学而思新高一暑假复习卷iii(教师版)
2020年高一数学暑假补习题 (21)-0710(解析版)
2020年高一数学暑假补习题 (21)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.sin60°的值等于()A. 0.5B. −0.5C. √32D. −√322.直线的倾斜角为()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是()A. B. C. D.4.已知，，，则点的坐标是()A. B. C. D.5.已知f(3x)=log2√9x+12，则f(1)的值为()A. 1B. 2C. −1D. 126.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2,|b⃗ |=√2，且，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. 1B. −1C. √2D. −√27.将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移m(m>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为()A. 5π12B. π3C. π12D. 7π128.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 模长相等的两个平行向量是相等向量C. 若a→ =b→ ，则|a→ |=|b→ |D. 若a→ //b→ ,b→ //c→ 则a→ //c→ 9.若对于任意实数，都有，且在(−∞,0]上是增函数，则()A. B. C. D.10.若，则不等式等价于()A. 或B.C.或D.或二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 判断符号，填“>”或“<”：sin3⋅cos4⋅tan5__________0． 12. 已知，，若与垂直，则x 的值为__________．13. 代数式__________，__________．14. 已知向量，，若向量与垂直，则m =__________．15. 如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形．①写出与相等的向量：__________；②写出与共线的向量__________.16. 若不等式在时恒成立，则实数的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x +m(1)求的最小正周期；(2)当时，的最小值为5，求的值．18. (Ⅰ)如图1，A ，B ，C 是平面内的三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，试证明：存在实数λ，使得：PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅱ)如图2，设G 为△ABC 的重心，PQ 过G 点且与AB 、AC(或其延长线)分别交于P ，Q 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究：1m +1n 的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．19.已知角．(1)求sinα的值；(2)求tan(α+2β)的值．20.已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的对称中心及单调增区间．21.已知圆M:(x−1)2+(y−1)2=4，直线l:x+y−6=0，A为直线l上的一点．(1)判断直线l与圆M的位置关系；(2)过点A作圆M的切线，切点分别为P，Q，求切线长AP的最小值；(3)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，求点A的纵坐标的取值范围．22.已知函数f(x)=|x−1|−2|x+1|的最大值为t．(1)求实数t的值；(2)若g(x)=f(x)+2|x+1|，设m>0，n>0，且满足1m +12n=t，求证：g(m+2)+g(2n)≥2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数，属于基础题． 直接利用特殊角的三角函数值解答即可． 【解答】解：sin60°=√32．故选C ． 2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，属于容易题． 【解答】 解：因为直线的斜率为√3， 又因为， 所以倾斜角为60∘． 故选C ． 3.答案：A解析：【分析】本题主要考查向量的线性运算． 【解答】 解：，将向量按逆时针旋转后，得向量=(−7√2,−√2)． 故选A ． 4.答案：B解析：【分析】本题考查向量的坐标运算，难度一般． 【解答】解：设D (x,y )，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−3)，C(−1,3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −3)，因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(x +1,y −3)=2(5,−3)，解得{x +1=10y −3=−6，解得x =9,y =−3，故D (9,−3)．故选B ． 5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复合函数【解答】解：令t=3x所以f(t)=log2√3t+12所以f(1)=12故选D．6.答案：B解析：【分析】本题考查向量的投影，向量的数量积．由向量垂直求出a⃗·b⃗ =−2，再由a⃗ ·b⃗|a⃗ |求得b⃗ 在a⃗方向上的投影．【解答】解：，∴a⃗·(a⃗⃗⃗⃗ +2b⃗ )=0，∴a⃗2+2a⃗·b⃗ =0，∵|a⃗|=2，∴a⃗·b⃗ =−2，∴则b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ·b⃗|a⃗ |=−22=−1．故选B．7.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数的图象和性质及函数图象的平移变换，根据条件得到平移后的图象利用图象关于y轴对称即可求出m的值，属基础题．【解答】故选A．8.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A错误；模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B错误；由向量的定义可知C 正确；b → =0→ 时，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不一定平行，D 错误； 故选C ．9.答案：D解析：由可知，函数在(−∞,0]上是增函数，．10.答案：D解析：【分析】本题考查了分式不等式的解法，是基础题．由原不等式可转化为−b <1x <a ⇔{1x +b >01x−a <0，分别解每一个不等式，取交集即可．【解答】解：因为a >0,b >0，所以−b <1x <a ⇔{1x +b >01x−a <0⇔{1+bxx >01−axx<0⇔{x (bx +1)>0x (1−ax )<0⇔{x >0或x <−1b x >1a或x <0,得到x <−1b 或x >1a . 故选D ．11.答案：>解析：【分析】本题考查三角函数值的范围，属于基础题． 【解答】 解：∵π2<3<π,π<4<3π2,3π2<5<2π,∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴sin3cos4tan5>0． 故答案为：>．12.答案：−5解析：∵，，且与垂直∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，即4+x +1=0∴x =−5故答案为−513.答案：解析：sin600(−cos300)=√32×(−√32)=−34，−sin300(−cos600)=−12×(−12)=14． 14.答案：2解析：由题意，结合向量垂直的充要条件和向量数量积的坐标运算法则可得：．15.答案：FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗解析： 相等向量要求不仅大小相等，而且方向相同，而共线向量只需方向相同或相反即可．与相等的向量：FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;与共线的向量：FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 16.答案：解析：，设，可知为定义域内的减函数，设，又因为，所以，，可知当时，有最小值，所以有最小值，所以最大值为．17.答案：解：(1)由题意知：，所以f(x)的最小正周期为．(2)由(1)知：， 当时，．所以当时，f(x)的最小值为−√3+m ．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m =5，即m =5+√3．解析：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期，考查三角函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力． (1)由题意得 ，所以f(x)的最小正周期为π． (2)由时，所以当时，f(x)的最小值为−√3+m ，即−√3+m =5，即m =5+√3．18.答案：(Ⅰ)证明：由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ使得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即PC⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PA⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 化简为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗结论得证．(Ⅱ)解：连结AG ，因为G 为△ABC 的重心，所以：AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23⋅12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13nAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 由(Ⅰ)知：13m +13n =1所以1m +1n =3为定值．解析：本题考查向量知识的运用，考查向量的共线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ使得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形，可得结论； (Ⅱ)连结AG ，利用G 为△ABC 的重心，结合(I)的结论即可得到结论．19.答案：解：(1)因为α∈(0,π2)，所以α−π4∈(−π4,π4)，故．所以．(2)因为α∈(0,π2)，由(1)知，，所以，因为tanβ=12所以．故．解析：本题主要考查了同角间的基本关系式，两角和差的公式，二倍角公式，属于中档题．(1)考查同角三角函数的基本关系式以及两角和差的公式．(2)利用两角和的正切公式求解即可．20.答案：解：，则函数的周期T=2π2=π；(2)令2x−π3=kπ，k∈Z，则2x=kπ+π3，即x=12kπ+π6，k∈Z，∴对称中心(12kπ+π6,0),k∈Z，令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，即−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，即函数的增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z．解析：本题考查三角函数图象和性质，属基础题，难度不大．(1)先由两角差的余弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，得到，再由求得f(x)的最小正周期；(2)令2x−π3=kπ，求得f(x)的对称中心，令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得单调增区间．21.答案：解：(1)如图(1)，圆M:(x−1)2+(y−1)2=4的圆心为M(1,1)，半径r=2．圆心M到直线l的距离d=|1+1−6|√2=2√2>2，∴直线l与圆M相离．(2)如图(1)，连接MP，MA，则MP⊥PA，在Rt△MPA中，|PA|2=|MA|2−r2=|MA|2−4.要使|AP|最小，则|MA|必须最小，而|MA|的最小值为点M到直线l的距离d=2√2，∴|PA|2的最小值为8−4=4，∴|AP|的最小值为2．(3)如图(2)，过点A作圆M的切线AD，AE，切点分别为D，E．由题意知，∠DAE≥60°，．连接MD，MA，则MD⊥AD，在Rt△MAD中，∠DAM≥30°，，∴|MA|≤4．设A(6−a,a)，∴|MA|2=(5−a) 2+(a−1)2≤16，即a2−6a+5≤0，∴1≤a≤5，即点A的纵坐标的取值范围是[1,5]．解析：本题考查直线与圆的位置关系及与圆有关的最值问题．(1)通过圆心M到直线l的距离d=√2=2√2>2，故可得答案．(2)连接MP，MA，则MP⊥PA，在Rt△MPA中，要使|AP|最小，则|MA|必须最小，而|MA|的最小值为点M到直线l的距离d=2√2，故可得AP的最小值．(3)从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60∘时，∠PMQ为120∘，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x0的取值范围．22.答案：解：(1)由f(x)=|x−1|−2|x+1|={−x−3,x≥1−3x−1,−1<x<1 x+3,x≤−1，∴f(x)max=f(−1)=2，即t=2，证明：(2)g(x)=|x−1|，由1m +12n=2，知g(m+2)+g(2n)=|m+1|+|2n−1|≥|m+1+2n−1|=|m+2n|=|12(m+2n)⋅(1m+1 2n )|=12|2nm+m2n+2|≥12|2+2|=2，当且仅当2nm =m2n，即m2=4n2时取等号，∴g(m+2)+g(2n)≥2．解析：(1)通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质，即可求出t的值，(2)根据三角不等式和基本不等式的性质求出g(m+2)+g(2n)≥2．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是一道常规题．。
暑假作业高一数学含详解
α
的值.
tan α π cos α
3．已知
0,
4
，
4
,
0
，
cos
4
3 5
，
cos
β
π 4
5 13
.
（1）求 sin 2 的值；
（2）求 cos 的值. 4．已知函数 f x Asin x ( x R ， A 0 ， 0 ， 0 )的图象如图
2
（2）将函数 f x 的图象先向左平移 个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来 6
的
2
倍，得到函数
h
x
的图象.若对任意的
x
0,
2
，不等式
p
h
x
1
h
x
2
1
h
2x
成立，求实数
p
的取值范围.
44．在 ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别是 a ， b ， c .已知
cos 2A 3cos B C 1.
41．已知向量 a 与 b 的夹角为
60°，
a
3，
b
ur 2，m
r rr r r 2a 3b ， n 3a kb .
（1）若 m n ，求实数 k 的值
ur r （2）是否存在实数 k ，使得 m//n ，说明理由.
42．如图是函数
f
(x) sin(x )(
0,
) 一个周期内的图象，已知点
g x
f
xk
在区间
6
, 13 12
上有三个零点，求实数 k
的取值范围.
32．已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，且当 x 0 时，
高一英语培优提升暑假作业：必修第三册暑期学习成果阶段检测卷 人教版2019
12必修第三册暑期学习成果阶段检测卷英语（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30 分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What time will the football match start?A．At 20:25.B．At 21:30.C．At 19:00.2．What is the price of a T-shirt in the shop?A．$15.B．$35.C．$50.3．What is the probable relationship between the speakers?A．Husband and wife.B．Teacher and student.C．Doctor and patient.4．Where is the woman going?A．The hotel.B．The post office.C．The train station.5．What is the relationship between the speakers?A．Husband and wife.B．Waiter and customer.C．Fellow workers.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2021年高一下学期暑假作业数学试题(33) 含答案
2021年高一下学期暑假作业数学试题（33）含答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中．．．．．．．．．．．．)1．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于 ( )A．40 B．42 C．43 D．452．在中，若则角A与角B的大小关系为( )A．A>B B．A<B C．AB D．不能确定3. 把函数的图象向右平移m（其中m＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B． C． D．4. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f（2x﹣1）的x取值范围是（）A． B． C． D．5.将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A. B. C. D.6. 在等差数列中，若，则公差．7.已知等差数列其前项和为，且，则使取到最大值的为．8.在中，角的对边分别为，且满足已,若成等差数列，且公差大于，则的值为．9. 已知为的三个内角的对边，向量，若，且,则角．10．（本题8分）已知＝3，＝2，与的夹角为60°，＝3＋5，＝m－3(1)当m为何值时，与垂直？(2)当m为何值时，与共线？11．（本题10分）在数列{a n}中，已知，，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：为等比数列；并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若求数列{b12. 20.（本小题满分12分）已知，其中．（1）当时，证明；（2）若在区间，内各有一个根，求的取值范围.13. 已知数列的前项和求数列的通项公式；设数列的通项，求数列的前项和.第33期答案1.B2. A3. B4. A5. D6.7. 或8.9. 10.（1） （2）11. （1） （2）12. 【答案】（1）详见解析（2）（1）∵，，∴∵，∴，即，∴；（2）抛物线的图像开口向上，且在区间，内各有一个根，∴∴点（）组成的可行域如图所示，由线性规划知识可知，，即．13. （Ⅰ）当时，22133(1)(1)3222n n n n n n n b B B n -----=-=-=- 当，得，（）;…………………………………4分（Ⅱ）由题意知=记的前项和为，的前项和为，因为=，所以2(312)2(322)2(32)2n n S n =⨯-+⨯-⋅+⋅+-⋅ 2312(312)2(322)2(3(1)2)2(32)2n n n S n n +=⨯-+⨯-⋅+⋅+--+-⋅两式相减得2+=所以,…………………………………………………………………8分又，………………………………………………………………… 10分所以==．…………………………………………………………… 12分ub28204 6E2C 測30606 778E 瞎28373 6ED5 滕29182 71FE 燾40706 9F02 鼂733200 81B0 膰>727034 699A 榚38027 948B 钋25610 640A 搊23908 5D64 嵤。
2020年高一数学暑假补习题 (29)-0710(解析版)
2020年高一数学暑假补习题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角θ的终边经过点P(4,m)，且sinθ=35，则m等于()A. −3B. 3C. 163D. ±32.若，则()A. B. C. D.3.若，则角的终边落在直线()上A. B. C. D.4.将函数f(x)=2sin(2x−π6)+2向左平移π6个单位后得函数g(x)，则g(x)在[0,2π3]上取值范围是()A. [−2,2]B. [3,4]C. [0,3]D. [0,4]5.函数y=ax2+bx与在同一直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.6.函数f(x)=xx2+a的图像可能是()A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)7.函数的大致图象是()A.B.C.D.8. 在中，已知60°，45°，则AC =( )A. √2B. √6C. 2√2D. 2√3 9. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )A. (−∞,−12]B. [−12,+∞)C. (−3,−12]D. [−12,2)10. 已知，，则( )A.B.C.D.11. 函数f (x )=e x −e −xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.12. 已知0<a <b ，a +b =1，则12，b ，a 2+b 2的大小关系是( )A. 12<a 2+b 2<bB. 12<b <a 2+b2C. a 2+b 2<b <12 D. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 13. 已知角的终边过点(sin2π3,cos 2π3)，则=__________．14. 已知，，则____________________．15.在△ABC中，当a2+c2−b2=√3ac时，角B=_______．16.已知函数在上有意义，则的取值范围是__________17.若函数f(x)=(3−m)xx2+m的图像如所示，则m的取值范围是___________．18.已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤.其中可能关系式是__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）19.已知，且、().(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的值．20.已知函数在[0,π3]上单调递增，且满足f(x)=f(2π3−x)．(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)若f(x0)=1，求sin(2x0+π6)的值．21.如图，在△ABC中，∠B=45∘,AC=√10，cos∠C=2√55，点D是AB的中点，求：(1)边AB的长；(2)cosA的值和中线CD的长．22.(1)求函数y=x+9x−2(其中x>2)的最小值；(2)求函数y=x+9x−2(其中x≥6)的最小值．23.如图，△ABC中，sin∠ABC2=√33，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=4√33.(Ⅰ)求：BC的长；(Ⅱ)求△DBC的面积．24.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，其中点P在边DE上(包括端点).求矩形BNPM面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．利用任意角的三角函数的定义，求解即可．【解答】解：角θ的终边经过点P(4,m)，且sinθ=35，可得√16+m2=35>0，(m>0)解得m=3或m=−3(舍)．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查的是三角函数值的符号，属于基础题．根据tanα>0得出α是第一或第三象限角，讨论α是第一、第三象限角时，sin2α的符号即可．【解答】解：∵tanα>0，∴角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin2α=2sinαcosα>0；当α是第三象限角时，sinα<0，cosα<0，sin2α=2sinαcosα>0；综上，sin2α>0．故选C．3.答案：B解析：试题分析：有已知可得，即直线的斜率考点：同角间的三角函数关系及二倍角公式点评：本题涉及到的基本公式有4.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g(x)在[0,2π3]上的取值范围．【解答】解：将函数f(x)=2sin(2x−π6)+2向左平移π6个单位后得函数g(x)=2sin(2x+π3−π6)+2=2sin(2x+π6)+2，则在[0,2π3]上，2x+π6∈[π6,3π2]，∴sin(2x+π6)∈[−1,1]，g(x)∈[0,4]，故选：D．5.答案：D解析：由题意知a,b同号，故二次函数的对称轴在y轴左边，排除A，B，图C中由二次函数图象知ba>1，而对数函数中ba<1，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，属于基础题．因为是选择题，故适宜用特殊值法，将特殊值代入分析各选项，结合图象中特殊点坐标加以验证，可得结果．【解答】解：若a=0，则f(x)=xx2=1x，图(4)符合，若a≠0，则当x=0时，f(x)=0，图象过原点，排除(1)；a=1时，(2)符合，a=−4时，(3)符合，综上可知：图象(2)(3)(4)符合．故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．利用函数的性质求解即可得结果．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C和D，当x>0时，，f′(x)=1+lnx，当x>1e 时,f′(x)>0，所以f(x)在(1e,+∞)上是增函数，故排除B．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查正弦定理的应用，属于基础题，直接利用正弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC中，60°，45°，则AC=AB·sinBsinC =2×√32√22=√6．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查复合函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法：同增异减即可判断，求解时要将函数y=log2(6−x−x2)分解成两个基本函数：t=6−x−x2和y=log2t，易错点是不求函数的定义域．【解答】解：由6−x−x2>0得−3<x<2，所以函数y=log2(6−x−x2)的定义域为(−3,2)，令t=6−x−x2，则y=log2t，因为t=6−x−x2在(−3,−12)上单调递增，在[−12,2)上单调递减，又y=log2t单调递增，所以y=log2(6−x−x2)在[−12,2)上单调递减．故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查两角和差的正切公式的应用，属于较易题．【解答】解：，故选D．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的图象及性质，为中档题．解答本题可用排除法．【解答】解：函数f(x)=e x−e−xx2，定义域为{x|x≠0}，f(−x)=e−x−e−(−x)(−x)2=−f(x)，故f(x)为奇函数，排除A；当x=1时，f(x)=e−e−1>0，排除D；当x→+∞时，f(x)→+∞，排除C．故选B．12.答案：A解析：因为0<a<b，a+b=1，<b，所以，a<12;由于(a+b)2=1所以1−(a2+b2)=2ab<a2+b2，所以a2+b2>12由于2b>1，所以2ab>a，所以2ab+b>a+b，所以a+b−2ab<b，由于1−2ab=a2+b2，<a2+b2<b．所以a2+b2<b，因此12故选A．13.答案：解析：【分析】本题考查的是三角函数的定义.由角α终边上的点的坐标求出tanα，再根据角α的范围求出角α即可．【解答】解：根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则tanα=，结合角的范围可知，的值为．故答案为.14.答案：3√1010解析：【分析】本题考查两角的差角公式，解决问题的关键是根据所给条件展开代入计算即可．【解答】解：由题，故答案为3√1010．15.答案：π6解析：【分析】本题考查余弦定理，根据题意利用余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac =√32，进而即可求得结果．【解答】解：∵a2+c2−b2=√3ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =√32，∴B=π6．故答案为π6．16.答案：解析：函数在上有意义，等价于在上恒成立，即恒成立，记，即等价于.因为在上是增函数，因此的最大值为.所以，于是的取值范围是，故应填．17.答案：(0,3)解析：【分析】本题考查了函数图像和识别，是基础题.根据图像得出函数的定义域为R是解题的关键．【解答】解：∵函数f(x)的定义域为R，所以x2+m恒不等于0，所以m>0，当x>0时，f(x)>0，所以3−m>0，解得0<m<3．故答案为(0,3)18.答案：②④⑤解析：设，则；当时，在上为减函数，则；当时，在上为增函数，则；当时，则；故选②④⑤．19.答案：(Ⅰ)证：依题意，，则所以(Ⅱ)解：取A=B=58π，由(Ⅰ)得，所以，因为π2<58π<π,所以．解析：本题本题正切两角和差公式，属于中档题．(Ⅰ)根据，运用两角和差公式，得到，再将展开计算，即可得到答案;(Ⅱ)取A=B=58π，由(Ⅰ)得，结合角π2<58π<π,解得．20.答案：解：(Ⅰ)由函数满足满足f(x)=f(2π3−x)．得知函数f(x)关于x=π3对称，又函数f(x)在[0,π3]上单调递增，所以f(x)在x=π3取得最大值．又f(x)=sin(x+φ)+√3cos(x+φ)，=2sin(x+φ+π3)，所以f(π3)=2sin(φ+2π3)=2，故φ+2π3=2kπ+π2(k∈Z)，由于0<|φ|<π，所以：φ=−π6．(Ⅱ)由f(x0)=1，知sin(x0+π6)=12，所以：sin(2x 0−π6)， =sin[2(x 0+π6)−π2]， =−cos2(x 0+π6)，=2sin 2(x 0+π6)−1， =−12．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用及函数的求值．(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的关系式． (Ⅱ)利用函数的关系式的变换和函数的性质求出结果．21.答案：解：(1)由cosC =2√55>0可知，∠C 是锐角，∴sinC =√1−cos 2C =(2√55)=√55， 由正弦定理ACsinB =ABsinC 得：AB =ACsinC sinB=√10×√55√22=2；(2)∵∠B =45°，∴A =180°−45°−C ， ∴cosA =cos(180°−45°−C)=cos(135°−C)=√22(−cosC +sinC)=√22×(−2√55+√55)=−√1010， 由AD =12AB =1，根据余弦定理得：CD 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅ACcosA =1+10−2×1×√10×(−√1010)=13，则CD =√13．解析：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)由cos C 的值大于0，得到C 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C 的值，再由AC ，sin C ，以及sin B 的值，利用正弦定理即可求出AB 的长；(2)由B 的度数，利用内角和定理表示出A 的度数，求出cos A 的值，再由AC ，AD ，cos A 的值，利用余弦定理即可求出CD 的长． 22.答案：(1)8(2)334解析：【分析】本题考察了函数的最值的求法.当x >2时，运用基本不等式即可得到最小值，当x ⩾6时，由导数的符号即可得单调性，可得最小值． 【解答】解：(1)y =x +9x−2(x >2)=x −2+9x−2+2⩾2√(x −2)×9x−2+2=8． 当且仅当x =5时，取得最小值8．(2)当x ⩾6时，x −2⩾4，即有y =x +9x−2的导数为y′=1−9(x−2)2>0， 即有函数在x ⩾6递增，且有x =6时，最小值为6+96−2=334．故答案为(1)8，(2)334．23.答案：解：(Ⅰ)因为sin ∠ABC 2=√33，所以cos∠ABC =1−2sin 2∠ABC 2=1−2×13=13.(2分)在△ABC 中，设BC =a ，AC =3b ，由余弦定理可得：9b 2=a 2+4−43a①(5分) 在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得： cos∠ADB =4b 2+163−416√33b ，cos∠BDC =b 2+163−a 28√33b (7分) 因为cos∠ADB =−cos∠BDC ，所以有4b 2+163−416√33b =b 2+163−a 28√33b ，所以3b 2−a 2=−6 ②由①②可得a =3，b =1，即BC =3.(9分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知cos∠ABC =13，则sin∠ABC =√1−(13)2=2√23，又AB =2，BC =3，则△ABC 的面积为12AB ⋅BCsin∠ABC =12×2×3×2√23=2√2， 又因为AD =2DC ，所以△DBC 的面积为13×2√2=2√23.(12分)解析：(Ⅰ)由sin ∠ABC 2的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC 的值，设BC =a ，AC =3b ，由AD =2DC 得到AD =2b ，DC =b ，在三角形ABC 中，利用余弦定理得到关于a 与b 的关系式，记作①，在三角形ABD 和三角形DBC 中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB 和cos∠BDC ，由于两角互补，得到cos∠ADB 等于−cos∠BDC ，两个关系式互为相反数，得到a 与b 的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a 与b 的值，即可得到BC 的值；(Ⅱ)由角ABC 的范围和cos∠ABC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC 的值，由AB 和BC 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积，由AD =2DC ，且三角形ABD 和三角形BDC 的高相等，得到三角形BDC 的面积等于三角形ABC 面积的13，进而求出三角形BDC 的面积．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．24.答案：解：设MP =x,PN =y ，作PQ ⊥AF 于Q ， 所以PQ =8−y ，EQ =x −4， ∵在ΔEDF 中，EQPQ =EFFD ，∴x−48−y =42，∴y=−12x+10，其中x∈[4,8]，设矩形BNPM的面积为S，则：S=xy=x(10−12x)=−12(x−10)2+50，∴S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10，∴当x∈[4,8]，S(x)单调递增．∴当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．解析：本题考查二次函数的实际应用，属于难题.，设MP=x，将面积表示成x的函数，利用二次函数的性质求最大值即可．。
新高一物理暑期测试卷
第1页共6页◎第2页共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………洛阳学而思新高一物理诊断考试范围：必修一；考试时间：90分钟；命题人：陈龙帅题号一二三四总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）聂星会老师驾驶违章摩托车从“西工玻璃厂路”到“洛一高校区”，导航地图如图所示，则以下说法错误的是（）A ．研究摩托车在导航图中的位置时，可以把摩托车看作质点B ．“距离短路线”中的“13公里”是指位移大小C ．图中显示的“51分钟”是指时间间隔D ．道路某处路边竖有限速标志70km ，指的是车辆行驶在该路段过程中，瞬时速度不能超过70km/h 2．（3分）在学习物理知识的同时，还应当十分注意学习物理学研究问题的思想和方法，从一定意义上说，后一点甚至更重要，伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义．请你回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列哪个过程是伽利略的探究过程（）A ．猜想一问题一数学推理一实验验证一合理外推一得出结论B ．问题一猜想一实验验证一数学推理一合理外推一得出结论C ．问题一猜想一数学推理一实验验证一合理外推一得出结论D ．猜想一问题一实验验证一数学推理﹣合理外推一得出结论3．（3分）如图所示，光滑斜面上的四段距离相等，质点从O 点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，先后通过a 、b 、c、d ，下列说法正确的是（）A ．质点由O 到达各点的时间之比t a ：t b ：t c ：t d ＝1：：：2B ．质点通过各点的速率之比v a ：v b ：v c ：v d ＝1：2：3：4C ．在斜面上运动的平均速度v ＝v bD ．在斜面上运动的平均速度v ＝v c4．（3分）如图所示，一小物块在水平力F 的作用下静止在斜面上，那么对小物块受力个数的判断，下列说法中正确的是（）A ．可能是2个B ．可能是3个C ．一定是3个D ．一定是4个5．（3分）同时作用在质点P 上的三个共点力F 1、F 2、F 3，已知2F 1＝2F 2＝F 3＝8N ，它们的方向分别沿着正六边形两条边和一条对角线，如图所示，则这三个力的合力大小等于（）A ．8N ．B ．12NC ．16ND ．24N6．（3分）2019年7月21日，国际泳联世锦赛跳水项目的比赛已全部结束，中国跳水梦之队在本届世锦赛中收获了12金4银1铜的完美成绩。
2020年暑假高一新生数学补习训练题 (3)-0721(含答案解析)
2020年暑假高一新生数学补习训练题 (3)一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设S,T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A. SB. TC. ∅D. S ∩T2. 下列各组中的两个函数是同一函数的为( )A. y 1=(x+3)(x−5)x+3，y 2=x −5B. y 1=√x +1√x −1，y 2=√(x +1)(x −1)C. f 1(x)=(√2x −5)2，f 2(x)=2x −5D. f(x)=3x 4−x 3，F(x)=x3x −13. 若不等式(x −a)(x −b)<0的解集为{x|1<x <2}，则a +b 的值为( )A. 3B. 1C. −3D. −14. 已知函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]，则f(2x)x 的定义域为( ) A. { x |0<x ≤4 } B. { x |0≤x ≤4 } C. { x |0≤x ≤1 } D. { x |0<x ≤1 }5. 下列图象是函数图象的是( ) A. B.C. D.6. 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项一定正确的是( )A. ca 2>ac 2B. ac >bcC. ab 2>cb 2D. ab >ac7. 已知集合A ={x|1≤x ≤4}，B ={x 2≥9}，则A ∩(∁R B)=( )A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)8. 函数f(x)=√x 2+x −6的单调增区间是( )A. (−∞,−3)B. [2,+∞)C. [0,2)D. [−3,2]9. 已知函数f(x)=x 2+x +a(a >0)，若f(m)<0，则f(m +1)的值是( )A. 正数B. 负数C. 零D. 与符号与a 有关10. 已知函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a,x >1在(−∞,+∞)上单调递增，则实数a 的 取值范围为( )A. (2,4]B. [1,2]C. (−∞,2]D. (2,+∞)11.已知f(x−1)=3x−1，则f(x)等于()A. 3x−2B. 3x+2C. 2x−3D. 2x+312.已知函数f(x)=√−x2+mx−6的定义域为[2,3]，则实数m的值为()A. 5B. −5C. 10D. −10二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.满足{1,2}∪B={1,2，3}的集合B的个数为______ ．14.已知函数则f(f(−3))=____，f(x)的最小值为_____．15.已知A={x|x≤1或x>3}，B={x|x>2}，则(∁U A)∪B=________．16.若函数f(x)=−x2+2(a−1)x+2在(−∞,4)上是增函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）17.已知函数f(x)=√x−3的定义域为集合A，集合B={x|2<x<9}，设全集为R．√6−x(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知C={x|a<x<a+1}，若C∪B=B，求实数a的取值范围．18.判断并证明函数f(x)=−1+1在(0,+∞)上的单调性．x19.已知函数f(x)=ax2−(a2+1)x+a．(1)若当a>0时f(x)<0在x∈(1,2)上恒成立，求a范围;(2)解不等式f(x)>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：因为S,T 是两个非空集合，且它们互不包含，所以(S ∩T )⊆S ，所以S ∪(S ∩T )=S ． 2.答案：D解析：解：A 中，y 1=(x+3)(x−5)x+3=x −5，(x ≠−3)与y 2=x −5的定义域不同，故不表示同一函数；B 中，y 1=√x +1√x −1=√(x +1)(x −1)，(x ≥1)与y 2=√(x +1)(x −1)(x ≤−1或x ≥1)的定义域不同，故不表示同一函数；C 中，f 1(x)=(√2x −5)2=2x −5，(x ≥52)与f 2(x)=2x −5，(x ∈R)的定义域不同，故不表示同一函数；D 中，f(x)=3x 4−x 3=x3x −1与F(x)=x3x −1定义域，解析式均相同，故表示同一函数； 故选D当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素(定义域、值域、对应法则)都相同，分别判断四个答案中函数的定义域和解析式是否一致即可得到答案．本题考查两函数表示同一个函数的条件，当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素(定义域、值域、对应法则)都相同．要求会求函数的定义域和值域，并会化简函数解析式．属简单题 3.答案：A解析：解：∵不等式(x −a)(x −b)<0的解集为{x|1<x <2}，∴1和2为方程(x −a)(x −b)=0的两个根，则有{a =1b =2或{a =2b =1， ∴a +b =1+2=3，即a +b 的值为3．故选：A ．4.答案：D解析：【分析】本题考查函数的定义域，属于基础题．【解答】∵函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]∴f(2x)x 的定义域满足{0≤2x ≤2x ≠0,∴0<x ≤1,∴f(2x)x 的定义域为{x |0<x ≤1}．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题．由题意结合函数的定义确定所给图象是否是函数图象即可．【解答】解：由函数的定义可知，函数的每一个自变量对应唯一的函数值，选项A ，B 中，当x =0时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，选项C 中，当x >0时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，只有选项D 符合题意．故选D ．6.答案：D解析：【分析】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题．由题意可得c <0，a >0，b −c >0，a −b >0，再结合不等式的性质、作差法比较大小，依次判断可得答案．【解答】解：由c <b <a ，ac <0，得c <0，a >0，b −c >0，a −b >0．ca 2<0，ac 2>0，则ca 2<ac 2，A 不正确；ac −bc =(a −b)c <0，则ac <bc ，B 不正确；若b =0，则ab 2=cb 2，C 不正确；ab −ac =a(b −c)>0，则ab >ac ，D 正确，故选：D ．7.答案：C解析：解：B ={x|x ≤−3，或x ≥3}；∴∁R B ={x|−3<x <3}；∴A ∩(∁R B)=[1,3)．故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．注意先求函数的定义域．利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=√x 2+x −6=√(x +12)2−254， 令t =x 2+x −6≥0，解得x ≥2或x ≤−3，所以函数f(x)的定义域为(−∞,−3]∪[2,+∞)， 又t =x 2+x −6=(x +12)2−254，在[−12,+∞)上递增，所以根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则可得，函数f(x)的单调递增区间为[2,+∞) ， 故选B ．9.答案：A解析：设g(x)=x 2+x ，则有零点−1, 0，由f(m)<0得g(m)<−a(a >0)，所以g(m)<0，所以−1<m <0，0<m +1<1，所以g(m +1)>0，g(m +1)+a >0，从而f(m +1)>0，选(A)． 10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．根据f(x)=f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a,x >1在(−∞,+∞)上单调递增，可得{a −2>0 1−a 2<0 a −2−1≤ a+1 1+a，由此求得实数a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a ,x >1={(a −2)x −1,x ≤1a +1−a 2x+a,x >1， ∴{a −2>0 1−a 2<0 a −2−1≤ a +1 1+a求得2<a ≤4，故选A ．11.答案：B解析：∵f(x −1)=3x −1=3(x −1)+2，∴f(x)=3x +2.故选B ．12.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是基础题．把函数f(x)=2+mx −6的定义域为[2,3]，转化为方程x 2−mx +6=0的两个根为2，3，然后由根与系数关系得答案．【解答】解：∵函数f(x)=√−x 2+mx −6的定义域为[2,3]，即不等式−x 2+mx −6≥0的解集为[2,3]，也就是方程x 2−mx +6=0的两个根为2，3．由根与系数关系得m =2+3=5．∴实数m 的值为5．故选：A ．13.答案：4解析：分析：利用并集定义直接求解．本题考查满足条件的集合个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵{1,2}∪B={1,2，3}，∴满足条件的集合B可能为：{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2，3}，∴满足{1,2}∪B={1,2，3}的集合B的个数为4．故答案为：4．14.答案：2；−1解析：【分析】本题主要考查分段函数的最值，属于基础题．根据x的范围代入即可求得f(f(−3))的值，分别求两段函数的值域即可求得f(x)的最小值．【解答】解：因为f(−3)=(−3)2+2×(−3)=3，所以．当x≤0时，f(x)=x2+2x=(x+1)2−1，由二次函数性质可知：当x=−1时，函数f(x)取得最小值为−1；当x>0时，为增函数，所以f(x)>f(0)=0，综上所述：f(x)的最小值为−1．故答案为2;−1．15.答案：(1,+∞)解析：【分析】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，求出C U A是解题的关键．利用集合的补集定义求出C U A，再利用两个集合的并集的定义求出(C U A)∪B.【解答】解：U=R，∵集合A={x|x≤1或x>3}，∴C U A={x|1<x≤3}，∴(C U A)∪B={x|1<x≤3}∪{x|x>2}=(1,+∞)．故答案为(1,+∞)．16.答案：[5,+∞)解析：【分析】本题考查了二次函数的性质，结合二次函数的性质，求出对称轴，列出不等式求解即可．【解答】解：因为函数f(x)=−x2+2(a−1)x+2在(−∞,4]上是增函数，二次函数的开口向下， ≥4，即a≥5，所以2(a−1) 2故答案为：[5,+∞)．17.答案：解：(1)解{x −3≥06−x >0得，3≤x <6； ∴A ={x|3≤x <6}；∴A ∩B ={x|3≤x <6}，∁R B ={x|x ≤2，或x ≥9}，(∁R B)∪A ={x|x ≤2，或3≤x <6，或x ≥9}；(2)∵C ∪B =B ；∴C ⊆B ；∴{a ≥2a +1≤9； ∴2≤a ≤8；∴实数a 的取值范围为[2,8]．解析：(1)可求出集合A ，然后进行交集、并集和补集的运算即可；(2)根据C ∪B =B 即可得出C ⊆B ，从而得出{a ≥2a +1≤9，解出a 的范围即可． 考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，交集、并集和补集的运算，子集的定义． 18.答案：解：函数f(x)=−1x +1在(0,+∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−1x 1+1)−(−1x 2+1)=x 1−x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0,+∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，得x 1−x 2<0，于是f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)=−1x +1在(0,+∞)上是增函数．解析：本题主要考查函数单调性与单调区间，属于较易题．利用单调性的定义，设x 1，x 2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，，由作差比较法比较f(x 1)与f(x 2)的大小，再由单调性定义得到单调性．19.答案：解：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0， 即{a −(a 2+1)+a ≤04a −2(a 2+1)+a ≤0， 解得a ∈(0,12]∪[2,+∞)(2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，当a =0时，得到x <0，当a >0时，化为(x −1a )(x −a)>0，当a >1时，得到x <1a 或x >a ，当a =1时，得到x ≠1，当0<a <1时，得到x <a 或x >1a ，当a <0时，化为(x −1a )(x −a)<0，当−1<a <0时，得到1a <x <a当a =−1时，得到x ∈ϕ，当a <−1时，得到a <x <1a ，综上所述，a <−1时，原不等式的解集为：(a,1a )a =−1时，原不等式的解集为：⌀，−1<a <0时，原不等式的解集为：(1a ,a)，a =0时，原不等式的解集为：(−∞,0)0<a <1时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(1a ,+∞)，a >1原不等式的解集为：(−∞,1a )∪(a,+∞)．解析：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0，解得a 的范围； (2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，对a 值进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。
2024年新高一数学暑假衔接班综合测试试题(解析版)
2024年新高一数学暑假衔接班综合测试（19题新高考新结构）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）考试范围:集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ∩=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x≤<C ．{}316x x ≤<D ．1163x x≤<【答案】D【分析】求出集合,M N 后可求M N ∩.【详解】1{16},{}3Mx x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ∩=≤< ， 故选：D2．关于命题p “0R x ∃∈，2010x x −+<”的否定，下列说法正确的是（ ） A ．p ¬：2R,10x x x ∀∈−+>，为假命题 B ．p ¬：2R,10x x x ∀∈−+>，为真命题 C ．p ¬：2R,10x x x ∃∈−+>，为真命题 D ．p ¬：2R,10x x x ∀∈−+≥，为真命题【答案】D【分析】判断命题p 的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可.【详解】因为22131024x x x−+=−+>，故命题p 为假命题，则p ¬为真命题；又“0R x ∃∈，20010x x −+<”的否定为：“2R,10x x x ∀∈−+≥”，故选：D.3．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()I M P SD ．()I M P S【答案】C【分析】分析出阴影部分为M P 和I S 的子集，从而选出正确答案.【详解】题图中的阴影部分是M P 的子集，不属于集合S ，故属于集合S 的补集，即是I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是()I M P S 故选：C4．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】易知：“东风”是“打败曹操”的必要不充分条件. 故选：B5．函数2211x x y x x −+=++的值域是（ ） A ．1,33 B ．1,1(1,3]3C ．(0,3]D ．1,[3,)3∞∞−∪+【答案】A【分析】对函数2211x x y x x −+=++分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.【详解】结合题意：()2222212121111x x x x x x y x xx x x x ++−−+===−++++++， 当0x =时，1y =； 当0x >时，22211111131x y x x x x =−=−≥=++++，当且仅当1x x =， 即1x =，原式取得最小值13；另一方面，因为0x >，220,1x x x >++所以22111xy x x =−<++，即113y ≤<; 当0x <时，()22221111311111x y x x x x x x =−=−=+≤=++ ++−+−− ， 当且仅当1x x−=−，即=1x −，原式取得最大值3; 另一方面因为0x <，令21m x x =++，则2140∆=−<，所以201m x x =++>，所以220,1xx x <++所以22111xy x x =−>++，即13y <≤; 综上所述：函数2211x x y x x−+=++的值域是1,33 . 故选：A.6．已知集合{N121}M x x =∈≤≤|，集合1A ，2A ，3A 满足：①每个集合都恰有7个元素；②123A A A M ∪∪=．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（ ） A ．132 B ．134C ．135D ．137【答案】A【分析】判断集合123,,A A A 中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可．【详解】 集合123,,A A A 满足：①每个集合都恰有7个元素；②123A A A M ∪∪=．123,,A A A ∴一定各包含7个不同数值．集合123,,A A A 中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是21，15，9，特征数的和123X X X ++最小， 如：1{1,16,17,18,19,20,21}A =，特征数为22；2{2,10,11,12,13,14,15}A =，特征数为17； 3{3,4,5,6,7,8,9}A =，特征数为12；则123X X X ++最小，最小值为22＋17＋12＝51．当集合123,,A A A 中元素的最小值分别是1，7，13，最大值是21，20，19时，特征数的和123X X X ++最大， 如：1{1,2,3,4,5,6,21}A =，特征数为22；2{7,8,9,10,11,12,20}A =，特征数为27； 3{13,14,15,16,17,18,19}A =，特征数为32； 则123X X X ++最大，最大值为22＋27＋32＝81， 故123X X X ++的最大值与最小值的和为81＋51＝132． 故选：A ．7．若a b >，且2ab =，则22(1)(1)a b a b −++−的最小值为（ ）A．2 B．4C．4−D．2−【答案】D【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为2ab =，所以由题意222222(1)(1)2222a b a b a b a b aba b a b a b −++++−+++==−−−−()()23622a b ab a b a ba b−+=−=−+−−−， 因为a b >，所以0a b −>，所以由基本不等式可得()22(1)(1)622a b a b a ba b−++=−+−≥−−，当且仅当2ab a b a b= − >时等号成立，即当且仅当a b = =a b = =综上所述，22(1)(1)a b a b−++−的最小值为2−.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.8．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y −=−，且()()210f f −=≠，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +−=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =−和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++−=−，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =−=，得()00f =，故A 错误；对于B ，取()()2π2πsin ,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y −=−及()()210f f −=≠， 因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称， 所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =−， 可得()()()()110100f g g f −=−= ，结合()10f ≠得()100g −=，()01g =， 再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y −=−， 将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y −=−，所以函数()f x 为奇函数. 令1x =，1y =−，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =−−−， 因为()()11f f −=−，所以()()()()2111f f g g =−+ ，又因为()()()221f f f =−−=−，所以()()()()1111f f g g −=−+ ，因为()10f ≠，所以()()111g g +−=−，故C 错误； 对于D ，分别令1y =−和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f xf xg g x f +=−−−，()()()()()111f x f x g g x f −=−，两式相加易得()()()11f x f x f x ++−=−，所以有()()()21f x f x f x ++=−+， 即：()()()12f x f x f x =−+−+， 有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x −+=++−−+−+=， 即：()()12f x f x −=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3， 因为()11f =，所以()21f −=，所以()()221f f =−−=−，()()300f f ==， 所以()()()1230f f f ++=， 所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确. 故选：D.【点睛】思路点睛：对于含有,x y 的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有,x y 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
暑期补课高一训练题13
暑期补课高一训练题13（平面向量基本定理）一.复习1. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形2. 21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=，若D B A ,,三点共线，则k 的值是（ ） A ．2 B ．3- C ．2- D ．33. 已知向量、不共线，实数x 、y 满足向量等式3x ＋(10－y) ＝2x ＋(4y ＋4) ，则x ＝_____，y ＝_____.4. 若+=,化简()()()+-+-+23223 （ ）A ．B ．C ．D ． 以上都不对 5.向量c a b c 25332a -==与是否共线？________________________6. 如下图，M 、N 分别是AB 、AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →)成立，则λ＝()A.12B.13C.23 D ．±13 7. 设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形二.平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.（其中21,e e 叫作基底）练习：1.如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线,,,表示试用==. 2.如图，D 是△ABC 中BC 边的中点，==,， （1）试用b ,a 表示. （2）若点G 是△ABC 的重心，试用b ,a 表示G A ，（3）若点G 是△ABC 的重心，那么++=____________.3. 如图，在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC ，DC 的中点，A ==,，用b ,a 表示，O第3题第2题第1题GABDCABCABDCDE F三.巩固题：1.,,3AB a AC b BD DC === ，用,a b表示AD ，则AD = ( )A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b+2．若M 是△ABC 的重心，则下列向量中与AB→共线的是 （ ）A. AB →＋BC →＋AC →B. AM →＋MB →＋BC →C. AM→＋BM →＋CM → D.3AM→＋AC → 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若λλ则则,31,2CB CA CD DB AD +===（ ）A ．32B ．31C ．－31D ．－324. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN →＝__ _____.5. 已知平行四边形ABCD 的两条对角线交于点E ，设1e AB =，2e AD =，用21,e e 来表示ED 的表达式（ ）A ．212121e e --B ．212121e e +-C ．212121e e -D ．212121e e +EABDC6.如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB =a ,AD =b , 试用、分别表示、、。
3.2.1 第1课时 函数的单调性(原卷版)-2024年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列(人教
3．2 函数的基本性质 3．2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性知识点一 增函数与减函数的定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：(1)如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递增，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递减，特别地，当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．知识点二 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．题型一、定义法判断或证明函数的单调性 1．根据定义证明函数9()f x x x=+在区间[3,)+∞上单调递增.2．判断并证明()221x f x x =+在()0,∞+的单调性.题型二、求函数的单调区间1．定义在区间[2,2]-上的函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[2,1]--B ．[1,1]-C ．[2,0]-D ．[1,2]-2．函数1()f x x=的单调递减区间是（ ） A ．(,0),(0,)-∞+∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(,0)-∞3．函数()|2|f x x =--的单调递减区间为（ ）A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）4．函数11x y x -=+的严格单调___________（增/减）区间是___________.5．函数()268f x x x =-+的单调减区间是______．6．已知函数()4f x x x =-(1)把()f x 写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数()f x 大致图像； (2)写出函数()f x 的递减区间．题型三、单调性的应用命题点1 已知单调区间求参数2．若函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则实数m 的取值范围为________．命题点2 与分段函数有关的单调性问题1．已知函数()22,11,1x ax x f x ax x ⎧-≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．(0,1]2．已知函数()21,12,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩满足12,R x x ∀∈且12x x ≠，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是__________．（用集合或区间表示）3．设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（ ）A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()7,7-D ．()(),77,-∞-⋃+∞4．已知函数()2,0,,0,x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩那么“a =0”是“函数()f x 是增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件命题点3 根据函数的单调性解不等式1．若函数()y f x =在R 上单调递增，且()()23f m f m ->-，则实数m 的取值范围是（ ）2．已知()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（-2，1）C ．（0，2）D ．（0，2）3．已知2()||1f x x x =++，若(21)(3)f m f -<，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(2,2)-1．已知函数()32f x x=+ (1)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值.2．已知函数21()1x f x x -=+． (1)试判断函数()f x 在区间(1,)-+∞上的单调性，并证明； (2)求函数()f x 在区间[2,)+∞上的值域.3．下列函数在R 上为增函数的是（ ） A ．2yxB ．y x =C ．y x =D ．1y x=A ．[]0,1B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[]0,25．函数22y x =-的减区间是____________．6．函数 ()11f x x =-的单调递减区间是________．7．函数221y x x =-++的单调递增区间是______．8．已知()223f x x x =++在()9,a -为单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(],1-∞-C ．()9,1--D ．(]9,1--9．已知二次函数221y x ax =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),23,-∞⋃+∞ B ．[]2,3 C ．(][),32,-∞-⋃-+∞ D ．[]3,2--10．若函数2()21f x ax x =+-在区间(),6-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.11．若函数()()2245,427,4a x x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，在R 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．(]2,4B ．172,⎛⎤C ．[)4,∞+D ．()2,∞+12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()(),21,-∞-+∞13．已知函数21,22(),12x mx x f x m x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩对于12,[1,)x x ∀∈+∞且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则m 的取值范围为 ______．14．函数y ＝f （x ）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f （a ＋1）<f （2a ），则实数a 的取值范围是________．15．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式()21(2)f x f x ->的x 的取值范围是（ ）A ．)0,2⎡⎣B ．()0,2C ．()1,21--D ．()1,2-1．下列函数中，在()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．()3f x x =- B ．()22f x x x =-C ．()11f x x =-+ D ．()f x x =-2．已知函数()()2,0112,0x x f x x x a x a x ⎧≤⎪=-⎨⎪--++>⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞3．若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,14．已知函数25,1(),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a -≤≤-C ．2a ≤-D ．0a <5．若函数()af x x a=-在区间()1,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．(]0,1 C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞6．若函数()1x f x x k+=-在区间()2,-+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．{}2- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-7．已知函数()f x 对()12x x ∀∈-∞+∞，，，都有()()12120f x f x x x -<-，且()()221f m f m ->+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭8．“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()245,12,1x ax a x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．已知函数(3)51()21a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，若对R 上的任意实数1212()x x x x ≠，，恒有()()2112()0x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，那么a 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．(]0,3 C ．()0,2 D ．(]0,211．(多选)使得函数()()371x a f x x a --=-+在区间(),0-∞上单调递增的实数a 可能的取值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-112．已知(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,若()()12f f -=则=a _____；若f （x ）是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．13．已知定义在[1,4]上的函数()f x 是减函数，则满足不等式(12)(3)0f a f a --->的实数a 的取值范围为____.14．已知函数()221,1,1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式()()22333f x x f x ++>-的x 的解集是________．15．若1()1ax f x x +=-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数f (x )＝25,1,1x mx x m x x⎧-+≤⎪⎨>⎪⎩，对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.17．若函数()()31f x a x b =-+在(),-∞+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围是______．18．“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）19．已知二次函数()21f x ax x =-+，若任意[)12,1,x x ∞∈+且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.20．已知f (x )＝2(3)4,1(1),1a x a x x x --<⎧⎨-≥⎩，若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的范围是________．21．函数2()x af x x +=在(1,)+∞上递增，则实数a 的取值范围___________.22．已知()16ax f x x a+=+在(,6)-∞-上为增函数，则a 的取值范围______.23．若函数()f x []1,1-内单调递减，则实数a 的取值范围是______．24．若()2f x a x b =-+是[)0,x ∈+∞上的严格增函数，则实数a 、b 的取值范围分别是_________________．25．已知函数()22,6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数．则实数a 的取值范围为________．26．已知()4f x x x=+． (1)证明：()f x 在（2，+∞）单调递增； (2)解不等式：2(24)(7)f x x f -+≤．27．已知()f x =()f x 在区间[)1,+∞上的单调性，并加以证明．28．设函数()11x f x x +=+，用单调性定义证明在(1,)-+∞上是减函数.29．已知函数22()1xf x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间并予以证明； (2)求函数()f x 的最值．30．若函数()2mf x x x=+在区间(]0,2上是减函数，求实数m 的取值范围．31．已知函数[]22255fx x ax x =++∈-，，． (1)若f （-1）=0，求a 的值；(2)当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(3)求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]55-，上是单调函数．32．已知函数()|21|f x x x =-+.(1)根据绝对值和分段函数知识，将()f x 写成分段函数；(2)在下面的直角坐标系中画出函数()f x 的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）；(3)若在区间1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上，满足()(32)f a f a >-，求实数a 的取值范围.33．已知二次函数()()223R f x x kx k =-+∈．(1)若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．34．已知函数()()243f x x a x a =+-+-．(1)若()f x 在区间[]0,1上不单调，求a 的取值范围；(2)求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值；(3)若对于任意的()0,4a ∈，存在[]00,2x ∈，使得()0f x t ≥，求t 的取值范围．。
2024年新高一数学暑假提升精品讲义(上海专用)专题11 指数函数(解析版)
专题11指数函数一、复习引入................................................................................................................................................................1二、知识梳理. (1)（一）指数函数的定义........................................................................................................................................1（二）指数函数的图像........................................................................................................................................2（三）指数函数的性质........................................................................................................................................2考点剖析....................................................................................................................................................................3过关检测....................................................................................................................................................................4A 组双基过关....................................................................................................................................................4B 组巩固提高....................................................................................................................................................6C 组综合训练..................................................................................................................................................11D 组拓展延伸 (17)一、复习引入1.幂函数ay x =的图像经过点)，此幂函数的解析式是___________.【答案】4y x =2.比较下列各题中两个数的大小（1）123.1-与123.2-【答案】>（2）()132a +与13a【答案】>3.下列幂函数在区间()0,+∞内严格递增，且图像关于原点中心对称的是___________.【答案】（2）（1）12y x =（2）13y x =（3）23y x =（4）13y x-=4.一张纸对折一次，由1层变为2层，再对折一次由2层变为4层，……对折x 次后，层数y 与折叠次数x 的函数关系式是怎样的？二、知识梳理【难度系数：★★参考时间：15min 】（一）指数函数的定义对于函数xy a =来说，首先要假设0a >，以保证对所有实数x ，xa 都有意义.还要假设1a ≠，因为如果1a =，xa 就恒等于1，这种极为特殊的情况我们不必专门研究.定义：当底数a 固定，且0>a ，1≠a 时，等式xa y =确定了变量y 随变量x 变化的规律，称为底为a 的指数函数（exponential function ）.因为对所有实数x ，xa 都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数R .（二）指数函数的图像分别描绘指数函数2x y =，3xy =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的大致图像.【提示】列表，描点，连线“五点法”，x 依次取2-，1-，0，1，2（三）指数函数的性质由前面的几种指数函数的图像，结合幂的运算性质，我们可以得到如下的性质：1.指数函数x y a =的函数值y 恒大于02.指数函数xy a =的图像恒经过定点)1,0(3.当1a >时，指数函数xy a =在R 上严格增当01a <<时，指数函数xy a =在R 上严格减4.指数函数xa y =及xay )1(=的图像关于y 轴对称关于指数函数xy a =的图像与性质的总结见下表：x y a =1a >01a <<图像图像特征（1）图像都在x 轴上方，无限趋近于x 轴，但永不相交（2）过点)1,0(（3）由左至右图像上升（3）由左至右图像下降函数性质（1）定义域为R ，值域为),0(+∞（2）当0x =时，1y =（3）在R 上严格增（3）在R 上严格减考点剖析【难度系数：★★★参考时间：20min 】例1.在下列函数中，是指数函数的有___________.【答案】①⑥①12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭②112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭③23xy =⋅④(0,0,1)xy a x a a =≥>≠⑤1xy =⑥212xy ⎛⎫= ⎪⑦12y x =例2.函数是指数函数，则a =___________.【答案】2例3.指数函数①()xf x m =，②()xg x n =满足不等式01m n <<<，则它们的图象是…………(C )例4.若函数1(0)xy a m a=+->的图像在第一、三、四象限内，则…………………………………(B )A.1a >B.10a m ><且 C.01a <<且0m > D.01a <<例5.比较下列各组数的大小:（1）0.14⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和0.24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1634⎛⎫⎪⎝⎭和1543-⎛⎫⎪⎝⎭；（3）20.8-和1253-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）13a和12a()0,1a a >≠；（5）和 1.71.1；（6）230.6-和340.6-.【答案】（1）>；（2）>；（3）>（4）当1a >时，1132a a <；当01a <<时，1132a a >；（5）>；（6）<例6.已知函数()y f x =，其中()2121x x f x -=+.（1）求()0f ，并计算()()f x f x -+的值；（2）作出该函数的图像，并求函数()y f x =的值域.【答案】（1）0，0；（2）(1,1)-【解析】（1）21212112(0)0.()()0212112x x x xx x xf f x f x -----+-=-+=+==+++（2）2()121x f x =-+因为211x+>，所以20221x<<+，得此函数的值域为(1,1)-过关检测A 组双基过关【难度系数：★时间：8分钟分值：20分】1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数21x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点P ，则P 点坐标是．【答案】()2,2【分析】根据指数函数的性质求解即可.【详解】令20x -=，则2x =，此时()22f =，所以P 点坐标是()2,2.故答案为：()2,2.=+（0a >且1)a ≠的图像过定点.【答案】()1,4-【分析】由指数函数的性质可得.【详解】当101x x +=⇒=-时，034y a =+=，故图像过定点()1,4-，故答案为：()1,4-.3．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为．4．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数2x y =在区间[1,2]-上的最小值是．5．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）函数31x y =+的值域为.的上方，则实数a 的取值范围是.【答案】(),1-∞【分析】根据题意转化为恒成立问题求解即可.【详解】由a y x =在01x <<的图象位于直线y x =的上方，则a x x ＞对01x <<恒成立，又因为()01xy m x =＜＜在(),-∞+∞单调递减，所以a 1＜，即实数a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数()f x 和()10xg x =的图象关于y 轴对称，则函数()f x =.【答案】10x-【分析】利用两个函数图象关于y 轴对称的特征，直接求出函数解析式即得.【详解】函数()f x 和()10xg x =的图象关于y 轴对称，所以()()10x f x g x -=-=.故答案为：10x-8．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数()23xy a a =-是指数函数，则实数a 的值是.【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得.【详解】由函数()23xy a a =-是指数函数，得20131a a a >⎧⎪≠⎨⎪-=⎩，解得2a =，所以实数a 的值是2.故答案为：2B 组巩固提高【难度系数：★★时间：10分钟分值：20分】9．（23-24高一下·上海·期中）已知a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式中不一定成立的是（）A ．22a b +>+B ．22a b>C ．22a b>D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若,R a b ∈，则“1>b”是“21a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用充分，必要条件的定义，判断条件和结论的关系，即可判断选项11．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数x y a =与111y x =+-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．12．（23-24高一上·上海·期末）已知函数31xy =-的定义域为[,]a b ，值域为0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为（）A ．34log 3B ．3log 2C ．32log 3D ．2令1313x-=，解得34log 3x =或则当34log 3b =，32log 3a =时，此时3342log log log 33b a -=-=A ．若0a >且210x x >>，则211ax x ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．若0a >且120x x >>，则211ax x ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．若0<a 且210x x >>，则211a x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．若0<a 且120x x >>，则211ax x ⎛⎫> ⎪⎝⎭14．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数()(0,1)x m f x a n a a +=+>≠的图象经过定点(1,1)-，则m n +=.【答案】1【分析】根据指数函数过定点的性质，列出相应方程，即可求得答案.【详解】由题意知函数()(0,1)x m f x a n a a +=+>≠的图象经过定点(1,1)-，故1011m n -+=⎧⎨+=⎩,解得10m n =⎧⎨=⎩,故1m n +=,故答案为；115．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知指数函数x y a =在[1,2]上的最大值与最小值之差为2a，则实数a 的取值范围是;=+（0a >且1a ≠）恒过定点.【答案】()1,3【分析】令指数10x -=，即1x =即可得解.【详解】当1x =时，11022123y a a -=+=+=+=，所以函数12x y a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()1,3.故答案为：()1,3.17．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知a 是实数，定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，其中1()21x f x a =-+.(1)求a 的值；(2)判断函数()y f x =的单调性，并证明你的结论.18．（23-24高一上·上海·期末）已知函数()y f x =，其中()()R 2xf x k +=∈.(1)是否存在实数k ，使函数()y f x =是奇函数?若存在，请写出证明.(2)当1k =时，判断()y f x =在()0,∞+上的单调性并证明.C 组综合训练【难度系数：★★★时间：15分钟分值：30分】19．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数()121x f x =+，则该函数在(),-∞+∞上是（）A ．严格减函数无最小值B ．严格减函数有最小值C ．严格增函数无最大值D ．严格增函数有最大值故选：A20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数()()ln 2xf x x =+，若()2561f m m +-<，则实数m 的取值范围是.1，存在唯一的2，使得()()121f x f x ⋅=，则m n +的值为.【答案】0【分析】考察函数的单调性，根据题中条件可得21x x =-，继而可得区间[],m n 关于原点对称，即可得到答案.【详解】因为函数为R 上的递增函数，且()()1212122221x x x xf x f x +⋅=⋅==，所以120x x +=，21x x =-由题意，对任意的[]1,x m n ∈，存在唯一的[]2,x m n ∈，使得()()121f x f x ⋅=，即120x x +=，即任意的[]1,x m n ∈，存在唯一的[]1,x m n -∈，故区间[],m n 关于原点对称，则0m n +=，故答案为：0.22．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知定义在R 上的函数1()1xxa f x a -=+（0a >且1a ≠）.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若1(1)2f =-，试判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[2,3]-上有解时，实数m 的取值范围.的图象经过点0,2-，2,1 (1)求实数a，b的值；(2)若不等式2814xxa-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭的解集记为A，求x A∈时，函数()f x的值域.24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数()1x f x a -=的图像经过2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0a >且1a ≠(1)求实数a 的值(2)若2221231xx xx a a ++-+≥，求实数x 的取值范围25．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数()21xf x b a =+-，其中0a >且1a ≠，b 是实数常数.(1)求函数()y f x =的定义域；(2)是否存在常数b ，使函数()y f x =为奇函数?26．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数2228x x f x =-⨯-(1)求不等式()0f x ≥的解集；(2)求()f x 的值域；(3)当x ∈R 时，不等式()212xf x m >⋅-恒成立，求m 的取值范围．D 组拓展延伸【难度系数：★★★时间：20分钟分值：30分】27．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设()y f x =是一个定义域为R 的函数.若S 是R 的一个非空子集，且对于任意的s S ∈，都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.28．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知函数()()21x f x x R =∈+(1)求证：用单调性定义证明函数()f x 是R 上的严格减函数；(2)已知“函数()f x 的图像关于点(),a b 对称”的充要条件是“()()2f a x f a x b -++=对于定义域内任何x 恒成立”.试用此结论判断函数()f x 的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；(3)若对任意[]11,x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及实数m ，使得()()11211f mx f x x -+=，求实数n 的最大值.。
2024年新高一数学暑假提升精品讲义(上海专用)专题12 对数函数(解析版)
专题12对数函数一、复习引入................................................................................................................................................................1二、知识梳理. (1)（一）对数函数的定义........................................................................................................................................1（二）对数函数的图像........................................................................................................................................2（三）对数函数的性质........................................................................................................................................2考点剖析....................................................................................................................................................................3过关检测....................................................................................................................................................................5A 组双基过关....................................................................................................................................................5B 组巩固提高....................................................................................................................................................7C 组综合训练..................................................................................................................................................12D 组拓展延伸 (18)【应知应会】一、复习引入【难度系数：★参考时间：5min 】1.若35x =，则x =；若35x=，则x =.2.已知lg 1a <.【答案】1lg a-3.若1242x-=，4y，则23x y -=.【答案】3-二、知识梳理【难度系数：★★参考时间：45min 】（一）对数函数的定义定义：当底数a 固定，且0>a ，1≠a 时，x 以a 为底的对数xy a log =确定了变量y 随变量x 变化的规律，称为底为a 的对数函数.因为只有当0x >时，log a x 才有意义，所以对数函数的定义域是全体正数+R .（二）对数函数的图像分别描绘指数函数2log y x =，3log y x =，12log y x =，x 31log 的大致图像.【提示】列表，描点，连线（三）对数函数的性质由前面的几种对数函数的图像，结合对数的运算性质，我们可以得到如下的性质：1.对数函数的图像总是经过()1,02.当1a >时，对数函数log a y x =在()0,+∞上严格增当01a <<时，对数函数log a y x =在()0,+∞上严格减3.对数函数log a y x =及x y a1log =的图像关于x 轴对称关于对数函数log a y x =的图像与性质的总结见下表：logay x=1a >01a <<图像图像特征（1）图像都在y 轴右侧，无限趋近于y 轴，但永不相交（2）过点)0,1(（3）由左至右图像上升（3）由左至右图像下降（1）定义域为),0(+∞，值域为R函数性质（2）当1=x 时，0=y （3）在),0(+∞上严格增（3）在),0(+∞上严格减考点剖析例1.求下列函数的定义域：（1）()22log 1y x=-；（2）12log 1x y x=-；（3）()1281log 1x y x +=--；【答案】（1）(1,1)-（2）(0,1)（3）118,,122⎡⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭（4）()2log f x x =；（5）()21log 1x f x x -=+；（6）()()212log 1f x x x =+-.【答案】（4）(,0)(0,)-∞⋃+∞（5）(,1)(1,)-∞-⋃+∞（6）R例2.求列函数的定义域：（1）()()1log 164xx y +=-；（2）()()log 101a y x a a =->≠且.【答案】（1）)2,0()0,1( -；（2）当1a >时，11x -≥，函数的定义域为[2,)+∞；当01a <<时，011x <-，函数的定义域为(1,2]例3.作出下列函数的大致图像：（1）()2log 1y x =+；（2）()2log 2y x =-；（3）()2log 1y x =--；（4）2log y x =.【答案】（1）渐近线1-=x ；（2）渐近线2=x ；（3）渐近线1=x ；（4）渐近线0=x （y 轴）例4.利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.（1）3log 5和3log 7；（2）0.5log 3和0.5log π.（3）1log 2a和1log 3a ，其中0a >且1a ≠；（4）12log 0.3和3log 0.2.【答案】（1）33log 5log 7<（2）0.50.5log 3log π>例 5.已知()()log 01,0a f x x a a x =>≠>且，若()12,0,x x ∈+∞，判断()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦与122x x f +⎛⎫⎪的大小，并说明理由.例6.设函数)12lg(++=x ax y 的定义域是R ，求实数的取值范围.【答案】(1,)+∞【提示】分类讨论例7.设函数)12lg(2++=x ax y 的值域是R ，求实数a 的取值范围.【答案】[0,1]【提示】由浅入深，先让学生求)1lg(2+=x y 、2lg x y =、)1lg(2-=x y 和)1lg(2x y -=的值域简而言之，要使t y lg =值域为R ，t 必须能够取遍所有的正数例8.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度.假设其函数表达式为901lg(144Nt --=，其中t 表示达到某一打字水平（字/分）所需的学习时间（分钟），N 表示每min 打出的字数（字/分）.分别计算打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间.（精确到“分钟”）【答案】16分钟，37分钟例9.设关于x 的方程03lg lg 22=+-p x x 的两个实根分别是,αβ.（1）求实数p 的取值范围；（2）求log log αββα+的取值范围.【答案】（1）1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）),2[)2,(+∞--∞ 【细节之美】||lg 2lg 2x x =此题x x lg 2lg 2=Why ？？【解析】（1）设x t lg =，则方程0322=+-p t t 的两根为αlg 和βlg ，310124≤⇒≥-=∆p p （2）由韦达定理，得⎩⎨⎧==+p3lg lg 2lg lg βαβα234364lg lg lg lg 2)lg (lg lg lg lg lg lg lg lg lg log log 222-=-=-+=+=+=+p p p βαβαβαβαβαβααβαββα13≤p 且03≠p ，434≥p 或034<p 2234≥-⇒p 或2234-<-p过关检测A 组双基过关【难度系数：★时间：8分钟分值：20分】1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）设函数()()21,1log ,1aa x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩是R 上严格增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,3]B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2,)+∞【答案】A【分析】根据分段函数概念和对数函数单调性相关知识直接计算求解即可.【详解】因为函数()()21,1log ,1a a x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩是R 上严格增函数，所以()201211log 1a a a a ⎧-⎪⎨⎪-⨯-≤⎩＞＞，解得23a ≤＜，即实数a 的取值范围是(2,3].故选：A满足01a <<，则函数log a ⎣⎦上的最大值是（）A ．3B ．2C ．13D ．12【答案】A【分析】利用函数log a y x =在32,a a ⎡⎤⎣⎦上的单调性可求其最大值.【详解】因为01a <<，则函数log a y x =在32,a a ⎡⎤⎣⎦上为减函数，则3max log 3a y a ==.故选：A.3．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A ．y x =与yB ．y x =与ln e xy =C ．y x =与2y =D ．y x =与11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是.【答案】()5,-+∞【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【详解】对于函数()ln 5y x =+，有50x +>，解得5x >-，故函数()ln 5y x =+的定义域为()5,-+∞.故答案为：()5,-+∞.5．（23-24高一上·上海·期末）若函数()()log 23a f x x =--（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，则A 的坐标是.【答案】()3,3-【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式可得出定点A 的纵坐标.【详解】由21x -=，得3x =，()3log 133a f =-=-，A 的坐标是()3,3-，故答案为：()3,3-.6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数()log (1)2a f x x =+-（0a >且1a ≠），则其必过定点坐标为．【答案】()0,2-【分析】令11x +=，求出定点坐标.【详解】令11x +=，即0x =，此时()0log 122a f =-=-，故其必过定点坐标为()0,2-.8．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知对数函数a （且）的图象经过点，且该函数图象经过点()0,4x ，则实数0x 的值是.为何值，函数a 的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是．【答案】(3,1)【分析】利用对数函数性质可知，令21x -=即可求出()log 21a y x =-+的图象恒过的定点的坐标.【详解】因为log a y x =的图象必过(1,0)，即log 10a =，当21x -=，即3x =时，1y =，从而()log 21a y x =-+图象必过定点(3,1).故答案为：(3,1).B 组巩固提高【难度系数：★★时间：10分钟分值：20分】10．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知,a b 为实数，则“1,1a b >>”是“log 0a b >”的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及对数函数的性质判断.【详解】由01log 0log log 101a a aa b b b <<⎧>⇒>⇒⎨<<⎩或11a b >⎧⎨>⎩，所以由1,1a b >>推得出log 0a b >，故充分性成立，由log 0a b >推不出1,1a b >>，故必要性不成立，所以“1,1a b >>”是“log 0a b >”的充分非必要条件.故选：A11．（23-24高一上·上海·期末）已知函数()(1)log a f x a x b =-+（0a >，且1,a b ≠为实数），下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的单调性只与a 有关，与b 无关B ．函数()f x 的单调性只与b 有关，与a 无关C ．函数()f x 的单调性与a b 、都有关D ．函数()f x 的单调性与a b 、都无关12．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数a 的定义域为R ，则实数的取值范围是.13．（23-24高一上·上海·期末）函数2log 1y x =+的定义域为．．15．（23-24高一上·上海松江·期末）设a 为常数且01a <<，3log 4a y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是严格增函数，则实数a 的取值范围是16．（23-24高一上·上海·期末）已知23，若-=，则2023f =.【答案】10-【分析】利用对数的运算性质推得()()116f x f x -+=，从而得解.【详解】因为()23log log 8f x a x b x =-+，所以()1112323log log 8log log 8f x a x b x a x b x ---=-+=-++，则()()116f x f x -+=，则()()12023202316f f -+=，又()1202326f -=，所以()2023162610f =-=-.故答案为：10-.17．（23-24高一上·上海·期末）在下面的坐标系中画出下列函数的图像：(1)2y x -=(2)22xy =-．（2）先作出22x y =-的图象，然后将故作图如下18．（23-24高一上·上海徐汇(1)求方程()3f x =的解；(2)若关于x 的方程12()log f x x λ=+在[2,4]x ∈上有实数解,求实数λ的取值范围.【答案】(1)2log 7x =(2)[]1,14λ∈C 组综合训练【难度系数：★★★时间：15分钟分值：30分】19．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12log y x a =+（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．可得11x a =->，可得a<0，不合乎题意.故选：A.20．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数()()1222log 1,122,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩（n m <）的值域是[]1,2-，有下列结论：①当0n =时，[]2,4m ∈；②当34n =时，3,44m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当30,4n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]2,4m ∈.其中正确结论的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个令22221x ---=-，得0x =或当0n =时，()f x 的值域为[当34n =时，1231log 44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()[]故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数()f x 的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期末）中国5G 技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（）．A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%2为.【答案】()1,+∞【分析】由不等式22log 2xx +>可得22log 20x x +->，令函数()22log 2x f x x =+-再根据函数单调性即可求解.【详解】由不等式22log 2x x +>，得22log 20xx +->，令函数()22log 2xf x x =+-，定义域为()0,+∞，因为2x y =，2log y x =均为定义域内的增函数，所以()f x 在定义域()0,+∞内单调递增，且()10f =，对应不等式即为()()1f x f >，从而得1x >，所以不等式22log 2xx +>的解集为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.23．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数()y f x =，其中()()2ln ,02,0a x x f x a R x x a x ⎧->=∈⎨++≤⎩.若关于x 的方程()2024f x =恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是.方程()2024f x =等价于()2004g x a =-，方程有4个不同的实数根，即函数2004y a =-有4个不同的交点，故()20041,0a -∈-.设四个交点的横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，如图所示，可知结合()()34342004ln ln a g x g x x x -===-=-,得3ln ln x =-又因为()20041,0a -∈-，所以()3ln 1,0x ∈-，所以(13e x -∈由于函数1y x x=+在(]0,1上单调递减，所以(342,e x x +∈+11234342(0,e e 2)x x x x x x -+++=-++∈+-，所以题设方程所有实数根之和的取值范围是1(0,e e 2)-+-.24．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数2()log 1f x x=-的定义域为,()2x A g x =.(1)若非空集合{21,R}B aa x a a =<<+∈∣满足B A B =I ，求实数a 的取值范围；(2)若()(())h x g f x =，用定义证明：()h x 是定义域上的严格增函数.【答案】(1)(1,0]-(2)证明见解析(1)162log log 163x x +=；(2)()24(1)6290x x xa a a -+⋅--⋅=．26．（23-24高一上·上海·期末）已知函数12()log 1f x x =-.(1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数；(2)判断函数()y f x =在(1,)+∞上的单调性，并说明理由；(3)对于任意[3,5]x ∈，不等式1()2xf x m⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.D 组拓展延伸【难度系数：★★★时间：20分钟分值：30分】27．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数(),1e ln 1,ea m x x f x x x x ⎧--<<⎪=⎨⎪-≥⎩（e是自然对数的底数）的最小值为0，关于()f x 有如下4个命题：①若()1,0a ∈-，则e eam ≥+；②若()2,e a ∈-∞-，则22e e a m <--；③若()0,1a ∈，则e ea m ≥+；④若()2e ,a ∞∈+，则1m a ≥+.其中真命题的个数为（）个A ．1B ．2C ．3D ．4的不等式2()222log 424x a x ax -≥++的解集是B ，有下列两个结论：①存在a ∈R ，使A B ⊂；②对任意的a ∈R ，都有[]4,0A -⊂；则（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确因为222115154244⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭a x ax ax ，则对任意的a ∈R ，有()215log 424-<x ，解得114222-<<x ，即114|222⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭A x x ，现比较11422-与4-的大小，11114422462-+=-，因为411411461296222048⎛⎫=<== ⎪⎝⎭，29．（23-24高一上·上海·期末）若函数()f x 满足：对任意正数,s t ，都有()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“H 函数”．(1)试判断函数()21f x x =与()()2ln 1f x x =+是否为“H 函数”，并说明理由；(2)若函数33x y x a =+-是“H 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数()f x 为“H 函数”，()11f =，对任意正数s 、t ，都有()0f s >，()0f t >，证明：对任意()()12,2k k x k +∈∈N ，都有()122x f x f x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭．。
2024年新高一数学暑假提升精品讲义(上海专用)专题10 幂函数(解析版)
专题10幂函数【应知应会】 (1)一、复习引入........................................................................................................................................................1二、知识梳理.. (1)（一）幂函数的定义....................................................................................................................................1（二）幂函数的图象....................................................................................................................................2（三）幂函数的性质 (2)考点剖析....................................................................................................................................................................2过关检测....................................................................................................................................................................4A 组双基过关....................................................................................................................................................4B 组巩固提高....................................................................................................................................................6C 组综合训练..................................................................................................................................................10D 组拓展延伸 (16)【应知应会】一、复习引入在初中阶段，我们已经学习过正比例函数y x =，反比例函数1y x=即1y x -=以及二次函数2y x =，它们的“音容笑貌”还记得吗？这三个函数从形式上具备怎样的共同特征？二、知识梳理【难度系数：★★★参考时间：15min 】（一）幂函数的定义当指数a 固定，等式ay x =确定了变量y 随变量x 变化的规律，称为指数为a 的幂函数（powe rfunctions ）.使得ay x =有意义的x 的取值范围，称为此幂函数的定义域.幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数a 的值有关.【注】（1）幂函数的系数为1；（2）幂函数的指数R a ∈.（二）幂函数的图象（三）幂函数的性质所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）.∙0>a 时：（图A ）（1）图象都通过（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的（严格）增大而（严格）增大（严格增函数）.∙0<a 时：（图B ）（1）图象都通过点（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的（严格）增大而（严格）减小（严格减函数）；（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近.【思考】0=a 时，图像如何画？【小结】ax y =与两坐标轴都无公共点0≤⇒a ∙幂的基本不等式：当0>a 时，若012>>x x ，则112>x x，得112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ax x.考点剖析【难度系数：★★★参考时间：30min 】例1.求函数()10322y xx x -=+-+的定义域.【答案】),2()2,0(+∞ 例2.写出函数12y x-=的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性.【答案】(0,)+∞，严格减法二：穿针引线：变式3.已知()()22132a a --+<-，求实数a 的取值范围.例4.已知点()2,5在函数11ax y x +=-的图像上.（1）求实数a 的值；.例5.设幂函数,0.（1）求证：该函数在区间()0,+∞上是严格减函数；（2）设0a b >>，0c >，利用（1）的结论，比较1c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1cb ⎛⎫⎪⎝⎭的大小.过关检测A 组双基过关【难度系数：★时间：8分钟分值：20分】1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数()21()22m f x m m x -=--⋅的图象不经过坐标原点，则m =（）A ．1-B ．3C ．1或3-D ．1-或33．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数()()221=343m f x m m x---在2π,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是严格减函数，则m =.，则此幂函数为.5．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数-=--为偶函数，且在(0,)+∞上严格单调递减，则实数m 的值为．【答案】1-【分析】利用幂函数的定义和性质即可求解.【详解】因为()21()1m f x m m x -=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.又因为()f x 在(0,)+∞上严格单调递减，所以10m -<，解得1m <，故而1m =-.而且当1m =-时，2()f x x -=是偶函数，符合题意，从而实数m 的值为1-.故答案为：1-.6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数a y x =的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.【答案】(1,1)【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得.【详解】因为对任意实数a ，当1x =时，1y =，所以所有幂函数的图象都过点(1,1).故答案为：(1,1)7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式()()3355252x x --+<-的解集为．8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数=++在0,∞+上为严格减函数.(1)求实数m 的值；(2)若(21)(3)m m a a -<+，求实数a 的取值范围.B 组巩固提高【难度系数：★★时间：10分钟分值：20分】9．（23-24高一上·上海·期末）下列命题中正确的是（）A ．当0m =时，函数m y x =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的严格增函数【答案】C【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.【详解】对A ，当0m =时，函数m y x =的图象是一条直线除去点(0,1)，所以A 项不正确；对B ，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过(0,0)，所以B 项不正确；对C ，幂函数m y x =的图象不可能在第四象限内，所以C 项正确；对D ，当1m =-时，幂函数m y x =为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D 项不正确；故选：C.10．（22-23高一上·上海·期末）已知幂函数·y k x α=的图像过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则k α+=．312实数123a a a ､､从小到大的排列顺序为.（请用“<”连接）【答案】123a a a <<【分析】利用幂函数的性质判断123a a a ､､的大小即可得解.【详解】对于1a y x =，由其图象可知11a <-，例如12a =-；12．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数--=--在0,∞+上是严格增函数，则实数【答案】1-【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解.【详解】由题意可得：211m m --=，解得2m =或1m =-，若2m =，则1y x -=在()0,∞+上是严格减函数，不合题意；若1m =-，则2y x =在[)0,∞+上是严格增函数，符合题意；综上所述：1m =-.故答案为：1-.13．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭，则它的单调减区间是．14．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数21mm y m m x+-=-+的图像过原点，则.【答案】2【分析】由幂函数的概念求出0m =或2，再利用幂函数的图象性质进行验证即可.【详解】因为函数222(21)mm y m m x +-=-+是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2，当0m =时，2y x -=其图像不过原点，应舍去，当42,m y x ==，其图像过原点．故答案为：2.15．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数()24kf x x -=在()0,∞+上是严格减函数，则实数k 的取值范围为.【答案】()2,2-【分析】利用幂函数的单调性即可得解.【详解】因为幂函数()24kf x x -=在()0,∞+上是严格减函数，所以240k -<，解得2<<2k -，即实数k 的取值范围为()2,2-.故答案为：()2,2-.16．（23-24高一上·上海虹口·期末）设122,,,323α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，若幂函数y x α=的图像关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞上是严格增函数，则实数α=．=∈R 的图像经过点2,3，则=.(1)523.14-与52π-；(2)35(-与35(-.C 组综合训练【难度系数：★★★时间：15分钟分值：30分】19．（23-24高一上·上海·期中）若对任意()()1,00,1x ∈-U ，都有kx x ≥成立，则k 的值可能是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．220．（23-24高一上·上海·期末）已知a ∈R ，若函数3,1y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，则a 的取值范围是.时的取值集合包含中n 是正整数；②如果ac bc =，那么a b =；③如果22()()0a b b c -+-=，那么a b c ==；④如果n n a b =，那么a b =，其中n 是正整数；⑤如果22a b >，那么a b >；⑥如果33a b >，那么a b >.其中真命题的序号为.22．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式()()33213x x +<-的解为.23．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m =．故2m =-舍去，当3m =-时，33()1f x x x-==，则其定义域关于原点对称，在一、三象限，图像如图所示：故答案为：3-.24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数-=-+的图像关于点0,0对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()()g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图象；（提示：列表、描点、连线作图）则()g x 的图象为：25．（23-24高一上·上海·期中）幂函数()24m my x m -=∈Z 的图象关于y 轴成轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求m 的值.26．（23-24高一上·上海青浦·期中）若幂函数()43251m m y m m x++=+-⋅的定义域为R ，求实数m 的值.【答案】1【分析】由幂函数的概念建立方程，再验证定义域是否为R .27．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数-≡-+的图象关于点0,0中心对称;(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()()11g x f x =--，在直角坐标系中做出函数()y g x =的图像；(3)根据()2中图像，直接写出不等式()1g x >的解集，（3）观察（2）中图象得，故函数∴不等式()1g x >的解集是1∞-⋃（，）（D 组拓展延伸【难度系数：★★★时间：20分钟分值：30分】28．（22-23高一上·上海·期末）记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()270x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1236970f f f f f +++++ 的值为（）A ．4898B ．4899C ．4900D ．490129．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a 为奇数且0a >，则关于x 的不等式21a xx x ≤-的解集为．为[,]a b ，则称()f x 为“A 佳”函数.已知幂函数()()1221p f x p p x -=+-在(0,)+∞上是单调增函数.(1)求函数()f x 的解析式:(2)2()()9g x f x =-是否为“A 佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.(3)若函数()(1)h x n f x =-+，且()h x 是“A 佳”函数，试求出实数n 的取值范围.。
学而思暑期班考试题目
1第3级下·基础班·学生版1．已知|x |＝5，|y |＝1，且xy ＜0，则x ＋y 的值是( )A ．6或－6B ．4或－4C ．6或4D ．－6或－42．有理数a ，b ，c 在数轴上的表示如下图，则在211||b b ，，|ac |中( )A ．21b 最小 B ．|ac |最大 C ．1||b 最大D ．21b最大3．弧长是圆半径的π倍，该弧所对的圆心角是( )。
A ．90°B ．150°C ．180°D ．100°4．ABCD 是边长为a 的正方形，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为直径画半圆，这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是( )。
A ．1.57a 2 B ．3.14a 2 C ．4.17a 2 D ．6.28a 25．地球外表的陆地面积和海洋面积之比是29∶71，其中陆地的四分之三在北半球。
那么南、北半球海洋面积之比是( )。
A ．113∶171 B ．29∶87 C ．171∶113 D ．87∶296．六位数8712□□能够被72整除，所有满足条件的六位数共有( )个。
A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个7．34的倒数是，2.5的倒数是，225的倒数是？8．甲数＝3×M ×7，乙数＝2×3×N ，M ，N 均为质数，甲数和乙数的最大公因数是21，则M 最小可取，N ＝_____。
期末考试9．假设2x m＋n－1－3y m－n－3＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝_____，n＝_____10．电子跳蚤在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步有K2向左跳3个单位到K3，第四部由K3向右跳4个单位到K4，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数是_____。
暑假复习卷
暑假复习卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、若z 是复数，且()13=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为 ( ) A ．i +-3B.i --3C.i +3D.i -32、集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( ) A ．(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1,0,1-3、已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( ) A ． 22x x SS<<乙甲，乙甲B. 22x x SS<>乙甲，乙甲C. 22x x S S >>乙甲，乙甲D. 22x x S S ><乙甲，乙甲 4、下列说法正确的是（ ）A ．命题“存在x ∈R ，213x x +>”的否定是“对任意x R ∈， 213x x +<” B.在空间，m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥C. 若函数[]1112)(，a ax x f --+=在 上有零点，则实数a 的取值范围是(31，1) D.用最小二乘法求得的线性回归方程y bx a =+一定过点(,)x y5、已知二次曲线]1,2[,1422--∈=+m my x 则当时，该曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．]3,2[B. ]6,5[C. ]26,25[D. ]26,23[6、若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πωx A x f (,0>A 0>ω)的图像向左平移6π个单位得到的图像关于y 轴对称，则ω的值可能为( )A.2 B.3 C.4D.67、右图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A.248+ B.288+C.244+D.224+22E 2 E 222主视图俯视图左视图乙甲8 6 4 31 58 6 3 2 4 58 3 49 45 013 1 6 7 98、在数列{}n a 中，已知1+n a +1-n a =n a 2(n +∈N ,2≥n )，若平面上的三个不共线的非零向量、、，满足a a 10061005+=，三点A 、B 、C 共线, 且直线不过O 点，则2010S 等于（ ）A.1005B.1006C.2010D.20119、已知点(,)P x y 的坐标x ，y满足020y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥0，则x y x 422-+的取值范A.[0,12]B.[1,12]-C. [3,16]D. [1,16]-10、过正三棱台的任意两个顶点的直线有15条，其中异面直线有（ ）对A.12B.24C. 36D.48 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11、“14a =-”是“函数2()1f x ax x =--只有一个零点”的____________________条件。
2021年新教材高一数学暑假作业三新人教A版
高一数学暑假作业一、单项选择题1. 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进展测量，如下说法正确的答案是( )A. 总体是240B. 个体是每一个学生C. 样本是40名学生D. 样本容量是402. 复数z =(2+i)(a −3i)是纯虚数，如此实数a =( )A. −32B. 32C. −3D. 33. 假如△ABC 外接圆圆心为O ，半径为4，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，如此CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. 14B. 2√7C. √7D. 24. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =4，点O 为其外接圆的圆心.CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，如此角A 的最大值为( )A. π6B. π3C. π4D. π25. 在斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AB 1⊥BC ，如此B 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A. 直线AC上B. 直线BC上C. 直线AB上D. △ABC内部6.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6cm3，AB=1cm，BC=2cm，假如该长方体的八个顶点都在球O的球面上，如此球O的体积是〔〕A. 7√143πcm3B. 113πcm3C. 7√73πcm3D. 83πcm37.直角梯形OABC上下两底分别为分别为2和4，高为2√2，如此利用斜二测画法所得其直观图的面积为()A. 6√2B. 3√2C. 3D. 68.如图正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，如此直线A1D与直线B1M所成角大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.某某楼与某某某某黄鹤楼，某某某某滕王阁并称为“江南三大名楼〞，是“中国十大历史文化名楼〞之一，世称“天下第一楼〞.其地处某某古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修某某楼，邀好友X仲淹作《某某楼记》使得某某楼著称于世.自古有“洞庭天下水，某某天下楼“之美誉.小李为测量某某楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=14米，如此某某楼的高度CD约为()(√2≈1.414,√3≈1.732)A. 18米B. 19米C. 20米D. 21米二、多项选择题10.如下列图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面BCC1B1内(包括边界)一动点，且D1P//平面EFG，如此()A. BD//EGB. BD1//平面EFGC. 三棱锥D1−EFG的体积D. P点的轨迹长度为2为1311.在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，给出如下四个命题中，其中正确的命题为()A. 假如A：B：C=1：2：3，如此a：b：c=1：2：3B. 假如cosA<cosB，如此sinA>sinB C. 假如A=30°，a=3，b=4，如此这个三角形有两解D. 当△ABC 是钝角三角形．如此tanA⋅tanC<1三、填空题12.i是虚数单位，如此|5−i|的值为．1+i13. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =3，BB 1=2BC =8，D 为棱BB 1的中点，如此三棱锥D −ACC 1的外接球的外表积为______ ．14. 四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在同个球面上，AD ⊥平面ABC ，AD =2√63，AB =2，AC =3，∠CAB =60°，如此该四面体的外接球的外表积为______ ．15. 向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(0,−1)，c⃗ =(x,−2)，假如a ⃗ //c ⃗ ，如此x = ______ ；假如(a ⃗ −2b ⃗ )⊥c ⃗ ，如此x = ______ ．16. 掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A 表示“出现小于5的偶数点〞，事件B 表示“出现小于5的点数〞，如此一次试验中，事件A ∪B −(B −表示事件B 的对立事件)发生的概率为______．17. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .假如AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，如此λ的值为 (1) ，P 是BN 上的一点，假如AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，如此m 的值为 (2) ．四、解答题18. 平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3．(1)求a ⃗ ⋅b ⃗ ；(2)求|a ⃗ +2b ⃗ |；(3)假如a ⃗ +2b ⃗ 与2a ⃗ +λb ⃗ (λ∈R)垂直，求λ的值．19. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acosB ．(1)求角B 的大小；(2)假如b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．20.为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取局部学生进展一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如下列图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)假如次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？21.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，如此四棱锥M−EFGH的体积为______．22.某校参加夏令营的同学有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其所属年级情况如表：高一年级高二年级高三三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性一样)(Ⅰ)用表中字母写这个试验的样本空间；(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学〞，写出事件M的样本点，并求事件M发生的概率．23.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．(1)求证：AB//平面PCD；(2)求证：直线BD⊥平面PAC；(3)求直线PB与平面PAD所成角的正切值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：此题考查的对象是240名高一学生的身高情况，故总体是240名高一学生的身高情况；个体是每个学生的身高情况；样本是40名学生的身高情况，故样本容量是40．应当选D．此题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物〞.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象是某校高一学生的身高，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一局部对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是一样的，所不同的是X 围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．2.【答案】A【解析】解：复数z =(2+i)(a −3i)=(2a +3)+(a −6)i 是纯虚数，如此{2a +3=0a −6≠0，解得实数a =−32．应当选：A ．根据复数的乘法运算和纯虚数的定义，列方程求出实数a 的值．此题考查了复数的代数形式运算问题，是根底题．3.【答案】A【解析】解：取BC 的中点E ，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点A ，E ，O 三点共线，且E 为线段AO 的靠近A 的四等分点，∵AO =4，∴AE =1，OE =3，在直角三角形OEC 中可得CE =√7，∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠ACE =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×7=14．应当选：A ．取BC 的中点E ，再根据推出点A ，E ，O 三点共线，且E 为线段AO 的靠近A 的四等分点，AE =1，OE =3，最后利用向量数量积可得．此题考查了平面向量数量积的性质与其运算，属中档题．4.【答案】A【解析】解：如图：取AB 的中点D ，如此DO ⊥BA ，∴CO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，=12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(16−a 2)=6，∴a =2，又∵cosA =b 2+c 2−a 22bc =c 2+128c =c 8+128c ≥2√c 8⋅128c =√32，当且仅当c 8=128c 即c =2√3时取等号，∴cosA ≥√32，又∵A ∈(0,π)，∴A ∈(0,π6].应当选：A ．取AB 的中点D ，如此DO ⊥BA 得CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求出a 值，再利用余弦定理和根本不等式，求出cos A的X围即可．此题考查平面向量数量积性质与运算、余弦定理、根本不等式，考查数学运算能力与直观想象能力，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：∵在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AB1⊥BC，∴BC⊥AC，又AC∩AB1=A，∴BC⊥平面ACB1，BC⊂平面ABC，∴平面ACB1⊥平面ABC，∴B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上．应当选：A．由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．此题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.【答案】A【解析】【分析】此题考查球的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．根据长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6cm3，AB=1cm，BC=2cm，可得BB1，再计算出球O的半径R，即可求解体积．【解答】解：由题意长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6cm3，AB=1cm，BC=2cm，可得：BB1=3，球的半径R=12√AB2+BC2+B1B2=√142，如此球O的体积V=43πR3=．应当选：A．7.【答案】C【解析】解：根据斜二测画法可知，y 轴上的OC ，在新系中在y ′轴上，且OC ′=12OC =√2，作C ′D ⊥x 轴于D ，如此C ′D =1，又C ′B ′=CB ，C ′B ′//CB ，∴S OC ′B ′A =12×(2+4)×1=3．应当选：C ．利用斜二测画法找到新系中各点的位置，如此新梯形的底和高容易求得，进而求出面积．此题考查了斜二测画法，属容易题．8.【答案】A 【解析】解：如图，将A 1D 平移到B 1C ，连接MC ，如此∠MB 1C 是直线A 1D 与直线B 1M 所成角设棱长为2，如此B 1C =2√2，MC =√2，B 1M =√6cos ∠MB 1C =√32，∴∠MB 1C =30°，应当选：A ．先将A 1D 平移到B 1C ，连接MC ，得到的锐角∠MB 1C 就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于根底题．9.【答案】B【解析】解：设CD =x ，如图，测得∠DAC =30°，∠DBC =45°，AB =14米，如此：DC =BC ，在△ACD 中，利用三角函数的关系式：tan ∠DAC =xx+14，整理得√33=xx+14，解得：x ≈19(米)，应当选：B ．直接利用解直角三角形知识的应用和三角函数的值的应用求出结果．此题考查的知识要点：三角函数的值，解直角三角形知识的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于根底题．10.【答案】BCD【解析】解：对于A，取BB1的中点M，连接GM，BD，由正方体的性质可知，BD//GM，而GM与EG相交，故BD与EG不平行，故A错误；对于B，连接D1C，由面面平行的判定可得平面FGE//平面D1BC，由平面与平面平行的性质可得BD1//平面EFG，故B正确；对于C，由等体积法可得：V D1−EFG =V E−FGD1=13S△FGD1⋅AE=1 3×(12×2×1)×1=13，故C正确；对于D，由分析时可知平面FGE//平面D1BC，即点P的轨迹为线段BC，长度为2，故D正确．应当选：BCD．取BB1的中点M，连接GM，BD，可得BD//GM，由GM与EG相交判定A错误；连接D1C，由面面平行的判定与性质判断B；利用等体积法求体积判定C；求出P点的轨迹判断D．此题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A，假如A：B：C=1：2：3，如此A=30°，B=60°，C=90°，故a：b：c=sin30°：sin60°：sin90°=1：√3：2.故错误；对于B，在△ABC中，cosA<cosB⇔A>B⇔sinA>sinB，故正确；对于C，由A=30°，a=3，b=4，可得312=4sinB，可得sinB=23>sin30°，故满足条件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故正确；对于D，当A为钝角时，tanA<0，tanC>0，tanAtanC<1，成立，当C为钝角时，tanA>0，tanC<0，tanAtanC<1，成立，当B为钝角时，cosB=−cos(A+C)=sinAsinC−cosAcosC<0，可得sinAsinC<cosAcosC，可得tanA⋅tanC<1，成立，综上，命题正确．应当选：BCD．对于A，运用内角和定理，求出A，B，C，再由正弦定理，即可得到三边之比，即可判断；对于B，在△ABC中，cosA<cosB⇔A>B⇔sinA>sinB，得出答案；对于C，利用正弦定理求得满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；对于D，分类讨论，利用两角和的余弦函数公式即可判断得解．此题考查正弦定理和余弦定理与运用，考查三角形的形状的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．12.【答案】√13【解析】【分析】此题主要考查复数的模与复数的根本运算，考查计算能力，属于根底题．利用复数四如此运算先化简，再求模长．【解答】解：由题意，可知：5−i1+i =(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−6i1−i2=2−3i，∴|5−i1+i|=|2−3i|=√22+(−3)2=√13．故答案为√13．13.【答案】73π【解析】解：由题意知，BC=BD=B1D=4，又AC⊥BC，AC=3，∴AB=5，CD=C1D=4√2，如此AD=√AB2+BD2=√41，AC1=√AC2+CC12=√73，∴AC12=AD2+C1D2，得C1D⊥AD，又AC⊥CC1，∴AC1的中点为三棱锥D−ACC1外接球的球心，如此外接球的半径R=12AC1=√732．外接球的外表积为S=4πR2=4π×(√732)2=73π．故答案为：73π．由直三棱柱的性质求出CD、C1D1、AD、AC1，结合勾股定理可得C1D⊥AD，CC1⊥AC，可得AC1的中点为三棱锥D−ACC1外接球的球心，再求出外接球的半径，代入球的外表积公式得答案．此题考查多面体的外接球外表积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】12π【解析】解：如下列图，设△ABC的外接圆的余弦为O1，过O1作直线l⊥平面ABC，又DA⊥平面ABC，∴DA//l，连接AO1并延长，交球O于H，连接DH，与l的交点为球心O，如此OH=OD=R，OO1=12AD=√63，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos60°=4+9−2×2×2×12=7，∴BC=√7，又由正弦定理可得BCsin60∘=2O1H，可得O1H=√213．∴R2=OH2=OO12+O1H2=69+219=3，如此该四面体的外接球的外表积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．由题意画出图形，求解三角形可得BC，由正弦定理求得底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理求得多面体外接球的半径，代入球的外表积公式得答案．此题考查多面体外接球外表积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】−18【解析】解：∵假如a⃗//c⃗，a⃗=(1,2)，c⃗=(x,−2)，即1×(−2)=2×x，∴x=−1，∴a⃗−2b⃗⃗⃗⃗ =(1,4)，∵假如(a⃗−2b⃗ )⊥c⃗，即1×x+(−2)×4=0，∴x=8．故答案为：−1，8．根据两向量平行的坐标表示，以与两向量垂直的坐标表示，分别求解．此题考查了两向量平行的坐标表示，以与两向量垂直的坐标表示，需要学生熟练掌握公式，属于根底题．16.【答案】23【解析】解：掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A表示“出现小于5的偶数点〞，事件B表示“出现小于5的点数〞，根本事件总数n=6，事件A∪B−(B−表示事件B的对立事件)包含的根本事件有：2，4，5，6，共4个，如此一次试验中，事件A∪B−(B−表示事件B的对立事件)发生的概率为：P(A∪B−)=46=23．故答案为：23．根本事件总数n=6，利用列举法求出事件A∪B−(B−表示事件B的对立事件)包含的根本事件的个数，由此能求出一次试验中，事件A∪B−(B−表示事件B的对立事件)发生的概率．此题考查概率的求法，考査古典概型、列举法等根底知识，考查运算求解能力，是根底题．17.【答案】1416【解析】解：如图：在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故λ=14．由于点B 、P 、N 三点共线．所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如此：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理得：(1+t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t 4(1+t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以11+t =13，解得t =2．故m =24×(1+2)=16．故答案为：14；16．直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件的应用求出结果．此题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力与思维能力，属于中档题型．18.【答案】解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=2×1×12=1．(2)|a ⃗ +2b ⃗ |2=(a ⃗ +2b ⃗ )2=a ⃗ 2+4b ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b⃗ =4+4+4=12，∴|a ⃗ +2b ⃗ |=√12=2√3．(3)假如a ⃗ +2b ⃗ 与2a ⃗ +λb ⃗ (λ∈R)垂直，如此(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(2a ⃗ +λb ⃗ )=0，即2a ⃗ 2+2λb ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +λa ⃗ ⋅b⃗ =0，∴8+2λ+4+λ=0即12+3λ=0，∴λ=−4． 【解析】此题考查了向量数量积、模的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于根底题．(1)直接根据平面向量数量积计算公式求解；(2)先求出|a ⃗ +2b ⃗ |2=(a ⃗ +2b ⃗ )2，再开方即可得|a ⃗ +2b ⃗ |；(3)根据向量垂直的充要条件得(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(2a ⃗ +λb ⃗ )=0，展开即得到关于λ的方程，解方程即可的答案．19.【答案】解：(1)∵bsinA =√3acosB ，由正弦定理可得sinBsinA =√3sinAcosB ，即得tanB =√3，由于：0<B <π，∴B =π3．(2)∵sinC =2sinA ，由正弦定理得c =2a ，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，9=a 2+4a 2−2a ⋅2acos π3，解得a =√3，∴c =2a =2√3．【解析】(1)直接利用条件和正弦定理求出B 的值．(2)根据(1)的结论和余弦定理求出结果．此题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用与相关的运算问题20.【答案】解：(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42+4+17+15+9+3=0.08．因为第二小组的频率=第二小组的频数样本容量，所以样本容量=第二小组的频数第二小组的频率=120.08=150．(2)由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率约为17+15+9+32+4+17+15+9+3×100%=88%． 【解析】此题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于根底题．(1)由频率分布直方图求出第二小组的频率，根据样本容量=第二小组的频数第二小组的频率即可求得；(2) 由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率．21.【答案】112【解析】解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M(如图)，∴EG =1，四棱锥M −EFGH 是正四棱锥，∴正四棱锥的底正方形EFGH 的边长为√22，高为12，∴四棱锥M −EFGH 的体积为：V =13×(√22)2×12=112．故答案为：112．推导出EG =1，四棱锥M −EFGH 是正四棱锥，从而正四棱锥的底正方形EFGH 的边长为√22，高为12，由此能求出四棱锥M −EFGH 的体积．此题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查推理论证能力，是中档题．22.【答案】解：(I)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B}，{A,C}，{A,X}，{A,Y}，{A,Z}，{B,C}，{B,X}，{B,Y}，{B,Z}，{C,X}，{C,Y}，{C,Z}，{X,Y}，{X,Z}，{Y,Z}，共15种．(II)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y}，{A,Z}，{B,X}，{B,Z}，{C,X}，{C,Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)=615=25．【解析】(I)结合数据，直接利用列举法即可求解；(II)结合等可能事件的概率公式即可直接求解．此题主要考查了利用列举法求解事件的概率，属于根底试题23.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB//CD，因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB//平面PCD．(2)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．(3)过B作BE⊥AD，连结PE，因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．又因为BE⊥AD，PA∩AD=A，所以BE⊥平面PAD．所以∠BPE是直线PB与平面PAD所成角，在RT△BEP中，BE=√3,PE=√PA2+AE2=√5，所以tan∠BPE=BEPE =√3√5=√155．所以∠BPE是直线BP与平面PAD所成角的正切值√155．【解析】(1)通过AB//CD即可证明AB//平面PCD；(2)通过AC⊥BD和PA⊥BD即可证明直线BD⊥平面PAC；(3)过B作BE⊥AD，连结PE，如此∠BPE是直线PB与平面PAD 所成角，进而可求所成角的正切值．此题考查线面平行和线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．。
2020年高一暑假数学补习题 (1)-0709(解析版)
2020年高一暑假数学补习题 (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos160°sin10°−sin20°cos10°=( )A. −√32B. √32C. −12 D. 122. 下列不等式中，正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则a +c >b +dB. 若a >b ，则a +c <b +cC. 若a >b,c >d ，则ac >bdD. 若a >b,c >d ，则ac >bd3. 若一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集为(−12,13)，则a +b 的值是( )A. 10B. −10C. −14D. 144. 下列判断正确的是( )A. 若a//α，b//β，α//β，则a//bB. a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥bC. 若a ⊂α，b ⊂β，a//b ，则α//βD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α 5.A. 12B. √22C. 2D. √326. 已知圆锥的底面直径为2√3π3π且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是( ) A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 8. 三棱锥A −BCD ，顶点A 在平面BCD 内的射影为O ，若AB =AC =AD ，则点O 为△BCD 的( )A. 内心B. 外心C. 中心D. 垂心9. 展开式为ad −bc 的行列式是( )A. ∣∣∣a b dc∣∣∣B. ∣∣acb d ∣∣C. ∣∣∣a d bc∣∣∣D. ∣∣∣b a dc∣∣∣10. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若点(a,b )在直线x (sinA +sinB )+ysinB =csinC 上，则角C 的值为( )A. π6B. 56πC. π3D. 23π11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在底面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若PM=√5，则PQ长度的最小值为()A. √2−1B. √2C. 3√55−1D. 3√5512.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=3π4，a=2，c=√2，则sin C=____.14.已知m，n为正实数，则当nm =______时9mm+2n+2nm取得最小值．15.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB=2，CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则AE=________．16.在等腰三角形ABC中，∠A=2π，AB=2√3，将它沿BC边上的高AD翻折，使△BCD为正三角3形，则四面体ABCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知f(x)=cos4x+2√3sinxcosx−sin4x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调增区间；]，求f(x)的最大值和最小值．(3)若x∈[0,π218.如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6，高为3，下面是正六棱柱，其底面边长为4，高为2，现从中间挖去一个直径为2的圆柱，求此几何体的体积。
2020年高一数学暑假补习题 (12)-0710(解析版)
2020年高一数学暑假补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在△ABC 中，若，且，则△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形2. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1),(x >0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 2π3B. π6 C. π4D. π3 3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B =C,2b =√3a ，则cosA =( )A. √32B. 13C. √22D. 124. 在空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 如图所示，在△ABC 中，CE 是边AB 的中线，O 是CE 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗等于( )A. 12a ⃗ +12b ⃗ B. 14a ⃗ +12b ⃗ C. 14a ⃗ +14b ⃗ D. 12a⃗ +14b ⃗6. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 107. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为，且|a ⃗ |=3,|b ⃗ |=4，则a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )等于( ) A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 8. 设i 是虚数单位，复数1+i i=( )A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i9. 若复数z 满足(i −1)z =4−2i(i 为虚数单位)，则z −=( ) A. −3+i B. 3+i C. −3−i D. 3−i10. 已知复数z =2−i ，则z ⋅z −的值为( )A. 5B. √5C. 3D. √3 11. 如图是水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到的直观图，其中B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，那么△ABC 的面积是( )A. √2B. √3C. 3√22D. 3√212. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中与O′C′对应的线段OC 的长度是( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分） 13. 将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为______． 14. 已知|z|=1，则|z −2−3i|的最大值为________． 15. 计算：(1−i)(2+i)= ______ ．16. 向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,0)，若(a ⃗ +λb ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数λ等于______ ．17. 如图，在▱ABCD 中，∠DAB =60°，AB =2，E 是DC 中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32，则AD = ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 18. 计算：(1)(2−i)(2i +4)(2)1+ii(3)i 1−i (4)(1−i)219. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ⃗⃗⃗ =(a −b,c),n ⃗ =(a −c,a +b)，且m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 共线，求2sin(π+B)−4cos(−B)的值．20.△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2−c2=2b，且sinB=4cosAsinC，求b．⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为21.已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=2a+6i，z2=−1+i，其中，设ABz．(1)求复数z；x上，求a的值．(2)若复数z对应的点P在直线y=1222.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是，求圆台O′O的母线长．23.如图所示的ΔA′B′C′是用斜二测画法画水平放置的ΔABC的所得的直观图，已知OA′=B′C′=3cm，OB′=2cm，画出原三角形的图形，并求其面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查的是正弦定理及其应用，考查两角和的正弦函数公式，属于基础题． 结合正弦定理和两角和的正弦函数公式对条件进行转化，即可得到A =B ，，即可得出结论．【解答】 解：由，及正弦定理得，即tanA =tanB ，又A ，B 为三角形的内角，则A =B ， 又， 由正弦定理得，即，即， 又sinC ≠0， 所以sinC =1， 由C 为三角形内角，得，所以△ABC 是等腰直角三角形， 故选D ．2.答案：C解析：解：因BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x, 1)，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(1−x)2+1=5， 即x 2−2x −3=0，即(x −3)(x +1)=0，解得x =3或x =−1(舍)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22， ∴θ=π4故选C ．根据向量的坐标运算和向量的模求出x 的值，再根据向量的夹角公式计算即可． 本题考查了向量的模和向量的夹角公式，属于基础题．3.答案：B解析：解：在△ABC 中，∵B =C,2b =√3a ，∴c =b ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+b 2−(√3b)22b 2=13．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.答案：C解析：解析：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案为C5.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量基本定理及线性运算，属中档题．由平面向量基本定理及线性运算可得：A0⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 【解答】解：由题意可得：AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可知：A0⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，所以A0⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +12b ⃗ ， 故选B ． 6.答案：A解析：解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9． 故选：A ．直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 7.答案：B解析：【分析】本题考查向量夹角，向量的模及数量积，属于基础题． 直接代入公式求解即可． 【解答】 解：因为a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ ·a ⃗ +a ⃗ ·b ⃗=9+3×4×12=15，8.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：1+ii=(1+i)·(−i)=1−i．故选D.9.答案：C解析：解：由(i−1)z=4−2i得z=4−2ii−1=(4−2i)(i+1)(i−1)(i+1)=6−2i−2=−3+i，则z−=−3−i，故选：C．根据复数的运算法则先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．本题主要考查复数的运算，结合复数的运算法则和共轭复数的定义是解决本题的关键．10.答案：A解析：【分析】由z求出z−，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．【解答】解：由z=2−i，得z⋅z−=(2−i)(2+i)=4−i2=5．故选：A．11.答案：C解析：【分析】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基础题．B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，直接计算△ABC即可．【解答】解：因为B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，所以△ABC的面积为12×2√6×√32=3√22．故选C．12.答案：D解析：【分析】本题考查直观图和原图形之间的关系，斜二测画法的规则，属于基础题．由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，在y轴上，其长度变为原来的2倍．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′//x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2√2，所以OC=3．故选D．13.答案：√3π解析：【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，由√3−ℎ√3=r2，解得ℎ=√3−√32r可得S侧=2πrℎ=2πr(√3−√32r)，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，则√3−ℎ3=r2，解得ℎ=√3−√32r故S侧=2πrℎ=2πr(√3−√32r)=√3π(2−r)≤√3π(r+2−r2)2=√3π，当r=1时，S侧的最大值为√3π.故答案为：√3π．14.答案：√13+1解析：【分析】本题考查复数的模，利用复数模的运算性质|z−2−3i|=|z−(2+3i)|≤|z|+|2+3i|即可得到答案．【解答】解：∵|z|=1，∴|z −2−3i|=|z −(2+3i)|≤|z|+|2+3i|=1+√13， ∴|z −2−3i|的最大值为√13+1． 故答案为√13+1．15.答案：3−i解析：解：(1−i)(2+i)=1×2−2i +i −i 2=3−i ， 故答案为：3−i直接按多项式乘法运算法则展开，化简即可． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 16.答案：5解析：解：∵a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,0)，∴a ⃗ +λb ⃗ =(1,2)+λ(−1,0)=(1−λ,2)．∵(a ⃗ +λb ⃗ )⊥a ⃗ ， ∴1−λ+4=0， 解得λ=5． 故答案为：5．利用向量的垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量的垂直与数量积的关系，属于基础题． 17.答案：1解析：解：设|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x >0． ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴32=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 化为2x 2−x −1=0， ∵x >0，解得x =1． 故答案为：1．设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x >0.由向量的三角形法则可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32，利用数量积的运算性质展开即可得出． 本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质，属于基础题．18.答案：解：(1)(2−i)(2i +4)=4i +8+2−4i =10； (2)1+i i =(1+i)(−i)−i 2=1−i ；(3)i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i ； (4)(1−i)2=1−2i +i 2=−2i ．解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个式子的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．19.答案：解：∵m⃗⃗⃗ 与n⃗共线，∴c(a−c)−(a−b)(a+b)=0，化为a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac =12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．∴2sin(π+B)−4cos(−B)=−2sinB−4cosB=−2×√32−4×12=−2−√3．解析：利用向量共线定理、余弦定理即可得出．本题考查了向量共线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可得：b=4(b2+c2−a2)2bc×c，化为b2=2(b2+c2−a2)，∵a2−c2=2b，∴b2=2(b2−2b)，化为b2−4b=0，∵b>0，解得b=4．解析：由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可化为b2=2(b2+c2−a2)，把a2−c2=2b 代入即可得出．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．21.答案：解：(1)∵z1=2a+6i，z2=−1+i，∴z=z2−z1=−1−2a−5i；(2)∵复数z对应的点P在直线y=12x上，∴−5=12(−1−2a)，∴a=4.5．解析：(1)利用复数的减法，求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y=12x上，可得−5=12(−1−2a)，即可求a的值．本题考查复数的运算及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．22.答案：解析：设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，可设截得的圆台上、下底面半径分别为r，4r.如图所示，过轴SO作截面，则ΔSO′A′∼ΔSOA，∵SA′=3cm,SA′SA =O′A′OA，∴33+l=r4r=14，解得l=9.即圆台的母线长为．23.答案：解析：本题考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属基础题．关键是画法规则以及原图形与直观图面积间的关系．第11页，共11页。