4.1.2 圆的一般方程
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4.1.2圆的一般方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0 的形式
反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程： 图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径； 一般方程： 突出了代数方程的形式结构， （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy这样的二次项.
2 2
(2) x2 y 2 2 2
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
D E D E 只有一解 x , y , 它表示一个点 ( , ) 2 2 2 2
2 2 （3）当 D E 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
没有实数解，它不表示任何图形.
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
（1）是 圆心（1，-2）半径3
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
（2）是 圆心（3，-1）半径 2 3
【解析】(1) 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选 D.
(2)方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才表示圆．
(3)以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－ 4x＋8y＋4＝0，故 F＝4.
反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程： 图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径； 一般方程： 突出了代数方程的形式结构， （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy这样的二次项.
2 2
(2) x2 y 2 2 2
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
D E D E 只有一解 x , y , 它表示一个点 ( , ) 2 2 2 2
2 2 （3）当 D E 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
没有实数解，它不表示任何图形.
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
（1）是 圆心（1，-2）半径3
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
（2）是 圆心（3，-1）半径 2 3
【解析】(1) 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选 D.
(2)方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才表示圆．
(3)以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－ 4x＋8y＋4＝0，故 F＝4.
4.1.2圆的一般方程
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
4.1.2圆的一般方程
解析 由圆的一般方程的形式知，
a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋52y＋ ＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－54× ＜0， 2
∴a＝2不符合题意.
2
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
∴过O、A、B的圆方程为:
A. .O
.B .C
x
x2 y2 8x 6y 0
将C(7，1)代入方程：72 12 8 7 61 0成立.
∴ O、A、B、 C 四点共圆，圆心(4 ， 3) ，半径5 .
圆(心x(
4D)2，
E( y)
、 3半)2径
5D2
2
.
E
2
4F
.
22
2
例1.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1
E2 4F 2
为半径的圆；
(2) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程只有实数解
x
D 2
、y
E 2
，方程表示一个点
(
D 2
，
E 2
)
；
(3) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程没有实数解 ，因而它不表示任何图形 .
综上：当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示一个圆，
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径， 而圆的一般方程和 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0比较突出了方 程形式上的特点（：1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0；
4.1.2圆的一般方程
反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示
的曲线一定是圆吗?
问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程? 这个方程是不是表示圆?
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问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?
这个方程是不是表示圆? D 2 E 2 D2 E 2 4F 答: 得到的方程为: ( x ) ( y ) , 2 2 4 D E 2 2 (1)当D +E -4F>0时, 该方程表示以 ( , )为圆心, 2 2 1 D 2 E 2 4F 为半径的圆; 2 D E 2 2 (2)当D +E -4F=0时, 方程只有实数解 x , y , 2 2 即只表示一个点 ( D , E );
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练习2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解: 设所求方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上,
5D+E+F=-26 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 2D-8E+F=-68 22+(-8)2+2D-8E+F=0
2+12+5D+E+F=0 5
解得:D=-4,E=6,F=-12, 所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0. 配方得(x-2)2+(y+3)2=25, ∴圆心为(2,-3),半径为5.
的曲线一定是圆吗?
问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程? 这个方程是不是表示圆?
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问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?
这个方程是不是表示圆? D 2 E 2 D2 E 2 4F 答: 得到的方程为: ( x ) ( y ) , 2 2 4 D E 2 2 (1)当D +E -4F>0时, 该方程表示以 ( , )为圆心, 2 2 1 D 2 E 2 4F 为半径的圆; 2 D E 2 2 (2)当D +E -4F=0时, 方程只有实数解 x , y , 2 2 即只表示一个点 ( D , E );
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练习2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解: 设所求方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上,
5D+E+F=-26 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 2D-8E+F=-68 22+(-8)2+2D-8E+F=0
2+12+5D+E+F=0 5
解得:D=-4,E=6,F=-12, 所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0. 配方得(x-2)2+(y+3)2=25, ∴圆心为(2,-3),半径为5.
4.1.2圆的一般方程
只有在D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 D E 为 ( , ) 半径为r 1 D 2 E 2 4 F 的圆。
2 2Biblioteka 2小结 （2）利用待定系数法求圆的方程，对于 已知条件容易求出圆心坐标和半径或需 用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆 的标准方程，否则用圆的一般方程。
互化例子
x
思考： 1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？ 2.圆心和半径能直接求出吗？ 3.怎样求出圆的方程？ 4.怎样求出支柱A2P2的长度？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
答：支柱A2P2的长度约为5.39m.
小结 （1）任何一个圆的方程都可以写 X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方 程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定 是圆，
§圆的一般方程
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开， 可得：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 它是关于x、y的二元二次方程.
如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得 到方程X2+y2+Dx+Ey+F=0 ，这说明 圆的方程还可以表示成另外一种 非标准方程的形式.
例题分析 例1、已知 ABC顶点的坐标A(4,3), B(5,2),C(1,0)求 ABC外接圆的方程， 并求这个圆的半径和圆心坐标.
1 2
例题分析
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程，
4.1.2_圆的一般方程
解:设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将O, M1, M2 的坐标代入圆的方程,得: 方法:待定系数法
F 0, D E F 2 0, 4 D 2 பைடு நூலகம் F 20 0,
和配方法 解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,
圆的一般方程
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是否还可以表示成其他
形式？这是一个需要探讨的问题.
将圆的标准方程 ( x - a) + ( y - b) = r 展开得
2
2
2
x2 + y 2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r 2 = 0
二元二次方程
表示圆的一般方程
应用举例
例1：求过点M（-1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2-4x+ 6y-3=0相同的圆的方程.
解:将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16.
圆心C的坐标(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为
r | CM | (2 1) 2 (3 1) 2 5
【解析】配方得
不是圆
( x 1)2 ( y 2)2 1
不一定是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
分析方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 所表示的轨迹
D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F ) + (y + ) = (*) 配方可得 ( x + 2 2 4 D E 2 2 , - ) 为圆心， （1）当 D + E - 4F > 0 时，方程 (*) 表示以 (2 2 1 D 2 + E 2 - 4 F 为半径的圆. 2 2 2 （ 2 ） 当 D + E - 4F = 0 时 ， 方 程 (*) 只 有 一 个 实 数 解
4.1.2 圆的一般方程
[名师批注] AP 垂直于 x 轴 时及 x＝0 时容 易漏掉.
y－2 y 2 2 · ＝－ 1 ，即 x ＋ y －x－ x－ 1 x
2y＝0(x≠0，且 x≠1)．(8 分)
返回
经检验，点 (1,0) ， (0,0) 适合上 式．(10 分) 综上所述，点 P 的轨迹是以
1 ，1为圆心， 以 2
求轨迹方程的常用方法
1、直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直
角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足
的关系式.
2、代入法（相关点法）：若动点P（x,y）随着圆
上的另一动点Q（ x1,y1 ）运动而运动，且x1,y1可
用x,y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，
即得动点P的轨迹方程.
课时小结
得的弦长等于6的圆的一般方程.
[典例] (12 分)已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，求经过 点 A(1,2)的圆的弦的中点 P 的轨迹．
返回
[解题流程]
欲求弦的中点 P 的轨迹，需先求出点 P 的轨迹方程.
画出图形，结合圆的弦的 中点的性质，由 AP⊥OP 建立关系求解．
设动点 P 的坐标x， y―→由 AP⊥OP―→ 讨论 AP 垂直于 x 轴情形―→列 kAP· kOP＝ －1 的关系式―→检验―→得出结论
将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0, 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程 的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
人教A高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程
人教版高中数学必修2
4.1.2圆的一般方程
复习回顾:
1、圆的标准方程是什么？ 2、其中圆心的坐标和半径各是什么？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样 的式子？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样的式
子？
x a 2 y b 2r2
展开、整理
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
22
2
另外：
⑵ 当 D2E24F0时，①式表示点( D , E )
22
⑶ 当 D2E24F0时，①式不表示图形.
圆的一般方程:
x2y2Dx E y F0
(D2E24F0)
其中：圆心为 ( D , E ) ，
22
半径为 1 D2 E2 4F 。
2
1. 求下列各方程表示的圆的圆心坐标 和半径长：
参变量简单化
x2y2Dx E y F0 ①
结论:
● 任何圆都可以（展开）用形如：
x2y2Dx E y F0
二元二次方程表示.
思考:
● 反之是否成立？
即：x2y2Dx E y F0
是否一定表示圆？
思考:
● 形如：x2y2Dx E y F0
的二元二次方程是否一定表示圆？
这个圆的半径长和圆心坐标。
同步练习：
1.求过三点 A (0,0),B (6,0),C (0,8)的圆的方 程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标。
所求圆的方程为：
x2y26x8y0
半径为 r1 D2E24F5 2
圆心为 3 , 4
结论：在使用待定系数法求圆方程时，何 时选择圆标准方程，何时选择圆的一般方 程？
4.1.2 圆的一般方程
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
求动点轨迹的方法：
方法二：代入法（坐标转移法或相关点法）：
即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖 于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后 代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的 轨迹。
求动点的轨迹方程的方法 （1）待定系数法 （2）直接法 （3）代入法
练习1．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点 P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________．
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0 即 (x 2)2 ( y 3)2 25
练习：求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程.
设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
（圆心到圆上一点距离）
，F）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F ），写出标准方程（或一
般方程）
求轨迹方程
例 2： 已知一动点 P 到两个定点 A(0,0)，B(3,0)的距离之比为12， 求动点 P 的轨迹方程，并说明轨迹的图形．
解 设动点P的坐标为(x，y)，
4.1.2圆的一般方程
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构， 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例题分析
例1：下列方程各表示什么图形 ：下列方程各表示什么图形?
原点(0,0) (1) x + y = 0 ________
2 2
(2)x + y − 2x + 4y − 6 = 0____
作
业
P.134练习 ，习题 ，B1。 练习3，习题A1， 。 练习
课堂小结
（4）数学方法：配方法 用配方法求出圆的圆心坐 ）数学方法： 标和半径. 标和半径 （5）数学思想 ：转化思想 ，分类讨论思想 ，数形结 ） 方程的思想(待定系数法 合思想 ,方程的思想 待定系数法 . 方程的思想 待定系数法) (6) 用待定系数法求圆的方程的步骤： 用待定系数法求圆的方程的步骤： 1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式 2)根据条件列出关于 、b、r或D、E、F的方程； 根据条件列出关于a、 、 或 、 、 的方程 的方程； 根据条件列出关于 3)解方程组，求出 、b、r或D、E、F的值，代入 解方程组， 的值， 解方程组 求出a、 、 或 、 、 的值 所设方程，就得要求的方程． 所设方程，就得要求的方程．
复习回顾: 复习回顾:
是什么？ 圆的标准方程 是什么？
2 + ( y − b) 2 = 2 ( x − a) r
其中圆心的坐标和半径各是什么？ 其中圆心的坐标和半径各是什么？
(a
,b
)
r
想一想， 想一想，若把圆的标准方程
2 + ( y − b) 2 = 2 (x − a) r
例题分析
例1：下列方程各表示什么图形 ：下列方程各表示什么图形?
原点(0,0) (1) x + y = 0 ________
2 2
(2)x + y − 2x + 4y − 6 = 0____
作
业
P.134练习 ，习题 ，B1。 练习3，习题A1， 。 练习
课堂小结
（4）数学方法：配方法 用配方法求出圆的圆心坐 ）数学方法： 标和半径. 标和半径 （5）数学思想 ：转化思想 ，分类讨论思想 ，数形结 ） 方程的思想(待定系数法 合思想 ,方程的思想 待定系数法 . 方程的思想 待定系数法) (6) 用待定系数法求圆的方程的步骤： 用待定系数法求圆的方程的步骤： 1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式 2)根据条件列出关于 、b、r或D、E、F的方程； 根据条件列出关于a、 、 或 、 、 的方程 的方程； 根据条件列出关于 3)解方程组，求出 、b、r或D、E、F的值，代入 解方程组， 的值， 解方程组 求出a、 、 或 、 、 的值 所设方程，就得要求的方程． 所设方程，就得要求的方程．
复习回顾: 复习回顾:
是什么？ 圆的标准方程 是什么？
2 + ( y − b) 2 = 2 ( x − a) r
其中圆心的坐标和半径各是什么？ 其中圆心的坐标和半径各是什么？
(a
,b
)
r
想一想， 想一想，若把圆的标准方程
2 + ( y − b) 2 = 2 (x − a) r
4.1.2_圆的一般方程
F 0 D E F 2 0 4 D 2 E F 20 0
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为 x2＋y2－8 x＋6 y＝0． 将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25． 因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的 轨迹方程，
试讨论方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 ①是圆的方程的条件. 将①配方法，得：
D D D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
②
2 2 D E D E 4F 0 时， ②表示以为 （1）当 圆心、 ，
( x 1)2 ( y 2)2 11
2.求下列各圆的半径和圆 心坐标： （ 1 ）x 2 y 2 6 x 0 （2）x 2 y 2 2by 0
( x 3) 2 y 2 9
x 2 ( y b)2 b2
( x a)2 ( y 3a)2 a2
2
而 a ,b不同时为零，所以 a 2 b2 0
方程 x 2 y 2 2ax b2 （ 0 a.b不同时为零） 是表示以（- a ,0)为圆心,以 a 2 b2 为半径 的圆.
思考:圆的标准方程与圆的一般方程各 有什么特点?
（1）形式不同：
①圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
或-2 切, 则b 2 ___
例4. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上， 被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切，求反射光线所在直 线的方程.
4.1.2圆的一般方程
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
解析： (1)方法一
设顶点 C(x， y)， 因为 AC⊥BC，
且 A，B，C 三点不共线，所以 x≠3 且 x≠－1. y y 又 kAC＝ ，kBC＝ ，且 kAC· kBC＝－1， x＋1 x－3 y y 所以 · ＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. x＋1 x－3 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)．
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
待定系数法求圆的方程 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)， C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆 半径． [思路探究] 1．题中三点与圆心、半径无直接联系，应怎样设出 圆的方程？ 2．圆的一般方程中含有几个待定系数，在求圆的方 程时如何求出待定系数？
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
(2)设点 M(x，y)，点 C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是 x0＋3 线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x＝ (x≠3 且 2 y0＋0 x≠1)，y＝ ，于是有 x0＝2x－3，y0＝2y. 2 由(1)知，点 C 在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3 且 x≠－1) 上运动，将 x0，y0 代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x －2)2＋y2＝1. 因此动点 M 的轨迹方程为 (x－2)2＋ y2＝ 1(x≠3 且 x≠1)．
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
D＝－8， 解得E＝6， F＝0.
∴所求圆的方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0， D E ∴－ ＝4，－ ＝－3，圆心为(4，－3)， 2 2 1 2 半径 r＝ D ＋E2－4F＝5. 2
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
解析： (1)方法一
设顶点 C(x， y)， 因为 AC⊥BC，
且 A，B，C 三点不共线，所以 x≠3 且 x≠－1. y y 又 kAC＝ ，kBC＝ ，且 kAC· kBC＝－1， x＋1 x－3 y y 所以 · ＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. x＋1 x－3 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)．
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
待定系数法求圆的方程 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)， C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆 半径． [思路探究] 1．题中三点与圆心、半径无直接联系，应怎样设出 圆的方程？ 2．圆的一般方程中含有几个待定系数，在求圆的方 程时如何求出待定系数？
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
(2)设点 M(x，y)，点 C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是 x0＋3 线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x＝ (x≠3 且 2 y0＋0 x≠1)，y＝ ，于是有 x0＝2x－3，y0＝2y. 2 由(1)知，点 C 在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3 且 x≠－1) 上运动，将 x0，y0 代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x －2)2＋y2＝1. 因此动点 M 的轨迹方程为 (x－2)2＋ y2＝ 1(x≠3 且 x≠1)．
工具
必修2
第四章 圆与方程
栏目导引
D＝－8， 解得E＝6， F＝0.
∴所求圆的方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0， D E ∴－ ＝4，－ ＝－3，圆心为(4，－3)， 2 2 1 2 半径 r＝ D ＋E2－4F＝5. 2
4.1.2 圆的一般方程 课件(35张)
求圆的一般方程
【例 2】 求经过两点 A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的 四个截距之和为 2 的圆的方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0， 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1＋x2＝－D； 令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， 所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1＋y2＝－E；
C.x－y－1＝0
D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1，
即 x－y＋1＝0.]
4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
11 4
[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝ 5－m＝32，∴m＝141.]
1．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的
条件．
标准方程
一般方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
[跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解] (1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同， ∴它不能表示圆． (2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项． ∴它不能表示圆． (3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径的圆．
4.1.2 圆的一般方程
2
2
4
没有实数解，它不表示任何图形.
【提升总结】
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的形式， 反过来，当 D2 + E2 - 4时F，>0方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程：图形特征一目了然，明确地指出了圆 心和半径；
一般方程：突出了代数方程的形式结构. （1）x2和y2系数相同，都不等于0. （2）没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0 (2)x2 y2 2x 4 y 6 0 (3)x2 y2 2ax b2 0
答案：（1）原点(0,0). (2)圆心为（1，- 2），半径为 11的圆.
（2）当 D2 E2 4F 0 时，
方程
(x
D )2 2
(y
E )2 2
D2
E2 4
4F
只有一实数解 x D , y E , 它表示一个点 ( D , E).
2
2
22
（3）当 D2 E2 4F 0 时，
方程 (x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
点，所以 x x0 4 , y y0 3，
2
2
于是有 x0 2x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆(x 1)2 y2上运4 动，
所以点A的坐标满足方程 (x 1)2 y2 4，
即 (x0 1)2 y02 4.
(2)
把（1）代入（2）得(2x 4 1)2 (2y 3)2 4，
（图片来自网络）
4.1.2圆的一般方程
4.1.2圆的一般方程
复习引入
圆的标准方程: (x-a)2 +(y-b)2=r2 (r>0) 将标准方程展开可得:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 可见：任何一个圆的方程都可以化成下面的形式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1) 二元二次方程（1）表示的曲线是否一定为一个圆? 判断下列二元二次方程是否表示一个圆的方程
(1) x2+y2–2x+4y+4=0 (2) x2+y2–2x+4y+5=0 (3) x2+y2–2x+4y+6=0
(x–1)2+(y+2)2=1 (x–1)2+(y+2)2=0
(x–1)2+(y+2)2=–1
新课讲解
已知方程 x2 +y2+Dx+Ey+F=0
D 2 E 2 1 2 ( x ) ( y ) ( D E 2 4F ) 配方，得 2 2 4
y
B(4,3) M(x,y)
o
A
x
四、 练习
1、已知一圆的圆心为点（1，-3），一条直径的两个 端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（ C ）
A． (x-1)2+(y+3)2=40 C． (x-1)2+(y+3)2=10
2
B．(x+1)2+(y-3)2=10 D．(x+1)2方程 x2 +y2+2ax-2ay=0中表示的圆, ① 关于直线 y-x=0对称; ② 关于直线 y+x=0对称; ③ 其圆心在x轴上,且过原点; ④其圆心在y轴上,且过原点. ② 其中叙述正确的是_______
复习引入
圆的标准方程: (x-a)2 +(y-b)2=r2 (r>0) 将标准方程展开可得:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 可见：任何一个圆的方程都可以化成下面的形式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1) 二元二次方程（1）表示的曲线是否一定为一个圆? 判断下列二元二次方程是否表示一个圆的方程
(1) x2+y2–2x+4y+4=0 (2) x2+y2–2x+4y+5=0 (3) x2+y2–2x+4y+6=0
(x–1)2+(y+2)2=1 (x–1)2+(y+2)2=0
(x–1)2+(y+2)2=–1
新课讲解
已知方程 x2 +y2+Dx+Ey+F=0
D 2 E 2 1 2 ( x ) ( y ) ( D E 2 4F ) 配方，得 2 2 4
y
B(4,3) M(x,y)
o
A
x
四、 练习
1、已知一圆的圆心为点（1，-3），一条直径的两个 端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（ C ）
A． (x-1)2+(y+3)2=40 C． (x-1)2+(y+3)2=10
2
B．(x+1)2+(y-3)2=10 D．(x+1)2方程 x2 +y2+2ax-2ay=0中表示的圆, ① 关于直线 y-x=0对称; ② 关于直线 y+x=0对称; ③ 其圆心在x轴上,且过原点; ④其圆心在y轴上,且过原点. ② 其中叙述正确的是_______
4.1.2圆的一般方程
4．1.2 圆的一般方程基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形．方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形D2＋E2－4F＝0 表示一个点D2＋E2－4F>0表示以为圆心，以为半径的圆3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系．已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为 ，半径为 ． ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 典 例 精 析题型一 圆的一般方程的概念►跟踪训练1．求出下列各圆的圆心坐标和半径： (1)x 2＋y 2－6x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2by ＝0(b ≠0)； (3)x 2＋y 2－2ax －23y ＋3a 2＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫－62<a <62. 解析：(1)原方程化为(x －3)2＋y 2＝32，因此该圆的圆心为(3，0)，半径为3.(2)原方程化为x 2＋(y ＋b )2＝b 2(b ≠0)，因此该圆的圆心为(0，－b )，半径为|b |.(3)原方程化为(x －a )2＋(y －3)2＝3－2a 2.因为表示圆，所以3－2a 2>0，从而该圆的圆心为(a ，3)，半径为3－2a2.题型二 求圆的方程题型三求轨迹方程。
4.1.2圆的一般方程
x0 4 x 2
y0 3 y 2
x0 2 x 4 即: y0 2 y 3
因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:
( x0 1)2 y0 2 4
(2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4
3 2 3 2 (x ) ( y ) 1 2 2
x2 y 2 2 x 3 0
练一练
圆的一般方程：
x y
2
2
Dx Ey F 0
2
( D E 4 F 0)
2
任何一个圆的方程都是二元二次方程，反之不成立. 圆的标准方程与一般方程各有什么优点？ 标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方 程理论的应用
复习
1.下列方程各表示什么图形?
例题
1.已知圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的圆心坐标为 (-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于（ ）
A.4,-6,3
B.-4,6,3
C.-4,6,-3
D.4,-6,-3
2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值
范围是(
)
1 A.m 2
B.m 0
1 C.m 2
1 D.m 2
练一练
3.已知点M与两个定点O（0,0），A（3，0）的
1 距离的比为 ，求点M的轨迹方程. 2
解:设M的坐标为(x, y).则
MO x 2 y 2
MA
MO MA
2 x 3 y 2
1 2 x 3 y 2 2
x2 y 2
整理得M点的轨迹方程为：
4.1.2圆的一般方程
4.1.2 圆的一般方程
复习引入
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆心C(a,b),半径r
把（x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
由于a, b, r均为常数
小结
x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
D E D2 + E 2 - 4F x+ + y+ = 2 2 4
2
2
（1）当
D2 + E 2 - 4F 0
r=
时，表示圆，
D2 + E 2 - 4F 2
D E 圆心 - , - 2 2
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组 解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
写出圆的标准方程
作业
课本P134 习题 A组 4（用两种方法）
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
解法2：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
2 2
x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E - 4F 0)
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 + 12 + 5D + E + F = 0 2 2 7 + ( 1) + 7D - E + F = 0 22 + 82 + 2 D + 8E + F = 0
复习引入
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆心C(a,b),半径r
把（x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
由于a, b, r均为常数
小结
x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
D E D2 + E 2 - 4F x+ + y+ = 2 2 4
2
2
（1）当
D2 + E 2 - 4F 0
r=
时，表示圆，
D2 + E 2 - 4F 2
D E 圆心 - , - 2 2
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组 解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
写出圆的标准方程
作业
课本P134 习题 A组 4（用两种方法）
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
解法2：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
2 2
x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E - 4F 0)
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 + 12 + 5D + E + F = 0 2 2 7 + ( 1) + 7D - E + F = 0 22 + 82 + 2 D + 8E + F = 0
4.1.2圆的一般方程
等腰三角形的顶点A的坐标是 例4. 等腰三角形的顶点 的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 ，底边一个端点 的坐标是 (3, 5)，求另一端点 的轨迹方程， 的轨迹方程， ，求另一端点C的轨迹方程 并说明它是什么图形. 并说明它是什么图形
长为2a的线段 的线段AB的两个端点 例5. 长为 的线段 的两个端点 A和B分别在 轴和y轴上滑动，求 和 分别在x轴和 轴上滑动， 分别在 轴和 轴上滑动 线段AB的中点的轨迹方程 线段 的中点的轨迹方程. 的中点的轨迹方程
4.1.2 圆的 一般方程
复习引入
圆的标准方程是什么？ 圆的标准方程是什么？ (x－a)2＋(y－b)2＝r2. － －
讲授新课
1.对方程 2+y2-2x+4y+1=0配方，化为 对方程x 配方， 对方程 配方 圆的标准方程形式，则圆心、 圆的标准方程形式，则圆心、半径 分别是？ 分别是？ 2.对方程 2+y2-2x-4y+6=0配方，能化 对方程x 配方， 对方程 配方 为圆的标准方程形式吗？ 为圆的标准方程形式吗？ 探究：方程 探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么 在什么 条件下表示圆？ 条件下表示圆？
课后作业
P124 B组 Ex 1、2、3 组 、 、
结 论： 当D2＋E2－4F＞0时， ＞ 时 方程x 表示一个圆， 方程 2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆， ＋ ＋ ＝ 表示一个圆 这个方程叫做圆的一般方程． 这个方程叫做圆的一般方程． 圆的一般方程
特点: 特点 (1)x2与y2的系数相等且不为 的系数相等且不为0; (2)没有 这样的二次项 没有xy这样的二次项 没有 这样的二次项. 4F＞ (3) D2+E2－4F＞0
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(2) 的圆心坐标为,半径长为.
4． 是圆 内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）
A. B. C. D.
5．求下列各方程表示的圆的圆心和半径长：
① ；② ；
③
6．已知圆C： ，过坐标原点 作弦 ，求 中点的轨迹方程。
（2）方程 表示什么图形？.
（3）方程 又表示什么图形?.
2.将 展开得：.
3.方程 在什么条件下表示圆?
二、新课导学：
1.在方程 中，记 ，则
当 时，方程表示；
当 时，方程表示；
当 时，方程；
2.方程 （ ）表示圆，则该圆的圆心坐标为
；半径为；该方程叫做圆的一般方程.
3、典型例题
例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,求出圆的圆心及半径.
(1) (2) 4x2+4y2-4x+圆的方程，并求圆心坐标和半径．
四、反馈练习
1．方程 表示圆的条件是（）
A. B. C. D.
2．判断下列方程表示什么图形：
（1） 表示；
（2） 表示；
（3） 表示.
3．求下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长.
(1) 的圆心坐标为，半径长为.
课题
4.1.2圆的一般方程
课时
2
学习目标
（1）掌握圆的一般方程的特点；能判断一个缺 项的二元二次方程是否是圆的方程；
（2）能将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能写出圆心的坐标和半径；
重点难点
熟练掌握求圆的方程的方法；
初步学会求一些简单的轨迹方程的方法.
一、课前准备：
预习教材 的内容.
1.（1）方程 表示什么图形?.
4． 是圆 内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）
A. B. C. D.
5．求下列各方程表示的圆的圆心和半径长：
① ；② ；
③
6．已知圆C： ，过坐标原点 作弦 ，求 中点的轨迹方程。
（2）方程 表示什么图形？.
（3）方程 又表示什么图形?.
2.将 展开得：.
3.方程 在什么条件下表示圆?
二、新课导学：
1.在方程 中，记 ，则
当 时，方程表示；
当 时，方程表示；
当 时，方程；
2.方程 （ ）表示圆，则该圆的圆心坐标为
；半径为；该方程叫做圆的一般方程.
3、典型例题
例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,求出圆的圆心及半径.
(1) (2) 4x2+4y2-4x+圆的方程，并求圆心坐标和半径．
四、反馈练习
1．方程 表示圆的条件是（）
A. B. C. D.
2．判断下列方程表示什么图形：
（1） 表示；
（2） 表示；
（3） 表示.
3．求下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长.
(1) 的圆心坐标为，半径长为.
课题
4.1.2圆的一般方程
课时
2
学习目标
（1）掌握圆的一般方程的特点；能判断一个缺 项的二元二次方程是否是圆的方程；
（2）能将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能写出圆心的坐标和半径；
重点难点
熟练掌握求圆的方程的方法；
初步学会求一些简单的轨迹方程的方法.
一、课前准备：
预习教材 的内容.
1.（1）方程 表示什么图形?.