苏州市2012届高三第一学期期末考试--数学解析

苏州市2012届高三第一次期末考试

数学Ⅰ

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝

1

n

(x i －x －)2，其中x －＝

1n

x i .

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 若复数(a ＋i)2对应点在y 轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是______． 答案： －1

解析：因为ai a i a 21)(2

2

+-=+，由条件得⎩⎨⎧<=-0

20

12a a ，从而1-=a .

2. 命题“x ∃∈R ，使得x sin x －1≤0”的否定是____________． 答案：∀x ∈R ，使得x sin x －1＞0

解析：原命题是存在性命题，其否定是全称命题.

3. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方 法，从该校200名教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒 体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如右图．据此估计该校上学期 200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为_______．

答案： 100

解析：在茎叶图中，教学次数在[15,30]内的人数有10人， 从而总体个数为10020

10

200=⨯

. 4. 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－8，则a 2a 8＝____________. 答案：4

解析：根据等比数列的性质可知4)8(232

57382=-===a a a a a .

5. 与双曲线x 29－y 2

16＝1有公共渐近线，且经过点A(－3,23)的双曲线的方程是________．

答案：4x 29－y 2

4

＝1

解析：由条件可设所求双曲线方程为k y x =-16

92

2（k>0），将点A(－3,23)代入得4

116)32(9)3(22=--=k .

6. 右图是一个算法的流程图，则最后输出W 的值为______________．

(第6题)

答案：14 解析：根据流程图知，T=1时，S=1;T=2时，S=3;T=3时，S=6;T=4时，S=10,此时满足10≥S ,结束运算，输出14410=+=W .

7. 已知π

2＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)＝____________.

答案：223

解析：由3sin2α＝2cosα得3

1sin =

α。因为π

2＜α＜π，

故23

2)31

(1cos )cos(2

=

-=-=-απα. 8. 函数y ＝1

x ＋2lnx 的单调递减区间为____________．

答案：⎝⎛⎦

⎤0，1

2 解析：易知函数的定义域为),0(+∞.由01

212'2

2≤-=-=x x x x y 得21≤x ，

故函数的单调递减区间为⎝⎛⎦

⎤0，1

2. 9. 已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为________． 答案：339 解析：正三棱锥的高13)32(522=-=h ，

底面积3964

3

2=⨯=

S ,故体积393133931=⨯⨯=V .

10. 过点P ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2

＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________． 答案：2x －4y ＋3＝0

解析：当∠ACB 最小时,其弦长AB 最小，此时点P 为AB 的中点，

因为2-=PC k ,故21=

AB k ,直线l 的方程为)2

1

(211-=-x y ，即2x －4y ＋3＝0. 11. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得

∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝___________ m

．

(第11题)

答案：30

解析：在△BCD 中，由正弦定理得3101030sin 120sin =⋅︒

︒

=

BC m .在Rt △ABC 中，

3060tan =︒=BC AB m .

12. 在等边三角形ABC 中，点P 在线段AB 上，满足AP →＝λAB →，若CP →·AB →＝PA →·PB →

，则实数λ的值是______________． 答案：1－

2

2

解析：将AP CA CP +=代入CP →·AB →＝PA →·PB →

，得)()(AB AB AB AB AB CA λλλ-⋅-=+,从而)1(21λλλ--=+-

，解得221±=λ.因为10<<λ，故2

2

1-=λ. 13. 已知函数f(x)＝bx ＋c ax 2＋1(a ，b ，c ∈R ，a ＞0)是奇函数，若f(x)的最小值为－12，且f(1)＞2

5，

则b 的取值范围是______________． 答案：1

2

＜b ＜2

解析：显然函数的定义域为R . 因为函数f(x)是奇函数，所以0)0(=f ，故0=c ，从而

1

)(2

+=

ax bx x f ，由52

1)1(>+=a b f ，a ＞0，得0>b .由=)(x f x

ax b 1

+

=得当x

ax 1=

，即a x 1±

=时，原函数有最值，从而

2

1

2=a b ，2b a =，于是5212>+b b ，化简得02522<+-b b ，解得1

2＜b ＜2.