人教版八年级数学竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)

合集下载

中考数学专题二次根式的化简与求值_答案

6
6
＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵0＜ 6 5 ＜1，从而 0＜ 6 5 ＜1，故 10 581＜ 6 5
＜10 582．例 4 x＋ x2 1 ＝
1
＝ y2 1 －y…①；同理，y＋ y2 1 ＝
1
＝
y y2 1
x x2 1
x2 1 －x…②．由①＋②得 2x＝－2y，x＋y＝0．例 5 (1)构造如图所示
≤ a 1 ≤1，∴－1≤ a 1 －1≤0，∴m＝2．设 S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－ 47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得 S＝211－2－94＋47＝1 999． A 级 1．1 2． 5 2 3．0 提示：令 1997 ＝a， 1999 ＝b， 2001 ＝c． 4． (17，833)，
＝
3
1
＝ 6 2；
6 3 3 2
6 3 3 2
5 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 2
（4）原式＝
＝3 3 2 ．
5 2 3 1
例 3 x＋y＝2 6 ，xy＝1，于是 x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝42 6 ，x6
1 1 x2 ＜ 1 ＋ 2 12 ．设 y ＝ x2 8x 41 － x2 4x 13 ＝
x 42 52 － x 22 32 ，设 A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求 AB
的解析式为 y＝x＋1，易证当 C 在直线 AB 上时，y 有最大值，即当 y＝0，
x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝ 2 2 ． 13． 3a b ＝ 3a b
(68，612)，( 153，420)

专题16.1 二次根式的化简求值(压轴题专项讲练)(解析版)-八年级数学下册

专题16.1二次根式的化简求值整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

一、二次根式的定义形如（≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.二、二次根式有意义的条件1.二次根式中的被开方数是非负数；2.二次根式具有非负性：≥0.三、判断二次根式有意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．四、二次根式的性质性质1：2=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：2==（≥0）−（<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.五、同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：∙=∙o≥0,≥0)；②积的算术平方根：∙=∙o≥0,≥0)；≥0,>0)；=≥0,>0).八、最简二次根式我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．====3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=-3，求2+2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则2+2=(+p2−2B=2−2=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1（2）m是正整数，a b22+1823B+22=2019．求m．（3）已知15+2−26−2=1，求15+2+26−2的值．（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出+=2(2+1),B=1再由22+1823B+22=2019进行变形再求值即可；（3）先得到15+2⋅26−2=20，然后可得(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，最后由15+2≥0,26−2≥0，求出结果．解：（1）原式=2+++⋯+2=3−1+5−3+7−5+⋯+2019−20172=（2）∵a b∴+==2(2+1),B=1，∵22+1823B+22=2019，∴2(2+2)+1823=2019，∴2+2=98，∴4(2+1)2=100，∴2=±5−1，∵m是正整数，∴m=2．（3）由15+2−26−2=1得出(15+2−26−2)2=1，∴15+2⋅26−2=20，∵(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，又∵15+2≥0,26−2≥0，∴15+2+26−2=9．1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知=2−3,=2+3，则代数式2+2B+2+−−4的值为（）A B．34C．3−1D【思路点拨】根据已知，得到+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，整体思想带入求值即可．【解题过程】解：∵=2−3,=2+3，∴+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，∴2+2B+2+−−4=+2+−−4=222−23−4=8−23−4=4−23=32−23+1=3−12=3−1．故选C．2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知+1=7(0<<1)，则−）【思路点拨】，故＜，将−由0<<1，得0＜＜1【解题过程】解：∵0<<1，∴0＜＜1，∴＜2=−2+1，+1=7(0<<1)，∵(−∴(−∴=-5或−=5，∵＜0，∴∴故选B．3．（2023·浙江宁波·校考一模）若2+2=1，则2−4+4+B−3+−3的值为（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】先根据2+2=1得出−1≤≤1，−1≤≤1，根据2−4+4+B−3+−3要有意义，得出+ 1−3≥0，根据−3<0得出+1≤0，从而得出J−1，将J−1代入即可求出式子的值．【解题过程】解：∵2+2=1，∴−1≤≤1，−1≤≤1，∵2−4+4+B−3+−3要有意义，∴B−3+−3≥0，整理得：+1−3≥0，∵−3<0，∴+1≤0，∴J−1，∴2−4+4+B−3+−3=−22++1−3=−1−22+−1+1−3=3+0=3，故D正确．故选：D．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知xx6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（）A．0B．1C．2019D．2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵=2020−=2020+2019，∴6−220195−4+3−220202+2−2020，=5−22019−4+2−22020+2−2020，=52020+2019−22019−4+22020+2019−22020+2−2020，=52020−2019−4+22019−2020+2−2020，=42020−2019−1+22019−2020+2−2020，=2020+20192019−2020+2−2020=−+2−2020，=−2020，=2019，故选：C．5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1的值为（）A．6+2−1B．6−2+1C．6−2−1 D．6+2+1【思路点拨】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解题过程】解：3+5−3−5-=5+15-1=2∴a的小数部分为2-1，6+336−33−=3+33-3=6∴b的小数部分为6-2，∴2b−1=6+2-2-1=6-2+1，故选：B．6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设1=1+112+122，2=1+122+132，3=1+132+142，……，=1+ 12+1(r1)2．其中n为正整数，则1+2+3+⋅⋅⋅+2021的值是（）A．202020192020B．202020202021C．202120202021D．202120212022【思路点拨】根据题意，先求出=1+1or1)，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．【解题过程】解：∵n为正整数，∴＝2+r1or1)＝1+1or1)；∴1+2+3+⋯+2021＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12021×2022）＝2021+1﹣12+12−13+13−14+⋯+12021−12022＝2021+1﹣12022＝202120212022．故选：D．7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果=5−2，则1=．【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得1，从而可得1−>0，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得．【解题过程】解：∵=5−2，∴1=5−2=5−2=5+2，∴1−55−2∴1=1+=1+−=5+2+4=5+6．故答案为：5+6．8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知==42−3B+42=．【思路点拨】先把和的值分母有理化得到==−=−12，B=1，再利用完全平方公式变形原式得到4(−p2+5B，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：∵==∴====∴−=−12，B=1，∴原式=4(−p2+5B=4×(−12)2+5×1=6．故答案为6．9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知=2的值等于．【思路点拨】通过完全平方公式求出+1=2，把待求式的被开方数都用+1的代数式表示，然后再进行计算．【解题过程】=2，解：∵+∴=4，∴+1+2=4∴+12===10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，+−7−7+ 7B=7，求+=．【思路点拨】将等式进行因式分解，得到++7B−7=0，求得B=7，即可求解．【解题过程】解：∵+−7−7+7B=7，∴+−7−7+7B−7=0，∴B+−7++7B−7=0，∴+B−7+7B−7=0，∴++7B−7=0，∵++7>0，∴B−7=0，∴B=7，又x，y为正整数，则s=1,7或7,1，从而+=8，故答案为：8．11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设=3−2，则6+35+113+2+1=．【思路点拨】利用+22=2+4+4和=3−2，推得2+4+1=0，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解．【解题过程】解：∵=3−2，∴+22=3−2+22=3，又∵+22=2+4+4，即2+4+4=3，整理得2+4+1=0，6+35+113+2+1=42+4+1+35+113+2+1−45−4=−5−4+113+2+1=−32+4+1−4+113+2+1+44+3=34+123+2+1=322+4+1+2+1−32=−32+2+1=−32+4+1+2+1+12+3=14+4，将=3−2代入原式可得14×3−2+4=143−24．故答案为：143−24．12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知=则代数式23−32−7+2022的值为．【思路点拨】将已知条件=2−3=−1，再将所求代数式变形为23−62+32−7+2022，由此即可求解．【解题过程】解：已知=∴2=3+5，即2−3=5，等式两边同时平方得，2−32=52，整理得，42−12+9=5，即42−12=−4，∴2−3=−1，∵23−32−7+2022=2o2−3p+32−7+20022把2−3=−1代入得，=2×−1+32−7+2022=32−2−7+2022=32−9+2022=3(2−3p+2022把2−3=−1代入得，=3×−1+2022=2019，故答案为：2019．13．（2022上·上海闵行·=3,=13.【思路点拨】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解题过程】解：原式=K=+++=2+2当=3,=13时，原式=23+=23+=14．（2023·北京·九年级专题练习）已知==，求2+2的值．【思路点拨】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【解题过程】解：∵==5−26，===5+26，∴原式=(5+2(5−26)=2620626206=26)(49206)6)(49206)6)(492026)(49206)=245−1006−986+240+245+1006+986+240=970．15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知+=−8，B=12，求+【思路点拨】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．【解题过程】解：∵+=−8，B=12，∴a和b均为负数，2+2−2B=40=B+B=2B2B=2+2B=−−==2=−4012=−401212=−40×2312=−203316．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知−2B−15=0【思路点拨】讨论：当>0，>0，利用因式分解的方法得到−5+3=0，解得=25，当I0，<0，则−−+5−−−3−=0，解得=9，然后把=25，=9化简求解．【解题过程】解：∵−2B−15=0要有意义，即B≥0，∴>0且>0或I0且<0，当>0且>0时，∵−2B−15=−5+3=0，∴−5=0或+3=0（舍去），解得：=25，把=25=25r5r225K10r=2；当I0且<0时，∵−2B−15=−−+5−−−3−=0，∴−r5−=0（舍去）或−−3−=0，解得：=9，把=9==9K3r29r6r=12．17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知==（2【思路点拨】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【解题过程】（1）∵=10−3=10+3，=10−3，=∴+=210，−=6，∴2+2B+2=(+p2=(210)2=40．（2）∵=10+3，=10−3，∴1∴o−2)=−2o−2)−+1o+1)=1−1=1010=10−3−10−3=−6．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知=2−3，=2+3．（1）求+和B的值；（2）求2+2−3B的值；（3）若的小数部分是，的整数部分是，求B−B的值．【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入=2−3，=2+3即可求出+和B的值；（2）将原式变形为+2−5B，代入数值进行计算即可；（3）先估算出1<3<2，从而得出=2−3，=3，再代入进行计算即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵=2−3，=2+3，∴+=2−3+2+3=4，B=2−32+3=4−3=1；（2）解：由（1）得：+=4，B=1，∴2+2−3B=+2−5B=42−5×1=11（3）解：∵1<3<4，∴1<3<4，即1<3<2，∴−2<−3<−1，∴0<2−3<1，∵的小数部分是，∴=2−3，∵3<2+3<4，的整数部分是，∴=3，∴B−B=2−32−3−32+3=4−43+3−6−33=1−73．19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使2+2=且B =，±2将变成2+2±2B ，即变成(±p 2，从而使±2得以化简．（1）例如，∵5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2，∴5+26=(3+2)2=______，请完成填空．（2）仿照上面的例子，请化简4−23；（3）利用上面的方法，设=6+42，=3−5，求A ＋B 的值．【思路点拨】（1）根据二次根式的性质：2==o >0)0(=0)−o <0)，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A 式和B 式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B 式的结果分别算出，最后把A 式和B 式再代入A ＋B 中，求出A ＋B 的值．【解题过程】（1）∵5+26=2+3+26=22+32+2×2×3=2+32∴5+26=(3+2)2=3+2故答案为：3+2（2）∵4−23=3+1−23=32+1−23=3−12∴4−23=(3−1)2=3−1．（3）∵=6+42=4+2+42=42+22+2×4×2=(2+2)2∴=6+42=2+2∵=3−5=∴=3−5====∴把A 式和B 式的值代入A ＋B 中，得：+=2+2=2+2220．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将+、−称为一对“对偶式”，因为+−=(p2−(p2=−，所以构造“和−====3+22.像这中的“”样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：“>”、“<”或“=”填空)；（1（2）已知==，求K2rB2的值；+…+（3【思路点拨】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解；（2）先求得−s B的值，然后代入即可求解；（3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解．【解题过程】（17−2=7−2===∵7>6,2>3−137−6+2−3>0,>故答案为：>．（2）∵==5+45+4=9+45，==5+2=5−45+4=9−45，∴+=9+45+9−45=18，−=9+45+−9+45=85，B=9+45945−80=1，∴K 2rB2+⋯+（3=3)2(53−35)35)(5−3979799⋯+2(99979799)(99979799)(9997−97=1−33+33−55+55−77+⋯+9797−9999=1−9999=1−。

第三节二次根式的化简求值(含答案)...八年级数学学而思

第三节二次根式的化简求值1.二次根式的化简求值给出一定的条件求二次根式的值，一般要先将二次根式化简，再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰， 2.非负数的和为零若,0||2=++c b a 则.0===c b a1.有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点问题这类问题包含了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形． 2.二次根式的化简求值常见方法(1)约分法：对“分式型”代数式，分子分母都是多项式时，有时可以先分别因式分解，通过约分达到化简目的．(2)裂项法：对于一些连续相加的分式型二次根式，如果拆项后能互相抵消，则可用此法．(3)取倒法：如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解，常常可先取倒再用第二种方法解决 (4)配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在,0,0>>y x使得2,2x b m xy =,2a y =+则可把被开方数写成完全平方式，达到化简目的，写成式子为=+b m a =+2)(y x .y x +在使用此法时，一般先拆开m 瓶成2ry 的形式，再检查平方项．(5)公式法：对于,b a +若,0,0>>b a 且存在,0>k 使得,22k b a =-则=+b a ,22ka k a -±+ 这可以利用算术平方根的定义进行证明．(6)平方法：对于被开方数为和差型的复合二次之和（差），常以退为进，先求出它的平方．(7)方程法：对于一些带……号的无限循环式的化简，通常可设原式值为,x 设法建立一个关于x 的方程求解． (8)换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律，例1．设,17-=a 则代数式1022-+a a 的值为( )3.-A4.-B x C -. 174.+-D检测1.(1)若,13,13-=+=y x 则=-22y x ( )34.A 32.B 0.C 2.D(2)已知,13,13-=+=y x 则2232y xy x +-的值为( )632.-A 632.+B 0.C 232.+D例2．当,3)32)(23(2+-+=a 求代数式22)1111(2-÷+--a aa a 的值．检测2．先化简下列代数式，再求值：,3)323(2-÷---x xx x x x 其中.17+=x 例3．已知：,12-=a 求1211214422+--+-÷-+-a a a a a a a 的值，检测3．已知,32-=x 则xx x x x x x -+---+-2212121的值为例4．已知c b a ,,为△ABC 的三边长，满足=++2)(c b a ),(3bc ac ab ++试说明△ABC 是等边三角形．检测4.若三角形的三边分别是,,,c b a 且+--+-1)52(2b a a ,0|4|=-c 则这个三角形的周长是( )552.+A 3.-x B 554.+C 3.+x D例5．若b a ,都是实数，且,211441+-+-=a a b 试求22-+-++baa b b a a b 的值，检测5.已知,2021120192020=+-+x x 那么20192020+++x x 的值是例6．化简⋅--+-1015142157检测6．化简N+--+26302352的结果是第三节二次根式的化简求值(建议用时:30分钟)实战演练1.已知,52-=x 则代数式2)4(+x 的值为( )223.-A 222.+B 21.-C 223.+D2．（湖南祁阳模拟）已知,6232=-m m 那么532332+-m m 的值为( ) 11.A 12.B 13.C 14.D3．若,21,21-=+=b a 则代数式ab b a 3-+的值为( )3.A 3.±B 5.C 9.D4．已知,71=+a a 则=-aa 13.A 3.-B 3.±C 11.±D5．（湖北鄂城模拟）如果一个三角形的三边长分别为.4,,1k 则化简3612|52|+---k k k h 的结果是( )113.-k A 1.+k B 1.C k D 311.-6．（四川蓬溪模拟）已知,32,32-=-+=-c b b a 则ac bc ab c b a ---++222的值为( )310.A 312.B 10.C 15.D7．已知,1,2=-=+ab b a 则化简求abb a +的值是( ) 2.-A 2.B 1.-C 1.D8.（河南濮阳自主招生）若,02522<+-x x 则|2|21442-++-x x x 等于( )54.-x A 3.-B 3.C x D 45.-9．已知22416a 22=---a 则2416a 22-+-a 的值是( )10.A 16.B 4.C 6.D10．当13-=m 时，代数式222-+m m 的值是11．已知,31,13-=+=b a 则)2(222a b ab a a b a --÷-的值为12.已知,3232,3232+-=-+=y x 则22232y xy x +-的值为 13.（广东模拟）先化简，再求值：),1()111(--÷-+a aa a 其中.22+=a 14.已知,)23(1)23(20202019+=⋅-x 求x 的值．15.先化简，再求值：已知,32+=m 求2221211m m m m m m -+--+-的值． 16.阅读下面的文字后，回答问题：甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：,9612a a a +-+其中,5=a 甲、乙两人的解答不同；甲的解答是：;92131)31(96122-=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a 乙的解答是：.191413)31(9612=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a (1)的解答是错误的；(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：(3)模仿上题解答：化简并求值：,1681|1|2a a a +-+-其中.2=a17.著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列）．这个数列的第n 个数为n nn （])251()251[(51--+⨯为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为⋅--+⨯])251()251[(5188根据以上材料，写出并计算：(1)这个数列的第1个数； (2)这个数列的第2个数．18．小明在解方程2824=---x x 时采用了下面的方法：由=-+----)824)(824(x x x x ,16)8()24()8()24(22=---=---x x x x又有,2824=---x x 可得+-x 24,88=-x将这两式相加减可得,385-24⎪⎩⎪⎨⎧=-=x x 将524=-x 两边平方可解得,1-=x 经检验1-=x 是原方程的解，请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)方程161042=+++x x 的解是(2)解方程x x x x x 452456422=--+-+拓展创新19.设a 为5小数部分，b 为3小数部分，求ab 12-的值为拓展1．已知m 是2的小数部分，求2122-+m m 的值．拓展2．已知m 是√2 的小数部分，求2122++mm 的值，拓展3．（河北邯郸校级自主招生）设a 为5353--+的小数部分，b 为-+336336-的小数部分．则ab 12-的值为( ) 126.-+A 126.+-B 126.--C 126.++D极限挑战20.（第十届初二“希望杯”）已知c b a ,,都为正数，且,111,c b a x c b a ++==/=/bc ab y 11+=ac1+ 则x 与y 的大小关系为( )y x A >. y x B <. y x C =. D ．随c b a ,,的取值变化而定答案。

考点02 二次根式的运算与化简求值专项练习(解析版)

人教版2020——2021年八年级下册新题二次根式的运算与化简求值专项练习1．（2020秋•遵化市期末）计算：（1）﹣（1﹣）；（2）（2+6）×÷2．【分析】（1）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题；（2）根据二次根式的乘除法和加法可以解答本题．【解答】解：（1）﹣（1﹣）＝﹣+3＝3；（2）（2+6）×÷2＝（2×+6×）×＝（4+18）×＝2+9．2．（2020秋•太平区期末）计算题：（1）；（2）×﹣；（3）（+3）×（3﹣）﹣（﹣1）2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后约分即可；（2）利用二次根式的乘除法则运算；（3）根据平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝＝6；（2）原式＝﹣（﹣）＝10﹣（2﹣）＝8+；（3）原式＝9﹣5﹣（3﹣2+1）＝4﹣4+2＝2．3．（2020秋•市中区期末）计算：（1）﹣4+2；（2）﹣．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+4＝5；（2）原式＝+﹣4＝2+3﹣4＝1．4．（2020秋•项城市期末）计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；（2）根据平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝2××+5＝3+5；（2）原式＝（2）2﹣（）2＝12﹣6＝6．5．（2020秋•织金县期末）计算下列各题：（1）﹣+；（2）﹣（3﹣1）2．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的除法法则和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝3﹣+＝；（2）原式＝+﹣（18﹣6+1）＝2+4﹣19+6＝6﹣13．6．（2020秋•沈河区期末）计算：（1）﹣+2÷；（2）﹣×．【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）﹣+2÷＝2﹣+2＝+2；（2）﹣×＝1+﹣2＝﹣1．7．（2020秋•碑林区校级期末）计算：（1）2﹣2+；（2）（﹣2）2﹣．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算．【解答】解：（1）原式＝6﹣+＝6；（2）原式＝3﹣4+4﹣（﹣）＝7﹣4﹣3+2＝6﹣4．8．（2020秋•武侯区期末）计算：（1）（π﹣2020）0﹣2++|1﹣|．（2）﹣（﹣）（+）．【分析】（1）根据零指数幂、立方根的定义和绝对值的意义计算；（2）根据二次根式的除法法则和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣2+﹣1＝﹣2；（2）原式＝+﹣（3﹣2）＝2+3﹣1＝4．9．（2020秋•郫都区期末）计算：（1）÷+×﹣；（2）（+2）2﹣（+2）（﹣2）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝+5﹣3＝3；（2）原式＝5+4+4﹣（5﹣4）＝9+4﹣1＝8+4．10．（2020秋•龙华区期末）计算题（1）+（+2）（﹣2）；（2）6+|1﹣|﹣（+1）÷．【分析】（1）先化简二次根式，利用平方差公式计算，再进一步计算即可；（2）先化简二次根式、去绝对值符号、除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：（1）原式＝+（）2﹣22＝2+3﹣4＝1；（2）原式＝6×+﹣1﹣（+1）×＝3+﹣1﹣3﹣＝﹣1．11．（2020秋•新化县期末）已知a＝1+，b＝1﹣，求：（1）求a2﹣2a﹣1的值；（2）求a2﹣2ab+b2的值．【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，把a、b的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝a2﹣2a+1﹣2＝（a﹣1）2﹣2，当a＝1+时，原式＝（1+﹣1）2﹣2＝0；（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，当a＝1+，b＝1﹣时，原式＝（1+﹣1+）2＝8．12．（2020秋•永年区期末）已知x＝．（1）求代数式x+；（2）求（7﹣4）x2+（2﹣）x+的值．【分析】（1）根据分母有理化把x的值化简，计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．【解答】解：（1）x＝＝＝2+，则＝2﹣，∴x+＝2++2﹣＝4；（2）（7﹣4）x2+（2﹣）x+＝（7﹣4）（2+）2+（2﹣）（2+）+＝（7﹣4）（7+4）+（2﹣）（2+）+＝49﹣48+4﹣3+＝2+．13．（2020春•遵义期末）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2；（2）．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，把a与b的值代入计算即可求出值；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则变形，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，∴原式＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝8；（2）∵x＝+1，y＝﹣1，∴原式＝＝＝＝2．14．（2020春•浦北县期末）已知：m＝+2，n＝﹣2，求（1）m﹣n的值；（2）mn的值．【分析】（1）把m与n的值代入原式计算即可求出值；（2）把m与n的值代入原式计算即可求出值．【解答】解：（1）当m＝+2，n＝﹣2时，m﹣n＝（+2）﹣（﹣2）＝+2﹣+2＝4；（2）当m＝+2，n＝﹣2时，mn＝（+2）×（﹣2）＝5﹣4＝1．15．（2020春•和县期末）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2﹣y2的值．【分析】根据二次根式的加减法法则分别求出x+y、x﹣y，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可．【解答】解：∵x＝2+，y＝2﹣，∴x+y＝4，x﹣y＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝8．16．（2020春•潮南区期末）已知a＝+2，b＝﹣2．求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）（a﹣2）（b﹣2）．【分析】（1）将所求式子因式分解，然后将a+b和ab的值代入即可解答本题；（2）将a、b的值代入所求式子，即可解答本题．【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝2，ab＝1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×2＝2；（2）∵a＝+2，b＝﹣2，∴（a﹣2）（b﹣2）＝（+2﹣2）×（﹣2﹣2）＝×（﹣4）＝5﹣4．17．（2020春•姑苏区期末）已知：a＝，b＝．求值：（1）ab；（2）a2﹣3ab+b2；【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）ab＝（+）（﹣）＝5﹣3＝2．（2）a﹣b＝+﹣+＝2，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝12﹣2＝10．18．（2020春•临邑县期末）已知x＝，y＝．（1）计算x+y＝2；xy＝4；（2）求x2﹣xy+y2的值；【分析】（1）先将知x＝，y＝进行分母有理化．然后代入求值；（2）将x2﹣xy+y2的化成（x+y）2﹣3xy，然后将（1）中数据代入求值．【解答】解：∵已知x＝，y＝．∴x＝＝，y＝＝﹣1．（1）x+y＝+1+﹣1＝2，xy＝（+1）（﹣1）＝4．故答案为2，4；（2）x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（2）2﹣3×4＝20﹣12＝8．19．（2020春•鱼台县期末）先化简，再求值：+（x﹣2）2﹣6，其中，x＝+1．【分析】原式第一项约分，第二项利用完全平方公式化简，第三项利用二次根式性质计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝+1＞0，∴原式＝+x2﹣4x+4﹣2x＝4x+x2﹣4x+4﹣2x＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3＝5+3＝8．20．（2020春•马山县期末）已知：x＝+，y＝﹣，求代数式x2﹣y2+5xy的值．【分析】首先把代数式利用平方差公式因式分解，再进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴x2﹣y2+5xy＝（x+y）（x﹣y）+5xy＝2×2+5（+）（﹣）＝4+5．。

2023-2024人教版八年级数学下册第16章二次根式专题训练二次根式的运算与化简求值(含答案)

第16章二次根式专题训练二次根式的运算与化简求值类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 2．计算： (1)24＋0.5－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋6. (2)248－1813＋318－818；(3)32－212－418＋348. (4)239x ＋6x 4－2x 1x. (5)a 2b ＋ab a －b a b－ab 2. (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝；(2)（－14）×（－112）＝； (3)－0.45－0.5＝； (4)59÷127＝ . 4．计算：2318÷(－3)×1327.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. (2)12－1＋3(3－6)＋8. (3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.(4)（－3）2＋18－6×22； (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. (6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2.(2)(32＋12)(18－23)． (3)(3＋2)2－(3－2)2. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； (6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4.9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值．类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求yx y ＋x yx的值．16．已知x＝1－，y＝1＋，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x＝3＋，y＝3－，求下列各式的值.(1)x2－y2；(2)＋.参考答案类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 【答案】2 2．计算： (1)24＋0.5－⎝⎛⎭⎪⎫18＋6. 解：原式＝6＋14 2. (2)248－1813＋318－818；解：原式＝83－63＋92－2 2 ＝23＋7 2. (3)32－212－418＋348. 解：原式＝83＋2 2. (4)239x ＋6x 4－2x 1x . 解：原式＝3x . (5)a 2b ＋ab a －ba b－ab 2. 解：原式＝a b －b a . (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.解：原式＝－1＋4－4＋23＋1－3 3 ＝－ 3.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝；(2)（－14）×（－112）＝； (3)－0.45－0.5＝； (4)59÷127＝ .【答案】1 28 2 31010 15 4．计算：2318÷(－3)×1327.解：原式＝⎝⎛⎭⎫－23×1318×13×27＝－29×9 2 ＝－2 2.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 【答案】12 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. 解：原式＝1＋2＋4＝7. (2)12－1＋3(3－6)＋8. 解：原式＝4.(3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.解：原式＝－9 2.(4)（－3）2＋18－6×22；解：原式＝3＋32－32＝3. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. 解：原式＝(62－22＋42)÷2 2 ＝82÷2 2 ＝4.(6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.解：原式＝2.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2. 解：原式＝8＋215. (2)(32＋12)(18－23)．解：原式＝6.(3)(3＋2)2－(3－2)2. 解：原式＝4 6. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；解：原式＝（2－3）2023×（2＋3）2023×（2－3）＝[（2－3）×（2＋3）]2023×（2－3）＝－1×（2－3）＝－2＋3.(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2；解：原式＝(2＋3－5＋2－3＋5)× (2＋3－5－2＋3－5) ＝22×(23－25) ＝46－410.(6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．解：原式＝(3＋2)(3－2)[]（3＋2）－（3－2）＝(9－2)×2 2 ＝14 2.类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4. 解：原式＝a 2－4＋a －a 2 ＝a －4.当a ＝5＋4时，原式＝5＋4－4＝ 5. 9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.【解】原式＝·＝－·＝－.当x ＝－1时，原式＝－＝－.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.解：原式＝x 2－1－3x ＋1×x （x ＋1）x －2＝（x ＋2）（x －2）x ＋1×x （x ＋1）x －2＝x (x ＋2)．把x ＝3－2代入，原式＝(3－2)(3－2＋2)＝3－2 3. 类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．解：∵x －3≥0，3－x ≥0， ∴x ＝3，∴y ＝－3， ∴x －y ＝6.12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？解：当x ＝15时，5x －1＋4的最小值为4.类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值．解：原式＝(7＋43)(7－43)＋(2＋3)(2－3)＋ 3 ＝2＋ 3.类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．解：原式＝ab (a －b ) ＝4 2.15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求y xy ＋xyx 的值．解：∵x ＋y <0，xy >0，∴x <0，y <0， ∴原式＝y ·xy －y ＋x ·xy－x＝－2xy ＝－4 3. 16．已知x ＝1－，y ＝1＋，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值. 【解】∵x ＝1－，y ＝1＋，∴x －y ＝(1－)－(1＋)＝－2， xy ＝(1－)(1＋)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1)＝7＋4.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x ＝3＋，y ＝3－，求下列各式的值.(1)x 2－y 2；【解】∵x ＝3＋，y ＝3－，∴x ＋y ＝3＋＋3－＝6， x －y ＝3＋－(3－)＝2， ∴x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝6×2＝12.(2)＋.【解】∵x＝3＋，y＝3－，∴x＋y＝3＋＋3－＝6，xy＝(3＋)×(3－)＝4，∴＋＝＝＝＝＝7.。

2023年人教版八年级下册数学专题一二次根式的化简求值同步典型例题精讲课件

返回目录
1 2
6.当t＝
5
时，
3t－3－5 的值最小，最小值是 5
－5
.
3
4
5
解析：∵
35t－3
≥0，∴当
3 5
t－3＝0，即t＝5时，
35t－3－5的值
6
最小，最小值是－5.7来自8910
11
专题一二次根式的化简求值
返回目录
1
类型三利用二次根式性质( a2 ＝|a|)化简求值
2
7.[2022云南保山期末]若2，5，n为三角形的三边长，则化简
5
∴(a－1)2＝2，a2－2a＋1＝2，∴a2－2a＝1，
6
∴2a2－4a＝2，2a2－4a＋1＝3.
7
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
8 9
(1)化简：3－2
； 7
10 11
解：原式＝(3－2(37＋)(3＋7) 7) ＝2(332＋－77)＝3＋ 7.
专题一二次根式的化简求值
1 2
(2)若a＝
3
(3－n)2＋ (8－n)2 的结果为( A )
4
A.5
B.2n－10
C.2n－6
5
D.10
6
解析：∵2,5，n为三角形的三边长，∴3＜n＜7.∴ (3－n)2＋ (8－n)2
7
＝|3－n|＋|8－n|＝n－3＋8－n＝5.
8
9
10
11
专题一二次根式的化简求值
1 2
8.已知：a＝
1 5
，则
(a－1)2 ＝
专题一二次根式的化简求值
类型一类型二类型三类型四
先化简再求值利用二次根式的非负性化简求值利用二次根式性质( ＝|a|)化简求值用乘法公式和整体代入法求值

人教版八年级数学下册优秀作业课件第十六章二次根式专题训练(一) 二次根式的运算与化简求值技巧

(2)利用所探索的结论找一组正整数 a，b，m，n 填空：__4__＋2___3_＝(_1___＋__3__)2；(答案不唯一)
(3)若 a＋4 3 ＝(m＋n 3 )2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解：(3)根据题意，得a4＝＝m2m2＋n，3n2， ∵2mn＝4，且 m，n 为正整数， ∴m＝2，n＝1 或 m＝1，n＝2. 当 m＝2，n＝1 时，a＝22＋3×12＝7；当 m＝1，n＝2 时，a＝12＋3×22＝13， ∴a 的值为 7 或 13
数学八年级下册人教版
第十六章二次根式
专题训练(一) 二次根式的运算与化简求值技巧
1．已知 a－b ＋|b－1|＝0，求 a＋b 的值．
解：∵ a－b ＋|b－1|＝0，∴a－b＝0，b－1＝0，解得 a＝1，b＝1，∴ a＋b ＝ 2
2．已知 y＝ x－2 ＋ 2－x ＋38 ，求 xy 的值．
当 x＝ 5 －2，y＝ 5 ＋2 时，
原式＝（
1 5－2）－（
2－ 3 ，求代数式(7＋4 3 )x2＋(2＋ 3 )x＋ 3 的值．
解：当 x＝2－ 3 时，原式＝(7＋4 3 )(2－ 3 )2＋(2＋ 3 )(2－ 3 )＋ 3 ＝ (7＋4 3 )(7－4 3 )＋4－3＋ 3 ＝49－48＋1＋ 3 ＝2＋ 3
y (1)x
＋xy
－4＝（x＋yx）y 2－6xy
＝62－16×1
＝30
1 (2)(x
＋1y
1 )(x
－1y
)＝（x＋（y）xy（）y2－x）
＝－6×1 4
2
＝－24
2
14．小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2 2 ＝(1＋ 2 )2.善于思考的小明进行了以下探索：

二次根式的化简求值(含答案)

第八讲二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．例题求解【例l 】已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于．(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用xx 1+的代数式表示．【例2】满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )A ．1B ．2C ． 3D ． 4 (2003年全国初中数学联赛题)思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导．(第20后俄罗斯数学臭林匹克竞赛题改编) 思路点拨由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．【例4】已知：aa x 1+= (0<a<1)，求代数式42422362222----+---+÷-+x x xx x x x x x x x 的值． (2002半四川省中考题)思路点拨视x x x 4,22--为整体，把aa x 1+=平方，移项用含a 代数式表示x x x 4,22--，注意0<a1的制约．【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积；(第12届“五羊杯”竞赛题)（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．(2003年北京市竞赛题)思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．学历训练1．已知2323-+=x ，2323+-=y ，那么代数式22)()(y x xy y x xy +-++值为．2．若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ． 3．已知123123++=++x x ，则)225(423---÷--x x x x 的值．(2001年武汉市中考题)4．已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4()2442(222a a a a aa a a a -⋅++++-+的值为． (2003年黄石市中考题)5．若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (2003年河南省竞赛题) 6．已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( ) A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．20027．设9971003+=a ，9991001+=a ,10002=c ，则a 、b 、c 之间的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ． c<a<b D ．a<c<b8．设a a x -=1，则24x x +的值为( )A ．a a 1-B ．a a -1C ．aa 1+ D ．不能确定 9．若a>0，b>0，且)5(3)(b a b b a a +=+，求abb a ab b a +-++32的值．10．已知x x =--2)1(1，化简x x x x +++-+414122．11．已知31+=x ，那么2141212---++x x x = ． (2003年“信利杯”全国初中数学竞赛题) 12．已知514=-++a a ，则a 26-= ．13．已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）14．已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x ，则58664322+----y x y xy x = ．(第17届江苏省竞赛题) 15．1+a2如果22002+=+b a ，22002-=-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3－c 3的值为( ) (2003年武汉市选拔赛试题)A ．20022002B ．2001C ．1D ．016．已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a c<a<b (2002年全国初中数学联赛题)17．当220021+=x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．一1 C ． 1 D ．－ 22003 (2002年绍兴市竞赛题)18．设a 、b 、c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是( ) A ．1999 B ． 2000 C ． 2001 D ．不能确定 (2001年全国初中数学联赛试题)19．某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近?20．已知实数 a 、b 满足条件1<=-a b b a ，化简代数式2)1()11(--⋅-b a ba ，将结果表示成不含b 的形式．21．已知a a x 21+=(a>0)，化简：2222-++--+x x x x ．22．已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)答案：。

人教版八年级数学下册竞赛专题09 二次根式的概念与性质.doc

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考(0)a a ≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 10a ≥a a 、a 2一样都是非负数．2．2a ＝a （a ≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化． 3()()200a a a a a a ≥⎧⎪==⎨-≤⎪⎩ 揭示了与绝对值的内在一致性．4ab a b = （a ≥0，b ≥0）．5 a ab b=（a ≥0，b ＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则． 6．若a ＞b ＞0a b ＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设x ，y 都是有理数，且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么x y -的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤x ≤22121x x x x +---___________．解题思路：a a ≥0的隐含制约．【例3】若a ＞0，b ＞035aa b ba b =+23a b aba b ab++-+的值．（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a ，b 的值或探求a ，b 的关系．【例4】若实数x ，y ，m 满足关系式：35223199199x y m x y m x y x +--+-=-+--m 的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x －199＋y ）与（199－x －y ）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知121423352a b a b c c +---=--，求a ＋b ＋c 的值．（山东省竞赛试题）解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC 中，AB ，BC ，AC 51013学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫作构图法．若△ABC 5a ，2a ，17a （a ＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积．（3）若△ABC 2216m n +，2294m n +22m n + （m ＞0，n ＞0，且m ≠n ）试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．能力训练A 级132x --有意义．则x 的取值范围是_____________．（“希望杯”邀请赛试题）2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知a 31a a-- 解：原式＝(11a a aa a a a--=-- 3．已知正数a ，b ，有下列命题：（1）若a ＝1，b ＝1ab ≤1；（2）若a ＝12，b ＝52ab ≤32；（3）若a ＝2，b ＝3ab ≤52；（4）若a ＝1，b ＝5ab ≤3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7ab ≤________．（黄冈市竞赛试题）4．已知实数a ，b ，c 满足2112024a b b c c c -+-+=，则a （b ＋c ）的值为_______．图2CBA图1512x x x --的最小值是（）．A ．0B ．12C ．1D ．不存在 6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）． A 2.50.5 B ．3a a 和3bC 2a b 2ab D 73ab c 3c ab（“希望杯”邀请赛试题）72296135x x x -+-的结果是（）．A ．6x －6B ．－6x ＋6C ．－4D ．4（江苏省竞赛试题）8．设a 是一个无理数，且a ，b 满足a b －a －b ＋l ＝0，则b 是一个（）． A ．小于0的有理数 B ．大于0的有理数 C ．小于0的无理数 D ．大于0的无理数（武汉市竞赛试题） 92343aa b b a b =，其中ab ≠0ab a b ab++（山东省中考试颗）10．已知611611a ，b ，求ab 的值．（浙江省竞赛试题）11．设a ，b ，c 为两两不等的有理数． ()()()222111a b b c c a ++---（北京市竞赛试题）12．设x ，y 116100x x y -+=，求y 的最大值．（上海市竞赛试题）B 级1．已知x ，y 为实数，y ＝229913x x x ---，则5x ＋6y ＝_________．2．已知实数a 满足19992000a a a --=，则a －19992＝___________． 3．正数m ，n 满足m ＋mn －m －n ＋4n ＝32822002m n m n +-++_______．（北京市竞赛试题）4．若a ，b 满足5a b ＝7，则s =23a b 的取值范围是________．（全国初中数学联赛试题）5．已知整数x ，y x ＋y 50，那么整数对（x ，y ）的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（江苏省竞赛试题）6．已知1a a -＝1，那么代数式1a a+的值为（） A 5 B 5 C 5 D ． 5 （重庆市中考试题）7()()a x a a y a x a a y --=--x ，y ，a 是两两不同的实数．则代数式22223x xy y x xy y +--+的值为（）．A ．3B ．13 C ．2 D ．5382225152x x --=222515x x -- ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．设a ，b ，c 是实数，若a ＋b ＋c ＝1a +＋1b +2c -14，求 ()()()a b c b c a c a b +++++的值．（北京市竞赛试题）10．已知ax 3＝by 3＝cz 3，1x＋1y ＋1z ＝122233ax by cz a ++=3b 3c11．已知在等式ax bs cx d+=+中，a ，b ，c ，d 都是有理数，x 是无理数．求：（1）当a ，b ，c ，d 满足什么条件时，s 是有理数，（2）当a ，b ，c ，d 满足什么条件时，s 是无理数．（“希望杯”邀请赛试题）12．设s 222222111111111122319992000++++⋅⋅⋅++，求不超过s 的最大整数[s]．13．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连结AC ，EC ，已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x ．（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件是AC ＋CE 的值最小？（3）根据（2()224129x x +-+EC（恩施自治州中考试题）中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

部编数学八年级下册专题2二次根式化简求值技巧(解析版)含答案

专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一a|化简典例1（2022春•郯城县期末）化简二次根式―AB C．D．思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．解：由题意可知，x＜0，原式＝﹣x因此选项A是正确的，应选：A．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．变式训练1．已知a=1，求思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．解：∵a====2―∴a﹣1＝2――1＝1―0，∴原式=＝|a﹣1|＝﹣（a﹣1）=―1．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．（1）当a＜0（2）实数a，b思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．解：（1）当a＜0a1aa(a1)=―1a；（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，+＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）＝0．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．类型二含有隐含条件的化简求值典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么+A．B．﹣C．±D．思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（2，代入xy＝3，最后再开方即可．解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，所以（2=x2⋅yx+y2⋅xy+2xy=xy+xy+2xy＝4xy，∵xy＝3，所以4xy＝12，即（+2＝12．∵x与y是同号，所以原式＝±故选：C．总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在此条件下解答不会漏解．变式训练1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式+思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x 、y 同号，并且都是负数，化简所求式子，代值即可．解：∵x +y ＝﹣6，xy ＝8，∴x 、y 同号，并且都是负数，∴=―＝﹣（y x +xy ）=―=―(6)22×88＝﹣总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a ＝3时，求a +小红的答案是5．小明却认为：原式=a +a +(1―a )=1．即：无论a 取何值，a 1．你认为小明说得对么？为什么？思路引领：根据题意得到1﹣a ＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．解：小明的解答是错误的，理由如下：∵a ＝3，∴1﹣a ＝﹣2＜0，∴原式＝a +a ﹣1＝2a ﹣1，当a ＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，∴小明的解答是错误的．总结提升：=|a |是解题的关键．类型三利用整体思想进行求值典例3 已知x ＝5﹣y ＝3x 2+5xy +3y 2的值．思路引领：先计算出x +y 与xy 的值，再利用完全平方公式得到3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x ＝5﹣y ＝∴x +y ＝10，xy ＝25﹣24＝1，∴3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ＝3×102﹣1＝299．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．变式训练1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x y （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x +xy +2．思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x 2+y 2和xy 的值，（1）直接代入即可求得；（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．解：∵x y =∴xy 32，x ―y =―1，又∵（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ，∴x 2+y 2=(x ―y )2+2xy =1+2×32=4，（1）x 2﹣xy +y 2＝x 2+y 2﹣xy =4―32=52．（2）y x +x y +2=y 2x 2xy +2=432+2=83+2=143．总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二次根式的性质和乘法公式求得x 2+y 2和xy 的值是解题关键．2．（1）已知：x =1，y =1．求2x 2+2y 2﹣xy 的值；（2）已知x ，求x 3x 1x 3的值．思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；（2）由x 2x =+1，可得2x ﹣1=4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，x +1＝x 2，利用整体代入的思想解决问题．解：（1）x2―y ＝2+所以原式＝2（2―2+2（2+2﹣（2―（2+＝14﹣―1＝27；（2）∵x =∴2x +1，∴2x ﹣1=∴4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，∴x +1＝x 2，∴原式=x 3x 2x 3=x 2(x 1)x 3=x 4x 3=x 总结提升：本题考查二次根式的化简求值，分母有理化等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．类型四化简二次根式比较大小典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．变式训练1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题+1）1）＝1，+1，+1…（1）观察上面规律，计算下面的式子1+1+1+⋯+1（2）利用上面的规律思路引领：（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；（2―解：（1++⋯+=1)+++⋯+―=―1+―⋯=1＝10﹣1＝9；（2==1，=∴1＞1，――总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问题．第二部分专题提优训练1．（2021春•上城区校级期中）已知a=b=ab的值为．思路引领：a=b=ab＝1即可．解：a=b=∴ab+3﹣2＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．2．（2018春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），则|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是．思路引领：直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简得出答案．解：∵一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），∴1＜m＜5，|1﹣3m|+3＝2m+1﹣（3m﹣1）+3＝﹣m+5，当m＝2时，﹣m+5＝3，当m＝3时，﹣m+5＝2，当m＝4时，﹣m+5＝1，故所有结果的和是：1+2+3＝6．故答案为：6．总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确得出m 的取值范围是解题关键．3．（2021春•“＞”或“＝”或“＜”）．思路引领：根据分母有理化分别化简，即可得出答案．解：∵14=11+1，∴11，故答案为：＜．总结提升：本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．4．（2022春•　＞　12（填“＞”“＜”“＝”）．思路引领：决问题．1＞1，＞12．故填空结果为：＞．总结提升：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n 次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a 满足|2020﹣a |a ，那么a ﹣20202+1的值是．思路引领：根据二次根式有意义的条件得出a ≥2021，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．解：由题意得：a ﹣2021≥0，解得：a ≥2021，则a ﹣2020a ，=2020，∴a ﹣2021＝20202，∴a ﹣20202＝2021，∴原式＝2021+1＝2022，故答案为：2022．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a ＝9时，求a +甲的解答为：原式＝a =a +（1﹣a ）＝1；乙的解答为：原式a =a +（a ﹣1）＝2a ﹣1＝17．两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是．思路引领：利用二次根式的性质化简即可；解：∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式＝a +a +a ﹣1＝2a ﹣1＝17．∴甲错误，故答案为甲，没有注意到1﹣a ＜0．总结提升：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本公式，注意公式的应用条件．7．（2010秋•=5―2；16请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出1的结果为．（2）利用上面所提供的解法，求值：1+1+1+⋯+1 ．思路引领：（1）直接利用分母有理化化简得出答案；（2）直接将原式化简，进而计算得出答案．解：（1）1（2）原式=―1+―...―=1．1．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2022春•彭州市校级月考）已知x=1，y=1，求值：（1）xy；（2）x2+3xy+y2．思路引领：（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．解：（1）xy=11=1 75=1 2；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy2+122+122+12＝7+12＝712．总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2―b=1，求思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．解：∵b===2+a＝2―∴a ﹣b ＝2――（2+2―2――0，=总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a =，b =1．（1）求ab 的值；（2）求a 2+b 2的值．思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据二次根式的加法法则求出a +b ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．解：（1）∵a +1，b 1，∴ab 1）1）＝3﹣1＝2；（2）∵a =+1，b =―1，∴a +b 1）+1）＝∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（2﹣2×2＝8．总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．11．（2022•南京模拟）计算：（1）已知x =，y =1，试求x 2﹣xy +y 2的值．（2）先化简，再求值：a 21a 2a ÷(2+a 21a)，其中a 思路引领：（1）先计算出x ﹣y ＝2，xy ＝1，再将所求代数式变形为（x ﹣y ）2+xy ，然后整体代入计算即可；（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x 值代入化简式计算即可．解：（1）∵x =，y =1，∴x ﹣y ＝2，xy ＝1，∴x 2﹣xy +y 2＝（x ﹣y ）2+xy ＝22+1＝5；（2）a 21a 2a ÷(2+a 21a )=(a 1)(a 1)a (a 1)÷a 22a 1a=(a1)(a1)a(a1)⋅a(a1)2=1a1，当a原式=―1．总结提升：本题考查代数式求值，逆用完全平方公式，分式化简求值，二次根式运算，熟练掌握完全平方公式与分式混合运算法则是解题的关键．12．（2022春•a=思路引领：先分母有理化，再利用二次根式的性质化简得到原式＝1）a﹣|a﹣1|，接着利用a=＞1去绝对值，合并得到原式+1，然后把a=+1）a+1）a﹣|a﹣1|，∵a1，+1）a﹣（a﹣1）=+1，当a=1＝3．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．13．已知a=b＝2―c=2，比较a，b，c的大小．思路引领：先求出a0.318，b＝2―0.268，c=2≈0.236，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．解：∵a=≈0.318，b＝2―≈0.268，c=2≈0.236，0.318＞0.268＞0.236，∴a＞b＞c．总结提升：考查了实数大小比较，关键是求出a，b，c的大小．14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x﹣1|+x＝9．小明同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+10﹣x＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？思路引领：根据二次根式的性质判断即可．解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．15．（2021春•五华区期中）阅读下列简化过程：1=1―11（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．（2）计算1+1+1+⋯⋯1．（3）设a=1，b=1，c=1比较a，b，c的大小关系．思路引领：（1）观察题目可得分母上的数相差1，即可得出结论；（2）利用（1）中的规律先化简，随后进行加减即可；（3）先将a，b，c按照题目中的形式化简，再进行比较即可．解：（1）∵分母上的每个数都含有根号，根号内的数相差为1，分子为1，==（2⋯⋯+⋯⋯=―1+⋯⋯+=1．（3）∵ab=c=∴ab 2c2，∴a ＜b ＜c ．总结提升：本题考查二次根式的化简，平方差公式，分母有理化，实数的大小比较，涉及的知识点比较多，本题的难点在于通过题干得出计算规律，运用规律即可解决问题．16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像=3=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．==3+解答下列问题：（1（2（3）应用：当n ―思路引领：（1）根据有理化因式的定义求解；（2）把分子分母都乘以（3―，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（3）利用分母有理化得1，1，然后比较与1的大小即可．解：（1+（2）原式98﹣（31，=1，++0，总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．。

(人教版)八年级数学下册专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧

【对应训练】 6．已知 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，求下列式子的值： (1)a2b＋ab2； (2)a2－3ab＋b2； (3)(a－2)(b－2)．解：(1)2 5 (2)15 (3)5－4 5
2－1
时，原式＝
2 2
五、巧用二次根式的定义和性质求值【例 5】已知 x，y 为实数，且满足 1＋x－(y－1)· 1－y＝0，那么 x2017－y2017＝__－__2__．分析：因为 1＋x－(y－1) 1－y＝0，所以 1＋x＋(1－y) 1－y＝ 0.因为 1＋x≥0，(1－y) 1－y≥0，从而可求得 x，y 的值，再代入求值即可．【对应训练】 5．若 x－3＋ 3－x＝(x＋y)2，则 x－y＝__6__．
专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
一、二次根式的加减运算
【例 1】计算：
2 (1)3
9x＋
4x－2x
1x；
(2)( 40－ 0.2＋3 52)－( 217－ 10)．分析：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
解：(1)原式＝2 x＋3 x－2 x＝3 x (2)原式＝2 10－ 55＋53 10
【对应训练】 2．计算： (1) 15×35 20÷(－31 6)；解：－9 2
(2)( 18－4
12＋
1 3＋
2)÷
3 3.
解：3
三、巧用乘法公式计算【例 3】计算： (1)(3 2＋ 12)( 18－2 3)； (2)(2＋ 2)( 2－1)．分析：(1)先将二次根式化简，再运用平方差公式计算；(2)先将“2 ＋ 2”变成“ 2( 2＋1)”，再运用平方差公式计算．解：(1)原式＝(3 2＋2 3)(3 2－2 3)＝(3 2)2－(2 3)2＝18－12＝6 (2)原式＝ 2( 2＋1)( 2－1)＝ 2(2－1)＝ 2

八年级数学二次根式化简求值及比较大小(含知识点练习题)

8设
S1
1 1 12

1 22
，
S2
1
1 22

1 32
，
S3
1
1 32

1 42
，
…，
Sn
1
1 n2

1
n 12
．
若
S S1 S2 … Sn ，求 S（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）．
9 已知
x
y 1
z

2

1 2
(x

y

z)
，求
x
、
y
随堂练习
x 3.1 当 x 0 时， x2 的值为（）
A． 1
B．1
x3 x 1
3.2 化简
x ，得（）
C． 1
D．x
A． x 1 x
B． 1 x x
C． x 1 x
D． x 1 x
3.3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 (a +b)2 +a 的化简结果为____．
(
x x
x2 1)2

2x (x
1 1)2
，其中
x

3 2
．
二：多重二次根式例 3.2.1 化简：（1） 4 12 （2） 4 15
例 3.2.2 化简： 10 8 3 2 2 ．例 3.2.3 若正整数 a 、 m 、 n 满足 a2 4 2 m n ，则 a 、 m 、 n 的值依次是_______．
4.3 已知 a 2 1， b 2 2 6 ， c 6 2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是（）

人教版初中八年级上册数学解题技巧专题练习：二次根式中的化简求值

解题技巧专题：二次根式中的化简求值——明确计算便捷渠道◆类型一利用二次根式的非负性化简求值1．若y ＝x －3＋3－x ＋2，求x y 的值．【方法22】◆类型二利用乘法公式化简求值2．计算：(1)(2＋3)2；(2)(3＋2)2－(3－2)2；(3)(2＋5)11·(2－5)10.3．已知x ＋1x ＝5，求x 2x 4＋x 2＋1的值．◆类型三利用整体代入求值4．已知a －b ＝5－1，ab ＝3，则12a 2＋2ab ＋12b 2＝________． 5．已知x ＋y ＝2－10，求代数式(x ＋y )2－4(x ＋y )－6的值．6．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．7．已知x ＝12(7＋3)，y ＝12(7－3)，求代数式x 2＋y 2－xy 的值．参考答案与解析1．解：由题意有x －3≥0，3－x ≥0，∴x ＝3，∴y ＝2，∴x y ＝9.2．解：(1)原式＝7＋4 3. (2)原式＝(3＋2＋3－2)(3＋2－3＋2)＝4 6. (3)原式＝[(2＋5)(2－5)]10(2＋5)＝2＋ 5.3．解：原式取倒数得x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1x 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－1＝(5)2－1＝4，∴原式＝14. 4．12－5 解析：原式＝12(a 2＋4ab ＋b 2)＝12[(a －b )2＋6ab ]．∵a －b ＝5－1，ab ＝3，∴原式＝12[(5－1)2＋6×3]＝12－ 5. 5．解：(x ＋y )2－4(x ＋y )－6＝(x ＋y －2)2－10＝(2－10－2)2－10＝0.6．解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝(1－2)－(1＋2)＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1，∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1)＝7＋4 2.7．解：因为x ＝12(7＋3)，y ＝12(7－3)，所以x ＋y ＝12(7＋3)＋12(7－3)＝7，xy ＝12(7＋3)×12(7－3)＝1，所以x 2＋y 2－xy ＝(x ＋y )2－3xy ＝(7)2－3×1＝4.---------------------学习小技巧---------------小学生制定学习计划的好处小学生想要成绩特别的突出学习计划还是不能少的。

新人教版八年级下二次根式的化简与求值练习题

新人教版八年级下二次根式的化简与求值练习题一、化简根式1. 化简根式 $\sqrt{12}$。

2. 将根式 $\sqrt{18}$ 化简为最简根式。

3. 化简根式 $\sqrt{\frac{27}{8}}$。

4. 将根式 $\sqrt{\frac{20}{3}}$ 化简为最简根式。

二、求值1. 计算 $\sqrt{25}$ 的值。

2. 利用近似计算的方法，求出 $\sqrt{7}$ 的值（保留两位小数）。

3. 计算 $\sqrt{16 - 9}$ 的值。

4. 计算 $\sqrt{50} - \sqrt{32}$ 的值。

三、综合练1. 将根式 $\sqrt{24}$ 化简为最简根式，再求它的值。

2. 计算 $\sqrt{34} + \sqrt{8}$ 的值（保留两位小数）。

3. 将根式 $\sqrt{\frac{50}{3}}$ 化简为最简根式，再求它的值（保留两位小数）。

4. 计算 $3\sqrt{5} + 2\sqrt{20}$ 的值。

四、挑战练1. 将根式 $\sqrt{\frac{125}{16}}$ 化简为最简根式。

2. 将根式 $\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$ 化简为最简根式。

3. 将根式 $\sqrt{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$ 化简为最简根式。

4. 计算 $2\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{48}$ 的值。

以上为《新人教版八年级下二次根式的化简与求值练习题》的内容。

请按照题目进行练习，如有疑问，请及时咨询老师或同学。

祝您学习进步！。

八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案

八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案第七讲：二次根式的运算二次根式是指形如a(a≥0)的式子，其运算基于以下几个法则：1) ac±bc=(a±b)c(c≥0)；2) ab=a×b(a≥0，b≥0)；3) a/b=a÷b(a≥0，b>0)；4) (a)²=a²(a≥0)。

同类二次根式的合并是二次根式加减的实质，而二次根式除法和混合运算则常常用到有理化概念。

因此，有理化是二次根式中重要的概念。

二次根式的运算是在有理式（整式、分式）运算的基础上发展起来的，因此，解决二次根式问题时，常常需要用到有理式运算的方法和技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。

例题求解：例1】已知y=(x²-2)/(x²-2-5x+4+5x/(4-5x))，求x²+y²=4-5x。

解析：由于等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，因此，我们从二次根式的定义入手。

通过二次根式的性质，我们可以通过平方去掉根号有理化，揭示与绝对值的内在一致性。

这样，我们就可以充分运用概念解题。

例2】化简1+1/n²+1/(n+1)²，所得的结果为（）A.1+1/n+1/(n+1)B.1-1/n+1/(n+1)C.1+1/n-1/(n+1)D.1-1/n-1/(n+1)解析：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。

特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律。

例3】计算：1）(6+4)/(3+2)；2）10+14-15-21/10+14/15+21；3）75+57+…+5+23+1/(315-10-26+33-2+18)。

解析：若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化。

因此，我们需要观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口。

人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)

中考数学专题 二次根式的化简与求值_答案