离散数学演讲

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离散数学图论基础知识文稿演示

图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法的研究在近代也成为计算机科学和数学中发展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并且推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。这项工作使欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

学习《离散数学》心得体会模板（三篇）

学习《离散数学》心得体会模板学习《离散数学》的过程中，我深深感受到了它的重要性和广泛应用的意义。

离散数学作为一门重要的数学基础课程，不仅能够培养我们的逻辑思维能力，还可以为我们理解和解决实际问题提供很多方法和工具。

在学习过程中，我积累了不少心得体会，今天我将分享给大家。

首先，我认为《离散数学》这门课程非常重要的一点就是培养了我的逻辑思维能力。

在学习过程中，我们需要学习和掌握数理逻辑、集合论、函数与关系、图论等一系列的基本概念和方法。

这些内容都是以形式化的推理和证明为基础的，要求我们对问题进行严密的思考和分析。

通过解题和习题训练，我逐渐掌握了一些基本的证明技巧和思考方法，提高了我的逻辑思维和分析能力。

其次，学习《离散数学》让我深刻理解了数学与现实世界的联系。

离散数学的理论和方法广泛应用于计算机科学、信息科学、通信工程、物理学等领域。

学习离散数学的过程，不仅让我学到了一些基本的数学知识，还让我了解到这些知识在实际应用中的重要性和作用。

比如在计算机网络中，我们需要用到图论的知识来解决网络路由问题；在密码学中，我们需要用到数论的知识来解决加密算法的设计；在数据库中，我们需要用到集合论和关系代数的知识来进行数据查询和操作。

通过学习《离散数学》，我对数学与实际问题的联系有了更深的认识。

另外，学习《离散数学》还让我锻炼了一种系统性的学习方法。

离散数学的内容非常广泛而且抽象，需要我们建立起一个完整的知识体系。

在学习过程中，我发现只有把每个概念、定理等都串起来，形成一个完整的知识链条，才能更好地理解和掌握。

因此，我养成了先学习基本概念和定理，再进行习题训练和实战演练的学习方法。

这种方法让我更加系统地掌握了离散数学的核心内容，提高了我的学习效率。

除此之外，学习《离散数学》还对我培养了一种严谨的学术态度和方法。

离散数学是一门严谨而抽象的学科，要求我们在处理问题时要严肃认真，不能有丝毫马虎。

在解题和习题训练中，我不断反思自己的解题思路和方法，发现解题中的错误和不足之处，不断调整和改进，直至找到正确的答案。

《离散数学》,屈婉玲、耿素云-KefeiChen陈克非

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离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
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教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂编,清华大学出版社, 2013年第三版；
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包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
离散数学
Discrete Mathematics
陈克非杭州师范大学理学院 kfchen@
https:///s/1mXVWVKfYtUnjaiZUhmNulQ
为什么要离散数学
不离散化就无法跟上时代步伐
• 工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化 • 信息时代离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域
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四色问题
计算机的作用不仅仅是计算，还有逻辑推演、决策、AI
• 离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科 • 离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在 1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯· 格思里提出的

《离散数学》讲义(胡盛)

小结
合式公式（命题公式）及其判定自然语言的翻译（符号化形式）
列出原子命题，并符号化不同的原子命题使用不同的符号，符号使用最少选择合适的联结词，根据命题表达的真实含义，而不拘泥于形式
离散数学
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1-3 命题公式与翻译
P12(3)(5)ad(7)
离散数学
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第一章数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
(PQ) (PQ) T F F T
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1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真，我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
定义1-5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为T，则称该命题公式为重言式或永真公式。例如：表1-4.4
明天下雨
2. 我们去看电影
房间里有十张凳子
二元运算
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1-2 联结词
析取(),其定义可用如下真值表表示
P T T F Q T F T PQ T T T 今天我在家看电视或去剧场看戏
她可能是100米或400米赛跑的冠军
他昨天作了二十或三十道习题可兼或
F
F
F
排斥或
二元运算
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它可以是有意义的一般论证，也可以是科学理论中的数学证明或结论。建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。这些规则，通常称为推理规则。
离散数学
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离散数学讲稿

• 谓词逻辑：一、基本概念为什么研究谓词逻辑 . 例: 1、李华是大学生 H(l) 2、王芳是大学生 H(w) 3、松树是植物谓词：描述个体性质的部分. 个体：被描述的对象 . 命题逻辑最小单位是原子命题 (大写字母表谓词)… 谓词字母谓词逻辑可以分为谓词和个体 (大写字母表个体)…客体谓词：①命题的逻辑形式 H(w) H—谓词 w—客体 ②复合命题的谓词形式 “a是P且b是Q” ——P(a)∧Q(b) “若a是P则b是Q“——P(a)Q(b) “a是P当且仅当b为Q”——P(a)Q(b)
5、间接证明法：（反证法）相容（一致性）：若H1、H2 …… Hm皆为前提且存在一组真值指派使得H1、H2 …… Hm皆为T，则称H1、H2 …… Hm为相容的或一致的，否则不相容的或非一致. 定理 : 设前提集合 {H1、H2 …… Hm}是相容并且设C是一个公式, 若前提集合{H1、H2 …… Hm、 C }是不相容的,即它蕴含着一个永假式 , 则可从前提集合{H1、H2 …… Hm}推出来. 证明：≧ H1∧H2∧……∧Hm∧ C R∧ R ≨ H1∧H2∧……∧Hm∧ C为永假式又≧前提集合{H1、H2 …… Hm}是相容 . ≨使得H1∧H2∧……∧Hm为T的那些真值指派 , 使得 C为F , 则C为T, 因此 , H1∧H2∧……∧Hm C
例: Q (PQ) 证明: Q (PQ) Q ( P∨Q) Q∨ P∨Q T ≨ Q P Q 推理的方法证明:前提蕴含结论的正确性. 推理的规则 : Ⅰ、前提引用规则：P在任何推理步骤上皆可引用前提. Ⅱ、结论引用规则：T在任何推理步骤所得到结论在后续推理步骤中皆可引用. Ⅲ、臵换规则：E1~E24 Ⅳ、代入规则； Ⅴ、推理的定理(CP)：若H1∧H2∧……∧Hm∧Q R 则有 H1∧H2∧……∧Hm QR Ⅵ、基本蕴含式可使用：I1 ~ I14 例（略）

离散数学讲义(第7章)

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7-1 图的基本概念（续）
术语孤立点(isolated vertex) ：图中不与任何结点相邻接的结点。零图：仅由孤立点组成的图。（E=, Nn）平凡图：仅由一个孤立点构成的图。（1 阶零图, N1）环（自回路loop）：关联于同一结点的一条边。（环的方向无意义）。
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7-1 图的基本概念（续）
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7-1 图的基本概念（续）
有向图
D1
D2
D3
D1D2, D2D3
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7-1 图的基本概念（续）
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7-2 路与回路
在无向图(或有向图)的研究中，常常考虑从一个结点出发，沿着一些边(或弧) 连续移动而达到另一个指定结点，这种依次由结点和边(或弧)组成的序列，便形成了链(或路)的概念。
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7-1 图的基本概念（续）
图的同构
定义：设G=〈V,E 〉和G’=〈V’,E’ 〉是两个图，若存在一双射函数： g： V V’，当且仅当 e’＝ {g(vi), g(vj)}是G’中的一条边，才能使e＝{vi, vj} 是 G 中的一条边，则称 G’ 和 G 同构。记作 G1G2

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图论（续）
哥尼斯堡七桥问题(Seven bridges of Königsberg problem): River Pregel, Kaliningrad, Russia
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A 与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题………… 这个问题无解

《离散数学讲义》课件

离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的数据分析方法，用于推断总体特征和比较不同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研究，最初是为了解决当时的一些实际问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分支，它不涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

数学演讲稿[五篇]

数学演讲稿[五篇]第一篇：数学演讲稿《数学可以这样学》是一本以学生的角度去写的书。

让学习与学生没有了距离。

作为一名数学老师，我对于数学学习方法多了一份额外的关注。

也在其中找到一些学习数学行之有效的方法。

学习要循序渐进的原则，当然这是大家耳熟能详的一句话。

学习过程的思想往往急于求成，而控制自己稳步前进的好方法是边读边做笔记，一动手就会发现许多问题，动脑加动手，实是精读的好方法。

对于这一点，深有同感。

问题是数学的心脏，发现问题是认识上的进步，问题获解是知识水平的提高，数学的学习就是生疑、释疑的过程。

数学教师不但要为学生解疑，还应指导学生如何生疑、用疑。

学生学习中有了疑问当然不会轻易放过，其中很多问题可能不会立即获释，《数学可以这样学》读后感需经过反复的甚至长时间的思考，有还需与同学讨论，向老师请教或查阅资料。

这时，老师就应及时指导学生准备一本记录本随身携带，及时记录。

数学的有些内容表达较为抽象，理解困难；有些方法分类复杂，变化多端难以把握；有些数学题一题多解或多题一解显得妙趣无穷。

对于这些突出的数学难点，教师可指导学生准备一本专门的笔记本见难就记，勤作小结归纳，力求使他们对某类问题的认识不断充实从而得到完全的解决。

防止学生做题失误，这本身的确也有自己的见地。

防审题错误，防手忙脚乱，防草率收兵，防不求甚解都是老师经常在嘴上叮嘱的最多的。

但在检查题目时，我以前就是瞻前顾后的方法检查，后头检查都是验算。

这里可以看到，其实学生的学习方法有很多种，老师的干涉要适可而止，适合自己的方法，才是好方法。

确实不能一套死方法。

的确，现在的学习是复习的时间比学习的时间更长，复习才是我们行为的主体。

如何有效复习？第一，要重视基础知识、基本技能、基本方法的巩固和提高。

第二，要重视对学生分析问题和解决问题的能力的培养。

课堂教学要引导学生深层次地参与教学过程，让学生在观察、实验的活动中，通过比较、分析、归纳、类比、抽象等思维过程，完成知识的猜想和证明，使学生既加深对知识的理解，又学习到创造的策略和方法，从而激起求知欲望和创新的热情。

数学演讲稿（通用13篇）

数学演讲稿（通用13篇）数学篇1尊敬的老师们，亲爱的同学们：大家好！数学最关键的地方在于理解。

不同于语文的死记硬背和英语的活学活用，数学更注重在每一个公式的理解和创新。

其实一个公式表面上看起来简单，但是真正应用到题目中，真正应用到生活中却又不那么简单了。

我在数学学习中有时间进行一个公示，便觉得自己掌握的全部其实并不然，仅仅掌握了公式及其定力，只是掌握了皮毛，而要多应用，才能熟能生巧，熟能生精！数学有一个和其他学习最重要的地方，就是一定要多加练习，有句话讲——一日不练手生，一日不练口生。

只有多加练习，才能将数学知识应用的更加纯熟更加熟练，在考试中才能拥有更快的解题速度，更高的准确率，从而达到更高的分数。

而数学做题并不是搞题海战，盲目的做题，而是有的放矢，做不会的题也做难以理解的题，做常考的题，做有代表性的典型题目！学习数学千万不能仅仅是追求难题，而应该把更多的精力放在容易题和简单题上，有句话说得好：“大道至简，最难的往往是最简单的。

”有个词语叫做惯性思维，人们做简单题做多了，往往会把思维定格在那里，殊不知道已变形，便把这道题做错了。

所以一定要多加简单练习，而且还要认真仔细的读读题，多读题才能多发现，多发现，才能多有真正的感悟和思考。

只有这样才能应对考试中的风雨而巍然不动，以不变应万变，最终取得理想的分数。

其实学习数学知道是一个久而久之的过程，并不是一朝就可像炼成的，数学知识在生活中应用越来越广泛，也是只有学好了数学，才能在生活中一展宏图，只有学好了数学，才能更接近理想和目标。

数学演讲稿篇2尊敬的老师们，亲爱的同学们：大家好！数学之于我便如苦茶之于我，苦涩地品尝，长久地回味。

回想一加一等于几的时光，数学是一个新名词，我与他素不相识。

我追着老师一个劲的问为什么时，“哪有那么多为什么，是这样就是这样。

”仿佛被架上了一把枷锁，我的好奇与想象顿时破灭。

我对数学也只能是”明明如月，何时可掇。

“我与数学初次见面，他便给我当头一棒。

离散数学(第四版)讲义2

第9章树[离散数学离散数学(第四版)清华出版社]第二章一阶逻辑（Predicate Logic）1、一阶逻辑基本概念2、一阶逻辑公式及解释3、一阶逻辑等值式1、一阶逻辑基本概念前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内容，其基本组成单位是原子命题。

一般地，原子命题作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两部分组成。

例如，电子商务是计算机技术的一个应用系统，这里“电子商务”是主语，而“是……”是谓语。

当主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题：电子政务是计算机技术的一个应用系统。

由此可知，主语是独立存在的个体，而谓语用来描述该个体的性质或个体间的关系，这里我们称其为谓词。

用P表示谓词“是……”。

则P（电子商务）或P（电子政务）分别等值于前述两个命题的表达。

将个体用变量（称为个体变量）x推广，则P(x)表示：x是计算机技术的一个新的应用系统。

这时该语句就不是一个命题，而是一个命题函数。

DEFINITION 1.一个谓词P连同相关的n(n≥0)个个体变量组成的表达式称为n元谓词(n-predicate)，记P(x1, x2, …, x n)，其中n是该表达式中不同个体变量的数目。

EXAMPLE 1设P(x)表示语句“x > 3.”，则P(4)和P(2)的真值是多少?P(4) = 1P(2) = 0EXAMPLE 2设Q(x, y)表示语句“x = y + 3.”，则Q(1, 2) 和Q(3, 0)的真值是多少?Q(1,2) = 0Q(3,0) = 1EXAMPLE 3设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?R(1, 2, 3)= 1R(0, 0, 1)= 0当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。

例如，P(x,y,z)表示x位于y与z之间，是一个三元谓词。

当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时，得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值为1。

离散数学讲义ppt课件

课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1）《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂清华大学出版社
（2）《离散数学》焦占亚主编电子工业出版社 2005年1月
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课程概况
选修课/必修课：选修周学时：3（学时）上课周：1－16周总学时：48（学时）
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课程内容及学时安排
第一篇数理逻辑（14学时）
第一章命题逻辑（8）第二章谓词逻辑（6）
第二篇集合论（12学时）
第三章集合（4）第四章二元关系与函数（8）
第四篇图论（14学时）
第七章图论（8）第八章一些特殊图（4）第九章树（2）
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课程考核
第四篇代数系统（8学时）
第5、6章图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的哥哥。
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NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
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《离散数学》第二章一阶逻辑讲稿

2.1 一阶逻辑基本概念一、本节主要内容基本概念——个体词、谓词、量词命题符号化二、教学内容个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体，它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念. 表示主语的词（名词或代词）：苏格拉底，2，黑板，自然数，思想，定理.个体常项：具体的或特定的个体词，用a, b, c表示个体变项：抽象的或泛指的个体词，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成基本概念谓词: 表示个体词的性质或相互之间关系的词谓词常项：表示具体性质或关系的谓词F: …是人，F(a)：a是人G：…是自然数，F(2)：2是自然数谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词F: …具有性质F，F(x)：x具有性质F元数：谓词中所包含的个体词数一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n 2): 表示个体词之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x比y高2厘米注意：多元谓词中，个体变项的顺序不能随意改动个体变项和谓词的联合体，F(x),L(x,y)，也称为谓词n元谓词L(x1, x2,…, xn)可看作一个函数，定义域为个体变项的个体域，值域为{0,1}n元谓词L(x1, x2,…, xn)的真值不确定，不是命题, 如：L(x,y)如果L(x,y)表示“x小于y”，谓词部分已经是常项，但还不是命题.考虑L(2,3)和L(3,2)L(x1, x2,…, xn)是命题：只有当L是常项，x1, x2,…, xn是个体常项0元谓词: 不含个体变项的谓词, 如L(a, b)如L的意义明确，则0元谓词都是命题一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p: 墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例1(续)(2) 是无理数仅当是有理数在命题逻辑中, 设p：是无理数，q：是有理数.符号化为p → q, 这是假命题在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数符号化为(3) 如果2>3，则3<4在命题逻辑中, 设p：2>3，q：3<4.符号化为p→q, 这是真命题在一阶逻辑中, 设F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y,符号化为F(2,3)→G(3,4)（4）如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵亮高.在命题逻辑中, 设p：张明比李民高，q：李民比赵亮高, r:张明比赵亮高.符号化为：p ∧ q → r在一阶逻辑中, 设F(x,y)：x比y高a:张明，b:李民，c:赵亮符号化为：F(a, b) ∧ F(b, c) → F(a, c)基本概念(续)量词: 表示数量的词例如（1）所有的人都要死的；（2）有的人活一百岁以上；全称量词∀: 表示任意的, 所有的, 一切的等∀x 表示对个体域中所有的个体，∀x F(x)表示个体域中所有的个体都有性质F.∀x F(x)，其中F(x)：x是要死的，个体域为人类集合存在量词∃: 表示存在着, 有的, 有一个，至少有一个等∃x 表示存在个体域中的个体，∃x F(x)表示存在着个体域中的个体具有有性质F ∃x G(x)，其中G (x)：x活一百岁以上，个体域为人类集合如果个体域D为全总个体域，则∀x F(x)，其中F(x)：x是要死的，表示宇宙间的一切事物都要死的.∃x G(x)，其中G (x)：x活一百岁以上，表示宇宙间的一切事物中存在活一百岁以上的. 特性谓词：M(x): x是人符号化为：（1）∀x （M(x) → F(x)）（2）∃x （M(x) ∧ G(x)）考虑：（1）∀x （M(x) ∧ F(x)）（2）∃x （M(x) → G(x)）一阶逻辑中命题符号化(续)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为∀x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为∃x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) ∀x (F(x)→G(x))(2) ∃ x (F(x)∧G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.一阶逻辑中命题符号化(续)例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y))) 或∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>y∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))或∃x∃y(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) 两者等值一阶逻辑中命题符号化(续)几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不要随便颠倒例：对任意x，存在着y，使得x+y=5. 个体域为实数集.符号化为：∀x ∃y H（x,y), 其中H（x,y):x+y=5考虑∃y ∀x H（x,y) 否定式的使用例：在一界逻辑中命题符号化①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快①⌝∃x( F(x)∧⌝G(x))其中F(x)：x是人，G(x)：x呼吸或者：∀x( F(x) →G(x))②⌝∀x( F(x) →G(x))其中F(x)：x是人，G(x)：x喜欢吃糖或者：∃x( F(x)∧⌝G(x))③⌝∀x( F(x) →∀y (G(y) →H(x,y)) )或者：∃x( F(x)∧∃y (G(y) ∧⌝ H(x,y)) )例：在一界逻辑中命题符号化①一切人都不一样高②每个自然数都有后继数③有的自然数无先驱数①∀x ∀y( F(x) ∧F(y) ∧ G(x,y) →⌝H(x,y))其中F(x)：x是人，G(x,y) :x和y不是同一个人，H(x,y)：x和y一样高或者：⌝∃x ∃y( F(x) ∧F(y) ∧ G(x,y) ∧H(x,y))②∀x( F(x) →∃y(G(y) ∧ H(x,y))其中F(x)：x是自然数，H(x,y) ：y是x的后继数或者：∀x( F(x) →L(x)) ，L(x) ：x有后继数③∃x( F(x) ∧∀y(G(y) →⌝ H(x,y))或者：∃x( F(x)∧⌝L(x) ) ，L(x) ：x有先驱数2.2 一阶逻辑公式及解释一、本节主要内容字母表合式公式(简称公式)个体变项的自由出现和约束出现解释永真式（逻辑有效式）矛盾式（永假式）可满足式二、教学内容字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ≥1(2) 个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ≥1(3) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ≥1(4) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ≥1(5) 量词符号：∀, ∃(6) 联结词符号：⌝, ∧, ∨, →, ↔(7) 括号与逗号：( , ), ，项定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若ϕ(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意的n个项，则ϕ(t1, t2, …, tn) 是项.(3) 所有的项都是有限次使用(1), (2) 得到的.例：a，b，x，y，f(x,y)=x+y，g(x,y)=x-y都是项f(a, g(x,y))=a+ (x-y)是项其实, 个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项原子公式定义设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式.其实，原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式合式公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(⌝A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B),(A↔B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则∀xA, ∃xA也是合式公式(5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串才是合式公式(谓词公式).个体变项的自由出现与约束出现定义在公式∀xA和∃xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.例如, 在公式∀x(F(x,y)→G(x,z)) 中,A=(F(x,y)→G(x,z))为∀x的辖域，x为指导变项, A中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现.闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.例1：∀x(F(x)→∃y H(x,y) )∃y H(x,y)中，y为指导变项，∃的辖域为H(x,y)，其中y为约束出现的，x为自由出现的. 在整个合式公式中，x为指导变项，∀的辖域为(F(x)→∃y H(x,y) )，其中x与y都是约束出现的，x约束出现2次，y约束出现1次.例2：∀x ∀y(R(x,y) ∨L(y,z) ) ∧∃x H(x,y)∀x ∀y(R(x,y) ∨L(y,z) )中，x,y都是指导变项，辖域为(R(x,y) ∨L(y,z) )，x与y都是约束出现的，z为自由出现的.∃x H(x,y)中，x为指导变项，∃的辖域为H(x,y)，其中x为约束出现的，y为自由出现的在此公式中，x为约束出现的，y为约束出现的，又为自由出现的. z为自由出现的.换名规则将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未出现过的个体变项符号，公式中的其余部分不变。

离散数学与现代科学技术的演讲稿

离散数学与现代科学技术的演讲稿尊敬的评委、亲爱的同学们：大家好！我今天非常荣幸能够站在这里，与大家分享有关离散数学与现代科学技术的演讲。

离散数学作为一门独特的数学分支，对现代科学技术领域的发展具有重要意义。

本次演讲将从离散数学的定义、应用领域和对科技发展的影响三个方面进行探讨。

首先，我想简单介绍一下离散数学的定义。

离散数学是关于离散对象和离散结构的数学理论，它主要研究由有限或可枚举元素组成的离散结构及其性质、关系和运算规则。

与连续数学相比，离散数学更加注重整数、集合、图论、代数结构和逻辑等离散实体。

离散数学以其严谨的证明方法和精确的逻辑推理，在现代科学技术领域扮演着重要的角色。

接下来，让我们来看看离散数学在现代科学技术中的广泛应用。

首先是密码学领域。

在当今信息安全的重要性日益突出的背景下，密码学以其卓越的加密和解密技术在数据保护方面发挥着重要作用。

离散数学中的模运算、素数和公钥密码算法等概念，为密码学的理论基础提供了坚实的支撑。

其次是计算机科学领域。

离散数学为算法设计、图论、逻辑推理、数据库管理等问题提供了有效的工具和方法，推动了计算机科学的发展。

再次是人工智能领域。

离散数学中的命题逻辑、谓词逻辑和图论等理论，为人工智能的推理、规划和优化等问题提供了理论基础和方法支持。

最后，我想强调离散数学对科技发展的深远影响。

离散数学的理论与方法，改变了人们对问题解决的思维方式。

它注重逻辑推理和抽象思维，培养了人们的分析问题和解决问题的能力。

这些能力对于现代科学技术的发展至关重要。

离散数学的严谨性和精确性也催生了一些基础设施的建设和技术的突破。

例如，离散数学的图论理论为网络拓扑结构的优化提供了理论指导，推动了互联网的迅猛发展。

离散数学的逻辑思维方式也直接影响了计算机编程语言的设计和发展，提高了编程语言的表达能力和代码的可靠性。

综上所述，离散数学在现代科学技术领域具有重要意义。

它不仅提供了数学工具和方法，也培养了人们的逻辑思维和问题解决能力。

离散数学真话

离散数学真话
离散数学是一门重要的数学学科，它主要研究离散对象及其性质，如图论、集合论、逻辑、代数等。

离散数学在计算机科学、信息科学、电子工程等领域有着广泛的应用，是现代科技发展的重要基础。

但是，很多人对离散数学持有着错误的观念，认为它难懂、抽象、枯燥无味。

这种观念是不正确的。

事实上，离散数学是一门有趣、实用、有挑战性的学科。

只要我们学习方法得当，就能够轻松掌握它。

首先，我们要有正确的心态。

离散数学并不是一门神秘的学科，它的概念和方法都是可以理解的。

我们要摒弃对它的畏惧心理，勇于探索它的奥秘。

其次，我们要注重实践，多做题、多思考。

离散数学是一门需要练习的学科，只有通过不断地练习和思考，才能真正掌握它的本质。

最后，我们要有兴趣。

离散数学是一门有趣的学科，它有很多有趣的问题和应用。

我们可以选择自己感兴趣的问题进行深入研究，这样能够让我们更加投入、充满激情，更好地理解和掌握离散数学。

总之，离散数学是一门充满魅力的学科，只要我们有正确的心态、注重实践、保持兴趣，就能够轻松掌握它。

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离散数学讲义第2章

例2：H(x, y)：“x比y长得高”，l：“李四”，c：“张三则” H(l, c)：“李四不比张三长得高”； H(l, c) H(c, l)：“李四不比张三长得高且张三不比李四长得高”，即“李四与张三一样高”。
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2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
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2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释：（1）“x小于y”，则P(x, y)永真。（2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。（3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或

离散数学串讲-04.3.3

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离散数学
掌握等价关系的概念，并掌握覆盖、划分、等价类、掌握等价关系的概念，并掌握覆盖、划分、等价类、商集的定义和基本性质，弄清楚等价关系与划分之间的关系。义和基本性质，弄清楚等价关系与划分之间的关系。牢记等价关系的分类作用。分类作用系的分类作用。掌握半序、半序集、全序、良序等概念，掌握半序、半序集、全序、良序等概念，以及半序集的可比较极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最大下界、性、极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最大下界、最小上界、直接后继等概念。牢记半序关系的非线性特性。非线性特性最小上界、直接后继等概念。牢记半序关系的非线性特性。能画出有限半序集的哈斯图,并根据图讨论半序集的某些性质。能画出有限半序集的哈斯图,并根据图讨论半序集的某些性质。
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离散数学
第三章函数重点要求
要求掌握函数的基本概念,弄清单射、满射、双射之间的区别。要求掌握函数的基本概念弄清单射、满射、双射之间的区别。弄清单射给定一个函数,要能够确定它是否是单射满射、双射等。要能够确定它是否是单射、给定一个函数要能够确定它是否是单射、满射、双射等。掌握反函数和复合函数的定义和性质,并弄清楚它们存在的条件并弄清楚它们存在的条件。掌握反函数和复合函数的定义和性质并弄清楚它们存在的条件。理解元素及集合的象及原象的定义及相关的性质。理解元素及集合的象及原象的定义及相关的性质。给定一个函能够确定一个点的象,一个集合的象能够确定一个点的原象,一数,能够确定一个点的象一个集合的象能够确定一个点的原象一能够确定一个点的象一个集合的象,能够确定一个点的原象个集合的原象,能够确定两个函数的复合函数等能够确定两个函数的复合函数等。个集合的原象能够确定两个函数的复合函数等。掌握集合的势、可数集、不可数集等概念。掌握集合的势、可数集、不可数集等概念。

《离散数学》第九章树讲稿

《离散数学》第九章树讲稿9.1 无向树及生成树一、本节主要内容无向树、森林树枝、弦、余树生成树基本回路与基本回路系统基本割集与基本割集系统最小生成树无向树二、教学内容无向树(树): 连通而无回路的无向图，用T表示.平凡树: 平凡图森林: 每个连通分支都是树的非连通的无向图树叶: 树中度数为1的顶点分支点: 树中度数≥2的顶点右图为一棵12阶树.声明:本章中所讨论的回路均指简单回路或初级回路无向树的性质定理9.1 设G=是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：（1）G是树(连通无回路);（2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径;（3）G中无回路且m=n-1;（4）G是连通的且m=n-1;（5）G是连通的且G中任何边均为桥;（6）G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.无向树的性质(续)例题例1 已知无向树T中, 有1个3度顶点, 2个2度顶点, 其余顶点全是树叶. 试求树叶数, 并画出满足要求的非同构的无向树.解用树的性质m=n-1和握手定理.设有x片树叶，于是n=1+2+x=3+x,2m=2(n-1)=2?(2+x)=1?3+2?2+x解出x=3，故T有3片树叶.T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3有2棵非同构的无向树, 如图所示例题例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要求的所有非同构的无向树.解设T的阶数为n, 则边数为n-1, 4度顶点的个数为n-7. 由握手定理得2m=2(n-1)=5?1+2?1+3?1+4(n-7)解出n=8, 4度顶点为1个.T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4有3棵非同构的无向树生成树生成树的存在性定理任何无向连通图都有生成树.证用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树.推论1 设n阶无向连通图有m条边, 则m≥n-1.推论2 设n阶无向连通图有m条边, 则它的生成树的余树有m-n+1条边.基本回路与基本回路系统定义设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成树，设e1', e2', … , e'm-n+1为T的弦. 设Cr为T添加弦er' 产生的G中惟一的圈(由er'和树枝组成), 称Cr为对应弦er'的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, m-n+1. 称{C1,C2, …, Cm-n+1}为对应T的基本回路系统.求基本回路的算法: 设弦e=(u,v), 先求T中u到v的路径Γuv, 再并上弦e, 即得对应e的基本回路.基本割集与基本割集系统定义设T是n阶连通图G的一棵生成树, e1', e2', …,e'n-1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei', 其他边都是弦的割集, 称Si为对应生成树T由树枝ei'生成的基本割集, i=1, 2, …, n-1. 称{S1, S2, …, Sn-1}为对应T的基本割集系统.求基本割集的算法: 设e '为生成树T 的树枝, T -e '由两棵子树T1与T2组成, 令Se '={e | e ∈E(G)且e 的两个端点分别属于T1与T2}则Se '为e '对应的基本割集.实例例图中红边为一棵生成树,求对应它的基本回路系统与基本割集系统解弦e,f,g 对应的基本回路分别为Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d,C 基={Ce, Cf, Cg}.树枝a,b,c,d 对应的基本割集分别为Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f g}, Sd={d, g},S 基={Sa, Sb, Sc, Sd}.无向图与最小生成树对无向图或有向图的每一条边e 附加一个实数w(e), 称作边e 的权. 图连同附加在边上的权称作带权图, 记作G=.设G '是G 的子图, G '所有边的权的和称作G '的权, 记作W(G ').最小生成树: 带权图权最小的生成树求最小生成树的算法——避圈法 (Kruskal)设G=, 将非环边按权从小到大排序：e1, e2, …, em.(1) 取e1在T 中(2) 检查e2, 若e2与e1不构成回路, 则将e2加入T 中, 否则弃去e2.(3) 检查e3,…, 重复进行直至得到生成树为止.实例例求图的一棵最小生成树9.2根树及其应用一、本节主要内容有向树根树、树根、树叶、内点、分支点家族树、根子树、有序树r元树（r元有序树）r元正则树（r元有序正则树）r元完全正则树（r元有序完全正则树）最优2元树与Huffman算法前缀吗与最佳前缀吗中序行遍法、前序行遍法、后续行遍法波兰符号法与逆波兰符号法二、教学内容有向树与根树的定义有向树: 基图为无向树的有向图根树: 有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的非平凡的有向树树根: 有向树中入度为0的顶点树叶: 有向树中入度为1, 出度为0的顶点内点: 有向树中入度为1, 出度大于0的顶点分支点: 树根与内点的总称顶点v的层数: 从树根到v的通路长度树高: 有向树中顶点的最大层数根树(续)根树的画法:树根放上方,省去所有有向边上的箭头如右图所示a是树根b,e,f,h,i是树叶c,d,g是内点a,c,d,g是分支点a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f;3层有g,h; 4层有i.树高为4家族树定义把根树看作一棵家族树:(1) 若顶点a 邻接到顶点b, 则称b 是a 的儿子, a 是b 的父亲;(2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是兄弟;(3) 若a b且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的后代. 设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其所有后代的导出子图为以v为根的根子树.根树的分类有序树: 将根树同层上的顶点规定次序r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子r元完全正则树: 树叶层数相同的r元正则树r元有序树: 有序的r元树r元正则有序树: 有序的r元正则树r元完全正则有序树: 有序的r元完全正则树最优2元树求最优树Huffman算法:给定实数w1, w2, …, wt,①作t片树叶, 分别以w1, w2, …, wt为权.②在所有入度为0的顶点(不一定是树叶)中选出两个权最小的顶点, 添加一个新分支点, 以这2个顶点为儿子, 其权等于这2个儿子的权之和.③重复②, 直到只有1个入度为0 的顶点为止.W(T)等于所有分支点的权之和实例例求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树.解题过程由下图给出，W(T)=38前缀码设α =α1α2…αn-1αn是长度为n的符号串α的前缀: α1α2…αk , k=1,2,…,n-1前缀码: {β1, β2,…, βm}, 其中β1, β2, …, βm为非空字符串, 且任何两个互不为前缀2元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码如{0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前缀码{0,10,010, 1010} 不是前缀码前缀码(续)一棵2元树产生一个二元前缀码:对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1;若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以标1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字符串记在树叶处, 所得的字符串构成一个前缀码.如右图所示最佳前缀码例在通信中，设八进制数字出现的频率如下：0：25% 1：20% 2：15% 3：10%4：10% 5：10% 6：5% 7：5%采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码(称作最佳前缀码), 并求传输10n(n≥2)个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的(长为3) 的码字传输需要多少个二进制数字?解用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树. 这里w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25. 最优2元树如图所示.编码:0---011---112---0013---1004---1015---00016---000007---00001传100个按比例出现的八进制数字所需二进制数字的个数为W(T)=285.传10n(n≥2)个所用二进制数字的个数为2.85?10n, 而用等长码(长为3)需要用3?10n个数字.波兰符号法与逆波兰符号法行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问一次.行遍2元有序正则树的方式：①中序行遍法: 左子树、根、右子树②前序行遍法: 根、左子树、右子树③后序行遍法: 左子树、右子树、根例如, 对图所示根树按中序、前序、后序行遍法访问结果分别为：b a (f d g)c e a b (c (d f g) e) b ((f g d)e c) a带下划线的是(子)树根, 一对括号内是一棵子树波兰符号法与逆波兰符号法(续)用2元有序正则树表示算式: 最高层次运算放在树根上, 然后依次将运算符放在根子树的根上, 数放在树叶上, 规定被除数、被减数放在左子树树叶上.例如, 右图表示算式((b+(c+d))*a)÷((e*f)-(g+h)*(i*j))波兰符号法与逆波兰符号法(续)波兰符号法(前缀符号法): 按前序行遍法访问表示算式的2元有序正则树, 其结果不加括号, 规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算.例如, 对上页中树的访问结果为÷*+ b + c d a -* e f * + g h * i j逆波兰符号法(后缀符号法): 按后序行遍法访问,规定每个运算符与前面紧邻两数运算.例如, 对上页中树的访问结果为b c d + + a * e f * g h + i j **-÷。