应用随机过程word版本
(完整word版)随机过程试题及答案(word文档良心出品)
一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)eλ。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为(n)n P P =。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)ji ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。
9．非周期的正常返状态称为遍历态。
10．状态i 常返的充要条件为(n)iin=0p∞=∑∞。
二．证明题（每题6分，共24分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
证明：左边=P(ABC)P(ABC)P(AB)P(C AB)P(B A )P(A)P(AB)P(A)===右边2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
《应用随机过程》A卷及其参考答案
，求
E
X
X
c；
2、（15 分，选做一题）（1）设 Xi E i ， i 1, 2 ，且 X1, X 2 独立，试
由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求
E IX1X2 X1 X 2 t P X1 X 2 X1 X 2 t ，t 0 ；（2）设 X1, X 2 , , X n 独
T 2 t dt 0
，令
Z
t
exp
t
0
u
dW
u
1 2
t 0
2
u
du
，则
dZ
t
t
Z
t
dW
t
，
从而Z t ,0 t T 是一个连续鞅。
1
三、计算证明题（共 60 分）
得分
1、（13 分）假设 X～E ，给定 c 0 ，试分别由指数分布的无记忆性、
条件密度和 E X
A
E
P
XI A
A
x
0
，且
q
x
dx
1
；（b）存在
a
0
，使得
p q
x x
a（当
p
x
0
时），令 r x a qpxx（当 p x 0 时，规定 r x 0 ）；又记 M U r X ，
3
试证明：
P
X
z
M
z
q
x dx
，即
X
在
M
发生的条件下的条件密度
函数恰是 q x ；（2）设有 SDE：dXt (aXt b
（2） ___________________________________________________；
（完整word版）应用随机过程教学大纲
（完整word版）应⽤随机过程教学⼤纲《应⽤随机过程A》课程教学⼤纲课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适⽤专业：统计学专业学分数：3学分学时数： 48学时应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分⽅程、⾼等代数⼀、本课程的地位和作⽤应⽤随机过程是数学与应⽤数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之⼀。
随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。
随着科学技术的发展，它已⼴泛地应⽤于通信、控制、⽣物、地质、经济、管理、能源、⽓象等许多领域，国内外许多⾼等⼯科院校在研究⽣中设此课程，⼤量⼯程技术⼈员对随机分析的⽅法也越来越重视。
通过本课程的学习，使学⽣初步具备应⽤随机过程的理论和⽅法来分析问题和解决问题的能⼒。
⼆、本课程的教学⽬标使学⽣掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学⽣的概率理论数学模型解决随机问题的能⼒得到更加进⼀步的提⾼，特别在经济应⽤上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学⽣很⽅便地转向在⾦融管理、电⼦通讯等应⽤领域的研究。
三、课程内容和基本要求”记号标记既（⽤“*”记号标记难点内容，⽤“?”记号标记重点内容，⽤“*是重点⼜是难点的内容。
）第⼀章预备知识1．教学基本要求（1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。
（2）掌握条件概率, 条件期望和独⽴性的概念和相关性质。
（3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。
2．教学内容（1）概率空间（2）▽随机变量和分布函数（3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数（4）▽*条件概率、条件期望和独⽴性（5）收敛性第⼆章随机过程的基本概念和类型1．教学基本要求（1）掌握随机过程的定义。
（2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。
（3）掌握独⽴增量过程和独⽴平稳增量过程概念。
2．教学内容（1）基本概念（2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理（3）▽随机过程的基本类型第三章 Poisson过程1．教学基本要求（1）了解计数过程的概念。
应用随机过程期末复习题
1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。
每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。
求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。
2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。
若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。
（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。
应用随机过程 综述
2.查阅相关的文献，理解Markov链在工程的应用。
3.对相关的文献进行总结，归纳出Markov链在工程的应用的作用和意义。
工作计划安排：
1.2009-09~2008-10：查找相关的资料，对Markov链的基本定义进行一定的了解
2.2009-10~2009-12：对相关的文献进行总结，归纳出Markov链在工程的应用。
3.2马尔可夫链在经济领域的应用
(1)利用马氏链可以对股票的价格进行分析和预测。经过检验我们发现:不仅单支股票价格变化的时间序列可以看作是一个马尔可夫过程，而且单支股票的预期收益时间序列、整个证券市场的股指、证券组合的综合价格与预期收益时间序列都符合马氏性。因此，针对我国股市波动幅度较大，受较多不规范因素的影响而表现出极强的随机性，我们可以考虑将马尔可夫链引入到上述的各方面，探讨更加切合我国证券市场实际的投资策略。把证券市场的市价和各种收益的变化的时间序列视为马尔可夫链，则可按转移概率，根据当前的状态预测以后的状态，从而采取相应的策略，这就是运用马尔可夫链的方法进行股市分析的基本思想。
应用随机过程
应用随机过程引言随机过程是一种数学模型，用于描述随机事件在不同时间点上的演变过程。
它在很多领域中有重要的应用，例如金融、统计学、生物学等。
本文将介绍随机过程的概念、性质以及在一些实际问题中的应用。
随机过程的定义和性质随机过程是一族随机变量的集合，这些变量依赖于某个参数，通常是时间。
随机过程可以用于描述随机事件随时间的演变。
具体来说，假设我们有一个随机过程{X(t), t ∈ T}，其中X(t)是在时间t上的一个随机变量，T为参数的取值范围。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种情况。
对于离散时间的随机过程，参数t的取值范围是一组离散的时间点。
我们可以用{X₁, X₂, …, Xₙ}来表示随机过程在每一个时间点上的取值。
而连续时间的随机过程，则比较复杂，其参数t的取值范围是一个连续的时间域。
随机过程的性质主要包括两方面：两点分布和一点分布。
两点分布指的是随机过程在不同时间点上的取值之间的关系，一点分布则是指随机过程在某一固定时间点上取值的概率分布。
通过研究随机过程的这两个性质，我们可以了解随机事件随时间的演变规律。
应用举例：金融领域中的随机过程模型随机过程在金融领域中有广泛的应用，尤其是在期权定价和风险管理方面。
其中，著名的布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于随机过程的。
在布莱克-斯科尔斯模型中，假设股票价格的对数收益率服从几何布朗运动，即随机过程满足以下随机微分方程：dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t)其中，S(t)表示股票价格在时间t的取值，μ是预期收益率，σ是波动率，W(t)是布朗运动。
利用随机微分方程，可以推导出期权的定价公式。
布莱克-斯科尔斯模型假设市场是无套利的，通过构建一个复制组合，可以得到一个偏微分方程来解决期权的定价问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型，随机过程还可以用于建立其他的金融模型，例如随机波动率模型、随机利率模型等。
这些模型在金融衍生品定价和风险管理中都有重要的应用。
《应用随机过程》教学大纲
《应用随机过程》教学大纲应用随机过程教学大纲一、课程简介《应用随机过程》是一门应用性较强的数学课程，主要介绍了随机过程及其在实际问题中的应用。
随机过程是对随机变量的研究，是概率论的一个重要分支。
通过本课程的学习，学生可以了解随机过程的基本概念、性质和常见的应用领域，并能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学目标1.掌握随机过程的基本概念、性质和常用模型。
2.学会应用随机过程解决实际问题，如排队论、信号处理等。
3.培养学生的数学建模能力和分析问题的能力。
三、教学内容1.随机过程的基本概念1.1随机过程的定义1.2随机过程的分类1.3随机过程的性质2.随机过程的常见模型2.1马尔可夫链2.2马尔可夫过程2.3泊松过程2.4随机游动3.应用随机过程解决实际问题3.1排队论3.1.1M/M/1模型3.1.2M/M/s模型3.1.3M/M/1队列的平稳分析3.2信号处理3.2.1随机信号的表示3.2.2自相关函数与功率谱密度3.2.3高斯过程与线性系统四、教学方法1.理论讲解：通过课堂讲解，介绍随机过程的基本概念、性质和常见模型。
2.实例分析：针对不同应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.课堂讨论：设置讨论环节，鼓励学生主动参与，提出问题并进行交流和讨论。
4.课后作业：布置随堂练习和课后作业，巩固学生对所学内容的理解和运用能力。
五、教学评价1.平时成绩：包括作业完成情况、课堂表现等。
2.期中考试：考查学生对基本概念和性质的掌握。
3.期末考试：综合考查学生对整个课程的理解和应用能力。
六、参考教材1. Sheldon M. Ross，《随机过程学》2.吴建平，李荣华，李云龙，《随机过程与应用》七、教学时长本课程共计48学时，其中理论课程36学时，实践课程12学时。
《随机过程》课程大纲
其它
（More）
备注
（Notes）
备注说明：
1.带*内容为必填项。
2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
课堂教学
习题二
完成要求
书面作业
第3章
Poisson过程
6
课堂
教学
习题三
完成要求
书面作
业
第4章
Markov过程
15
课堂
教学
习题四
完成要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ书面作
业
第5章
经典鞅论
7
课堂
教学
习题五
完成要求
书面作
业
第6章 布朗
运动
4
课堂
教学
习题六
完成要求
书面作
业
第7章 随机
分析
12
课堂
教学
习题七
完成要求
书面作
业
第8章 平稳
过程
（1）要能根据实际问题分析它的齐次性和马氏性；(A5,B1,B2,C2)
(2) 掌握Q(qij)的求法和概率含义；(A5,B1,B2,B3,C2,C4)
（3）对生灭过程，要能根据前进方程和后退方程，求解其转移概率pij(t)； (A5,B1,B2,B3,C2)
(4) 熟练掌握平稳分布的求法。(A5,B1,B2,B3,C2,C4)
在本课程中，我们将讨论生活中的许多非常有趣而又十分重要的随机过程，如每天光顾一家大型超市的人数、排队系统、生灭过程等，金融中常用的布朗运动与连续鞅，以及工程中和控制系统中经常遇到的一类随机过程——平稳过程，通过对它们的分析，可以使学生进一步巩固已学过概率论基础，结合实际问题学习随机过程可以提高学生的学习兴趣，从而提高他们分析和处理实际问题的能
(完整版)答案应用随机过程a
山东财政学院2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A )（考试时间为120分钟）参考答案及评分标准考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ）1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。
（ⅹ ）2. 非周期的正常返态是遍历态。
（√ ）3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。
（ⅹ ）4. 有限马尔科夫链没有零常返态。
（√ ）5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(〉nd iip 。
（ⅹ ）二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。
2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。
三． 简答题（每小题5分，共10分）1． 简述马氏链的遍历性。
答：设)(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(〉=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。
2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。
它反映了其变化与时间相关的过程。
如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。
四． 计算、证明题（共70分）1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分）解：2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分）解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程3. 顾客以泊松过程到达某商店，速率为小时人4=λ，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
随机过程在水文学及水资源中的应用Word版
随机过程在水文学及水资源中的应用摘要：应用随机过程的知识对水文现象进行分析是水科学工作者的一项重要工作，本文介绍了时间序列分析的ARMA（p，q）模型，并具体讨论了其在某地区干旱频率分析中的应用。
关键词：随机过程模拟频率降雨量Abstract：Knowledgeof random process analysis of the hydrological water is an important work of scientists, this paper introduces time series analysis of the ARMA (p, q) model, and specifically discussed the frequency of droughts in a region analysisKey words：random process Simulation Frequency Rainfall1 引言随机过程是研究随时间演变的随机现象的一门学科．它以概率论为基础，但又是概率论的深入和发展，随着科学技术的发展，它巳技广泛地应用到雷达与通信、动态可靠性、自动控制、生物工程、社会科学以及其它工程科学等领域，并反在这些领域显示出十分重要的作用。
对于水文学，要了解水文水资源系统各组成间的相互关系，预测水资源规划设计方案可能产生的效果及对生态的影响，当前可行的一个方法就是水文水资源随机模拟。
水文随机模拟技术，最初是从水库设计问题提出的。
1927年C.E.祖德勒曾为确定水库容积的概率分布而生成了1000年的年径流记录。
但在此后的30年间，由于计算技术的限制，这种方法并未在工程界得到实际应用。
直至50年代，随着计算机的问世，水文随机模拟又重新受到重视。
在水资源系统工程的规划设计及管理运用方面应用水文随机模拟的大量研究，是从60年代几乎同时在苏联和美国开始的。
我国20世纪70年代末及80年代，以成都科技大学（四川大学）、河海大学为代表开展了大量的水文水资源随机模拟的理论与应用研究工作，形成了以随机过程理论为基础的水文学新分支—随机水文学[1]。
应用随机过程1-准备知识
2010-9-2
理学院 施三支
协方差
[定义] 设X, Y是随机变量，若E(X2)<， E(Y2)<，则称
C XY E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
为X , Y的协方差。 称
XY
C XY D ( X ) D (Y )
若 XY = 0，则称 X , Y 不相关。 为源自 , Y的相关系数。
D( X ) [ xk E ( X )]2 pk
k 1
理学院 施三支
相关
[定义] 设X 和 Y 是两个随机变量，则称
R XY E [ X Y ]
为 X 和 Y 的相关。 不相关： 正交：
R XY E [ XY ] E [ X ] E [Y ]
R XY E [ XY ] 0
分布
2010-9-2
常见的离散型随机变量
分布 0-1分布 二项分布 泊松分布 几何分布 负二项分布 离散均匀分 布
2010-9-2
分布律
P( X 1) p, P( X 0) q, 0 p 1, p q 1
期望 p np
方差 pq npq
P ( X k ) C nk p k q n k , 0 p 1, p q 1, k 0 ,1, , n k P(X k) e , 0 , k 0 ,1,
——概率论的基础知识
2010-9-2
理学院 施三支
内容提要
概率空间 随机变量和分布函数 数字特征，矩母函数与特征函数 条件概率、条件期望和独立性 收敛性
2010-9-2
理学院 施三支
1.1 概率空间
《应用随机过程》第二次作业和参考答案
即{Y(t)}的相关函数为 X(t)的二维分布。
四、设有随机过程X(t) = ( + Θ),式中A是服从瑞利分布的随机变量，其分布密度
为
"
exp
R−
T,
>0
f(a) = ' "
2 "
0, ≤ 0
2
及
-
,
#
#
E = g # exp m− # n = g (−# ) mexp o− # pn
2
2
+
+
#
# ∞
#
= − exp o− # p q + 2 g exp o− # p
2
0
2
+
#
= −2 # exp o−
# ∞
p q = 2 #
4
⎪
⎪1
1
, 0 ≤ ! < 1, # ≥ 2 或! ≥ 1， − 1 ≤ # < 2
F ( ，1; ! , # , = 2
2
⎨
1, ! ≥ 1，# ≥ 2
⎪
cov(V, W) = E(VW) − EV ∙ EW
1
=−
V! # − 2! ∙ , − E# # + 2# ∙ , W
√12
= 0 = cov(W, V)
从而
#
Σ=•0
0
0
#
0
0
0‚
#
七、设{(), ≥ 0}是一个维纳过程，试求{()}的均值函数和协方差函数，并讨论其平
γ(s, t) = E[()()] = {()[() − () + ()]}
应用随机过程
( 2 ) { :X () a } F , a R ；
( 3 ) {:X () a } F ,a R ；
( 4 ) { :X () a } F ,a R .
定义1.7 设X()是F上的随机变量，函数
F(x) P (:X ( ) x ), x
称为随机 X的 变分 量布函数。
( 1 )如 A 1 A 2 果 A n , An A
则nlimAn
An
n 1
( 2 )如 A 1 A 2 果 A n ,An A
则nlimAn
n 1
An
结论： 单调事 (集件 合 )序列必有 . 极限
(8) 概率的连续性：
定理：若 { A n ,n 1 } 是单 (或 调 )的 递 递 事 减 增 件
( 3 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1i ;
( 4 ) 若 , , 则 果 , ;
（5）-代数必为代. 数
例1.1 由 的一切事件类 构是 成 事 的 -代 件 事 .数
(常常它为称为最广 -代泛数 .的 )
例1.2 由 F{,}，则 F是事 -件 代数。 称作平凡 -事 代件 数 .
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子A集 由基本事件—组A称成为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
例1.3 对任 A 意 , F事 { , 件 A, A, }
是事件 -代数。
应用随机过程
随机过程简介随机过程这一 学科最早起源于对物理学的研究 ，如吉布斯（美国物理化学家、数 学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳（Wiener ，美国数学家，控制论的创始人 卜莱维（Levy ，法国数学家）等人对布朗运动的开创性工 作。
1907年前后，马尔可夫（Markov ）研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运 动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于 20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了 《概率论的 解析方法》，1934年辛饮发表 了《平稳过程的相关理论》，这 两篇著作奠定了马尔可夫过程与 平 稳过程的理论 基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基 本理论。
一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由 柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov ）和杜布（Doob ）奠定的。
柯尔莫哥洛夫1903年4月25日，柯尔莫哥洛夫出生于俄罗斯 年去世。
他的 母亲出身于贵族家庭，在他出生后 10天去世。
他只好由二位和指导学习。
这一数学规律 。
研究范围的坦博夫城。
他的父亲在 1919姨妈抚育他5、6岁时就 归纳出了“丰1人2 , 1+3 =22 , 1+3+5=3人2 , 1+3+5+7 =4A2 .…”14岁时他就开始自学高等数学,冶金，后来转 学数学， 1920 大学三年级时就发表了年他高中 论文。
毕业，进入莫斯科大学, 先学习1925 年大学毕业 1929 年研究生毕 1935 年获得苏联 后，当研究生。
业后，担任莫斯科大学数学力学 首批博士学位。
研究所助理研究员。
1931 1933 年起他担任 年担任莫斯科大学数学力学研究所所长 莫斯科大学教授，并指导研究生 创建了概率论、数理统计、数，先后教过数学分析、 论、数理逻辑和信息论等课程。
随机过程课后习题Word版
习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。
5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
《应用随机过程》习题课二
习题1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞且1221(),()33P P ωω==，分别求：（1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π；（2）二维分布函数(0,;,)4F x y π；（3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t .2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程12cos ()2t X t πωω⎧=⎨⎩出现正面出现反面且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为12，求 1）画出{()}X t 的样本函数2）{()}X t 的一维概率分布，1(;)2F x 和(1;)F x3）{()}X t 的二维概率分布121(,1;,)2F x x3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X tcos ()2t t X t t π⎧=⎨⎩在时刻抛掷硬币出现正面在时刻抛掷硬币出现反面求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121(,1;,)2F x x4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ.（1）分别求3,,,424t ππππωωωω=时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程：()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数.6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =1()(),1,2,,(0)0nk Y n X k n Y ====∑其中()(0,1,2,)X k k =是相互独立同服从2(0,)N σ的正态随机变量. 试求： （1）()Y n 的概率密度；（2）((),())Y n Y m 的联合概率密度（m n ≥）.7. 给定随机过程{(),}X t t T ∈，定义另一个随机过程：1,(),()0,().X t x Y t X t x <⎧=⎨≥⎩试证：{(),}Y t t T ∈的均值和自相关函数分别为{(),}X t t T ∈的一维分布函数和二维分布函数. 8. 设随机过程()cos()β=+ΘX t A t其中β为正常数，r. v. ~(0,1),~(0,2)A N U πΘ二者相互独立. 试求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的均值函数()m t 、方差函数()D t 和相关函数(,)R s t .9. 已知随机变量,ξη相互独立都服从正态分布2(0,)N σ，分别设：（1）()X t t ξη=+； （2）()cos X t t ξ=，令01max ()t Z X t ≤≤=，分别两种情形求()E Z .10. 一个通讯系统，以每T 秒为一周期输出一个幅度为A 的信号，A 为常数，信号输出时间~(0,)i X U T ，且持续到周期结束，设每个信号的输出时间i X 相互独立，设()Y t 为t 时刻接收到的信号幅度，求{()}Y t 的一维概率分布。
掌握两种方法两个步骤随机生成文本，你的演示操作随心所欲、快速高效，人人惊呼不可思议！
掌握两种方法两个步骤随机生成文本，你的演示操作随心所
欲、快速高效，人人惊呼不可思议！
在日常工作中，当同事或朋友询问WORD文本设置时，或作为讲师为大家讲解WORD文本的操作时，你会怎么办？是用键盘逐一打字，还是从网页复制一段文字来进行操作？如这样做，你就是电脑小白了。
用这2个函数，可随机生成你想要的文本，一下子，你就变成电脑高手啦。
一、中文版文本
打开WORD,输入“=rand(p,s)”,然后按enter健，也就是回车键就行了。
要说明的是rand(p,s) 函数括号里要输入参数，p代表生成的段数，s代表每段的句数。
输入函数时，需在英文状态下输入（按一下shift健），括号参数之间用英文逗号隔开，且不要包含空格。
如输入“= rand(5,12)”，就表示你按下enter健时，就可插入5段、每段有12句话的文本。
二、英文版文本
打开WORD,输入“=lorem(p,s)”,然后按enter健就可实现英文版文本。
函数括号里的参数说明同中文版文本一样。
掌握以上两个方法两个步骤，从此以后，演示WORD操作就随心所欲、快速高效了。
这个简单实用的小技巧，如你还有疑问，欢迎留言讨论。
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事件 { : I A ( ) 0} A
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应用随机过程讲义 第一讲
11
用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算
min( a , b ) a b ,取下端 max( a , b ) a b ,取上端
I A B ( ) I A ( ) I B ( ) I A B ( ) I A ( ) I B ( ) 若 A B , 则 I A－ B ( ) I A ( )－ I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) ，
应用随机过程
清华大学数学科学系
林元烈 主讲
教材：《应用随机过程》（第三次印刷）
林元烈，清华大学出版社
学习要求
• 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想 • 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
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应用随机过程讲义 第一讲
2
学习重点
1. 用随机变量表示事件及其分解——基本理 论
2. 全概率公式——基本技巧
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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应用随机过程讲义 第一讲
17
概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
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应用随机过程讲义 第一讲
事件的关系与运算
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应用随机过程讲义 第一讲
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事件序列 { A, n 1}
若 An An1 , 称之为单调不减序列。
n 1
An
lim
n
An
若 An1 An , 称之为单调不增序列。
n 1
An
lim
n
An
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应用随机过程讲义 第一讲
9
(
n 1 k n
Ak
)
lim
5. P (A B ) P (A ) P (B ) P (A )B
6. 若 A B ,则 P (A )P (B )
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应用随机过程讲义 第一讲
20
7. Ak,1kn,n2,
n
n
P( Ak) P(Ak) P(AiAj) P(AiAjAk)
k1
k1
1ijn
1ijn
.. . (1)n1P(A1A2..A .n)
8. 可列次可加性
P(Ak)P(Ak)
k1
k1
9. 概率连续性
若{An,
n
P(An)
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应用随机过程讲义 第一讲
21
这部分的详细讨论可以参见
《随机数学引论》
林元烈，清华大学出版社
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应用随机过程讲义 第一讲
22
• Buffon试验：最早用随机试验的方法求 某个未知的数。
以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一 维Borelσ-代数，即
( )( k )( 1 , k 5 )
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应用随机过程讲义 第一讲
25
• 直观地说，()中包含一切开区间，闭区间，
半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及 由它们经可列次并交运算而得出的集类。
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应用随机过程讲义 第一讲
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概率的性质
1. P()0
显然＝ 有 ..， .P()P(), k1
由概率非负性即得
2. P(A)1P(A)
3. 有限可加性
由P() 0及完全（可列）可即加得性
若A1,A2,..A.n,且AA ＝(ij),则
n
n
P(Ak)P(Ak)
k1
k1
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应用随机过程讲义 第一讲
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4. A, B P(A \ B) P(A) P(AB) 若B A P(A B) P(A) P(B)
n
An
lim n
sup
An
(
n 1 k n
Ak )
lim
n
An
lim n
inf
An
如果
lim
n
An
lim
n
A
，
n
则定义
lim
n
An
lim
n
An
lim
n
An .
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应用随机过程讲义 第一讲
10
示性函数
1, A I A ( ) 0, A
是最简单的随机变量
事件 { : I A ( ) 1} A 用随机变量来表示事件
概率空间 ( , , P )
：集合，样本空间 ：集类， 代数 P ：完全可加的集函数， A ： 的元素，事件 P ( A )：事件的概率
概率
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应用随机过程讲义 第一讲
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1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
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应用随机过程讲义 第一讲
12
公理化定义
集类 粗略地说 ，的由子集作为元素的构集成合的 称为集类。 {,}是最简单的集类。
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应用随机过程讲义 第一讲
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No Image
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应用随机过程讲义 第一讲
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概率
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应用随机过程讲义 第一讲
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3. 数学期望和条件数学期望——基本概念
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应用随机过程讲义 第一讲
3
第一讲
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应用随机过程讲义 第一讲
4
随机事件与概率
随机试验
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应用随机过程讲义 第一讲
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要点：
• 在相同条件下，试验可重复进行；
• 试验的一切结果是预先可以明确的，但每 次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结 果。
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应用随机过程讲义 第一讲
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样本点 对于随机试验E，以ω表示它的一个可能 出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。 Ω ＝{ω}
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应用随机过程讲义 第一讲
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随机事件 粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，
用大写英文字母A、B、C等来表示。
• 测度：满足非负性、可列可加性的集函 数。
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应用随机过程讲义 第一讲
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设集类 {[a,b],a,bR,ab}
则由 生成的代数( ) 称为 一维Bore l 代数.
，称为一维Bore可 l 测集.
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应用随机过程讲义 第一讲
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实际上，设集类
1＝ {a [,b)a ,,bR,ab} , 2＝ {a (,b]a ,,bR,ab}, 3＝ {a (,b)a ,,bR,ab} , ＝ {r(1,r2)r,1,r2为有}理 , 5＝ {G:G 为 R中开 } 集