2019-2020学年浙江省杭州高中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州二中高一(上)期末数学试卷
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
(22)（本小题满分12分）
已知函数 .
（ ） 判断 的奇偶性，并说明理由；
（ ） 判断函数 的单调性，并利用定义证明；
（ ）解不等式 .
2019-2020学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷
答 案
第Ⅰ卷（共60分）
值域为 ---12分
(21) 解：（ ）由图像可知， ， ---2分
解得， ，
所以 ． -----4分
（ ）①由（ ）,
， ． -----8分
②由①可知， ，其图像开口向下，对称轴为 ，所以当 时， ． ---11分
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．
---12分
（ ）求 ， ；
（ ）求 ．
(18)（本小题满分12分）
求值： （ ）
（ ）
(19)（本小题满分12分）
已知一次函数 满足 ， ．
（ ）求这个函数的解析式；
（ ）若函数 ，求函数 的零点．
(20)（本小题满分12分）
已知 是定义在 上的奇函数，且 时， ．
（ ）求函数 的解析式；
（ ）画出函数 的图象，并写出函数 单调递增区间及值域．
(22)解：（ ） 是奇函数. ---1分
(23)理由如下: 由题意得，
的定义域为 ,关于原点对称 ----2分
所以， 是奇函数. ---4分
（ ）函数 在 上单调递减 ----5分
----6分
，所以函数 在 上单调递减----8分
（ ）由函数的单调性和奇偶性得：
不等式
-----10分
----------12分
2019-2020学年浙江省杭州市七县市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设全集{1U =，2，3}，集合{1A =，2}，则(U A =ð ) A ．3B ．{3}C ．{0，3}D ．{0，1}2．（3分）sin 240︒的值为( ) A ．12B ．12-C ．3 D ．3-3．（3分）函数1()2(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,2)4．（3分）已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( ) A ．2log ||y x =B ．3y x x =+C ．3x y =D ．1y x=-6．（3分）已知(0,)απ∈，tan 2α=-，则cos (α= ) A 5B 25C ．5D ．257．（3分）对于函数sin y x =，cos y x =-的图象1C ，2C 有如下结论：①1C ，2C 向右平移2π个单位后与重合；②1C ，2C 关于直线4x π=对称；③1C ，2C 关于直线4x π=-对称．则正确的结论是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．（3分）函数2cos 21y x =+( )A ．55|2266x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟B ．55|1212x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟C ．22|2233x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟D ．|33x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟9．（3分）三个数log 0.3π，3log π，0,3π-的大小关系是( ) A ．0.33log 0.3log πππ-<< B ．0.33log 0.3log πππ-<<C ．0.33log 0.3log πππ-<<D ．0.33log log 0.3πππ-<<10．（3分）函数2()2x f x x =-的零点的个数为( ) A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个11．（3分）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或412．（3分）已知4log 3p =，3log 25q =，则5(lg = ) A ．Pqp q+ B ．p qpq+ C ．1pqp q++ D ．1pqpq+ 13．（3分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()g x 的图象，对于满足12|()()|2f x g x -=的1x ，2x ，如果12||3min x x π-=，则ϕ的一个值是( )A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 14．（3分）已知25()(1)4f x x k x =+++，在函数sin y x =图象上存在一点0(x ，0)y ，使00(())f f y y =，则实数k 的取值范围是( )A ．3k -„，3k …B ．k k 剠C ．135,44k k-剠 D ．99,44k k -剠二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 15．（3分）135-︒= 弧度，它是第 象限角；16．（3分）方程3x x =的解集是 ；不等式3x x >的解集是 ；17．（3分）已知集合2{|430}M x x x =-+<，{||2|N y y x ==-，}x M ∈，则N = ；M N =I ．18．（3分）某棵果树前n 年的总产量()f n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的平均产量最高的m = ．19．（3分）已知函数2212()log (1)f x lnx x =-+，则满足不等式13(log )1f x >的x 范围是 ．20．（3分）已知正实数α，β满足3e e αα=，2(1)(ln e e ββ+=是自然对数的底数），则αβ= ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 21．对于函数2()()21x f x a a R =-∈+． （1）证明：函数()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数； （2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？22．一种电器设备的电网每接通1分钟后就断开1分钟，如此循环往复．当电闸接通时用1表示，断开时用0表示，于是电闸的状态是时间的函数，记为()y f x =．（1）设[0x ∈，1)时电闸接通，画出函数()y f x =在[0，6)上的图象，并写出它的解析式； （2）写一个与（1）形式不同的函数()y f x =的解析式．23．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数2()log g x a x b =+，且{|()y y g x =，[2x ∈，4]}{|()y y f x ==，[0x ∈，]}2π，求实数a ，b 的值．24．设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，f （1）0=，()f x 在区间[3，)+∞上是增函数，且在区间[1，5]上都有()0f x …． （1）求b ，c 的值；（2）若()|()|f m f n =，且m n <，求m n +的取值范围．2019-2020学年浙江省杭州市七县市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设全集{1U =，2，3}，集合{1A =，2}，则(U A =ð ) A ．3B ．{3}C ．{0，3}D ．{0，1}【解答】解：{1U =Q ，2，3}，{1A =，2}， {3}U A ∴=ð．故选：B ．2．（3分）sin 240︒的值为( ) A ．12B ．12-C ．3 D ．3-【解答】解：3sin 240sin(18060)sin 60︒=︒+︒=-︒=-， 故选：D ．3．（3分）函数1()2(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令10x -=，即1x =时，023y a =+=∴函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象必经过点(1,3)故选：A ．4．（3分）已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知1a >，故函数x y a =是增函数．而函数log ()a y x =-的定义域为(,0)-∞，且在定义域内为减函数， 故选：B ．5．（3分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( ) A ．2log ||y x =B ．3y x x =+C ．3x y =D ．1y x=-【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，2log ||y x =，是偶函数，不符合题意；对于B ，函数3y x x =+为奇函数，定义域为R ，且在R 上单调递增，符合题意； 对于C ，3x y =，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D ，1y x=-，是反比例函数，是奇函数但在其定义域上不是增函数，不符合题意；故选：B ．6．（3分）已知(0,)απ∈，tan 2α=-，则cos (α= )A B C ． D ． 【解答】解：因为(0,)απ∈，sin tan 20(,)cos 2απααπα=-=<⇒∈，cos 0α<，又22sin cos 1cos ααα+=⇒=， 故选：C ．7．（3分）对于函数sin y x =，cos y x =-的图象1C ，2C 有如下结论：①1C ，2C 向右平移2π个单位后与重合；②1C ，2C 关于直线4x π=对称；③1C ，2C 关于直线4x π=-对称．则正确的结论是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：因为sin()cos 2x x π-=-，①1C ，2C 向右平移2π个单位后与重合正确； 当4x π=-时，sin()cos()44ππ-=--，又sin y x =关于直线4x π=-对称后为sin()cos 2y x x π=-=-，故③成立，故选：B ．8．（3分）函数y =( ) A ．55|2266x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟B ．55|1212x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟C ．22|2233x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟D ．|33x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟【解答】解：由题意可得12cos210cos22x x +⇒-厖，得2222233k x k ππππ-+剟， 即33k x k ππππ-+剟，∴函数y =|33x k x k ππππ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭剟．故选：D ．9．（3分）三个数log 0.3π，3log π，0,3π-的大小关系是( ) A ．0.33log 0.3log πππ-<< B ．0.33log 0.3log πππ-<<C ．0.33log 0.3log πππ-<<D ．0.33log log 0.3πππ-<<【解答】解：0.303log 0.301log ππππ-<<<=<， 故选：A ．10．（3分）函数2()2x f x x =-的零点的个数为( ) A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【解答】解：2()2x f x x =-的零点，即为220x x -=的根，也就是函数2x y =与2y x =的图象交点的横坐标， 作出这两个函数的图象如下：由图可知，当0x <时，必有一个交点，当0x …时，结合图象，且2x =及4x =都是该方程的解，故原函数共有3个不同的零点． 故选：C ．11．（3分）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则 212l r +=，182S lr ==，∴解得2r =，8l =或4r =，4l =4lrα==或1， 故选：C ．12．（3分）已知4log 3p =，3log 25q =，则5(lg = ) A ．Pqp q+ B ．p qpq+ C ．1pqp q++ D ．1pqpq+ 【解答】解：（换底公式）43325255log 3log 25432215lg lg lg lg pq lg lg lg lg ====-gg ， ∴51pqlg pq=+， 故选：D ．13．（3分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()g x 的图象，对于满足12|()()|2f x g x -=的1x ，2x ，如果12||3min x x π-=，则ϕ的一个值是( )A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【解答】解：()sin 2f x x =，()sin 2()sin(22)g x x x ϕϕ=-=-， 满足12|()()|2f x g x -=，则两个函数的最大值与最小值的差为2， 又12||3min x x π-=，不妨令14x π=，则2712x π=，所以77()sin(22)112126g πππϕϕ=-=-⇒=-，不合题意，舍． 不妨令134x π=，则2512x π=，所以55()sin(22)112126g πππϕϕ=-=⇒=，满足． 故选：D ．14．（3分）已知25()(1)4f x x k x =+++，在函数sin y x =图象上存在一点0(x ，0)y ，使00(())f f y y =，则实数k 的取值范围是( )A ．3k -„，3k …B ．k k 剠C ．135,44k k-剠 D ．99,44k k -剠【解答】解：在函数sin y x =图象上存在一点0(x ，0)y ，使00(())f f y y =， 即函数25()(1)4f x x k x =+++存在不动点， 即25()(1)4f x x k x =+++图象存在与y x =的交点， 即2255()(1)044f x x k x x x kx =+++=⇒++=在[1x ∈-，1]上有解，显然0x ≠，即54k x x -=+，9(11)4x k -⇒-剟?，9944k k --⇒-剟，94k …，故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 15．（3分）135-︒= 34π-弧度，它是第 象限角； 【解答】解：180π︒=Q ，1180π∴︒=，31351351804ππ∴-︒=-⨯=-，它是第三象限角． 故答案为：34π-；三． 16．（3分）方程3x x =的解集是 {1-，0，1} ；不等式3x x >的解集是 ； 【解答】解：33(1)(1)01x x x x x x x x =⇒-=+-=⇒=±，0，33(1)(1)0x x x x x x x >⇒-=+-< (x ⇒∈-∞，1)(0-⋃，1)，故答案为{1-，0，1}，(-∞，1)(0-⋃，1)．17．（3分）已知集合2{|430}M x x x =-+<，{||2|N y y x ==-，}x M ∈，则N = [0，1) ；M N =I ．【解答】解：2430x x -+<Q ，13x ∴<<， (1,3)M ∴=，13x <<Q ，|2|[0y x ∴=-∈，1)，[0N ∴=，1)，M N =∅I ．故答案为：[0，1)，∅．18．（3分）某棵果树前n 年的总产量()f n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的平均产量最高的m = 9 ．【解答】解析：前m 年的年平均产量为()f m m，它表示的是点(()M f m ，)m 与原点(0,0)组成的斜率，由图象可知，当9m =时，(9)9f 最大． 故答案为：9．19．（3分）已知函数2212()log (1)f x lnx x =-+，则满足不等式13(log )1f x >的x 范围是1(0,)(3,)3+∞U ． 【解答】解：Q 222()log (1)f x lnx x =++，∴函数的定义域为{|0}x x ≠，()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，且f （1）1=，若13(log )1f x >，只需要13|log |1x >解对数不等式可得13log 1x >，或者13log 1x <-， 解得103x <<，或者3x >． 故答案为：1(0,)(3,)3+∞U ． 20．（3分）已知正实数α，β满足3e e αα=，2(1)(ln e e ββ+=是自然对数的底数），则αβ= 2e ．【解答】解：由题可知3e e αα=，23(1)ln e e lne e ββββ+=⇒=，又()x f x xe =在(0,)+∞单增，则()()f f lne αβ=，则lne αβ=，故2lne e αβββ==．故答案为：2e ．三、解答题（共4小题，满分0分）21．对于函数2()()21x f x a a R =-∈+． （1）证明：函数()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？【解答】证明：任取1x ，2(,)x ∈-∞+∞，且12x x <，则1222x x <，12220x x -<，1210x +>，2210x +>121221*********(22)()()()()021212121(21)(21)x x x x x x x x f x f x a a -∴-=---=-=<++++++ 12()()f x f x ∴<()f x ∴在(,)-∞+∞上是增函数；（2）若函数2()21x f x a =-+为奇函数 则222222(21)()()22202121212121x x x x x x x f x f x a a a a a a -+-+=-+-=-+-=-=-=+++++g g 解得1a =故存在实数1a =使函数()f x 为奇函数22．一种电器设备的电网每接通1分钟后就断开1分钟，如此循环往复．当电闸接通时用1表示，断开时用0表示，于是电闸的状态是时间的函数，记为()y f x =．（1）设[0x ∈，1)时电闸接通，画出函数()y f x =在[0，6)上的图象，并写出它的解析式；（2）写一个与（1）形式不同的函数()y f x =的解析式．【解答】解析：（1）1,[2,21)()0,[21,22)x k k f x x k k ∈+⎧=⎨∈++⎩，0k =，1，2，⋯（2）1(1)()2kf x +-=，[x k ∈，1)k +，k N ∈， 或者1()1[sin ]2f x x π=+，0x >， 其中小表示不超过x 的最大整数．23．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数2()log g x a x b =+，且{|()y y g x =，[2x ∈，4]}{|()y y f x ==，[0x ∈，]}2π，求实数a ，b 的值．【解答】解：（1）依题可知：244T A π==g ，∴2T ππω==，2ω∴=，()2cos(2)f x x ϕ∴=+，又(0)2cos 1f ϕ==-Q ，0ϕπ<<Q ， ∴23πϕ=， ∴2()2cos(2)3f x x π=+． （2）Q |(),[0,][2,1]2y y f x x π⎧⎫=∈=-⎨⎬⎩⎭， {|()y y g x =Q ，[2x ∈，0,()[,2]4]}0,()[2,]a g x a b a b a g x a b a b >∈++⎧=⎨<∈++⎩Q {|(),[2,4]}|(),[0,]2y y g x x y y f x x π⎧⎫=∈==∈⎨⎬⎩⎭， ∴212a b a b +=⎧⎨+=-⎩或122a b a b +=⎧⎨+=-⎩， ∴35a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩． 24．设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，f （1）0=，()f x 在区间[3，)+∞上是增函数，且在区间[1，5]上都有()0f x „．（1）求b ，c 的值；（2）若()|()|f m f n =，且m n <，求m n +的取值范围．【解答】解：（1）由已知f （1）0=，可得01b c =++，()f x 在区间[3，)+∞上是增函数，得对称轴在3x =的左侧，即32b -„； 由于在区间[1，5]上都有()0f x „，则f （5）0„；2550bc ∴++„； 即10322550b c b b c ++=⎧⎪⎪-⎨⎪++⎪⎩„„，解得6b =-，5c =． （2）2()65(1)(5)f x x x x x =-+=--，2|()||(3)4|f n n =--． ①若()0f n …，则()()f m f n =，即22(3)(3)()(6)0m n m n m n ---=-+-=，解得6m n +=． ②若()0f n <，设()|()|f m f n t ==，则15m n <<<，且04t <„．由2()(3)4f m m t =--=，得3m =由2|()||(3)4|f n n t =--=，可得2(3)4n t -=-，所以3n =当3n =+时，6m n +=在区间(0，4]上是减函数，所以[6m n +∈-．当3n =6m n +=-，令s =则28[8,16)s =+，4s <，所以(2,6m n +∈-．综上，(2m n +∈，6]．。
2019-2020学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}{}=-101=11,P Q x x -≤<，，，则P Q = （ ） A ．{}0 B ．[)1,1- C ．[]1,0-D ．{}1,0-【答案】D【解析】根据交集运算求解即可. 【详解】因为{}{}=-101=11,P Q x x -≤<，，，故P Q ={}1,0-.故选：D 【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题型.2．若一个幂函数的图像经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则它的单调增区间是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,∞+ C ．(),0-∞D ．R【答案】C【解析】求出幂函数的解析式再求单调增区间即可. 【详解】设幂函数a y x =,又图像经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭故1224a a =⇒=-.故2y x.其增区间为(),0-∞ 故选：C【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与单调区间,属于基础题型.3．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．()|1|f x x =-+ C ．1()()2xx f x a a -=+ D ．2()lg2xf x x-=+ 【答案】D【解析】()sin f x x =在区间[]1,1-上单调递增；()1f x x =-+是非奇非偶函数；当01a <<时，()1()2xx f x a a -=+是增函数；对于D:22()ln ln ()22xxf x f x x x +--==-=--+,是奇函数；又24()lnln(1)22x f x x x-==-+++在区间[]1,1-上单调递减．故选D4．函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】略 【详解】因为函数单调递增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零点个数为15．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【解析】根据奇偶性转为计算()1f -，结合所给条件代入计算即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()11f f -=-；又因为()21112f =+=，所以()()112f f -=-=-，故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求值，难度较易.若函数()f x 是奇函数，则有()()f x f x -=-.6．已知,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（ ）A ．()sin cos θθ±-B ．cos sin θθ-C ．sin cos θθ-D ．sin cos θθ+ 【答案】C【解析】根据诱导公式以及二倍角公式化简即可. 【详解】sin cos θθ===-.又,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故sin cos sin cos θθθθ-=-.故选：C 【点睛】本题主要考查了诱导公式以及二倍角公式的化简,属于基础题型.7．在下列函数①sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ②sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭③cos 2y x =④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ⑤tan y x = ⑥sin y x =中周期为π的函数的个数为 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C【解析】根据三角函数图像与性质逐个判断即可. 【详解】①sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期为22ππ=.正确. ②因为sin sin sin 444x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.正确.③cos 2cos2y x x ==,最小正周期为22ππ=.正确. ④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期为2π,故周期为π成立.正确.⑤()tan tan tan x x x π+=-=故周期为π.正确. ⑥sin y x =为偶函数且无周期.错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数周期的判定,周期是否为π可根据()()f x f x +π=判定,属于中等题型. 8．函数223()2xx x f x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．已知函数()2sin f x x ω=（其中0>ω），若对任意13,04x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，存在20,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．3ω≥ B ．03ω<≤ C ．92ω≥D ．902ω<≤【答案】C【解析】根据题意可知.()f x 在0,3π⎛⎤⎥⎝⎦的值域包含在3,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域.再分析列出不等式求解即可. 【详解】 画图易得,()f x 在0,3π⎛⎤⎥⎝⎦的值域包含在3,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域.故3π应当大于等于34个周期才能使得值域包含在3,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域. 故239432ππωω⨯≤⇒≥. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的图形变换与区间的不等式列式方法等.需要考虑区间长度与周期的关系,属于中等题型.10．已知函数()f x 是R 上的增函数，且，其中ω是锐角，并且使得()sin 4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．5,44π⎛⎤⎥⎝⎦ B ．5,42π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,24π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】试题分析：构造函数，因为函数()f x 是R 上的增函数，所以也是增函数，而，所以，那么，以及根据周期，解得，又因为，解得，综上可得，故选A.【考点】1.构造法；2.三角函数的性质.【思路点睛】本题考查了三角函数的性质以及构造函数法，综合性强，属于难题，本题的第一个难点是构造函数，根据函数的单调性，得到，得到的第一个范围，根据函数在区间上单调递减，说明函数的周期,得到的第二个范围，以及时函数单调递减区间的子集，这样得到参数取值.二、填空题 11．sin6π=_________；2cos ,α≥则α∈________. 【答案】122,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】(1)根据正弦函数求值即可. (2)画出余弦函数图像分析即可. 【详解】 (1)1sin62π=(2)由余弦函数图像,易得当2cos α=时有24k παπ=±+.故当2cos α≥,2,2,44k k k Zππαππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：(1)12；(2)2,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了利用三角函数图像求解不等式的问题,属于基础题型.12．函数114x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为________；奇偶性为_________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）. 【答案】[)0,+∞ 偶函数【解析】(1)分0,0x x ≥<两种情况讨论即可. (2)将x 代换为x -再判断奇偶性即可. 【详解】(1)当0x ≥时11144x x y -+-⎛⎫== ⎪⎝⎭为增函数,当0x <时()111144x x y --++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为减函数.故单调增区间为[)0,+∞.(2)因为111144x x y --+-+⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.且定义域为R .故奇偶性为偶函数.故答案为：(1) [)0,+∞; (2) 偶函数 【点睛】本题主要考查了绝对值有关的函数的单调性与奇偶性,分绝对值内的正负讨论即可.属于基础题型.13．若lg ,lg ,x m y n ==则2lg 10y ⎛⎫⎪⎝⎭=____；若()2,60,,m n a a a m n R ==>∈，则32m n a -=______.【答案】1222m n -+3【解析】(1)根据对数基本运算求解即可. (2)利用指数幂的运算求解即可. 【详解】(1) ()211lg lg 2lg 110221022y x y g m n ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭(2)32m na-===故答案为：(1)1222m n -+; (2)【点睛】本题主要考查了对数与指数的基本运算法则等,属于基础题型.14．函数27cos sin cos24y x x x =--+的 值域为_______；函数()3sin 2sin xf x x-=+的值域为______. 【答案】1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)利用三角函数公式代换为含有cos x 的二次复合函数再求值域即可. (2)参变分离再求值域即可 【详解】 (1)()222277cos sin cos 2cos sin cos sin 44y x x x x x x x =--+=---+ 2271cos cos cos 242x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.因为[]cos 1,1x ∈-故222111112cos 22cos 2,22224x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤---+≤--+≤⇒-+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 即函数27cos sin cos24y x x x =--+的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. (2)()3sin sin 25512sin 2sin 2sin x x f x x x x---+===-++++.因为[]sin 1,1x ∈-. 故55,52sin 3x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦,521,42sin 3x ⎡⎤-+∈⎢⎥+⎣⎦ 故答案为：(1)1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查了正余弦函数的复合函数的值域问题,属于中等题型.15．设函数f (x )＝0{102x x x ≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，，＜，则f (f (－4))＝________.【答案】4【解析】f (－4)＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭－4＝16， 所以f (f (－4))＝f (16)416．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________【解析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==-⎪⎝⎭sin sin cos cos s s in44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：46+【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.17．已知函数()f x =[)0,+∞，则实数a 的取值范围_________.【答案】81,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦【解析】由题意知229ax x +-的值域包含[)0,+∞,再分情况讨论即可. 【详解】由题意229ax x +-的值域包含[)0,+∞, 设20t x =≥,故()9,0ag t t t t=+-≥的值域包含[)0,+∞. 当0a ≤时, ()9,0ag t t t t=+-≥在定义域内为增函数,且值域为R ,满足条件.当0a >时,()999a g t t t =+-≥=,故819004a ≤⇒<≤. 综上所述,实数a 的取值范围为81,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦. 故答案为：81,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查了函数值域与分情况讨论,以及函数的单调性与基本不等式的用法等.需要根据题意得出值域的包含关系.属于中等题型.三、解答题18．设全集为R ，A ＝{x|3<x<7}，B ＝{x|4<x<10}．(1)求∁R (A ∪B)及(∁R A)∩B ；(2)若C ＝{x|a －4≤x≤a ＋4}，且A∩C ＝A ，求a 的取值范围．【答案】（1）{|310}x x x 或≤≥；（2）{}37a a ≤≤ 【解析】（1）先求得AB ，再求其补集.先求得A 的补集，再和集合B 取交集.（2）由于AC A =，属于集合A 是集合C的子集，由此列出不等式组，求得a 的取值范围. 【详解】(1)∵A ∪B ＝{x|3<x<10}， ∴∁R (A ∪B)＝{x|x≤3或x≥10}． 又∵∁R A ＝{x|x≤3或x≥7}， ∴(∁R A)∩B ＝{x|7≤x<10}． (2)∵A∩C ＝A ，∴A ⊆C. ∴⇒⇒3≤a≤7.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集混合运算，在运算的过程中，要注意端点值是否取得.属于基础题. 19．如图是()sin()f x A x ωϕ=+，,0,0,02x R A πωϕ⎛⎫∈>><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，(1)求函数()f x 的解析式；(2)若把函数()f x 图像向左平移β个单位()0β>后，与函数()cos2g x x =重合，求β的最小值.【答案】(1)()sin(2)3f x x π=+;(2) 12π【解析】(1)先观察出1A =,再根据五点作图法列式求解,ωϕ的值即可.(2)求得出y 轴右边最近的最大值处的对称轴表达式,再分析即可. 【详解】(1)易得1A =,又周期5()66T πππ=--=,故2==2ππωω⇒.又因为()f x 在126312x πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭处取最大值.故22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈.即2,3k k Z πϕπ=+∈,又02πϕ<<,故3πϕ=. 故()sin(2)3f x x π=+(2)因为()sin(2)3f x x π=+,故y 轴右边最近的最大值处的对称轴在23212x x πππ+=⇒=处取得.故把函数()f x 图像向左平移12π个单位后,与函数()cos2g x x =重合.即β的最小值为12π. 【点睛】本题主要是考查了根据五点作图法与图像求三角函数解析式的方法,同时也考查了三角函数图像平移的方法等.属于中等题型. 20．已知函数()2cos 2sin 32x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域(2)把函数()f x 图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移ϕ个单位长度02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()g x ， 若函数()g x 关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 （i ）求函数()g x 的解析式；（ii ）求函数()g x 单调递增区间及对称轴方程.【答案】(1)0,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦;(2) （i ）()cos2g x x =;（ii ）单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z , 对称轴方程为,2k x k Z π=∈ 【解析】(1)利用降幂公式与和差角辅助角公式等将()f x 化简为()sin()f x A x ωϕ=+的形式再求值域即可.(2)根据三角函数图像伸缩平移的方法求解函数()g x 的解析式,再求解()g x 单调递增区间及对称轴方程即可. 【详解】 (1)()211cos 2sin cos 1cos cos 1322222x f x x x x x x x π⎛⎫=-+=++-=-+ ⎪⎝⎭sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.即()sin 16f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又,,,32623x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故()sin 10,162f x x π⎡⎤⎛⎫=-+∈+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.(2)由题易得()sin 226g x x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=.又函数()g x 关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称,故342sin 222,463230k k k Z πππππϕϕπϕ⎛⎫⨯+-⇒+=⇒=- ⎝⎭=∈⎪. 又02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,故当2k =时3πϕ=满足. 故()2sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.即()cos2g x x = ()g x 单调递增区间满足[]22,2x k k πππ∈-+即单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 对称轴方程满足2,2k x k x k Z ππ=⇒=∈.即对称轴方程为,2k x k Z π=∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的和差角以及降幂公式化简以及三角函数图像变换与图像性质等,属于中等题型. 21．已知0m ≠，函数()sin cos sin cos 1f x x x m x x =+-+（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的最大值并求出相应x 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有6个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 的最大值为2,此时2x k =π或22x k ππ=+,k Z ∈；（Ⅱ）(),1m ∈-∞-【解析】（Ⅰ）令sin cos t x x =+,再将其()f x 的最大值以及相应x 的值即可.（Ⅱ）令()0f x =,再参变分离讨论在区间上单调性与值域,进而分析零点个数即可. 【详解】（Ⅰ）当1m =时,()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+,令sin cos t x x =+,则22112sin cos sin cos 2t t x x x x -=+⇒=.故()21sin cos sin cos 1()12t f x x x x x g t t -=+-+==-+,故21()(1)22g t t =--+.又sin cos )4t x x x π⎡=+=+∈⎣. 故21()(1)22g t t =--+在1t =时取最大值2,)14x π+=,即sin()42x π+=, 解得244x k πππ+=+或3244x k πππ+=+,k Z ∈. 化简得2x k =π或22x k ππ=+,k Z ∈. 故()f x 的最大值为2,此时2x k =π或22x k ππ=+,k Z ∈.（Ⅱ）由（Ⅰ）令()0f x =有sin cos 1sin cos x x m x x ++=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.当sin cos 1sin cos 0x x m x x ++==时有3个零点,2x π=-,x π=或32x π=时均成立.当sin cos 0x x ≠时,有sin cos 1sin cos x x m x x++=,设sin cos t x x =+,则21sin cos 02t x x -=≠则2sin cos 1121sin cos 12x x t m t x xt +++===--也有3个根.又21m t =-为一一对应的函数,故只需t 的函数值有3个根即可.又sin cos 2sin(),,242t x x x x πππ⎡⎤=+=+∈-⎢⎥⎣⎦,画出图像知,当11t -<<时均有3个自变量与之对应.故此时()2,11m t =∈-∞--故(),1m ∈-∞- 【点睛】本题主要考查了三角函数中的换元用法以及关于二次函数的复合函数问题,同时也考查了数形结合解决零点个数的问题,需要换元分析复合函数的定义域与值域的关系,属于难题.22．已知a 为正数，函数()()22222131,log log 244f x ax xg x x x =--=-+. （Ⅰ）解不等式()12g x ≤-；（Ⅱ）若对任意的实数,t 总存在[]12,1,1x x t t ∈-+，使得()()()12f x f x g x -≥对任意[]2,4x ∈恒成立，求实数a 的最小值.【答案】（Ⅰ）2,22x ⎡∈⎣；（Ⅱ）14【解析】（Ⅰ）转换为关于2log x 的二次函数,再求解不等式即可.（Ⅱ）先求得()g x 在[]2,4x ∈时的最大值14 ,再根据()()()12f x f x g x -≥得max min 1()()4f x f x -≥.再分情况讨论()f x 在[]12,1,1x x t t ∈-+上的最大最小值即可.【详解】（Ⅰ）2222222113log log log 2log 0424x x x x -+≤-⇒-+≤ 2221313log log 0log 2222x x x ⎛⎫⎛⎫⇒--≤⇒≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解得132222x ≤≤即x ∈.（Ⅱ）由题意得max min max ()()()f x f x g x -≥.又()()22222213log log log 144g x x x x =-+=--,[]2,4x ∈,[]2log 1,2x ∈ 故2max 31()(21)44g x =--=.即max min 1()()4f x f x -≥恒成立.又()21324f x ax x =--对称轴14x a=.又区间[]1,1t t -+关于x t =对称,故只需考虑14t a ≥的情况即可.①当114t t a ≤<+,即11144t a a -<≤时,易得()()()max min 1311,4416f x f t f x f a a ⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭, 故2max min 13311()()(1)(1)244164f x f x a t t a ⎛⎫-=-------≥ ⎪⎝⎭ 即2111(1)(1)2164a t t a ---+≥,又111112114444t t a a a a -<≤⇒-<-≤-. 故211111(1)(1)424164a aa a ---+≥,解得14a ≥. ②当114t a ≥+,即114t a ≤-时,易得()()()()max min 1,1f x f t f x f t =-=+, 即22max min 13131()()(1)(1)(1)(1)24244f x f x a t t a t t ⎡⎤-=---------≥⎢⎥⎣⎦.化简得1414at -+≥,即344at ≤,所以131414416a a a ⎛⎫-≤⇒≥ ⎪⎝⎭. 综上所述, 14a ≥故实数a 的最小值为14 【点睛】本题主要考查了与二次函数的复合函数有关的问题,需要理解题意明确求最值,同时注意分析对称轴与区间的位置关系,再分情况进行讨论求最值即可.属于难题.。
浙江省杭州市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省杭州市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|−1<x<3,x∈Z}，则A∩B等于()A. {1}B. {1,2}C. {0,1，2，3，}D. {1,2，3}2.双曲线x22−y2=−1的离心率为()A. √33B. √62C. √3D. 323.“a⃗⋅b⃗ ≥0”是“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知实数x，y满足{y≥0 x−y≥1x+2y≤4 , 则该不等式组所表示的平面区域的面积为().A. 12B. 32C. 2D. 35.已知正实数x，y满足(x−1)(y+1)=4，则x+y的最小值为______ ．A. 1B. 1C. 1D. 16.随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=15，期望E(ξ)=1，则方差D(ξ)=()A. 15B. 25C. √55D. 2√557.已知函数f(x)=13ax3+12ax2+x(a∈R)，下列选项中不可能是函数f(x)图象的是()A. B.C. D.8. 已知函数f(x)={2x ,x <0x −a,x ≥0，以下说法正确的是( )A. ∀a ∈R ，函数f(x)在定义域上单调递增B. ∀a ∈R ，函数f(x)存在零点C. ∃a ∈R ，函数f(x)有最大值D. ∃a ∈R ，函数f(x)没有最小值9. 已知抛物线y 2=2px(p >0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率为( )A. √3−1B. √2−1C. √5−12 D. 2√2−1210. 已知在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5，且a n+2=a n+1+a n ，则a 5=( )A. 13B. 15C. 17D. 19二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知复数z =(1+i)(1−i)(i 是虚数单位)，则|z|= ______ ．12. 已知在(1−2x)n 的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n (1−2x 2)的展开式中，x 4项的系数是__________．13. 已知△ABC 中，∠ABC =45°，AB =√2，BC =3，则sin∠BAC = ______ ． 14. 已知函数f (x )={log 2x,x >03x ,x ≤0，且关于x 的方程f (x )+x −a =0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是___________．15. 有11名跳水运动员，其中10米跳台跳水运动员4人，3米跳板跳水运动员5人，还有甲、乙两人两个项目都可参加．现从中选取8人组成跳水队(两个项目各4人)，则不同的安排方法共有________种．16. 关于x 的方程x 3−3x 2−a =0有3个不同的实数解，则a 的取值范围是______ ． 17. 在△ABC 中，AC =4，M 为AC 的中点，BM =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数，其中0<α<π2，且f (0)=√3−1．(Ⅰ)求α的值；(Ⅱ)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．19. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=(12)|x−m |．(1)求实数m 的值；(2)设g(x)=log 2x ，求证：方程f(x)=g(x)只有一个实数解．20. 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB =2GE ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a⃗ ，b ⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10=110，且a 22=a 1a 4．(1)证明：a1=d；(2)求公差d的值和数列{a n}的通项公式．22.设函数f(x)=e x+ax，a∈R．(1)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈[0,+∞)均有2f(x)+3≥x2+a2，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={1,2，3}，B={x|−1<x<3,x∈Z}={0,1，2}，则A∩B={1,2}．故选：B．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：双曲线x22−y2=−1可得y2−x22=1，∴a2=1，b2=2．∴离心率e=ca =√c2a2=√1+b2a2=√3．故选：C．由双曲线x22−y2=−1可得y2−x22=1，可得a2=1，b2=2.利用离心率e=√1+b2a2即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．3.答案：B解析：解：a⃗与b⃗ 的夹角为锐角⇒a⃗⋅b⃗ ≥0，反之不成立，夹角可能为0．∴“a⃗⋅b⃗ ≥0”是“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．a⃗与b⃗ 的夹角为锐角⇒a⃗⋅b⃗ ≥0，反之不成立，夹角可能为0.即可判断出结论．本题考查了向量的夹角、数量积运算性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查二元一次不等式组表示平面区域，作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形的面积公式即可得到结果．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B(1,0)，C(4,0)，A(2,1)，因此不等式组所表示的平面区域的面积为12×(4−1)×1=32．故选B．5.答案：C解析：解：正实数x，y满足(x−1)(y+1)=4，化为y=5−xx−1>0，解得1<x<5．∴x+y=x+5−xx−1=x−1+4x−1≥2√(x−1)⋅4x−1=4，当且仅当x=3(y=1)时取等号．∴x+y的最小值为4．故答案为：4．正实数x，y满足(x−1)(y+1)=4，可化为y=5−xx−1>0，解得x的取值范围．再利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查随机变量的期望与方差的计算，属于较易题．先利用期望E(ξ)=1求出P(ξ=1),P(ξ=2)，然后利用方差公式求解即可．解：设P(ξ=1)=m，P(ξ=2)=45−m，因为E(ξ)=1×m+2×(45−m)=1，所以m=35，D(ξ)=15×(0−1)2+35×(1−1)2+15×(2−1)2=25．故选B．7.答案：D解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数图象，属于基础题．求出函数f(x)的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出答案即可．解：因为f(x)=13ax3+12ax2+x(a∈R)，f′(x)=ax2+ax+1，Δ=a2−4a，当0<a<4时，f′(x)=0无实数根，f′(x)>0，f(x)递增，故A可能；当a>4或a<0时，f′(x)=0有2个实数根，当a<0时，f(x)先递减再递增再递减，当a>4时，f(x)先递增再递减再递增，故B、C可能，故选D．8.答案：D解析：解：对于A，当a=1时，f(0)=−1<12=f(−1)，函数f(x)在定义域上不是单调递增函数，故A错误；对于B，当a<0时，在区间[0,+∞)上，f(x)=x−a>0恒成立，在区间(−∞,0)上，f(x)=2x>0恒成立，所以函数f(x)在定义域内不存在零点，故B错误；对于C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，故C错误；对于D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，故D正确．故选：D．A，当a=1时，易求f(0)=−1<12=f(−1)，可判断A的正误；B，当a<0时，利用指数函数与二次函数的性质可知f(x)>0恒成立，从而可判断B的正误；C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，据此可判断C的正误；D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，可判断D的正误．本题考查命题的真假判断与应用，考查分段函数的单调性质、最值应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：如图所示，∵AF⊥x轴，∴p2=c，把x=p2代入抛物线方程可得：y2=2p⋅p2，解得y=p．∴A(p2,p)，即A(c,2c)．代入椭圆的方程可得：c2a2+4c2b2=1，又b2=a2−c2，∴c2a2+4c2a2−c2=1，化为e4−6e2+1=0，0<e<1．解得e2=3−2√2，∴e=√2−1．故选：B．如图所示，由AF⊥x轴，可得p2=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A(p2,p)，即A(c,2c).代入椭圆的方程可得：c2a2+4c2b2=1，又b2=a2−c2，利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题．由a1=2，a2=5，且a n+2=a n+1+a n，分别求得a3，a4，a5．解：在数列{a n}中，a1=2，a2=5，且a n+2=a n+1+a n，可得a3=a1+a2=2+5=7，a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19，故选：D．11.答案：2解析：解：∵z=(1+i)(1−i)=1−i2=2，∴|z|=2．故答案为：2．直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后求|z|．本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．12.答案：120解析：2n=64，所以n=6．T r+1=C6r(2x)r=C6r2r⋅x r，令r=4，则T5=C6424⋅x4=240x4，令r=2，则T3=C6222x2=60x2，x4项为240x4×1−60x2×2x2=120x4，故x4项的系数为120．13.答案：3√1010解析：解：∵∠ABC=45°，AB=√2，BC=3，∴由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC=2+9−2×√2×3×sin45°=5，可得AC=√5，∴由正弦定理可得：sin∠BAC=BC⋅sin∠ABCAC =√5=3√1010．故答案为：3√1010．由已知利用余弦定理可求得AC的值，由正弦定理可求得sin∠BAC的值，从而得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.答案：(1,+∞)解析：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个图象的交点个数问题是解决本题的关键.利用数形结合的数学思想．解：由f(x)+x−a=0得f(x)=−x+a，∵函数f(x)={log2x,x>0 3x,x≤0，∴作出函数f(x)和y=−x+a的图象：则由图象可知，要使方程f(x)+x−a=0有且只有一个实根，则a>1．故答案为(1,+∞)．15.答案：185解析：本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．根据题意，设只能参加10米跳台跳水运动员4人组成集合A，则集合A中最少有2人参加、最多4人参加跳水队，据此分3种情况讨论，由加法原理分析可得答案．解：根据题意，设只能参加10米跳台跳水运动员4人组成集合A，则集合A中最少有2人参加、最多4人参加跳水队，分3种情况讨论：①，从集合A中选取4人，参加跳水队，有C44C74=35种情况，②，从集合A中选取3人，参加跳水队，有C43C21C64=120种情况，③，从集合A中选取2人，参加跳水队，有C42C22C54=30种情况，则有35+120+30=185种情况；故答案为185．16.答案：(−4,0)解析：解：由x 3−3x 2−a =0，得x 3−3x 2=a ．令f(x)=x 3−3x 2，解x 3−3x 2=0，得x 1=x 2=0，或x 3=3，即函数f(x)有一个零点3，和一个二重零点0．又f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，令f′(x)=0，则x =0或2.列表如下：由表格可以看出：函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+∞)上单调递增． 在x =0时取得极大值，且f(0)=0；在x =2时取得极小值，且f(2)=−4．综上可画出函数y =f(x)的图象，如下图：要使函数y =f(x)与y =a 由三个不同的交点，则必须满足−4<x <0．此时满足 关于x 的方程x 3−3x 2−a =0有3个不同的实数解．故答案为(−4,0)．分析：关于x 的方程x 3−3x 2−a =0有3个不同的实数解⇔函数y =x 3−3x 2与y =a 由三个不同的交点，利用导数先得出函数y =f(x)的单调性并画出图象，进而即可得出答案．把方程的解得问题转化问题函数的交点问题和熟练应用导数得到函数的单调性并画出图象是解题的关键．17.答案：5解析：解：∵M 为AC 的中点，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，①∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16，② ①−②得：4BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5．故答案为：5．由题意可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，对两式平方相减即可得出答案． 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于在中档题． 18.答案：解：(Ⅰ)由已可得，f(0)=√3cos0−2sin 2(0−α)=√3−2sin 2α=√3−1．其中0<α<π2，∴sinα=√22，∴α=π4． (Ⅱ)由(Ⅰ)可得，函数f(x)=√3cos2x −2sin 2(x −α)=√3cos2x −2sin 2(x −π4)=√3cos2x −2⋅1−cos(2x−π2)2=√3cos2x +sin2x −1=2sin(2x +π3)−1， ∴函数f(x)最小正周期为2π2=π．令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，求得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12， 可得函数的减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k ∈Z ．解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．(Ⅰ)根据函数的解析式以及f(0)=√3−1，求得α的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．19.答案：解：(1)由x ∈[0,2]时，f (x +2)=f (x )，令x =0有f (2)=f (0)，得|2−m |=|m |，所以m =1．(2)由(1)可知f(x)=(12)|x−1|，x ∈[0,2]， 所以当x ∈[0,2]时，f (x )的值域为[12,1]，又f (x )是周期为2的周期函数，故f (x )的值域为[12,1]，当x >2时，f (x )≤1<g (x )，故此时方程无解；当0<x ≤1时，g (x )≤0<f (x )，此时方程无解；当x =2时，f (x )≠g (x )，不是方程的解；当1<x <2时，记F(x)=f(x)−g(x)=(12)x−1−log 2x ，因为F (x )在x ∈[1,2]上的函数图象连续并单调递减且F(1)⋅F(2)=−12<0，所以函数F (x )在(1,2)内有唯一的零点，即方程f (x )=g (x )在x ∈(1,2)上有唯一的实数解．综上可知，方程f (x )=g (x )有唯一的实数解．解析：本题主要考查复合函数的知识，关键是知道复合函数的特点．(1)令x =0有f (2)=f (0)，代入f(x)=(12)|x−1|即可求出m =1． (2)本题利用函数的零点与方程根的关系，把判断方程f (x )=g (x )实数解的个数，转化为求函数F(x)=f(x)−g(x)=(12)x−1−log 2x 的零点个数，由(1)可知f (x )是周期为2的周期函数，再利用函数F (x )的单调性从而确定零点个数，即解的个数．20.答案：解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a →+12b →． AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE → =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB →+13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB →+13AC → =13a →+13b →．解析：利用平面向量的加减运算及平面向量基本定理表示出向量即可．21.答案：证明：(1)因a 22=a 1a 4 ， 而{a n }是等差数列，有a 2=a 1+d ，a 4=a 1+3d ，于是(a 1+d)2=a 1(a 1+3d)，即a12+2a1d+d2=a12+3a1d，化简得a1=d；d，得到10a1+45d=110，(2)解：由条件S10=110和S10=10a1+10×92由(1)，a1=d，代入上式得55d=110，故d=2，a n=a1+(n−1)d=2n，因此，数列{a n}的通项公式为a n=2n．解析：本题主要考查等差数列的应用，熟悉等差数列和等比数列的性质是解答本题的关键，属于中档题．(1)由已知a22=a1⋅a4，代入等差数列的通项可转化为(a1+d)2=a1⋅(a1+3d)，整理可得．d，联立方程可求a1，d及a n(2)结合(1)且有s10=10a1+10×9222.答案：解：(1)f′(x)=e x+a，①当a≥0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增，不满足题意；②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=ln(−a)，当x<ln(−a)时f′(x)<0，当x>ln(−a)时f′(x)>0，则f(x)在(−∞,ln(−a))上单调递减，在(ln(−a),+∞)上单调递增，要使f(x)有两个零点，只需f(ln(−a))<0，解得a<−e；(2)设F(x)=2f(x)+3−x2−a2=2e x−x2+2ax−a2+3，x∈[0,+∞)F′(x)=2e x−2x+2a，F′′(x)=2e x−2，∵F′′(x)≥0，∴F′(x)在上递增，F′(0)=2a+2，当2a+2≥0时，即a≥−1，此时F′(x)≥0，∴F(x)在上递增，∴F(x)min=F(0)=5−a2≥0，解得−1≤a≤√5;当2+2a<0时，即a<−1，F(x)在(0,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增，(x0≥0)∴F(x)min=F(x0)=2e x0−2x0+2a=0，即2e x0=2x0−2a，∴F(x0)=2x0−2a−x02+2ax0−a2+3=−x02+2(a+1)x0+(a+3)(a−1)≥0，∴a−1≤x0≤a+3，又a<−1，x0≥0，∴F′(a+3)=2e a+3−2(a+3)+2a≥0，∴e a+3≥3，解得ln3−3≤a<−1，综上所述，ln3−3≤a≤√5，即实数a的取值范围为[ln3−3,√5].解析：本题考查函数导数的综合应用，属于较难题．(1)求出F(x)的导数，对a进行分类讨论，即可得出结论；(2)设F(x)=2f(x)+3−x2−a2=2e x−x2+2ax−a2+3，x∈[0,+∞)，求得F′(0)=2a+2，接下来分a≥−1和a<−1两种情况进行讨论，利用导数分别求出F(x)min，再利用F(x)min≥0，综合考虑即可求得实数a的取值范围．。
2019-2020学年浙江省杭州高中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合{1P =-，0，1}，{|11}Q x x =-<…，则(P Q =I ) A ．{0}B ．[1-，0]C ．{1-，0}D ．[1-，1)2．（4分）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间是( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R3．（4分）下列函数既是奇函数，又在区间[1-，1]上单调递减的是( ) A ．()sin f x x = B ．()|1|f x x =-+ C ．1()()2x x f x a a -=+D ．2()2xf x lnx-=+ 4．（4分）函数26y lnx x =+-零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．35．（4分）已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．0C ．1D ．26．（4分）已知[,]2πθπ∈，则12sin()sin()(2ππθθ++-= )A ．sin cos θθ-B ．cos sin θθ-C ．(sin cos )θθ±-D ．sin cos θθ+7．（4分）在下列函数①sin(2)6y x π=+②|sin()|4y x π=+③cos |2|y x =④tan(2)4y x π=-⑤|tan |y x =⑥sin ||y x =中周期为π的函数的个数为( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．（4分）函数223()2xx xf x e +=的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．9．（4分）已知函数()2sin f x x ω=（其中0)ω>，若对任意13[,0)4x π∈-，存在2(0,]3x π∈，使得12()()f x f x =，则ω的取值范围为( ) A ．3ω…B ．03ω<„C ．92ω…D ．902ω<„10．（4分）已知函数()f x 是R 上的增函数，且(sin )(cos )(sin )(cos )f f f f ωωωω+->-+，其中ω是锐角，并且使得()sin()4g x x πω=+在(2π，)π上单调递减，则ω的取值范围是()A ．(4π，5]4B ．5[4，)2πC ．1[2，)4πD ．1[2，5]4二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．（6分）sin6π=；cos α，则α∈ ． 12．（6分）函数||11()4x y -+=的单调增区间为 ；奇偶性为 （填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）．13．（6分）若lgx m =，lgy n =，则2()10ylg = ；若2m a =，6(0n a a =>，m ，)n R ∈，则32m n a-= ．14．（6分）函数27cos sin cos24y x x x =--+的值域为 ；函数3sin ()2sin xf x x-=+的值域为 ． 15．（4分）设函数(0)()1()(0)2xx f x x =⎨<⎪⎩…，则((4))f f -= ．16．（4分）若(,)2παπ∈，1sin()43πα+=，则sin α=17．（4分）已知函数()f x =，若()f x 的值域为[0，)+∞，则a 的取值范围 ． 三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（14分）设全集为R ，{|37}A x x =<<，{|410}B x x =<<， （1）求()R A B U ð及()R A B I ð；（2）{|44}C x a x a =-+剟，且A C A =I ，求a 的取值范围． 19．（15分）如图是()sin()f x A x ωϕ=+，(,0,0,0)2x R A πωϕ∈>><<在区间5[,]66ππ-上的图象，（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若把函数()f x 图象向左平移β个单位(0)β>后，与函数()cos2g x x =重合，求β的最小值．20．（15分）已知函数2()cos()2sin 32xf x x π=-+（Ⅰ）求函数()f x 在区间[,]32ππ-上的值域（Ⅱ）把函数()f x 图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移ϕ个单位长度(0)2πϕ<<，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()g x ，若函数()g x 关于点3(,0)4π对称 ()i 求函数()g x 的解析式；()ii 求函数()g x 单调递增区间及对称轴方程．21．（15分）已知0m ≠，函数()sin cos sin cos 1f x x x m x x =+-+ （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的最大值并求出相应x 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在[,2]2ππ-上有6个零点，求实数m 的取值范围．22．（15分）已知a 为正数，函数22222131(),()log log 244f x ax xg x x x =--=-+． （Ⅰ）解不等式1()2g x -„； （Ⅱ）若对任意的实数t ，总存在1x ，2[1x t ∈-，1]t +，使得12|()()|()f x f x g x -…对任意[2x ∈，4]恒成立，求实数a 的最小值．2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合{1P =-，0，1}，{|11}Q x x =-<„，则(P Q =I ) A ．{0}B ．[1-，0]C ．{1-，0}D ．[1-，1)【解答】解：Q 集合{1P =-，0，1}，{|11}Q x x =-<„， {1P Q ∴=-I ，0}．故选：C ．2．（4分）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间是( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R【解答】解：设幂函数()f x x α=， Q 函数()f x 经过点1(2,)4，∴124α=，解得2α=-， ∴221()f x x x -==， 故它的单调递增区间为(,0)-∞． 故选：C ．3．（4分）下列函数既是奇函数，又在区间[1-，1]上单调递减的是( ) A ．()sin f x x = B ．()|1|f x x =-+ C ．1()()2x x f x a a -=+D ．2()2xf x lnx-=+ 【解答】解：函数()sin f x x =，是奇函数，在[1-，1]上单调递增，不满足条件． 函数()|1|f x x =-+不是奇函数，不满足条件， 函数1()()2x x f x a a -=+是偶函数，不满足条件，故选：D ．4．（4分）函数26y lnx x =+-零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：26y lnx x =+-在其定义域上连续且单调递增，2|246220x y ln ln ==+-=-<， 3|36630x y ln ln ==+-=>，故函数26y lnx x =+-在(2,3)上有一个零点， 故函数26y lnx x =+-零点的个数为1， 故选：B ．5．（4分）已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．0C ．1D ．2【解答】解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数， ()()f x f x ∴-=-，(1)f f -=-（1）， 又当0x >时，21()f x x x=+，f ∴（1）2112=+=，(1)2f ∴-=-，故选：A ．6．（4分）已知[,]2πθπ∈( )A ．sin cos θθ-B ．cos sin θθ-C ．(sin cos )θθ±-D ．sin cos θθ+【解答】解：由[,]2πθπ∈，|sin cos |sin cos θθθθ-=-，故选：A ．7．（4分）在下列函数①sin(2)6y x π=+②|sin()|4y x π=+③cos |2|y x =④tan(2)4y x π=-⑤|tan |y x =⑥sin ||y x =中周期为π的函数的个数为( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：①sin(2)6y x π=+的周期22T ππ==，满足条件，②|sin()|4y x π=+的周期1T ππ==，③cos |2|cos2y x x ==，周期22T ππ==，满足条件， ④tan(2)4y x π=-的周期是2π不满足条件．⑤|tan |y x =的周期是π，满足条件，⑥sin |y x =是偶函数，不具备周期性． 故正确的是①②③⑤ 故选：B ．8．（4分）函数223()2xx xf x e +=的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：：由函数223()2x x x f x e +=知有两个零点32x =-与0x =，排除A ，又223()2xx x f x e -++'=， 由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ， 故选：B ．9．（4分）已知函数()2sin f x x ω=（其中0)ω>，若对任意13[,0)4x π∈-，存在2(0,]3x π∈，使得12()()f x f x =，则ω的取值范围为( )A ．3ω…B ．03ω<„C ．92ω…D ．902ω<„【解答】解：由题意知，函数()2sin f x x ω=是奇函数， 因为对任意13[4x π∈-，0]，都存在2(0x ∈，]3π， 使得12()()f x f x =，(0∴，]3π至少是32个周期，得到函数()f x 的周期332222233T πππω=⨯⨯=„，解得92ω…，则ω的取值范围为9[2，)+∞；故选：C ．10．（4分）已知函数()f x 是R 上的增函数，且(sin )(cos )(sin )(cos )f f f f ωωωω+->-+，其中ω是锐角，并且使得()sin()4g x x πω=+在(2π，)π上单调递减，则ω的取值范围是()A ．(4π，5]4B ．5[4，)2πC ．1[2，)4πD ．1[2，5]4【解答】解：①若sin cos ωω>，则cos sin ωω->-；()f x Q 是R 上的增函数；(sin )(cos )f f ωω∴>，(cos )(sin )f f ωω->-；∴符合(sin )(cos )(cos )(sin )f f f f ωωωω+->+-； ωQ 是锐角；∴42ππω<<；②若sin cos ωω„，则cos sin ωω--„；(sin )(cos )(cos )(sin )f f f f ωωωω∴+-+-„，显然与已知矛盾，即这种情况不存在；由()cos()4g x x πωω'=+；∴由已知条件知，cos()04x πω+„在(2x π∈，)π上恒成立；∴函数cos()4x πω+的周期22()2ππππω-=g …；2ω∴„；∴24πω<„；由2x ππ<<得，244x πωππωπω<+<+，联立：2243242ππωππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩„„ 解得：1524ω剟． ∴544πω<„． ω∴的取值范围为5(,]44π．故选：A ．二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．（6分）sin6π=12；cos 2α…，则α∈ ．【解答】解：1sin 62π=，由cos α，知在一个周期内44ππα-剟，则在R 上α的范围是2244k k πππαπ-++剟，k Z ∈，即[24k παπ∈-+，2]4k ππ+，k Z ∈，故答案为：12，[24k ππ-+，2]4k ππ+，k Z ∈． 12．（6分）函数||11()4x y -+=的单调增区间为 [0，)+∞ ；奇偶性为 （填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）．【解答】解：令||1t x =-+，该函数的减区间为[0，)+∞， 而外层函数1()4t y =为减函数，∴函数||11()4x y -+=的单调增区间为[0，)+∞；函数||11()4x y -+=的定义域为R ，且||1||111()()()()44x x f x f x --+-+-===，∴函数为偶函数．故答案为：[0，)+∞；偶函数．13．（6分）若lgx m =，lgy n =，则2()10ylg = 1222m n -+ ；若2m a =，6(0n a a =>，m ，)n R ∈，则32m na-= ．【解答】解：lgx m =Q ，lgy n =，∴211()2(1)221022y lg lgx lgy m n =--=-+； 2m a =Q ，6(0n a a =>，m ，)n R ∈，∴32m na-=．故答案为：1222m n -+14．（6分）函数27cos sin cos24y x x x =--+的值域为 1[,2]4- ；函数3sin ()2sin xf x x-=+的值域为 ． 【解答】解：①函数2222227771cos sin cos2cos sin cos sin cos cos (cos )24442y x x x x x x x x x x =--+=--++=-++=--+， 当1cos 2x =时，2max y =， 当cos 1x =-时，14min y =-．故函数的值域为1[,2]4-．②函数3sin ()2sin xf x x-=+，整理得3sin 2sin x y x -=+，转换为2sin 3sin y y x x +=-，整理得32sin 1yx y-=+，由于1sin 1x -剟， 故32111y y --+剟，整理得32113211y y y y-⎧⎪+⎪⎨-⎪-⎪+⎩„…，解不等式组得：243y 剟，故函数的值域为2[,4]3．故答案为：①1[,2]4-．②2[,4]3．15．（4分）设函数(0)()1()(0)2xx f x x =⎨<⎪⎩…，则((4))f f -= 4 ．【解答】解：41(4)()162f --==，((4))(16)4f f f -==，故答案为：4．16．（4分）若(,)2παπ∈，1sin()43πα+=，则sin α=46【解答】解：Q (,)2παπ∈，1sin()43πα+=，3(44ππα∴+∈，5)4π，cos()4πα∴+=，1sin sin[()]sin()cos cos()sin (4444443ππππππαααα∴=+-=+-+=．． 17．（4分）已知函数()f x ，若()f x 的值域为[0，)+∞，则a 的取值范围 81[4，)+∞ ．【解答】解：()f x Q 的值域为[0，)+∞，()f x =的最小值为0，设22()9ag x x x=+-， ()g x ∴的最小值为0，当0a >时，22()9290ag x x a x=+--厖，当且仅当4x a =取等号，解得814a …， 当0a „时，()g x 的最小值不为0，故不满足条件， 综上所述a 的取值范围81[4，)+∞ 三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（14分）设全集为R ，{|37}A x x =<<，{|410}B x x =<<， （1）求()R A B U ð及()R A B I ð；（2）{|44}C x a x a =-+剟，且A C A =I ，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）Q 全集为R ，{|37}A x x =<<，{|410}B x x =<<， {|310}A B x x ∴=<<U ，{|3R A x x =„ð或7}x …， (){|3R A B x x ∴=U „ð或10}x …， (){|710}R A B x x =<I „ð．（2）{|37}A x x =<<Q ，{|44}C x a x a =-+剟，且A C A =I ，A C ∴⊆，∴4347a a -⎧⎨+⎩„…，解得37a 剟． a ∴的取值范围是[3，7]．19．（15分）如图是()sin()f x A x ωϕ=+，(,0,0,0)2x R A πωϕ∈>><<在区间5[,]66ππ-上的图象，（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若把函数()f x 图象向左平移β个单位(0)β>后，与函数()cos2g x x =重合，求β的最小值．【解答】解：（Ⅰ） 根据()sin()f x A x ωϕ=+，(,0,0,0)2x R A πωϕ∈>><<在区间5[,]66ππ-上的图象， 可得1A =，25()66πππω=--，2ω∴=． 再根据五点法作图，可得23πϕπ+=g ，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π∴=+．（Ⅱ）Q 把函数()f x 图象向左平移β个单位(0)β>后，可得sin(22)3y x πβ=++的图象，由于所得图象与函数()cos2sin(2)2g x x x π==+的图象重合，2232k ππβπ∴+=+，k Z ∈， 故β的最小值为12π．20．（15分）已知函数2()cos()2sin 32xf x x π=-+（Ⅰ）求函数()f x 在区间[,]32ππ-上的值域（Ⅱ）把函数()f x 图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移ϕ个单位长度(0)2πϕ<<，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()g x ，若函数()g x 关于点3(,0)4π对称 ()i 求函数()g x 的解析式；()ii 求函数()g x 单调递增区间及对称轴方程．【解答】解：（Ⅰ）Q 函数211cos ()cos()2sin cos 23222x xf x x x x π-=-+=++g11sin()126x cox x π=-+=-+， 在区间[,]32ππ-上，[62x ππ-∈-，]3π，故当62x ππ-=-时，()f x 取得最小值为 0；当63x ππ-=时，()f x 1，故函数()f x 在区间[,]32ππ-上的值域为[01]+． （Ⅱ）()i 把函数()sin()16f x x π=-+图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，可得sin(2)16y x π=-+的图象；再把所得的图象向左平移ϕ个单位长度(0)2πϕ<<，可得sin(22)16y x πϕ=+-+的图象；再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()sin(22)6g x x πϕ=+- 的图象．若函数()g x 关于点3(,0)4π对称，则32246k ππϕπ⨯+-=，k Z ∈， 6πϕ∴=-，()sin(2)cos22g x x x π∴=-=-．()ii 对于函数()cos2g x x =-，令222k x k πππ-剟，求得2k x k πππ-剟，可得函数()g x 的单调递增区间为[2k ππ-，]k π，k Z ∈．令2x k π=，求得2k x π=，可得函数()g x 的图象的对称轴方程为2k x π=，k Z ∈． 21．（15分）已知0m ≠，函数()sin cos sin cos 1f x x x m x x =+-+ （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的最大值并求出相应x 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在[,2]2ππ-上有6个零点，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1m =时，()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+，令sin cos )[4t x x x π=+=+∈，且212sin cos t x x =+，所以21sin cos 2t x x -=，则2211()1(1)222t f t t t -=-+=--+，因为[t ∈，所以当1t =时，函数()f x 取最大值为2，)14x π+=，解得2x k π=或2()2k k Z ππ+∈； （Ⅱ）[,2]2x ππ∈-Q ，∴9[,]444x πππ+∈-，则sin cos )[4t x x x π=+=+∈，， 令21()()102t f x g t t m -==-+=g ，故2112t t m -+=g，易知1t =-是方程()0g t =的一个解，且1)4x π-+在9[,]444x πππ+∈-有三个x 与之对应，当1t ≠-时，由2112t t m -+=g 可得21t m=+，故21)4t x m π=+=+在9[,]444x πππ+∈-也需有三个x 与之对应，故21(1,1]m+∈-，解得1m <-，所以实数m 的取值范围为(,1)-∞-．22．（15分）已知a 为正数，函数22222131(),()log log 244f x ax xg x x x =--=-+． （Ⅰ）解不等式1()2g x -„； （Ⅱ）若对任意的实数t ，总存在1x ，2[1x t ∈-，1]t +，使得12|()()|()f x f x g x -…对任意[2x ∈，4]恒成立，求实数a 的最小值．【解答】解：()I 令2log ()x u u R =∈，则不等式2111()2242g x u u -⇔-+-剟，24830u u ∴-+„，∴1322u剟，∴213log 22x 剟，∴x∴不等式1()2g x -„的解集为． ()II 令2log m x =，则12m 剟，21()24g x m m =-+，∴1()4max g x =． Q 对任意的实数t ，总存在1x ，2[1x t ∈-，1]t +，使得121|()()|4f x f x -…．设213()24f x ax x =--在[1t -，1]t +上最大值为()M t ，最小值为()m t ，()f x 的对称轴为直线14x a =．令()()()h t M t m t =-，则对任意的实数t ，1()4h t …．①当114t a-„时，()(1)M t f t =+，()(1)m t f t =-， 则()()()41h t M t m t at =-=-，此时11()4(1)1444h t a aa +-=厖，∴116a …； ②当114t t a-<„时，()(1)M t f t =+，113()()24m t f a a ==-，11331()()()(1)()2424h t M t m t f a a a =-+--=+厖，∴54a -…． ③当114t t a <<+时，()(1)M t f t =-，113()()24m t f a a ==-， 11331()()()(1)()2424h t M t m t f a a a =----=-厖，∴74a …；④当114t a+…时，()(1)M t f t =-，()(1)m t f t =+，则()()()41h t M t m t at =-=-+， 此时11()4(1)1444h t a aa --+=厖，∴116a …， 综上，实数a 的最小值为74．。
2019-2020学年人教A版浙江省杭州市高三第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列二、填空题11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝，|z|＝．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝，展开式中各项系数和等于．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝；若AD ＝AC＝1，则BC＝．14．已知函数，则f[f（2019）]＝；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝．三、解答题18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：B．2．双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，可得a＝2，c＝，利用离心率计算公式即可得出．解：由双曲线＝1可得a2＝4，b2＝1，∴a＝2，c＝＝．∴双曲线的离心率e＝＝．故选：A．3．已知非零向量，，则“•＞0”是“向量，夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．4．若实数x，y满足不等式组，则（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y≥0 D．2x﹣y+1≥0 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图象即可求解．解：作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可得A，B均不成立；对于C：因为直线x+2y＝0过平面区域，红线所表，故函数值有正有负，不成立．故只有答案D成立．故选：D．5．设正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，则当x+y取得最小值时，x＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据e x•e y＝（e x）y，可得x+y＝xy，再利用基本不等式可得，从而得到，然后确定当x+y取得最小值时x的值即可．解：∵正实数x，y满足e x•e y＝（e x）y，∴x+y＝xy，又∵，∴，∴xy≥4，∴x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，∴当x+y取得最小值时，x＝2．故选：B．6．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则（）A．P（ξ＝1）＜D（ξ）B．P（ξ＝1）＝D（ξ）C．P（ξ＝1）＞D（ξ）D．【分析】推导出P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝从而P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，由此推导出P（ξ＝1）＞D（ξ）．解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴D（ξ）＝+＝．∴P（ξ＝1）＞D（ξ）．故选：C．7．下列不可能是函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分a＝0、a＞0和a＜0三种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及单调性，综合即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x a（2x+2﹣x）（a∈Z），当a＝0，f（x）＝（e x+e﹣x），（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，A选项符合；当a为正整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，其导数f′（x）＝ax a ﹣1（e x+e﹣x）+x a（e x﹣e﹣x），当x＞0时，f′（x）＝x a﹣1[a（e x+e﹣x）+x（e x﹣e﹣x）]＝x a﹣1[（a+x）e x+（a﹣x）e﹣x]，则f′（x）先负后正，故f（x）不经过原点且在第一象限先减后增，BD符合；故选：C．8．若函数y＝f（x），y＝g（x）定义域为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数B．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递增函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递增函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【分析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确．解：令f（x）＝sin x，g（x）＝2x，函数sin2x是周期函数，但y＝g（x）不是周期函数，故A错误；令f（x）＝x2+1，g（x）＝2x，则f（g（x））＝4x2+1为偶函数，但y＝g（x）不是偶函数，故B错误；令f（x）＝x，g（x）＝x3，y＝f（x），y＝g（x）均为R上的单调递增函数，但y＝f （x）•g（x）＝x4在R上不单调，故C错误；由y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且两函数定义域均关于原点对称，则f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），且定义域关于原点对称，函数y ＝f（g（x））为奇函数，故D正确．故选：D．9．已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．设两曲线的一个交点为P，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x0，y0），由，p＝2c，可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x，整理可得：a﹣e＝⇒e＝即可．解：设P（x0，y0），，．∵，则2c（c﹣x0）＝…①，∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F2．∴p＝2c…②，由①②可得x0＝，由椭圆、抛物线焦半径公式可得a﹣ex0＝x．整理可得：a﹣e＝⇒2e2+5e﹣3＝0．解得e＝（负值舍）．故选：A．10．已知非常数数列{a n}满足（n∈N*，α，β为非零常数）．若α+β≠0，则（）A．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等比数列B．存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列C．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等差数列D．存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{a n}为等比数列【分析】本题先将递推式进行变形，然后令t＝，根据题意有常数t≠0，且t≠1．将递推式通过换元法简化为a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝（t ﹣1）（a n+1﹣a n）．根据此时逐步递推可得a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．根据题意有a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，可得到数列{a n}是一个等差数列．由此可得正确选项．解：由题意，得＝a n+1+a n．令t＝，则＝1﹣t，∵α，β为非零常数且α+β≠0，∴t，1﹣t均为非零常数，∴常数t≠0，且t≠1．故a n+2＝ta n+1+（1﹣t）a n．两边同时减去a n+1，可得a n+2﹣a n+1＝ta n+1﹣a n+1+（1﹣t）a n＝（t﹣1）（a n+1﹣a n）．∵常数t≠0，且t≠1．∴t﹣1≠﹣1，且t﹣1≠0．∴a n+1﹣a n＝（t﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（t﹣1）2（a n﹣1﹣a n﹣2）＝…＝（t﹣1）n﹣1（a2﹣a1）．∵数列{a n}是非常数数列，∴a2﹣a1≠0，则当t﹣1＝1，即t＝2，即＝2，即α+2β＝0时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2＝…＝a2﹣a1．此时数列{a n}很明显是一个等差数列．∴存在α，β，只要满足α，β为非零，且α+2β＝0时，对任意a1，a2，都有数列{a n}为等差数列．故选：B．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分，共36分11．设复数z满足（1+i）•z＝2i（i为虚数单位），则z＝1+i，|z|＝．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+i）•z＝2i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：1+i；．12．已知二项式的展开式中含x2的项的系数为15，则a＝ 1 ，展开式中各项系数和等于64 ．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，再令x＝1，可得展开式中各项系数和．解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2 求得r＝2，故展开式中含x2的项的系数为•a2＝15，则a＝1．再令x＝1，可得展开式中各项系数和等于（1+1）6＝64，故答案为：1；64．13．在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝ 2 ；若AD＝AC＝1，则BC＝．【分析】①根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出的值；②由余弦定理列出方程，即可求得BD、CD和BC的值．解：①如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，所以c＝2b，所以＝＝＝2；②由AD＝AC＝1，所以AB＝2AC＝2，设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，cos∠CAD＝＝＝，又∠BAD＝∠CAD，所以＝，解得x＝；所以BC＝3x＝．故答案为：2，．14．已知函数，则f[f（2019）]＝0 ；若关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】推导出f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，从而f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，结合图形，能求出实数a的取值范围．解：∵函数，∴f（2019）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，f[f（2019）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）2＝0．作出函数的图象，如下图：设f（x）与x轴从左到右的两个交点分别为A（﹣1，0），B（，0），f（x+a）与f（x）的图象是平移关系，∵关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，∴结合图形，得实数a的取值范围是（﹣1，]．故答案为：0，（﹣1，]．15．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21 种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【分析】由题意可以分为四类，每一类分别求解，再根据分类计数原理可得．解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32＝6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32＝6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33＝6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6＝21种．故答案为：21．16．已知函数f（x）＝x3﹣9x，g（x）＝3x2+a（a∈R）．若方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，则a＝﹣11 ．【分析】问题等价为函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根，依题意，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而利用三次函数的性质可求得x2＝1，进而求得a的值．解：方程f（x）＝g（x）即为x3﹣3x2﹣9x＝a，依题意，函数h（x）＝x3﹣3x2﹣9x与常函数y＝a由三个不同的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，由x1，x2，x3构成等差数列可知，函数h（x）关于（x2，h（x2））中心对称，而三次函数的对称中心点就是二阶导函数的零点，且h′（x）＝3x2﹣6x﹣9，h''（x）＝6x﹣6，令h''（x）＝6x﹣6＝0，解得x＝1，即x2＝1，故函数h（x）的对称中心即为（1，﹣11），则a＝﹣11．故答案为：﹣11．17．在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，则＝﹣2 ．【分析】取BD的中点O，连接OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值．解：取BD的中点O，连接OM，ON，可得，平方可得＝＝，即有，，即有•（）＝（）•（）＝（）＝（4﹣）＝，解得，所以＝＝，故答案为：﹣2．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）函数＝sin2x﹣＝sin2x ﹣cos2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为＝π．（2）在区间上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为，故f（x）的值域为[﹣，]．19．已知函数f（x）＝x2+k|x﹣1|﹣2．（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）若k≤﹣2，试判断方程f（x）＝﹣1的根的个数．【分析】（1）写出k＝1时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得f（x）的单调增区间；（2）解出各段上函数的解析式，再结合k的取值范围得到方程根的个数．解：（1）k＝1时，f（x）＝x2+|x﹣1|﹣2＝，当x≥1时，f（x）＝（x+）2﹣，此时函数在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）＝（x﹣）2﹣，此时函数在（，1）上单调递增，综上函数f（x）的单调递增区间是（，+∞）；（2）当x≥1时，则x2+k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1+k）＝0，即x＝﹣1﹣k，或x＝1；当x＜1时，则x2﹣k（x﹣1）﹣2＝﹣1，即（x﹣1）（x+1﹣k）＝0，即x＝k﹣1，故当k＜﹣2，﹣1﹣k＞1，k﹣1＜1，则方程有3个不等实数根；当k＝﹣2时，﹣1﹣k＝1，k﹣1＝﹣3，则方程有2个不等实数根．20．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【分析】（1）利用面积可得bc＝8，利用，可知C、P、D三点共线，即可求出m的值；（2）由（1）可表示出||，利用机泵不等式可得最小值．解：（1）设||＝c，||＝b，所以S△ABC＝bc sin＝2，解得bc＝8，由＝m+＝m+，且C，P，D三点共线，所以m+＝1，解得m＝；（2）由（1）可知，所以||2＝（）2＝因为＝bc cos＝﹣4，所以||2＝≥2•﹣＝，故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取得等号，综上||的最小值为．21．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，若a2是a1与a4的等比中项，a6＝12，a1b1＝a2b2＝1．（1）求a n，S n与T n；（2）若，求证：．【分析】（1）由题意得，，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n项和可求；（2）由，结合0＜＜1恒成立，即可得到c n＜＜＝，结合等差数列的前n项和公式即可证明．【解答】（1）解：由题意得，，即，得a1＝d（d ≠0），由a6＝12，得a1＝d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n，，由a1b1＝a2b2＝1，得，，∴；（2）证明：∵，由0＜＜1恒成立，∴c n＜＜＝，∴c1+c2+…+c n＜．22．设函数f（x）＝e x+ax，a∈R．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a的取值范围．【分析】（1）求出导数，分类讨论a的正负即可；（2）表示出g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出g （x）单调区间，进而求出a的取值范围解：（1）f′（x）＝e x+a，①当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），则f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln （﹣a））＜0，解得a＜﹣e；（2）令g（x）＝2f（x）+3﹣x2﹣a2＝2e x﹣（x﹣a）2+3，x≥0，则g′（x）＝2（e x﹣x+a），又令h（x）＝2（e x﹣x+a），则h′（x）＝2（e x﹣1）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝2（a+1），①当a≥﹣1时，g′（x）≥0恒成立，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，从而必须满足g（0）＝5﹣a2≥0，解得﹣≤a≤，又因为a≥﹣1，所以﹣1≤a≤；②当a＜﹣1时，则存在x0＞0，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）单调递增，所以g（x）最小值为g（x0）＝≥0，又h（x0）＝2（）＝0，从而≥0，解得0＜x0≤ln3，由＝x0﹣a，则a＝x0﹣，令M（x）＝x﹣e x，0＜x≤ln3，则M′（x）＝1﹣e x＜0，所以M（x）在（0，ln3上单调递减，则M（x）≥M（ln3）＝ln3﹣3，又M（x）＜M（0）＝﹣1，故ln3﹣3≤a＜﹣1，综上，ln3﹣3≤a≤．。
2019—2020学年度第一学期期末考试题高一数学
2019—2020学年度第一学期期末考试题高一数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求）1.设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A. B. C. D.2.已知倾斜角为45°的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A. 3B.C. 5D.3.若函数，则f（f（10））=（）A. lg101B. 2C. 1D. 04.已知A（2，5，-6），点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是（）A. 8,B. 2,C. 8,或2,D.5.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A. 或B. 或C. 或D. 或6.函数f（x）=的定义域为（）A. B. C. D.7.设a=50.4，b=log0.40.5，c=log40.4，则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.8.下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C. D.9.函数f（x）=2x+x的零点所在的区间是（）A. B. C. D.10.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是( )A. 6B.C.D. 12第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是______．12.正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是______．13.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=______．14.lg+2lg2-（）-1=______．15.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且其6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为______．16.已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P，则点P到直线x-y-1=0的距离是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO=，AB=2．求证：（1）求棱锥P-ABCD体积；（2）平面PAC⊥平面BDE；（3）求二面角E-BD-C的大小．17.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB（2）证明：平面PMB⊥平面PAD．18.求满足下列条件的曲线方程：（1）经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且垂直于直线6x-8y+3=0的直线（2）经过点C（-1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的圆．19.已知函数y=x2-4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x-y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．20.如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．(1)求直线CD的方程；(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．21.(1)求过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(2)已知直线平行于直线4x＋3y－7＝0，直线与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及由两点求直线的斜率，此题属于基础题型．首先根据斜率公式得到直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值．【解答】∵直线经过两点A（2，4），B（1，m），∴直线AB的斜率k==4-m，又∵直线的倾斜角为45°，∴k=tan45°=1，∴m=3．故选：A．3.【答案】D【解析】解：∵函数，∴f（10）=lg10=1，f（f（10））=f（1）=12-1=0．故选：D．推导出f（10）=lg10=1，从而f（f（10））=f（1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意设P（0，y，0），因为|PA|=7，所以=7，所以y=2或y=8，所以点P的坐标为：（0，2，0）或（0，8，0）．故选：C．设出P的坐标，利用两点距离公式，求出P的坐标．本题考查空间两点间距离公式的应用，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y-5=0故选：A．设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：要使函数f（x）有意义，则：；∴x≤1，且x≠0；∴f（x）的定义域为（-∞，0）（0，1]．故选：D．可以看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，区间表示集合的定义．7.【答案】B【解析】解：∵a=50.4＞50=1，0＜b=log0.40.5＜log0.40.4=1，c=log40.4＜log41=0，∴c＜b＜a．故选：B．利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别半径a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）=-x+2，为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）=2x，为指数函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于D，f（x）=x2-2x，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：函数f（x）=2x+x，是连续增函数，∵f（-1）=2-1-1=-＜0，f（0）=20+0=1＞0，满足f（0）f（-1）＜0．∴函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（-1，0）．故选：A．已知函数解析式求得f（-1）＜0，f（0）＞0，结合函数零点存在定理得答案．本题考查函数零点存在定理的应用，注意函数的连续性，是基本知识的考查．10.【答案】D【解析】解：由直观图画法规则，可得△OAB是一个直角三角形，直角边OA=6，OB=4，∴S△OAB=OA•OB=×6×4=12．故选：D．由直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则，还原△OAB是一个直角三角形，直角边OA=6，OB=4，直接求解其面积即可．本题考查斜二测画法中原图和直观图之间的关系，属基本概念、基本运算的考查．11.【答案】24π【解析】【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．本题考查正四棱柱的外接球的表面积，考查计算能力，是基础题．【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是，所以球的直径是，所以这个球的表面积是：.故答案为24π.12.【答案】【解析】解：取AD中点G，连接EG，FG，则EG∥AD1，则∠GEF（或其补角）为直线AD1与EF所成角，设DE=a，则EG=a，GF=a，EF=，在△EFG中由余弦定理得：cos∠GEF==，故答案为：由异面直线所成角的作法得：取AD中点G，连接EG，FG，则EG∥AD1，则∠GEF（或其补角）为直线AD1与EF所成角，由余弦定理得：设DE=a，则EG=a，GF=a，EF=，在△EFG中由余弦定理得：cos∠GEF==，得解．本题考查了异面直线所成角的作法及余弦定理，属中档题．13.【答案】9【解析】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0，得（x-3）2+（y-4）2=25-m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴5=+1，解得：m=9．故答案为：9．化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．14.【答案】-1【解析】【分析】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解：lg+2lg2-（）-1=lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=1-2=-1．故答案为-1．15.【答案】【解析】解：因为三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1==13．所以球的半径为：．故答案为：．通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．16.【答案】【解析】解：由已知得圆心为：P（2，0），由点到直线距离公式得：；故答案为：先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．本题考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题．17.【答案】解：（1）∵PO⊥面ABCD，PO=，AB=2，ABCD是正方形，∴棱锥P-ABCD体积V P-ABCD==．证明：（2）∵PO⊥平面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PO⊥BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．解：（3）∵EO⊥BD，CO⊥BD，∴∠EOC为二面角E-BD-C的平面角，作EF∥PO，交AC于F，EF==，AC=2，FO=，∴∠EOC=45°，所以二面角E-BD-C为45°．【解析】（1）由PO⊥面ABCD，PO=，AB=2，能求出棱锥P-ABCD体积．（2）推导出PO⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．（3）由EO⊥BD，CO⊥BD，知∠EOC为二面角E-BD-C的平面角，由此能示出二面角E-BD-C的大小．本题考查四棱锥的体积的求法，考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.【答案】解：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．．（2），又因为底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD．．【解析】本题主要考查直线和平面平行以及面面垂直的判定定理，要求熟练掌握相应的判定定理和应用．（1）利用线面平行的判定定理进行判断．（2）利用面面垂直的判定定理进行判断．19.【答案】解：（1）由，解得x=3，y=2，∴点P的坐标是（3，2），∵所求直线l与8x+6y+C=0垂直，∴可设直线l的方程为8x+6y+C=0．把点P的坐标代入得8×3+6×2+C=0，即C=-36．∴所求直线l的方程为8x+6y-36=0，即4x+3y-18=0．（2）∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（-1，1）和B（1，3），由|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即（a+1）2+1=（a-1）2+9，求得a=2，可得圆心为M（2，0），半径为|MA|=，故圆的方程为（x-2）2+y2=10．【解析】（1）联立方程，求出点P的坐标，利用所求直线l与6x-8y+3=0垂直，可设直线l的方程为8x+6y+C=0，代入P的坐标，可求直线l的方程；（2）设圆心为M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．本题考查直线与直线的位置关系，考查直线方程，考查直线系，考查求圆的标准方程考查学生的计算能力，正确设方程是关键．20.【答案】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，∴圆的方程为：（x-2）2+（y-2）2=5．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：．【解析】（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），由此能求出圆的方程．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，由此能求出结果．本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．21.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴k CD=k AB=2，∵点C（2，0），∴直线CD的方程为y-0=2（x-2），即2x-y-4=0；（2）∵CE⊥AB，∴，∵点C（2，0），∴直线CE的方程为，即x+2y-2=0.【解析】本题考查直线方程，考查两直线的平行与垂直，解题的关键在于确定所求直线的斜率，属于中档题．（1）利用四边形ABCD为平行四边形，边AB所在直线方程为2x-y-2=0，确定CD的斜率，进而可以求出直线CD的方程；（2）求出AB边上的高CE的斜率，即可求出CE所在直线的方程．22.【答案】解：（1）当直线过原点时，过点（2，3）的直线为当直线不过原点时，设直线方程为（a≠0），直线过点（2，3），代入解得a=5∴直线方程为∴过P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为3x-2y=0和x+y-5=0．（2）∵直线l与直线4x+3y-7=0平行，∴．设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点为A，，与y轴的交点为B（0，b），∴．∵直线l与两坐标轴围成的三角形周长是15，∴ ．∴|b|=5，∴b=±5．∴直线l的方程是，即4x+3y±15=0．【解析】（1）根据直线的截距关系即可求出直线方程；（2）利用直线平行的关系，结合三角形的周长即可得到结论．本题主要考查直线方程的求解和应用，要求熟练掌握常见求直线方程的几种方法．。
人教A版2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一第一学期(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年学军中学高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x＜1} 2．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为（）A．（0，2）B．（1，2）C．（2，3）D．（﹣1，1）3．若角α的终边与单位圆交于点P（﹣，），则sin（+α）＝（）A．B．﹣C．﹣D．4．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知a＝log2e，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．已知sinα+cosα＝，α∈（0，π），则＝（）A．B．﹣C．D．﹣7．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M 在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（）A．1 B．2 C．3 D．48．平面向量，满足，，，则最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．49．将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减10．函数y＝x+的值域为（）A．[1+，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（1，+∞）二、填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填写在答题卷相应位置上．11．已知向量，，若满足，则x＝，若满足，则x＝．12．函数f（x）＝的定义域为．13．若，则＝14．已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则＝．15．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝．16．定义在区间上的函数的图象与y＝4tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴交于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．17．设函数f（x）＝2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b 均有f（x0）＝a+b成立，则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．计算下列各式的值：（1）27﹣（）﹣2﹣（）（2）2（lg）2+lg•lg5+19．（1）已知tanθ＝2，求sin2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos2θ+4的值．（2）已知，求的值．20．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且．（1）当λ＝，求||；（2）求的最小值．21．已知函数：（Ⅰ）若，求y＝f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．22．已知函数：f（x）＝x2﹣mx﹣n（m，n∈R）．（Ⅰ）若m+n＝0，解关于x的不等式f（x）≥x（结果用含m式子表示）；（Ⅱ）若存在实数m，使得当x∈[1，2]时，不等式x≤f（x）≤4x恒成立，求实数n 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x＜1} 【分析】利用交集定义直接求解．解：全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：A．2．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为（）A．（0，2）B．（1，2）C．（2，3）D．（﹣1，1）【分析】由题意可得，由此求得x的范围，即为所求．解：函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则对于函数，应有，求得1＜x＜2，故g（x）的定义域为（1，2），故选：B．3．若角α的终边与单位圆交于点P（﹣，），则sin（+α）＝（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用诱导公式，求得sin（+α）的值．解：∵角α的终边与单位圆交于点P（﹣，），∴x＝﹣，y＝，r＝|OP|＝1，∴cosα＝＝﹣，则sin（+α）＝cosα＝﹣，故选：B．4．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f（x）→+∞排除C，D，故选：B．5．已知a＝log2e，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】根据对数函数的单调性即可比较．解：a＝log2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c＝＝log23＞log2e＝a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．6．已知sinα+cosα＝，α∈（0，π），则＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】把已知等式两边平方，求得sinαcosα，进一步得到sinα﹣cosα的值，联立求得sinα，cosα，得到tanα，代入得答案．解：由sinα+cosα＝，α∈（0，π），得，∴2sinαcosα＝，则sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝＝．联立，解得sinα＝，cosα＝，tanα＝＝．∴＝＝．故选：B．7．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M 在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围．解：建立如图坐标系，则，，∴＝x（2，0）+y（0，4）＝（2x，4y），∴＝（2λx，4λy），∵M在矩形ABCD内，∴，可得2λx+4λy≤6，λ（x+2y）≤3，∵x+2y＝1，∴λ≤3．故选：C．8．平面向量，满足，，，则最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题可得，则，又因为2＝＝||2+4﹣2××2＝﹣||2+10，可求最大值．解：由得，则||cosθ＝，由可得1≤||≤3又因为2＝＝||2+4﹣2××2＝﹣||2+10，所以当||＝1时2取最大值，即取最大值为．故选：C．9．将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【分析】将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y＝sin2x，增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，由此能求出结果．解：将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y＝sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．10．函数y＝x+的值域为（）A．[1+，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（1，+∞）【分析】函数y＝x+，可得y﹣x＝，两边平方，即可求解．解：函数y＝x+＝x+，可知函数的定义域为R．当x≥1时，可知函数y是递增函数，可得y≥1+当x≤1时，可得y﹣x＝≥0，两边平方，∵y﹣x≥0，即y＞1；∴（y﹣x）2＝，可得：x2﹣2xy+y2＝x2﹣2x+3，（y≠1）∴x＝≤1．得y∈R．由y﹣x＝y﹣＝≥0，∵y＞1．∴y2﹣2y+3≥0可得：y∈R综上可得y＞1．∴函数y＝x+的值域为（1+∞）．故选：D．二、填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填写在答题卷相应位置上．11．已知向量，，若满足，则x＝﹣，若满足，则x＝ 6 ．【分析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x的值．解：向量，，若，则1×（﹣3）﹣2x＝0，解得x＝﹣；若，则•＝1×x+2×（﹣3）＝0，x＝6．故答案为：﹣，6．12．函数f（x）＝的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．解：由题意得：log2x≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．若，则＝【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简即可．解：∵，∴cos（+α）＝sin（﹣α）＝．故答案为：．14．已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则＝8 ．【分析】可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出．解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥AB，∴•＝，•＝，∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣＝×52﹣×32＝8，故答案为：8．15．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝．【分析】由题意可得函数的图象关于直线x＝对称，再根据f（x）在区间（，）上有最小值、无最大值，可得ω+＝，由此求得ω的值．解：对于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），由f（）＝f（）得，函数图象关于x＝对称，又f（x）在区间（，）上有最小值，无最大值，可得ω×＝，解得．故答案为：．16．定义在区间上的函数的图象与y＝4tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴交于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【分析】先将求P1P2的长转化为求sin x的值，再由x满足6cos x＝5tan x可求出sin x的值，从而得到答案．解：由题意可得，线段P1P2的长即为P2的纵坐标，即sin x的值，且其中的x即为P的横坐标，满足cos x＝4tan x，解得sin x＝．∴线段P1P2的长为，故答案为：．17．设函数f（x）＝2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b 均有f（x0）＝a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．【分析】对任意不为零的实数a，b均有f（x0）＝a+b成立等价于（2x﹣1）b＝（1﹣2x2）a，分x＝或x≠两种情况讨论，即可求出t的范围．解：f（x）＝a+b成立等价于（2x﹣1）b＝（1﹣2x2）a，当x＝时，左边＝0，右边≠0，不成立，当x≠时，（2x﹣1）b＝（1﹣2x2）a等价于＝，设k＝2x﹣1，则x＝，则＝＝＝（﹣k﹣2），∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵∀a，b∈R，∴＝（﹣k﹣2），在（*）上有解，∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，设g（k）＝（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得t＞1，故答案为：（1，+∞）三、解答题：本大题共5小题，满分42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．计算下列各式的值：（1）27﹣（）﹣2﹣（）（2）2（lg）2+lg•lg5+【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解即可．（2）利用对数的运算法则化简求解即可．解：（1）27﹣（）﹣2﹣（）＝9+﹣4﹣＝3；（2）2（lg）2+lg•lg5+＝2（lg）2+lg•lg5+1﹣lg ＝2lg（lg+lg）+1﹣lg＝lg+1﹣lg＝1．19．（1）已知tanθ＝2，求sin2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos2θ+4的值．（2）已知，求的值．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用诱导公式化简变形，代入求解．解：（1）∵tanθ＝2，∴sin2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos2θ+4＝＝＝＝；（2）∵f（θ）＝＝＝﹣sinθ．∴＝＝﹣sin（﹣）＝sin＝．20．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且．（1）当λ＝，求||；（2）求的最小值．【分析】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平行线为y轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出，，（1）当λ＝时，＝（，），即可求出答案，（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案．解：以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（，），D（﹣，），∴＝+＝（2，0）+λ（﹣，）＝（2﹣λ，λ），（1）当λ＝时，＝（，），则||＝＝（2）∵＝+＝（，）+（1，0）＝（+，），∴＝++≥+2＝+＝，当且仅当λ＝时取得最小值．21．已知函数：（Ⅰ）若，求y＝f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的单调性的性质．（Ⅱ）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．解：（Ⅰ）∵，∴2x+∈[，]，∴≤sin x（2x+）≤1，即f（x）∈[，1]，当x＝时，f（x）取得最小值，最小值为，当x＝时，f（x）取得最大值，最大值为1；（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g （x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]+1＝2sin（2x+）+1，令g（x）＝2sin（2x+）+1＝0，解得x＝﹣+kπ或x＝+kπ，k∈Z，即g（x）的零点相离间隔依次为和或，故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，则b﹣a的最小值为10×+9×＝．22．已知函数：f（x）＝x2﹣mx﹣n（m，n∈R）．（Ⅰ）若m+n＝0，解关于x的不等式f（x）≥x（结果用含m式子表示）；（Ⅱ）若存在实数m，使得当x∈[1，2]时，不等式x≤f（x）≤4x恒成立，求实数n 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得（x+m）（x﹣1）≥0，讨论m＝﹣1，m＜﹣1，m＞﹣1，结合二次不等式的解法可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1≤x++m≤4对x∈[1，2]恒成立，即存在实数m，使得﹣x﹣+1≤m≤﹣x﹣+4对x∈[1，2]恒成立，考虑y＝﹣x﹣（n＜0）在[1，2]递减，可得n 的不等式，即可得到n的最小值．解：（Ⅰ）由x≤x2+mx﹣m，即（x+m）（x﹣1）≥0，①m＝﹣1时，可得x∈R；②m＜﹣1时，﹣m＞1，可得解集为（﹣∞，1]∪[﹣m，+∞）；③m＞﹣1时，﹣m＜1，可得解集为（﹣∞，﹣m]∪[1，+∞）；（Ⅱ）x∈[1，2]时，x≤x2+mx+n≤4x恒成立，即为1≤x++m≤4对x∈[1，2]恒成立，即存在实数m，使得﹣x﹣+1≤m≤﹣x﹣+4对x∈[1，2]恒成立，∴（﹣x﹣+1）max≤（﹣x﹣+4）min，由y＝﹣x﹣（n＜0）在[1，2]递减，∴﹣n≤2﹣，即n≥﹣4，∴n的最小值为﹣4．实数n的取值范围：[﹣4，+∞）．。
浙江省杭州市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
浙江省杭州市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 若且为第三象限角，则的值等于（）A．B．C．D．2. 函数的图像（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称3. 函数在定义域上是（）A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数4. 的三边分别为a,b,c,若是锐角三角形,则（）A．B．C．D．5. 设,且,则的值是（）A．B．2C．或2D．不存在6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（）B．A．D．C．7. 设,分别是函数和的零点（其中）,则的取值范围是（）A．B．C．D．8. 对任意,不等式恒成立,则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9. 已知函数,()在区间上是增函数,且在区间上恰好取得一次最大值1,则的取值范围是（）A．B．C．D．10. 设不等式对所有的均成立,则实数的取值范围是（）A．或B．C．或D．或二、双空题11. 圆心角为1弧度的扇形半径为1，则该扇形的周长为________，面积为________.12. 若函数满足：对任意的实数x,有且,当时,,则________,当时,________.13. 若,,则x的取值范围是________；若,则x的取值范围是________.14. 已知函数.在处取得最大值，则________；若函数的周期是，函数的单调增区间是________.三、填空题15. 设函数,则的最小值是________.16. 设函数是以2为最小正周期的周期函数，且时，，则________.17. 已知实数，若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为____________．四、解答题18. 已知函数.（1）画出函数在一个周期上的图像;（2）将函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数,求在上的值域.19. 已知函数.（1）若对任意的实数x都有成立，求实数a的值；（2）若在内递减，求实数a的范围；（3）若函数为奇函数，求实数a的值.20. 已知函数，.（1）讨论的奇偶性；（2）若，用定义证明：在上是增函数.21. 定义在R上的奇函数满足,并且在区间上递减,设,,,求.（注:意思是任意的实数x.）22. 已知函数具有如下性质:在上是减函数,在上是增函数.（1）若函数的值域为,求b的值;（2）已知函数,,求函数的单调区间和值域; （3）对于（2）中的函数和函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数c的值.。
2019-2020学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷
已知函数 ，则 ＝________；若关于 的方程 ＝ 在 内有唯一实根，则实数 的取值范围是________．
【答案】
,
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
推导出 ＝ ＝ ＝ ，从而 ＝ ＝ ＝ ．作出函数 的图象，结合图形，能求出实数 的取值范围．
【解答】
∵函数 ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
综上 的最小值为 ．
【考点】
平面向量的基本定理
正弦定理
【解析】
（1）利用面积可得 ＝ ，利用 ，可知 、 、 三点共线，即可求出 的值；
（2）由（1）可表示出 ，利用机泵不等式可得最小值．
【解答】
设 ＝ ， ＝ ，所以 ，解得 ＝ ，
由 ，且 ， ， 三点共线，
所以 ，解得 ；
由（1）可知 ，
所以 ＝
本题先将递推式进行变形，然后令 ，根据题意有常数 ，且 ．将递推式通过换元法简化为 ＝ ．两边同时减去 ，可得 ＝ ．根据此时逐步递推可得 ＝ ＝ ＝…＝ ．根据题意有 ，则当 ＝ ，即 ＝ ，即 ，即 ＝ 时，可得到数列 是一个等差数列．由此可得正确选项．
【解答】
由题意，得 ．
令 ，则 ，
∵ ， 为非零常数且 ，
【答案】
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
由题意可以分为四类，每一类分别求解，再根据分类计数原理可得．
【解答】
若甲，乙都参加，则甲只能参加 项目，乙只能参见 项目， 项目有 种方法，
若甲参加，乙不参加，则甲只能参加 项目， ， 项目，有 ＝ 种方法，
若甲参加，乙不参加，则乙只能参加 项目， ， 项目，有 ＝ 种方法，
∴ ， 均为非零常数，
杭州市2019-2020学年高一数学期末学业水平测试试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1.A.已知b 的模为1.且力在。
方向上的投影为吏，则。
与力的夹角为() 2C. 120°30° B. 60°D. 150°2.7T为了得到函数y = 2sin 2x-|的图象，可以将函数y = 2sin 2% + ^的图象()A.向左平移务...____ 7 兀 B.向右平移24C.3.7 jr7 兀向左平移=D.向右平移技1212如图，在正方体ABCD - AiBiCD 中，给出以下四个结论：①DE 〃平面AjABBj ②AD 与平面BCD 】相交③AD_L 平面DiDB正确的结论个数是(④平面BCDi_L 平面AiABBi )A. 1B. 2C. 3D. 44.四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为1,， 3,且四面体的四个顶点在同一球面上,则这个球的体积为16〃在AA3C 中，)2a /6A.B.5.A.角A,B.32〃B, C 的对边分别为a , b , c,C. 12〃64〃D.——3A = 45°, 5 = 120°, a = 6,贝!］。
=4(3也logi (x + 2),x< -126.a /1-x 2 ,-1 < x < 1 , 2x -2,x>l若函数g(x)^有4个不同的零点，则实数7"的已知函数/■(》) = <取值范围是()A. (-1,1]B. [1,很]C. (1M)D. [V2,+oo)7. 已知二次函数/(x) = x 2 +bx+c 满足/■⑴=/■⑶=-3,函数g(x)是奇函数，当x20时，g(x) = /(%),若g(a)>a,则。
的取值范围是()A. (—co,—5)B. (一5,0)C. (—5,0)(5,+oo)D.(5,+oo)8. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休. ”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：J(x-a)2+(y-。
2019-2020年浙江省杭州市高一上册期末数学试卷(有答案)【精品版】
浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）4．（3分）函数f（）=log3+﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（）=|﹣a|，若对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N=，∁U M=．16．（3分）（）+（）=；log412﹣log43=．17．（3分）函数f（）=tan（2﹣）的最小正周期是；不等式f（）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（）和奇函数g（）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f（）•g（）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（）=+，g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（）=α（α∈R），且．（1）求函数f（）的解析式；（2）证明函数f（）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（）=2sin（ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（）的单调递增区间；（2）若关于的方程f（）+log2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={∈R|2﹣4＜0}={|0＜＜4}，B={∈R|2＜8}={|＜3}，∴A∩B={|0＜＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（）=log3+﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（）=log3+﹣3，定义域为：＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3﹣2）≥0，即0＜3﹣2≤1，得＜≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2）+2是偶函数，∴设g（）=f（2）+2，则g（﹣）=f（﹣2）﹣2=g（）=f（2）+2，即f（﹣2）=f（2）+4，当=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣）=|sin（﹣）+cos（﹣）|+|sin（﹣）﹣cos（﹣）|=|﹣sin+cos|+|﹣sin ﹣cos|=|si+cos|+|sin﹣cos|=f（），则函数f（）是偶函数，∵f（+）=|sin（+）+cos（+）|+|sin（+）﹣cos（+）|=|cos﹣sin|+|cos+sin|=|sin+cos|+|sin﹣cos|=f（），∴函数f（）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2﹣）=cos（﹣2）=sin（2+）=sin[2（+）]，∴将函数y=sin2的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（）=，当f（）=时，当≥3或≤1时，由3﹣|﹣3|=，得|﹣3|=，即C=或G=，当f（）=时，当1＜＜3时，由2﹣3+3=，得E=，由图象知若f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为E﹣C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f（）=|﹣a|，若对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（0）≥m⇔m≤f（）ma，∈[1，4]．令u（）=﹣a，∵a＞0，∴函数u（）在∈[1，4]单调递减，∴u（）ma=u（1）=4﹣a，u（）min=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（）ma=4a﹣1≥15．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（）ma={4﹣a，4a﹣1}ma＞3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（）ma=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5} ，∁U M={1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）=3；log412﹣log43=1．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（）=tan（2﹣）的最小正周期是；不等式f（）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（）＞1得tan（2﹣）＞1，得+π＜2﹣＜+π，得+＜＜+，∈，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（）和奇函数g（）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f（）•g（）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（）=f（）g（），则h（﹣）=f（﹣）g（﹣）=﹣f（）g（）=﹣h（），∴h（）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜＜﹣2时，f（）＞0，g（）＜0，即h（）＞0，当0＜＜2时，f（）＜0，g（）＞0，即h（）＜0，∴h（）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1．【解答】解：∵∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜＜1﹣a时，y=ln（+a）＜0，当＞1﹣a时，y=ln（+a）＞0，又（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=a+2与y=ln（+a）均为定义域上的增函数，在∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2ln）≤0对∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（+a）的曲线与方程为y=a+2的直线相交于点A，即满足时，（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f（）=+，g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]的值为16．【解答】解：∵令t=f（），则y=g（）=f2（）﹣af（）+2a=t2﹣at+2a，∵g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（1），f（2），f（3），f（4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（1）=f（2）=t1，f（3）=f（4）=t2，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（）=α（α∈R），且．（1）求函数f（）的解析式；（2）证明函数f（）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的2＞1≥0，则，∵，∴f（2）＞f（1），函数f（）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（）=2sin（ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（）的单调递增区间；（2）若关于的方程f（）+log2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，∈所以函数y=f（）的单调递增区间是得（∈），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2=﹣f（）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 m．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（）=1得或（2 分）解得=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（）=1得：（﹣1）|+1|﹣（﹣1）=0（﹣1）（|+1|﹣1）=0（3分）∴得=1或|+1|=1∴=1或=0或=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当≥a时，令2﹣（a+2）﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜1＜2，故当≥a时，f（）存在两个零点．（2分）当＜a时，令﹣2+a﹣3a=0，即2﹣a+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断3＜a＜4，故＜a时，f（）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴1+2+3∈（0，2）．（2分）。
2019-2020年浙江省杭州市高一上册期末数学试题(有答案)
浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）+﹣3的零点所在的区间是（）4．（3分）函数f（）=log3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（）=|﹣a|，若对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁UM= ．16．（3分）（）+（）= ；log412﹣log43= ．17．（3分）函数f（）=tan（2﹣）的最小正周期是；不等式f（）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（）和奇函数g（）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f（）•g（）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（）=+，g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（）=α（α∈R），且．（1）求函数f（）的解析式；（2）证明函数f（）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（）=2sin（ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（）的单调递增区间；（2）若关于的方程f（）+log2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={∈R|2﹣4＜0}={|0＜＜4}，B={∈R|2＜8}={|＜3}，∴A∩B={|0＜＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（）=log3+﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（）=log3+﹣3，定义域为：＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]（3﹣2）≥0，【解答】解：要使函数有意义，则log0.5即0＜3﹣2≤1，得＜≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2）+2是偶函数，∴设g（）=f（2）+2，则g（﹣）=f（﹣2）﹣2=g（）=f（2）+2，即f（﹣2）=f（2）+4，当=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣）=|sin（﹣）+cos（﹣）|+|sin（﹣）﹣cos（﹣）|=|﹣sin+cos|+|﹣sin﹣cos|=|si+cos|+|sin﹣cos|=f（），则函数f（）是偶函数，∵f（+）=|sin（+）+cos（+）|+|sin（+）﹣cos（+）|=|cos﹣sin|+|cos+sin|=|sin+cos|+|sin﹣cos|=f（），∴函数f（）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2﹣）=cos（﹣2）=sin（2+）=sin[2（+）]，∴将函数y=sin2的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（）=，当f（）=时，当≥3或≤1时，由3﹣|﹣3|=，得|﹣3|=，即C =或G=，当f（）=时，当1＜＜3时，由2﹣3+3=，得E=，由图象知若f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为E ﹣C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f（）=|﹣a|，若对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（）≥m⇔m≤f（）ma，∈[1，4]．令u（）=﹣a，∵a＞0，∴函数u（）在∈[1，4]单调递减，∴u（）ma =u（1）=4﹣a，u（）min=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（）ma=4a﹣1≥15．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（）ma ={4﹣a，4a﹣1}ma＞3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（）ma=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= {2，3，4，5} ，∁UM= {1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁UM={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）= 3 ；log412﹣log43= 1 ．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（）=tan（2﹣）的最小正周期是；不等式f（）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（）＞1得tan（2﹣）＞1，得+π＜2﹣＜+π，得+＜＜+，∈，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（）和奇函数g（）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f（）•g（）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（）=f（）g（），则h（﹣）=f（﹣）g（﹣）=﹣f（）g（）=﹣h（），∴h（）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜＜﹣2时，f（）＞0，g（）＜0，即h（）＞0，当0＜＜2时，f（）＜0，g（）＞0，即h（）＜0，∴h（）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1 ．【解答】解：∵∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜＜1﹣a时，y=ln（+a）＜0，当＞1﹣a时，y=ln（+a）＞0，又（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=a+2与y=ln（+a）均为定义域上的增函数，在∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2ln）≤0对∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（+a）的曲线与方程为y=a+2的直线相交于点A，即满足时，（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f（）=+，g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]的值为16 ．【解答】解：∵令t=f（），则y=g（）=f2（）﹣af（）+2a=t2﹣at+2a，∵g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（1），f（2），f（3），f（4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（1）=f（2）=t1，f（3）=f（4）=t2，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（）=α（α∈R），且．（1）求函数f（）的解析式；（2）证明函数f（）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的2＞1≥0，则，∵，∴f（2）＞f（1），函数f（）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（）=2sin（ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（）的单调递增区间；（2）若关于的方程f（）+log2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，∈所以函数y=f（）的单调递增区间是得（∈），（2分）（2）当时，，所以，（2分）=﹣f（）∈[﹣1，2]，得．（3分）所以log223．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 m．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（）=1得或（2 分）解得 =0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（）=1得：（﹣1）|+1|﹣（﹣1）=0（﹣1）（|+1|﹣1）=0（3分）∴得=1或|+1|=1∴=1或=0或=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当≥a时，令2﹣（a+2）﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜1＜2，故当≥a时，f（）存在两个零点．（2分）当＜a时，令﹣2+a﹣3a=0，即2﹣a+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断3＜a＜4，故＜a时，f（）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴1+2+3∈（0，2）．（ 2分）。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 3．若角α的终边与单位圆交于点P （35-，45），则sin （2π+α）＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，再利用诱导公式，即可得到结论. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义知3cos 5α=-， 所以3sin cos 25παα⎛⎫+==-⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．已知sinα+cosα12=，α∈（0，π），则11tan tan αα+=-（ ） A．7 B．7-C．3D．3-【答案】B【解析】将等式两边平方，得32sin cos 4αα=-，再利用完全平方公式得sin cos 2αα-=. 【详解】由1sin cos 2αα+=，平方得()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，即32sin cos 4αα=-，又()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<，所以()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=，即7sin cos 2αα-=， 所以1tan sin cos 71tan cos sin αααααα++==---. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，且x +2y＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=u u u u r u u u r，则λ的最大值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】 建立如图坐标系：则()2,0AB =uu u r，()0,4AD =u u u r ，()()()2,00,42,4AP xAB yAD x y x y ∴=+=+=u u u r u u u r u u u r， ()2,4AM AP x y λλλ∴==u u u u r u u u r，因M 在矩形ABCD 内， 所以022044x y λλ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即246x y λλ+≤，所以()23x y λ+≤，又21x y +=，所以3λ≤，即λ的最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．8．平面向量a r ，b r 满足，2()30a a b -⋅-=rr r ，2b =r ，则a b -r r 最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意设向量()0,2b =r ，(),a x y =r，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论. 【详解】由题意，设向量()0,2b =r ，(),a x y =r ，则()222ax y =+r，2a b y ⋅=r r，因()230a a b -⋅-=r r r ，即，22230x y y +--=，所以：()2214x y +-=，即向量a r的轨迹是以()0,1为圆心，2r =的圆，又(),2a b x y -=-r r，所以a b -=r r (),x y 与点()0,2之间的距离，又点(),x y 满足()2214x y +-=，所以23a b -==r r.故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．函数y x = ）．A ．()1,+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．)1⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数y x =，可得y x -=，两边平方，即可求解． 【详解】解：函数y x x =+R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x „时，可得0y x -=， 两边平方， 0y x -Q …，即1y >； 22()y x ∴-=，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠23122y x y -∴=-„．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…， 1y >Q ．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =(1)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二、填空题11．已知向量()12a =r ，，()3b x =-r ，，若满足a b r P r ，则x ＝_____，若满足a b⊥r r ，则x ＝_____． 【答案】32-6 【解析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x 的值. 【详解】因向量()1,2a =r，(),3b x =-r ，若//a b r r，则()1320x ⨯--=，解得32x =-， 若a b ⊥r r，则()230x +⨯-=，解得6x =.故答案为：32-，6. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，属于基础题.12．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 13．若5sin()=613πα-，则cos()3πα+=________________ 【答案】513【解析】根据题意cos cos 326πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案 【详解】5sin 613Q πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos cos sin 326613ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为513【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题。
(9份试卷汇总)2019-2020学年杭州市数学高一(上)期末学业质量监测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为1330a b c a b A ︒===，，，，，．则该三角形（ ）A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定2．如果121211sin 2,,log 23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么( )A.a b c >>B.c b a >>C.a c b >>D.c a b >>3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，令()1a f =，()0.32b f -=，()0.32c f =-，则：（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2y sin x ＝的图象（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位 5．已知两点(,0),(,0)(0)A a B a a ->,若曲线2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得090APB ∠=,则正实数a 的取值范围为（ ）A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =u u u v u u u v，则向量EM u u u u v＝（ ）A ．1123AC AB +u u uv u u u vB ．1126AC AB +u u uv u u u vC ．1162AC AB +u u uv u u u vD ．1362AC AB +u u uv u u u v7．函数的一个零点所在区间为（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 19．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．510．从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高x/cm 160 165 170 175 180 体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程ˆy=0.56x+$a ,据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( ) A ．70.09 kg B ．70.12 kg C ．70.55 kgD ．71.05 kg11．若平面向量(1,2)a =-r 与b r 的夹角是180°，且||35b =r，则b r 等于( )A ．(3,6)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(6,3)-12．设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A.3πa 2 B.6πa 2C.12πa 2D.24πa 2二、填空题13．已知在t R ABC ∆中,两直角边1,2,AB AC D ==是ABC ∆内一点,且60DAB ∠=︒,设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ,(),R λμ∈ , 则λμ=_________14．把函数sin y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为_________．15．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，3PA PB +的最大值是________________16．等腰直角△ABC 中，AB=BC=1，M 为AC 的中点，沿BM 把△ABC 折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为_____________． 三、解答题17．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．18．已知函数()22cos 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0>ω，x ∈R ）的最小正周期为2π. （1）求ω的值；（2）如果0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且()85fα=，求cos α的值. 19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． （1）求等比数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求11{}n n b b +的前n 项和n T ． 20．在平面直角坐标xOy 中，圆与圆相交与PQ 两点．（I ）求线段PQ 的长．（II ）记圆O 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 上滑动，求面积最大时的直线的方程．21．已知在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A （cosα，sinα），B （2，0），C （0，2），α∈（0，π）．（1）若AB AC =u u u r u u u r，求α的值；（2）若13AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，求2221sin sin tan ααα++的值．22．已知函数()(),f x x x a bx a b R =-+∈.（1）当1b =-时，函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的值； （2）当1b =时，①若对任意[]1,3x ∈，恒有()f x x≤，求a 的取值范围； ②若0a >，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值().g a【参考答案】*** 一、选择题13 14．sin(2)3y x π=-15．16．90o 三、解答题17．（1）每件定价最多为40元；（2）当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和，此时该商品的每件定价为30元． 18．（1）12ω=（2）cos α= 19．（1）2nn a =（2）1n nT n =+ 20．（I ）；（II ）或．21．（1）4π；（2）59- 22．(1)1a =±；(2)①.0a ≤≤.()262,05,(1),53,422, 3.a a a g a a a a ⎧-<<⎪+⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O 为大圆圆心，线段AB 为小圆直径．△AOB 的三边所围成的区域记为I ，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）A.123p p p >>B.123p p p =+C.213p p p >>D.123p p p =>2．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4426,260,126(4)n n S S S n -===>，则n = A ．12 B ．13 C ．14 D ．163．已知(,0)2απ∈- ，tan cos2-1αα=，则α=( ) A.-12πB.-6πC.-4πD.-3π4．已知圆C 的半径为2，在圆内随机取一点P ，并以P 为中点作弦AB ，则弦长23AB ≤的概率为 A ．14B ．34C ．23- D ．3 5．直线()2y k x =+被圆224x y +=截得的弦长为23，则直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π 6．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)910n⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大7．已知，并且是方程的两根，则实数的大小关系可能是（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知集合则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知,x y 满足250x y +-=，则22(1)(1)x y -+-的最小值为（ ） A ．45B ．25 C 25D 10 10．300240sin tan ︒+︒的值是（ ） A ．3 B 3C ．132-D ．13211．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A ．8B ．43C ．2D ．412．用min{a ，b ，c}表示a 、b 、c 三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x ，x ＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6二、填空题13．已知函数()22222x kx x f x xx ⎧-+≤=⎨>⎩，若()f x 在R 上是单调增函数，则实数k 的取值范围是____________．14．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f（2-），则a 的取值范围是______.15．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________．16．设(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，0a >，0b >，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则11a b+的最小值是_______． 三、解答题17．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为(01)x x <<，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ． 已知年利润(=出厂价一投入成本)⨯年销售量．(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； (Ⅱ)投入成本增加的比例多大时，木年度预计的年利润最大？最大值是多少？18．已知平面向量a r 、b r满足2a =r ，1b =r ，(1)若2a b -=r r ，试求a r 与b r的夹角的余弦值；(2)若对一切实数x ，a xb a b +≥+r r r r 恒成立，求a r 与b r 的夹角。
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2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合P＝{−1, 0, 1}，Q＝{x|−1≤x<1}，则P∩Q＝（）A.{0}B.[−1, 0]C.{−1, 0}D.[−1, 1)2. 若一个幂函数的图象经过点(2,14)，则它的单调增区间是（）A.(−∞, 1)B.(0, +∞)C.(−∞, 0)D.R3. 下列函数既是奇函数，又在区间[−1, 1]上单调递减的是（）A.f(x)＝sin xB.f(x)＝−|x+1|C.f(x)=12(a x+a−x) D.f(x)＝ln2−x2+x4. 函数y＝ln x+2x−6零点的个数为（）A.0B.1C.2D.35. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( ) A.−2 B.0 C.1 D.26. 已知θ∈[π2,π]，则√1+2sin(π+θ)sin(π2−θ)=()A.sinθ−cosθB.cosθ−sinθC.±(sinθ−cosθ)D.sinθ+cosθ7. 在下列函数①y=sin(2x+π6)②y=|sin(x+π4)|③y＝cos|2x|④y=tan(2x−π4)⑤y＝|tan x|⑥y＝sin|x|中周期为π的函数的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个8. 函数f(x)=2x2+3x2e x的大致图象是（）A. B.C. D.9. 已知函数f(x)＝2sin ωx （其中ω>0），若对任意x 1∈[−3π4,0)，存在x 2∈(0,π3]，使得f(x 1)＝f(x 2)，则ω的取值范围为（ ） A.ω≥3 B.0<ω≤3C.ω≥92D.0<ω≤9210. 已知函数f(x)是R 上的增函数，且f(sin ω)+f(−cos ω)>f(−sin ω)+f(cos ω)，其中ω是锐角，并且使得g(x)=sin (ωx +π4)在(π2, π)上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A.(π4, 54]B.[54, π2)C.[12, π4)D.[12, 54]二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）sin π6=________；cos α≥√22，则α∈________．函数y =(14)−|x|+1的单调增区间为________；奇偶性为________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg √x −lg (y10)2=________；若a m ＝2，a n ＝6(a >0, m, n ∈R)，则a 3m−n2=2√33．函数y ＝cos x −sin 2x −cos 2x +74的值域为________−14,2] ；函数f(x)=3−sin x2+sin x 的值域为________23,4] ．设函数f(x)={√x(x ≥0)(12)x (x <0) ，则f （f(−4)）＝________．若α∈(π2,π)，sin (α+π4)=13，则sin α＝________已知函数f(x)=√x 2+a x 2−9，若f(x)的值域为[0, +∞)，则a 的取值范围________．三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设全集为R ，A ＝{x|3<x <7}，B ＝{x|4<x <10}， （1）求∁R (A ∪B)及(∁R A)∩B ；（2）C ＝{x|a −4≤x ≤a +4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．如图是f(x)＝A sin (ωx +φ)，(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若把函数f(x)图象向左平移β个单位(β>0)后，与函数g(x)＝cos 2x 重合，求β的最小值．已知函数f(x)=cos (x −π3)+2sin 2x2 (Ⅰ)求函数f(x)在区间[−π3,π2]上的值域(Ⅱ)把函数f(x)图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移φ个单位长度(0<φ<π2)，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)，若函数g(x)关于点(3π4,0)对称(i)求函数g(x)的解析式；(ii)求函数g(x)单调递增区间及对称轴方程．已知m ≠0，函数f(x)＝sin x +cos x −m sin x cos x +1(Ⅰ)当m＝1时，求函数f(x)的最大值并求出相应x的值；(Ⅱ)若函数f(x)在[−π2,2π]上有6个零点，求实数m的取值范围．已知a为正数，函数f(x)＝ax2−12x−34,g(x)=log22x−log2x2+14．(Ⅰ)解不等式g(x)≤−12；(Ⅱ)若对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1, t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥g(x)对任意x∈[2, 4]恒成立，求实数a的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.【答案】 C 2. 【答案】 C 3. 【答案】 D 4. 【答案】 B 5. 【答案】 A 6. 【答案】 A 7. 【答案】 B 8. 【答案】 B 9. 【答案】 C 10.【答案】 A二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 【答案】12,[−π4+2kπ, π4+2kπ]，k ∈Z 【答案】[0, +∞),偶函数 【答案】 12m −2n +2【答案】[,[【答案】4【答案】4+√26【答案】[814, +∞)三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】∵全集为R，A＝{x|3<x<7}，B＝{x|4<x<10}，∴A∪B＝{x|3<x<10}，∁R A＝{x|x≤3或x≥7}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤3或x≥10}，(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．∵A＝{x|3<x<7}，C＝{x|a−4≤x≤a+4}，且A∩C＝A，∴A⊆C，∴{a−4≤3a+4≥7，解得3≤a≤7．∴a的取值范围是[3, 7]．【答案】（1）根据f(x)＝A sin(ωx+φ)，(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，可得A＝1，2πω=5π6−(−π6)，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2⋅π3+φ＝π，∴φ=π3，∴f(x)＝sin(2x+π3)．（2）∵把函数f(x)图象向左平移β个单位(β>0)后，可得y＝sin(2x+2β+π3)的图象，由于所得图象与函数g(x)＝cos2x＝sin(2x+π2)的图象重合，∴2β+π3=2kπ+π2，k∈Z，故β的最小值为π12．【答案】（1）∵函数f(x)=cos(x−π3)+2sin2x2=12cos x+√32sin x+2⋅1−cos x2=√32sin x−12cox+1＝sin(x−π6)+1，在区间[−π3,π2]上，x−π6∈[−π2, π3]，故当x−π6=−π2时，f(x)取得最小值为0；当x−π6=π3时，f(x)取得最大值为√32+1，故函数f(x)在区间[−π3,π2]上的值域为[0, √32+1]．(2)(i)把函数f(x)＝sin(x−π6)+1图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，可得y＝sin(2x−π6)+1的图象；再把所得的图象向左平移φ个单位长度(0<φ<π2)，可得y＝sin(2x+2φ−π6)+1的图象；再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−π6)的图象．若函数g(x)关于点(3π4,0)对称，则2×3π4+2φ−π6=kπ，k∈Z，∴φ=−π6，∴g(x)＝sin(2x−π2)＝−cos2x．(ii)对于函数g(x)＝−cos2x，令2kπ−π≤2x≤2kπ，求得kπ−π2≤x≤kπ，可得函数g(x)的单调递增区间为[kπ−π2, kπ]，k∈Z．令2x＝kπ，求得x=kπ2，可得函数g(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2，k∈Z．【答案】（1）当m＝1时，f(x)＝sin x+cos x−sin x cos x+1，令t＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，且t2＝1+2sin x cos x，所以sin x cos x=t 2−12，则f(t)＝t−t 2−12+1=−12(t−1)2+2，因为t∈[−√2, √2]，所以当t＝1时，函数f(x)取最大值为2，此时√2sin(x+π4)＝1，解得x＝2kπ或π2+2kπ(k∈Z)；（2）∵x∈[−π2,2π]，∴x+π4∈[−π4,9π4]，则t＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，令f(x)=g(t)=t−m⋅t 2−12+1=0，故t+1=m⋅t2−12，易知t＝−1是方程g(t)＝0的一个解，且−1=√2sin(x+π4)在x+π4∈[−π4,9π4]有三个x与之对应，当t≠−1时，由t+1=m⋅t 2−12可得t=2m+1，故t=2m +1=√2sin(x+π4)在x+π4∈[−π4,9π4]也需有三个x与之对应，故2m+1∈(−1,1]，解得m<−1，所以实数m的取值范围为(−∞, −1)．【答案】（I）令log2x＝u(u∈R)，则不等式g(x)≤−12⇔u2−2u+14≤−12，∴4u2−8u+3≤0，∴12≤u≤32，∴12≤log2x≤32，∴√2≤x≤2√2．∴不等式g(x)≤−12的解集为[√2, 2√2]．(II)令m＝log2x，则1≤m≤2，g(x)=m2−2m+14，∴g(x)max=14．因为对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1, t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥14．设f(x)=ax2−12x−34在[t−1, t+1]上最大值为M(t)，最小值为m(t)，f(x)的对称轴为直线x=1a．令ℎ(t)＝M(t)−m(t)，则对任意的实数t，ℎ(t)≥14．①当14a≤t−1时，M(t)＝f(t+1)，m(t)＝f(t−1)，则ℎ(t)＝M(t)−m(t)＝4at−1，此时ℎ(t)≥4a(14a +1)−1=4a≥14，∴a≥116；②当t−1<14a ≤t时，M(t)＝f(t+1)，m(t)=f(1a)=12a−34，ℎ(t)=M(t)−m(t)≥f(1a +1)−(12a−34)=a+52≥14，∴a≥−94．③当t<14a <t+1时，M(t)＝f(t−1)，m(t)=f(1a)=12a−34，ℎ(t)=M(t)−m(t)≥f(1a −1)−(12a−34)=a−32≥14，∴a≥74；④当14a≥t+1时，M(t)＝f(t−1)，m(t)＝f(t+1)，则ℎ(t)＝M(t)−m(t)＝−4at+ 1，此时ℎ(t)≥−4a(14a −1)+1=4a≥14，∴a≥116，综上，实数a的最小值为74．。