奥赛题赏析

1 赛题分析 气球发生相变时，其体积的变化范围介于V1和V2之间，此时，内 1-3思路分析与解答
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1 赛题分析 1-3思路分析与解答
（f）→求出半径较细的区域的长度对体积V的函数关系式
在气球的体积从V1增大到V2的过程中该区域的体积可写为：
V thin V1 V1 V1 (V V1 ) (V2 V )(20) V2 V1 V2 V1
1 赛题分析 1-1 赛题回顾
生日气球 一个部分充气的气球，通常会分成两个不同半径的区域。本题考虑一个均匀的圆筒状气球（除了两 端以外），气球有一充气用的吹口。在本题所有论及的过程，皆可视为在室温下的等温过程，且在 任何时刻，气球内的空气压力P一直只略微超过大气压力P0，故空气可视为不可压缩的流体。重力 和气球的重量皆可忽略。充气的过程可视为缓慢进行的准静过程。在（a-d）小题中，气球在整个 长度上被均匀膨胀。我们以r0和L0分别标示气球在充气膨胀前的半径和长度。 （a）当气球只有吹口固定，求纵向表面张力 L (与气球的轴向平行)和横向表面张力 （与气球圆 截面的圆周相切）的比值。橡皮薄膜的表面张力是指相邻两部分之间，在边界上每单位长度的相互 作用力。 胡克定律是真实弹性在小张力情况下的线性近似。假设气球的长度不变。 保持为 , 同时横向表面张力正比于膨胀比例r/r0： （1） r
π r P (V V ) W PC V 1 c 2 1 Lthin (23) V1 W π r1 Pc (V2 V1 ) (24) Lthin V1
2 2
此题中首先需要了解潜功的概念。由上一问中V的线性 变化关系，可以得出气球体积增加量的表达式，再带入 体积功的表达式，得出答案。

预设在实践中卓有成效，所以被认为是正确的，被当做解决问题时正确的感知、思考和感觉的方 2 π r π r ( P P )
式教给新成员。
L
0
（3）
t
2
（5）
7
1 赛题分析 1-3思路分析与解答
（b）→P对V的数学关系式。绘出P-P0对V的曲线图，得出气球的最大膨胀压力.
用（1）和（4）两式，可得 t 1 1
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2、赛题拓展： 很多学生可能觉得这一类由原始问题引出的题目不好下手，但 是在做题过程中我们发现，只要将实际与理论有机结合起来， 将会大大降低题目的难度。而不仅仅在物理竞赛中，随着课程
改革的不断深入，注重与科学、技术、社会联系的原始物理问
题在物理教学中的地位日益凸显。所以，不仅仅针对这一类型 知识点的题目，其他很多题型都可以由原始问题引出，学生在 这一类问题中需要将物理知识和现实的物理现象相结合，根据 解决问题的需要，抓住主要因素、忽略次要因素、排除无关因
素，构建理想的客体，即抽象出合理的物理模型。
同理，假想将气球沿着平行于纵轴的方向， 横切成两半，则受力情形为：
其后半部分气球的受力：
（a）小题并不难。表面张力很容易让人从力的观点出发， 只要正确地画出两幅受力分析图，由弹性体受力平衡的条件， 自然而然就可以得到两者关系。这里需要注意题目大前提中 由气球处于静力平衡的条件， （ 4） 2 x 2 rx ( P P ) “ 在任何时刻，气球内的空气压力 P 一直只略微超过大气压力 ” t 0 可得： 企业文化是一群人在解决适应环境和内部团结的问题时习得的、成体系的一系列基本预设。这些 L 1 将（3 ）（4）两式相除，可得： 这一条件，不可误将（ P-P0) 写为（ P0-P） 2

t

0
t k(
ro
1)
（b）根据上述的假设，求气球内的压力P-P0对气球体积V的数学关系式。绘出P-对V的关系曲线 图，并在胡克定律的线性近似下，得出气球的最大膨胀压力Pmax.
3
1 赛题分析 1-1 赛题回顾
生日气球 （c）对一个依循图2所示行为的均匀膨胀的气球，定性的画出压力差P-P0对V的关系曲线图。在图上标出任何 局部的极值点，也在图上标出对应于r=1cm，和r=2.5cm的点，求出这两点的P-P0值，需准确至10%的误差范 围内。要探讨你在（c）小题所得的有关气球行为的结果， 3 我们将一均匀膨胀气球的P（V）近似为一个三次方程式（2）： 0 式中a、b、c和u均为正值常数。假设体积u大于气球在尚未充气时的体积 而且c值够大，致使在所有V＞V0的范围内，（2）式皆为正值。参看图3所示：
p p a[(V U ) b(V u) c]
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1 赛题分析 1-1 赛题回顾
生日气球
（d）利用（2）式，求出 和u表示
P 、气球突变前的体积V1，和突变后的体积V2，答案以a、b、c、d
c
（e）定性的画出压力差对V的函数关系图，须将气球的分割两区纳入考虑。在坐标轴上表示压力 以及体积V1和V2 （f）假设气球体积是在容许有两分区共存的范围内，求出半径较细的区域的长度 函数关系式
Wsurr P 0 (V f V i )
（14）

V2
V 1
（15） ( P(V ) P dV 0) (16） (17)
W
rubb
W surr W mech 0
V 一段时间的功。以及清楚当气球发生爆炸性的体积增跳时，即发 ( P(V ) P V2 V1 ) 0 )dV ( P P 0 )( V 生“相变”是所需的能量为零，就可以顺利得到（17）式。
P P0 r P0 ( ) r0 r
（10）
V 2 V π r r 气球的体积为 , L0故其半径为 , π L0
代入上式，可得：
P(V ) P0 k (
此题直接求 P与V的关系应该是很难找到一个入手点的，但由（ a）问的 （a）小题并不难。表面张力很容易让人从力的观点出发， （11） 当V→∞ 时，P-P0接近于最大值，即 解答我们有 P-P0和横向表面张力的关系，又有胡克定律的线性近似公式， 只要正确地画出两幅受力分析图，由受力平衡的条件，自然 k 可以得到横向表面张力和 r的关系，而V和r又由体积公式联系在一起， 而然就可以得到两者关系。这里只需要注意题目大前提中 “在 企业文化是一群人在解决适应环境和内部团结的问题时习得的、成体系的一系列基本预设。这些 曲线关系如右图： Pmax P0 我们也就可以得到 P和V的表达式了。由此表达式就可以画出图像以及 任何时刻，气球内的空气压力 P一直只略为超过大气压力 ”这 r0 预设在实践中卓有成效，所以被认为是正确的，被当做解决问题时正确的感知、思考和感觉的方 求得P的最大值了。（善于将上一题的结论运用到后面的题目中） 式教给新成员。 一条件，不可误将（P-P0)写为（P0-P）
气球发生爆炸性体积跳增时的压力
由（17）的数学意义联想到马克士威等面积作图则需要学生有很 强大的理论基础以及从数学与物理之间的迁移能力。
P C P0 ac
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部空气压力维持在定值。当体积V甚小时，其内部的空气压力P， （e）→定性地画出压力差对 V的函数关系图 随V的增加而单调性地变大；当 V=V1时，气球发生相变，体积虽 然增大，但是压力保持在定值，直至V=V2；当V＞V2时，P-P0对 如下图所示： V的函数关系恢复为单调性地上升曲线。代表相变过程的水平线段， 其两端点处的斜率不连续。
该较细区域的长度为：
Lthin Vthin V1 (V2 V ) 2 2 π r1 π r1 (V2 V1 )
(21)
要能够由之前的计算解答过程中看出在气球的体积从V1增大到V2 的过程中，半径较细区域的体积由起始的V1线性地渐减至零，得 到该区域的体积表达式，而求的是长度，再用一次体积公式就可 以得到。
L
对体积V的 thin
（g）假设气球体积是在容许有两分区共存的范围内，求出必须作用在气球的潜功，用以将一单位 长度的细半径区域转换到粗半径的区域，亦即 W 。
L thin
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1 赛题分析 1-2赛题把握
关键词：等温过程、不可压缩的流体、重力和气球的重量皆可忽略、 准静过程、均匀膨胀（a-d）、表面张力、体积压强关系、潜功 研究对象：生日气球（长直形橡皮气球） 研究情景：从生活中的原始问题建立的一个物理模型：
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1 赛题分析 1-3思路分析与解答
（g）→求出必须作用在气球的潜功，用以将一单位长度的细半径区域转 L
thin
W
换到粗半径的区域
在相变过程中，气球较细区域的长度缩减，而转移为较粗区域的长度增长，故气球体积 π r 2 (V2 V1 ) 的增加量可以写为： V2 V1 V Vthin 1 Lthin (22) V1 V1 对应此增加得体积，所作的功为：
可视为缓慢进行的准静过程的气球充气的过程
涉及知识点：弹性体的平衡 热力学物态方程 能量守恒 考核能力：对基本公式的理解以及推广运用 能够明确曲线图像 背后的物理意义 物理与数学之间灵活迁移
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1 赛题分析 1-3思路分析与解答
（a）→求纵向表面张力和横向表面张力的比值
将气球沿着垂直于纵轴的平面切成两半，则
2 1

将（ 13）（14）（15）代入（16），可得： V
2
V1
W=-PV，通过积分可以求得 ( P(灵活运用热学中体积功的原始公式： V) P 0 )dV P 0 (V2 V 1 ) P (V2 V 1) 0


V2
V1
P (V )dV P(V2 V1 )
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1 赛题分析 1-3思路分析与解答
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π L0 1 ) r0 V
（c）→对一个依循图2均匀膨胀的气球，定性的画出压力差P-P0对V的关系曲线图 P-P0对r和对V的关系曲线，分别定性地绘出如下图所示： 当r=1cm,
P P0
1 赛题分析 1-3思路分析与解答

r