二次微分方程的通解
二阶微分方程解法
第六节二阶常系数齐次线性微分方程之袁州冬雪创作讲授目标：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，懂得二阶常系数非齐次线性微分方程的解法讲授重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法讲授过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那末y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看, 可否适当选取r,使y=e rx知足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=e rx代入方程y+py+qy=0得(r2+pr+q)e rx=0.由此可见,只要r知足代数方程r2+pr+q=0,函数y=e rx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数xr e y 11=、xr e y 22=是方程的解,又xr r xr x r ee e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,函数xr e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为,x r e y 11=是方程的解,又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以x r xe y 12=也是方程的解,且x exe y y xr xr ==1112不是常数.因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时,函数y =e (a +ib )x 、y =e (aib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e (a +ib )x 和y 2e (aib )x都是方程的解 而由欧拉公式得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x ) y 2e (aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x)(21sin 21y y ix e x -=βα故e axcos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证,y 1=e axcos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax (C 1cos bx +C 2sin bx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y +py+qy =0的通解的步调为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的分歧情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y-2y-3y =0的通解.解所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0,即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1,r 2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x .例 2 求方程y+2y+y=0知足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) ++p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 ++p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 ++p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n yy(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 ++p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx 因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 ++p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r1,2=a ib对应于两项:e ax(C1cos bx+C2sin bx);k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x++C k x k-1);一对k 重复根r 1,2=a ib 对应于2k 项: e ax [(C 1+C 2x ++C k x k -1)cos bx +(D 1+D 2x ++D k x k -1)sin bx ].例4 求方程y (4)-2y +5y =0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0,即r 2(r 2-2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3,4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解,其中b 0.解 这里的特征方程为r 4+b 4=0.它的根为)1(22,1i r ±=β,)1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为)2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程:方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程自己的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=P m(x)e lx型当f(x)=P m(x)e lx时,可以猜测,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)e lx,将其代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1++b m-1x+b m,通过比较等式双方同次项系数,可确定b0,b1,,b m,并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=P m(x)e lx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1,l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l =0不是特征方程的根,所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程,得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两头x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3,-2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1,311=b .于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y .例2求微分方程y -5y +6y =xe 2x的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=x ,l =2).与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2,r 2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程,得-2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两头x 同次幂的系数,得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1,2b 0-b 1=0.由此求得210-=b ,b 1=-1.于是求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=.从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=.提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x] [2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x 6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e2x[2b 0x +2b 0b 1]e2x方程y+py+qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=,)(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l ,n }. 设方程y +py +qy =P (x )e (l +iw )x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (l +iw )x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按liw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为 =x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ].综上所述,我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ],则二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py +qy =f (x )的特解可设为 y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式,m =max{l ,n },而k 按l +i w(或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3求微分方程y +y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0,w =2,P l (x )=x ,P n (x )=0）.与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根,所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程,得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两头同类项的系数,得31-=a ,b =0,c =0,94=d .于是求得一个特解为x x x y 2sin 942cos 31*+-=.提示 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x (2cx +a 2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x (4ax 4b 4c )cos2x (4cx 4a 4d )sin2x y *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a ,b =0,c =0,94=d .。
二阶微分方程解法推导
二阶微分方程解法推导二阶微分方程是数学中的一个重要的分支，它在物理、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二阶微分方程的解法推导，从而让读者更深入地理解二阶微分方程的求解方法。
首先，我们需要了解什么是二阶微分方程。
二阶微分方程是一个关于未知函数 y(x) 及其导数 y'(x) 和 y''(x) 的方程。
一般形式如下：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)其中 p(x)、q(x)、f(x) 都是已知函数。
对于这个方程，我们可以通过以下步骤来求解：第一步，找到其特征方程。
特征方程是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0 的解。
我们可以假设其解为 y(x) = e^(mx)，将其代入特征方程中得到：m^2 + p(x)m + q(x) = 0解这个二次方程，可以得到两个根 m1、m2，它们可以是实数或复数。
第二步，根据根的情况分类讨论。
如果 m1 和 m2 都是实数且不相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = c1e^(m1x) + c2e^(m2x)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 都是实数且相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = (c1 + c2x)e^(mx)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 是复数共轭，即 m1 = a + bi，m2 = a - bi，那么 y(x) 的通解为：y(x) = e^(ax)[c1cos(bx) + c2sin(bx)]其中 c1、c2 是任意常数。
第三步，根据边界条件确定具体解。
通解中的常数需要根据边界条件来确定，从而得到具体的解。
通过以上三个步骤，我们可以求解二阶微分方程的解。
需要注意的是，当特征方程产生相同的根时，其求解方法会有所不同。
此外，对于特殊类型的二阶微分方程，也可以采用其他方法来求解。
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
u( x, y) f ( ( x, y)) g (( x, y)) f (1x 1 y) g(2 x 2 y)
： B 4 AC 0时，
Step2: 化方程为标准型，求其通解。 Step3: 将第二步所求通解中的变量 , 换成 x, y
的函数即可。 评点该方法： 化标准型的过程很麻烦，很容易出错。但
是对于一些特殊方程，它们的标准型有一定的规律，给
求解带来很大的方便。 三、 Auxx Buxy Cuyy 0的通解求法
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
u ( y), 代入方程得到： 解：设原方程的特解为
e 4u yy e , 可以找到一个特解为 u 4 设原方程的通解为 : ey u ( x, y ) xf (2 x y) g (2 x y ) 4
y
u( x, y) xf (2 x y) g (2 x y)
例3： uxx u yy 0
2
dy 解： 特征方程： 1 0 dx ix y C1 特征线： ix y C2
u( x, y) f (ix y)) g (ix y)
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 ，2，1 ，2为复数
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法概述二阶微分方程是微积分课程中的重要内容，它描述了一类与二阶导数有关的数学关系。
解决二阶微分方程是求解许多自然科学和工程学科中的问题的关键步骤。
本文将介绍二阶微分方程的基本概念，常见的解法以及解法的应用领域。
二阶微分方程的基本概念二阶微分方程是指含有二阶导数的微分方程，通常形式为：d2y dx2=F(x,y,dydx)其中，y是未知函数，x是自变量，F是给定函数。
二阶微分方程可以分为线性和非线性两类，线性二阶微分方程的一般形式为：d2y dx2+P(x)dydx+Q(x)y=R(x)其中，P(x)、Q(x)、R(x)是已知函数。
常见的解法解决二阶微分方程的方法有多种，下面介绍几种常见的解法。
1. 特解和通解对于非齐次二阶线性微分方程，我们可以通过特解和通解的组合求解。
首先求解相应齐次方程（将非齐次方程中的R(x)置为0）的通解，记为y c。
然后求解非齐次方程的一个特解，记为y p。
最后，原方程的通解可以表示为y= y c+y p。
2. 常数变易法常数变易法适用于形如y″+P(x)y′+Q(x)y=R(x)的方程。
我们首先假设通解为y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)都是未知函数。
然后将通解带入原方程得到一个关于u和v的方程。
通过选择合适的u和v，使得方程成立，即可求得原方程的通解。
3. 欧拉方程对于形如x2y″+P(x)xy′+Q(x)y=0的方程，我们可以通过欧拉方程进行求解。
将未知函数y表示为y=x r，其中r是常数。
然后将这个表达式代入原方程，并确定r的值，从而求得方程的通解。
4. 分离变量法对于一些特殊的二阶微分方程，我们可以使用分离变量法求解。
例如，对于形如y″=f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy/dx，从而将方程分离为关于x和y的方程。
然后可以分别积分得到x和y的关系式，最终求得方程的解。
二阶微分方程的应用领域二阶微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
微积分：二阶微分方程
二、二阶常系数线性微分方程
一般形式 y+by+cy=f(x)
当f（x）=0时，称为齐次的， 当f（x） 0时，称为非齐次的。
1、解的结构 引进微分算子：L[y] y+b y+cy 则方程分别记为
L[y]=f(x)， L[y]=0 性质1
L[cy]=cL[y]，c为常数。
性质2
L[y1+y2]= L[y1]+ L[y2]。
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
r1 r2 3 故通解 y (C1 C2 x)e3x .
若有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
比较系数
2b0 3,2b0 b1 1.
b0
3, 2
b1
4.
y* x( 3 x 4)e x
2
通解
y
C1e x
C2e2x
x(
3 2
x
4)e x .
例3 求y 3x 1的一个特解。
解 r 2 0 0是重根，
设 y* x 2 (b0 x b1 )e0x 将y *、y *、y * 代入微分方程,
C2 x)e x
]
则，方程组的解为
z (C1 C2 x)e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x)e x .
例2 解方程组
3
dx
dt dx
dy
dt dy
x y
0 et
(1) (2)
dt dt
微分方程组的应用：
例3 捕食 — 被捕食模型
微积分：二阶微分方程
若有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
b, 2
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (2r1 b)u (r12 br1 c)u 0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例6求初值问题
y
y 2 y x0 4, y
y x0
0 2
解 特征方程
r 2 2r 1 0 r1 r2 1
y (C1 C2 x)ex .
将y x0 4代入， 得C1 4，
y (4 C2 x)ex , y (4 C2 x C2 )ex .
2、不含自变量x： y=f （y，y） 这时应把y视为新变量。
令y=P，
y dp dp dy p dp dx dy dx dy
方程化为 p dp f ( y, p). dx
例 求方程 yy y2 0的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
将y x0 2代入， 得C2 2，
y (4 2x)ex .
3.二阶常系数线性非齐次微分方程
y+by+cy=f(x) 现在讨论f(x)为： Pm(x) ; Pm(x)ex ; Pm(x)excosx 或Pm(x)exsinx 等 特殊情况。以上可合并为
f (x)=Pm(x)e ( + i) x
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例4 解方程y 6 y 9 y 0. 解 特征方程 r 2 6r 9 0 (r 3)2 0
二阶微分方程齐次解的通解一定有两个
一、引言微分方程是描述自然现象和工程实践中种种关系的数学工具，它的解对于理解和预测这些现象至关重要。
在微分方程的研究中，齐次二阶微分方程是一个非常重要的概念。
本文将对齐次二阶微分方程的齐次解进行深入探讨，探究其通解一定有两个的证明。
二、齐次二阶微分方程的定义齐次二阶微分方程可以写作形式为y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的微分方程，其中p(x)和q(x)是定义在区间上的连续函数。
如果p(x)和q(x)是常数，则称为常系数齐次二阶微分方程。
三、齐次二阶微分方程的齐次解1. 定义齐次二阶微分方程的齐次解是指对应的齐次线性微分方程的解。
若y1(x)和y2(x)是齐次线性微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的两个解，则它们的线性组合y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)也是这个微分方程的解，其中c1和c2是任意常数。
2. 通解的定义齐次二阶微分方程的通解指包含了其所有解的解集合，通解可以用线性组合的形式表示出来。
对于齐次二阶微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，它的通解可以表示为y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)，其中y1(x)和y2(x)是方程的两个解，c1和c2是任意常数。
四、齐次解的通解一定有两个的证明1. Bernoulli公式对于齐次二阶微分方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，我们可以通过Bernoulli公式进行变换，令y(x) = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是待定的函数。
带入方程后可以得到一个关于u(x)和v(x)的一阶常系数齐次线性微分方程。
通过适当的选择u(x)和v(x)，我们可以得到这个一阶微分方程的通解，从而得到原方程的通解。
二阶线性齐次微分方程通解
二阶线性齐次微分方程通解二阶线性齐次微分方程是一类常用的数学方程，它是一类重要的常微分方程，它提供了一种解决复杂科学问题的有用工具。
本文针对二阶线性齐次微分方程将做简单的解释。
二阶线性齐次微分方程的一般形式为：$$y^{''}+a_1y^{'}+a_2y=0$$ 其中$a_1$和$a_2$都是实常数，$y$代表连续函数$y=f(x)$的变量。
它可以使用特殊函数$y=e^{rx}（r）$来解决，其中$r$也是一个实常数，称为方程的根（解）。
实际上，二阶线性齐次微分方程有两种不同的解决方案：一种是采用根法，求解得到特定的实数解；另一种是采用线性变换法，将微分方程变换成一种简单的形式，以较省时间地求解出通解。
根法的步骤是：1. 对方程的一阶导数求导，获得对应的一阶低阶微分方程；2. 解决一阶低阶微分方程，获得一阶导数的表达式；3. 将得到的一阶导数表达式带入原方程，就可以求出方程的实数根；4. 根据根的数量，有两种情况：一个根时，通解形式为$y=e^{rx}；$两个根时，通解形式为$y=e^{rx}（c_1+c_2x）$;5. 利用初值条件，确定系数$c_1$和$c_2$。
而线性变换法则由Euler，Legendre等数学家发展而来，它的思想是根据系数的特征，将原方程变换成一种简单的形式，从而求解出通解。
在变换后的方程中，可以利用解析函数得出通解。
变换步骤如下：1. 首先要分析方程中系数的特征：对于$a_2\neq 0$，可以分解成一阶微分形式$y^{'}+b_1y=0$;2. 求一阶微分形式$y^{'}+b_1y=0$的解，得到$u=e^{b_1x}$;3. 利用$u=e^{b_1x}$中的$u$，重新定义变量$y=uw$;4. 将$y=uw$带入原函数中，解得方程$w^{'}+A_1w=0$的解，从而得到通解$y=C_1e^{A_2x}$。
通过以上不同的方法，我们可以解决二阶线性齐次微分方程的通解，从而推动现代数学的发展，为科学研究提供有效的计算工具。
二阶常系数非齐次微分方程的通解
二阶常系数非齐次微分方程的通解要求给出二阶常系数非齐次微分方程的通解，我们先来回顾一下二阶常系数齐次微分方程的通解形式。
对于二阶常系数齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$我们可以设其解为$y=e^{rt}$，其中$r$为待定常数。
将$y=e^{rt}$代入上式，得到：$$r^2e^{rt}+are^{rt}+be^{rt}=0$$化简上式，可得：$$r^2+ar+b=0$$这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解得$r_1$和$r_2$。
对于$r_1$和$r_2$为实数的情况，通解形式为：$$y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
对于$r_1$和$r_2$为复数的情况，通解形式为：$$y=e^{at}(c_1\cos(bt)+c_2\sin(bt))$$其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
接下来我们来讨论二阶常系数非齐次微分方程的通解形式。
对于非齐次微分方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中$f(t)$为已知函数，我们首先要找到它的一个特解。
特解可以通过猜测的方法或变异参数法求得。
当特解已知时，我们可以将其带入原方程，然后设通解为特解加上齐次方程的通解。
设特解为$y_p$，齐次方程的通解为$y_c$，则原方程的通解可以表示为：$$y=y_c+y_p$$接下来，我们讨论特解的求解方法。
1.猜测方法：根据非齐次项的形式，我们可以猜测特解的形式，然后将其带入原方程，求解得到特解。
常用的猜测形式有：多项式、指数函数、三角函数、幂函数等。
2.变异参数法：假设特解为$y_p=u(t)y_c$，其中$y_c$为齐次方程的通解，$u(t)$为待定函数，代入原方程得到：$$\frac{d^2(u(t)y_c)}{dt^2}+a\frac{d(u(t)y_c)}{dt}+b(u(t)y_c)=f(t)$$化简后，整理得到：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right]+\left[\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c\right]u(t) =f(t)$$由于$\frac{d^2y_c}{dt^2}+a\frac{dy_c}{dt}+by_c=0$，所以上式可化简为：$$y_c\left[\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)\right] = f(t)$$我们可以通过选择合适的$u(t)$，使得$\frac{d^2u(t)}{dt^2}+a\frac{du(t)}{dt}+bu(t)$为一常数或一个已知函数。
5二阶线性微分方程解的结构与通解性质
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 z C 2 Z (x ) z (x )
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
kk11
2k2 4k2
0 0
x ex
C,
x,ex 线性无 . 关
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
y x ( x 1 ) 2 C 1 ( x e x ) C 2 ( 2 x 4 e x )
y(0)0 0 1 C 1 4 C 2
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d d2y 2xa(x)d dx y b(x)y0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若y1(x),y2(x)是方(2程 )的解，则它们 的任意组合
y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
都是方程(2)的解，其中C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
将yy1Y代入非齐次方 ，程 得的 ：左端 ( y 1 Y ) a ( x ) y 1 Y ( ) b ( x ) y 1 Y ( )
( Y a ( x ) Y b ( x ) Y ) ( y 1 a ( x ) y 1 b ( x ) y 1 ) 0f(x) f(x) 即yy1Y是非齐次方程的 由解 于 Y， 是又 对应 齐次方程的通解 两， 个含 独有 立的任意 所常数 以y中含有两个独立 故常 为数 通， 解。
y y 1 ( x )v1(x) y 2 ( x )v2(x) 只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一
二阶线性微分方程解的结构
因而线性无关, 故原方程通解为
代入初始条件 故所求特解为
微分方程解的结构 齐次线性微分方程的通解结构 非齐次线性微分方程的通解结构
1.下列函数组哪些是线性相关的？哪些是线性无关的？
（1） 2x, x 1
（2） sin x,cos x
（3） e x , e1 x
（4） 1, x3
（5） sin 2x, sin x cos x
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
定义9.6
线性相关
存在不全为 0容易看出 x 3x 线性相关， e x e 3x 线性无关
定理 9.2
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
2．验证 y1 cos x 及 y2 sin x 都是方程
y '' 2 y 0 的解，并写出该方程的通解。
3．验证
y
C1
cos
x
C2
sin
x
x 2
cos
x
是微分方程
y y sin x 的通解．
4．证明：若 y y1( x) 是线性方程 y p( x) y 0
的解，则 y Cy1( x) (C 为任意常数）也是该方程的解，
并写出这个方程。
应用微积分
应用微积分
二阶线性微分方程 当 f ( x) 0时，二阶线性齐次微分方程 当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
定理 9.1 若函数
是二阶线性齐次方程
的两个解, 也是该方程的解. (叠加原理)
证
为任意常数） 代入方程左边, 得
求解二阶微分方程
求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+f(x)y'+g(x)y=0$的方程，其中$f(x)$和$g(x)$是已知函数。
在下面的讨论中，我们将介绍如何求解这样的微分方程。
首先考虑形如$y''+ay'+by=0$的方程，其中$a$和$b$都是常数。
这样的方程称为常系数齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以根据特征方程$λ^2+aλ+b=0$的解来求解。
特征方程的解称为特征根。
1.如果特征方程的根是实数，假设为$r_1$和$r_2$，则方程的通解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
2. 如果特征方程的根是共轭复数，假设为$α±βi$（其中$α$和$β$都是实数），则方程的通解为$y=e^{αx}(c_1\cos(βx)+c_2\sin(βx))$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。
注意：如果特征方程的根是重根，那么在通解中还需要考虑相应的$x$的幂函数项。
接下来考虑形如$y''+ay'+by=r(x)$的方程，其中$r(x)$是已知函数。
这样的方程称为非齐次线性二阶微分方程。
对于这类方程，我们可以先求解齐次线性二阶微分方程的通解$y_h(x)$，然后再寻找非齐次解$y_p(x)$，使得方程的通解为$y=y_h+y_p$。
非齐次线性二阶微分方程的非齐次解$y_p(x)$可以通过待定系数法或变异参数法来求解。
1.待定系数法待定系数法适用于$r(x)$为多项式函数、指数函数、三角函数或多个这些函数的线性组合的情况。
- 若$r(x)$为多项式函数，假设为$P_n(x)$（其中$P_n(x)$是$n$次多项式），则$y_p(x)$的形式为$y_p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，将$y_p$代入方程，确定待定系数的值。
齐次二阶线性微分方程通解
齐次二阶线性微分方程通解齐次二阶线性微分方程是一类无穷维空间上的线性核函数方程，采用特定的内积表示形式，其形式如下：$$y+p(t)y+q(t)y=f(t)$$其中，y(t)为定义在t∈[a,b]上的连续函数，p(t)和q(t)以是任意给定的连续函数，f(t)为定义在t∈[a,b]上的给定函数。
称$y(t)$为齐次二阶线性微分方程的解，若存在不同的解，则称其为通解。
二、通解方法1.常系数齐次二阶线性微分方程的通解设f(t)=0，$p(t)=p$，$q(t)=q$，其通解为：$$y=c_1e^{rt}+c_2te^{rt},quad r^2+pr+q=0$$其中，$c_1,c_2$为任意常数，$r^2+pr+q=0$的根分别为$r_1,r_2$，$$r_1,r_2=-frac{p}{2}pm frac{sqrt{p^2-4q}}{2}$$2.全微分方程的通解当f(t)不为0时，解$y+p(t)y+q(t)y=f(t)$，可写为：$$y+p(t)y+q(t)y=f(t)$$$$（y）+p(t)（y）+q(t)（y）=（f）+(p(t)-p(t))y+(q(t)-q(t))y=（f）$$设$f(t)=int_a^t phi(s)ds$，则有：$$（y）+p(t)（y）+q(t)（y）=phi(t)$$此时的通解为：$$y=c_1e^{rt}+c_2te^{rt}+e^{int_a^t p(s)ds}int_a^te^{-int_a^s p(u)du}phi(s)ds$$其中，$c_1,c_2$为任意常数，$r^2+pr+q=0$的根分别为$r_1,r_2$，$$r_1,r_2=-frac{p}{2}pm frac{sqrt{p^2-4q}}{2}$$三、应用齐次二阶线性微分方程通常用于描述二维动力学系统中的模型，如简谐振荡，电路中的二级衰减电路，量子力学中的双水晶腔等，而其通解可以被用来研究特定的状态，探究不同同步模型的性质，从而更深入地理解该系统的运动特征。
二阶方程的通解
二阶方程的通解二阶方程是高中数学中重要的一个概念，也是大学数学和工程学科中都广泛应用的数学方法论。
在实际问题中，很多物理、化学、生物、工程等领域中的一些运动、振动、波动、传递等现象都可以用二阶方程来描述。
本文将详细探讨二阶方程的通解。
一、什么是二阶方程二阶方程是指一个二次多项式等于0的方程，也就是一些形如$ax^2+bx+c=0$的方程。
它的一般形式为：$y''+p(x)y'+q(x)y=0$，其中$p(x)$和$q(x)$都是已知的函数，$y=y(x)$是未知函数。
二、二阶方程的特征方程与特解二阶方程的通解可以通过下面的步骤构造得到：(1) 先求出该二阶方程的对应齐次方程的特征方程，(2) 求得特征方程的根，(3) 根据特征方程的根，得到对应齐次方程的通解，(4) 再求出原方程的一个特解，(5) 把齐次通解和特解相加即为原方程的通解。
其中，特解是指方程的一个特定解。
对于不同类型的二阶方程，特征方程和特解的求解方法也是不同的。
1、齐次方程的特征方程对于$y''+p(x)y'+q(x)y=0$这类的二阶齐次方程，我们可以通过把它看成一个关于$y$和它的一阶导数$y'$和二阶导数$y''$的线性微分方程，然后得到它的特征方程。
特征方程就是二阶齐次方程对应的一个二次方程：$ar^2+br+c=0$。
求解这个方程，得到了两个不同的根$r_1$和$r_2$，那么它对应的齐次方程的通解就是：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$。
其中，$C_1$和$C_2$是常数。
2、非齐次方程的特解对于$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$这样的非齐次方程，我们需要先求得它对应的齐次方程的通解。
然后，我们需要使用特殊方法求得一个特解，加上齐次方程的通解，得到非齐次方程的通解。
对于不同的$f(x)$，要选择不同的方法求得特解。
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二次微分方程的通解标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解我们看看 能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程 ypyqy 0 得(r 2prq )e rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数xr e y 11=、xr e y 22=是方程的解 又xr r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r所以xr xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r xr ==1112不是常数因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数ye (i )x 、ye (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数ye x cos x 、ye x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (i )x e x (cos xi sin x ) y 2e (i )x e x (cos xi sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βαy 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 ye x (C 1cos xC 2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 0的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r 2prq 0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y 2y 3y 0的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r 22r 30 即(r 1)(r 3)0其根r 11 r 23是两个不相等的实根 因此所求通解为 yC 1e x C 2e 3x例2 求方程y 2yy 0满足初始条件y |x 04、y | x 02的特解 解 所给方程的特征方程为 r 22r 10 即(r 1)20其根r 1r 21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 y (C 1C 2x )e x将条件y|x04代入通解得C14 从而y(4C2x)e x将上式对x求导得y(C24C2x)e x再把条件y|x02代入上式得C22 于是所求特解为x(42x)e x例 3 求微分方程y2y5y 0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112i r212i是一对共轭复根因此所求通解为ye x(C1cos2xC2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n) p1y(n1)p2y(n2) pn1ypny0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2 p n1p n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D 及微分算子的n次多项式L(D)=D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n)y0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0yy D yy D2yy D3yy D n yy(n)分析令ye rx则L(D)yL(D)e rx(r n p1r n1p2r n2 pn1rpn)e rx L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则ye rx是微分方程L(D)y0的解 n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n p1r n1p2r n2 pn1rpn称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Ce rx一对单复根r12i对应于两项e x(C1cos xC2sin x)k重实根r对应于k项e rx(C1C2x Ckx k1)一对k重复根r12i 对应于2k项e x[(C1C2x Ckx k1)cos x( D1D2x Dkx k1)sin x]例4 求方程y (4)2y 5y 0 的通解 解 这里的特征方程为 r 42r 35r 20 即r 2(r 22r 5)0 它的根是r 1r 20和r 3 412i 因此所给微分方程的通解为 yC 1C 2xe x (C 3cos2xC 4sin2x ) 例5 求方程y (4) 4y 0的通解 其中0 解 这里的特征方程为 r 4 40 它的根为)1(22,1i r ±=β)1(24,3i r ±-=β因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程 方程ypyqyf (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p 、q 是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY (x )与非齐次方程本身的一个特解yy *(x )之和yY (x ) y *(x )当f (x )为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f (x )P m (x )e x 型当f (x )P m (x )e x 时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y *Q (x )e x 将其代入方程 得等式 Q (x )(2p )Q (x )(2pq )Q (x )P m (x )(1)如果不是特征方程r 2prq 0 的根 则2pq 0 要使上式成立 Q (x )应设为m 次多项式Q m (x )b 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解y *Q m (x )e x(2)如果是特征方程 r 2prq 0 的单根 则2pq 0 但2p 0 要使等式Q (x )(2p )Q (x )(2pq )Q (x )P m (x ) 成立 Q (x )应设为m 1 次多项式Q (x )xQ m (x )Q m (x )b 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解y *xQ m (x )e x(3)如果是特征方程 r 2prq 0的二重根 则2pq 0 2p 0 要使等式Q (x )(2p )Q (x )(2pq )Q (x )P m (x ) 成立 Q (x )应设为m 2次多项式Q (x )x 2Q m (x )Q m (x )b 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解 y *x 2Q m (x )e x综上所述 我们有如下结论 如果f (x )P m (x )e x 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f (x )有形如 y *x k Q m (x )e x的特解 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y 2y 3y 3x 1的一个特解解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f (x )是P m (x )e x 型(其中P m (x )3x 1 0) 与所给方程对应的齐次方程为y 2y 3y 0 它的特征方程为r 22r 30由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为y *b 0xb 1 把它代入所给方程 得 3b 0x 2b 03b 13x 1 比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 3b 03 2b 03b 11由此求得b 01 311=b 于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y例2 求微分方程y 5y 6yxe 2x 的通解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f (x )是P m (x )e x 型(其中P m (x )x 2) 与所给方程对应的齐次方程为y 5y 6y 0 它的特征方程为r 25r 60特征方程有两个实根r 12 r 23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为YC 1e 2x C 2e 3x由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为y *x (b 0xb 1)e 2x 把它代入所给方程 得 2b 0x 2b 0b 1x 比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b 2b 01 2b 0b 10由此求得210-=b b 11 于是求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=提示y *x (b 0xb 1)e 2x (b 0x 2b 1x )e 2x[(b 0x 2b 1x )e 2x ][(2b 0xb 1)(b 0x 2b 1x )2]e 2x [(b 0x 2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0xb 1)2(b 0x 2b 1x )22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2b 1x )e 2x ]5[(b 0x 2b 1x )e 2x ]6[(b 0x 2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0xb 1)2(b 0x 2b 1x )22]e 2x 5[(2b 0xb 1)(b 0x 2b 1x )2]e 2x 6(b 0x 2b 1x )e 2x [2b 04(2b 0xb 1)5(2b 0xb 1)]e 2x [2b 0x 2b 0b 1]e 2x 方程ypyqye x [P l (x )cos xP n (x )sin x ]的特解形式 应用欧拉公式可得e x [P l (x )cos xP n (x )sin x ] x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=其中)(21)(i P P x P n l -= )(21)(i P P x P n l += 而m max{l n } 设方程ypyqyP (x )e (i )x 的特解为y 1*x k Q m (x )e (i )x则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解其中k 按i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程ypyqye x [P l (x )cos xP n (x )sin x ]的特解为 x k e x [R (1)m (x )cos xR (2)m (x )sin x ] 综上所述 我们有如下结论如果f (x )e x [P l (x )cos xP n (x )sin x ] 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf (x ) 的特解可设为y *x k e x [R (1)m (x )cos xR (2)m (x )sin x ]其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式 m max{l n } 而k 按i (或i )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1例3 求微分方程yyx cos2x 的一个特解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f (x )属于e x [P l (x )cos xP n (x )sin x ]型(其中0 2 P l (x )x P n (x )0） 与所给方程对应的齐次方程为yy 0 它的特征方程为r 210由于这里i 2i 不是特征方程的根 所以应设特解为y *(axb )cos2x (cxd )sin2x 把它代入所给方程 得(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 3d 4a )sin2xx cos2x 比较两端同类项的系数 得 31-=a b 0 c 0 94=d于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=提示y *(axb )cos2x (cxd )sin2xy *a cos2x 2(axb )sin2xc sin2x 2(cxd )cos2x (2cxa 2d )cos2x (2ax 2bc )sin2xy *2c cos2x 2(2cxa 2d )sin2x 2a sin2x 2(2ax 2bc )cos2x (4ax 4b 4c )cos2x (4cx 4a 4d )sin2xy * y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a b 0 c 0 94=d。