高二数学会考专题辅导专题三十八复数的概念及运算练习(无答案)

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复数的概念及运算练习卷(含答案详解)

复数的概念及运算[基础巩固]1．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．9 解析因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选B.答案 B2．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2022i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( )A ．2022＋2iB ．2022＋4iC ．2＋2022iD ．4－2022i 解析因为a ＋2022i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2022，即a ＝2，b ＝－2022，所以a 2＋b i ＝4－2022i.答案 D3．(多选题)下列命题错误的是( )A ．若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1B ．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C ．若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3D ．若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应解析 A 取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错误；B ，C 错误；对于D ，a ＝0时，a i ＝0，D 错误．答案 ABCD4．若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝________. 解析由条件知a 2－3＋2a ＝0，解得a ＝1或a ＝－3.答案 1或－35．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1，则实数m ＝____________.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2. 答案 26．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值．(1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ；(2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0. 解析 (1)∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. (2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3. [能力提升]7．i 2021的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析直接利用i 4＝1，化简i 2021，再得到其虚部．因为i 2021＝(i 4)505·i ＝i ，∴i 2021的虚部为1.故选A ．答案 A8．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R .若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析 ∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案 {0}9．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．解析 ∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}．答案 {0}10．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围．解析 (1)∵z 1为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．[探索创新]11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．解析由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.。

复数的基本概念与运算例题和知识点总结

复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。

在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。

当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。

复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。

二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。

例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。

复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。

（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。

例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。

（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。

复数的概念及运算知识点+例题全面分类

[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z为复数，iz2+为实数，且zi)21(-为纯虚数，其中i为虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数z满足1=-zw，求w的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为_______.（2）若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案(1) 1(2) 充分不必要条件解析(1)由z1z2＝2＋a i1－2i＝(2＋a i)(1＋2i)5＝2－2a5＋4＋a5i是纯虚数，得a＝1，此时z1z2＝i，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i是虚数单位．若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为__________.（2）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的____________条件.（填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________；（2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案－1解析由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案－3－4i解析因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。

复数概念例题和知识点总结

复数概念例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）都是实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。

在复数\（a ＋ bi\）中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。

当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）就变成了实数\（a\）；当\（a ＝0\）且\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为纯虚数。

例如，＼（3 ＋ 2i\）是一个复数，其中实部是\（3\），虚部是\（2\）；＼（5\）是一个实数，因为它可以表示为\（5 ＋ 0i\）；＼（2i\）是一个纯虚数。

二、复数的相等两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

即若\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\），则\（z_1 ＝ z_2\）的充要条件是\（a_1 ＝ a_2\）且\（b_1 ＝ b_2\）。

例如，若\（2 ＋ 3i ＝ x ＋ yi\），则\（x ＝ 2\），＼（y ＝ 3\）。

三、复数的四则运算1、加法：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）例如：＼（（3 ＋ 2i) ＋（1 ＋ 4i) ＝（3 ＋ 1) ＋（2 ＋ 4)i ＝ 4 ＋6i\）2、减法：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）例如：＼（（5 ＋ 3i) （2 i) ＝（5 2) ＋（3 （－1)）i ＝ 3 ＋ 4i\）3、乘法：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）例如：＼（（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝ 2×1 3×2 ＋（2×2 ＋ 3×1)i ＝－4 ＋ 7i\）4、除法：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）例如：＼（＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{（1 ＋ 2i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＝＼frac{1 ＋ 3i ＋ 2i^2}｛2} ＝＼frac{－1 ＋ 3i}｛2} ＝＼frac{1}｛2} ＋＼frac{3}｛2}i\）四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

复数的概念及运算-知识点+例题-全面分类

[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z 为复数，i z 2+为实数，且z i )21(-为纯虚数，其中i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1=-z w ，求w 的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为_______. （2）若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 1 (2) 充分不必要条件解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i 是虚数单位．若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为__________. （2）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的____________条件. （填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________；（2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案－1解析由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案－3－4i解析因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。

完整版)高中数学复数练习题

完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。

2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。

3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。

特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。

特别z·z=a²+b²。

4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。

三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。

-1 B。

1 C。

0 D。

-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。

数学课程复数的运算练习题及答案

数学课程复数的运算练习题及答案一、绪论在数学课程中，复数的运算是一个重要的内容。

复数是由实数和虚数组成的数学对象，广泛应用于代数、物理学和工程学等领域。

掌握复数的运算规则和技巧对于提高数学解题能力和扩展数学思维具有重要意义。

本文将为大家提供一系列复数的运算练习题及答案，以帮助读者更好地理解和应用复数。

二、复数的定义与基本运算1. 复数的定义复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，bi 是虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

2. 复数的共轭复数 a + bi 的共轭定义为 a - bi。

共轭复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数。

3. 复数的加法与减法对于复数 a + bi 和 c + di，其加法为 (a + c) + (b + d)i，减法为 (a - c) + (b - d)i。

4. 复数的乘法对于复数 a + bi 和 c + di，其乘法为 (ac - bd) + (ad + bc)i。

5. 复数的除法对于复数 a + bi 和 c + di，其除法为 (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc - ad)/(c^2 + d^2)i。

三、复数运算练习题及答案1. 计算下列复数的和与差：a) (4 + 3i) + (1 - 2i)解：(4 + 1) + (3 - 2)i = 5 + ib) (2 + 5i) - (3 - 4i)解：(2 - 3) + (5 + 4)i = -1 + 9i2. 计算下列复数的乘积与商：a) (2 + i)(3 - 2i)解：(2*3 - 1*(-2)) + (2*(-2) + 3*1)i = 8 - ib) (4 + 5i)/(2 - i)解：((4*2 + 5*1)/(2^2 + 1^2)) + ((5*2 - 4*1)/(2^2 + 1^2))i = (13/5) + (6/5)i3. 计算下列复数的共轭：a) (3 + 4i)解：3 - 4ib) (-2 - 6i)解：-2 + 6i4. 求下列复数的模和幅角：a) 2 + 4i解：模为√(2^2 + 4^2) = √20，幅角为 arctan(4/2) = arctan 2b) -3 - 5i解：模为√((-3)^2 + (-5)^2) = √34，幅角为 arctan((-5)/(-3)) =arctan(5/3)五、总结本文针对数学课程中复数的运算练习题及答案进行了介绍，并给出了相应的解答。

复数专题复习(经典、全面)

复数专题复习(经典、全面)复数专题复一、复数的概念及运算：1、复数的概念：复数由实部和虚部组成，其中虚部用虚数单位i表示。

2、复数的分类：根据实部和虚部的取值情况，复数可以分为实数、虚数、纯虚数和非纯虚数。

3、复数的运算法则：加减法具有交换律和结合律，乘法具有交换律、结合律和分配律，除法可以通过复数的共轭和模来计算。

4、复数的共轭和模：复数的共轭是实部不变、虚部取相反数的复数，复数的模表示复数对应点与原点的距离。

5、复数共轭和模的运算性质：复数的共轭和模具有一些特殊的运算性质，例如复数的和的共轭等于各自的共轭之和，复数的积的模等于各自的模之积。

二、典型问题分析：考点1：复数的基本运算1.复数(1+3i)/(3-i)的值等于-1+i。

2.已知复数z满足(3+3i)z=3i，则z=-1+i。

3.复数(1-i)^2/(3+3i)的值等于-1/2+i/2.4.复数(1+i)^2/(1-i)的值等于1-i。

考点2：复数的模长运算1.已知复数z=(3+i)/(2-6i)，则|z|=11/10.2.已知|z-1+i|=2，复数z的实部为a，虚部为1，则1<a<3.考点3：复数的实部与虚部1.复数1-i的虚部为-1.考点4：复数与复平面内的点关系1.在复平面内，复数1+i对应的点位于第一象限。

1.正确的结论个数是1.2.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3i$，$z_2=5-i$，则 $f(z_1-z_2)=f(-3+4i)=-4-4i$，答案为 A。

3.设 $z=x+yi$，则 $(x+2)^2+(y-2)^2=1$，即$x^2+y^2+4x-4y+3=0$，这是一个圆心为 $(-2,2)$，半径为$\sqrt{2}$ 的圆。

$|z-2-2i|=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}$，是以$(2,2)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆，最小值为 $2$，答案为 A。

4.$p=z+z^*=2a$，$q=z\cdot z^*=a^2+1$，因为 $a^2+1\geq 2a$，所以 $q\geq p$，答案为 D。

高中数学复数知识点及练习

【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部。

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数；虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b =；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-【3】复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+【例1】若复数()312a iz a R i +=∈-（i 为虚数单位），(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚数，求a 的值。

【变式1】设a 是实数，且112a ii -++是实数，求a 的值。

(完整word版)高二数学复数复习

高二数学复数复习一、复数的基本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②21i =-；这样方程 21x =-就有解了，解为x i =或x i =-2、复数的概念（1）定义：形如bi a +(R b a ∈,)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示（2）分类：例题：当实数m 为何值时，复数226(2)m m z m m i m+-=+-为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.二、复数相等),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==⇔+=+也就是说，两个复数相等，充要条件是注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知21(3),,,x i y y i x y R -+=+-∈其中则x = ， y = ．三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔，bi a z +=的共轭复数记作四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做，y 轴叫做。

显然，实轴上的点都表示实数；除了外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是关系例题：复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→CD 对应的复数。

3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示之间的，即2212()()z z a c b d -=-+-例题：已知i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ?êR①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++=例题：（1）)35()43i i --++（；（2）)45)(3-4i i --（；（3）i i 311++；（4）ii i i +--13222-1（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.例题：ABCD 是复平面内的平行四边形，,,A B C 三点对应的复数分别是i 31+，i -，i +2，则点D 对应的复数为六、常用结论（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i =675i（2）自己证明：i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，1)2321(3=±-i ，【考点自测】1下列命题中正确的是（）A ．任意两复数均不能比较大小B ．复数z 是实数的充要条件是z z =C ．复数z 是纯虚数的充要条件是实部为零D ．1i +的共轭复数是1i -2．复数z 满足45iz i =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（）A ．54i -B ．54i -+C ．54i +D ．54i --3．z=3i i+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（） A. 1 B. 一1 C. 3 D. -34．如果点()sin ,cos P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5．已知复数z 满足11z -=，则12z i --的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46．的共轭复数是是虚数单位)(2i i -_____________ ．7.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是8．已知复数()()21312i i z i-++=-，若21z az b i ++=-，（1）求z ； 2）求实数,a b 的值 .9．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()2,1A -， (),3B a ，（ a R ∈）．（Ⅰ）若12z z -=，求a 的值；（Ⅱ）若复数12z z z =⋅对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值．10．已知z 是复数，2iz +为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=．（1）求复数z ；（2）若|i|5z m -<，求实数m 的取值范围．11．已知复数z=a+bi(a>0,b>0)满足2z =2z 的虚部是2。

复数的基本概念与运算题目

复数的基本概念与运算题目1. 选择题：以下哪个选项不是复数的基本运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法2. 填空题：复数a+bi的相反数是______。

3. 选择题：复数-2+3i与复数1-4i相加的结果是______。

4. 填空题：复数-2+3i的模是______。

5. 选择题：复数2-3i与复数-1+2i相乘的结果是______。

6. 填空题：复数-2+3i与复数-1+2i相乘后，实部是______，虚部是______。

7. 选择题：复数-2+3i除以复数-1+2i的结果是______。

8. 填空题：复数-2+3i除以复数-1+2i后，实部是______，虚部是______。

9. 选择题：以下哪个选项是复数2+3i的共轭复数？A. -2+3iB. 2-3iC. -2-3iD. 2+3i10. 填空题：复数2+3i的模是______。

11. 选择题：复数-2+3i与复数-1+2i相减的结果是______。

12. 填空题：复数-2+3i的模是______。

13. 选择题：复数2+3i与复数-1+2i相除的结果是______。

14. 填空题：复数2+3i除以复数-1+2i后，实部是______，虚部是______。

15. 选择题：复数-2+3i的模是______。

16. 填空题：复数-2+3i的共轭复数是______。

17. 选择题：复数2+3i与复数-1+2i相乘的结果是______。

18. 填空题：复数2+3i与复数-1+2i相乘后，实部是______，虚部是______。

19. 选择题：复数-2+3i除以复数-1+2i的结果是______。

20. 填空题：复数2+3i除以复数-1+2i后，实部是______，虚部是______。

21. 选择题：复数-2+3i的模是______。

22. 填空题：复数-2+3i的共轭复数是______。

23. 选择题：复数2+3i与复数-1+2i相乘的结果是______。

高二复数复习

1．复数的概念（1）虚数单位i的规定：①i2＝－1②i可以与实数进行四则运算．(2)形如a＋b i（a，b∈R)的数，叫复数,全体复数所组成的集合叫复数集，一般用字母C 表示．（3)复数a＋b i(a,b∈R)叫复数的代数形式，a与b分别叫复数的实部与虚部，复数通常用z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R)．(4）复数的分类错误!由复数的分类可得:实数集R是复数集C的真子集2．两复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等， a＋b i＝c＋d i⇔a ＝c且b＝d，特殊的有a,b∈R时，a＋b i＝0⇔a＝0，b＝0.虚数不能比大小；3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除法运算按以下法则进行．设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a、b、c、d∈R）z1±z2＝(a＋b i）±(c＋d i)＝（a±c)＋（b±d）i。

z1·z2＝(a＋b i）·(c＋d i)＝(ac－bd)＋（ad＋bc）iz1÷z2＝错误!＝错误!＋错误!i(z2≠0）常用结果，①(a＋b i）（a－b i)＝a2＋b2；②（1±i）2＝±2i；③错误!＝i，错误!＝－i;④i的平方根是±(错误!＋错误!i），－i的平方根是±(－错误!＋错误!i），1的立方根是1,－错误!±错误!i；－1的立方根是－1，错误!±错误!i；⑤设ω为1的立方虚根，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2＝错误!。

⑥i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，（n∈N）．⑦i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0，(n∈N）．（2）复数是实数的充要条件①z＝a＋b i∈R⇔b＝0(a,b∈R）；②z∈R⇔z＝错误!；③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的充要条件①z＝a＋b i是纯虚数⇔a＝0且b≠0（a,b∈R）②z是纯虚数⇔z＋错误!＝0（z≠0）③z是纯虚数⇔z2＜0。

高中复数知识点及相关练习

复数复数基础知识一、复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；二、复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅三、复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c da b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解一、知识梳理1、复数的有关概念（1）复数的概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中,a b 分别是它的。

高中复数知识点与相关练习试题

复数复数基础知识一、复数的基本概念(1)形如。

+ b i的数叫做复数(其中a, b G尺)；复数的单位为i,它的平方等于-1,即i2=_1 .其中。

叫做复数的实部，b叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i为实数虚数：当b丰0时的复数。

+ b i为虚数；纯虚数：当。

=0且b丰0时的复数。

+ b i为纯虚数(2)两个复数相等的定义:a + bi = c + di = a = c且b = d (其中，a, b, c, d, G R )特别地a + bi = 0 = a = b = 0(3)共轭复数：z = a + bi的共甄记作z = a -bi;(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z = a + bi，对应点坐标为P (a,b)(5)复数的模：对于复数z = a + bi，把|z卜a a2 + b2叫做复数z的模;二、复数的基本运算2 2=(a + a)+ (b + b)i ;加法:(2) 减法:乘法: z -z =(a - a)+(b - b)i ;z1V2 = (a1 a2 - b1 b2)+(a2b1 + a1 b/i特别z・z = a2 + b2。

(4)幂运算:i 1 = i i 2 = —1 i 3 = —i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = —1三、复数的化简z = j ( a,b是均不为0的实数)；的化简就是通过分母实数化的方法将分母a + bic + di c + di a - bi(ac + bd )+ (^ad —bc )i化为实数：z - - = ---- ■----------------- =a + bi a + bi a - bi a2 + b2对于z - c l di(a . b丰0)，当c - d时z为实数；当z为纯虚数是z可设为a + bi a bz - X - xi进一步建立方程求解a + bi一、知识梳理1、复数的有关概念(1)复数的概念：形如a + bi(a,b G R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的。

复数的基本运算与表示高二数学下册综合算式专项练习题()

复数的基本运算与表示高二数学下册综合算式专项练习题（）在数学学科中，复数是由实数部分和虚数部分构成的数。

复数的基本运算既包括四则运算，又包括共轭、模、辐角等相关概念。

本文将介绍复数的基本运算，并提供一些高二数学下册综合算式专项练习题供读者练习。

一、复数的四则运算复数的四则运算与实数的四则运算类似，但需要注意虚数单位i的运用。

1. 加法设复数z1 = a + bi，复数z2 = c + di，则z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i。

2. 减法设复数z1 = a + bi，复数z2 = c + di，则z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。

3. 乘法设复数z1 = a + bi，复数z2 = c + di，则z1 * z2 = (a * c - b * d) + (a *d + b * c)i。

4. 除法设复数z1 = a + bi，复数z2 = c + di，则z1 / z2 = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)]i。

二、复数的表示方法复数可以用代数形式、三角形式和指数形式进行表示。

这些表示方法之间可以相互转换。

1. 代数形式代数形式就是复数的普通表达形式，例如z = a + bi。

其中，a为实数部分，bi为虚数部分。

2. 三角形式三角形式表示复数z在平面直角坐标系中所对应的向量的极坐标形式，即z = r(cosθ + isinθ)。

其中，r为复数的模，θ为复数的辐角。

3. 指数形式指数形式表示复数z在复平面上的指数表示，即z = re^(iθ)。

其中，r为复数的模，θ为复数的辐角，e为自然对数的底。

三、综合算式专项练习题以下是一些综合算式专项练习题，旨在帮助读者熟悉复数的基本运算。

请读者按要求完成计算，并将答案填写在横线上。

1. 计算下列复数的和：a) (2 + 3i) + (4 + 5i) = ____b) (1 - 2i) + (-3 + 4i) = ____c) (-5 + 6i) + (7 - 8i) = ____2. 计算下列复数的差：a) (2 + 3i) - (4 + 5i) = ____b) (1 - 2i) - (-3 + 4i) = ____c) (-5 + 6i) - (7 - 8i) = ____3. 计算下列复数的积：a) (2 + 3i) * (4 + 5i) = ____b) (1 - 2i) * (-3 + 4i) = ____c) (-5 + 6i) * (7 - 8i) = ____4. 计算下列复数的商：a) (2 + 3i) / (4 + 5i) = ____b) (1 - 2i) / (-3 + 4i) = ____c) (-5 + 6i) / (7 - 8i) = ____注意：在计算复数的模时，可使用勾股定理来计算，即模= √(实数部分的平方 + 虚数部分的平方)。

高中数学复数知识点总结及练习题

高中数学复数知识点总结及练习题本节介绍复数平面，将一个复数视为平面上的一点，使我们能“看到”复数。

接着藉由极坐标的概念介绍复数的极式，并说明极式如何应用在复数的乘除运算。

最后介绍如何将一个复数开次方根。

例题1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (1) 如图复数平面，试写出 A ，B ，C ，D 所代表的复数。

(2) 试在复数平面上描绘出下列各复数： ① z 1＝－3＋4i 。

② z 2＝－5－2i 。

③ z 3＝－2i 。

④ z 4。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(1) 如图复数平面，试写出 A ，B ，C ，D 所代表的复数。

(2) 试在复数平面上描绘出下列各复数： ① z ＝1－i 。

② z 2＝12＋i 。

③ z 3i 。

④ z 4＝－1。

例题2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 若 z ＝3＋5i ，试求|z|和z 。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------若z1＝1＋2i，z2＝3＋4i，试求|z1|，|z2|，|z1＋z2|及|z1|＋|z2|，并比较|z1|＋|z2|和|z1＋z2|何者较大？------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------※复数的极式复数 z ＝a ＋bi 的极式为z ＝r （cos θ＋i sin θ），其中 r ＝|z|＝22+a b 称为 z 的向径，且 θ 满足 cos θ＝22+aa b，sin θ＝22+b a b，称为 z 的辐角。

高二会考数学知识点复数

高二会考数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的一项重要知识点。

它广泛应用于代数、几何和物理等领域，并且在解决一些复杂问题时起到了关键作用。

本文将详细介绍高二会考的数学知识点复数。

一、复数的定义与表示方法复数由实数和虚数构成，形如a + bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

在复平面上，a表示横坐标，b表示纵坐标。

实部为0的复数为纯虚数，虚部为0的复数为实数。

二、复数的运算规则1. 复数的加减法：分别对实部和虚部进行运算。

2. 复数的乘法：使用分配律展开计算，并注意i的平方等于-1。

3. 复数的除法：将除数的分母有理化为实数，然后进行乘法运算。

4. 复数的共轭：将虚部的符号取反，得到原复数的共轭形式。

5. 复数的模：利用勾股定理计算复数在复平面上的模，即距离原点的长度。

三、复数的指数形式与三角形式1. 复数的指数形式：根据欧拉公式e^(ix) = cos(x) + i sin(x)，可以将任意复数表示为r e^(iθ)的形式，其中r为模，θ为辐角。

2. 复数的三角形式：利用三角函数，可以将复数的指数形式转化为三角形式，即r(cosθ + i sinθ)。

四、复数的应用1. 解方程：复数在解决一元二次方程、高次方程等问题时起到了重要作用，可以找到复数根。

2. 复数向量：复数可以表示二维向量，通过复数的加法和乘法运算，可以进行向量的加减法、旋转等操作。

3. 信号处理：复数在信号处理中有广泛应用，例如频率分析、滤波等领域。

4. 电路分析：复数方法可以方便地分析交流电路，求解电流、电压等参数。

总结：复数是一种重要的数学概念，高二学生在备考中需要掌握复数的定义、表示方法和运算规则。

同时，理解复数的指数形式和三角形式，以及复数在方程求解、向量运算、信号处理和电路分析等应用中的作用，能够帮助学生更好地应对高考数学考试。

参考资料：高等数学，北京大学出版社，2020。