【浙江全A计划学业水平复习高中数学】考点3基本不等式
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学复习及知识点：基本不等式
x
（4）已知T x
4x2 2x
4x 1
5
,
x
>0,1@
，求函数
T
x
的值域
独家补充 2：已知 f x x a a ! 0 , x z 0
x
（1）判断 f x 的单调性并证明
B． ab 有最小值 D． 1 有最大值
a b
③狭义权方和不等式
独家补充 14：
（1）当 a,b, x,
y
!
0
时，求证：
a2 x
b2 y
t
a b 2
xy
（2）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x y 的最小值
xy
（3）当 x, y ! 0 时，已知 1 2 2 ，求 x 2y 的最小值
xy
（4）设 a ! 1,b ! 0, a b
2
，求
a
1
1
2 b
最小值
（5）已知实数
a
!
0
，
b
!
0
，
a
1
1
b
1
1
1 ，则 a 2b 的最小值为（
2
）
A． 2 2
B． 6 4 2
C． 3 2 2
D． 3 4 2
（6） x, y 为正实数，且 x y
1 ，则
x2 x2
（2）证明 f (x) 的奇偶性
（3）画出 g x x 4 x R, x z 0 的简图，并直接写出它单调区间
x
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
高三数学知识点总结3：基本不等式
基本不等式1.基本不等式：2b a ab +≤.（一正、二定、三相等） （1）基本不等式成立的条件：0,0≥≥b a .（2）等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号. 2.算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为,2b a +几何平均数为,ab 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.3.几个重要的不等式（1）),(222R b a ab b a ∈≥+；（2）)0,0(2≥≥≥+b a ab b a ；（3）),(4)(2R b a b a ab ∈+≤；（4）222)()(2b a b a +≥+（R b a ∈,） 4.利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则（1）如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p （2）如果和y x +是定值,s 那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4s 2注：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”，若忽略了某个条件，就会出现错误.解答题用基本不等式求最值一定要说明何时取等号，不说明会扣分。
如果多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“=”的一致性.5.注意：正负要判断，等号要考虑例（1）已知,45<x 函数54124-+-=x x y 的最大值为_________答案：1. （2）函数4522++=x x y 的最小值是_________答案：.25 6.“1”的代换问题：例（3）设,32,0,0=+>>b a b a 则11a b+最小值是 答案：3223+. （4）已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足,,,R y x AC y AB x AP ∈+=则xy y x +4的最小值是 .答案：9.7.“y x +”与“xy ”的互相转化例（5）若正实数y x ,满足,62++=y x xy 则xy 的最小值是_________答案：18.（6）设y x ,为实数，若,1422=++xy y x 则y x +2的最大值是_________答案：.5102 8.巧妙运用换元法 例（7）设y x ,是正实数，且,1=+y x 则1222+++y y x x 的最小值是_________答案：41. （8）若,0,0>>b a 且,11121=+++b b a 则b a 2+的最小值为________答案：.321+ 9.灵活使用消元法例（9）已知正实数y x ,满足,42=++y x xy 则y x +的最小值为_____答案：62.3-（10）若ABC ∆的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是_____答案：.426-。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。
3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。
2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。
2020年浙江高三数学总复习：基本不等式复习讲义
3
3
ab
2
3. 若实数 x,y 满足 xy=1, 则 x2+2y2 的最小值为
.
解析 : 因为 x2+2y2≥ 2 =2 x2 2 y2 2 ,
当且仅当 x2=2y2 时取“ =” ,
所以 x2+2y2 的最小值为 2 2 .
答案 :2 2
4. 已知 a,b 为正数且 a+b=1, 则(1+ 1 )(1+ 1 ) 的最小值为
能成立 , 才能利用基本不等式求最值 .
2. 与基本不等式相关联的结论
用 f(x)+ b ≥2 b (b>0) 或 f(x)+ b ≤-2 b (b>0), 求最值时 , 若使等
f (x)
f (x)
号成立的条件不存在 , 常借助函数 y=x+ b (b>0) 的图象和单调性求式 x
子的最值 .
1. 已知 a,b ∈R,a,b ≠0, 则“ a>0,b>0”是“ a b ≥ ab ”的 ( C ) 2
.
a
b
解析 : 因为 a+b=1,
所以原式 =(1+ a b )(1+ a b )
a
b
=(2+ b )(2+ a )
a
b
=5+2( b + a ) ≥9, ab
当且仅当 a=b=1 时取等号 , 2
所以最小值52 页)
考点一 利用基本不等式求最值
【例 1】 (1)(2018 ·浙江六校联考 ) 已知 x>0,y>0, 且 x+y+ 1 + 1 =5, 则 xy
a1 b1 a1 a 1 a1
高中数学基础之基本不等式
高中数学基础之基本不等式理解基本不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)，会利用不等式的性质证明，发展逻辑推理素养；了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．高中数学，基本不等式在不等式部分处于核心地位，学生需要掌握它的“正、定、等”的特征及它在解决求最值、比较大小、证明不等式等方面的巧妙应用．高考中考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式ab ≤a ＋b 2的三个前提条件：(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．不等式链：21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0).即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大).一、利用基本不等式求最值例1 已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号．例2 已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 例3 函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 例4 已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________．答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ·m ＋2n 8＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋24n m ·m n ＝18×(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝mn ，即m ＝2n 时等号成立．例5 已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12.当且仅当n m ＝m n ，即m＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12.例6 已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a ＋4b 的最小值是________． 答案 9解析 由ab －b ＋1＝0，得a ＝b －1b ，由a ＝b －1b >0且b >0，得b >1， 所以1a ＋4b ＝b b －1＋4b ＝1b －1＋4(b －1)＋5.易知1b －1＋4(b －1)≥4，所以1a ＋4b ≥9，当且仅当1b －1＝4(b －1)，即b ＝32，a ＝13时等号成立，故1a ＋4b 的最小值是9.例7 已知实数x >0，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A ．6B ．6 2C ．3D ．32 答案 A解析 由x >0，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ≥3×2x 2·2x ＝6，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y 的最小值为6.例8 (多选)下列说法正确的是( )A ．若x >0，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4B ．若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C ．若x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D ．函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x 的最小值为9 答案 BD解析 对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D正确．故选BD.总结：利用不等式求最值的方法 1．配凑法配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记：(1)一正：各项或各因式均为正；(2)二定：和或积为定值；(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．2．配凑法求解最值应注意的问题(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．3．常数代换法（乘1法）常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算，利用基本不等式解题．4．常数代换法（乘1法）求最值时应注意的两个方面(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；(2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理．5．换元法求最值消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).6．如何正确选用方法来求最值(1)已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，采用配凑法；(2)已知两变量之间的和或倒数的和为常数时，求解有关代数式的最值问题，采用常数代换法（乘1法）．二、基本不等式的综合应用例9 已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．3＋223 B ．3＋22 C ．3 D ．9答案 C解析 因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号).故选C.例10 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.例11 在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B＋sin Bsin C 的最小值为( )A ．32B ．334C ．32D ．53 答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c ＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立．故选C.例12若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则1a＋1b的最小值为()A．2 2 B． 2 C．22＋1 D．2＋3 2答案D解析直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以1a＋1b＝12(a＋2b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝32＋12⎝⎛⎭⎪⎫2ba＋ab≥32＋2ba·ab＝32＋2，当且仅当2ba＝ab，即a＝22－2，b＝2－2时等号成立，所以1a＋1b的最小值为32＋ 2.故选D.总结：当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定成立的相关条件，从而得到参数的值或范围．基本不等式中“1”代换主要运用于知道“和为定值或者倒数的和为定值”，再将定值化为“1”．比如知道“a＋2b＝2”，求1a ＋1b的最小值，就可以用“1”代换．最后，在学生数学学科素养的培养上，通过如下具体措施来实现．数学抽象素养：基本不等式的形式以及推导过程；逻辑推理素养：基本不等式的证明；数学运算素养：利用基本不等式求最值；数据分析素养：利用基本不等式解决实际问题；数学建模素养：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题．。
基本不等式考点总结
稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊基本不等式这个重要的考点哟！先来说说啥是基本不等式，其实就是那个大名鼎鼎的\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)。
这可是个很厉害的家伙，能帮咱们解决好多数学问题呢！比如说，在求最值的时候，它可就派上大用场啦。
如果给了两个正数的和是一个定值，那它们的乘积就有最大值；反过来，如果两个正数的乘积是定值，那它们的和就有最小值。
这就像一个神奇的魔法，是不是很有趣？还有哦，在证明不等式的时候，基本不等式也能大展身手。
通过巧妙的变形和运用，就能轻松地得出结论。
做题的时候，可一定要注意条件，两个数得是正数哟，要不然这个魔法可就不灵啦！另外，要多做几道练习题，这样才能真正掌握基本不等式的精髓。
别害怕犯错，错了就改正，这样才能进步嘛！怎么样，小伙伴们，对基本不等式有没有多一些了解呀？稿子二嗨呀，小伙伴们！今天咱们好好唠唠基本不等式这个考点哈。
基本不等式，就像数学世界里的一把秘密武器。
你看，它简单的样子\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，却有着大大的能量。
比如说，碰到那种要你求面积最大、周长最小之类的问题，基本不等式一上场，就能帮咱们找到答案。
而且呀，它和函数也有关系呢。
有时候能通过基本不等式找到函数的最值，是不是很神奇？还有呢，在实际生活中，像计算成本最低、利润最高的时候，也能用到基本不等式。
感觉它就像个小，随时能帮咱们出谋划策。
不过要注意哟，用基本不等式的时候，可要看清楚条件。
要是不小心忽略了正数这个前提，那可就得出错误答案啦。
咱们得多琢磨琢磨例题，多思考思考，把基本不等式用得溜溜的。
相信自己，一定能搞定这个考点！好啦，小伙伴们，加油哦，让基本不等式成为咱们数学战场上的得力战将！。
高考数学总复习2021版浙江版高2021届高2018级第二章不等式第3节基本不等式：ab≤a+b2
第3节 基本不等式：ab ≤a ＋b2考试要求 1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a ＋b2称为正数a ,b 的算术平均数,ab 称为正数a ,b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[常用结论与易错提醒]1.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22,ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0,b >0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：1n (a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )≥n a 1a 2…a n (其中a 1,a 2,a 3,…,a n ∈(0,＋∞),当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时等号成立).诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)当a ≥0,b ≥0时,a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( ) 解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ,b ∈R ; 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0,b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x 值域是(－∞,－2]∪[2,＋∞),没有最小值.(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 无最小值.(5)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2.设x >0,y >0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81D.82解析 xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81,当且仅当x ＝y ＝9时取等号. 答案 C3.若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0)过点(1,1),则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0,b ＞0)过点(1,1),所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4,当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”,故选C. 答案 C 4.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值,则a ＝( ) A.1＋ 2 B.1＋ 3 C.3D.4 解析 当x >2时,x －2>0,f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4,当且仅当x －2＝1x －2(x >2),即x ＝3时取等号,即当f (x )取得最小值时,即a ＝3,选C. 答案 C5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为______m,宽为________m 时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m,宽为y m.则x ＋2y ＝30,所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252,当且仅当x ＝2y ,即x ＝15,y ＝152时取等号.答案 15 1526.已知正数x ,y 满足x ＋y ＝1,则x －y 的取值范围为________,1x ＋xy 的最小值为________.解析 ∵正数x ,y 满足x ＋y ＝1, ∴y ＝1－x ,0<x <1,∴－y ＝－1＋x , ∴x －y ＝2x －1,又0<x <1, ∴0<2x <2,∴－1<2x －1<1, 即x －y 的取值范围为(－1,1). 1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y ≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3,当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”,∴1x＋xy的最小值为3.答案(－1,1) 3考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜54,则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________.(2)已知正实数x,y满足xy＋2x＋3y＝42,则xy＋5x＋4y的最小值为________.解析(1)因为x＜54,所以5－4x＞0,则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2（5－4x）15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x,即x＝1时,等号成立.故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(2)因为正实数x,y满足xy＋2x＋3y＝42,所以y＝42－2x3＋x>0且x>0,解得0<x<21.则xy＋5x＋4y＝3x＋y＋42＝3x＋42－2x3＋x＋42＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3＋x）＋163＋x＋31≥3×2（3＋x）·163＋x＋31＝55,当且仅当x＝1,y＝10时取等号.所以xy＋5x ＋4y的最小值为55.答案(1)1(2)55规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.【训练1】(1)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值为________.(2)当x >0时,x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3,则实数a 的值为________. 解析 (1)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1,即x ＝3＋1时,等号成立.(2)因为当x >0,a >0时,x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1,当且仅当x ＋1＝ax ＋1时,等号成立,又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3,所以2a －1＝3,解得a ＝4.答案 (1)23＋2 (2)4考点二 常数代换或消元法求最值易错警示【例2】 (1)(2020·浙江“超级全能生”联考)已知正数x ,y 满足x ＋y ＝1,则11＋x＋11＋2y 的最小值是( ) A.3328 B.76 C.3＋225D.65(2)(一题多解)已知x ＞0,y ＞0,x ＋3y ＋xy ＝9,则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)∵x ＋y ＝1,∴2x ＋2＋2y ＋1＝5,∴11＋x ＋11＋2y＝15(2x ＋2＋2y ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2x ＋11＋2y ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2＋4y 2＋2x ＋2＋2x 1＋2y ≥3＋225,当且仅当2x 2－4y 2＋4x －4y ＋1＝0时等号成立,故选C. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0,y ＞0,所以0＜y ＜3,所以x ＋3y ＝9－3y1＋y＋3y＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6, 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1),即y ＝1,x ＝3时,(x ＋3y )min ＝6.法二 ∵x ＞0,y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22, 当且仅当x ＝3y 时等号成立. 设x ＋3y ＝t ＞0,则t 2＋12t －108≥0, ∴(t －6)(t ＋18)≥0,又∵t ＞0,∴t ≥6.故当x ＝3,y ＝1时,(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)C (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件;(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)(一题多解)若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,则3x ＋4y 的最小值为________.(2)已知正数x ,y 满足2x ＋y ＝2,则当x ＝________时,1x －y 取得最小值为________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ,即x ＝1,y ＝12时,等号成立), ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy ,得x ＝3y5y －1, ∵x >0,y >0,∴y >15,∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋23625＝5,当且仅当x ＝1,y ＝12时等号成立,∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵x ,y 为正数,则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1,所以1x －(2－2x )＝1x ＋2x －2≥22－2,当且仅当1x ＝2x ,即x ＝22时等号成立.答案 (1)5 (2)22 22－2考点三 一般形式的基本不等式的应用(选用)【例3】 (一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ,则f (x )的最小值是________.解析 法一 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x , 所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1), 由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1,即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3,k ∈Z ,由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12,即2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3,k ∈Z ,所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时,f (x )取得最小值,且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332. 法二 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x 2cos x 2·2cos 2x 2＝8sin x 2cos 3x2 ＝833sin 2x 2cos 6x 2,所以[f (x )]2＝643×3sin 2x 2cos 6x 2≤643·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 244＝274,当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2,即sin 2x 2＝14时取等号, 所以0≤[f (x )]2≤274,所以－332≤f (x )≤332, 所以f (x )的最小值为－332.法三 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x ), 所以[f (x )]2＝4sin 2x (1＋cos x )2 ＝4(1－cos x )(1＋cos x )3,设cos x ＝t ,则y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1), 所以y ′＝4[－(1＋t )3＋3(1－t )(1＋t )2] ＝4(1＋t )2(2－4t ),所以当－1<t <12时,y ′>0;当12<t <1时,y ′<0.所以函数y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减.所以当t ＝12时,y max ＝274;当t ＝±1时,y min ＝0. 所以0≤y ≤274,即0≤[f (x )]2≤274, 所以－332≤f (x )≤332,所以f (x )的最小值为－332. 法四 因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x ), 所以[f (x )]2＝4sin 2x (1＋cos x )2 ＝4(1－cos x )(1＋cos x )3≤43·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（1－cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）＋（1＋cos x ）44＝274, 当且仅当3(1－cos x )＝1＋cos x , 即cos x ＝12时取等号,所以0≤[f (x )]2≤274,所以－332≤f (x )≤332, 所以f (x )的最小值为－332.答案 －332规律方法 (1)三角函数式拆项时要注意满足平方关系. (2)拆项时要满足各项都相等这个条件成立.【训练3】 (1)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,求sin 2θ cos θ的最大值.(2)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc ＝1,证明(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. (1)解 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,∴sin 2θ cos θ>0,而(sin 2θ cos θ)2＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ·cos 2θ≤ 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2θ＋12sin 2θ＋cos 2θ33＝427,当且仅当12sin 2θ＝cos 2θ,即cos θ＝33,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时等号成立.∴sin 2θ cos θ的最大值为239. (2)证明 因为a ,b ,c 为正数且abc ＝1, 故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（c ＋a ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时,等号成立, 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时,x 2＋14≥2·x ·12＝x ,所以lg⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0),故选项A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确;显然选项C 正确;当x ＝0时,有1x 2＋1＝1,选项D 不正确. 答案 C2.(2019·诸暨期末)已知a ＋2b ＝1(a ＞0,b ＞0),则2b a ＋1b 的最小值等于( ) A.4 B.22＋2 C.52D.22＋1解析 由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋a b ＋2≥22b a ·ab ＋2＝22＋2,当且仅当a ＝2b ＝2－1时,等号成立,所以2b a ＋1b 的最小值为22＋2,故选B. 答案 B3.若正数x ,y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30,则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2D.54解析 由x ＞0,y ＞0,得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立),∴12xy ＋3xy ≤30,即xy ≤2,当且仅当x ＝3,y ＝233时取等号,∴xy 的最大值为2. 答案 C4.已知a >0,b >0,a ＋b ＝1a ＋1b ,则1a ＋2b 的最小值为( ) A.4 B.2 2 C.8D.16解析 由a >0,b >0,a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ,得ab ＝1, 则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ,即a ＝22,b ＝2时等号成立.故选B.5.若a>0,b>0,且a＋b＝4,则下列不等式恒成立的是()A.1ab≤14 B.1a＋1b≤1C.ab≥2D.a2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时,等号成立),即ab≤2,ab≤4,1ab≥14,选项A,C不成立;1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1,选项B不成立;a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8,选项D成立. 答案 D6.若实数a,b满足1a＋2b＝ab,则ab的最小值为()A. 2B.2C.2 2D.4解析依题意知a＞0,b＞0,则1a＋2b≥22ab＝22ab,当且仅当1a＝2b,即b＝2a时,“＝”成立.因为1a＋2b＝ab,所以ab≥22ab,即ab≥22(当且仅当a＝214,b＝254时等号成立),所以ab的最小值为22,故选C.答案 C7.已知a,b,c,d≥0,a＋b＝c＋d＝2,则(a2＋c2)(b2＋d2)的最大值是()A.4B.8C.16D.32解析∵（a2＋c2）（b2＋d2）≤a2＋c2＋b2＋d22≤（a＋b）2＋（c＋d）22＝4,∴(a2＋c2)(b2＋d2)≤16,当a＝d＝2,b＝c＝0或b＝c＝2,a＝d＝0时取到等号,故选C.答案 C8.(2019·台州期末评估)已知实数a,b满足a2＋b2＝4,则ab的取值范围是()A.[0,2]C.(－∞,－2]∪[2,＋∞)D.[－2,2]解析 ∵a 2＋b 2＝4,∴根据基本不等式得4＝a 2＋b 2≥2|ab |,∴|ab |≤2,∴－2≤ab ≤2,∴ab 的取值范围是[－2,2],故选D. 答案 D9.已知x ＋y ＝1x ＋4y ＋8(x ,y >0),则x ＋y 的最小值为( ) A.5 3 B.9 C.4＋26D.10解析 由x ＋y ＝1x ＋4y ＋8得x ＋y －8＝1x ＋4y ,则(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y ＝9,当且仅当y x ＝4xy ,即y ＝2x 时,等号成立,令t ＝x ＋y ,所以(t －8)·t ≥9,解得t ≤－1或t ≥9,因为x ＋y >0,所以x ＋y ≥9,所以x ＋y 的最小值为9,故选B. 答案 B 二、填空题10.(2019·天津卷)设x >0,y >0,x ＋2y ＝5,则（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为________.解析 ∵x >0,y >0,∴xy >0. ∵x ＋2y ＝5,∴（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy ≥212＝43,当且仅当2xy ＝6xy,即x ＝3,y ＝1或x ＝2,y ＝32时取等号. ∴（x ＋1）（2y ＋1）xy 的最小值为4 3.答案 4 311.(2020·镇海中学模拟)已知a ,b ∈(0,＋∞)且a ＋2b ＝3,则1a ＋2b 的最小值是________.解析 因为a ,b ＞0,且a ＋2b ＝3,所以1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋2b 3＝13＋43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥53＋23×2a b ·b a ＝53＋43＝3,当且仅当a b ＝b a ,即a ＝b ＝1时取等号. 答案 312.(2018·江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC ＝120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD ＝1,则4a ＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC ＝120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°,由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°,化简得ac ＝a ＋c ,又a >0,c >0,所以1a ＋1c ＝1,则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac ＝9,当且仅当c ＝2a 时取等号,故4a ＋c 的最小值为9. 答案 913.若正数a ,b 满足：1a ＋1b ＝1,则1a －1＋9b －1的最小值为________.解析 ∵正数a ,b 满足1a ＋1b ＝1,∴a ＋b ＝ab ,1a ＝1－1b ＞0,1b ＝1－1a ＞0, ∴b ＞1,a ＞1, 则1a －1＋9b －1≥29（a －1）（b －1）＝29ab －（a ＋b ）＋1＝6(当且仅当a＝43,b ＝4时等号成立),∴1a －1＋9b －1的最小值为6. 答案 614.(一题多解)若实数x ,y ,z 满足x ＋2y ＋3z ＝1,x 2＋4y 2＋9z 2＝1,则z 的最小值是________.解析 法一 因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22,又x ＋2y ＝1－3z ,则1－9z 2≥12(1－3z )2,解得－19≤z ≤13,即z 的最小值为－19.法二 由x 2＋(2y )2＝1－9z 2,设x ＝1－9z 2cos θ,2y ＝1－9z 2sin θ,则1－3z ＝1－9z 2(cos θ＋sin θ)＝2（1－9z 2）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4,由三角函数的有界性,得|1－3z |≤2（1－9z 2）,解得－19≤z ≤13,即z 的最小值为－19.答案 －19能力提升题组15.设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当xy z 取得最大值时,2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A.0 B.1 C.94D.3解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2,(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1,当且仅当x ＝2y 时取等号,把x ＝2y 代入(*)式,得z ＝2y 2,所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 B16.(2020·金华一中月考)已知正实数a ,b 满足：a ＋b ＝1,则2a a 2＋b ＋ba ＋b 2的最大值是( ) A.2 B.1＋ 2 C.1＋233D.1＋322解析 因为正实数a ,b 满足a ＋b ＝1,所以2a a 2＋b ＋b a ＋b 2＝2aa 2＋1－a ＋1－a a ＋（1－a ）2＝a ＋1a 2－a ＋1.令t ＝a ＋1∈(1,2),则原式＝tt 2－3t ＋3＝1t ＋3t －3≤123－3＝3＋233＝1＋233. 当且仅当t ＝3t ,即t ＝3＝a ＋1,a ＝3－1,b ＝2－3时取等号,故选C.答案 C17.(一题多解)(2017·北京卷改编)已知x ≥0,y ≥0,且x ＋y ＝1,则x 2＋y 2的最小值为________,最大值为________. 解析 法一 ∵x ≥0,y ≥0且x ＋y ＝1,∴2xy ≤x ＋y ＝1,当且仅当x ＝y ＝12时取等号,从而0≤xy ≤14, 因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy , 所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 ∵x ＋y ＝1,x ≥0,y ≥0, ∴y ＝1－x ,x ∈[0,1],∴x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12,对称轴为x ＝12,故x ＝12时,有最小值为12,x ＝0或x ＝1时有最大值为1.法三 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围.AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1,则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案12 118.(2020·杭州四中仿真)已知实数x ,y ,z 满足⎩⎨⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________;此时z ＝________.解析 由xy ＋2z ＝1得z ＝1－xy 2,则5＝x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－xy 22≥2|xy |＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－xy 22,即x 2y 2＋6xy －19≤0或x 2y 2－10xy －19≤0,解得5－211≤xy ≤－3＋27,则xyz ＝xy ×1－xy 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫xy －122＋18,则当xy ＝5－211时,xyz 取得最小值911－32,此时z ＝1－xy2＝11－2. 答案 911－3211－219.设a ＋b ＝2,b >0,则当a ＝________时,12|a |＋|a |b 取得最小值为________. 解析 由于a ＋b ＝2,所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b , 由于b >0,|a |>0,所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b＝1,因此当a >0时,12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54.当a <0时,12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34. 故12|a |＋|a |b 的最小值为34,此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0， 即a ＝－2. 答案 －23420.已知a ,b ,c >0,且a 2＋b 2＋c 2＝10,则ab ＋ac ＋bc 的最大值是________,ab ＋ac ＋2bc 的最大值是________.解析 因为ab ＋ac ＋bc ≤2a 2＋2b 2＋2c 22＝10,当且仅当a ＝b ＝c 时取等号,又因为12a 2＋xb 2≥2x ab (0≤x ≤1),12a 2＋yc 2≥2y ac (0≤y ≤1),(1－x )b 2＋(1－y )c 2≥2（1－x ）（1－y ）bc ,令2x ＝2y ＝（1－x ）（1－y ）,即x ＝y ＝2－3,故此时有a 2＋b 2＋c 2≥(3－1)(ab ＋ac ＋2bc ),即ab ＋ac ＋2bc ≤53＋5,当且仅当22a ＝(2－3)b ＝(2－3)c 时取等号. 答案 10 53＋5。
【浙江全A计划学业水平复习高中数学】考点3 基本不等式
若 a b 的 最大值为 3 ， 则 λ ＝
（ ）
A. 3
B. 3
C. 2
D. 1
2
3
3
【 命题意图】 考查基本不等式及其变 形.
【 解题指南】 ∵ a ＋ λ b ＝ 2 ≥ 2 λ a b ， ∴ λ a b ≤ 1 ， ∴ a b ≤ 1 ， ∴ 1 ＝ 3 ， ∴ λ ＝ 1 . 故
ab
【 分 析】 ∵ a ＞0， b ＞0， a + b = 2 ， ∴ y= 1 + 4 = 1 ( 1 + 4 )( a + b )= 1 ( 1 +4+ b + 4a )≥
ab2 ab
2
ab
1 ( 5+2 b ⋅4a )= 9， 当 且 仅当 b = 2 a 时等号成立， 故 答案为 9.
2−m
2−m
m− 2
最大值为－ 2 .
考纲条目与考试要求 考纲解读与知识梳理 经典例题与变式训练 巩固练习 9
目
考 点 3 基本不等式
录
例1 例2 例3 例4 变 式 训 练 例5 例6
【 例 4 】 已 知 x， y∈ R ＋ ， 且 满 足 3 ＋ 4 ＝ 1 ， 则 x＋ y 的 最小值为 . xy
x
s inx
( C ) D. y= x2 + 1 + 2
x2 + 1
【 分 析】 正 确；D 项 ∵ x2 + 1 ≥ 1 ， ∴ y= x2 + 1 + 2 ≥ 2 x2 + 1
目
考 点 3 基本不等式
录
例1 例2 例3 变 式 训 练 例4 例5 例6
【 变式训练】 已 知 < 2 ， 则 4 + 的 最大值为 － 2 . −2
浙江省高考数学一轮复习第二章不等式第3节基本不等式课件
（x－2）×x－1 2＋2＝4，
当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝
3，选 C. 答案 C
5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，
则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.
)
(3)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( )
(4)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x的最小值为 4.( )
(5)x＞0 且 y＞0 是xy＋yx≥2 的充要条件.( )
解析 (2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式a＋2 b≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0. (3)函数 y＝x＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (4)函数 f(x)＝sin x＋sin4 x无最小值. (5)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充分不必要条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
【训练 2】(1)(一题多解)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值为________.
(2)已知正数 x，y 满足 2x＋y＝2，则当 x＝________时，1x－y 取得最小值为________. 解析 (1)法一 由 x＋3y＝5xy 可得51y＋53x＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)51y＋53x ＝95＋45＋35xy＋152xy≥153＋152＝5(当且仅当35xy＝152xy，即 x＝1，y＝12时，等号成立)， ∴3x＋4y 的最小值是 5.
1 2
时取
“＝”，∴1x＋xy的最小值为 3.
答案 (－1，1) 3
高三数学下册《基本不等式》知识点
高三数学下册《基本不等式》知识点不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：a>bba>b,b>ca>ca>ba+c>b+cc>0时，a>bac>bccbac运算性质有：a>b,c>da+c>b+d。
a>b>0,c>d>0ac>bd。
a>b>0an>bn。
a>b>0>。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
练习题：)3->3a-4)-6分之5x+31又3分之1)）3-4[1-3]大于等于59）6大于等于2+5分之1）6分之7x-13>3分之3x-8）4x-10-4))x-2-2分之2-x>3分之x-2)x-6分之2-x-3分之4x-3大于等于0）3分之x-2分之x-131)1-2分之1x>2）7x-22-x)x-2小于等于1-3)3+2<5)3分之1x-1<x-3分之10）6<2+5分之1。
浙江专版高考数学第6章不等式及其证明第3节基本不等式教师用书
第三节 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx≥2的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.] 3．(2016·绍兴二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4 C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 x －2 ×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.] 5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2. 【导学号：51062190】25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ 10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)若实数a ，b 满足a ＋b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2017·湖州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2017·金华十校4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)(2017·杭州学军中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2 2a ＋b a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋mn ≤－2－2n m ·mn＝－4， 当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，4分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).7分 (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，12分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).14分法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，12分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.14分[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.[证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a2·1b 2＝2ab，4分当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，12分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.14分50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].4分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).6分(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立.12分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.14分 [规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋ 2＋4＋6＋…＋2xx，即y ＝x ＋100x＋1.5(x ∈N *).6分(2)由基本不等式得：y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，12分当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.14分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形： (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． [易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(三十二) 基本不等式A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2 x ＋1 ·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号．] 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋ba≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件．]3．(2017·金华十校联考)函数f (x )＝ax －1－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx －ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．3＋2 2D [由题意知A (1，－1)，因为点A 在直线mx －ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1，所以1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2m n，因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝3＋n m ＋2mn≥3＋2n m ·2m n＝3＋2 2. 当且仅当n m ＝2mn时，取等号，故选D.] 4．(2017·湖州二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b，则1a ＋2b的最小值为( )【导学号：51062191】A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，得ab ＝1， 则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.] 5．(2017·杭州二中月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ， 即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 二、填空题6．(2017·浙江金华3月联考)若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__________． 2 [因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.] 7．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为__________．94 [由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．20 [每次都购买x 吨，则需要购买400x次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值． [解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.2分当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，4分 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2， ∴2－x >0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2，10分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.15分 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值. 【导学号：51062192】 [解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，2分又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.6分 (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x＝18.10分 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋y 的最小值为18.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．要制作一个容积为4 m 3 ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 C [由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ．又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160. 当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号．]2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)设a >0，b >0，a ＋b －2a 2b 2－6＝0，则1a ＋1b的最小值是________，此时ab 的值为________．43 3 [∵a >0，b >0，a ＋b ＝2a 2b 2＋6，∴1a ＋1b ＝6＋2 ab 2ab ＝6ab＋2ab ≥43，当且仅当6ab ＝2ab ，即ab ＝3时，1a ＋1b取到最小值4 3.] 3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值． [解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.6分 (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值).9分 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，12分 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元.15分。
2021高考浙江版数学一轮复习讲义： 第6章 第3节 基本不等式
第三节 根本不等式1．根本不等式ab ≤a ＋b2(1)根本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，那么a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，根本不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用根本不等式求最值问题 x >0，y >0，那么(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)假设a >0，那么a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．假设a ，b ∈R ，且ab >0，那么以下不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2021·绍兴二模)假设a ，b 都是正数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，应选C.]4．假设函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，那么a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)假设把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，那么矩形场地的最大面积是__________m 2. 【导学号：51062190】25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 那么另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 那么y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.]利用根本不等式求最值(1)假设实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，那么ab 的最小值为( ) A.2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2021·湖州二次质量预测)正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，那么2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝〞，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，那么2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用根本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小〞．2．在求最值过程中假设不能直接使用根本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进展变形，使之能够使用根本不等式．[变式训练1] (1)(2021·金华十校4月联考)a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，假设不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)(2021·杭州学军中学一模)实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，那么1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，应选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4， 当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]利用根本不等式证明不等式a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，4分 ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).7分(2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，12分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).14分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，12分 故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥ [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用根本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用根本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和〞式或“积〞式，通过将“和〞式转化为“积〞式或将“积〞式转化为“和〞式，到达放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑〞的技巧，同时应注意屡次运用根本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2. [证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，4分当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，12分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42根本不等式的实际应用运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].4分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[]50，100.(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).6分 (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10，当且仅当130×18x＝2×130360x ， 即x ＝1810故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610 [规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用根本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3] 某化工企业2021年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．那么该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).6分(2)由根本不等式得：y＝x＋100x≥2x·100x＋1.5＝21.5，12分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．[思想与方法]1．根本不等式具有将“和式〞转化为“积式〞和将“积式〞转化为“和式〞的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用根本不等式对两个正数的和与积进展转化，然后通过解不等式进展求解．2．根本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用根本不等式求最值，“一正〞“二定〞“三相等〞三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立〞的含义是“a＝b〞是等号成立的充要条件，这一点至关重要，无视它往往会导致解题错误．3．连续使用根本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(三十二)根本不等式A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．x>－1，那么函数y＝x＋1x＋1的最小值为()A．－1B．0 C．1 D．2C[由于x>－1，那么x＋1>0，所以y＝x＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1－1≥2(x＋1)·1x＋1－1＝1，当且仅当x＋1＝1x＋1，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]2．设非零实数a，b，那么“a2＋b2≥2ab〞是“ab＋ba≥2”成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而ab ＋b a ≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab 〞是“a b ＋ba ≥2”的必要不充分条件．]3．(2021·金华十校联考)函数f (x )＝a x －1－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，假设点A 在直线mx －ny －1＝0上，其中m >0，n >0，那么1m ＋2n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．3＋2 2D [由题意知A (1，－1)，因为点A 在直线mx －ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ，因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2mn＝3＋2 2.当且仅当n m ＝2mn 时，取等号，应选D.]4．(2021·湖州二模)a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，那么1a ＋2b 的最小值为( )【导学号：51062191】A ．4B ．2 2C ．8D ．16 B [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ， 得ab ＝1， 那么1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．应选B.]5．(2021·杭州二中月考)假设a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，那么( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b 2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 二、填空题6．(2021·浙江金华3月联考)假设2x ＋4y ＝4，那么x ＋2y 的最大值是__________．2 [因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ， 所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2， 当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.] 7．函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，假设f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，那么实数p 的值为__________．94 [由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.]8．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x ＝__________吨．20 [每次都购置x 吨，那么需要购置400x 次． ∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x ＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x 时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.2分 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，4分 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2＝2，10分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.15分10．x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值. 【导学号：51062192】[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，2分 又x >0，y >0，那么1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，那么x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8yx当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋yB 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．要制作一个容积为4 m 3 ，高为1 m 的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，那么另一条边长是4xm ．又设总造价是y 元，那么y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160.当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号．]2．(2021·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)设a >0，b >0，a ＋b －2a 2b 2－6＝0，那么1a ＋1b 的最小值是________，此时ab 的值为________．43 3 [∵a >0，b >0，a ＋b ＝2a 2b 2＋6，∴1a ＋1b ＝6＋2(ab )2ab ＝6ab ＋2ab ≥43，当且仅当6ab ＝2ab ，即ab ＝3时，1a ＋1b 取到最小值4 3.]3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．[解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.6分(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值).9分 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，12分所以t ∈[1,30]时，W (t。