最小，即ACM ∆周长最小，设直线BC 解析式为：y kx d =+，则240d k d =-⎧⎨+=⎩， 解得：212d k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 故直线BC 的解析式为：122y x =-， ∵抛物线对称轴为32x =∴当32x =时，54122x y --==， ∴35,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ACM ∆最小周长是：AC AM MC AC BC ++=+==【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用、利用轴对称求最短路线以及勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．25、（1）见解析；（2）MF＝7.【分析】（1）如图，连接OE，OF，由垂径定理可知BE BF=，根据圆周角定理可求出∠DOF=60°，根据三角形内角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD为⊙O的切线；（2）如图，连接OM，由中位线的性质可得OM//AE，根据平行线的性质可得∠MOB＝∠A＝30°，根据垂径定理可得OM⊥BE，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，利用勾股定理可求出OM的长，根据三角形内角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF的长即可.【详解】（1）如图，连接OE，OF，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴BE BF=，∴∠DOF＝∠DOE，∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，∴∠DOF＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OFD＝90°，∴OF⊥FD．∴FD为⊙O的切线.（2）如图，连接OM，MF，∵O是AB中点，M是BE中点，∴OM ∥AE ．∴∠MOB ＝∠A ＝30°．∵OM 过圆心，M 是BE 中点，∴OM ⊥BE ．∴MB=12OB=1， ∴OM=22OB BM -=3，∵∠OFD=90°，∠D=30°， ∴∠DOF ＝60°，∴∠MOF ＝∠DOF+∠MOB=90°，∴MF ＝22OM OF +＝22(3)2+＝7．【点睛】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键.26、（1）（﹣1，4）；（2）①278；②Q（﹣52，74）． 【分析】（1）将点A 坐标代入抛物线表达式并解得：m=-1，即可求解； （2）①过点Q 作y 轴的平行线交AC 于点N ，先求出直线AC 的解析式，点Q(x ，﹣x 2﹣2x+3)，则点N(x ，x+3)，则△QAC 的面积S=12×QN×OA=﹣32x 2﹣92x ，然后根据二次函数的性质即可求解； ②tan ∠OCB=OB CO ＝13，设HM=BM=x ，则CM=3x ，10，解得：10，10x=52，则点H(0，12)，同理可得：直线BH(Q)的表达式为：y=-12x+12，即可求解． 【详解】解：（1）将点A(﹣3，0)代入抛物线表达式并解得，0＝﹣9-6m+3∴m ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3=-(x+1)2+4…①，∴点P(﹣1，4)，故答案为：(﹣1，4)；（2）①过点Q 作y 轴的平行线交AC 于点N ，如图1，设直线AC 的解析式为y=kx+b ，将点A(﹣3，0)、C(0，3)的坐标代入一次函数表达式并解得，303k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的表达式为：y ＝x+3，设点Q(x ，﹣x 2﹣2x+3)，则点N （x ，x+3），△QAC 的面积S ＝12⨯QN×OA ＝12⨯(﹣x 2﹣2x+3﹣x ﹣3)×3＝﹣32x 2﹣92x ， ∵﹣32＜0，故S 有最大值为：278； ②如图2，设直线BQ 交y 轴于点H ，过点H 作HM ⊥BC 于点M ，tan∠OCB＝OBCO＝13，设HM＝BM＝x，则CM＝3x，BC＝BM+CM＝4x，解得：xCH＝52，则点H(0，12)，同直线AC的表达式的求法可得直线BH（Q）的表达式为：y＝﹣12x+12…②，联立①②并解得：﹣x2﹣2x+3=﹣12x+12，解得x＝1（舍去）或﹣52，故点Q(﹣52，74)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图像与性质，锐角三角函数的定义，以及数形结合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2025届江苏省泰州市姜堰区数学九上期末统考试题含解析
2025届江苏省泰州市姜堰区数学九上期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．一元二次方程x 2﹣3x ﹣4＝0的一次项系数是（ ）A ．1B ．﹣3C ．3D ．﹣42．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高1.6m 的小明站在距离路灯的底部（点O ）12m 的点A 处，测得自己的影子AM 的长为4m ，则路灯CO 的高度是（ ）A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．9.6m3．如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为( )A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：64．如图，△ABC 中，D 为AC 中点，AF ∥DE ，S △ABF ：S 梯形AFED =1：3，则S △ABF ：S △CDE =（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：15．已知0ab <，一次函数y ax b =-与反比例函数a y x=在同一直角坐标系中的图象可能（ ） A ． B ．C ．D ．6．函数2y x =-与函数12y x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．在以下四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ．8．如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 的长为（ ）A ．1.25米B ．5米C ．6米D ．4米9．已知x 2-2x=8，则3x 2-6x-18的值为（ ）A ．54B ．6C ．-10D ．-1810．如果点D 、E 分别在△ABC 中的边AB 和AC 上，那么不能判定DE ∥BC 的比例式是（ ）A ．AD ：DB ＝AE ：ECB ．DE ：BC ＝AD ：AB C ．BD ：AB ＝CE ：ACD ．AB ：AC ＝AD ：AE 11．sin60tan 45︒+︒的值等于（ ）A 2B ．322C 3D ．112．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC =BC 2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．π4B ．1π24+C ．π2D ．1π22+ 二、填空题（每题4分，共24分）13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式_____．14．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______；15．在一个不透明的袋子中只装有n 个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是13，那么n 的值为___． 16．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．17．一中和二中举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：学校参赛人数 平均数 中位数 方差 一中45 83 86 82 二中 45 83 84 135某同学分析上表后得到如下结论：.①一中和二中学生的平均成绩相同；②一中优秀的人数多于二中优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；③二中成绩的波动比一中小.上述结论中正确的是___________. （填写所有正确结论的序号）18．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数,,a b c ，用{}min ,,a b c 表示这三个数中最小的数，例如min{1,2,3}3-=-，{}min 3tan30,2sin 60,tan 451︒︒︒=.{}三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝1．①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．20．（8分）如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．21．（8分）如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长之比为3：4，周长为40cm，求菱形的高及面积．22．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点A （-3，0），与y 轴交于点B （0，4），在第一象限内有一点P （m,n)，且满足4m+3n=12.（1）求二次函数解析式.（2）若以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，求点P 的坐标.（3）若点A 关于y 轴的对称点为点A′，点C 在对称轴上，且2∠CBA+∠PA′O=90◦.求点C 的坐标.23．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数2223y x x =--的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x 3- 52- 2- 1- 0 1 2 3 4 y 0 74- m 4- 3- 4- 3- 74- 0 其中，m =________________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分； （3）观察函数图像，写出两条函数的性质；（4）进一步探究函数图像发现：②函数图像与直线3y =-有_______个交点，所以对应方程22233x x --=-有_____个实数根；③关于x 的方程2223x x a --=有4个实数根，a 的取值范围是___________．24．（10分）如图，OA l ⊥于点,A B 是OA 上一点，O 是以O 为圆心，OB 为半径的圆．C 是O 上的点，连结CB 并延长，交l 于点D ，且AC AD =．（1）求证：AC 是O 的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标注后用数字表示）； （2）若O 的半径为5，6BC =，求线段AC 的长．25．（12分）如图， 90Rt ABC BAC AD BC ∠=︒⊥,,于D ，以AD 直径作O ，交AC 于点,E 恰有CE AD =，连接DE ．（1）如图1，求证：CDE ABD ≌；（2）如图2，连接BE 分别交AD ，O 于点,,F G 连接,AG DG ,试探究DG 与BF 之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的基础上，若DG =，求AD 的长．26．先化简，再求值，26934222m m m m m m +++⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中m 满足：m 2﹣4＝1．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），在一般形式中bx 叫一次项，系数是b ，可直接得到答案．【详解】解：一次项是：未知数次数是1的项，故一次项是﹣3x ，系数是：﹣3，故选：B ．【点睛】此题考查的是求一元一次方程一般式中一次项系数,掌握一元一次方程的一般形式和一次项系数的定义是解决此题的关键．2、B【分析】根据平行得：△ABM ∽△ODM ，列比例式，代入可求得结论．【详解】解：由题意得：AB ∥OC ，∴△ABM ∽△OCM ， ∴AB AM OC OM= ∵OA=12，AM=4，AB=1.6，∴OM=OA+AM=12+4=16， ∴11.646OC = ∴OC=6.4，则则路灯距离地面6.4米.故选：B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．3、C【解析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC 面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系．【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点，∴12 AE AFBC FC==．∴△FEC面积是△AEF面积的2倍．设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x，∵E为AD中点，∴△DEC面积=△AEC面积=3x．∴四边形FCDE面积为1x，所以S△AFE：S四边形FCDE为1：1．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．4、D【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．【详解】△ABC中，∵AF∥DE，∴△CDE∽△CAF，∵D为AC中点，∴CD：CA=1：2，∴S△CDE：S△CAF=（CD：CA）2=1：4，∴S△CDE：S梯形AFED=1：3，又∵S△ABF：S梯形AFED=1：3，∴S△ABF：S△CDE=1：1．故选D．本题考查了中点的定义，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出S △CDE ：S △CAF =1：4是解题的关键． 5、A【分析】根据反比例函数图象确定b 的符号，结合已知条件求得a 的符号，由a,b 的符号确定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若反比例函数a x y ＝经过第一、三象限，则0a ＞ ．所以0b ＜ ．则一次函数y ax b ＝﹣ 的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数a x y ＝经过第二、四象限，则a<1．所以b>1．则一次函数y ax b ＝﹣的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A 正确；故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．6、B【分析】根据函数2y x =-与函数12y x =-分别确定图象即可得出答案． 【详解】∵2y x =-，-2＜0，∴图象经过二、四象限， ∵函数12y x=-中系数小于0， ∴图象在一、三象限．故选：B ．【点睛】此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．7、B【分析】旋转180︒后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B ．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8、B【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．【详解】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知AB AMOC OA AM=+，即1.6820AMAM=+，解得AM=5m．则小明的影子AM的长为5米．故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．9、B【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】∵x2−2x＝8，∴3x2−1x−18＝3（x2−2x）−18＝24−18＝1．故选：B．【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．10、B【解析】由AD：DB＝AE：EC , DE：BC＝AD：AB与BD：AB＝CE：AC AB：AC＝AD：AE ,根据平行线分线段成比例定理,均可判定,然后利用排除法即可求得答案.【详解】A、AD：DB＝AE：EC , ∴DE∥BC，故本选项能判定DE∥BC;B、由DE：BC＝AD：AB, 不能判定DE∥BC,故本选项不能判定DE∥BC.C、BD：AB＝CE：AC,∴DE∥BC ,故本选项能判定DE∥BC;D、AB：AC＝AD：AE , ,∴DE∥BC，,故本选项能判定DE∥BC.所以选B.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用.11、B【分析】根据sin60°以及tan45°的值求解即可.【详解】sin60°3tan45°＝1，所以sin60°+tan45°32＋.故选B.【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.12、A【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．【详解】∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，2，∴S阴影部分=S扇形AOC=290?13604ππ⨯=．故选A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二、填空题（每题4分，共24分）13、y=﹣2x2(答案不唯一)【分析】由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式．【详解】解：由题意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．故答案为：y=﹣2x2(答案不唯一)．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．14、72°【详解】五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为3605=72°.故答案为72°.15、1．【分析】根据概率公式得到2123n=+，然后利用比例性质求出n即可．【详解】根据题意得2123n=+，解得n＝1，经检验：n＝1是分式方程的解，故答案为：1．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．16、020．【解析】试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为20°．17、①②【分析】根据表格中的数据直接得出平均数相同，再根据一中成绩的中位数86＞85可判断一中优秀人数较多，最后根据方差越大，成绩波动越大判断波动性.【详解】由表格数据可知一中和二中的平均成绩相同，故①正确；∵一中成绩的中位数86＞85，二中成绩的中位数84＜85，竞赛得分≥85分为优秀∴一中优秀的人数多于二中优秀的人数故②正确；二中的方差大于一中，则二中成绩的波动比一中大，故③错误；故答案为：①②【点睛】本题考查平均数，中位数与方差，难度不大，熟练掌握基本概念是解题的关键.18、12【分析】找出这三个特殊角的三角函数值中最小的即可. 【详解】1sin 302︒=，2cos 45tan 603︒=︒= ∵1232<<∴{}min sin30,cos 45,tan 60︒︒︒12= 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值以及最小值等知识，解题的关键是熟特殊角的三角函数值．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）①sin∠ADG＝45；②CF＝1．【分析】（1）由垂径定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC＝∠ADC ＝∠ACD＝∠AGD；（2）①如图，设AC与GD交于点M，证△GMC∽△AMD，设CM＝x，则DM＝3x，在Rt△AMD中，通过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG的值；②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因为点G是AC上一动点，所以当点G在AC的中点时，△ACG的的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝1．【详解】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，CD⊥AB，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）①如图，设AC与GD交于点M，∵AG AG，∴∠GCM＝∠ADM，又∵∠GMC＝∠AMD，∴△GMC∽△AMD，∴GCAD＝CMDM＝26＝13，设CM＝x，则DM＝3x，由（1）知，AC＝AD，∴AC＝1，AM＝1﹣x，在Rt△AMD中，AM2+DM2＝AD2，∴（1﹣x）2+（3x）2＝12，解得，x1＝0（舍去），x2＝65，∴AM＝1﹣65＝245，∴sin∠ADG＝AMAD＝2456＝45；②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，∵点G是AC上一动点，∴当点G在AC的中点时，△ACG的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，∴GA＝GC，∴∠GAC＝∠GCA，∵∠GCD＝∠F+∠FGC，由（1）知，∠FGC＝∠ACD，且∠GCD＝∠ACD+∠GCA，∴∠F＝∠GCA，∴∠F＝∠GAC，∴FC＝AC＝1．【点睛】本题考查的是圆的有关性质、垂径定理、解直角三角形等，熟练掌握圆的有关性质并灵活运用是解题的关键．20、（1）2（2）2；（3）(2，2)，(6，﹣2)或(﹣6，﹣2)【分析】（1）由抛物线的解析式先求出点A，B的坐标，再证△AOC∽△COB，利用相似三角形的性质可求出CO的长；（2）先求出抛物线的解析式，再设出点D的坐标（m，24m2﹣22m﹣2），用含m的代数式表示出△BCD的面积，利用函数的性质求出其最大值；（3）分类讨论，分三种情况由平移规律可轻松求出点P的三个坐标．【详解】（1）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）中，当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴AO＝2，BO＝4，∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴AO COCO BO=，即24COCO=，∴CO＝22；（2）由（1）知，CO＝22，∴C（0，﹣22）将C（0，﹣22）代入y＝a（x+2）（x﹣4），得，a＝24，∴抛物线解析式为：y＝24x2﹣22x﹣22，如图1，连接OD，设D（m，24m2﹣22m﹣2），则S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△BOC＝12×22m+12×4（﹣24m2+22m+22）﹣12×4×22＝﹣22m2+22m＝﹣22（m﹣2）2+22，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝2时，△BCD的面积有最大值22；（3）如图2﹣1，当四边形ACBP为平行四边形时，由平移规律可知，点C向右平移4个单位长度，再向上平移22个单位长度得到点B，所以点A向右平移4个单位长度，再向上平移22个单位长度得到点P，因为A（﹣2，0），所以P1（2，22）；同理，在图2﹣2，图2﹣3中，可由平移规律可得P2（6，﹣22），P3（﹣6，﹣22）；综上所述，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（2，2），（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积及平移规律等，解题关键是熟知平行四边形的性质及熟练运用平移规律．21、菱形的高是9.6 cm ，面积是96 cm 1．【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出AC 与BD 的长，再由菱形面积公式求出所求即可．【详解】解：∵BD ：AC ＝3：4，∴设BD ＝3x ，AC ＝4x ，∴BO ＝3x 2，AO ＝1x ， 又∵AB 1＝BO 1+AO 1，∴AB ＝52x ， ∵菱形的周长是40cm ，∴AB ＝40÷4＝10cm ，即52x ＝10， ∴x ＝4，∴BD ＝11cm ，AC ＝16cm ，∴S ▱ABCD ＝12BD•AC ＝12×11×16＝96（cm 1）， 又∵S ▱ABCD ＝AB•h ，∴h ＝9610＝9.6（cm ）， 答：菱形的高是9.6 cm ，面积是96 cm 1．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．22、（1）24(3)9y x =+；（2）P(1511,2411)；（3）C(-3,-5)或 (-3，2513) 【分析】（1）设顶点式，将B 点代入即可求；（2）根据4m+3n=12确定点P 所在直线的解析式，再根据内切线的性质可知P 点在∠BAO 的角平分线上，求两线交点坐标即为P 点坐标；（3）根据角之间的关系确定C 在∠DBA 的角平分线与对称轴的交点或∠ABO 的角平分线与对称轴的交点，通过求角平分线的解析式即可求.【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为A(-3,0),设二次函数解析式为y=a(x+3)2，将B （0，4）代入得，4=9a∴a=49 ∴24(3)9y x =+ （2）如图∵P （m,n)，且满足4m+3n=12∴443n m =-+ ∴点P 在第一象限的443y x =-+上， ∵以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，∴点P 在∠BAO 的角平分线上，∠BAO 的角平分线：y=1322x +， ∴134=4223x x +-+， ∴x=1511,∴y=2411∴P(1511,2411)(3)C(-3,-5)或 (-3，2513)理由如下：如图，A´(3，0),可得直线L A´B的表达式为443y x=-+，∴P点在直线A´B上，∵∠PA´O=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,在对称轴上取点D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G点, 设D点坐标为(-3,t)则有(4-t)2+32=t2t=25 8,∴D(-3,25 8),作∠DBA的角平分线交AG于点C即为所求点，设为C1∠DBA的角平分线BC1的解析式为y=913x+4,∴C1的坐标为(-3, 2513)；同理作∠ABO的角平分线交AG于点C即为所求，设为C2，∠ABO的角平分线BC2的解析式为y=3x+4,∴C2的坐标为(-3,-5).综上所述，点C的坐标为(-3, 2513)或(-3,-5).【点睛】本题考查了二次函数与图形的结合，涉及的知识点角平分线的解析式的确定，切线的性质，勾股定理及图象的交点问题，涉及知识点较多，综合性较强，根据条件，结合图形找准对应知识点是解答此题的关键.23、（1）-1；（2）见解析；（1）函数22=-的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）23y x x①2；②1，1；③－4＜a＜－1【分析】（1）由题意观察表格根据函数的对称性即可求得m的值；（2）根据题意代入表格数据进行描点、连线即可得到函数的图象；（1）由题意根据题干所给的函数图象性质进行分析即可；（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据22=-的图象与直线y=-1的交点个数，即可得到结论；y x x23③根据函数的图象即可得到a的取值范围．【详解】解：（1）观察表格根据函数的对称性可得m=－1；（2）如图所示；（1）由函数图象知：①函数2223y x x =--的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①函数图象与x 轴有2个交点，所以对应的方程22230x x --=有2个实数根；②由函数图象知：2223y x x =--的图象与直线y=－1有1个交点，∴方程22233x x --=-有1个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x2－22x －1=a 有4个实数根，∴a 的取值范围是－4＜a ＜－1，故答案为：2，1，1，－4＜a ＜－1．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，运用数形结合思维分析以及正确的识别图象是解题的关键．24、（1）见解析；（2）1207AC = 【分析】(1)如图连结OC ，先证得4390∠+∠=︒，即可得到OC AC ∴⊥，即可得到AC 是O 的切线； (2)由(1)知：过O 作OE BC ⊥于E ，先证明OBE DBA ∆∆∽得到34AB BE AD OE ==，设3,4AB x AD x AC ===,在Rt OAC ∆中，222OC AC OA +=，即：2225(4)(53)x x +=+解出方程即可求得答案．【详解】证明：(1)如图，连结OC ，则OB OC =，∴23∠∠=，∵12∠=∠，∴13∠=∠，∵AC AD =，∴4D ∠=∠，而OA l ⊥，∴190D ∠+∠=︒，即有4390∠+∠=︒，∴OC AC ⊥，故AC 是O 的切线；(2)由(1)知：过O 作OE BC ⊥于E ，∵OB OC =, ∴23∠∠=， 13,2BE BC ==而5OB =，由勾股定理，得：4OE =， 在OBE △和DBA 中，∵12∠=∠，90OEB DAB ∠=∠=︒，∴OBE DBA ∆∆∽，∴34AB BE AD OE ==， 设3,4AB x AD x AC ===，在Rt OAC ∆中，222OC AC OA +=，即：2225(4)(53)x x +=+ 解得：30,07x x ==（舍去）， ∴1207AC =． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用和切线的性质定理，勾股定理应用，是综合性题目．25、（1）证明见解析；（2）2BF DG =；理由见解析；（351．【分析】（1）由直径所对圆周角等于90度可得90AED ∠=︒，进而易证CDE B ∠=∠，再根据AAS 即可证明CDE ABD ≌；（2）由CDE ABD ≌，可得DE DB =，进而可知DEB DBE ∠=∠，再由同弧所对圆周角相等可得DAG DEB ∠=∠，再分别证明BDG DBE ∠=∠， GFD GDF ∠=∠，从而可得DG GF GB ==，即可解决问题；（3）设CD AB y ==，DE DB z ==，由//DE BC ，可得DE CD BC CB =，可得y ，由//DE BC ，可得DE EF DF BA BF AF ===，设2DF k =，(1AF k =+，根据EF FG DF AF =，可得2)22(15)k k =+，求出k 即可解决问题．【详解】解：（1）证明： AD 是直径，90AED ∴∠=︒90CED ∴∠=︒，∵AD BC ⊥，90∴∠=∠=︒ADB CED ，90BAC ∠=︒，//DE BC ∴，CDE B ∴∠=∠，又∵CE AD =，CDE ABD ∴≌（AAS ）．（2）结论：2BF DG =．理由如下：由（1）可得：CDE ABD ≌，DE DB ∴=，DEB DBE ∴∠=∠，AD 是直径，90AGD ∴∠=︒∴90ADG DAG ∠+∠=︒，90BDG ADG ∠+∠=︒，BDG DAG ∴∠=∠，又∵AG AG =，∴DEB DAG ∠=∠，∴BDG DBE ∠=∠DG GB ∴=，90DFG DBF ∠+∠=︒，90FDG BDG ∠+∠=︒，GFD GDF ∴∠=∠，DG GF GB ∴==，2BF DG ∴=．（3）解：设AB CD y ==，DE DB z ==，//DE BC ， ∴DE CD AB CB ， ∴z y y y z=+ 整理得220y yz z --=，15y +∴=或15y -（舍弃）， //DE BC ， ∴15DE EF DF AB BF AF ===+ 又∵由（2）可知222BF DG == ∴2215=+，102EF ∴∵DEB DAG ∠=∠，EFD AFG ∠=∠ ∴DEFGAF ， ∴EF DF AF FG=， 设2DF k =，(15)AF k =，102(15)2k -+，51k -∴=，1AD DF AF∴=+，【点睛】本题综合考查了圆与相似，涉及了圆的性质、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26、m3m+，﹣12【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出符合条件的m的值，从而代入计算可得．【详解】解：原式＝2(3)2mm+-÷232m mm+-＝2(3)22(3) m mm m m+--+＝m3 m+，∵m2﹣4＝1且m≠2，∴m＝﹣2，则原式＝232-+-＝﹣12．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．。
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.12的相反数为()A. 2B. −2C. −12D. 122.已知关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0是一元二次方程，则a满足的条件是()A. a≠0B. a≠1C. a>1D. a≤23.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x与y的部分对应值如表：则该二次函数图象的顶点坐标是()x−10123y127434A. (−1,12)B. (0,7)C. (1,4)D. (2,3)4.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且B为OE的中点，则△ABC与△DEF的面积比为()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：55.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上.若∠BCD=100°，则∠AED的度数为()A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°6.在平面直角坐标系xOy中，点A(a,−2a+4)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B.若AB≤4，则k的取值范围是()A. k≤−16B. k≤−2C. −16≤k<0D. −2≤k<0二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.一元二次方程x2−4=0的解是．8.在比例尺为1：38000的旅游地图上，某条道路的长为3cm，则这条道路的实际长度为______ km．9.若a，b是一元二次方程2x2−x−1=0的两个实数根，则a+ab+b=______ ．10.一个圆锥的主视图是腰长为4cm的等腰直角三角形，这个圆锥的侧面积等于______ cm2．11. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为______．12. 某单位招聘工作人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6：4记入总成绩，若小李笔试成绩为90分，面试成绩为80分，则他的总成绩是______ 分.13. 在圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图.若油面宽AB =800mm ，油的最大深度为200mm ，则该油罐横截面的半径是______ mm ．14. 已知两个直角三角形的三边长分别为1、2、m 和3、6、n ，若这两个直角三角形不相似，则m +n 的值为______ ．15. 如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点F ，若AC =4AE ，AD =3cm ，则AF 的长度为______ cm ．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(1,0)，B(3,0)，点P 为y 轴正半轴上的一个动点，以线段PA 为边在PA 的右上方作等边△APQ ，连接QB ，在点P 运动的过程中，线段QB 长度的最小值为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分）17. (1)计算：(−1)2020+(−13)−1−√273；(2)解不等式组：{2x −1<32−x <3．18.已知关于x的一元二次方程mx2+(m+3)x+1=0(m≠0)．(1)请说明该一元二次方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程有一个根为x=1，请求出此方程的另一个根．19.某中学举办“信息技术知识答题竞赛”，八、九年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加学校决赛，现将两个队各选出的5名选手的决赛成绩绘制成如下统计图表．平均分(分)中位数(分)众数(分)方差(分 2)八年级85a8570九年级b80c s2(1)根据图表信息填空：a=______ ，b=______ ，c=______ ；(2)计算九年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．20.一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外都相同)，其中有红球1个，蓝球2个，黄球．若干个，现从中任意摸出一个球是蓝球的概率为12(1)求布袋中黄球的个数；(2)某同学从布袋中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，求恰好摸到一个红球一个蓝球的概率．21.某公司第一季度的销售利润为20万元，第三季度的销售利润为24.2万元．(1)求平均每个季度销售利润的增长率；(2)按照这个增长率，预计第四季度的销售利润将达到多少万元？22.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=45°，AD=5，AB=3√2．(1)若点P是BC边上的一点，且∠BPA=∠DPA，请用直尺和圆规作出符合条件的点P(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，试求四边形ABPD的面积．23.如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE=1m.小丽身高CD=1.2m．(1)求灯杆AB的长；(2)若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处(如图2)，求此时小丽的影长GH的长．24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=90°，连接AC，点E在BA的延长线上，且∠AED=∠ACB，AD、BC的延长线相交于点F．(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)在题中条件不变的情况下，再从以下四个选项中选择三个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结．论成立的计算或证明的过程.①DE//AC，②CD=2，③BC=3，④CF=245你选择的条件是______ ，结论是______ .(填序号)25.如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)，过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD=3，AB=4，设AP=m．(1)当m=1时，求PE的长；(2)连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；(3)如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF=n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．26.已知一次函数y=x−a的图象与x轴、y轴分别交于点A、B.二次函数y=x2+2x+m的图象经过点A，且与x轴交于另一个点C，与y轴交于点D．(1)若a=−3，求m的值；(2)当a>0时，①试用含a的代数式表示BD的长；②若AC=BD，求m的值；(3)是否存在a的值，使得直线AB与直线CD互相垂直？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：12的相反数为−12，故选：C ．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2.【答案】B【解析】解：∵方程(a −1)x 2+x −2=0是关于x 的一元二次方程，∴a −1≠0，解得a ≠1．故选：B ．根据一元二次方程的定义得到a −1≠0，由此可以求得a 的值．本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0).特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3.【答案】D【解析】解：∵当x =1时，y =4；当x =3时，y =4，∴二次函数图象的对称轴为直线x =2，∴二次函数图象的顶点坐标是(2,3)．故选：D ．由二次函数图象上点的坐标(1,4)和(3,4)，利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出顶点坐标． 本题主要考查了二次函数的性质，得出对称轴是解题关键．4.【答案】C【解析】解：∵B 为OE 的中点，∴OB OE =12，∵△ABC 与△DEF 位似，∴△ABC∽△DEF ，AB//DE ，∴△OAB∽△ODE ，∴ABDE =OBOE=12，∴S△ABCS△DEF =(ABDE)2=14，故选：C．根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：连接BE，如图，∵四边形BCDE为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED=180°，∴∠BED=180°−100°=80°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AED=90°−∠BED=90°−80°=10°．故选：A．连接BE，如图，利用圆内接四边形的性质计算出∠BED=80°，再根据圆周角定理得到∠AEB=90°，然后利用互余计算出∠BED的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6.【答案】C【解析】解：∵点A(a,−2a+4)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B.AB≤4，∴AB=|−2a+4|≤4，当a>0时，则2a−4≤4，解得0<a≤4，∴k=a(−2a+4)=−2a2+4a=−2(a−1)2+2≥−16，当a<0时，则−2a+4≤4，解得a≥0，不合题意舍去，∴k=a(−2a+4)=−2a2+4a=−2(a−1)2+2≥−16，故k的取值范围是−16≤k<0，故选：C．根据题意得到AB=|−2a+4|≤4，然后分A在第四象限或第二象限两种情况讨论即可求得a的取值，进而求得k 的取值．本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．7.【答案】x =±2【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程−直接开平方法，属于基础题．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a(a ≥0)的形式，利用数的开方直接求解．【解答】解：移项得x 2=4，∴x =±2．故答案：x =±2．8.【答案】1.14【解析】解：根据题意得：3÷138000=114000(厘米)，114000厘米=1.14千米．故答案为：1.14．根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 9.【答案】0【解析】解：∵a ，b 是一元二次方程2x 2−x −1=0的两个实数根，∴a +b =12，ab =−12，则则a +ab +b =12−12=0，故答案为0．先根据根与系数的关系得出a +b =12，ab =−12，再代入a +ab +b 计算即可得出答案．本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=−p ，x 1x 2=q ． 10.【答案】8√2π【解析】解：根据题意得，圆锥的底面圆的半径为2√2cm，母线长为4cm，×4×2π×2√2=8√2π(cm2).所以这个圆锥的侧面积=12故答案为：8√2π.根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为2√2cm，母线长为4cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．11.【答案】x(x+12)=864【解析】解：∵矩形的宽为x，且宽比长少12，∴矩形的长为(x+12)．依题意，得：x(x+12)=864．故答案为：x(x+12)=864．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为(x+12)，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.【答案】86【解析】解：由题意可得，=86(分)，小李的总成绩是：90×6+80×46+4故答案为：86．根据题意和题目中的数据，可以计算出小李的总成绩．本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．13.【答案】500AB=【解析】解：过O作O⊥AB于C，交圆O于D，连接OA，如图所示：则AC=BC=12400(mm)，CD=200mm，设该油罐横截面的半径为x mm，则OC=(x−200)mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：4002+(x−200)2=x2，解得：x=500，即该油罐横截面的半径为500mm，故答案为：500．过O作O⊥AB于C，交圆O于D，连接OA，由垂径定理得AC=BC=12AB=400(mm)，设该油罐横截面的半径为x mm，则OC=(x−200)mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．14.【答案】√5+3√3或√3+3√5【解析】解：当1，2为直角边，3，6也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当三边分别为1，2，√3，和3，6，3√3，此时两三角形相似，不合题意舍去；当1，2为直角边，m=√5；则6为另一三角形的斜边，其直角边n为：√62−32=3√3，故m+n=√5+3√3；当3，6为直角边，n=3√5；则2为另一三角形的斜边，其直角边m为：√22−12=√3，故m+n=√3+3√5．故答案为：√5+3√3或√3+3√5．直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．15.【答案】1.2【解析】解：过D点作DG//AC交BE于G点，如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵AC=4AE，∴CE=3AE，∵DG//CE，∴DGCE =BDBC=12，即DG=12CE，∴DG=32AE，∵DG//AE，∴AFDF =AEDG=AE32AE=23，∴AFAD =25，∴AF=25AD=25×3=1.2(cm)．故答案为1.2．过D点作DG//AC交BE于G点，如图，利用DG//CE得到DGCE =BDBC，则DG=12CE，所以DG=32AE，再利用DG//AE得到AFDF =23，然后利用比例的性质求AF．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作DG//AC为解题的关键．16.【答案】2【解析】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，∴△ABQ≌△ACP，∴AB=AC，BQ=PC，∠PAQ=∠BAC，∵△ABC是等边三角形∴∠PAQ=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵A(1,0)，B(3,0)，∴AB=3−1=2，∴C(2,√3)，即点C是定点，∴当PC最小时，BQ最小，∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2，∴线段QB长度的最小值为2．故答案为：2．如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，计算点C(2,√3)，确定当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2．本题考查了确定最小值问题，此类题有难度，正确理解题意是关键，运用旋转的性质作旋转三角形是本题的关键．17.【答案】解：(1)原式=1+(−3)−3=1−3−3=−5；(2)解不等式2x−1<3，得：x<2，解不等式2−x<3，得：x>−1，则不等式组的解集为：−1<x<2．【解析】(1)根据实数的混合运算顺序和有关运算法则计算可得；(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键18.【答案】(1)证明：∵b2−4ac=(m+3)2−4m=m2+6m+9−4m=(m+1)2+8>0，∴方程有两个不相等的实数根；(2)解：把x=1代入原方程得：m+m+3+1=0，解得m=−2，故原方程为：−2x2+x+1=0，解得x1=1,x2=−12，∴另一个根为−12．【解析】(1)由于m≠0，原方程是一元二次方程，计算根的判别式△，证明△>0即可；(2)代入法求出m，可得原方程为−2x2+x+1=0，因式分解求出原方程的两个根，从而求解．本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．解决(2)的关键是用因式分解法求出方程的两个根．19.【答案】85 85 100【解析】解：(1)由题意，a=85，b=70+100+100+75+805=85，c=100．故答案为：85，85，100．(2)S2=15[(70−85)2+(100−85)2+(100−85)2+(75−85)2+(80−85)2]=160．∵160<70，∴八年级代表队选手成绩较为稳定．(1)根据中位数，平均数，众数的定义解决问题即可．(2)利用方差的大小比较稳定性．方差越小越稳定．本题考查方差，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】(1)设布袋中黄球的个数为x个，由题意得：21+2+x =12，解得：x=1经检验，x=1是原方程的解答：布袋中黄球的个数为1个；(2)画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好摸到一个红球一个蓝球的结果有4个，∴恰好摸到一个红球一个蓝球的概率为412=13．【解析】(1)设布袋中黄球的个数为x个，由“从中任意摸出一个球是蓝球的概率为12”列出方程，解方程即可；(2)画树状图，共有12个等可能的结果，恰好摸到一个红球一个蓝球的结果有4个，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：(1)设平均每个季度销售利润的增长率为x，依题意得：20(1+x)2=24.2，解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意，舍去)．答：平均每个季度销售利润的增长率为10%．(2)24.2×(1+10%)=26.62(万元)．答：预计第四季度的销售利润将达到26.62万元．【解析】(1)设平均每个季度销售利润的增长率为x，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)利用第四季度的销售利润=第三季度的销售利润×(1+增长率)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)(2)过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD=3√2，AD=BC=5，∴∠DCH=∠B=45°，∵DH⊥CH，∴∠DHC=90°，∴DH=CH=3，∵AD=DP=5，∴PH=√PD2−DH2=√52−32=4，∴s四边形ABPD =12DH(AD+BP)=12×3×(4+5)=272．【解析】(1)以点D为圆心，AD长为半径作弧交BC于点P，点P即为所求作．(2)求出DH=CH=3，PH=4，可得结论．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】(1)解：如图1，根据题意得：AB//CD，BE=1+4=5(米)，∴△EAB∽△ECD，∴ABCD =BEDE，即AB1.2=51，解得：AB=6(米)；答：灯杆AB的高度为6m；(2)如图2，根据题意得：AB//FG，BE=1+4=5(米)，∴△HGF∽△HBA，∴ABFG =BHGH，即61.2=8+GHGH，解得：GH=2(米)；答：此时小丽的影长GH的长是2m．【解析】(1)根据题意得出AB//CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．(2)根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．24.【答案】①，②，③④【解析】解：(1)DE与⊙O相切，理由如下：如图1，连接BD，∵∠AED=∠ACB，∠ADB=∠ACB，∴∠AED=∠ADB，∵∠BCD=90°，∴BD是直径，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠AED+∠ADE=∠ADB+∠ADE=∠BDE=90°，∴BD⊥ED，∴DE与⊙O相切；(2)条件①，②，③，结论④；证明：如图2，∵AC//DE，∴∠E=∠BAC，∵∠ACB=∠E，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC=3，∵BD是⊙O的直径，∴AD=CD，设CF=x，DF=y，由勾股定理得：AB 2+AF 2=BF 2，CD 2+CF 2=DF 2，即32+(2+y)2=(3+x)2①，22+x 2=y 2②，由①得：y 2−x 2=4③，把③代入①得：3x =4+2y ，∴y =3x−42，∴4+x 2=(3x−42)2， 解得：x 1=0(舍)，x 2=245， ∴CF =245．还可以：条件①，④，③，结论②；同理设CD =x ，DF =y ，列方程可解答；条件①，②，④，结论③；根据勾股定理得：DF =√22+(245)2=265，设BC =x ，则AB =x ，∴x 2+(2+265)2=(x +245)2， 解得：x =3，∴BC =3．(1)先根据圆周角定理证明BD 是⊙O 的直径，得∠BAD =90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得∠BDE =90°，可得DE 是⊙O 的切线；(2)答案不唯一：先根据平行线的性质和等腰三角形的判定得AB =BC =3，由垂径定理得AD =CD =2，设未知数，根据勾股定理列方程解出即可．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解一元二次方程，切线的判定和性质，熟练掌握这些定理是解本题的关键．25.【答案】解：(1)连接BE ，由已知：在Rt △ADC 中，AC =√AD 2+DC 2=√32+42=5，当AP =m =1时，PC =AC −AP =5−1=4，∵PE ⊥CD ，∴∠PEC =∠ADC =90°，∵∠ACD =∠PCE ，∴△ACD∽△PCE ，∴AD PE =AC PC ， 即3PE =54， ∴PE =125；(2)如图1，当△PAB≌△PEB 时，∴PA =PE ，∵AP =m ，则PC =5−m ，由(1)得：△ACD∽△PCE ，∴3PE =55−m ，∴PE =3(5−m)5，由PA =PE ，即3(5−m)5=m ，解得：m =158，∴EC =√PC 2−PE 2=√(5−158)2−(158)2=52，∴BE =√EC 2+BC 2=√(52)2+32=√312≠AB ，∴△PAB 与△PEB 不全等，∴不能使得△PAB≌△PEB ；(3)如图2，延长EP 交AB 于G ，∵BP ⊥PF ，∴∠BPF =90°，∴∠EPF +∠BPG =90°，∵EG⊥AB，∴∠PGB=90°，∴∠BPG+∠PBG=90°，∴∠PBG=∠EPF，∵∠PEF=∠PGB=90°，∴△BPG∽△PFE，∴BGPE =PGEF，由(1)得：△PCE∽△ACD，PE=3(5−m)5，∴ECDC =PCAC，即EC4=5−m5，∴EC=4(5−m)5，∴BG=EC=4(5−m)5，∴3−3(5−m)54(5−m)5−n=4(5−m)3(5−m)=43，∴5m+4n=16．【解析】(1)根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；(2)根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；(3)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理进行解答．26.【答案】解：(1)当a=−3时，y=x+3，当y=0时，x+3=0，∴x=−3，∴A(−3,0)，把点A(−3,0)代入二次函数y=x2+2x+m中得：9−6+m=0，∴m=−3；(2)当y=0时，x−a=0，∴x=a，∴A(a,0)，当x=0时，y=−a，∴B(0,−a)，同理得：D(0,m)，把点A(a,0)代入二次函数y=x2+2x+m中得：a2+2a+m=0，∴m=−a2−2a，∵a>0，∴m<0，∴m<−a，即点B在点D的下方，∴BD=−a−m=−a−(−a2−2a)=a2+a；②当y=0时，x2+2x+m=0，=−1±√1−m，x=−2±√4−4m2∴C(−1−√1−m,0)，∵A(a,0)，∴AC=a+1+√1−m，∵AC=BD，∴a+1+√1−m=a2+a，且m=−a2−2a，解得：a1=2，a2=−1(舍)，∴m=−4−4=−8；(3)存在a的值，使得直线AB与直线CD互相垂直，理由是：由(2)知：C(−1−√1−m,0)，A(a,0)，B(0,−a)，D(0,m)，由已知得：A，C两点存在，∴△=4−4m>0，∴m<1，如图1，∴OA=OB=|a|，∵∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，当∠OCD=45°时，∠AEC=90°，即AB⊥CD，∴OC=OD，∴m=−1−√1−m或m=1+√1−m，解得：m1=0(舍)，m2=−3或m1=0(舍)，m2=1(舍)，经检验：m=−3是原方程的解，∴当m=−3时，可使得直线AB与直线CD互相垂直．【解析】(1)先计算点A的坐标，代入二次函数的解析式中可得m的值；(2)①分别计算点A，B，D的坐标，并根据题意知：D在B的下方，根据两点的距离可得结论；②根据AC=BD列方程：a+1+√1−m=a2+a，由m=−a2−2a代入，解出a的值，再计算m的值；(3)表示A，B，C，D各点的坐标，利用根与系数的关系计算m<1，利用等腰直角三角形的性质和判定来解答．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用带字母系数的解析式计算其图象与坐标轴的交点，会用参数解决问题．。
泰州市姜堰区九年级上册期末考试数学试题有答案
九年级第一学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）注意：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效. 一、选择题（每题3分，共18分） 1．︒30sin 的值为 A ．21B ．23C ．33D ．41 2．下列各组图形一定相似的是A ．两个矩形B ．两个等边三角形C ．有一内角是80°的两个等腰三角形D ．两个菱形 3．小华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数4．如果关于的一元二次方程22(10)1m x x －＋＋＝有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞2且m ≠1D ．m ＜2且m ≠15．如图，将宽为1cm 的长方形纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为A ．cm 2B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 26．如图，二次函数c bx ax y ++=2（a ＞0）的图像与直线1=y 交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式012>-++c bx ax 的解集为A ．1>xB ．31<<xC ．1<x 或3>xD ．3>x 二、填空题：（每题3分，共30分）7．抛物线1422+-=x x y 的对称轴为直线 ▲ .8．100件某种产品中有5 件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率为 ▲ .9．将抛物线y=-22+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为 ▲ . 10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= ▲ ．11．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为 ▲ . 12．某人沿着坡度3:1=i 的山坡走了50米，则他离地面的高度上升了 ▲米.13．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是2510t t h -=，则小球运动到的最大高度为 ▲ 米.14．△ABC 中，AB=AC=4，BC=5，点D 是边AB 的中点，点E 是边AC 的中点，点P 是边BC 上的动点，∠DPE ＝∠C ，则BP ＝ ▲ ．15．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若四边形ABCO 为平行四边形，则∠ADB ＝ ▲ ．16．已知二次函数x ax y 322+=（a ＜0）的图像与x 轴交于A(6,0)，顶点为B ，C 为线段AB 上一点,BC ＝2，D 为轴上一动点.若BD ＝OC ，则D 的坐标为 ▲ .三、解答题：（共102分） 17．（本题满分10分） （1）计算：︒+-+-60tan 2321（2）解方程：1)3)(1(-=-+x x（第5题图） （第6题图） （第10题图）（第14题图） （第15题图） （第16题图）18． （本题满分8分）某班召开主题班会，准备从由2名男生和2名女生组成的班委会中选择2人担任主持人. （1）用树状图或表格列出所有等可能结果；（2）求所选主持人恰好为1名男生和1名女生的概率． 19．（本题满分8分）甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环）依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10.（1）求甲第10次的射击成绩； （2）求甲这10次射击成绩的方差；（3）乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环,方差为1.6环2，请问甲和乙哪个的射击成绩更稳定？20．（本题满分10分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，31tan B ，AC=2，D 为AB 中点，DE 垂直AB 交BC 于E. （1）求AB 的长度； （2）求BE 的长度．21．（本题满分10分）如图，AB 、CD 为两个建筑物，建筑物AB 的高度为60米，从建筑物AB 的顶点A 处测得建筑物CD 的顶部C 处的俯角∠EAC 为30°，测得建筑物CD 的底部D 处的俯角∠EAD 为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD 的长度； （2）求建筑物CD 的高度（结果保留根号）．22．（本题满分10分）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，其中B 点坐标为（3，0），C 点坐标为（0，3），且图像对称轴为直线1=x ． （1）求此二次函数的关系式；（2）P 为二次函数c bx ax y ++=2在轴下方的图像上一点，且S △ABP = S △ABC ,求P 点的坐标．CB DAE23．（本题满分10分）如图，四边形OABC 为平行四边形，B 、C 在⊙O 上，A 在⊙O 外，22sin =∠OCB . （1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若BC ＝10cm ，求⊙O 的半径长及图中阴影部分的面积．24．（本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，DE ＝2，直线OE 分别交AB 、CD 于G 、F. （1）求证：DF ＝BG ； （2）求DF 的长；（3）若∠ABC=60°，求tan ∠AEO ．25．（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，点E 是AD 边上一动点（不与点A ，D 重合 ），过A 、E 、C 三点的⊙O 交AB 延长线于点F ，连接CE 、CF ． （1）求证：△DEC ∽△BFC ；（2）设DE 的长为，△AEF 的面积为y ．①求y 关于的函数关系式，并求出当为何值时，y 有最大值； ②连接AC ，若△ACF 为等腰三角形，求的值．26．（本题满分14分）已知二次函数22-+-=n nx mx y （0>n ，m ≠0）的图像经过A （2，0）． （1）用含n 的代数式表示m ；（2）求证：二次函数22-+-=n nx mx y 的图像与 轴始终有2个交点； （3）设二次函数22-+-=n nx mx y 的图像与 轴的另一个交点为B （t ，0）．①当n 取21,n n 时，t 分别为21,t t ，若21n n <，试判断21,t t 的大小关系，并说明理由. ②若t 为整数，求整数n 的值．第一学期期末考试 九年级数学试题参考答案一、选择题（每题3分，共18分） 1.A 2.B 3.D 4.D 5.D 6.C 二、填空题：（每题3分，共30分） 7.直线1=x 8.201 9.2)1(22+--=x y 10.314 11.5 12.25 13. 5 14.1或4 15.30度 16.（2，0）或（4，0） 三、解答题：（共102分） 17.（本题满分10分） （1)原式＝33221+-+.........................4分 ＝25...................................5分 （2）整理得， 0222=--x x ...................................7分解得，31,3121-=+=x x ...................................10分18.(1)略（共12种等可能性结果）...................................4分 (2)P （恰好为1名男生和1名女生）＝32.........................8分19. （1）9....................2分（2）1......................4分 （3）因为平均成绩相等，且甲的方差小于乙的方差，所以乙的射击成绩更稳定 .....................................................................8分 20.（1）102；........................5分（2）310....................10分 21. （1）60........................4分（2）32060-....................10分 22.（1）322++-=x x y ..................................................4分 （2）（71+，－3）或（71-，－3）..................................10分23.(1)证明略..........................................4分（2）⊙O 的半径长25..........7分，阴影部分的面积为25225-π..........10分．24.（1）证三角形BGO 与三角形DFO 全等即可；................................3分 （2）DF 的长为1...........................................................6分 （3）53.................................................................10分 25.（1）证明略；.........................4分 （2）①1232++-=x x y ，.............7分；当43=时，y 有最大值；.......9分； ②215,21-==x x 或43=x ............................................12分；26.（1）把A （2，0）代入22-+-=n nx mx y ，得42+=n m ................2分； (2))2(4)(2---n m n ＝)2(4242-⋅+⋅-n n n ＝422+-n n ＝4>0.所以二次函数22-+-=n nx mx y 的图像与 轴始终有2个交点；.............5分； （3）①依题意可知242+-=n n t ..............................................7分；所以242242221121+--+-=-n n n n t t ＝)2(2()(82121++-n n n n ）因为21n n <，所以021<-n n ， 又因为0>n ，所以02,0221>+>+n n 。
九年级上期末数学试卷3含答案解析
2018-2019学年江苏省泰州市姜堰市九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．sin30°的值为（）A．B．C．D．2．下列各组图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等边三角形C．各有一角是80°的两个等腰三角形D．任意两个菱形3．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数4．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠15．如图，将宽为1cm的长方形纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）A．cm2 B．cm2C．cm2D．cm26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集为（）A．x＞1 B．1＜x＜3 C．x＜1或x＞3 D．x＞3二、填空题：7．抛物线y=2x2﹣4x+1的对称轴为直线．8．100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是．9．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为．10．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=．11．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为．12．某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面的高度上升了米．13．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=10t﹣5t2，则小球运动到的最大高度为米．14．△ABC中，AB=AC=4，BC=5，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点，点P是边BC上的动点，∠DPE=∠C，则BP=．15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形ABCO为平行四边形，则∠ADB=．16．已知二次函数y=ax2+2x（a＜0）的图象与x轴交于A（6，0），顶点为B，C为线段AB上一点，BC=2，D为x轴上一动点．若BD=OC，则D的坐标为．三、解答题：（共102分）17．（10分）（1）计算：2﹣1+|﹣2|+tan60°（2）解方程：（x+1）（x﹣3）=﹣1．18．（8分）某班召开主题班会，准备从由2名男生和2名女生组成的班委会中选择2人担任主持人．（1）用树状图或表格列出所有等可能结果；（2）求所选主持人恰好为1名男生和1名女生的概率．19．（8分）甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环）依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10．（1）求甲第10次的射击成绩；（2）求甲这10次射击成绩的方差；（3）乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环，方差为1.6环2，请问甲和乙哪个的射击成绩更稳定？20．（10分）如图，△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=2，D为AB中点，DE垂直AB交BC于E．（1）求AB的长度；（2）求BE的长度．21．（10分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．22．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，其中B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，3），且图象对称轴为直线x=1．（1）求此二次函数的关系式；=S△ABC，求P （2）P为二次函数y=ax2+bx+c在x轴下方的图象上一点，且S△ABP点的坐标．23．（10分）如图，四边形OABC为平行四边形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若BC=10cm，求⊙O的半径长及图中阴影部分的面积．24．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD交于O点，E为AD延长线上一点，DE=2，直线OE分别交AB、CD于G、F．（1）求证：DF=BG；（2）求DF的长；（3）若∠ABC=60°，求tan∠AEO．25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是AD边上一动点（不与点A，D重合），过A、E、C三点的⊙O交AB延长线于点F，连接CE、CF．（1）求证：△DEC∽△BFC；（2）设DE的长为x，△AEF的面积为y．①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值；②连接AC，若△ACF为等腰三角形，求x的值．26．（14分）已知二次函数y=mx2﹣nx+n﹣2（n＞0，m≠0）的图象经过A（2，0）．（1）用含n的代数式表示m；（2）求证：二次函数y=mx2﹣nx+n﹣2的图象与x轴始终有2个交点；（3）设二次函数y=mx2﹣nx+n﹣2的图象与x轴的另一个交点为B（t，0）．①当n取n1，n2时，t 分别为t1，t2，若n1＜n2，试判断t1，t2的大小关系，并说明理由．②若t为整数，求整数n的值．2016-2017学年江苏省泰州市姜堰市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．sin30°的值为（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin30°=，故选：A．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．下列各组图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等边三角形C．各有一角是80°的两个等腰三角形D．任意两个菱形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；故选：B．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．3．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数【考点】统计量的选择．【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选D．【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．4．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m ﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2且m≠1．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．5．如图，将宽为1cm的长方形纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）A．cm2 B．cm2C．cm2D．cm2【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】如图，作CH⊥AB于H．首先证明AC﹣=AB，△ACH是等腰直角三角形，求出AB、CH即可解决问题．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AC=AB，∵∠CAB=45°，∠AHC=90°，∴∠CAH=∠HCA=45°，∴AH=CH=1，AC=AB=，=•AB•CH=，∴S△ABC故选D．【点评】本题考查翻折变换、矩形性质、三角形的面积公式等知识，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键，本题的突破点是证明AC=AB=，属于中考常考题型．6．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集为（）A．x＞1 B．1＜x＜3 C．x＜1或x＞3 D．x＞3【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标即可得到不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集．【解答】解：根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标为（1，1），（3，1），而ax2+bx+c﹣1＞0，即y＞1，故x＜1或x＞3．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当y＞1时，利用图象得出不等式解集是解题关键．二、填空题：7．抛物线y=2x2﹣4x+1的对称轴为直线x=1．【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x=1，故答案为：x=1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．8．100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是=．故答案为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．9．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据平移规律作答即可．【解答】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2．故答案为：y=﹣2（x﹣1）2+2．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=．【考点】平行线分线段成比例．【分析】由平行可得到=，代入可求得EC，再利用线段的和可求得AC．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=，∴AC=AE+EC=2+=，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．11．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为5．【考点】圆锥的计算．【分析】这个圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l=15π，然后解方程即可．【解答】解：这个圆锥的母线长为l，根据题意得•2π•3•l=15π，解得l=5．故答案为5．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米，则他离地面的高度上升了25米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意可以设出某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米时的竖直高度，然后根据勾股定理即可解答本题．【解答】解：设某人沿着坡度i=1：的山坡走了50米时的竖直高度为x米，则此时走的水平距离为米，由勾股定理可得，，解得，x1=﹣25（舍去），x2=25，故答案为：25．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、勾股定理，明确坡度的含义是解答此类题目的关键．13．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=10t﹣5t2，则小球运动到的最大高度为5米．【考点】二次函数的应用．【分析】把抛物线解析式化成顶点式，即可解答．【解答】解：∵h=10t﹣5t2=﹣5（t﹣1）2+5，又∵﹣5＜0，∴t=1时，h有最大值，最大值为5，故答案为5．【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题，解题的关键是正确的建立二次函数模型．14．△ABC中，AB=AC=4，BC=5，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点，点P是边BC上的动点，∠DPE=∠C，则BP=1或4．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=2，CE=2，∠B=∠C，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC=4，点D是边AB的中点，点E是边AC的中点，∴BD=2，CE=2，∠B=∠C，∵∠DPE=∠C，∴∠BPD=180°﹣∠B﹣∠DPE，∠CEP=180°﹣∠EPC﹣∠C，∴∠DPB=∠PEC，∴△BPD∽△CPE，∴，即，∴PB=1或4，故答案为：1或4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形ABCO为平行四边形，则∠ADB=30°．【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质．【分析】根据圆内接三角形的性质得到∠ADC+∠ABC=180°，根据平行四边形的性质的∠AOC=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AOC，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵四边形ABCO为平行四边形，∴∠AOC=∠ABC，由圆周角定理得，∠ADC=∠AOC，∴∠ADC+2∠ADC=180°，∴∠ADC=60°，∵OA=OC，∴平行四边形ABCO为菱形，∴BA=BC，∴∠ADB=∠ADB=30°，故答案为：30°．【点评】本题考查的是圆内接三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．16．已知二次函数y=ax2+2x（a＜0）的图象与x轴交于A（6，0），顶点为B，C为线段AB上一点，BC=2，D为x轴上一动点．若BD=OC，则D的坐标为D （2，0）或（4，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】把A（6，0）代入y=ax2+2x得0=62a+2×6，得到y=﹣x2+2x，根据抛物线的顶点坐标公式得到B（3，3），根据两点间的距离公式得到AB==6，过B作BE⊥OA于E，CF⊥OA与F，根据相似三角形的性质得到AF=2，CF=2，根据两点间的距离公式得到OC==2，根据BD=OC，列方程即可得到结论．【解答】解：把A（6，0）代入y=ax2+2x得0=62a+2×6，∴a=﹣，∴y=﹣x2+2x，∵顶点为B，∴B（3，3），∴AB==6，∵BC=2，过B作BE⊥OA于E，CF⊥OA与F，∴CF∥BE，∴△ACF∽△ABE，∴==，∴AF=2，CF=2，∴OF=4，∴OC==2，∵BD=OC，∴BD=2，设D（x，0），∴BD==2，∴x1=2，x2=4，∴D（2，0）或（4，0）．故答案为：D（2，0）或（4，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，相似三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题：（共102分）17．（10分）（2016秋•泰州期末）（1）计算：2﹣1+|﹣2|+tan60°（2）解方程：（x+1）（x﹣3）=﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）原式=+2﹣+=；（2）整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．某班召开主题班会，准备从由2名男生和2名女生组成的班委会中选择2人担任主持人．（1）用树状图或表格列出所有等可能结果；（2）求所选主持人恰好为1名男生和1名女生的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据题意可直接先画出列表或树状图；（2）根据图可判断12种结果中有8种结果可以使该事件发生，即可得概率．【解答】解：（1）画树状图如下：==．（2）由（1）知P（恰好为1名男生和1名女生）【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环）依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10．（1）求甲第10次的射击成绩；（2）求甲这10次射击成绩的方差；（3）乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环，方差为1.6环2，请问甲和乙哪个的射击成绩更稳定？【考点】方差．【分析】（1）用甲射击的总环数减去前9次射击的总环数可得；（2）根据方差的计算公式可得；（3）根据方差的意义可得答案．【解答】解：（1）根据题意，甲第10次的射击成绩为9×10﹣（8+10+9+10+7+9+10+8+10）=9；（2）甲这10次射击成绩的方差为×[4×（10﹣9）2+3×（9﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2]=1；（3）∵平均成绩相等，而甲的方差小于乙的方差，∴乙的射击成绩更稳定．【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题的关键．20．（10分）（2016秋•泰州期末）如图，△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=2，D为AB中点，DE垂直AB交BC于E．（1）求AB的长度；（2）求BE的长度．【考点】解直角三角形．【分析】（1）首先利用正切函数的定义求得另一直角边BC的长，然后利用勾股定理即可求得AB的长；（2）首先求得BD的长，然后求得DE的长，利用勾股定理即可求得BE的长．【解答】解：（1）∵∠C=90°，tanB=，AC=2，∴BC=2AC=4，∴AB===2；（2）∵D为AB中点，∴BD=AB=，∵DE垂直AB交BC于E，tanB=，∴DE=BD=，∴BE===．【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求得相关线段的长，难度不大，属于中等题目．21．（10分）（2014•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．【解答】解：（1）根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60，∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，又∵FD=60，∴CD=60﹣20，∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．【点评】考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．22．（10分）（2016秋•泰州期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，其中B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，3），且图象对称轴为直线x=1．（1）求此二次函数的关系式；=S△ABC，求P （2）P为二次函数y=ax2+bx+c在x轴下方的图象上一点，且S△ABP点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）将B、C的坐标和对称轴方程代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，可得此二次函数的关系式；（2）根据等底等高的三角形的面积相等，可得P的纵坐标与C的纵坐标互为相反数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）根据题意，得，解得．故二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3．=S△ABC，得（2）由S△ABPy P+y C=0，得y P=﹣3，当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=﹣3，解得x1=1﹣，x2=1+．故P点的坐标为（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用等底等高的三角形的面积相等得出P的纵坐标与C的纵坐标互为相反数是解题关键．23．（10分）（2016秋•泰州期末）如图，四边形OABC为平行四边形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=．（1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若BC=10cm ，求⊙O 的半径长及图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形．【分析】（1）由特殊三角函数值sin ∠OCB=，求得∠OCB=45°，根据同圆的半径相等得：OB=OC ，利用等边对等角得：∠OCB=∠OBC=45°，所以∠BOC=90°，最后由平行四边形的对边平行和平行线性质得：∠BOC=∠ABO=90°，AB 与⊙O 相切；（2）根据勾股定理求⊙O 的半径长，再利用差求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OB ，∵sin ∠OCB=， ∴∠OCB=45°，∵OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠BOC=90°，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，∴∠BOC=∠ABO=90°，∵B 在⊙O 上，∴AB 与⊙O 相切；解：（2）设⊙O 的半径为r ，则OB=OC=r ，在Rt △OBC 中，r 2+r 2=102，∴r=5，∴S 阴影部分=S 扇形OBC ﹣S △OBC =﹣×=π﹣25，答：⊙O 的半径长5，阴影部分的面积为．【点评】本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、三角函数值、扇形的面积；明确两种证明切线的方法：①无交点，作垂线段，证半径；②有交点，作半径，证垂线；熟记扇形的面积公式，并掌握特殊的三角函数值．24．（10分）（2016秋•泰州期末）如图，在菱形ABCD 中，AB=4，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，DE=2，直线OE 分别交AB 、CD 于G 、F ．（1）求证：DF=BG ；（2）求DF 的长；（3）若∠ABC=60°，求tan ∠AEO ．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）根据菱形的性质得出OD=OB ，再由平行线的性质得出∠OBG=∠ODF ，故可得出△BGO ≌△DFO ，进而可得出结论；（2）过点O 作OK ∥AD ，由三角形中位线定理得出OK 的长，再判定出△DEF ∽△KOF ，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）过点O 作OH ⊥AD 于点H ，根据菱形的性质得出∠ADO=30°，∠OAH=60°，设OH=x ，则DH=x ，AH=x ，再由AD=4可得出x 的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OB=OD ，AB ∥CD ，∴∠OBG=∠ODF ．在△BGO 与△DFO 中，∵，∴△BGO ≌△DFO （ASA ），∴DF=BG ；（2）解：过点O 作OK ∥AD ，∵点O 是对角线AC 、BD 交点，∴点O 是线段AC 的中点，∴OK 是△ACD 的中线，∴OK=AD=2，DK=CD=2．∵AD ∥OK ，∴△DEF ∽△KOF ，∴=，即=，解得DF=1．（3）解：过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵∠ABC=60°，∴∠ADO=30°，∠OAH=60°，设OH=x ，则DH=x ，AH=x ．∵AD=4，∴x +x=4，解得x=，∴HD=3，OH=，∴HE=HD +DE=3+2=5，∴tan ∠AEO==．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质及锐角三角函数的定义等知识，涉及面较广，难度较大．25．（12分）（2016秋•泰州期末）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E 是AD边上一动点（不与点A，D重合），过A、E、C三点的⊙O交AB延长线于点F，连接CE、CF．（1）求证：△DEC∽△BFC；（2）设DE的长为x，△AEF的面积为y．①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值；②连接AC，若△ACF为等腰三角形，求x的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，连接EF．首先证明EF是⊙O直径，推出∠ECF=90°，由∠DCB=∠ECF，推出∠DCE=∠BCF，由∠D=∠CBF，即可证明△DEC∽△BFC．（2）①由△DEC∽△BFC，得=，求出BF，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．②分三种情形讨论即可解决问题．a、当AC=AF=时．b、当CA=CF时，易知AB=BF=1，c、当FC=FA时，则有（2x）2+22=（1+2x）2．【解答】（1）证明：如图1中，连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，AD=BC=2，∠A=∠D=∠DCB=∠ABC=∠CBF=90°，∴EF是⊙O直径，∴∠ECF=90°，∴∠DCB=∠ECF，∴∠DCE=∠BCF，∵∠D=∠CBF，∴△DEC∽△BFC．（2）①∵△DEC∽△BFC，∴=，∴=，∴BF=2x，AF=1+2x，∴y=•AE•AF=（2﹣x）（1+2x）=﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x=时，y有最大值．②如图2中，a、当AC=AF=时，∵BF=2x=﹣1，∴x=．b、当CA=CF时，易知AB=BF=1，∴2x=1，∴x=．c、当FC=FA时，则有（2x）2+22=（1+2x）2，解得x=，综上所述，△ACF为等腰三角形，x的值为或或．【点评】本题考查圆综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26．（14分）（2016秋•泰州期末）已知二次函数y=mx2﹣nx+n﹣2（n＞0，m ≠0）的图象经过A（2，0）．（1）用含n的代数式表示m；（2）求证：二次函数y=mx2﹣nx+n﹣2的图象与x轴始终有2个交点；（3）设二次函数y=mx2﹣nx+n﹣2的图象与x轴的另一个交点为B（t，0）．①当n取n1，n2时，t 分别为t1，t2，若n1＜n2，试判断t1，t2的大小关系，并说明理由．②若t为整数，求整数n的值．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．【分析】（1）把A（2，0）代入y=mx2﹣nx+n﹣2，即可用含n的代数式表示m；（2）只需证明△=（﹣n）2﹣4m（n﹣2）＞0即可；（3）①根据题意用含n的代数式表示t，可得t1﹣t2=﹣=，依此可得t1﹣t2＜0，从而求解；②t==2﹣，因为t为整数且n＞0，可得n+2＞2，得到n+2=4或n+2=8，解方程即可求解．【解答】解：（1）把A（2，0）代入y=mx2﹣nx+n﹣2，得4m﹣2n+n﹣2=0，m=；（2）∵△=（﹣n）2﹣4m（n﹣2）=n2﹣4××（n﹣2）=n2﹣n2+4=4＞0，∴二次函数y=mx2﹣nx+n﹣2的图象与x轴始终有2个交点；（3）①依题意可知t=；所以t1﹣t2=﹣=，因为n1＜n2，所以n1﹣n2＜0，又因为n＞0，所以n1+2＞0，n2+2＞0，所以t1﹣t2＜0，所以t1＜t2；②t==2﹣，因为t为整数且n＞0，所以n+2＞2，所以n+2=4或n+2=8所以n=2或n=6．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答本题的关键是根据根的判别式△＞0证明抛物线与x轴有两个交点．。
姜堰九上期末数学试卷
1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其图象与x轴的交点为A、B，若AB的中点为M，则M的坐标为（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (4, 0)2. 若关于x的方程2x^2 - 3x + 1 = 0的两根为a和b，则a+b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 在等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，则a10的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 324. 已知直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (1, 2)B. (1, 3)C. (2, 1)D. (2, 3)5. 已知函数f(x) = |x - 2|，其图象与x轴的交点为C、D，若CD的长度为4，则f(x)的值域为（）A. [0, 2]B. [0, 4]C. [2, 4]D. [0, 6]6. 在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=60°，则△ABC的周长与面积之比为（）A. 3：1B. 2：1C. 1：2D. 1：37. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其图象与x轴的交点为E、F，若EF的长度为2，则f(x)的值域为（）A. [0, 2]B. [0, 4]C. [2, 4]D. [0, 6]8. 在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=45°，则△ABC的周长与面积之比为（）A. 3：1B. 2：1C. 1：2D. 1：39. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其图象与x轴的交点为G、H，若GH的长度为6，则f(x)的值域为（）A. [0, 6]B. [0, 12]C. [6, 12]D. [0, 18]10. 在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=30°，则△ABC的周长与面积之比为（）A. 3：1B. 2：1C. 1：2D. 1：311. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则a5的值为______。
江苏省泰州市姜堰区19-20九上期末数学试卷
江苏省泰州市姜堰区19-20九上期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.方程x2=3x的解为()A. x=3B. x=0C. x1=0，x2=−3D. x1=0，x2=32.已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断3.如图，A、B、C在⊙O上，∠A=50°，则∠OBC的度数是()A. 50°B. 40°C. 100°D. 80°4.数据3，6，7，4，x的平均数是5，则这组数据的中位数是()A. 4B. 4.5C. 5D. 65.一个不透明的袋子中装有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是()A. 3个B. 不足3个C. 4个D. 5个或5个以上6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=()A. 8cmB. 5cmC. 3cmD. 2cm二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.一组数据9、9、8、3、8、9、9的众数是______．8.若x1，x2是一元二次方程x2−3x−4=0的两根，则x1+x2=________．9.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，2=0.5，则在本次测试中，______同学的成绩更稳定(填“甲”或“乙”)S乙10.如图，AC与DF相交于点O，AD//BE//CF，AB=2，BC=5，DF=14，则DE=____．11.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是______．12.m是方程x2−6x−5=0的一个根，则代数式11+6m−m2的值是______．13.直角三角形的的两条直角边长是5cm和12cm，那么它的外接圆的直径是_____cm．14.近几年房价迅速上涨，已知某小区2017年1月房价为每平方米8100元，经过两年连续涨价后，2019年1月房价为每平方米12500元．设该小区这两年房价平均增长率为x，根据题意可列方程为______．15.如图AB为⊙O的直径，AC=3，BC=4，弦AD=1，则CD的长为__________．16.如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=15，AC=17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH//DF，分别交BD，BF于点G，H．(1)求DE的长；(2)求证：∠1=∠DFC．四、解答题（本大题共8小题，共80.0分）)−1+(3.14−π)0+√8．18.计算：−12018−|1−√2|+(1219.20.解下列方程：(1)(x+1)2=9(2)x2−2x−2=020.化简并求值：3a+2−a−2a÷a2−4a2+a，其中a=−32．21.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？(3)如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且(x1−3)(x2−3)=5m，求m的值．22.一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于1．2(1)求口袋中有几个红球？(2)先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率．23.市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表(单位：环)：(1)根据表格中的数据，分别计算出甲、乙两人的平均成绩；(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；(3)如从“射击成绩和发挥稳定”的角度考虑，根据(1)、(2)计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．24.如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8m，窗高CD=1.2m，并测得OE=0.8m，OF=3m，求围墙AB的高度．25.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O.与AC相切于点E，连结DE并延长与BC的延长线交于点F．(1)求证：EF2=BD⋅CF；(2)若CF=1，BD=5.求sin A的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵x2−3x=0，∴x(x−3)=0，则x=0或x−3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2.答案：B解析：本题考查直线与圆的位置关系，根据判断直线与圆的位置关系的方法： ①根据直线与圆的公共点的个数; ②根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，本题采用方法②即可解答．解：因为⊙O的直径为4，所以⊙O的半径r为2，因为点O到直线l的距离d为2，所以d=r，所以l与⊙O的位置关系是相切．故选B．3.答案：B解析：此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理可得∠BOC=100°，然后根据BO=CO可得∠OBC=∠OCB，进而可利用三角形内角和定理可得答案．解：∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°，∵BO=CO，∴∠OBC=(180°−100°)÷2=40°，故选：B．4.答案：C解析：此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．根据平均数计算公式得到x的值，再找出中位数即可．=5，解：由题意得，3+6+7+4+x5解得：x=5，这组数据按从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，7，则中位数为：5．故选C．5.答案：D解析：本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．解：因为袋中有4个红球，取到白球的可能性较大，所以袋中白球的个数大于红球个数，所以袋中白球的个数可能是5个或5个以上．故选D．6.答案：A解析：解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=12CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=√OC2−CE2=3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选：A．根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+ OE即可得出AE的长度．本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．7.答案：9解析：解：数据9、9、8、3、8、9、9的众数是9，故答案为：9．根据众数的定义计算可得．本题主要考查众数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．8.答案：3解析：利用根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．9.答案：乙解析：根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为乙．10.答案：4解析：本题考查了平行线分线段成比例定理.根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再代入求出即可．解：∵AD//BE//CF，∴ABBC =DEEF，∵AB=2，BC=5，DF=14，∴25=DE14−DE，解得：DE=4，故答案为4．11.答案：20πcm2解析：解：这个圆锥的侧面积=12⋅2π⋅4⋅5=20π(cm2).故答案为20πcm2．根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12.答案：6解析：本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出m2−6m的值，然后整体代入是解题的关键．根据方程的根的定义，把m代入方程求出m2−6m的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．解：∵m是方程x2−6x−5=0的一个根，∴m2−6m−5=0，整理得，m2−6m=5，∴11+6m−m2=−(m2−6m)+11，=−5+11，=6．故答案为：6．13.答案：13解析：此题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练运用勾股定理计算直角三角形的未知边是关键．注意：直角三角形的外接圆的半径是其斜边的一半.首先根据勾股定理，得斜边是13cm，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径，进而得到直径．解：∵直角边长分别为5cm和12cm，∴斜边是13cm，∴这个直角三角形的外接圆的半径为6.5cm．它的外接圆的直径是13cm．故答案为13．14.答案：8100(1+x)2=12500．解析：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该小区这两年房价平均增长率为x ，根据该小区2017年1月的房价及2019年1月的房价，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 解：设该小区这两年房价平均增长率为x ， 根据题意得：8100(1+x)2=12500． 故答案为8100(1+x)2=12500．15.答案：6√6+45或6√6−45解析：本题主要考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论的思想方法等知识． 利用圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分情况讨论求解即可． 解：∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ACB =90°， ∴AC 2+BC 2=AB 2， ∴AB =5，如图：连接BD ，CD ，BD 与AC 相交于点E ，∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB =90°， ∴AD 2+BD 2=AB 2， ∴BD =2√6，∵∠DAE =∠CBE ， ∠AED =∠BEC ， ∴△AED∽△BEC ， ∴DE CE=AE BE=AD BC=14，设DE =x ，AE =y ，则CE =4x ，BE =4y ， 则{x +4y =2√6y +4x =3， ∴{x =12−2√615y =8√6−315， ∵∠DCE =∠ABE ， ∠CED =∠BEA ， ∴△DCE∽△ABE∴CD AB =DEAE∴CD =6√6−45； 如图：连接CD 、BD ，CD 交AB 于点F ，同理可得△AFD∽△CFB ， ∴AF CF=DF BF=AD CB=14， 设AF =u ，DF =v ，则BF =4v ，CF =4u ， 同理得△AFC∽△DFB ， ∴AFDF =2√6，∴DF =2√63u ，∴{u +4v =5v =2√63u, ∴{u =3+8√6v =√63+8√6,∴CD =4u +v =6√6+45． 故答案为6√6+45或6√6−45． 16.答案：8π解析：解：在Rt △ABC 中，AB =√AC 2−BC 2=√172−152=8， 所以S 半圆=π2×42=8π． 故答案为：8π．首先根据勾股定理求出AB 的长，再根据半圆的面积公式解答即可． 熟练运用勾股定理以及圆面积公式．17.答案：(1)解：∵矩形ABCD 中，AD//CF ，∴∠DAF =∠ACF ， ∵AF 平分∠DAC ， ∴∠DAF =∠CAF ， ∴∠FAC =∠AFC ， ∴AC =CF ， ∵AB =4，BC =3，∴AC =√AB 2+BC 2=√32+42=5， ∴CF =5， ∵AD//CF ， ∴△ADE∽△FCE ， ∴AD CF=DE CE，设DE =x ，则35=x4−x ， 解得x =32∴DE=32；(2)∵AD//FH，AF//DH，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD=FH=3，∴CH=2，BH=5，∵AD//BH，∴△ADG∽△HBG，∴DGBG =ADBH，∴DG5−DG =35，∴DG=158，∵DE=32，∴DEDG =DCDB=45，∴EG//BC，∴∠1=∠AHC，又∵DF//AH，∴∠AHC=∠DFC，∠1=∠DFC．解析：(1)由AD//CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC=∠AFC，得出AC=CF=5，可证出△ADE∽△FCE，则ADCF =DECE，可求出DE长；(2)由△ADG∽△HBG，可求出DG，则DEDG =DCDB，可得EG//BC，则∠1=∠AHC，根据DF//AH，可得∠AHC=∠DFC，结论得证．本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．18.答案：解：原式=−1−(√2−1)+2+1+2√2=−1−√2+1+2+1+2√2=3+√2．解析：直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质和负指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.答案：(1)x1=2，x2=−4；(2)x1=1+√3，x2=1−√3解析：(1)方程利用平方根定义开方即可求出解；(2)方程整理后，利用配方法求出解即可．【详解】(1)开方得：x+1=3或x+1=−3，解得：x1=2，x2=−4；(2)方程整理得：x2−2x=2，配方得：x2−2x+1=3，即(x−1)2=3，x−1=±√3，解得：x1= 1+√3，x2=1−√3．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法和配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．20.答案：解：原式=3a+2−a−2a×a(a+1)(a−2)(a+2)=3a+2−a+1a+2=2−aa+2，当a=−32时，原式=2−(−32)−32+2=7．解析：直接利用分式的混合运算法则将原式变形进而把已知代入求出答案．此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．21.答案：解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x2−mx+m2−14=0的两个相等实数根，∴m 2−4(m2−14)=0，解得：m =1，此时方程为x 2−x +14=0， 解得：x =12， ∴这时菱形的边长为12；(2)根据题意知，{2+AD =m2AD =m 2−14，解得：AD =12，∴平行四边形ABCD 的周长是2×(2+12)=5；(3)∵方程的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−14，代入到(x 1−3)(x 2−3)=x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=5m ，可得m2−14−3m +9=5m ， 解得：m =76．解析：本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，理解题意得出相应的方程是解题的关键． (1)当AB =AD 时，四边形ABCD 是菱形，即方程 x 2−mx +m 2−14=0的两个相等实数根，根据根的判别式为0可得关于m 的方程，解之可得m 的值，再还原方程，求解可得； (2)根据根与系数的关系可得{2+AD =m2AD =m 2−14，解之可得AD 的长，继而得出周长；(3)由根与系数的关系可得x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−14，代入到(x 1−3)(x 2−3)=x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=5m ，解之可得．22.答案：解：(1)4个小球中恰好摸到红球的概率等于12.则x 4=12，解得x =2个，即口袋里有2个红球； (2)列表如下：所有等可能的情况有12种，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球有8种可能， 则P(两次摸到红球)=812=23．解析：(1)设红球有x 个，根据任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于12，求出x 的值即可． (2)列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的情况数，即可求出所求的概率．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.答案：解：(1)甲的平均成绩是：(10+9+8+8+10+9)÷6=9，乙的平均成绩是：(10+10+8+10+7+9)÷6=9；(2)甲的方差为：16[(10−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(9−9)2]=23， 乙的方差为：16[(10−9)2+(10−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(7−9)2+(9−9)2]=43； (3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．解析：此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x .，则方差S 2=1n [(x 1−x ˙)2+(x 2−x ˙)2+⋯+(x n −x ˙)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． (1)根据图表得出甲、乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；(2)根据方差公式S2=1n[(x1−x˙)2+(x2−x˙)2+⋯+(x n−x˙)2]，，即可求出甲乙的方差；(3)根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，找出方差较小的即可．24.答案：解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=0.8m，OE=0.8m，∴∠DEB=45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=45°，∴AB=BE，设AB=EB=x m，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB//CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF =COOF，xx+(3−0.8)=1.2+0.83，解得：x=4.4．经检验：x=4.4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4.4m．解析：本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF，属于中档题．首先根据DO=OE=0.8m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得ABBF=COOF，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．25.答案：(1)证明：如图1，连接OE、BE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE//BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=12BF，又∵OE=12BD，则BF=BD，∵BD为⊙O直径，∴∠BED=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BEF=∠ECF=90°，∵∠F=∠F，∴△ECF∽△BEF，∴EFCF =BFEF，∴EF2=BF⋅CF=BD⋅CF；(2)解：如图2，连接DQ，∵EF2=BD⋅CF，CF=1，BD=5，∴EF=√5，∵BD为⊙O的直径，∴DQ⊥BF，BE⊥DF，∵BD=BF，BD=5，∴BF=5，DE=EF=√5，即DF=2√5，由勾股定理得：BE=√BD2−DE2=√52−(√5)2=2√5，∵在△BDF中，由三角形面积公式得：BF×DQ=DF×BE，∴5DQ=2√5×2√5，∴DQ=4，在Rt△BDQ中，BD=5，DQ=4，由勾股定理得：BQ=3，∵∠ACB=90°，DQ⊥BF，∴DQ//AC，∴∠A=∠BDQ，∴sinA=sin∠BDQ=BQBD =35．解析：(1)连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，求出BD=BF，证△北方HE△ECF相似即可；(2)连接DQ，求出EF，根据勾股定理求出BE，根据三角形面积公式求出DQ，根据勾股定理求出BQ，求出∠BAC=∠BDQ，解直角三角形求出即可．此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，相似三角形的性质和判定，勾股定理以及圆周角定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．。
精品解析：江苏省泰州市姜堰区九年级上学期期末数学试题(解析版)
4.如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上， ．若 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由DE//BC，根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：45．
【点睛】题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12.已知二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则△ABC的面积为________．
【答案】27
【解析】
【分析】先求出A，B，C的坐标，再以AB为底边，求出三角形ABC的高，即可求出面积．
翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图②）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，间木材的直径CD是________寸．（1尺＝10寸）
【答案】26
【解析】
【分析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，由垂径定理得AC=BC= AB=5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（每小题3分，共10小题，30分）
7.一组数据6，8，10，7的极差是________．
【答案】4
【解析】
【分析】一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为4．
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2016～2017学年度第一学期期末考试九年级数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）命题人：九年级数学命题组 审校：初中数学学科工作室注意：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效. 一、选择题（每题3分，共18分） 1．︒30sin 的值为 A ．21B ．23C ．33D ．41 2．下列各组图形一定相似的是A ．两个矩形B ．两个等边三角形C ．有一内角是80°的两个等腰三角形D ．两个菱形 3．小华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是 A ．平均数B ．众数C ．方差D ．中位数4．如果关于x 的一元二次方程22(10)1m x x －＋＋＝有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞2且m ≠1D ．m ＜2且m ≠15．如图，将宽为1cm 的长方形纸条沿BC 折叠，使∠CAB =45°，则折叠后重叠部分的面积为A ．cm 2B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 26．如图，二次函数c bx ax y ++=2（a ＞0）的图像与直线1=y 交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式012>-++c bx ax 的解集为A ．1>xB ．31<<xC ．1<x 或3>xD ．3>x 二、填空题：（每题3分，共30分）7．抛物线1422+-=x x y 的对称轴为直线 ▲ .8．100件某种产品中有5 件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率为 ▲ .9．将抛物线y=-2x 2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为 ▲ .10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= ▲ ．11．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为 ▲ .12．某人沿着坡度3:1=i 的山坡走了50米，则他离地面的高度上升了 ▲ 米.13．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是2510t t h -=，则小球运动到的最大高度为 ▲ 米.14．△ABC 中，AB=AC=4，BC=5，点D 是边AB 的中点，点E 是边AC 的中点，点P 是边BC 上的动点，∠DPE ＝∠C ，则BP ＝ ▲ ．15．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若四边形ABCO 为平行四边形，则∠ADB ＝ ▲ ． 16．已知二次函数x ax y 322+=（a ＜0）的图像与x 轴交于A(6,0)，顶点为B ，C 为线段AB 上一点,BC ＝2，D 为x 轴上一动点.若BD ＝OC ，则D 的坐标为 ▲ .三、解答题：（共102分） 17．（本题满分10分） （1）计算：︒+-+-60tan 2321（2）解方程：1)3)(1(-=-+x x（第5题图） （第6题图） （第10题图）（第14题图） （第15题图） （第16题图）18．（本题满分8分）某班召开主题班会，准备从由2名男生和2名女生组成的班委会中选择2人担任主持人. （1）用树状图或表格列出所有等可能结果；（2）求所选主持人恰好为1名男生和1名女生的概率．19．（本题满分8分）甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环）依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10.（1）求甲第10次的射击成绩； （2）求甲这10次射击成绩的方差；（3）乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环,方差为1.6环2，请问甲和乙哪个的射击成绩更稳定？20．（本题满分10分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，31tan B ，AC=2，D 为AB 中点，D E 垂直AB 交BC 于E. （1）求AB 的长度； （2）求BE 的长度．21．（本题满分10分）如图，AB 、CD 为两个建筑物，建筑物AB 的高度为60米，从建筑物AB 的顶点A 处测得建筑物CD 的顶部C 处的俯角∠EAC 为30°，测得建筑物CD 的底部D 处的俯角∠EAD 为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD 的长度； （2）求建筑物CD 的高度（结果保留根号）．22．（本题满分10分）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，其中B 点坐标为（3，0），C 点坐标为（0，3），且图像对称轴为直线1=x ． （1）求此二次函数的关系式；（2）P 为二次函数c bx ax y ++=2在x 轴下方的图像上一点，且S △ABP = S △ABC ,求P 点的坐标．CB DAE23．（本题满分10分）如图，四边形OABC 为平行四边形，B 、C 在⊙O 上，A 在⊙O 外，22sin =∠OCB . （1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若BC ＝10cm ，求⊙O 的半径长及图中阴影部分的面积．24．（本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，DE ＝2，直线OE 分别交AB 、CD 于G 、F. （1）求证：D F ＝BG ； （2）求DF 的长；（3）若∠ABC=60°，求tan ∠AEO ．25．（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，点E 是AD 边上一动点（不与点A ，D 重合 ），过A 、E 、C 三点的⊙O 交AB 延长线于点F ，连接CE 、CF ． （1）求证：△DEC ∽△BFC ；（2）设DE 的长为x ，△AEF 的面积为y ．①求y 关于x 的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值； ②连接AC ，若△ACF 为等腰三角形，求x 的值．26．（本题满分14分）已知二次函数22-+-=n nx mx y （0>n ，m ≠0）的图像经过A （2，0）． （1）用含n 的代数式表示m ；（2）求证：二次函数22-+-=n nx mx y 的图像与x 轴始终有2个交点； （3）设二次函数22-+-=n nx mx y 的图像与x 轴的另一个交点为B （t ，0）．①当n 取21,n n 时，t 分别为21,t t ，若21n n ，试判断21,t t 的大小关系，并说明理由. ②若t 为整数，求整数n 的值．2016—2017学年度第一学期期末考试九年级数学试题参考答案一、选择题（每题3分，共18分） 1.A 2.B 3.D 4.D 5.D 6.C 二、填空题：（每题3分，共30分） 7.直线1=x 8.201 9.2)1(22+--=x y 10.31411.5 12.25 13. 5 14.1或4 15.30度 16.（2，0）或（4，0） 三、解答题：（共102分） 17.（本题满分10分） （1)原式＝33221+-+.........................4分 ＝25...................................5分 （2）整理得， 0222=--x x ...................................7分解得，31,3121-=+=x x ...................................10分18.(1)略（共12种等可能性结果）...................................4分 (2)P （恰好为1名男生和1名女生）＝32.........................8分19. （1）9....................2分（2）1......................4分 （3）因为平均成绩相等，且甲的方差小于乙的方差，所以乙的射击成绩更稳定 .....................................................................8分 20.（1）102；........................5分（2）310....................10分 21. （1）60........................4分（2）32060-....................10分 22.（1）322++-=x x y ..................................................4分 （2）（71+，－3）或（71-，－3）..................................10分23.(1)证明略..........................................4分（2）⊙O 的半径长25..........7分，阴影部分的面积为25225-π..........10分．24.（1）证三角形BGO 与三角形DFO 全等即可；................................3分 （2）DF 的长为1...........................................................6分 （3）53.................................................................10分 25.（1）证明略；.........................4分 （2）①1232++-=x x y ，.............7分；当x 43=时，y 有最大值；.......9分； ②215,21-==x x 或43=x ............................................12分；26.（1）把A （2，0）代入22-+-=n nx mx y ，得42+=n m ................2分； (2))2(4)(2---n m n ＝)2(4242-⋅+⋅-n n n ＝422+-n n ＝4>0.所以二次函数22-+-=n nx mx y 的图像与x 轴始终有2个交点；.............5分； （3）①依题意可知242+-=n n t ..............................................7分；所以242242221121+--+-=-n n n n t t ＝)2(2()(82121++-n n n n ） 因为21n n <，所以021<-n n ， 又因为0>n ，所以02,0221>+>+n n 。